Tekintsünk egy bizonyos π síkot és egy tetszőleges M 0 pontot a térben. Válasszunk a repülőhöz egységnyi normálvektor n -val a kezdet egy pontban M 1 ∈ π, és legyen p(M 0 ,π) az M 0 pont és a π sík távolsága. Ezután (5.5. ábra)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

mivel |n| = 1.

Ha a π síkot megadjuk derékszögű koordinátarendszer általános egyenletével Ax + By + Cz + D = 0, akkor normálvektora az (A; B; C) koordinátákkal rendelkező vektor, és választhatunk

Legyen (x 0 ; y 0 ; z 0) és (x 1 ; y 1 ; z 1) az M 0 és M 1 pontok koordinátái. Ekkor teljesül az Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 egyenlőség, mivel az M 1 pont a síkhoz tartozik, és az M 1 M 0 vektor koordinátái megtalálhatók: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0-y 1; z 0-z 1). Felvétel skaláris szorzat nM 1 M 0 koordináta alakban és transzformálva (5.8), kapjuk

mivel Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Tehát egy pont és egy sík távolságának kiszámításához be kell cserélni a pont koordinátáit a sík általános egyenletébe, majd abszolút érték az eredményt elosztjuk a normalizáló tényezővel, hosszával egyenlő a megfelelő normálvektor.

, „Prezentáció a leckéhez” verseny

Osztály: 11

Előadás a leckéhez

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekel ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• a tanulók tudásának és készségeinek általánosítása és rendszerezése;
• elemzési, összehasonlítási, következtetési képességek fejlesztése.

Felszerelés:

• multimédiás projektor;
• számítógép;
• lapok problémaszövegekkel

AZ OSZTÁLY HALADÁSA

I. Szervezési mozzanat

II. Tudásfrissítési szakasz(2. dia)

Ismételjük meg, hogyan határozzuk meg a pont és a sík távolságát

III. Előadás(3-15. dia)

Az órán megnézzük különböző módokon pont és sík távolságának meghatározása.

Első módszer: lépésről lépésre számítási

Távolság M ponttól az α síkhoz:
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal egy tetszőleges P ponttól, amely az M ponton áthaladó, az α síkkal párhuzamos a egyenesen fekszik;
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal a β síkon fekvő tetszőleges P ponttól, amely átmegy az M ponton és párhuzamos az α síkkal.

A következő problémákat oldjuk meg:

№1. Az A...D 1 kockában keresse meg a C 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Ki kell számítani az O 1 N szakasz hosszának értékét.

№2. Határozzuk meg az A pont és a DEA 1 sík távolságát egy A...F 1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel.

Következő módszer: kötet módszer.

Ha az ABCM piramis térfogata egyenlő V-vel, akkor az M pont és az ∆ABC-t tartalmazó α sík távolságát a következő képlettel számítjuk ki: ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
A feladatok megoldásánál egy alak kétféleképpen kifejezett térfogategyenlőségét használjuk.

Oldjuk meg a következő problémát:

№3. A DABC piramis AD éle merőleges az ABC alapsíkra. Határozza meg az AB, AC és AD élek felezőpontjain átmenő sík távolságát A-tól, ha.

A problémák megoldása során koordináta módszer az M pont és az α sík távolsága a ρ(M; α) = képlettel számítható , ahol M(x 0; y 0; z 0), és a síkot az ax + egyenlet adja meg + cz + d = 0

Oldjuk meg a következő problémát:

№4. BAN BEN egységkockát A…D 1 keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Vezessünk be egy koordinátarendszert, amelynek origója az A pontban van, az y tengely az AB élen, az x tengely az AD élen, a z tengely pedig az AA 1 élen fog futni. Ekkor a B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) pontok koordinátái
Készítsünk egyenletet a B, D, C 1 pontokon áthaladó síkra.

Ekkor – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Ezért ρ =

A következő módszer használható az ilyen típusú problémák megoldására módszer támogató feladatokat.

A módszer alkalmazása ismert referenciaproblémák alkalmazásából áll, amelyeket tételként fogalmazunk meg.

Oldjuk meg a következő problémát:

№5. Egy A...D 1 egységkockában keresse meg a D 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Tekintsük az alkalmazást vektoros módszer.

№6. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Tehát megvizsgáltunk különféle módszereket, amelyek segítségével megoldható az ilyen típusú probléma. Az egyik vagy másik módszer kiválasztása az adott feladattól és az Ön preferenciáitól függ.

IV. Csoportmunka

Próbálja meg különböző módon megoldani a problémát.

№1. Az A...D 1 kocka éle egyenlő. Határozzuk meg a C csúcs és a BDC 1 sík távolságát.

№2. Egy éles ABCD szabályos tetraéderben keresse meg az A pont és a BDC sík távolságát

№3. Egy ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmában, amelynek minden éle 1, keresse meg az A távolságot a BCA 1 síktól.

№4. Határozzuk meg az SABCD szabályos négyszög piramisban, amelynek minden éle 1, az A távolságot az SCD síktól.

V. lecke összefoglalása, házi feladat, reflexió

Legyen repülő . Rajzoljunk egy normált
koordináták origóján keresztül O. Legyen adott
– a normál által alkotott szögek koordináta tengelyekkel.
. Hadd – a normál szegmens hossza
amíg nem metszi a síkot. Feltételezve, hogy a normál irány koszinuszai ismertek , levezetjük a sík egyenletét .

Hadd
) egy tetszőleges pont a síkon. Az egységnyi normálvektornak vannak koordinátái. Keressük meg a vektor vetületét
normálra.

A lényeg óta M akkor a géphez tartozik

.

Ez egy adott sík egyenlete, ún Normál .

Távolság ponttól síkig

Legyen sík adott ,M*
- pont a térben, d – távolsága a síktól.

Meghatározás. Eltérés pontokat M* a repülőből a számot hívják ( + d), Ha M* a sík másik oldalán fekszik, ahol a normál pozitív iránya mutat , és szám (- d), ha a pont a sík másik oldalán található:

.

Tétel. Engedd a repülőt normál egységgel a normál egyenlet adja meg:

Hadd M*
– pont a térben Eltérés t. M* síkból a kifejezés adja meg

Bizonyíték. Vetítés t.
* normálal jelöljük K. Ponteltérés M* síkból egyenlő

.

Szabály. Megtalálni eltérés T. M* a síkból a t koordinátákat be kell cserélni a sík normál egyenletébe. M* . Egy pont és egy sík távolsága a .

Az általános síkegyenlet visszavezetése normál formára

Határozzuk meg ugyanazt a síkot két egyenlettel:

Általános egyenlet

Normál egyenlet.

Mivel mindkét egyenlet ugyanazt a síkot határozza meg, együtthatóik arányosak:

Nézzük négyzetre az első három egyenlőséget, és adjuk össze őket:

Innentől megtaláljuk – normalizáló tényező:

. (10)

A sík általános egyenletét egy normalizáló tényezővel megszorozva megkapjuk a sík normálegyenletét:

Példák a „Sík” témakörben felmerülő problémákra.

1. példa Hozd létre a sík egyenletét adott ponton áthaladva
(2,1,-1) és párhuzamos a síkkal.

Megoldás. Normál síkra :
. Mivel a síkok párhuzamosak, akkor a normál normál is a kívánt síkra . Egy adott ponton (3) áthaladó sík egyenletét felhasználva megkapjuk a síkra az egyenlet:

Válasz:

2. példa A merőleges alapja az origóból egy síkra esett , ez a lényeg
. Keresse meg a sík egyenletét! .

Megoldás. Vektor
normális a repülőhöz . Pont M 0 a repülőhöz tartozik. Használhatja egy adott ponton áthaladó sík egyenletét (3):

Válasz:

3. példa Készítsen síkot , áthaladva a pontokon

és a síkra merőlegesen :.

Ezért egy bizonyos ideig M (x, y, z) a géphez tartozott , három vektor szükséges
egy síkban voltak:

=0.

Fel kell tárni a determinánst, és az eredményül kapott kifejezést az (1) általános egyenlet alakjába hozni.

4. példa Repülőgép általános egyenlettel megadva:

Ponteltérés keresése
adott síkról.

Megoldás. A sík egyenletét hozzuk normálformába.

,

.

Helyettesítsük be a pont koordinátáit a kapott normálegyenletbe M*.

.

Válasz:
.

5. példa. A sík metszi a szakaszt?

Megoldás. Vágni ABátkelt a síkon, eltérések És a repülőből különböző jelekkel kell rendelkeznie:

.

6. példa. Három sík metszéspontja egy pontban.

.

A rendszernek egyedi megoldása van, ezért a három síknak egy közös pontja van.

7. példa. Felezők keresése kétszögű, amelyet két adott sík alkot.

Hadd És - Valamilyen pont eltérése
az első és a második síkból.

Az egyik felezősíkon (amely a koordináták origójának szögének felel meg) ezek az eltérések nagyságukban és előjelükben egyenlők, a másikon pedig nagyságuk egyenlő, előjelük pedig ellentétes.

Ez az első felezősík egyenlete.

Ez a második felezősík egyenlete.

8. példa. Két adott pont helyének meghatározása És az e síkok által alkotott diéderszögekhez képest.

Hadd
. Határozza meg: vannak pontok az egyik, szomszédos vagy függőleges sarkokban És .

A). Ha És feküdjön az egyik oldalán és től , akkor ugyanabban a diéderszögben fekszenek.

b). Ha És feküdjön az egyik oldalán és különbözik attól , akkor a szomszédos sarkokban fekszenek.

V). Ha És fekudj rajta különböző oldalak tól től És , akkor függőleges sarkokban fekszenek.

Koordinátarendszerek 3

Vonalak egy síkon 8

Elsőrendű sorok. Egyenesen egy repülőn. 10

Az egyenesek közötti szög 12

A 13. sor általános egyenlete

Hiányos elsőfokú 14. egyenlet

Egy egyenes egyenlete „szakaszokban” 14

Két egyenes egyenleteinek közös vizsgálata 15

Normál a 15. sorhoz

Két egyenes közötti szög 16

A 16. egyenes kanonikus egyenlete

Egy egyenes paraméteres egyenletei 17

Egy egyenes normál (normalizált) egyenlete 18

A pont és a 19. vonal közötti távolság

A 20-as vonalak ceruza egyenlete

Példák a „vonal egy síkban” témakörben felmerülő problémákra 22

A 24. vektorok vektorszorzata

Tulajdonságok vektor termék 24

Geometriai tulajdonságok 24

Algebrai tulajdonságok 25

A vektorszorzat kifejezése a tényezők koordinátáin keresztül 26

Három vektor vegyes szorzata 28

Geometriai jelentés vegyes termék 28

Vegyes szorzat kifejezése vektorkoordinátákkal 29

Példák problémamegoldásra

Ez a cikk egy pont és egy sík távolságának meghatározásáról szól. Elemezzük a koordináta módszert, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a távolságot adott pont háromdimenziós tér. Ennek megerősítésére nézzünk példát több feladatra.

Egy pont és egy sík távolságát egy pont és egy pont ismert távolságával határozzuk meg, ahol az egyik adott, a másik pedig egy adott síkra vetítés.

Ha egy χ síkkal rendelkező M 1 pontot adunk meg a térben, akkor a ponton át lehet húzni a síkra merőleges egyenest. H 1 a közös metszéspontjuk. Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 H 1 szakasz az M 1 pontból a χ síkra húzott merőleges, ahol a H 1 pont a merőleges alapja.

1. definíció

Egy adott ponttól egy adott síkra húzott merőleges alapjától mért távolságot nevezzük.

A definíció különböző megfogalmazásokban írható fel.

2. definíció

Távolság ponttól síkig az adott pontból egy adott síkra húzott merőleges hossza.

Az M 1 pont és a χ sík távolságát a következőképpen határozzuk meg: az M 1 pont és a χ sík távolsága lesz a legkisebb egy adott ponttól a sík bármely pontjáig. Ha a H 2 pont a χ síkban található és nem egyenlő a H 2 ponttal, akkor azt kapjuk derékszögű háromszög M 2 H 1 H 2 típus , ami téglalap alakú, ahol van egy M 2 H 1, M 2 H 2 láb – hypotenusa. Ez azt jelenti, hogy ebből az következik, hogy M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ferdenek tekintjük, amelyet az M 1 pontból a χ síkra húzunk. Megvan, hogy egy adott pontból a síkra húzott merőleges kisebb, mint a pontból az adott síkra húzott ferde. Nézzük meg ezt az esetet az alábbi ábrán.

Távolság egy ponttól a síkig - elmélet, példák, megoldások

Van egy szám geometriai problémák, melynek megoldásainak tartalmazniuk kell a pont és a sík távolságát. Ennek azonosítására különböző módok létezhetnek. A feloldáshoz használja a Pitagorasz-tételt vagy a háromszögek hasonlóságát. Amikor a feltétel szerint ki kell számítani egy pont és a sík távolságát, háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében megadva, azt koordináta módszerrel oldjuk meg. Ez a bekezdés ezt a módszert tárgyalja.

A feladat feltételei szerint adott a háromdimenziós térben egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont χ síkkal, meg kell határozni az M 1-től a távolságot. a χ sík. A probléma megoldására többféle megoldási módot alkalmaznak.

Első út

Ez a módszer egy pont és egy sík távolságának meghatározásán alapul a H 1 pont koordinátái segítségével, amelyek az M 1 pont és a χ sík közötti merőleges alapja. Ezután ki kell számítania az M 1 és H 1 közötti távolságot.

A feladat második megoldásához használja az adott sík normálegyenletét.

Második út

Feltétel szerint H 1 az M 1 pontból a χ síkra süllyesztett merőleges alapja. Ezután meghatározzuk a H 1 pont koordinátáit (x 2, y 2, z 2). Az M 1 és a χ sík szükséges távolságát az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 képlet határozza meg, ahol M 1 (x 1, y 1, z 1) és H 1 (x 2, y 2, z 2). A megoldáshoz ismerni kell a H 1 pont koordinátáit.

Azt kaptuk, hogy H 1 a χ sík metszéspontja az a egyenessel, amely átmegy a χ síkra merőlegesen elhelyezkedő M 1 ponton. Ebből következik, hogy egy adott ponton átmenő egyenesre egyenletet kell összeállítani egy adott síkra merőlegesen. Ekkor tudjuk majd meghatározni a H 1 pont koordinátáit. Ki kell számítani az egyenes és a sík metszéspontjának koordinátáit.

Algoritmus egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont és a χ sík távolságának meghatározására:

3. definíció

• készítsünk egyenletet az M 1 ponton áthaladó a egyenes egyenletéből és egyidejűleg
• merőleges a χ síkra;
• keresse meg és számítsa ki a H 1 pont koordinátáit (x 2 , y 2 , z 2), amelyek pontok
• az a egyenes metszéspontja a χ síkkal;
• számítsa ki az M 1 és χ közötti távolságot az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 képlet segítségével.

Harmadik út

Adott O x y z derékszögű koordinátarendszerben van egy χ sík, ekkor kapjuk a cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 alakú sík normálegyenletét. Innen kapjuk, hogy az M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ponttal a χ síkra húzott M 1 H 1 távolság az M 1 H 1 képlettel számítva = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ez a képlet érvényes, mivel a tételnek köszönhetően jött létre.

Tétel

Ha az M 1 (x 1 , y 1 , z 1) pont adott háromdimenziós tér, ha a χ sík cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 alakú normálegyenlete, akkor a pont távolságát az M 1 H 1 síktól az M képletből számítjuk ki. 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, mivel x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Bizonyíték

A tétel bizonyítása a pont és az egyenes távolságának megállapításában rejlik. Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 távolság a χ síktól az M 1 sugárvektor numerikus vetülete és a χ sík közötti távolság különbségének modulusa. Ekkor az M 1 H 1 = n p n → O M → - p kifejezést kapjuk. A χ sík normálvektorának alakja n → = cos α, cos β, cos γ, hossza pedig egy, n p n → O M → az O M → = (x 1, y 1) vektor numerikus vetülete. , z 1) az n → vektor által meghatározott irányban.

Alkalmazzuk a skalárvektorok kiszámításának képletét. Ekkor egy kifejezést kapunk egy n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → alakú vektor keresésére, mivel n → = cos α , cos β , cos γ · z és O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Az írás koordináta alakja n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, akkor M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . A tétel bizonyítást nyert.

Innen azt kapjuk, hogy az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont és a χ sík távolságát úgy számítjuk ki, hogy a cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0-t behelyettesítjük a a sík normálegyenletének bal oldala az x, y, z koordináták helyett x 1, y 1 és z 1, az M 1 pontra vonatkozóan, a kapott érték abszolút értékét véve.

Nézzünk példákat egy koordinátákkal rendelkező pont és egy adott sík távolságának meghatározására.

1. példa

Számítsa ki az M 1 (5, - 3, 10) koordinátájú pont távolságát a 2 x - y + 5 z - 3 = 0 síktól.

Megoldás

Oldjuk meg a problémát kétféleképpen.

Az első módszer az a egyenes irányvektorának kiszámításával kezdődik. Feltétellel megvan, hogy az adott 2 x - y + 5 z - 3 = 0 egyenlet egy általános síkegyenlet, és n → = (2, - 1, 5) az adott sík normálvektora. Egy adott síkra merőleges a egyenes irányvektoraként használják. Le kellene írni kanonikus egyenlet M 1 (5, - 3, 10) ponton átmenő térbeli egyenes, 2, - 1, 5 koordinátájú irányvektorral.

Az egyenlet a következő lesz: x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Meg kell határozni a metszéspontokat. Ehhez óvatosan egyesítse az egyenleteket egy rendszerré, hogy a kanonikustól a két egymást metsző egyenes egyenletéhez jusson. Ez a pont vegyük H1-et. Ezt értjük

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Ezt követően engedélyeznie kell a rendszert

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Térjünk rá a Gauss-rendszer megoldási szabályára:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Azt kapjuk, hogy H 1 (1, - 1, 0).

Kiszámoljuk egy adott pont és a sík távolságát. Vegyük az M 1 (5, - 3, 10) és H 1 (1, - 1, 0) pontokat, és megkapjuk

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - ( - 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

A második megoldás az, hogy először az adott 2 x - y + 5 z - 3 = 0 egyenletet normál alakba hozzuk. Meghatározzuk a normalizáló tényezőt, és 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30-at kapunk. Innen származtatjuk a 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 sík egyenletét. Az egyenlet bal oldalát az x = 5, y = - 3, z = 10 helyettesítésével számítjuk ki, és meg kell venni a távolságot M 1 (5, - 3, 10) és 2 x - y + 5 z - között. 3 = 0 modulo. Megkapjuk a kifejezést:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Válasz: 230.

Ha a χ síkot a sík megadásának módszereiről szóló részben leírt módszerek egyikével adjuk meg, akkor először meg kell szerezni a χ sík egyenletét, és bármilyen módszerrel ki kell számítani a szükséges távolságot.

2. példa

A háromdimenziós térben az M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) koordinátájú pontok vannak megadva. Számítsa ki az M 1 és az A B C sík távolságát!

Megoldás

Először fel kell írni az adott három ponton áthaladó sík egyenletét M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () koordinátákkal. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ebből következik, hogy a problémának az előzőhöz hasonló megoldása van. Ez azt jelenti, hogy az M 1 pont és az A B C sík távolsága 2 30.

Válasz: 230.

Egy síkon egy adott ponttól vagy egy olyan síktól való távolságot, amellyel párhuzamosak, kényelmesebb az M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p képlet alkalmazásával. . Ebből azt kapjuk, hogy a síkok normálegyenleteit több lépésben kapjuk meg.

3. példa

Határozza meg a távolságot egy adott ponttól az M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinátákkal Koordináta sík O x y z és sík, egyenlet adja meg 2 y - 5 = 0 .

Megoldás

Az O y z koordinátasík egy x = 0 alakú egyenletnek felel meg. Az O y z síkra ez normális. Ezért be kell cserélni az x = - 3 értékeket a kifejezés bal oldalára, és fel kell venni az M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátákkal rendelkező pont távolságának abszolút értékét a síkra. A - 3 = 3 értékkel egyenlő értéket kapunk.

A transzformáció után a 2 y - 5 = 0 sík normálegyenlete y - 5 2 = 0 alakot ölt. Ekkor megtalálhatja a kívánt távolságot az M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátájú ponttól a 2 y - 5 = 0 síkhoz. Behelyettesítve és kiszámolva 2 - 5 2 = 5 2 - 2 eredményt kapunk.

Válasz: Az M 1 (- 3, 2, - 7) és O y z közötti szükséges távolság 3, 2 y - 5 = 0 pedig 5 2 - 2.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Egy pont és egy sík távolságának meghatározása gyakori feladat, amely különféle problémák megoldása során merül fel analitikus geometria Ez a probléma például lecsökkenthető két egymást metsző egyenes vagy egy egyenes és egy vele párhuzamos sík távolságának meghatározására.

Tekintsük a $β$ síkot és egy $M_0$ pontot, amelynek koordinátái $(x_0;y_0; z_0)$ nem tartoznak a $β$ síkhoz.

1. definíció

Legrövidebb távolság a pont és a sík között a $M_0$ pontból a $β$ síkra ejtett merőleges lesz.

1. ábra Egy pont és egy sík távolsága. Szerző24 - diákmunka online cseréje

Az alábbiakban azt tárgyaljuk, hogyan találjuk meg egy pont és egy sík távolságát a koordináta módszerrel.

Egy pont és egy sík távolságának meghatározására szolgáló koordináta módszer képletének levezetése a térben

A $M_0$ pontból a $β$ síkot a $M_1$ pontban $(x_1;y_1; z_1)$ koordinátákkal metsző merőleges egy olyan egyenesen fekszik, amelynek irányvektora a $β$ sík normálvektora. Ebben az esetben a $n$ egységvektor hossza eggyel egyenlő. Ennek megfelelően a $β$ és a $M_0$ pont közötti távolság:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, ahol $\vec(M_1M_0)$ a $β$ sík normálvektora, és $\vec( n)$ a vizsgált sík egységnyi normálvektora.

Abban az esetben, ha a sík egyenlete adott Általános nézet$Ax+ A + Cz + D=0$ alapján a sík normálvektorának koordinátái a $\(A;B;C\)$ egyenlet együtthatói, és az egységnyi normálvektornak ebben az esetben a következővel számított koordinátái vannak. a következő egyenlet:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Most megtaláljuk a $\vec(M_1M_0)$ normálvektor koordinátáit:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

A $D$ együtthatót a $β$ síkban lévő pont koordinátáival is kifejezzük:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Az egységnyi normálvektor koordinátái a $(2)$ egyenlőségből behelyettesíthetők a $β$ sík egyenletébe, ekkor kapunk:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\left(4\right)$

A $(4)$ egyenlőség egy képlet egy pont és egy sík távolságának meghatározására a térben.

Általános algoritmus $M_0$ pont és egy sík távolságának meghatározására

1. Ha a sík egyenlete nem általános formában van megadva, először le kell redukálnia azt általános alakra.
2. Ezt követően ki kell fejezni től általános egyenlet sík, egy adott sík normálvektora a $M_0$ ponton és egy adott síkhoz tartozó ponton keresztül, ehhez a $(3)$ egyenlőséget kell használnunk.
3. A következő lépés a sík egységnyi normálvektorának koordinátáinak keresése a $(2)$ képlet segítségével.
4. Végül elkezdhetjük keresni a pont és a sík távolságát, ezt a $\vec(n)$ és $\vec(M_1M_0)$ vektorok skaláris szorzatának kiszámításával lehet megtenni.