A standard tanfolyamon iskolai matematika A függvények tulajdonságait elsősorban gráfjaik készítésére használják. Az egyenletek megoldására szolgáló funkcionális módszert akkor és csak akkor alkalmazzuk, ha az F(x) = G(x) egyenlet átalakítások vagy változók cseréje eredményeként nem redukálható egyik vagy másik szabványos egyenletre, amelynek meghatározott megoldási algoritmusa van.

A grafikus módszerrel ellentétben a függvények tulajdonságainak ismerete lehetővé teszi az egyenlet pontos gyökereinek megtalálását anélkül, hogy függvénygráfokat kellene készítenie. A függvények tulajdonságainak felhasználása segít az egyenletek megoldásának racionalizálásában.

A munka a függvény alábbi tulajdonságait veszi figyelembe: a függvény definíciós tartománya; funkció tartomány; egy függvény monotonitásának tulajdonságai; függvény konvexitásának tulajdonságai; páros és páratlan függvények tulajdonságai.

A munka célja: a nem szabványos egyenletek valamilyen osztályozásának elvégzése használatuk szerint általános tulajdonságok funkciókat, írja le az egyes tulajdonságok lényegét, adjon javaslatokat a használatára, használati utasítást.

Minden munkát az egyes évek egyesített államvizsgán javasolt konkrét problémák megoldása kísér.

1. fejezet A függvény definíciós tartománya fogalmának használata.

Mutassunk be néhány kulcsfontosságú definíciót.

Az y = f(x) függvény definíciós tartománya az x változó azon értékkészlete, amelyre a függvénynek értelme van.

Legyen adott az f(x) = g(x) egyenlet, ahol f(x) és g(x) elemi függvények, a D1, D2 halmazokon meghatározott. Ekkor az egyenlet megengedett értékeinek D tartománya egy halmaz lesz, amely x azon értékeiből áll, amelyek mindkét halmazhoz tartoznak, azaz D = D1∩ D2. Nyilvánvaló, hogy ha a D halmaz üres (D= ∅), akkor az egyenletnek nincs megoldása. (1. számú melléklet).

1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.

ODZ:-1 =0⇔-3

Válasz: nincsenek megoldások.

2. (x2-4x+3 +1)log5x5 + 1x(8x-2x2-6 + 1) = 0.

ODZ: x2-4x+3>=0,x>0,8x-2x2-6>=0⇔x∈(-végtelen;1∪ 3;végtelen),x>01

Ellenőrizze: x = 1.

(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,

0 = 0 - igaz.

x = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 - hibás.

Gyakran elégségesnek bizonyul, ha nem a függvény definíciójának teljes tartományát veszi figyelembe, hanem csak annak részhalmazát, amelyen a függvény bizonyos feltételeknek megfelelő értékeket vesz fel (például csak nem negatív értékeket).

1. x+27-x(x-9 +1) = 1.

ODZ: x-9>=0, x>=9.

x>=9 x+2>0, 7-x 0 esetén tehát az egyenlet bal oldalán lévő három tényező szorzata negatív, az egyenlet jobb oldala pedig pozitív, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs megoldásokat.

Válasz: ∅.

2. 3-x2+ x+2 = x-2.

ODZ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔

A megengedett értékek halmazán az egyenlet bal oldala pozitív, a jobb oldala negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs megoldása.

Válasz: nincsenek megoldások.

2. fejezet A függvénytartomány fogalmának használata.

Az y = f(x) függvény értéktartománya az y változó értékeinek halmaza elfogadható értékeket x változó.

Egy y = f(x) függvényt lent (ill. fent) korlátosnak mondunk az X halmazon, ha létezik olyan M szám, amelyre az fx>=M egyenlőtlenség fennáll X-re (ill. fx)

Egy y = f(x) függvényt egy adott intervallumon korlátosnak nevezünk (amely a definíciós tartományában van), ha van olyan M >0 szám, hogy az ehhez az intervallumhoz tartozó argumentum minden értékére az f(x) egyenlőtlenség ) tartja magát

Legyen adott az f(x) = g(x) egyenlet, ahol g(x) a D1, D2 halmazokon definiált elemi függvények. Jelöljük ezeknek a függvényeknek a variációs tartományát E1-vel, illetve E2-vel. Ha x1 az egyenlet megoldása, akkor az f(x1) = g(x1) numerikus egyenlőség érvényesül, ahol f(x1) az f(x) függvény értéke x = x1-nél, és g(x1) a g(x) függvény értéke x = x1-nél. Ez azt jelenti, hogy ha az egyenletnek van megoldása, akkor az f(x) és g(x) függvények tartományának közös elemei vannak (E1∩E2 !=∅). Ha az E1 és E2 halmazok nem tartalmaznak ilyen közös elemeket, akkor az egyenletnek nincs megoldása.

Az alapvető egyenlőtlenségeket a kifejezések értékelésére használják. (2. számú melléklet).

Legyen adott az f(x) = g(x) egyenlet. Ha f(x)>=0 és g(x)

1. x2+2xsinxy+1=0.

Megoldás. A bal oldalon van egy egység, ami azt jelenti, hogy használhatod az alapszintet trigonometrikus azonosság: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.

Az első három tag összege tökéletes négyzet:

(x+sinxy)2+cos2xy =0.

Következésképpen a bal oldalon a négyzetek összege van; akkor egyenlő nullával, ha a négyzetekben lévő kifejezések egyidejűleg nullával egyenlőek. Írjuk fel a rendszert: cosxy=0,x+sinxy=0.

Ha cosxy=0, akkor sinxy= +-1, ezért ez a rendszer egyenértékű két rendszer kombinációjával: x+1=0,cosxy=0 vagy x-1=0,cosxy=0.

Megoldásuk x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z és x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z számpárok.

Válasz: x=1, y = PI 2 + PIm, m∈Z és x=-1, y = PI 2 + PIm, m∈Z.

Ha az X intervallumon legmagasabb érték az y = f(x), y = g(x) függvények egyike egyenlő A és legkisebb érték egy másik függvény szintén egyenlő A-val, akkor az f(x) = g(x) egyenlet az X intervallumon ekvivalens az fx=A, gx=A egyenletrendszerrel.

1. Keresse meg a minden olyan értékét, amelyre az egyenletnek megoldása van

2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).

A t= 22x-x2 cseréje után a cos(2t+PI3)=a-12 egyenlethez jutunk.

A t=2m függvény növekszik, ami azt jelenti, hogy a legnagyobb m értéknél éri el a legnagyobb értékét. De m=2х - x a legnagyobb értéke 1. Ekkor tmax = 22·1-1=2. Így a t = 22x-x2 függvény értékkészlete az intervallum (0;2, a cos(2t+PI3) függvény pedig a -1;0,5 intervallum). Következésképpen az eredeti egyenletnek van megoldása azokra és csak azokra a értékekre, amelyek kielégítik az egyenlőtlenségeket -1Válasz: -12. Oldja meg a (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5 egyenletet!

A nyilvánvaló egyenlőtlenségek felhasználásával

Válasz: x= - 5+32, ha a=1+32 és x=-5+32, ha a= 1-32.

Más egyenleteket részletesebben is megvizsgálhat. (3. számú melléklet).

3. fejezet Függvény monotonitási tulajdonságának használata.

Egy y = f(x) függvényről azt mondjuk, hogy növekszik (illetve csökken) egy X halmazon, ha ezen a halmazon az argumentum növekedésével a függvény értékei nőnek (illetve csökkennek).

Más szóval, az y = f(x) függvény növekszik az X halmazon, ha x1∈X, x2∈X és x1-ből. Ezen a halmazon csökken, ha x1∈X, x2∈X és x1 f(x2) értékekből.

Egy y = f(x) függvényről azt mondjuk, hogy nem szigorúan növekvő (illetve nem szigorúan csökkenő) az X-en, ha x1∈X, x2∈X és x1=f(x2)).

Az X-en növekvő és csökkenő függvényeket X-en monotonnak, az X-en nem szigorúan növekvő vagy csökkenő függvényeket pedig X-en nem szigorúan monotonnak nevezzük.

A függvények monotonitásának bizonyítására a következő állításokat használjuk:

1. Ha egy f függvény növekszik egy X halmazon, akkor tetszőleges C szám esetén az f + C függvény is nő X-en.

2. Ha az f függvény növekszik az X halmazon és C > 0, akkor a Cf függvény X-en is nő.

3. Ha egy f függvény növekszik egy X halmazon, akkor a - f függvény ezen a halmazon csökken.

4. Ha egy f függvény növekszik az X halmazon, és megtartja az előjelet az X halmazon, akkor az 1f függvény ezen a halmazon csökken.

5. Ha az f és g függvények nőnek egy X halmazon, akkor f+g összegük is nő ezen a halmazon.

6. Ha az f és g függvények növekvőek és nem negatívak az X halmazon, akkor az fg szorzatuk is növekszik X-en.

7. Ha az f függvény növekvő és nem negatív az X és n halmazon - természetes szám, akkor az fn függvény is X-szel nő.

8. Ha mind az f(x) és g(x) függvény növekszik, vagy mindkettő csökken, akkor a h(x) = f(g(x)) függvény növekvő függvény. Ha az egyik funkció növekszik. A másik pedig csökkenő, akkor h(x) = f(g(x)) csökkenő függvény.

Fogalmazzunk meg tételeket az egyenletekről.

1. tétel.

Ha az f(x) függvény monoton az X intervallumon, akkor az f(x) = C egyenletnek legfeljebb egy gyöke van az X intervallumon.

2. tétel.

Ha az f(x) függvény monoton az X intervallumon, akkor az f(g(x)) = f(h(x)) egyenlet az X intervallumon ekvivalens a g(x) = h(x) egyenlettel. .

3. tétel.

Ha az f(x) függvény növekszik az X intervallumon, és g(x) csökken az X intervallumon, akkor a g(x) = f(x) egyenletnek legfeljebb egy gyöke van az X intervallumon.

4. tétel.

Ha az f(x) függvény növekszik az X intervallumon, akkor az f(f(x)) = x egyenlet az X intervallumon ekvivalens az f(x) = x egyenlettel.

1. Keresse meg a minden olyan értékét, amelyre az egyenletnek pontosan három gyöke van

4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.

Megoldás. Alakítsuk át ezt az egyenletet formává

2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).

Ha feltesszük u = x2-2x, v=2x-a-1, akkor az egyenlethez jutunk

2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).

Az f (t) = 2tlog3(t+3) függvény t >-2 esetén monoton növekszik, így az utolsó egyenletből az u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1) ekvivalensre juthatunk. )2=2x -a.

Ennek az egyenletnek, amint az az ábrán látható, pontosan három gyöke van a következő esetekben:

1. Az y = 2x-a függvény gráfjának csúcsa az y = (x-1)2 parabola csúcsánál helyezkedik el, ami a = 1-nek felel meg;

2. Az y = 2x-a gráf bal oldali sugara érinti a parabolát, a jobb oldali pedig két pontban metszi; ez lehetséges a=12-vel;

3. A jobb oldali sugár érinti, a bal oldali pedig metszi a parabolát, ami akkor következik be, ha a=32.

Magyarázzuk meg a második esetet. A bal oldali sugár egyenlete y = 2a-2x, annak lejtő egyenlő -2. Ezért a parabola érintőjének szögegyütthatója egyenlő

2(x -1) = -2 ⇒ x = 0 és az érintőpontnak vannak koordinátái (0; 1). Abból a feltételből, hogy ez a pont a sugárhoz tartozik, azt kapjuk, hogy a=12.

A harmadik esetet hasonlóan, vagy szimmetria-megfontolások alkalmazásával tekinthetjük.

Válasz: 0,5; 1;1.5.

Részletesebben megvizsgálhatunk más egyenleteket. (4. sz. melléklet).

4. fejezet A konvexitás tulajdonságainak használata.

Legyen egy f(x) függvény definiálva egy X intervallumon, szigorúan konvexnek nevezzük lefelé (felfelé) X-en, ha bármely u és v esetén X-ből u!=v és 0

Geometriailag ez azt jelenti, hogy a BC húr bármely pontja (azaz a B(u;f(u)) és C(v;f(v) pontokban végződő szakasz) a B és C pontoktól eltérő (alul) az azonos argumentumértéknek megfelelő f(x) függvény pontja És grafikonja (5. sz. melléklet).

Azokat a függvényeket, amelyek felfelé és lefelé szigorúan konvexek, szigorúan konvexnek nevezzük.

A következő állítások igazak.

1. tétel.

Legyen az f(x) függvény szigorúan lefelé konvex az X, u ,v ∈X, u intervallumon

A következő állítás az 1. tételből következik.

2. tétel.

Ha az f(x) függvény szigorúan konvex az X intervallumon, akkor az u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) függvények olyanok, hogy minden x esetén az f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) ODZ egyenletekből az u(x), v(x), u1(x), v1(x) értékeik X-ben található, és az u feltétel teljesül +v = u1 +v1, akkor az f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) egyenlet az ODZ-n ekvivalens az u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3) egyenletek.

1. 41-sin4x+41-cos4x=412.

Megoldás. Ha beállítjuk, hogy fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, akkor ez az egyenlet (1) formában lesz felírva. Mivel f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7, ezért az fx függvény szigorúan konvex felfelé a -1;1 szakaszon. Nyilvánvalóan a maradék A feltételek teljesülnek. 2. Tétel, és ezért az egyenlet ekvivalens a cos2x = 0,5, x = PI4 +PIk2 egyenlettel, ahol k∈Z.

Válasz: x = PI4 +PIk2, ahol k∈Z.

3. tétel.

Legyen az fx függvény szigorúan konvex az X és u,v, λv+(1-λ)u∈X intervallumon. Ekkor az f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) egyenlőség akkor és csak akkor érvényes, ha u=v vagy λ=0, vagy λ=1 .

Példák: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.

Az egyenlet alakja (4), ha fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.

Nyilvánvaló, hogy az fx függvény szigorúan konvex lefelé az R-en. Ezért a 3. tétel szerint az eredeti egyenlet ekvivalens a sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x egyenletekkel.

Innen azt kapjuk, hogy megoldásai PIk2, PI12+PIn3 lesznek, ahol k,n∈Z.

Válasz: PIk2, PI12+PIn3, ahol k,n∈Z.

A konvexitási tulajdonságokat a megoldásban és egyebekben használják összetett egyenletek. (6. sz. melléklet).

5. fejezet Függvények páros vagy páratlan tulajdonságainak használata.

Az fx függvény akkor is meghívásra kerül, ha bármely, a függvény definíciós tartományából vett x értékre az -x érték is a definíciós tartományba tartozik, és fennáll az f-x = fx egyenlőség. Egy fx függvényt páratlannak nevezünk, ha bármely, a függvény definíciós tartományából vett x értékre az -x érték is a definíciós tartományba tartozik, és fennáll az f-x = - fx egyenlőség.

A definícióból az következik, hogy a páros és páratlan függvények tartományai szimmetrikusak a nullára (szükséges feltétel).

A definíciós tartományból származó argumentum bármely két szimmetrikus értékére a páros függvény egyenlő számértékek, és páratlan - egyenlő in abszolút érték, hanem ellenkező előjelű.

1. tétel.

Két páros függvény összege, különbsége, szorzata és hányadosa páros függvény.

2. tétel.

Két páratlan függvény szorzata és hányadosa a egyenletes funkciókat.

Legyen az F(x)=0 egyenlet, ahol F(x) páros vagy páratlan függvény.

Az F(x) = 0 egyenlet megoldásához, ahol F(x) páros vagy páratlan függvény, elegendő pozitív (vagy negatív) gyököket találni, amelyek szimmetrikusak a kapottakkal, és páratlan függvény a gyökér x = 0, ha ez az érték az F(x) tartományán belül van. Páros függvény esetén az x = 0 értéket az egyenletbe való közvetlen behelyettesítéssel ellenőrizzük.

Az egyenlet mindkét oldalán páros függvényeink vannak. Ezért elég megoldást találni x>=0-ra. Mivel x=0 nem gyöke az egyenletnek, tekintsünk két intervallumot: (0;2, 2;végtelen.

a) A (0;2) intervallumon van:

8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.

b) A 2;végtelen intervallumon van:

8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.

De mivel x = 0 nem gyöke az egyenletnek, akkor x>0 esetén ennek az egyenletnek x = 43 gyöke. Ekkor x = - 43 is az egyenlet gyöke.

Válasz: 43; - 43.

A szerző úgy véli, hogy a munkát az általános műveltségi típusú tanárok és tanulók használhatják tanórán kívüli tevékenységek, felkészülés Matematikai olimpiák, letette az egységes államvizsgát, belépő vizsgák a műszaki iskolákba.

Cél: vizsgáljuk meg a ZNO problémáit funkcionális-grafikus módszerekkel egy példán keresztül exponenciális függvény y = a x, a>0, a1

Az óra céljai:

• 
  ismételje meg az exponenciális függvény monotonitásának és korlátozottságának tulajdonságát;
• 
  ismételje meg a függvénygráfok transzformációkkal történő felépítésének algoritmusát;
• 
  találjon sok értéket és sok definíciót egy függvénynek a képlet típusa szerint és grafikon használatával;
• 
  döntsd el exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek és rendszerek gráfokat és függvények tulajdonságait használva.
• 
  modult tartalmazó függvénygráfokkal való munka;
• 
  nézd meg a grafikonokat összetett funkcióés ezek értéktartománya;

Az órák alatt:

1. A tanár bevezető beszéde. Motiváció a téma tanulmányozására

1. dia Exponenciális függvény. „Funkcionális-grafikus módszerek egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására”

A funkcionális-grafikus módszer grafikus illusztrációk használatán, egy függvény tulajdonságainak alkalmazásán alapul, és számos matematikai probléma megoldását teszi lehetővé.

2. dia Az óra céljai

Ma funkcionális-grafikus módszerekkel, az y = a x, a>o, a1 exponenciális függvény példáján keresztül vizsgáljuk meg a különböző bonyolultságú ZNO problémákat. Grafikus program segítségével illusztrációkat készítünk a feladatokhoz.

3. dia Miért olyan fontos ismerni az exponenciális függvény tulajdonságait?

• 
  Az exponenciális függvény törvénye szerint a Földön minden élőlény szaporodna, ha ehhez kedvező feltételek lennének, pl. nem voltak természetes ellenségei és bőven volt élelem. Ennek bizonyítéka a nyulak terjedése Ausztráliában, amelyek korábban nem voltak ott. Elég volt néhány egyedet elengedni, és egy idő után utódaik nemzeti katasztrófává váltak.
• 
  A természetben, a technológiában és a közgazdaságtanban számtalan olyan folyamat létezik, amelyek során egy mennyiség értéke ugyanannyiszor változik, pl. az exponenciális függvény törvénye szerint. Ezeket a folyamatokat folyamatoknak nevezzük szerves növekedés vagy szerves csillapítás.
• 
  Például, bakteriális növekedés ideális körülmények között megfelel a szerves növekedés folyamatának; anyagok radioaktív bomlása– az organikus csillapítás folyamata.
• 
  Az organikus növekedés törvényei szerint betét növekedése a Takarékpénztárnál, hemoglobin helyreállítása donor vagy sebesült vérében, aki sok vért veszített.
• 
  Mondja el a példáit
• 
  Jelentkezés be való élet(a gyógyszer adagja).

Üzenet a gyógyszeradagolásról:

Mindenki tudja, hogy az orvos által a kezelésre javasolt tablettákat naponta többször kell bevenni, különben hatástalanok lesznek. A vér állandó koncentrációjának fenntartása érdekében a gyógyszer újbóli beadásának szükségességét a gyógyszer szervezetben történő megsemmisülése okozza. Az ábra azt mutatja, hogy a legtöbb esetben miként változik a gyógyszerek koncentrációja egy személy vagy állat vérében egyetlen beadás után. 4. dia.

A gyógyszerkoncentráció csökkenése egy olyan exponenciálissal közelíthető meg, amelynek kitevője tartalmazza az időt. Nyilvánvaló, hogy a szervezetben a gyógyszer pusztulási sebességének arányosnak kell lennie az anyagcsere-folyamatok intenzitásával.

Van egy tragikus eset, ami ennek a függőségnek a tudatlansága miatt következett be. VAL VEL tudományos szempont Az LSD gyógyszer, amely normális emberekben sajátos hallucinációkat okoz, nagyon érdekes a pszichiáterek és a neurofiziológusok számára. Egyes kutatók úgy döntöttek, hogy megvizsgálják az elefánt reakcióját erre a gyógyszerre. Ehhez felvették a macskákat dühítő LSD-mennyiséget, és megszorozták azzal, hogy az elefánt tömege hányszor nagyobb, mint egy macska tömege, úgy gondolva, hogy a beadott gyógyszer dózisának egyenesen arányosnak kell lennie a tömeggel. az állatról. Ha ekkora adag LSD-t fecskendeztek egy elefántba, az 5 percen belül elpusztult, amiből a szerzők arra a következtetésre jutottak, hogy az elefántok túlérzékenyek erre a szerre. Erről a munkáról később a sajtóban megjelent recenziót a kísérlet szerzői „elefántszerű tévedésnek” nevezték.

2. A tanulók tudásának frissítése.

• 
  Mit jelent egy függvény tanulmányozása? (definíciót megfogalmazni, tulajdonságokat leírni, grafikont rajzolni)
• 
  Melyik függvényt nevezzük exponenciálisnak? Adj egy példát.
• 
  Milyen alapvető tulajdonságait ismeri az exponenciális függvénynek?
• 
  Jelentősségi kör (korlátozottság)
• 
  tartomány
• 
  monotonitás (növekedés és csökkenés állapota)
• 
  5. dia . Különféle függvényértékek megadása (a kész rajz szerint)

• 
  6. dia. Nevezze meg a növekvő és csökkenő függvény feltételét, és kösse össze a függvény képletét a grafikonjával!

• 
  7. dia. Az elkészült rajz alapján írja le a függvénygráfok felépítésének algoritmusát!

a) dia y=3 x + 2

b) y=3 x-2 – 2

3.Diagnosztikai önálló munkavégzés(PC használatával).

Az osztály két csoportra oszlik. Az óra fő része tesztfeladatokat végez. Az erős tanulók összetettebb feladatokat látnak el.

• 
  Önálló munka a programbanErő pont(az osztály fő részére típus szerint tesztfeladatokat a ZNO-tól zárt válaszlappal)
  1. 
     Melyik exponenciális függvény növekszik?
  2. 
     Keresse meg a függvény definíciós tartományát.
  3. 
     Keresse meg a függvény tartományát.
  4. 
     A függvény grafikonját az exponenciális függvény grafikonjából kapjuk párhuzamos transzlációval a tengely mentén... egységekkel...
  5. 
     A kész rajz segítségével határozza meg a függvény definíciós és értéktartományát
  6. 
     Határozzuk meg, hogy az exponenciális függvény milyen értéken halad át a ponton!
  7. 
     Melyik ábra mutatja egynél nagyobb bázisú exponenciális függvény grafikonját?
  8. 
     Párosítsa a függvény grafikonját a képlettel!
  9. 
     Ennek az egyenlőtlenség grafikus megoldása az ábrán látható.
  10. 
      Oldja meg az egyenlőtlenséget grafikusan (a kész rajz segítségével)
• 
  Önálló munka (az osztály erős részének)

• 
  8. dia. Írja fel egy függvény gráfjának elkészítésének algoritmusát, nevezze meg definíciós tartományát, értéktartományát, növekedési és csökkenési intervallumait!

• 
  9. dia. Kösd össze a függvényképletet a grafikonjával!

)

A tanulók hibajavítás nélkül ellenőrzik válaszaikat, az önálló munkát a tanárnak adjuk át

• 
  10. dia. Válaszok tesztfeladatokra

1) D 2) B 3) C 4) A

5) D 6) C 7) B 8) 1-G 2-A 3-C 4- B

9) A 10) (2;+). )

• 
  11. dia (8. ellenőrzési feladat)

Az ábrán az exponenciális függvények grafikonjai láthatók. Párosítsa a függvény grafikonját a képlettel!

4. Tanulmány új téma. A funkcionális-grafikus módszer alkalmazása egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek megoldására, komplex függvény értéktartományának meghatározására

12. dia Funkcionálisan grafikus módszer egyenletek megoldására

Az f(x)=g(x) alakú egyenlet funkcionális megoldása grafikus módszer kell:

Szerkessze meg az y=f(x) és y=g(x) függvények gráfjait ugyanabban a koordinátarendszerben.

Határozza meg ezen függvények grafikonjainak metszéspontjának koordinátáit!

Írd le a választ.

1. FELADAT EGYENLETEK MEGOLDÁSA

13. dia.

• 
  Van az egyenletnek gyöke, és ha igen, akkor pozitív vagy negatív?

• 
  6 x = 1/6

• 
  (4/3) x = 4

14. DIA

5. Gyakorlati munka végzése.

15. dia.

Ez az egyenlet megoldható grafikusan. A tanulókat megkérjük, hogy fejezzék be a feladatot, majd válaszoljanak a következő kérdésre: „Szükséges-e függvénygráfokat készíteni ennek az egyenletnek a megoldásához?” Válasz: „A függvény növekszik a teljes definíciós tartományban, és a függvény csökken. Következésképpen az ilyen függvények grafikonjainak legfeljebb egy metszéspontja van, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek legfeljebb egy gyöke van. A kiválasztással azt találjuk, hogy „.

• 
  Oldja meg az egyenletet:

3 x = (x-1) 2 + 3

16. dia. .Megoldás: Az egyenletek megoldásához a funkcionális módszert használjuk:

mert ennek a rendszernek egyedi megoldása van, akkor a kiválasztási módszerrel x = 1-et találunk

2. FELADAT EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA

A grafikus módszerek lehetővé teszik a különböző függvényeket tartalmazó egyenlőtlenségek megoldását. Ehhez az egyenlőtlenség bal és jobb oldalán lévő függvények grafikonjainak elkészítése és a gráfok metszéspontjának abszcisszájának meghatározása után meg kell határozni azt az intervallumot, amelyben az egyik gráf összes pontja található. fent (a második 0 pontja alatt.

• 
  Az egyenlőtlenség megoldása:

17. dia.

a) cos x 1 + 3 x

1. dia 8. Megoldás:

Válasz: ( ; )

Oldja meg az egyenlőtlenséget grafikusan!

19. dia.

(Az exponenciális függvény grafikonja az egyenlet jobb oldalára írt függvény fölött van.)

Válasz: x>2. RÓL RŐL

.
Válasz: x>0.

3. FELADAT Az exponenciális függvény a modulusjelet tartalmazza a kitevőben.

Ismételjük meg a moduldefiníciót.

(írd a táblára)

20. dia.

Jegyezze fel a füzetébe:

1).

2).

A dián egy grafikus illusztráció látható. Magyarázza el, hogyan készülnek a grafikonok.

21. dia.

Ennek az egyenletnek a megoldásához emlékeznie kell az exponenciális függvény korlátosságának tulajdonságára. A függvény értékeket vesz fel > 1, a-1 > 1, ezért az egyenlőség csak akkor lehetséges, ha az egyenlet mindkét oldala egyszerre egyenlő 1-gyel. Ez azt jelenti, hogy ezt a rendszert megoldva azt kapjuk, hogy x = 0.

4. FELADAT Egy komplex függvény értéktartományának megkeresése.

22. dia.

Grafikonkészítés képességének felhasználása másodfokú függvény, határozza meg szekvenciálisan a parabola csúcsának koordinátáit, keresse meg az értéktartományt.

23. dia.

, a parabola csúcsa.

Kérdés: határozza meg a függvény monotonitásának természetét.

Az y = 16 t exponenciális függvény növekszik, mivel 16>1.

Egy ilyen megoldás pontossága kicsi, de egy gráf segítségével intelligensen kiválasztható az első közelítés, amelyből az egyenlet további megoldása indul. Az egyenletek grafikus megoldásának két módja van.

Első út . Az egyenlet összes tagja átkerül a bal oldalra, azaz. Az egyenletet f(x) = 0 formában adjuk meg. Ezt követően elkészítjük az y = f(x) függvény grafikonját, ahol f(x) az egyenlet bal oldala. Az y = f(x) függvény grafikonjának a tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán Ökörés az egyenlet gyökerei, mert ezeken a pontokon y = 0.

Második út . Az egyenlet minden tagját két csoportra osztjuk, az egyiket az egyenlet bal oldalára, a másikat a jobb oldalra írjuk, i.e. ábrázoljuk j(x) = g(x) formában. Ezt követően két y = j(x) és y = g(x) függvény grafikonját ábrázoljuk. Ennek a két függvénynek a grafikonjainak metszéspontjainak abszcisszán szolgálnak ennek az egyenletnek a gyökerei. Legyen a gráfok metszéspontja x o abszcissza, mindkét gráf ordinátája ebben a pontban egyenlő egymással, azaz. j(x o) = g(x o). Ebből az egyenlőségből az következik, hogy x 0 az egyenlet gyöke.

Gyökér elválasztás

Az egyenlet gyökereinek közelítő értékeinek megtalálásának folyamata két szakaszra oszlik:

1) a gyökerek elválasztása;

2) a gyökerek finomítása adott pontossággal.

Az f(x) = 0 egyenlet x gyökét tekintjük elválasztott azon az intervallumon, ha az f(x) = 0 egyenletnek nincs más gyöke ezen az intervallumon.

A gyökerek szétválasztása azt jelenti, hogy az elfogadható értékek teljes tartományát szegmensekre osztják, amelyek mindegyike egy gyökeret tartalmaz.

A gyökérszétválasztás grafikus módszere - ebben az esetben ugyanúgy járjunk el, mint a grafikus egyenletek megoldásánál.

Ha a görbe érinti az x tengelyt, akkor ezen a ponton az egyenletnek kettős gyöke van (például az x 3 - 3x + 2 = 0 egyenletnek három gyöke van: x 1 = -2; x 2 = x 3 = 1 ).

Ha az egyenletnek háromszoros valós gyöke van, akkor a tengellyel való érintkezési pontban x az y = f(x) görbének van egy inflexiós pontja (például az x 3 - 3x 2 + 3x - 1 = 0 egyenletnek van gyöke x 1 = x 2 = x 3 = 1).

Analitikus gyökérleválasztási módszer . Ehhez használja a függvények néhány tulajdonságát.

1. tétel . Ha az f(x) függvény folytonos egy szakaszon, és ennek a szakasznak a végein különböző előjelű értékeket vesz fel, akkor a szegmensen belül van legalább egy gyöke az f(x) = 0 egyenletnek.

2. tétel. Ha az f(x) függvény folytonos és monoton egy szakaszon, és a szegmens végén különböző előjelű értékeket vesz fel, akkor a szegmens tartalmazza az f(x) = 0 egyenlet gyökét, és ez a gyök egyedi. .

3. tétel . Ha az f(x) függvény folytonos egy szakaszon, és ennek a szegmensnek a végein különböző előjelű értékeket vesz fel, és az f "(x) derivált állandó előjelet tart fenn a szakaszon belül, akkor a szegmensen belül van egy az f(x) = 0 egyenlet gyöke és ráadásul egy egyedi.

Ha az f(x) függvényt analitikusan adjuk meg, akkor a függvény létezési tartománya (definíciós tartománya). az argumentum mindazon valós értékeinek halmaza, amelyekre a függvényt meghatározó analitikus kifejezés nem veszíti el numerikus jelentését, és csak valós értékeket vesz fel.

Az y = f(x) függvényt meghívjuk növekvő , ha az argumentum növekedésével a függvény értéke nő, és csökkenő , ha az argumentum növekedésével a függvény értéke csökken.

A függvényt hívják monoton , ha egy adott intervallumban vagy csak nő, vagy csak csökken.

Legyen az f(x) függvény folytonos a szakaszon, és vegyen fel különböző előjelű értékeket a szakasz végén, az f "(x) derivált pedig állandó előjelet tart fenn az intervallumon. Ekkor ha a szakasz minden pontján az első derivált intervallum pozitív, azaz f "(x) >0, akkor az f(x) függvény ebben az intervallumban növeli . Ha az intervallum minden pontján az első derivált negatív, azaz. f "(x)<0, то функция в этом интервале csökken .

Legyen az f(x) függvénynek egy intervallumon egy másodrendű deriváltja, amely állandó előjelet tart fenn a teljes intervallumon keresztül. Ekkor ha f ""(x)>0, akkor a függvény grafikonja az domború lefelé ; ha f ""(x)<0, то график функции является domború felfelé .

Azokat a pontokat, amelyekben egy függvény első deriváltja egyenlő nullával, valamint azokat, amelyekben nem létezik (például végtelenbe fordul), de a függvény fenntartja a folytonosságát, nevezzük. kritikai .

Eljárás a gyökerek szétválasztására az analitikai módszerrel:

1) Keresse meg f "(x) - az első derivált.

2) Készítsen táblázatot az f(x) függvény előjeleiről, feltételezve! x egyenlő:

a) a származékos vagy a hozzájuk legközelebb eső kritikus értékei (gyökerei);

b) határértékek (az ismeretlen megengedett értékeinek tartománya alapján).

Példa. Válasszuk szét a 2 x - 5x - 3 = 0 egyenlet gyökeit.

Van f(x) = 2 x - 5x - 3 . Az f(x) függvény definíciós tartománya a teljes numerikus tengely.

Számítsuk ki az első derivált f "(x) = 2 x ln(2) - 5.

Ezt a deriváltot nullával egyenlővé tesszük:

2 x log(2) - 5 = 0 ; 2 x log(2) = 5; 2 x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .

Összeállítjuk az f(x) függvény előjeleinek táblázatát, feltételezve x egyenlő: a) kritikus értékekkel (a származék gyökerei) vagy a legközelebbi értékekkel; b) határértékek (az ismeretlen megengedett értéktartománya alapján):

Az egyenlet gyökerei a (-1,0) és (4,5) intervallumokban találhatók.

Az egyenlet megoldására szolgáló grafikus módszer ötlete egyszerű. Meg kell alkotni az egyenlet mindkét oldalán található függvények grafikonjait, és meg kell találni a metszéspontok abszcisszáját. Néhány függvény grafikus ábrázolása azonban nehéz. Nem mindig van szükség grafikonok ábrázolására, az ilyen egyenletek megoldhatók gyökszelekciós módszerrel, a függvények monotonitása és korlátossága tulajdonságaival. Ez lehetővé teszi az egységes államvizsga letételekor felkínált feladatok meglehetősen gyors megoldását.

Letöltés:

Előnézet:

Önkormányzati oktatási intézmény

"24. számú gimnázium"

Funkcionális-grafikus módszer

Egyenletek megoldásai.

A tanár készítette

Danilina Olga Szergejevna.

Magadan 2007

« Funkcionális - grafikus módszer egyenletek megoldására"

Az óra célja: adott típusú egyenletek megoldási képességének fejlesztése funkcionális-grafikus módszerrel, a függvények korlátosságának és monotonitásának tulajdonságait felhasználva

Az óra felépítése:

Tanári bevezető beszéd, bevezető az óra témájába, cél kitűzése

A tanórai téma elsajátításához szükséges, korábban megszerzett ismeretek frissítése

Előadók prezentációja, amely új anyag bemutatását tartalmazza különféle egyenlettípusok megoldási mintáival

Dolgozz csoportokban a tanultak elsődleges megszilárdítása céljából

A játékhoz hasonló játék vezetése: „Mi? Ahol? Amikor?"

Összegezve a tanulságot.

1. A bevezető beszédben a tanár megosztja tapasztalatait az új módszerrel kapcsolatban. elsajátításának szükségességéről, jelentőségéről, a képességek további elsajátításának lehetőségéről beszél racionális döntésösszehasonlítások
2. Ismeretek aktualizálása:: növelő és csökkentő függvények, példák, monotonitás és korlátozott függvények tulajdonságai.
3. Új témakör bemutatása diákkal, amely elméleti anyagot vázol fel egyenletek megoldási példáival (lásd melléklet).
4. Csoportmunka: Minden csoport kap kártyákat feladatokkal, megoldási mintákkal és feladatokkal. Az órát vezető diáktanácsadók figyelemmel kísérik a feladatok menetét, és szükség esetén segítenek. A csoportban dolgozók munkavégzésük során olyan számítógépeket használhatnak, amelyekre egy speciális programmal konfigurálnak, amivel függvénygrafikonokat készíthetnek, ennek köszönhetően a nehéz helyzetekben a számítógép súgóként, illetve szemléletes demonstrálási lehetőségként használható. a megoldás helyessége és a választott módszer helyessége.
5. Védelem az elvégzett feladatok csoportjának képviselője által, multimédiás tábla segítségével, amely grafikus módszerrel szemlélteti az egyenletek megoldását, hogy megerősítse a teljesített feladat pontosságát. RA
6. A játék lebonyolítása. Csoportonként egy kérdés hangzik el a monitor képernyőjéről, amelyet előzőleg különböző iskolai tanárok rögzítettek, és egy perc jut a beszélgetésre, amely után a gyerekeknek meg kell adniuk indokolt válaszukat. Ezt követően az újonnan bekapcsolt képernyőről az előző kérdést feltevő tanár bemutatja válaszának egy változatát, így egy újonnan tanult témában az érvelés ismételt megismétlése, különösen a különböző emberek által kompetensen kiejtve, teremti meg a legkedvezőbb feltételeket az elsajátításhoz. új téma. (Lásd a mellékletet.)
7. Összegzés: A legjobb „öt szakértő, a legjobb játékos azonosítása.

Kérdések az osztályhoz;

Mit tanultál a mai órán?

Milyen egyenletek oldhatók meg a kiválasztási módszerrel?

Milyen függvénytulajdonságokat használunk ebben az esetben.

Kérdések a játék résztvevőihez:

Kedves szakértők, egy perc alatt találják meg ennek az egyenletnek a gyökerét, és bizonyítsák be, hogy ez az egyetlen.

Válasz: Két növekvő függvény összege növekvő függvény. y = - monoton növekszik, ezért az egyenletnek egy gyöke van, mert ennek a függvénynek a grafikonja egyszer metszi az y=3 egyenest. Ha x=1, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk. Válasz: x=1

Tisztelt szakértők, egy percben nevezzék meg azokat a függvényeket, amelyek az egyenlőtlenség mindkét oldalán szerepelnek, és találják meg ennek az egyenletnek a gyökerét!

Válasz: y = - a valós számok halmazán növekvő exponenciális függvény. y=6 - x egy lineáris függvény, a valós számok halmazán monoton csökken. Ez azt jelenti, hogy a függvények grafikonjai egy pontban metszik egymást, az egyenletnek egy gyöke van. Ha x=2, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk. Válasz: x=2

3. Tisztelt szakértők, már tudjátok, hogy az egyenletnek egyetlen gyöke van x=3. Egy percben válaszolja meg, hogy x mekkora értékeinél áll fenn az egyenlőtlenség.

Válasz: az egyenlőtlenség érvényes x Є-ra, mert ezen az intervallumon az y = függvény grafikonja az y = függvény grafikonja alatt helyezkedik el

4. Kedves szakértők, sok embernek nehézséget okoz az egyenlet megoldása. Egy perc alatt keresse meg ennek az egyenletnek a gyökerét, és bizonyítsa be, hogy egyedi.

Válasz: az x = -3 egyenlet gyöke egyedi, mert az egyenlet bal oldala csökkenő, jobb oldala pedig növekvő függvényt tartalmaz, ami azt jelenti, hogy a függvények grafikonjai egy pontban metszik egymást és az egyenlet egyetlen gyökér.

5. Kedves szakértők! Nehéz kérdéssel fordulok Önhöz. Könnyen megtalálhatja az egyenlet gyökerét. Bizonyítsd be, hogy ő az egyetlen. Válasz: x=1 az egyetlen gyökér.

Funkcionális - grafikus módszer egyenletek megoldására.

________________________________________________________________________

Az óra célja: Tanuljon meg egyenleteket megoldani helyettesítési módszerrel, a függvények monotonitása és korlátosságának tulajdonságait felhasználva.

_________________________________________________________________________

Referencia anyag

1. Egy függvényt növekvőnek (csökkenőnek) nevezünk egy X halmazon, ha ezen a halmazon az argumentum növekedésével (csökkenésével) a függvény értéke nő (csökken).

1. példa:

1. növekszik a funkciók

2. példa:

csökkennek a funkciók

Referencia anyag

2. Két növekvő függvény összege növekvő függvény.

Példa:

3. Két csökkenő függvény összege csökkenő függvény.