Az exponenciális egyenlőtlenségek típusai és megoldási módszerek. Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása: alapvető módszerek. Exponenciális egyenletek meghatározása

Ebben a leckében különféle exponenciális egyenlőtlenségeket fogunk megvizsgálni, és megtanuljuk megoldani őket a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldási technikája alapján.

1. Exponenciális függvény definíciója és tulajdonságai

Emlékezzünk vissza a definícióra és az alapvető tulajdonságokra exponenciális függvény. Ez a tulajdonságok, hogy a megoldás minden exponenciális egyenletekés egyenlőtlenségek.

Exponenciális függvény az alak függvénye, ahol az alap a fok, és itt x a független változó, argumentum; y a függő változó, függvény.

Rizs. 1. Az exponenciális függvény grafikonja

A grafikon a növekvő és a csökkenő kitevőket mutatja, illusztrálva az exponenciális függvényt egynél nagyobb, illetve egynél kisebb, de nullánál nagyobb bázissal.

Mindkét görbe áthalad a ponton (0;1)

Az exponenciális függvény tulajdonságai:

Tartomány: ;

Értéktartomány: ;

A funkció monoton, vel növekszik, vel csökken.

A monoton függvény minden egyes értékét egyetlen argumentumértékkel veszi fel.

Amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre növekszik, a függvény nulláról plusz végtelenre növekszik, azaz az argumentum adott értékeihez monoton növekvő függvényünk van (). Éppen ellenkezőleg, amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény végtelenről nullára csökken, azaz az argumentum adott értékeihez monoton csökkenő függvényünk van ().

2. A legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek, megoldási módszer, példa

A fentiek alapján bemutatunk egy módszert egyszerű exponenciális egyenlőtlenségek megoldására:

Az egyenlőtlenségek feloldásának technikája:

Egyenlítse ki a fokok alapjait;

Hasonlítsa össze a mutatókat úgy, hogy megtartja vagy megváltoztatja az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére.

Az összetett exponenciális egyenlőtlenségek megoldása általában abból áll, hogy a legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségekre redukáljuk őket.

Alapfokozat több mint egy, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség jele megmarad:

A jobb oldalt alakítsuk át a fok tulajdonságainak megfelelően:

A fokozat alapja kisebb egynél, az egyenlőtlenség előjelét meg kell fordítani:

Megoldásokért másodfokú egyenlőtlenség oldja meg a megfelelő másodfokú egyenletet:

Vieta tételével megtaláljuk a gyököket:

A parabola ágai felfelé irányulnak.

Így van megoldásunk az egyenlőtlenségre:

Könnyen kitalálható, hogy a jobb oldal egy hatványként ábrázolható, amelynek kitevője nulla:

A fokszám alapja nagyobb egynél, az egyenlőtlenség jele nem változik, kapjuk:

Emlékezzünk vissza az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának technikájára.

Tekintsük a tört-racionális függvényt:

Megtaláljuk a definíciós tartományt:

A függvény gyökereinek megkeresése:

A függvénynek egyetlen gyöke van,

Kiválasztjuk az állandó előjelű intervallumokat, és meghatározzuk a függvény előjeleit minden intervallumon:

Rizs. 2. Az előjel állandóságának intervallumai

Így megkaptuk a választ.

Válasz:

3. Standard exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Tekintsük az egyenlőtlenségeket azonos mutatókkal, de eltérő alapokon.

Az exponenciális függvény egyik tulajdonsága, hogy az argumentum bármely értékéhez szigorúan pozitív értékeket vesz fel, ami azt jelenti, hogy exponenciális függvényre osztható. Osszuk el az adott egyenlőtlenséget a jobb oldalával:

A fokozat alapja nagyobb egynél, az egyenlőtlenség jele megmarad.

Illusztráljuk a megoldást:

A 6.3. ábra a függvények és a grafikonokat mutatja. Nyilvánvaló, hogy ha az argumentum nagyobb, mint nulla, akkor a függvény grafikonja magasabb, ez a függvény nagyobb. Ha az argumentumértékek negatívak, a függvény lejjebb megy, kisebb. Ha az argumentum egyenlő, a függvények egyenlőek, ami azt jelenti adott pont megoldása is az adott egyenlőtlenségre.

Rizs. 3. Illusztráció például 4

Alakítsuk át az adott egyenlőtlenséget a fok tulajdonságai szerint:

Íme néhány hasonló kifejezés:

Osszuk fel mindkét részt:

Most folytatjuk a megoldást a 4. példához hasonlóan, mindkét részt elosztjuk a következővel:

A fokozat alapja nagyobb egynél, az egyenlőtlenség jele megmarad:

4. Exponenciális egyenlőtlenségek grafikus megoldása

6. példa - Oldja meg az egyenlőtlenséget grafikusan:

Nézzük meg a bal és a jobb oldalon lévő függvényeket, és készítsünk mindegyikhez grafikont.

A függvény exponenciális, és növekszik a teljes definíciós tartományban, azaz az argumentum összes valós értékénél.

A függvény lineáris, és a teljes definíciós tartományban csökken, azaz az argumentum összes valós értékére.

Ha ezek a függvények metszik egymást, vagyis a rendszernek van megoldása, akkor egy ilyen megoldás egyedi és könnyen kitalálható. Ehhez egész számok felett iterálunk ()

Könnyen belátható, hogy ennek a rendszernek a gyökere:

Így a függvények grafikonjai egy pontban metszik egymást egy argumentummal egyenlő.

Most választ kell kapnunk. Az adott egyenlőtlenség jelentése az, hogy a kitevőnek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie, mint lineáris függvény, vagyis hogy magasabb legyen vagy egybeessen vele. A válasz egyértelmű: (6.4. ábra)

Rizs. 4. Illusztráció például 6

Tehát különféle standard exponenciális egyenlőtlenségek megoldását vizsgáltuk. Ezután áttérünk a bonyolultabb exponenciális egyenlőtlenségek vizsgálatára.

Bibliográfia

Mordkovich A. G. Algebra és a matematikai elemzés kezdetei. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra és a matematikai elemzés kezdetei. - M.: Túzok. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. és munkatársai: Algebra és a matematikai elemzés kezdetei. - M.: Felvilágosodás.

Math. md. Matematika-ismétlés. com. Diffur. kemsu. ru.

Házi feladat

1. Algebra és az elemzés kezdetei, 10-11. osztály (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, 472., 473. sz.;

2. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

3. Oldja meg az egyenlőtlenséget.

Többségi döntés matematikai problémák valamilyen módon kapcsolódik a numerikus, algebrai vagy funkcionális kifejezések transzformációjához. A fentiek különösen érvényesek a döntésre. A matematika egységes államvizsga változataiban ez a típusú feladat különösen a C3 feladatot tartalmazza. A C3-as feladatok megoldásának megtanulása nemcsak abból a célból fontos sikeres teljesítés Egységes államvizsga, hanem azért is, mert ez a készség hasznos lesz a felsőoktatási matematika szakon.

A C3 feladatok elvégzésekor különféle típusú egyenleteket és egyenlőtlenségeket kell megoldania. Ezek között vannak racionális, irracionális, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, modulokat tartalmazó ( abszolút értékeket), valamint a kombinált is. Ez a cikk az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek fő típusait, valamint a megoldásukra szolgáló különféle módszereket tárgyalja. Olvasson más típusú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásáról a C3-as problémák megoldási módszereivel foglalkozó cikkek „” részében. Egységes államvizsga lehetőségek matematika.

Mielőtt elkezdenénk elemezni a konkrét exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, matematika oktatóként azt javaslom, hogy ecseteljen néhány elméleti anyagot, amelyre szükségünk lesz.

Exponenciális függvény

Mi az exponenciális függvény?

Az űrlap funkciója y = egy x, Ahol a> 0 és a≠ 1-et hívnak exponenciális függvény.

Alapvető az exponenciális függvény tulajdonságai y = egy x:

Egy exponenciális függvény grafikonja

Az exponenciális függvény grafikonja az kitevő:

Exponenciális függvények grafikonjai (kitevők)

Exponenciális egyenletek megoldása

Tájékoztató jellegű olyan egyenleteknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változó csak néhány hatvány kitevőjében található.

Megoldásokért exponenciális egyenletek ismernie kell és tudnia kell használni a következő egyszerű tételt:

1. tétel. Exponenciális egyenlet a f(x) = a g(x) (Ahol a > 0, a≠ 1) ekvivalens az egyenlettel f(x) = g(x).

Ezenkívül hasznos megjegyezni az alapvető képleteket és a fokozatokkal végzett műveleteket:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

1. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: A fenti képleteket és helyettesítéseket használjuk:

Ekkor az egyenlet a következőképpen alakul:

A kapott diszkriminátora másodfokú egyenlet pozitív:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek két gyökere van. Megtaláljuk őket:

Továbblépve a fordított helyettesítésre, a következőket kapjuk:

A második egyenletnek nincs gyökere, mivel az exponenciális függvény szigorúan pozitív az egész definíciós tartományban. Oldjuk meg a másodikat:

Az 1. Tételben elmondottakat figyelembe véve áttérünk az ekvivalens egyenletre: x= 3. Ez lesz a válasz a feladatra.

Válasz: x = 3.

2. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: korlátozások a területen elfogadható értékeket az egyenlet nem, mivel a radikális kifejezésnek bármilyen értékre van értelme x(exponenciális függvény y = 9 4 -x pozitív és nem egyenlő nullával).

Az egyenletet ekvivalens transzformációkkal oldjuk meg a szorzás és a hatványosztás szabályaival:

Az utolsó átmenetet az 1. Tétel szerint hajtottuk végre.

Válasz:x= 6.

3. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: az eredeti egyenlet mindkét oldala osztható 0,2-vel x. Ez az átmenet egyenértékű lesz, mivel ez a kifejezés bármely érték esetén nagyobb, mint nulla x(az exponenciális függvény definíciós tartományában szigorúan pozitív). Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

Válasz: x = 0.

4. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: az egyenletet elemire egyszerűsítjük ekvivalens transzformációkkal a cikk elején megadott hatványosztási és szorzási szabályok segítségével:

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 4-gyel x, mint az előző példában, egy ekvivalens transzformáció, mivel ezt a kifejezést egyik értéknél sem egyenlő nullával x.

Válasz: x = 0.

5. példa. Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: funkció y = 3x, amely az egyenlet bal oldalán áll, növekszik. Funkció y = —x Az egyenlet jobb oldalán lévő -2/3 csökken. Ez azt jelenti, hogy ha ezen függvények grafikonjai metszik egymást, akkor legfeljebb egy pont. Ebben az esetben könnyen kitalálható, hogy a grafikonok a pontban metszik egymást x= -1. Nem lesz más gyökere.

Válasz: x = -1.

6. példa. Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: ekvivalens transzformációkkal egyszerűsítjük az egyenletet, mindenhol szem előtt tartva, hogy az exponenciális függvény bármilyen érték esetén szigorúan nagyobb nullánál xés a cikk elején megadott hatványok szorzatának és hányadosának kiszámítási szabályait alkalmazva:

Válasz: x = 2.

Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Tájékoztató jellegű egyenlőtlenségeknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változót csak néhány hatvány kitevője tartalmazza.

Megoldásokért exponenciális egyenlőtlenségek a következő tétel ismerete szükséges:

2. tétel. Ha a> 1, akkor az egyenlőtlenség a f(x) > a g(x) egyenértékű egy azonos jelentésű egyenlőtlenséggel: f(x) > g(x). Ha 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) egyenértékű az ellenkező értelmű egyenlőtlenséggel: f(x) < g(x).

7. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás: Mutassuk be az eredeti egyenlőtlenséget a következő formában:

Osszuk el ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldalát 3 2-vel x, ebben az esetben (a függvény pozitivitása miatt y= 3 2x) az egyenlőtlenség jele nem változik:

Használjuk a helyettesítést:

Ekkor az egyenlőtlenség a következő formában jelenik meg:

Tehát az egyenlőtlenség megoldása az intervallum:

a fordított helyettesítésre lépve a következőket kapjuk:

Az exponenciális függvény pozitivitása miatt a bal oldali egyenlőtlenség automatikusan teljesül. A logaritmus jól ismert tulajdonságát felhasználva továbblépünk az ekvivalens egyenlőtlenségre:

Mivel a fokszám alapja egynél nagyobb szám, ekvivalens (a 2. tétel szerint) a következő egyenlőtlenségre való átmenet:

Szóval végre megérkeztünk válasz:

8. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás: A szorzás és a hatványosztás tulajdonságait felhasználva átírjuk az egyenlőtlenséget a következő alakba:

Vezessünk be egy új változót:

Ezt a helyettesítést figyelembe véve az egyenlőtlenség a következőképpen alakul:

A tört számlálóját és nevezőjét 7-tel megszorozva a következő ekvivalens egyenlőtlenséget kapjuk:

Tehát a változó következő értékei kielégítik az egyenlőtlenséget t:

Ezután a fordított helyettesítésre áttérve a következőket kapjuk:

Mivel a fokszám alapja itt nagyobb egynél, az egyenlőtlenségre való átmenet ekvivalens lesz (a 2. tétel szerint):

Végre megkapjuk válasz:

9. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk a következő kifejezéssel:

Mindig nagyobb, mint nulla (az exponenciális függvény pozitivitása miatt), így az egyenlőtlenség jelét nem kell megváltoztatni. Kapunk:

t az intervallumban található:

Továbblépve a fordított helyettesítésre, azt találjuk, hogy az eredeti egyenlőtlenség két esetre oszlik:

Az első egyenlőtlenségnek az exponenciális függvény pozitivitása miatt nincs megoldása. Oldjuk meg a másodikat:

10. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás:

Parabola ágak y = 2x+2-x 2 lefelé irányul, ezért felülről korlátozza az az érték, amelyet a csúcsánál elér:

Parabola ágak y = x 2 -2x Az indikátor +2-je felfelé irányul, ami azt jelenti, hogy alulról az az érték korlátozza, amelyet a csúcsánál elér:

Ugyanakkor a függvény alulról is korlátosnak bizonyul y = 3 x 2 -2x+2, ami az egyenlet jobb oldalán található. Célját eléri legalacsonyabb érték ugyanabban a pontban, mint a parabola a kitevőben, és ez az érték egyenlő 3 1 = 3. Tehát az eredeti egyenlőtlenség csak akkor lehet igaz, ha a bal oldali és a jobb oldali függvény 3-mal egyenlő értéket vesz fel. ugyanabban a pontban (a metszéspontnál ezeknek a függvényeknek az értéktartománya csak ez a szám). Ez a feltétel egyetlen ponton teljesül x = 1.

Válasz: x= 1.

Hogy megtanuljak dönteni exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, ezek megoldásában folyamatosan edzeni kell. Különféle dolgok segíthetnek ebben a nehéz feladatban. módszertani kézikönyvek, feladatkönyvek elemi matematikából, versenyfeladat-gyűjtemények, iskolai matematika órák, valamint egyéni foglalkozások profi oktatóval. Őszintén kívánok sok sikert a felkészüléshez és a vizsgán kiváló eredményeket.

Szergej Valerievich

P.S. Kedves Vendégeink! Kérjük, ne írjon kéréseket az egyenletek megoldására a megjegyzésekben. Sajnos erre végképp nincs időm. Az ilyen üzenetek törlődnek. Kérjük, olvassa el a cikket. Talán olyan kérdésekre talál választ, amelyek nem tették lehetővé, hogy önállóan megoldják a feladatot.

Azaz kötelező exponenciális egyenletrendszer megoldása során? Biztosan, átalakítás ezt a rendszert egyszerű egyenletrendszerbe.

Példák.

Egyenletrendszerek megoldása:

Kifejezzük nál nél keresztül x a (2) rendszeregyenletből, és helyettesítse ezt az értéket az (1) rendszeregyenletbe.

Megoldjuk (2) a kapott rendszer egyenletét:

2 x +2 x +2 =10, alkalmazza a következő képletet: egy x + y=egy x∙ a y.

2 x +2 x ∙2 2 =10, vegyük ki a 2 x közös tényezőt a zárójelekből:

2 x (1+2 2)=10 vagy 2 x ∙5=10, tehát 2 x =2.

2 x = 2 1, innen x=1. Térjünk vissza az egyenletrendszerhez.

Válasz: (1; 2).

Megoldás.

Az (1) egyenlet bal és jobb oldalát hatványok formájában ábrázoljuk bázissal 2 , és a (2) egyenlet jobb oldala a szám nulla hatványaként 5 .

Ha két azonos bázisú hatvány egyenlő, akkor ezeknek a hatványoknak a kitevői egyenlőek - egyenlőségjelet teszünk a kitevőket az alapokkal 2 és kitevők bázisokkal 5 .

Az így létrejövő rendszer lineáris egyenletek két változóval az összeadás módszerével oldjuk meg.

Találunk x=2és helyette ezt az értéket helyettesítjük x a rendszer második egyenletébe.

Találunk nál nél.

Válasz: (2; 1,5).

Megoldás.

Ha az előző két példában egy egyszerűbb rendszerre tértünk át úgy, hogy két fok mutatóit azonos alapokkal egyenlővé tesszük, akkor a 3. példában ez a művelet lehetetlen. Az ilyen rendszereket célszerű új változók bevezetésével megoldani. Változókat vezetünk be uÉs v, majd fejezzük ki a változót u keresztül vés egyenletet kapunk a változóra v.

Megoldjuk (2) a rendszer egyenletét.

v 2 +63v-64=0. Válasszuk ki a gyököket Vieta tételével, tudva, hogy: v 1 +v 2 = -63; v 1 ∙v 2 =-64.

A következőt kapjuk: v 1 =-64, v 2 =1. Visszatérünk a rendszerhez és megtaláljuk u.

Mivel az exponenciális függvény értékei mindig pozitívak, a 4 x = egyenletek -1 és 4 y = -64 nincsenek megoldásai.

Egyenletrendszerek megoldási módszerei

Először röviden idézzük fel, milyen módszerek léteznek általában az egyenletrendszerek megoldására.

Létezik négy fő módja megoldások egyenletrendszerekre:

Behelyettesítési mód: vegyük fel a megadott egyenletek bármelyikét és fejezzük ki $y$-t $x$-ban, majd a $y$-t behelyettesítjük a rendszeregyenletbe, ahonnan a $x.$ változót találjuk, ezt követően könnyen ki tudjuk számolni a $y.$ változó

Összeadás módszere: Ennél a módszernél az egyik vagy mindkét egyenletet meg kell szoroznia olyan számokkal, hogy ha mindkettőt összeadja, az egyik változó „eltűnik”.

Grafikus módszer: a rendszer mindkét egyenlete ábrázolva van Koordináta síkés megtaláljuk a metszéspontjukat.

Új változók bevezetésének módja: ebben a módszerben néhány kifejezést lecserélünk a rendszer egyszerűsítése érdekében, majd a fenti módszerek valamelyikét alkalmazzuk.