A rendszerek viselkedésének elemzése azt mutatja, hogy az energia és az impulzus mellett van egy másik mechanikai mennyiség is, ami szintén a megmaradási törvényhez kapcsolódik - ez az ún. perdület. A szögimpulzus, nyomaték, szögimpulzus vagy egyszerűen impulzus elnevezések is használatosak.
Mi ez a mennyiség és mik a tulajdonságai?
Először vegyünk egy részecskét. Legyen egy sugárvektor, amely valamely ponthoz viszonyított helyzetét jellemzi O a választott referenciarendszerről, és ez a lendülete ebben a rendszerben. A részecske szögimpulzusa A ponthoz képest O(6.1. ábra) vektornak nevezzük, amely megegyezik a vektorok vektorszorzatával és:
Ebből a definícióból az következik, hogy egy axiális vektor. Iránya úgy van megválasztva, hogy a pont körül forogjon O a vektor irányában jobbkezes rendszert alkotnak. A vektor modulusa egyenlő
 ,
| (6.2) |
hol van az és a vektorok közötti szög 
a vektor karja a ponthoz képest RÓL RŐL(6.1. ábra).
Vezessünk le egy egyenletet, amely leírja a vektor időbeli változását. Neveztetik nyomatékegyenlet. A következtetés levonásához ki kell deríteni, hogy egy adott vektor változásáért melyik mechanikai mennyiség felelős
referenciarendszer. Differenciáljuk a (6.1) egyenletet az idő függvényében:
A lényeg óta O mozdulatlan, majd vektor sebességgel egyenlő részecskék, azaz irányában egybeesik a vektorral, ezért
Newton második törvényét felhasználva megkapjuk, hogy hol van a részecskére ható összes erő eredője. Ennélfogva,
Az egyenlet jobb oldalán lévő mennyiséget ún erőpillanat ponthoz képest RÓL RŐL(6.2. ábra). Betűvel jelölve írjuk
A vektorhoz hasonlóan axiális. Ennek a vektornak a modulusa (6.2-hez hasonlóan) egyenlő
Ezt az egyenletet ún nyomatékegyenlet. Vegye figyelembe, hogy ha a referenciakeret nem tehetetlen, akkor az erőnyomaték magában foglalja mind a kölcsönhatási erők nyomatékát, mind a tehetetlenségi erők nyomatékát ugyanahhoz a ponthoz képest. O.
A (6.5) nyomatékegyenletből különösen az következik, hogy ha akkor . Más szóval, ha a kiválasztott referenciakeret valamely O pontjához viszonyítva a részecskére ható összes erő nyomatéka nullával egyenlő a számunkra érdekes időszak alatt, akkor ehhez a ponthoz képest a részecske impulzusimpulzusa megmarad. állandó ez idő alatt.
1. példa: Valamely A bolygó mozog, és a Nap gravitációs tere C (6.3. ábra). A heliocentrikus vonatkoztatási rendszer melyik pontjához képest marad meg egy adott bolygó impulzusimpulzusa időben?
A kérdés megválaszolásához először is meg kell állapítani, hogy milyen erők hatnak az A bolygóra. Ebben az esetben csak a gravitációs erőről van szó.
a Nap oldaláról. Amióta a bolygó mozog, ennek az erőnek az iránya
folyamatosan áthalad a Nap középpontján, akkor az utóbbi az a pont, amelyhez viszonyítva az erőnyomaték mindig egyenlő nullával és a bolygó impulzusimpulzusa állandó marad. A bolygó lendülete megváltozik.
2. példa: A sima vízszintes síkban mozgó alátét A rugalmasan visszapattan egy sima függőleges falról (6.4. ábra, felülnézet). Keresse meg azt a pontot, amelyhez képest a korong szögimpulzusa állandó marad a folyamat során.
A korongra a gravitációs erő, a vízszintes síkból fellépő reakcióerő és a vele való ütközés pillanatában a falból fellépő reakcióerő hat. Az első két erő kiegyensúlyozza egymást, elhagyva az erőt. Nyatéka nulla a vektor hatásvonalán fekvő bármely ponthoz képest, ami azt jelenti, hogy ezen pontok bármelyikéhez viszonyítva a korong szögimpulzusa ebben a folyamatban állandó marad.
3. példa Vízszintes sima síkon van egy álló függőleges henger és egy A alátét, amely AB menettel kapcsolódik a hengerhez (6.5. ábra, felülnézet). A korong kezdeti sebességet kapott, amint az ezen az ábrán látható. Van itt olyan pont, ahol a korong szögimpulzusa mozgás közben állandó marad?
Ebben az esetben az A alátétre ható egyetlen kiegyenlítetlen erő a menet feszítőereje. Könnyen belátható, hogy nincs olyan pont, amelyhez képest a mozgási folyamatban az erőnyomaték állandóan nullával egyenlő lenne. Ezért nincs olyan pont, amelyhez képest a korong szögimpulzusa állandó maradna. Ez a példa azt mutatja, hogy nem mindig van olyan pont, amelyhez képest a részecske impulzusimpulzusa állandó maradna.
A (6.5) pillanategyenlet két kérdés megválaszolását teszi lehetővé:
1) keressük meg a számunkra érdekes O ponthoz viszonyított erőnyomatékot Bármi t idő, ha a részecske szögimpulzusának ugyanahhoz a ponthoz viszonyított időfüggése ismert;
2) határozza meg egy részecske impulzusimpulzusának növekedését az O ponthoz képest tetszőleges időtartamra, ha ismert az erre a részecskére ható erő nyomatékának ugyanahhoz az O ponthoz viszonyított időfüggése.
Az első kérdés megoldása az impulzus pillanatának idejére vonatkozó derivált, azaz (6.5) szerint egyenlő a kívánt erőnyomatékkal.
A második kérdés megoldása a (6.5) egyenlet integrálásával adódik. Az egyenlet mindkét oldalát dt-vel megszorozva - egy kifejezést kapunk, amely meghatározza a vektor elemi növekményét. Ennek a kifejezésnek az időbeli integrálásával megkapjuk a vektor növekedését egy véges t időtartam alatt:
 | (6.6) |
Az egyenlet jobb oldalán látható mennyiség impulzusnak nevezzük erőpillanat. Ennek eredményeként a következő állítást kaptuk: egy részecske impulzusimpulzusának növekedése bármely időtartam alatt megegyezik az erő szögimpulzusával ugyanannyi idő alatt. Nézzünk két példát.
1. példa Egy részecske impulzusimpulzusa egy bizonyos ponthoz viszonyítva t idővel a törvény szerint változik 
ahol és néhány állandó egymásra merőleges vektor. Határozza meg a részecskére ható erőnyomatékot, amikor az és vektorok közötti szög 45°.
A (6.5) szerint 
azok. vektor, irányában mindig egybeesik a vektorral. Ábrázoljuk a vektorokat és egy bizonyos t momentumot (6.6. ábra). Ebből az ábrából világos, hogy a szög = 45° abban a pillanatban, amikor így és .
2. példa: m tömegű A követ kezdeti sebességgel a vízszinteshez képest szöget zártunk be. A légellenállást figyelmen kívül hagyva keresse meg a kő szögimpulzusának az O dobási ponthoz viszonyított időfüggését (6.7. ábra).
Egy dt időtartam alatt a kő szögimpulzusa a ponthoz képest
O növekményt kap 
. Mert 
Hogy 
Ezt a kifejezést integrálva, figyelembe véve azt a tényt, hogy jelenleg 
kapunk 
. Ez azt mutatja, hogy a vektor iránya a mozgás során változatlan marad (a vektor a síkon túlra irányul, 6.7. ábra).
Tekintsük most a szögimpulzus és a tengelyhez viszonyított erőnyomaték fogalmát. Válasszunk néhányban inerciarendszer hivatkozás egy tetszőleges rögzített tengelyre. Legyen a tengely valamely O pontjához viszonyítva az A részecske impulzusnyomatéka egyenlő, a részecskére ható erőnyomaték pedig legyen.
A z tengelyhez viszonyított szögimpulzus egy adott tengely tetszőleges O pontjához képest meghatározott vektor vetülete erre a tengelyre (6.8. ábra). Hasonlóan vezetjük be a tengelyhez viszonyított erőnyomaték fogalmát. Az övék
Nézzük meg ezeknek a mennyiségeknek a tulajdonságait. A (6.5)-et a z tengelyre vetítve megkapjuk
| (6.7) |
vagyis a részecske z tengelyhez viszonyított impulzusimpulzusának időbeli deriváltja egyenlő az ehhez a tengelyhez viszonyított erőnyomatékkal. Különösen, ha akkor . Más szóval, ha az erőnyomaték valamely rögzített tengelyhez z egyenlő nullával, akkor a részecske szögimpulzusa ehhez a tengelyhez képest állandó marad. Ebben az esetben maga a vektor változhat.
Példa: Egy menetre felfüggesztett kis m tömegű test a gravitáció hatására egyenletesen mozog egy vízszintes körben (6.9. ábra) Az O ponthoz viszonyítva a test szögimpulzusa - a vektor - azonos. sík a z tengellyel és a menettel. Amikor egy test mozog, a vektor a gravitációs nyomaték hatására folyamatosan forog, azaz változik. A vetítés állandó marad, mivel a vektor merőleges
Keressünk most analitikus kifejezéseket és -ra. Könnyen belátható, hogy ez a probléma abból adódik, hogy meg kell találni a vetületeket a és a vektorszorzatok z tengelyére.
Használjunk hengeres koordinátarendszert, és társítsunk az A részecskéhez (6.10. ábra) a megfelelő koordináták növekedésének irányába irányított egységvektorokat. Ebben a koordinátarendszerben a részecske sugárvektora és impulzusa a következőképpen van felírva:
hol vannak a vektor vetületei a megfelelő vektorokra. A vektoralgebrából ismert, hogy vektor termék el lehet képzelni
döntő
Innen azonnal látszik, hogy a részecske z tengelyhez viszonyított szögimpulzusa
ahol annak a szögsebességnek a vetülete, amellyel a részecske sugárvektora forog.
A (6.8)-hoz hasonlóan a z tengelyhez viszonyított erőnyomatékot felírjuk:
| (6.10) |
ahol az erővektor vetülete az egységvektorra
Vegyük észre, hogy a vetületek és valóban nem függnek a z tengely O pontjának megválasztásától, amelyhez képest a és vektorok definiáltak. Ezen kívül jól látható, hogy a és algebrai mennyiségek, előjeik megfelelnek a és a vetületek előjeleinek.
A forgó mozgás dinamikájának alapegyenlete anyagi pont - szöggyorsulás pont, amikor egy rögzített tengely körül forog, arányos a nyomatékkal és fordítottan arányos a tehetetlenségi nyomatékkal.
M = E*J vagy E = M/J
Összehasonlítva a kapott kifejezést Newton második törvényével a progresszív törvény, azt látjuk, hogy a J tehetetlenségi nyomaték a test tehetetlenségi nyomatéka forgó mozgás. A tömeghez hasonlóan a mennyiség is additív.
Tehetetlenségi nyomaték vékony gyűrű:
Tehetetlenségi nyomaték
A tehetetlenségi nyomaték kiszámításához gondolatban kellően kis elemekre kell osztanunk a testet, amelyeknek pontjait a forgástengelytől azonos távolságra lévőnek tekinthetjük, majd meg kell keresni az egyes elemek tömegének a négyzet szorzatát. a tengelytől mért távolságát, és végül összegezzük az összes eredményt. Nyilvánvalóan ez egy nagyon időigényes feladat. Számolni
testek tehetetlenségi nyomatékai helyesek geometriai alakzat Bizonyos esetekben használhatja az integrálszámítás módszereit.
A test elemei tehetetlenségi nyomatékainak véges összegének megtalálását a végtelenül összegzés váltja fel nagyszámú végtelenül kicsi elemekre számított tehetetlenségi nyomatékok:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (nál nél Δm → 0).
Számítsuk ki egy homogén korong vagy egy magasságú tömör henger tehetetlenségi nyomatékát h szimmetriatengelyéhez képest
Osszuk fel a korongot vékony koncentrikus gyűrűk alakú elemekre, amelyek középpontja a szimmetriatengelyén van. A kapott gyűrűk belső átmérővel rendelkeznek rés külső r+dr, és a magasság h. Mert dr<< r
, akkor feltételezhetjük, hogy a gyűrű minden pontjának távolsága a tengelytől egyenlő r.
Minden egyes gyűrűnél a tehetetlenségi nyomaték
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Ahol ΣΔm− a teljes gyűrű tömege.
Csengetés hangereje 2πrhdr. Ha a lemez anyagának sűrűsége ρ
, majd a gyűrű tömege
ρ2πrhdr.
A gyűrű tehetetlenségi nyomatéka
i = 2πρóra 3 dr.
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
I = (1/2)πρhR 4.
De a lemez tömege m = ρπhR 2, ennélfogva,
I = (1/2) mR2.
Mutassuk be (számítás nélkül) egyes szabályos geometriai alakú, homogén anyagokból készült testek tehetetlenségi nyomatékait.
1. Vékony gyűrű tehetetlenségi nyomatéka a síkjára merőleges középpontján átmenő tengelyhez (vagy egy vékony falú üreges hengerhez) képest a szimmetriatengelyéhez képest:
I = mR2.
2. Vastag falú henger tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengelyhez viszonyítva:
I = (1/2) m(R 1 2 − R 2 2)
Ahol R 1− belső és R 2− külső sugarak.
3.
A tárcsa tehetetlenségi nyomatéka az egyik átmérőjével egybeeső tengelyhez képest:
I = (1/4) mR2.
4. Egy tömör henger tehetetlenségi nyomatéka a generatrixra merőleges és annak közepén áthaladó tengelyhez képest:
I = m (R 2/4 + h 2/12)
Ahol R- a hengeralap sugara, h− a henger magassága.
5.
Vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka a közepén áthaladó tengelyhez képest:
I = (1/12) ml 2,
Ahol l− a rúd hossza.
6.
Vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka az egyik végén áthaladó tengelyhez képest:
I = (1/3) ml 2
7. A golyó tehetetlenségi nyomatéka az egyik átmérőjével egybeeső tengelyhez képest:
I = (2/5) mR2.
Ha egy test tehetetlenségi nyomatéka ismert a tömegközéppontján átmenő tengelyről, akkor bármely más, az elsővel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték az úgynevezett Huygens-Steiner-tétel alapján meghatározható.
A test tehetetlenségi nyomatéka én bármely tengelyhez viszonyítva egyenlő a test tehetetlenségi nyomatékával én s az adott tengelyhez képest párhuzamos, a test tömegközéppontján átmenő tengelyhez, plusz a test tömege m, megszorozva a távolság négyzetével l tengelyek között:
I = I c + ml 2.
Példaként számítsuk ki egy sugarú golyó tehetetlenségi nyomatékát Rés tömeg m, l hosszúságú menetre függesztve, a felfüggesztési ponton átmenő tengelyhez képest RÓL RŐL. A szál tömege kicsi a golyó tömegéhez képest. A golyó tehetetlenségi nyomatéka óta a tömegközépponton áthaladó tengelyhez képest Ic = (2/5) mR2, és a távolság
tengelyek között ( l + R), akkor a felfüggesztési ponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték:
I = (2/5) mR2 + m(l + R) 2.
A tehetetlenségi nyomaték mérete:
[I] = [m] × = ML 2.
Hozzászólás írásához jelentkezzen be vagy regisztráljon
Minden részecskerendszerben van egy figyelemre méltó pont VAL VEL- tehetetlenségi középpontja, vagy a tömeg közepe, - amely számos érdekes és fontos tulajdonsággal rendelkezik. A tömegközéppont a rendszer impulzusvektorának alkalmazási pontja, mivel bármely impulzus vektora poláris vektor. Pont pozíció VAL VEL a kezdethez képest RÓL RŐL egy adott vonatkoztatási rendszert a következő képlettel meghatározott sugárvektor jellemzi:
Meg kell jegyezni, hogy a rendszer tömegközéppontja egybeesik a súlypontjával. Igaz, ez az állítás csak abban az esetben igaz, ha egy adott rendszeren belüli gravitációs mező homogénnek tekinthető.
Határozzuk meg a tömegközéppont sebességét ebben a referenciakeretben. Differenciálva (4.8) az idő függvényében kapjuk
azok. a rendszer lendülete egyenlő a rendszer tömegének és tömegközéppontja sebességének szorzatával.
Megkapjuk a tömegközéppont mozgásegyenletét. A tömegközéppont fogalma lehetővé teszi, hogy a (4.4) egyenletnek más formát adjunk, ami gyakran kényelmesebbnek bizonyul. Ehhez elég a (4.10)-et (4.4) helyettesíteni, és figyelembe venni, hogy a rendszer tömege mint olyan állandó mennyiség. Akkor kapunk
| , | (4.11) |
ahol a rendszerre ható összes külső erő eredője. Az az ami tömegközéppont mozgásegyenlete rendszerek a mechanika egyik legfontosabb egyenlete. Ennek az egyenletnek megfelelően Ha bármely részecskerendszer mozog, a tehetetlenségi középpontja úgy mozog, mintha a rendszer teljes tömege ezen a ponton összpontosulna, és minden külső erő hatna rá., hat a rendszerre. Ebben az esetben a tehetetlenségi középpont gyorsulása teljesen független a külső erők hatópontjaitól.
És így, ha a rendszer tömegközéppontja egyenletesen és egyenesen mozog, ez azt jelenti, hogy a lendülete megmarad a mozgás folyamatában. Természetesen ennek az ellenkezője is igaz.
(4.11) egyenlet. alakja egybeesik egy anyagi pont dinamikájának alapegyenletével, és természetes általánosítása részecskék rendszerére: a rendszer egészének gyorsulása arányos az összes külső erő eredőjével és fordítottan arányos a teljes tömegével. a rendszer. Emlékezzünk vissza, hogy a nem inerciális vonatkoztatási rendszerekben az összes külső erő eredője magában foglalja mind a környező testekkel való kölcsönhatás erőit, mind a tehetetlenségi erőket.
Nézzünk meg néhány példát a rendszer tömegközéppontjának mozgására.
1. példa Mutatjuk meg, hogyan oldhatja meg a problémát egy tutajon ülő emberrel (90. o.) más módon, a tömegközéppont fogalmát használva.
Mivel a víz ellenállása elhanyagolható, az ember-tutaj rendszerre ható összes külső erő eredője nulla. Ez azt jelenti, hogy ennek a rendszernek a tehetetlenségi középpontjának helyzete nem fog változni az ember (és a tutaj) mozgása során, pl.
.
ahol és sugárvektorok, amelyek a személy és a tutaj tömegközéppontjainak helyzetét jellemzik a part egy bizonyos pontjához képest. Ebből az egyenlőségből megtaláljuk a kapcsolatot a vektorok és a növekményei között
Figyelembe véve, hogy a lépések az ember és a tutaj parthoz viszonyított mozgását jelzik, a tutaj mozgását kapjuk:
2. példa: Egy ember a toronyból a vízbe ugrik. A jumper mozgása általános esetben nagyon összetett. Ha azonban a légellenállás elhanyagolható, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a jumper tehetetlenségi középpontja egy parabola mentén mozog, mint egy anyagi pont, amelyre állandó erő hat, ahol az ember tömege van.
3. példa Egy centrifugális gép tengelyének végéhez egy menettel összekötött zárt lánc egyenletesen forog egy függőleges tengely körül szögsebességgel (4.4. ábra). Ebben az esetben a menet szöget zár be
függőleges. Hogyan viselkedik a lánc tehetetlenségi középpontja?
Először is világos, hogy egyenletes forgás mellett a lánc tehetetlenségi középpontja nem mozdul el függőleges irányban. Ez azt jelenti, hogy a menetfeszítés T erőjének függőleges összetevője kompenzálja a gravitációs erőt (4.4. ábra, jobbra). A feszítőerő vízszintes összetevője állandó nagyságú, és mindig a forgástengely felé irányul.
Ebből következik, hogy a lánc tömegközéppontja - C pont - egy vízszintes kör mentén mozog, amelynek sugara könnyen megkereshető a (4.11) képlet segítségével, a formába írva
hol van a lánc tömege. Ebben az esetben a C pont mindig a forgástengely és a menet között helyezkedik el, ahogy az ábra mutatja. 4.4.
Azokban a gyakran előforduló esetekben, amikor csak a részecskék rendszeren belüli relatív mozgására vagyunk kíváncsiak, és nem a rendszer egészének mozgására, akkor a legcélszerűbb olyan vonatkoztatási rendszert használni, amelyben a tömegközéppont nyugalomban van. . Ez lehetővé teszi mind a jelenség elemzése, mind a számítások jelentős egyszerűsítését.
Egy adott részecskerendszer tömegközéppontjához mereven kapcsolódó, az inerciarendszerekhez képest transzlációsan mozgó referenciakeretet ún. tömegközéppont rendszer vagy röviden, C-rendszer(a rendszer jelölése latinul a center szó első betűjéhez kapcsolódik). Ennek a rendszernek az a sajátossága, hogy a benne lévő részecskerendszer összimpulzusa nulla – ez közvetlenül következik a (4.10) képletből. Más szóval, bármely részecskerendszer egésze a saját - C-rendszer.
Zárt részecskerendszer esetén annak VAL VEL- a rendszer inerciális, nyílt rendszer esetén általában nem inerciális.
Keressük meg az összefüggést a rendszer mechanikai energiájának értékei között KÉs VAL VEL referenciarendszerek. Kezdjük a rendszer mozgási energiájával. Részecskesebesség be K-rendszer ábrázolható sebességek összegeként, ahol és ennek a részecskének a sebessége VAL VEL-rendszer és a tömegközéppont rendszerhez viszonyított sebessége K-referenciarendszerek, ill. Aztán leírhatod.
A zárt rendszerekben a lendület és az energia megmaradásán kívül egy másik fizikai mennyiség is megmarad - a szögimpulzus. Tekintsük először a és vektorok vektorszorzatát (32. ábra).
A vektorok vektorszorzata olyan vektor, amelynek modulusa egyenlő:
hol van a vektorok és a közötti szög.
A vektor irányát a gimlet-szabály határozza meg, ha a legrövidebb úton forgatjuk el.
Van egy kifejezés a keresztszorzat meghatározására:
1. Egy ponthoz és egy tengelyhez viszonyított erőnyomaték.
Először is vezessük be az erőnyomaték fogalmát. Hagyjon valamilyen erőt egy részecskére, amelynek helyzetét a sugárvektor segítségével határozzuk meg a 0 pont origójához képest (33. ábra).
Nevezzük a 0 ponthoz viszonyított erőnyomatékot vektormennyiségnek:
Ebben az esetben az erőnyomaték vektora a rajz síkjára merőlegesen irányul felénk. Az ábrából az következik, hogy az érték . Nevezzük pillanatnyi karnak. Az erő nyomatékkara a 0 referenciapont és az erő hatásvonala közötti távolság.
A 0 ponton átmenő valamely tengelyhez viszonyított erőnyomaték a 0 ponthoz viszonyított erőnyomaték vektorának erre a tengelyre való vetülete.
2. Pár erő pillanata. Pár erő pillanatának tulajdonságai.
Tekintsünk két párhuzamos, egyenlő nagyságú, ellentétes irányú, nem ugyanazon egyenes mentén ható erőt (34. ábra). Az ilyen erőket erőpárnak nevezzük. Azon egyenesek közötti távolságot, amelyek mentén ezek az erők hatnak, a pár karjának nevezzük.
Itt a következő jelöléseket vezetjük be:
Az erőkifejtési pont sugárvektora,
Az erőkifejtési pont sugárvektora az erőkifejtési ponthoz viszonyítva.
Ennek az erőpárnak a teljes nyomatékát a következőképpen határozzuk meg:
Mivel az erők egy párt alkotnak, ez a következő:
Látható, hogy pár erő nyomatéka nem függ az erők alkalmazási pontjainak origójának megválasztásától.
3. Egy részecske szögimpulzusa a tengelyhez és a ponthoz viszonyítva.
Térjünk most át a szögimpulzus fogalmára. Mozogjon sebességgel egy m tömegű részecske, amelynek helyzetét a 0 pont origójához viszonyított sugárvektor segítségével határozzuk meg (35. ábra).
Vezessünk be egy vektort, amit a részecske 0 ponthoz viszonyított impulzusimpulzusának nevezünk. A mennyiséget a 0 ponthoz viszonyított impulzus szögkarnak nevezzük.
A 0 ponton átmenő tengelyhez viszonyított szögimpulzus a ponthoz viszonyított szögimpulzus vetülete erre a tengelyre.
1. Tekintsük az egyenes vonal mentén történő mozgást. h magasságban egy m tömegű repülőgép V sebességgel repül vízszintesen (36. ábra).
Határozzuk meg a repülőgép szögimpulzusát valamely 0 ponthoz viszonyítva. A szögimpulzus modulusa egyenlő az impulzus és a kar szorzatával. Ebben az esetben a lendületi kar egyenlő h-val. Ennélfogva:
2. Tekintsük a körben történő mozgást. Egy m tömegű részecske egy R sugarú kör mentén állandó V abszolút sebességgel mozog (37. ábra). Határozzuk meg a részecske szögimpulzusát a 0 kör középpontjához viszonyítva.
A részecske lendülete M== рR=állandó.
4. Részecskenyomatékok egyenlete
Definíció szerint egy részecske szögimpulzusa valamely 0 ponthoz viszonyítva egyenlő:
Keressük meg ennek a kifejezésnek a jobb és bal oldalának időbeli deriváltját:
Az első tag a vektorszorzat szabálya szerint nullára megy. Végre megvan:
Ezt a kifejezést részecskemomentum egyenletnek nevezzük.
A szögimpulzus változási sebessége megegyezik az erőnyomatékkal.
5.A részecskerendszer lendülete.
Részecskerendszer impulzusának változásának és megmaradásának törvénye.
Tekintsük az egymással kölcsönhatásban lévő részecskék rendszerét, amelyre külső erők hatnak. Állítsuk be ennek a rendszernek a részecskéinek térbeli helyzetét sugárvektorok segítségével valamely 0 referenciaponthoz képest. Írjuk fel ennek a rendszernek a ponthoz viszonyított teljes impulzusimpulzusát:
Nézzük meg a változást a teljes pillanatban:
Írjuk fel ezt az egyenletrendszert:
…………………………………..
Adjuk össze ennek a rendszernek a bal és jobb oldalát, és tekintsük a jobb oldali első tagban lévő páros összegeket.
Newton harmadik törvénye szerint az összes többi párosított összeg is eltűnik. Következésképpen a részecskék közötti kölcsönhatás összes belső erőjének összmomentuma nulla. Akkor marad:
A részecskerendszer szögimpulzusa megváltoztatja a külső erők szögimpulzusát. A részecskék zárt rendszerére teljesül a szögimpulzus megmaradásának törvénye.
6.Részecskerendszer orbitális és belső szögimpulzusa.
Tekintsünk egy N részecskéből álló rendszert, amelynek helyzetét sugárvektorok segítségével adjuk meg valamilyen 0 referenciaponthoz képest (38. ábra).
Határozzuk meg ennek a rendszernek a C tömegközéppontjának helyzetét a sugárvektor segítségével. Ekkor az i-edik részecske helyzetét a 0 origóhoz képest a következőképpen határozzuk meg:
Írjuk fel a részecskerendszer teljes impulzusimpulzusát a 0 origóhoz viszonyítva:
Az első tagot a rendszer orbitális szögimpulzusának nevezzük:
A második tagot a rendszer saját szögimpulzusának nevezzük:
Ekkor a rendszer teljes impulzusimpulzusa a 0 referenciaponthoz képest a következőképpen alakul:
7.Mozgás a központi erőtérben.
Tekintsünk egy részecskét, amely egy központi erőtérben mozog. Emlékezzünk vissza, hogy egy ilyen térben a részecskére ható erő csak a részecske és az origó távolságától függ. Ezenkívül az erő mindig a részecske sugárvektora mentén irányul.
Könnyen megérthető, hogy ebben az esetben a centrális erő nyomatéka egyenlő nullával, és ezért teljesül a szögimpulzus origóhoz viszonyított megmaradásának törvénye.
Mivel a részecskepálya mindig abban a síkban van, amelyben az erővektorok és a sugárvektor található. A központi mezőben a részecskék lapos pályákon mozognak.
A dt idő alatt a részecske sugárvektora leírja a dS területet (39. ábra).
Ez a terület egyenlő a sugárvektoron és az elemi eltolási vektoron felépített paralelogramma területének felével. Mint ismeretes, egy ilyen paralelogramma területe megegyezik a vektorszorzat modulusával. Így most ezt írhatjuk:
Nevezzük a mennyiséget szektorális sebességnek, és megkapjuk a kifejezést:
Mert a központi mezőben M =const, akkor ennek következtében a szektorális sebesség állandó marad.
Következtetés: amikor egy részecske egy központi erőtérben mozog, sugárvektora egyenlő területeket ír le egyenlő idő alatt.
Ez az állítás Kepler második törvénye.
8. Kéttestű probléma.
A részecskék központi erőtérben történő mozgásának problémája számos alkalmazási területtel rendelkezik. Tekintsük két test mozgásának problémáját. Tekintsünk két olyan részecskét, amelyek csak egymással kölcsönhatásba lépnek. Nézzük meg, hogyan viselkedik egy ilyen rendszer tömegközéppontja. A zárt rendszer tömegközéppontjának mozgására vonatkozó tételből arra következtethetünk, hogy vagy nyugalomban van, vagy egyenesen és egyenletesen mozog.
Megoldjuk két test problémáját a tömegközéppontjuk rendszerében. Mint ismeretes, a rendszer tömegközéppontjának sugárvektorát a következő kifejezéssel határozzuk meg:
Egy ilyen zárt rendszer lendületmaradásának törvényéből az következik, hogy:
Vezessünk be egy sugárvektort, amely meghatározza a második részecske helyzetét az elsőhöz képest (40. ábra):
Ekkor kifejezéseket kaphatunk a részecskék közös tömegközéppontjához viszonyított helyzetét meghatározó sugárvektorok és a relatív helyzetük sugárvektorának összekapcsolására:
Vizsgáljuk meg most ezt a problémát energetikai szempontból. Jelöljük a részecskék tömegközéppontjukhoz viszonyított sebességét és -vel, a második részecske sebességét az elsőhöz viszonyítva. Ekkor egy részecskerendszer lendületmaradásának törvényéből a következő kifejezéseket kaphatjuk:
Írjuk fel ennek a részecskerendszernek a teljes mechanikai energiáját:
Itt U(r 21) a rendszer saját potenciális energiája.
Ez a kifejezés a következőképpen alakítható át:
ahol a következő megnevezés kerül bevezetésre - csökkentett tömeg.
Energetikai szempontból látjuk, hogy ez a részecskerendszer úgy viselkedik, mint egy csökkentett tömegű, relatív sebességgel mozgó részecske. Két test problémája egy test mozgásának problémájára redukálódik.
Ha ismert a függőség, akkor a fő probléma megoldható, pl. függőségek keresése és .
Írjuk fel a mozgásegyenletet (Newton második törvénye) minden egyes részecskére a központi mezőben:
A második egyenlet jobb oldalán mínusz jel található, mert .
Ha az első egyenletet elosztjuk m 1 -el és a másodikat m 2 -vel, a következőt kapjuk:
Vonjuk ki az első egyenletet a másodikból:
Aztán végül:
Innentől megtalálhatja a függőséget.
9. Mesterséges műholdak mozgása. Kozmikus sebességek.
Tekintsük a Föld mesterséges műholdjának mozgását a felszíne közelében. Mivel csak egy erő hat a műholdra - a Föld gravitációs vonzási ereje, ezért felírhatjuk a körkörös mozgásának egyenletét:
ahol m a műhold tömege, M a Föld tömege, Rz a Föld sugara.
Innen kaphatja meg a műhold sebességét:
A megfelelő értékeket behelyettesítve V 1 = 8 km/s sebességet kapunk.
Ezt a sebességet hívják első tér(az a sebesség, amelyet egy testnek át kell adni, hogy a felszíne közelében a Föld műholdjává váljon).
A körpályán mozgó műhold legegyszerűbb esetét vettük figyelembe. Azonban, amint az elmélet mutatja, a kéttest-problémában az egyik részecskének a másikhoz képest más mozgási pályái is lehetségesek - ellipszisek, hiperbolák és parabolák. Az elliptikus pályák a rendszer teljes mechanikai energiájának negatív értékének, a hiperbolikus pályák a teljes mechanikai energia pozitív értékének, a parabolikus pályák pedig a nullával egyenlő teljes mechanikai energia értéknek felelnek meg.
Keressük az ún szökési sebesség. Ez az a sebesség, amelyet a testnek át kell adni ahhoz, hogy a Nap műholdjává váljon, miközben a testnek egy parabola pályán kell mozognia.
Írjuk fel a műhold-Föld rendszer teljes mechanikai energiáját, ha a Földet mozdulatlannak tekintjük:
A teljes mechanikai energiát nullával egyenlővé téve megkapjuk a második szökési sebességet:
A megfelelő értékeket behelyettesítve V 2 = 11,2 km/s-ot kapunk.
SZILÁRD MECHANIKA
VIII. Merev test kinematika
1.Abszolút szilárd test. Merev test síkmozgása és transzlációs és forgási bontása.
Eddig anyagi pontot használtunk fizikai modellként, de nem minden probléma megoldható ezzel a közelítéssel. Térjünk most át az ún teljesen szilárd testek. Az abszolút szilárd test olyan test, amelyben a részecskék közötti távolság nem változik. Más szóval, ez egy abszolút nem deformálódó test.
megfontoljuk lapos mozgás olyan merev test, amelyben mozgás közben bármely pontja a párhuzamos síkok valamelyikében marad. Síkmozgásban egy merev test minden pontjának pályái ugyanabban a síkban vannak, és az összes pálya síkja vagy egybeesik, vagy párhuzamos.
Egy merev test bármely összetett mozgása egyszerűbb mozgások összegeként ábrázolható: transzlációs és forgó mozgások . Haladó egy merev test mozgása, amelyben a test bármely két pontját összekötő egyenes megtartja irányát a térben. Az előremozgás nem feltétlenül lineáris, például egy kabin egy óriáskerékben (41. ábra).
Forgó olyan mozgás, amelyben egy merev test minden pontjának pályája koncentrikus körök, amelyek középpontja a forgástengelyen fekszik. Az asztalon gördülő henger a szimmetriatengelye körül transzlációs és forgó mozgáson is átesik.
Mutassuk meg, hogyan bontható fel a síkmozgás transzlációs és forgási részekre (42. ábra).
Az ábrán látható, hogy az 1-es pozícióból a 2-es helyzetbe a test először transzlációs pozícióba, majd a tengely körül forgathatóan a 2-es helyzetbe mozgatható. Ezt a transzlációs és forgó mozgásra való felosztást végtelenül sokféleképpen meg lehet valósítani, de ebben az esetben a forgatás mindig ugyanabban a szögben történik.
Így a síkmozgás a test minden pontjára azonos sebességgel transzlációsként és azonos szögsebességgel forgóként ábrázolható. Egy merev test pontjainak lineáris sebességére ez a következőképpen írható fel:
Itt van egy merev test bármely pontjának sugárvektora.
Például egy henger vízszintes felületen való gördülése (43. ábra) ábrázolható az összes pont transzlációs mozgásaként V 0 sebességgel és a szimmetriatengelyével 0 tengely körüli forgással, . szögsebességgel, vagy transzlációs mozgásként. mozgás sebességgel és forgás ugyanazzal a szögsebességgel, de a tengely körül.
Egy merev test mozgása csak az úgynevezett pillanatnyi tengely körüli forgások halmazaként ábrázolható. Ez a tengely elhelyezkedhet magában a szilárd testen belül, de lehet kívül is. A pillanatnyi tengely helyzete idővel változik. A henger gördülése esetén a pillanatnyi tengely egybeesik a henger és a sík érintési vonalával.
Ábrán ábrázoljuk. 44 a henger egyes pontjainak pillanatnyi sebességének iránya egy rögzített referenciarendszerhez képest. Az A pont sebessége minden időpillanatban egyenlő nullával, mert egyenlő nagyságú transzlációs sebességből és lineáris sebességből áll. A C pont sebessége egyenlő a sebesség kétszeresével stb.
Nézzük meg, hogyan orientálódik a sebesség a henger bármely pontjának rögzített vonatkoztatási rendszeréhez képest. Ehhez egy abszolút merev test feltételét írjuk fel két tetszőleges pontra a következő formában:
Tegyük időben különbséget a jobb és a bal oldal között:
Társítsuk az A pontot a pillanatnyi forgástengellyel, akkor és . Ezért rendelkezünk:
Ebből a feltételből az következik, hogy a megfelelő vektorok merőlegesek, azaz. .
A részecske szögimpulzusa(anyagpont) az O ponthoz képest vektormennyiségnek nevezzük, amely egyenlő:
L- axiális vektor. Az L szögimpulzusvektor irányát úgy határozzuk meg, hogy az O pont körüli forgás a p vektor irányában az O ponton átmenő tengely körül megfelel a jobb oldali csavarszabálynak. Az r, p és L vektorok jobbkezes rendszert alkotnak. Az SI rendszerben a szögimpulzus mértékegysége: [L]=1 kg m 2 /s.
Nézzünk két példát egy részecske O ponthoz viszonyított impulzusimpulzusának kiszámítására.
1. példa A részecske egyenes pályán mozog, a részecske tömege m, lendülete p. Keressük L-t és ½ L1-et. Készítsünk rajzot.
a (22.4.) képletből következik, hogy a szögimpulzus modulusa csak a sebességmodulus változása miatt változhat, mert egyenes úton haladva a váll lállandó marad.
2. példa Egy m tömegű részecske egy R sugarú körben V sebességgel mozog. Határozzuk meg L és ½ L½ értéket. Készítsünk rajzot.
22.3. ábra: V sebességgel R sugarú körben mozgó részecske impulzusvektorának iránya.
|
(22 .5 ) |
|
(22 .6 ) |
Az impulzus impulzusát a C ponthoz viszonyítva tekintjük. A (22.6.) képletből az következik, hogy a szögimpulzus modulusa csak a sebességmodulus változása miatt változhat. A p vektor irányának folyamatos változása ellenére az L vektor iránya állandó marad.
