Először is emlékeznünk kell arra, hogy determinánsok csak négyzet típusú mátrixokra léteznek, mert más típusú mátrixokra nincsenek determinánsok. A lineáris egyenletrendszerek elméletében és néhány más kérdésben célszerű ezt a fogalmat használni döntő, vagy döntő.

Determinánsok számítása

Tekintsünk bármely négy mátrixként felírt számot, kettőt sorban és két oszlopot, döntő vagy döntő, amely ennek a táblázatnak a számaiból áll, számnak nevezzük hirdetés-időszámításunk előtt, a következőképpen jelöljük: Az ilyen determinánst ún másodrendű meghatározó, mivel az összeállításához egy kétsoros és két oszlopos táblázatot vettek. A determinánst alkotó számokat annak nevezzük elemeket; azt mondják, hogy az elemek aés d alkotják főátló determináns és az elemek bés cövé másodlagos átló. Látható, hogy a determináns egyenlő a fő- és másodlagos átlóján lévő elempárok szorzatának különbségével. A harmadik és bármely más sorrend determinánsa megközelítőleg megegyezik, nevezetesen: Tegyük fel, hogy van négyzetmátrixunk. A következő mátrix meghatározója a következő kifejezés: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. Amint látja, ez meglehetősen könnyen kiszámítható, ha emlékszik egy bizonyos sorozatra. Pozitív előjellel megy a főátló és az elemekből kialakított háromszögek, amelyeknek oldala párhuzamos a főátlóval, ebben az esetben ezek a12a23a31, a13a21a32 háromszögek.

Negatív előjellel van egy másodlagos átló és vele párhuzamos háromszögek, azaz. a11a23a32, a12a21a33. Így bármely sorrend meghatározó tényezői megtalálhatók. De vannak esetek, amikor ez a módszer meglehetősen bonyolulttá válik, például amikor sok elem van a mátrixban, és a determináns kiszámításához sok időt és figyelmet kell fordítani.

Van egy egyszerűbb módszer az n-edrendű determináns kiszámítására, ahol n2. Állapodjunk meg abban, hogy az n-edik rendű mátrix bármely Aij elemének mollját nevezzük annak a mátrixnak megfelelő determinánsnak, amelyet a mátrixból kapunk az i-edik sor és a j-edik oszlop törlésével (a oszlop, amelynek metszéspontjában az Aij elem áll). Az Aij elem mollját a szimbólum jelöli. Ebben a jelölésben a felső index a sorszámot jelöli, az alsó index az oszlopszámot, f az oszlop fölött M azt jelenti, hogy a megadott sor és oszlop át van húzva. Az n. sorrend meghatározója, a mátrixnak megfelelő számot hívjuk a szimbólummal megegyező és azzal jelölt számmal.

1.1. tétel Bármi legyen is az i sorszám (i =1, 2…, n), az n-edrendű determináns kielégíti a képletet

hívott ennek a determinánsnak a kiterjesztése az i-edik sorban. Hangsúlyozzuk, hogy ebben a képletben az a kitevő, amelyre a (-1) számot emeljük, egyenlő annak a sornak és oszlopnak a számainak összegével, amelynek metszéspontjában az Aij elem áll.

Tétel 1.2 Bármi legyen is a j oszlopszám (j =1, 2…, n), az n-edrendű determináns kielégíti a képletet

hívott ennek a determinánsnak a kiterjesztése a j-edik oszlopban.

I. FEJEZET A DETERMINÁNSOK ELMÉLETÉNEK ELEMEI

A determinánsok elmélete a 18. században merült fel a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának problémája kapcsán. Később azonban a determinánsok alkalmazásra találtak a matematika különböző ágaiban, különösen a vektoralgebrában, az analitikus geometriában és a matematikai elemzésben.

1. § Másodrendű meghatározók

Tekintsünk két lineáris algebrai egyenletből álló rendszert két ismeretlennel és

,

ahol
- a rendszer számszerű együtthatói (1).

A rendszer együtthatóiból összeállított táblázat

,

az (1) rendszer együtthatómátrixának nevezzük.

A (2) mátrixhoz egy számot rendelünk, amelyet a mátrix determinánsának neveznek
, amelyet jelölünk
és a szabály szerint számítják ki , azaz . a másodrendű determináns egyenlő a mátrix főátlóján és másodlagos átlóján lévő elemek szorzata közötti különbséggel. A mátrix determinánsát a következőképpen jelöljük

.

Keressünk megoldást az (1) rendszerre. Könnyen ellenőrizhető, hogy a rendszer együtthatóiban van-e kifejezve a következőképpen (feltételezzük, hogy
):

;
.

Azt látjuk, hogy az és kifejezések nevezőjében van egy determináns, a számlálóban is vannak determinánsok, amelyeket jelölünk
és ennek megfelelően i.e.

,
.

Könnyen belátható, hogy a determinánst a determinánsból kapjuk , ha az (első oszlopban) lévő együtthatók oszlopát szabadtagokból álló oszlopra cseréljük, és a determináns
- ha a determináns második oszlopát a szabad tagok oszlopa helyettesíti. Ekkor a (4) rendszer megoldása a következőképpen írható fel:

,
(
).

Ezeket a képleteket ún Cramer-képletek . Tehát ahhoz, hogy egy másodrendű lineáris algebrai rendszerre megoldást találjunk, elegendő három determinánst megszámolni, , és meghatározni az arányukat.

1. példa . Keresse meg a Cramer-képletekkel egy lineáris algebrai rendszer megoldását

.

Megoldás . Számítsuk ki a , , determinánsokat:

Cramer képletei szerint

.

Így,

.

A másodrendű determinánsok alapvető tulajdonságai

1. A determináns nem változik, ha sorait felcseréljük a megfelelő oszlopokkal, azaz.

2. Két sor (oszlop) permutálásakor a determináns az ellenkező előjelét váltja, azaz.

3. Egy sor (oszlop) összes elemének közös tényezője kivehető a determináns előjeléből, azaz. , például,

4. Az azonos sorokkal (oszlopokkal) rendelkező determináns egyenlő nullával, azaz.

5. A nulla sorral (oszloppal) rendelkező determináns egyenlő nullával, azaz. például,

6. Ha bármely sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit szorozva ugyanannyival, akkor a determináns nem változik, azaz. például

Mindezeket a tulajdonságokat a figyelembe vett egyenlőségekben szereplő kifejezések bal és jobb oldali részének közvetlen kiszámításával igazoljuk. Bizonyítsuk be például a 6-os tulajdonságot.

Ehhez kiszámítjuk a determinánst az egyenlőség bal oldalán:

2. § A harmadik rend meghatározói.

Tekintsünk egy harmadrendű négyzetmátrixot (táblázatot).

.

Ha ebben a mátrixban bármelyik sort és oszlopot töröljük, akkor a fennmaradó elemek másodrendű négyzetmátrixot alkotnak. Egy harmadrendű négyzetmátrixból kilenc másodrendű négyzetmátrix nyerhető. Mutassunk be néhány új fogalmat.

Meghatározás 1 . Kisebb elem a harmadrendű mátrixokat a másodrendű mátrix determinánsának nevezzük, amelyet ebből a mátrixból úgy kapunk meg, hogy töröljük. -edik sor és -edik oszlop, i.e. sor és oszlop, amelynek metszéspontjában ez az elem található.

Egy elem mollját a szimbólum jelöli
. Például az elem minor
mátrix (1) a determináns

.

2. definíció. Algebrai elem komplementer harmadrendű mátrixok hívnak egy számot, amely egyenlő ezen elem molljának szorzatával
.

Egyébként: egy elem algebrai komplementere kisebb, ha az indexek összege
páros, és ellentétes előjellel vett kiskorú, ha az indexek összege páratlan. Egy elem algebrai komplementerét jelöljük
, azaz definíció szerint
.

Példa 1. Számítsa ki az algebrai komplementereket
és
mátrixok

.

;
.

Megjegyzés . Másodrendű mátrix elemeinek mollokról és algebrai komplementerekről is beszélhetünk, ha egy elemből (elsőrendű mátrix) álló mátrix determinánsát ezzel az elemmel egyenlő számként értjük.

Meghatározás 3. döntő (döntő ) harmadrendű négyzetmátrix (harmadrendű determináns ) az első sor elemeinek és algebrai komplementereinek páronkénti szorzatának összegével egyenlő számot hívunk. Azok. definíció szerint megvan

.

Példa 2 . Számítsa ki a mátrix determinánst

Megjegyzés . Ha behelyettesítjük az algebrai összeadások kifejezéseit a mátrix elemein keresztül a (3) képletbe, akkor kapjuk

Ebben a képletben hat tag van, és mindegyik a mátrix három elemének szorzata: minden sorból egy és minden oszlopból egy; három kifejezés szerepel a „+” jellel, három pedig „-” jellel. A magasabb algebrai kurzusokban a (4) képlet egy harmadrendű determináns definíciója.

3. § Harmadrendű determinánsok alapvető tulajdonságai.

Könnyen belátható, hogy a 2. rendű determinánsok összes tulajdonsága érvényes a 3. rendű determinánsokra is. De mint összetettebb objektum, a 3. rendű determinánsoknak további tulajdonságaik is vannak. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be teljesen az összes tulajdonságot.

1. A determináns nem változik, ha sorait felcseréljük a megfelelő oszlopokkal, azaz.

.

Ezt úgy bizonyítjuk, hogy az egyes determinánsokat az első sor elemei szerint bővítjük. Ennek eredményeként ugyanazt a kifejezést kapjuk.

2. A determináns egyenlő bármely sor (oszlop) elemeinek és algebrai komplementereinek páronkénti szorzatának összegével.

Bizonyítsuk be például az egyenlőséget

Következésképpen,.

Ezt a tulajdonságot egy sor vagy oszlop dekompozíciós tulajdonságának nevezzük.

3. Ha két karakterláncot felcserélünk, a determináns az ellenkező előjelét váltja.

Bizonyíték . Legyen az első és a harmadik sor permutált a harmadrendű mátrixban. Mutassuk meg

A (3) egyenlőség bal oldalán lévő determinánst kiterjesztve az első sor elemeire, megkapjuk

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán lévő determinánst a harmadik sor elemeivel bővítve kapjuk

azok. ugyanaz a kifejezés, de ellenkező előjellel.

4. A két azonos sorral (oszloppal) rendelkező determináns egyenlő nullával.

Bizonyíték . Legyen egy két azonos sorú mátrix determinánsa. Ha ezeket a sorokat felcseréljük, akkor a determinánsnak előjelet kell váltania. De mivel a karakterláncok ugyanazok, a determináns nem változik. Azok. nekünk van
, ahol
vagy

5. Ha a determináns bármely sorának minden elemét megszorozzuk K számmal, akkor a teljes determináns megszorozódik ezzel a számmal.

Bizonyíték . Mutassuk meg például azt

.

Bővítsük ki a második sor elemeit. Ekkor az egyenlőség bal oldala a következőképpen írható fel:

hol van a mátrix determináns.

Ezt a tulajdonságot néha a következőképpen fogalmazzák meg: a karakterlánc összes elemének közös tényezője kivehető a meghatározó előjelből.

6. Az a determináns, amelyre a két sor megfelelő elemei arányosak, egyenlő nullával.

Bizonyíték . Legyen például a harmadik sor elemei arányosak az első elemeivel, azaz.

Ezután az 5-ös, majd a 4-es tulajdonság használatával megvan

7. Az a determináns, amelyben bármely sor minden eleme két tag összege, egyenlő az adott sor elemeinek az első és második tagra cserélésével kapott két determináns összegével. .

Bizonyíték . Legyen pl.

8.A determináns nem változik, ha az elemeknek van ilyensorhoz adja hozzá bármely másik sor megfelelő elemeit, megszorozva egy közös tényezővel

Bizonyíték . Adjuk hozzá például az első sor elemeihez a harmadik sor megfelelő elemeit, megszorozva ugyanazzal a számmal . Ezután a 7-es, majd a 6-os tulajdonsággal rendelkezünk

9. Behelyettesítési tétel. Bármely karakterlánc algebrai összeadásainak szorzata számokkal ,és egyenlő az adott mátrix determinánsával, amelyet úgy kapunk, hogy a szóban forgó elemeket , illetve számokra cseréljük.

Bizonyíték . Tekintsük például az első sor elemeinek és a harmadik sor elemeinek algebrai komplementereinek szorzatának összegét:

és meghatározó

.

Az első sor elemeivel kibővítve azt kapjuk, hogy , azaz. eredeti kifejezés.

10. Bármely sor elemeinek és egy másik sor algebrai komplementereinek szorzatának összege egyenlő nullával.

Bizonyíték . Tekintsük például a harmadik sor elemeinek szorzatainak összegét:

A helyettesítési tétel (9. tulajdonság) szerint ez a kifejezés egyenlő a determinánssal, amelynek harmadik sorában számok találhatók , és
:

.

Ez a determináns a 4. tulajdonság alapján nulla, mivel az első és a harmadik sor azonos.

A felsorolt ​​tulajdonságok, különösen a 8. tulajdonság lehetővé teszik a determináns számításának jelentős egyszerűsítését, különösen azt, hogy a harmadrendű determináns számítását három helyett egy másodrendű determináns számítására redukáljuk.

Példa . Számítsd ki a determinánst

Először is megjegyezzük, hogy a második oszlop elemeinek közös tényezője 2, a harmadik sor elemeinek közös tényezője 3. Ezért ezeket a tényezőket kivonva a determináns előjeléből kapjuk

.

Most, hogy hozzáadjuk a harmadik sort az elsőhöz, megvan

.

Ezt a determinánst kiterjesztve az első sor elemeire, amelyekben csak egy elem különbözik nullától, azt kapjuk, hogy

.

4. § A magasabb rendek meghatározói

A magasabb rendűek meghatározói, pl. a negyedik, ötödik stb., a kisebb rendű determinánsok felhasználásával határozzuk meg pontosan úgy, ahogyan a harmadik rendű determinánst meghatároztuk.

Tehát a negyedrendű determináns definíció szerint egyenlő

,

ahol ,, és
az első sor elemei, és
, ,
és
- megfelelő algebrai összeadásaik. A minorok és az algebrai komplementerek pontosan ugyanúgy vannak definiálva, mint a harmadrendű determinánsok esetében. Így a negyedrendű determináns számítása négy harmadrendű determináns kiszámítására redukálódik.

Rendhatározó n definíció szerint

.

Mint látható, a meghatározó n- th keresztül határozzák meg a sorrendet n meghatározó tényezők n-1 sorrendben mindegyiken keresztül van meghatározva
sorrend meghatározó n-2 és így tovább. Ha a kiterjesztést a 2. rendű determinánsokra hozzuk és kiszámoljuk, azt kapjuk, hogy a determináns n- a sorrend az algebrai összeg n! Val vel lefektetett.

A harmadrendű determinánsokra megfogalmazott és bizonyított összes tulajdonság a determinánsokra is érvényes
-edik sorrend. És hasonló módon bizonyítják.

A sorrend determinánsainak kiszámításához a 8-as tulajdonságot használjuk. Ezzel a tulajdonsággal biztosítjuk, hogy az egyik sorban vagy az egyik oszlopban minden elem, egy kivételével, nulla legyen. Tehát a determináns számítása - a sorrend lecsökkenthető egyetlen rendhatározó számítására.

Példa . Számítsa ki az ötödrendű determinánst

Vegye figyelembe, hogy a harmadik oszlopban két elem egyenlő nullával. Ebben az oszlopban további két nulla elemet kaphat, ha az ötödik sort 3-mal, illetve „-4”-gyel szorozva hozzáadja a második és negyedik sorhoz. Akkor kapunk

.

Ily módon

A kapott 4. rendű determináns kiszámításához az első, harmadik és negyedik sorhoz hozzáadjuk a második sort, megszorozva 2-vel, -3-mal, -2-vel. Kap

Most kibővítve a determinánst az első oszlop elemeivel, azt kapjuk (előzetesen kivéve a „-10” tényezőt a determináns előjelén túli harmadik sor elemeire vonatkozóan), hogy

Ha az első sorhoz hozzáadunk egy harmadik sort, megvan

Megjegyzés . A sorrendi mátrix determinánsának van egy másik definíciója is n : az elemek összes lehetséges szorzatának összege, minden sorból egyet, minden oszlopból egyet, és egy bizonyos szabály szerint aláírva. A determinánsok elméletéről további részletek találhatók például A.G. könyvében. Kurosh "A magasabb algebra kurzusa".

§5. Lineáris algebrai egyenletrendszerek kutatása, megoldása

Tekintsük a harmadrendű lineáris algebrai egyenletrendszert

Változók egyenkénti eltávolítása , és , menjen a képletekhez; nem számítható, mivel az A mátrix determinánsát detA jelöli. döntő n-...

A mátrixelméletet használó lineáris problémákhoz az úgynevezett determinánsok apparátusa társul, ami nagyon értékes az elméleti kérdések alkalmazási köre szempontjából.

1. Vezető megfontolások.

Tekintsünk általánosságban egy két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel

Tegyük fel, hogy a rendszernek van megoldása, és az x, y pár megoldást alkot, tehát mindkét egyenlet már valódi egyenlőséggé alakult. Szorozzuk meg az első egyenlőség mindkét oldalát a másodikkal, és vonjuk ki. Kap

Most megszorozzuk az első egyenlőséget a másodikkal -val, és összeadjuk. Kap

Tegyünk úgy, mintha. Akkor

Így, feltételezve, hogy létezik megoldás, meg tudtuk találni. Most van egy alternatíva - vagy létezik a megoldás, és akkor a (2) képlet adja meg, vagy a megoldás nem létezik. A második lehetőségtől való megszabaduláshoz csak azt kell megállapítani, hogy a (2) képletek valóban olyan megoldást adnak a rendszernek, amelyre a (2)-ből x-et és y-t be kell cserélni az (1) rendszerbe. Csináljuk:

Látjuk, hogy mindkét egyenlet valódi egyenlőséggé változott.

Ha a, akkor az okfejtésünk nem vezet teljes eredményre, és ezt az esetet egyelőre hagyjuk.

A (2) képletekben a nevező ugyanaz. A számlálók formájukban nagyon hasonlóak a nevezőhöz.

A kifejezésnek van egy speciális neve

mátrix determináns és speciális jelölés:

A determinánsok jelölésével a (2) képleteket a következőképpen írjuk fel

Alkalmazva például ezeket a képleteket a rendszer megoldására

Természetesen szükségtelen lenne a determináns fogalma, ha csak két egyenletrendszerről beszélnénk két ismeretlennel. Az eredmény általánosítható ismeretlenekkel rendelkező lineáris egyenletrendszerekre.

Tekintsünk egy másik esetet, legyen adott a rendszer

Azonnal zárjuk ki az y és az ismeretleneket. Ebből a célból megszorozzuk az első egyenletet a másodikkal a harmadikkal, és összeadjuk. Kap

Nyilvánvaló, hogy y és z együtthatója nulla.

A at együttható itt ugyanazt a szerepet játszik, mint a másodrendű rendszerekben. Ezt mátrixdeterminánsnak nevezik, és jelölése:

Ebben a jelölésben, ha a determináns nem egyenlő nullával,

Hasonlóképpen,

Levezetésünknek akkor van értelme, ha feltételezzük, hogy létezik megoldás. Ha azonban a talált x, y, z kifejezéseket behelyettesítjük az eredeti rendszerbe, megbizonyosodhatunk arról, hogy mindhárom egyenlet valódi egyenlőséggé alakul.

Tehát megmutattuk, hogy az általános formájú és hasonló szerkezetű lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló képletek, amelyekben a főszerepet a másodrendű determinánsok játsszák.

és harmadrendű

Mindkét kifejezés a mátrixelemek szorzatainak algebrai összege, és ezek a szorzatok soronként egy elemből és minden oszlopból egy elemből állnak. Minden ilyen termék szerepel a meghatározóban. Az alkotásokat a szabályok szerint + és - jelekkel látjuk el

Ezeken az ábrákon a determinánsban szereplő előjeles szorzatokat alkotó mátrix elemeit vonalak kötik össze

Térjünk most át a determináns általánosítására tetszőleges sorrendű négyzetmátrixok esetén, ezeknek a kifejezéseknek a formája alapján

Itt kényelmes a mátrix elemeit egy betűvel megjelölni, két indexet rendelve hozzá - a sorszámot és az oszlopszámot. A négyzetes sorrendű mátrix determinánsának formális definícióját a következőképpen adjuk meg:

A négyzetes sorrendű mátrix determinánsa (vagy sorrenddeterminánsa) a mátrixelemek összes lehetséges szorzatának algebrai összege, minden sorból egyet, minden oszlopból egyet, és valamilyen meghatározott szabály szerint plusz és mínusz előjelekkel ellátva.

A közeljövőben rátérünk arra a kérdésre, hogy mi is ez a szabály, de egyelőre megpróbáljuk leírni a fent szimbolikusan megfogalmazott definíciót. A determináns minden tagjába a faktorokat a sorok sorrendjében írjuk. Az oszlopszámok összeadják az összes számot 1-től -ig, különböző sorrendben és minden lehetséges sorrendben, mivel a determináns e definíció szerint az elemek összes szorzatából áll, minden sorból egyet és minden oszlopból egyet. Szó szerint:

Itt az indexek a számok összes lehetséges permutációján keresztül futnak. Minden permutációt két osztályra kell osztani úgy, hogy az egyik osztály a pluszjellel ellátott kifejezéseknek feleljen meg, a másik pedig mínuszjellel.

Metrikus és normált terek.

Euklideszi és unitárius terek.

Euklideszi terek. Skaláris szorzat az euklideszi térben és tulajdonságai.

Egy vektor hossza az euklideszi térben, a vektorok közötti szög. A Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség és a háromszög egyenlőtlenség.

Ortogonális és ortonormális vektorrendszerek az euklideszi térben. A skaláris szorzat ortonormális alapon.

Sturm-féle vektorrendszer ortogonalizációs folyamata.

Euklideszi terek izomorfizmusa.

Egységes terek. Skaláris szorzat egy unitér térben és tulajdonságai.

Egy vektor hossza unitáris térben. A Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség és a háromszög egyenlőtlenség.

Ortogonális és ortonormális rendszerek egységes térben. A skaláris szorzat ortonormális alapon.

Egy altér ortogonális kiegészítése. Az ortogonális komplement tulajdonságai.

Egy tér ábrázolása egy altér és annak ortogonális komplementere közvetlen összegeként.

Egy vektor ortogonális vetülete és ortogonális komponense altérre.

Egy vektor és egy altér, egy vektor és egy sokaság közötti távolság.

Szög egy vektor és az euklideszi tér altere között, egy szög a vektor és az euklideszi tér sokasága között.

Metrikus terek. Egy sorozat határa egy metrikus térben.

Labdák a metrikus térben. Limitált készletek. határpontok.

A metrikus terek teljessége. A beágyazott golyók tétele.

Normált terek. Normált és metrikus terek kapcsolata.

Koordinátakonvergencia és normakonvergencia, kapcsolatuk közöttük. Normált terek teljessége.

Lineáris funkcionálisok lineáris térben. A lineáris funkcionálok tere.

Bilineáris függvények lineáris térben. Szimmetrikus és antiszimmetrikus bilineáris funkcionálisok.

Multilineáris függvények lineáris térben. Szimmetrikus, antiszimmetrikus, abszolút szimmetrikus és abszolút antiszimmetrikus multilineáris funkcionálisok.

A négyzetmátrix mint multilineáris abszolút antiszimmetrikus funkcionális determinánsa. Képletek a másod- és harmadrendű determinánsok kiszámításához.

A determinánsok tulajdonságai.

A determináns bontása egy sor elemeivel vagy egy oszlop elemeivel.

A rend minorjai, algebrai kiegészítéseik. Laplace-tétel.

A sorrenddeterminánsok kiszámításának módszere háromszög alakúra redukálással.

Módszer lineáris tényezők kinyerésére a sorrenddeterminánsok számításánál. Vandermonde meghatározó.

Az ismétlődési relációk módszere a sorrendi determináns számításánál.

Egy determinánst két determináns összegeként ábrázoló módszer a sorrenddeterminánsok kiszámításakor.

Meghatározó elemek megváltoztatásának módszere a sorrenddeterminánsok számításakor.

45. számú középiskola.

Moszkva város.

Gorokhov Evgeniy „B” 10. osztályos tanuló

Tanfolyam (tervezet).

Bevezetés a mátrixok és determinánsok elméletébe .

1. Mátrixok ................................................... .................................................. ................................................ .. ....

1.1 A mátrix fogalma................................................ ................................................... .. ..................................

1.2 Alapműveletek mátrixokkal................................................ ................................................................ ..................

2. Determinánsok ................................................ .................................................. ........................................

2.1 A determináns fogalma................................................ ................................................... .. ..........................

2.2 Determinánsok számítása................................................ .................................................. ..............................

2.3 A determinánsok fő tulajdonságai................................................ ................................................................ ..................

3. Lineáris egyenletrendszerek................................................ ...................................................... ........

3.1 Alapvető definíciók................................................ ................................................................ ..........................................

3.2 Lineáris egyenletrendszerek kompatibilitásának feltétele ................................................ ......................................

3.3 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerrel................................................ ..............................................

3.4 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel................................................ ..........................................

4. Inverz mátrix .................................................. ................................................... ...................................

4.1 Az inverz mátrix fogalma................................................ ...................................................... ......................................

4.2 Az inverz mátrix számítása................................................ ................................................... .. ........

Bibliográfia................................................................ ................................................ .. ..............................

Mátrix téglalap alakú számtáblázatnak nevezzük, amely valamilyen számot tartalmaz m vonalak és néhány n oszlopok. Számok m és n hívott parancsokat mátrixok. Ha m = n , a mátrixot négyzetnek nevezzük, és a számot m = n -- őt sorrendben .

A mátrixokon végzett fő aritmetikai műveletek a mátrix szorzása számmal, a mátrixok összeadása és szorzása.

Folytassuk a mátrixokkal végzett alapműveletek meghatározását.

Mátrix összeadás: Két mátrix összege, például: A és B , amelynek ugyanannyi sora és oszlopa van, más szóval ugyanazok a sorrendek m és n mátrixnak nevezzük C = ( TÓL TŐL ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) ugyanazok a parancsok m és n , elemek Cij amelyek egyenlők.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Két mátrix összegének jelölésére a jelölést használjuk C=A+B. Az összegző mátrixok műveletét a mátrixoknak nevezzük kiegészítés

Tehát definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:

+ =

=

A mátrixok összegének definíciójából, vagy inkább a képletből ( 1.2 ) ebből egyenesen következik, hogy a mátrixösszeadás művelete ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a valós számok összeadása, nevezetesen:

1) ingatlan átruházása: A + B = B + A

2) kombinációs tulajdonság: (A + B) + C = A + (B + C)

Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy két vagy több mátrix összeadásakor ne törődjünk a mátrixok feltételeinek sorrendjével.

Mátrix szorzása számmal :

Mátrix termék valós számon mátrixnak nevezzük C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , melynek elemei egyenlők

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

A mátrix szorzatának számmal való jelölésére a jelölést használjuk C= A vagy C=A . A mátrix számmal való szorzatának összeállítását úgy nevezzük, hogy egy mátrixot megszorozunk ezzel a számmal.

Közvetlenül a képletből ( 1.3 ) egyértelmű, hogy egy mátrix számmal való szorzása a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkoztatva:

( A+B) = A+ B

2) asszociatív tulajdonság a numerikus tényezőhöz képest:

() A= ( A)

3) eloszlási tulajdonság a számok összegére vonatkoztatva:

( + ) A= A + A .

Megjegyzés :Két mátrix különbsége A és B azonos sorrendek esetén természetes, hogy ilyen mátrixot hívunk C azonos sorrendűek, amelyek összesen a mátrixszal B megadja a mátrixot A . A természetes jelölés két mátrix különbségének jelölésére szolgál: C=A-B.

Mátrixszorzás :

Mátrix termék A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , amelynek sorrendje rendre egyenlő m és n , a mátrixhoz B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , amelynek sorrendje rendre egyenlő n és p , mátrixnak nevezzük C= (TÓL TŐL ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , amelynek sorrendjei megegyeznek m és p , és elemek Cij képlettel definiált

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Egy mátrix szorzatának jelölésére A mátrixhoz B rekord használata

C=AB . Mátrix termék működése A mátrixhoz B hívott szorzás ezeket a mátrixokat. A fenti definícióból az következik mátrix A bármilyen mátrixszal megszorozható B : szükséges, hogy a mátrix oszlopainak száma A Ez volt egyenlő mátrix sorok száma B . Mindkét mű érdekében AB és BA nem csak definiáltak, hanem azonos sorrendűek is, szükséges és elegendő, hogy mindkét mátrixot A és B azonos sorrendű négyzetmátrixok.

képlet ( 1.4 ) a mátrixelemek összeállításának szabálya C ,

amely a mátrix szorzata A mátrixhoz B . Ez a szabály szóban is megfogalmazható: Elem Cij a kereszteződésben állva én -edik sor és j- mátrix oszlopa C=AB , egyenlő a megfelelő elemek páronkénti szorzatainak összege én -adik sor mátrixok A és j- mátrix oszlopa B . A szabály alkalmazásának példájaként bemutatjuk a másodrendű négyzetmátrixok szorzóképletét

A képletből ( 1.4 ) a mátrixszorzat következő tulajdonságai a következők: A mátrixhoz B :

1) asszociatív tulajdonság: ( AB) C =A(BC);

2) eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkoztatva:

(A+B)C=AC+BC vagy A (B + C) = AB + AC.

A mátrixok szorzatának permutációs tulajdonságának kérdése csak azonos rendű négyzetmátrixok esetén van értelme. Az elemi példák azt mutatják, hogy két azonos rendű négyzetmátrix szorzatai általában nem rendelkeznek permutációs tulajdonsággal. Valóban, ha tesszük

A = , B = , akkor AB= , a B.A.=

Ugyanazokat a mátrixokat szokták hívni, amelyek szorzatára a permutációs tulajdonság érvényes ingázás.

A négyzetmátrixok közül kiemeljük az ún átlós mátrixok, amelyek mindegyikének nullával egyenlő főátlóján kívüli elemei vannak. A főátlón egybeeső átlós mátrixok közül két mátrix különösen fontos szerepet játszik. Ezen mátrixok közül az elsőt akkor kapjuk meg, ha a főátló minden eleme egyenlő eggyel, ezt identitásmátrixnak nevezzük. n- E . A második mátrixot úgy kapjuk meg, hogy minden eleme nulla, és nulla mátrixnak nevezzük n- sorrendben, és a szimbólum jelöli O . Tegyük fel, hogy van egy tetszőleges mátrix A , akkor

AE=EA=A , AO=OA=O .

A képletek közül az első az identitásmátrix speciális szerepét jellemzi E, hasonlóan a szám szerepéhez 1 valós számok szorzásakor. Ami a nulla mátrix különleges szerepét illeti O, akkor nemcsak a második képletből derül ki, hanem egy elemileg igazolható egyenlőségből is: A+O=O+A=A . A nulla mátrix fogalma bevezethető nem négyzetes mátrixokra is.

Először is emlékeznie kell arra, hogy determinánsok csak négyzet típusú mátrixokhoz léteznek, mivel más típusú mátrixokhoz nincsenek determinánsok. A lineáris egyenletrendszerek elméletében és néhány más kérdésben célszerű ezt a fogalmat használni döntő, vagy döntő .

Tekintsünk tetszőleges négy mátrix alakban felírt számot, kettőt sorba és két oszlop , döntő vagy döntő, amely ennek a táblázatnak a számaiból áll, számnak nevezzük ad-bc , így jelölve: .Olyan determinánst hívnak másodrendű meghatározó, mivel az összeállításához egy kétsoros és két oszlopos táblázatot vettek. A determinánst alkotó számokat annak nevezzük elemeket; azt mondják, hogy az elemek a és d alkotják főátló determináns és az elemek b és c övé másodlagos átló. Látható, hogy a determináns egyenlő a fő- és másodlagos átlóján lévő elempárok szorzatának különbségével. A harmadik és bármely más sorrend meghatározója megközelítőleg ugyanaz, nevezetesen: Tegyük fel, hogy van egy négyzetmátrixunk . A következő mátrix meghatározója a következő kifejezés: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. . Amint látja, ez meglehetősen könnyen kiszámítható, ha emlékszik egy bizonyos sorozatra. Pozitív előjellel megy a főátló és az elemekből kialakított háromszögek, amelyek oldala párhuzamos a főátlóval, ebben az esetben ezek háromszögek a12a23a31, a13a21a32 .

Negatív előjellel van egy másodlagos átló és vele párhuzamos háromszögek, azaz. a11a23a32 , a12a21a33 . Így bármely sorrend meghatározó tényezői megtalálhatók. De vannak esetek, amikor ez a módszer meglehetősen bonyolulttá válik, például amikor sok elem van a mátrixban, és a determináns kiszámításához sok időt és figyelmet kell fordítani.

Van egy egyszerűbb módszer a determináns kiszámítására n- sorrendben, hol n2 . Egyezzünk meg abban, hogy bármely elem mollját hívjuk Aij mátrixok n- a mátrixból a törlés eredményeként kapott mátrixnak megfelelő harmadrendű determináns én -edik sor és j- oszlop (az a sor és az az oszlop, amelynek metszéspontjában van egy elem Aij ). Elem minor Aij szimbólummal lesz jelölve. Ebben a jelölésben a felső index a sorszámot jelöli, az alsó index az oszlopszámot, f az oszlop fölött M azt jelenti, hogy a megadott sor és oszlop át van húzva. A sorrend meghatározója n , a mátrixnak megfelelő számot hívjuk egyenlőnek és a szimbólummal jelöljük .

1.1. tétel Bármi legyen is a sorszám én ( i = 1, 2 …, n) , a meghatározónak n- sorrendben, a képletben

= det A =

hívott én- sor . Hangsúlyozzuk, hogy ebben a képletben az a kitevő, amelyre a (-1) számot emeljük, egyenlő azon sor- és oszlopszámok összegével, amelyek metszéspontjában egy elem található. Aij .

Tétel 1.2 Bármi legyen is az oszlop száma j ( j = 1, 2 …, n) , a meghatározónak n sorrendben, a képletben

= det A =

hívott ennek a meghatározónak a kiterjesztése szempontjából j- oszlop .

A determinánsoknak vannak olyan tulajdonságai is, amelyek megkönnyítik a kiszámításukat. Az alábbiakban tehát számos olyan tulajdonságot határozunk meg, amelyekkel egy tetszőleges determináns rendelkezik n -edik sorrend.

1. Sorok és oszlopok egyenlőségi tulajdonsága . átültetése bármely mátrix vagy determináns olyan művelet, amely felcseréli a sorokat és az oszlopokat, miközben fenntartja a sorrendjüket. A mátrix transzponálás eredményeként A mátrixot kapunk, amelyet mátrixnak neveznek, és transzponáltnak nevezzük a mátrixhoz képest A és a szimbólum jelöli A .

A determináns első tulajdonsága a következőképpen fogalmazódik meg: transzponáláskor a determináns értéke megmarad, azaz =.

2. Antiszimmetria tulajdonság két sor (vagy két oszlop) felcserélésekor. Két sor (vagy két oszlop) felcserélésekor a determináns megtartja abszolút értékét, de előjelét az ellenkezőjére váltja. Másodrendű determinánsnál ez a tulajdonság elemileg ellenőrizhető (a másodrendű determináns számítási képletéből rögtön következik, hogy a determinánsok csak előjelben térnek el egymástól).

3. A determináns lineáris tulajdonsága. Azt fogjuk mondani, hogy néhány karakterlánc ( a) a másik két sor lineáris kombinációja ( b és c ) együtthatókkal és . A lineáris tulajdonság a következőképpen fogalmazható meg: ha a determinánsban n rendelj néhányat én -th row két sor lineáris kombinációja, együtthatókkal és , akkor = + , hol

- meghatározó, hogy én -a sor egyenlő a lineáris kombináció két sora közül az egyikkel, a többi sor pedig megegyezik , a egy olyan meghatározó, amelyre én- i string egyenlő két karakterlánc közül a másodikkal, és az összes többi karakterlánc azonos y-val.

Ez a három tulajdonság a determináns fő tulajdonsága, felfedi annak természetét. A következő öt tulajdonság logikus következményei három fő tulajdonsága.

Következmény 1. A két azonos sorral (vagy oszloppal) rendelkező determináns nulla.

2. következmény. Egy determináns valamely sorának (vagy oszlopának) összes elemének megszorzása egy számmal a egyenértékű a determináns ezzel a számmal való szorzásával a . Más szóval, a determináns valamely sorának (vagy oszlopának) összes elemének közös tényezője kivehető ennek a determinánsnak az előjeléből.

3. következmény. Ha egy sor (vagy valamelyik oszlop) minden eleme nulla, akkor maga a determináns is nulla.

Következmény 4. Ha egy determináns két sorának (vagy két oszlopának) elemei arányosak, akkor a determináns nulla.

Következmény 5. Ha a determináns valamelyik sorának (vagy oszlopának) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (egy másik oszlop) megfelelő elemeit, tetszőleges tényezővel megszorozva, akkor a determináns értéke nem változik. Az 5. következmény a lineáris tulajdonsághoz hasonlóan egy általánosabb megfogalmazást enged meg, amit a karakterláncokra adok: ha a determináns egy bizonyos sorának elemeihez hozzáadjuk egy olyan sor megfelelő elemeit, amely több másik sor lineáris kombinációja. ez a determináns (bármilyen együtthatóval), akkor a determináns értéke nem változik . Az 5. következményt széles körben használják a determinánsok konkrét kiszámításakor.

Ismeretes, hogy mátrixok segítségével különféle egyenletrendszereket tudunk megoldani, ezek a rendszerek tetszőleges méretűek és tetszőleges számú változóval rendelkezhetnek. Néhány levezetés és képlet segítségével hatalmas egyenletrendszerek megoldása meglehetősen gyors és egyszerűbb.

Különösen a Cramer- és Gauss-módszert fogom ismertetni. A legegyszerűbb módszer a Cramer-módszer (számomra), vagy ahogy más néven a Cramer-képlet. Tehát tegyük fel, hogy van valamilyen egyenletrendszerünk

, mátrix formájában ez a rendszer a következőképpen írható fel: A= ahol a válaszok egyenletek lesznek, az utolsó oszlopban lesznek. Most bevezetjük az alapdetermináns fogalmát; ebben az esetben így fog kinézni:

= . A fő determináns, amint azt már észrevette, egy mátrix, amely a változók együtthatóiból áll. Oszlopsorrendben is mennek, vagyis az első oszlopban vannak azok az együtthatók, amelyek at x , a második oszlopban at y , stb. Ez nagyon fontos, mert a következő lépésekben egy változó minden együtthatóoszlopát az egyenletválaszok oszlopára cseréljük. Tehát, mint mondtam, az első változónál lévő oszlopot lecseréljük a válasz oszlopra, majd a másodiknál, természetesen minden attól függ, hogy hány változót kell megtalálnunk.

1 = , 2 = , 3 = .

Ezután meg kell találni a determinánsokat 1 , 2, 3. Milyen a már ismert harmadik rend meghatározója. DE itt alkalmazzuk Cramer szabályát. Ez így néz ki:

x1 = , x2 = , x3 = – erre az esetre, de általában így néz ki: x i = . Az ismeretlenek együtthatóiból összeállított determinánst nevezzük rendszer meghatározó .

1. V. A. Iljin, E. G. Poznyak „Lineáris algebra”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin „Elemi transzformációk a lineáris algebrában”