Hasonlóan, mint egynek anyagi pont, akkor levezetünk egy tételt a rendszer impulzusának változásáról különböző formákban.

Alakítsuk át az egyenletet (tétel egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgásáról)

a következő módon:

;

A kapott egyenlet egy mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételt differenciális formában fejezi ki: egy mechanikai rendszer impulzusának időbeli deriváltja egyenlő a fővektorral. külső erők, hat a rendszerre .

A derékszögű koordinátatengelyekre vetítéseknél:

; ; .

Az utolsó egyenletek mindkét oldalának integráljait az idő függvényében véve egy tételt kapunk egy mechanikai rendszer impulzusának változásáról integrál formában: egy mechanikai rendszer impulzusának változása megegyezik a mechanikai rendszer impulzusának változása a fővektor impulzusával. a rendszerre ható külső erők .

.

Vagy derékszögű koordinátatengelyekre vetítve:

; ; .

Következmények a tételből (a lendület megmaradásának törvényei)

Az impulzusmegmaradás törvényét a külső erőrendszer jellemzőitől függő rendszer impulzusváltozásáról szóló tétel speciális eseteiként kapjuk meg. A belső erők bármilyenek lehetnek, mivel nem befolyásolják a lendület változását.

Két eset lehetséges:

1. Ha a rendszerre ható összes külső erő vektorösszege egyenlő nullával, akkor a rendszer mozgásának nagysága és iránya állandó.

2. Ha a külső erők fővektorának vetülete bármely koordinátatengelyre és/vagy és/vagy egyenlő nullával, akkor az impulzus vetülete ugyanezekre a tengelyekre állandó érték, azaz. és/vagy és/vagy.

Hasonló bejegyzéseket lehet tenni egy anyagi pontra és egy anyagi pontra.

A feladat. Egy fegyvertől, amelynek tömege M, egy tömeglövedék vízszintes irányban kirepül m sebességgel v. Találd meg a sebességet V fegyverek lövés után.

Megoldás. Minden ráható külső erő mechanikus rendszer lövedékfegyver, függőleges. Ez azt jelenti, hogy a rendszer lendületének változására vonatkozó tétel következményei alapján: .

A mechanikus rendszer mozgásának mértéke égetés előtt:

A mechanikus rendszer mozgásának mértéke a lövés után:

.

A kifejezések jobb oldalát egyenlővé téve azt kapjuk, hogy

.

A „-” jel az eredményül kapott képletben azt jelzi, hogy a lövés után a fegyver a tengellyel ellentétes irányba gurul vissza. Ökör.

2. PÉLDA Sűrűségű folyadékáram V sebességgel folyik egy F keresztmetszeti területű csőből, és szögben ütközik egy függőleges falnak. Határozza meg a folyadék nyomását a falon.

MEGOLDÁS. Alkalmazzuk az impulzus változásának tételét egy tömegű folyadék térfogatára integrált formában m falnak ütközik egy bizonyos idő alatt t.

MESHCSERSKY-EGYENLET

(változó tömegű test dinamikájának alapegyenlete)

A modern technikában előfordulnak olyan esetek, amikor egy pont és egy rendszer tömege mozgás közben nem marad állandó, hanem változik. Így például repülés közben űrrakéták, az égéstermékek és a rakéták egyes felesleges alkatrészeinek kilökődése miatt a tömegváltozás eléri a teljes kezdeti érték 90-95%-át. De nem csak űrtechnológia példa lehet egy változó tömeg mozgásának dinamikájára. BAN BEN textilipar Jelentős változás áll be a különböző orsók, orsók, tekercsek tömegében a gépek és gépek korszerű üzemi sebessége mellett.

Tekintsük a példa segítségével a tömegváltozással kapcsolatos főbb jellemzőket előre mozgás változó tömegű testek. A dinamika alaptörvénye nem alkalmazható közvetlenül változó tömegű testre. Ezért egy változó tömegű pont mozgási differenciálegyenleteit kapjuk, alkalmazva a rendszer lendületének változására vonatkozó tételt.

Legyen a pontnak tömege m+dm sebességgel mozog. Ekkor egy bizonyos tömegű részecskét elválik a ponttól dm sebességgel halad.

A test mozgásának mértéke, mielőtt a részecske leszakad:

Egy testből és egy leválasztott részecskéből álló rendszer mozgásának mértéke a szétválás után:

Aztán a lendület változása:

A rendszer lendületének változásáról szóló tétel alapján:

Jelöljük a mennyiséget - relatív sebesség részecskék:

Jelöljük

Méret R reaktív erőnek nevezzük. A reaktív erő a motor tolóereje, amelyet a fúvókából kilépő gáz okoz.

Végre megkapjuk

-

Ez a képlet változó tömegű test dinamikájának alapegyenletét fejezi ki (Meshchersky-képlet). Az utolsó képletből az következik, hogy egy változó tömegű pont mozgási differenciálegyenletei ugyanolyan alakúak, mint egy állandó tömegű ponté, kivéve a tömegváltozás miatt a pontra ható további reaktív erőt.

A változó tömegű test dinamikájának alapegyenlete azt jelzi, hogy ennek a testnek a gyorsulása nemcsak külső erők hatására jön létre, hanem a reaktív erő hatására is.

A reaktív erő olyan erő, amely hasonló ahhoz, amit a lövöldöző személy érez – ha pisztolyból lövöldözik, azt a kéz érzi; Puskából lövéskor a váll érzékeli.

Ciolkovszkij első képlete (egyfokozatú rakétához)

Egy változó tömegű pont vagy egy rakéta csak egy reaktív erő hatására mozogjon egyenes vonalban. Mivel sok modern sugárhajtóműhöz , ahol a motor kialakítása által megengedett legnagyobb reaktív erő (motor tolóerő); - az elhelyezett motorra ható gravitációs erő a Föld felszíne. Azok. a fentiek lehetővé teszik, hogy figyelmen kívül hagyjuk a Meshchersky-egyenletben szereplő összetevőt, és elfogadjuk ezt az egyenletet a következő formában további elemzéshez: ,

Jelöljük:

Üzemanyag-tartalék (folyékony sugárhajtóműveknél - a rakéta száraz tömege (az összes üzemanyag kiégése után fennmaradó tömege);

A rakétáról levált részecskék tömege; változó értéknek tekintendő, tól ig változó.

Írjuk fel az egyenletet egyenes vonalú mozgás változó tömegű pontok a következő formában:

.

Mivel a rakéta változó tömegének meghatározására szolgáló képlet az

Ezért egy pont mozgásegyenletei Mindkét oldal integrálját véve megkapjuk

Ahol - jellemző sebesség- ez az a sebesség, amelyet a rakéta a tolóerő hatására elér, miután az összes részecske kitört a rakétából (folyékony sugárhajtóműveknél - miután az összes üzemanyag kiégett).

Az integráljelen kívülre (ami a felsőbb matematikából ismert középértéktétel alapján tehető meg) átlagsebesség rakétából kilökött részecskék.

A következőket tartalmazza n anyagi pontok. Válasszunk ki egy bizonyos pontot ebből a rendszerből Mj tömeggel m j. Mint ismeretes, külső és belső erők hatnak ezen a ponton.

Alkalmazzuk a lényegre Mj minden belső erő eredménye F j iés minden külső erő eredője F j e(2.2. ábra). Egy kiválasztott anyagi ponthoz Mj(mint szabad pontra) felírjuk az impulzus változására vonatkozó tételt differenciál alakban (2.3):

Írjunk fel hasonló egyenleteket a mechanikai rendszer minden pontjára (j=1,2,3,…,n).

2.2. ábra

Adjuk össze az egészet darabonként n egyenletek:

∑d(m j × V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j × V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Itt ∑m j ×V j =Q– a mechanikai rendszer mozgásának mértéke;
∑F j e = R e– a mechanikai rendszerre ható összes külső erő fővektora;
∑F j i = R i =0– a rendszer belső erőinek fővektora (a belső erők tulajdonsága szerint nullával egyenlő).

Végül a mechanikai rendszerhez kapunk

dQ/dt = R e. (2.11)

A (2.11) kifejezés egy tétel egy mechanikai rendszer impulzusának változásáról differenciális formában (vektoros kifejezésben): egy mechanikai rendszer impulzusvektorának időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható összes külső erő fővektorával.

A (2.11) vektoregyenlőséget a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve kifejezéseket kapunk a mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételhez koordináta (skaláris) kifejezésben:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

azok. egy mechanikai rendszer lendületének bármely tengelyre vetítésének időbeli deriváltja megegyezik a mechanikai rendszerre ható összes külső erő fővektorának erre a tengelyre való vetületével.

A (2.12) egyenlőség mindkét oldalát megszorozva ezzel dt, a tételt egy másik differenciálformában kapjuk meg:

dQ = R e × dt = δS e, (2.13)

azok. egy mechanikai rendszer differenciálimpulzusa egyenlő a rendszerre ható összes külső erő fővektorának elemi impulzusával (az elemi impulzusok összegével)..

Integráló egyenlőség (2.13) az időn belül változik 0-ról t, egy tételt kapunk egy mechanikai rendszer impulzusának változásáról végső (integrális) formában (vektoros kifejezésben):

Q - Q 0 = S e,

azok. egy mechanikai rendszer impulzusának véges időn belüli változása megegyezik a rendszerre ugyanazon idő alatt ható összes külső erő fővektorának teljes impulzusával (az összes impulzus összegével)..

A (2.14) vektoregyenlőséget a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve a tételhez kifejezéseket kapunk vetületekben (skaláris kifejezésben):

azok. a mechanikai rendszer impulzusának bármely tengelyre történő vetületének véges időn belüli változása megegyezik az összes külső erő fővektorának teljes impulzusának (a teljes impulzusok összegének) ugyanazon tengelyre történő vetületével. ugyanabban az időszakban hat a mechanikai rendszerre.

A vizsgált (2.11) – (2.15) tételből a következő következmények következnek:

1. Ha R e = ∑F j e = 0, Azt Q = állandó– megvan a mechanikai rendszer impulzusvektorának megmaradásának törvénye: ha a fővektor Újra egy mechanikai rendszerre ható összes külső erő nullával egyenlő, akkor ennek a rendszernek a lendületvektora nagyságrendileg és irányában állandó marad és egyenlő kezdő érték Q 0, azaz Q = Q 0.
2. Ha R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Azt Q x = állandó– van egy mechanikai rendszer impulzustengelyére való vetület fennmaradásának törvénye: ha a mechanikai rendszerre ható összes erő fővektorának bármely tengelyre vetülete nulla, akkor a vetület ugyanarra a tengelyre ennek a rendszernek az impulzusvektora állandó értékű lesz, és egyenlő az erre a tengelyre történő vetítéssel a kezdeti impulzusvektor, azaz. Q x = Q 0x.

Az impulzusváltozás tételének differenciálformája anyagrendszer fontos és érdekes alkalmazásai vannak a kontinuum mechanikában. A (2.11)-ből megkaphatjuk az Euler-tételt.

Egy anyagi pont mozgásának mértéke vektormennyiségnek nevezzük mV, egyenlő egy pont tömegének és sebességvektorának szorzatával. Vektor mV mozgó pontra alkalmazva.

A rendszer mozgásának mértéke vektormennyiségnek nevezzük K, egyenlő a rendszer összes pontja mozgási mennyiségeinek geometriai összegével (fővektorával):

Vektor K egy szabad vektor. Az SI mértékegységrendszerben az impulzus modulusát kg m/s-ban vagy N s-ban mérik.

Általános szabály, hogy a rendszer minden pontjának sebessége eltérő (lásd például a 6.21. ábrán látható gördülő kerék pontjainak eloszlását), ezért a vektorok közvetlen összegzése az egyenlőség jobb oldalán (17.2) nehéz. Keressünk egy képletet, amelynek segítségével a mennyiséget K sokkal könnyebb kiszámolni. A (16.4) egyenlőségből az következik

Ha mindkét oldal időderiváltját vesszük, azt kapjuk Tehát a (17.2) egyenlőséget figyelembe véve azt találjuk

vagyis a rendszer lendülete egyenlő a teljes rendszer tömegének és tömegközéppontja sebességének szorzatával.

Vegye figyelembe, hogy a vektor K, a statikában az erők fővektorához hasonlóan az egész mechanikai rendszer mozgására jellemző általánosított vektor. BAN BEN általános eset rendszer mozgásának lendülete K a rendszer mozgásának transzlációs részének a tömegközéppontjával együtt jellemzőnek tekinthető. Ha a rendszer (test) mozgása során a tömegközéppont álló helyzetben van, akkor a rendszer mozgásának mértéke nulla lesz. Ez például egy test lendülete, amely a tömegközéppontján átmenő rögzített tengely körül forog.

Példa. Határozza meg a mechanikai rendszer mozgásának mértékét (17.1. ábra, A), rakományból áll A tömeg t A - 2 kg, homogén blokk BAN BEN 1 kg súlyú és kerekekkel D tömeg m D-4 kg. Szállítmány A sebességgel mozog V A - 2 m/s, kerék D csúszás nélkül gördül, a szál nyújthatatlan és súlytalan. Megoldás. Testek rendszerének mozgási mennyisége

Test A halad előre és Q A =m A V A(számszerűen K A= 4 kg m/s, vektorirány K A egybeesik az iránnyal V A). Blokk BAN BEN vállalja forgó mozgás a tömegközéppontján átmenő rögzített tengely körül; ennélfogva, QB- 0. Kerék D síkot tesz párhuzamosra

mozgalom; pillanatnyi sebességközéppontja a pontban van NAK NEK, ezért tömegközéppontjának sebessége (pont E) egyenlő V E = V A /2= 1 m/s. Kerékmozgás mértéke Q D - m D V E - 4 kg m/s; vektor K D vízszintesen balra irányítva.

A vektorok ábrázolásával K AÉs K Dábrán. 17.1, b, keresse meg a mozgás mennyiségét K(a) képlet szerinti rendszerek. Figyelembe véve az irányokat és számértékek mennyiséget kapunk Q ~^Q A +Q E=4l/2~ kg m/s, vektorirány Kábrán látható. 17.1, b.

Tekintve, hogy a -dV/dt, a dinamika alaptörvényének (13.4) egyenlete ábrázolható

A (17.4) egyenlet egy pont impulzusának változására vonatkozó tételt differenciális alakban fejezi ki: minden időpillanatban egy pont lendületének időbeli deriváltja egyenlő a pontra ható erővel. (Lényegében ez a dinamika alaptörvényének egy másik megfogalmazása, közel a Newton által adotthoz.) Ha egy pontra több erő hat, akkor a (17.4) egyenlőség jobb oldalán lesz az alkalmazott erők eredője. az anyagi pontig.

Ha az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk dt, akkor kapunk

Az egyenlőség jobb oldalán lévő vektormennyiség azt a hatást jellemzi, amelyet egy erő egy elemi idő alatt a testre gyakorol. dt ezt az értéket jelöljük dSés hívja alapvető erő impulzusa, azaz

Impulzus S erő F véges időtartamra /, - / 0 a megfelelő elemi impulzusok integrálösszegének határa, azaz.

A speciális esetben, ha az erő F akkor nagysága és iránya állandó S = F(t| -/ 0) és S- F(t l -/ 0). Általános esetben az erőimpulzus nagysága a koordinátatengelyekre való vetületeiből számítható ki:

Most az egyenlőség mindkét oldalát (17.5) integrálva T= const, kapjuk

A (17.9) egyenlet egy véges (integrális) formában lévő pont impulzusváltozására vonatkozó tételt fejezi ki: egy pont impulzusának egy bizonyos időtartam alatti változása megegyezik a pontra ható erő impulzusával (vagy a rá ható összes erő eredőjének impulzusával) ugyanazon idő alatt.

Feladatok megoldása során használja ennek a tételnek az egyenleteit a koordinátatengelyekre történő vetítésekben

Most vegyünk egy mechanikus rendszert, amely a következőkből áll P anyagi pontok. Ekkor minden pontra alkalmazhatjuk a (17.4) alakban az impulzus változására vonatkozó tételt, figyelembe véve a pontokra ható külső és belső erőket:

Ezeket az egyenlőségeket összegezve, és figyelembe véve, hogy a deriváltak összege egyenlő az összeg deriváltjával, megkapjuk

Mivel a belső erők természeténél fogva HF k=0 és az impulzus definíciója szerint ^fn k V/ c = K, akkor végre megtaláljuk

A (17.11) egyenlet a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tételt differenciális formában fejezi ki: minden időpillanatban a rendszer lendületének időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható összes külső erő geometriai összegével.

A (17.11) egyenlőséget a koordinátatengelyekre vetítve megkapjuk

Mindkét oldalt (17,11) megszorozva ezzel dtés integrálva kapjuk

ahol 0, Q 0 - a rendszer mozgásának mértéke az időpillanatokban, illetve / 0.

A (17.13) egyenlet a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tételt integrál formában fejezi ki: a rendszer lendületének tetszőleges időn belüli változása megegyezik a rendszerre egy időben ható összes külső erő impulzusainak összegével.

A koordinátatengelyekre vetítésekben kapjuk

A rendszer lendületének változására vonatkozó tételből a következő fontos következtetések vonhatók le, amelyek kifejezik rendszer impulzusmegmaradásának törvénye.

• 1. Ha a rendszerre ható összes külső erő geometriai összege nulla (LF k=0), akkor a (17.11) egyenletből az következik, hogy ebben az esetben K= const, azaz a rendszer impulzusvektorának nagysága és iránya állandó lesz.
• 2. Ha a rendszerre ható külső erők olyanok, hogy bármely tengelyre vetületük összege nulla (pl. I e kx = 0), akkor a (17.12) egyenletekből az következik, hogy ebben az esetben Q x = const, vagyis a rendszer impulzusának erre a tengelyre való vetülete változatlan marad.

Vegyük észre, hogy a rendszer belső erői nem vesznek részt a rendszer lendületének változására vonatkozó tétel egyenletében. Ezek az erők, bár befolyásolják a rendszer egyes pontjainak lendületét, nem változtathatják meg a rendszer egészének lendületét. Ezt a körülményt figyelembe véve a problémák megoldása során célszerű a vizsgált rendszert úgy megválasztani, hogy az ismeretlen erők (egy részük vagy egészük) belsővé váljanak.

Az impulzusmegmaradás törvénye kényelmesen alkalmazható olyan esetekben, amikor a rendszer egyik részének sebességének megváltoztatásával meg kell határozni a másik részének sebességét.

Probléma 17.1. NAK NEK kocsi mérlegelése t x- 12 kg sima vízszintes síkban mozog egy ponton A egy súlytalan rudat hengeres csuklópánt segítségével rögzítenek HIRDETÉS hossza /= 0,6 m terheléssel D tömeg t 2 - 6 kg a végén (17.2. ábra). Időben / 0 = 0, amikor a kocsi sebessége És ()- 0,5 m/s, rúd HIRDETÉS tengely körül forogni kezd A, a rajzsíkra merőlegesen, az f = (tg/6)(3^2 - 1) rad (/-másodpercben) törvény szerint. Határozza meg: u=f.

§ 17.3. Tétel a tömegközéppont mozgásáról

A mechanikai rendszer impulzusának változásáról szóló tétel egy másik formában is kifejezhető, a tömegközéppont mozgásáról szóló tételnek nevezzük.

A (17.11) egyenletbe behelyettesítve az egyenlőséget Q = MV C, kapunk

Ha a tömeg M rendszer állandó, kapjuk

Ahol és - a rendszer tömegközéppontjának gyorsulása.

A (17.15) egyenlet a rendszer tömegközéppontjának mozgására vonatkozó tételt fejezi ki: egy rendszer tömegének és tömegközéppontja gyorsulásának szorzata egyenlő a rendszerre ható összes külső erő geometriai összegével.

A (17.15) egyenlőséget a koordinátatengelyekre vetítve megkapjuk

Ahol x c , y c , z c - a rendszer tömegközéppontjának koordinátái.

Ezek az egyenletek a tömegközéppont mozgásának differenciálegyenletei a derékszögű koordináta-rendszer tengelyeire vetített vetületekben.

Beszéljük meg a kapott eredményeket. Először is emlékezzünk arra, hogy a rendszer tömegközéppontja az geometriai pont, néha a test geometriai határain kívül helyezkednek el. A mechanikai rendszerre (külső és belső) ható erők a rendszer minden anyagi pontjára hatnak. A (17.15) egyenletek lehetővé teszik a rendszer tömegközéppontjának mozgásának meghatározását anélkül, hogy meghatároznák egyes pontjainak mozgását. Ha összehasonlítjuk a tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel (17.15) egyenleteit Newton második törvényének (13.5) egyenleteivel egy anyagi pontra, arra a következtetésre jutunk: egy mechanikai rendszer tömegközéppontja úgy mozog, mint egy anyagi pont, amelynek tömege megegyezik az egész rendszer tömegével, és mintha minden, a rendszerre ható külső erő erre a pontra hatna.Így azok a megoldások, amelyeket úgy kapunk, hogy egy adott testet anyagi pontnak tekintünk, meghatározzák ennek a testnek a tömegközéppontjának mozgástörvényét.

Különösen, ha egy test transzlációsan mozog, akkor a test összes pontjának és tömegközéppontjának kinematikai jellemzői azonosak. Ezért a transzlációsan mozgó testet mindig az egész test tömegével megegyező tömegű anyagi pontnak tekinthetjük.

A (17.15) pontból látható, hogy a rendszer pontjaira ható belső erők nem befolyásolják a rendszer tömegközéppontjának mozgását. A belső erők befolyásolhatják a tömegközéppont mozgását olyan esetekben, amikor a külső erők ezek hatására megváltoznak. Az alábbiakban erre adunk példákat.

A tömegközéppont mozgására vonatkozó tételből a következő fontos következtetések vonhatók le, amelyek a rendszer tömegközéppontjának mozgásmegmaradás törvényét fejezik ki.

1. Ha a rendszerre ható összes külső erő geometriai összege nulla (LF k=0), akkor a (17.15) egyenletből az következik,

mit szólsz ehhez a c = 0 vagy V c = const, azaz ennek a rendszernek a tömegközéppontja

nagyságrendben és irányban állandó sebességgel mozog (más szóval egyenletesen és egyenes vonalúan). Egy adott esetben, ha először a tömegközéppont nyugalomban volt ( V c=0), akkor nyugalomban marad; ahol

nyomon követni Tudod, hogy a térben elfoglalt helyzete nem fog változni, i.e. r c = const.

2. Ha a rendszerre ható külső erők olyanok, hogy a vetületeik összege valamely tengelyre (pl. X) egyenlő nullával (?F e kx= 0), akkor a (17.16) egyenletből az következik, hogy ebben az esetben x s=0 vagy V Cx =x c = const, azaz a rendszer tömegközéppontjának sebességének erre a tengelyre való vetülete állandó érték. A speciális esetben, ha a kezdeti pillanatban Bosszant= 0, akkor ez az érték minden későbbi időpontban változatlan marad, és ebből következik, hogy a koordináta x s a rendszer tömegközéppontja nem fog változni, i.e. x c - const.

Nézzünk példákat a tömegközéppont mozgástörvényére.

Példák. 1. Mint megjegyeztük, a tömegközéppont mozgása csak külső erőktől függ, a belső erők nem tudják megváltoztatni a tömegközéppont helyzetét. De a rendszer belső erői külső hatásokat okozhatnak. Így az ember vízszintes felületen történő mozgása a cipőtalpa és az útfelület közötti súrlódási erők hatására történik. Az ember izomzatának erejével (belső erők) a lábával lökdösődik az útfelületről, ezért az úttal való érintkezési pontokon (az emberen kívüli) súrlódási erő lép fel, amely az úttest irányába irányul. mozgalom.

• 2. Az autó hasonló módon mozog. A motorjában fellépő belső nyomóerők forgásra kényszerítik a kerekeket, de mivel az utóbbiaknak van tapadása az úttal, a keletkező súrlódási erők „előrenyomják” az autót (ebből adódóan a kerekek nem forognak, hanem síkkal párhuzamosan mozognak) . Ha az út teljesen sima, akkor az autó tömegközéppontja áll (nulla kezdeti sebesség mellett), és a kerekek súrlódás hiányában megcsúsznak, azaz forgó mozgást végeznek.
• 3. A légcsavar, légcsavar vagy evezők segítségével történő mozgás bizonyos levegő (vagy víz) tömeg visszautasítása miatt következik be. Ha a kidobott tömeget és a mozgó testet egy rendszernek tekintjük, akkor a köztük lévő kölcsönhatási erők, mint belső erők nem tudják megváltoztatni ennek a rendszernek a teljes mozgását. Ennek a rendszernek azonban minden része elmozdítja például a csónakot előre, és a vizet, amelyet az evezők visszadobnak.
• 4. Levegőtlen térben, amikor egy rakéta mozog, a „feldobott tömeget” „magunkkal kell vinni”: a sugárhajtómű mozgást ad a rakétának úgy, hogy visszadobja a rakétát megtöltött üzemanyag égéstermékeit.
• 5. Ejtőernyős ereszkedéskor szabályozhatja az ember-ejtőernyő rendszer tömegközéppontjának mozgását. Ha egy személy izomerőfeszítéssel megfeszíti az ejtőernyő vonalait úgy, hogy a tető alakja vagy a légáramlás támadási szöge megváltozik, akkor ez a légáramlás külső hatásában megváltozik, és ezáltal befolyásolja a mozgást. az egész rendszerről.

17.2 probléma. BAN BEN A 17.1. feladat (lásd a 17.2. ábrát) határozza meg: 1) a kocsi mozgásának törvénye X (= /)(/), ha ismert, hogy az idő kezdeti pillanatában t 0 = O a rendszer nyugalomban volt és a koordináta x 10 = 0; 2) a teljes érték időbeli változásának törvénye normális reakció N(N = N" + N") vízszintes sík, azaz. N=f2 (t).

Megoldás. Itt a 17.1. feladathoz hasonlóan egy kocsiból és egy rakományból álló rendszert tekintünk D, tetszőleges helyzetben a rá ható külső erők hatására (lásd 17.2. ábra). Koordinátatengelyek Óóó rajzolja meg úgy, hogy az x tengely vízszintes legyen, a tengely pedig nál nélátment a ponton A 0, azaz a pont helye A egy adott időpontban t-t 0 - 0.

1. A kocsi mozgástörvényének meghatározása. Az x, = /,(0 meghatározásához a rendszer tömegközéppontjának mozgására vonatkozó tételt használjuk. differenciálegyenlet mozgásai az x tengelyre vetítve:

Mivel minden külső erő függőleges, akkor T,F e kx = 0, és ezért

Ezt az egyenletet integrálva azt találjuk Mx s = B, vagyis a rendszer tömegközéppontjának sebességének az x tengelyre vetítése állandó érték. Mivel a kezdeti pillanatban

Integráló egyenlet Mx s= 0, kapjuk

azaz koordináta x s a rendszer tömegközéppontja állandó.

Írjuk fel a kifejezést Mx s a rendszer tetszőleges pozíciójához (lásd 17.2. ábra), figyelembe véve azt x A - x { , x D - x 2És x 2 - x ( - én bűn f. A (16.5) képlet szerint, amely meghatározza a rendszer tömegközéppontjának koordinátáját, ebben az esetben Mx s - t ( x ( + t 2 x 2".

egy tetszőleges időpontra

pillanatnyi időre / () = 0, X (= 0 és

A (b) egyenlőségnek megfelelően a koordináta x s a teljes rendszer tömegközéppontja változatlan marad, azaz xD^,) = xc(t). Következésképpen a (c) és (d) kifejezések egyenlővé tételével megkapjuk az x koordináta időfüggőségét.

Válasz: X - 0,2 m, hol t- másodpercek alatt.

2. A reakció definíciója N. Meghatározására N=f 2 (t) alkotjuk meg a rendszer tömegközéppontjának mozgási differenciálegyenletét a függőleges tengelyre vetítve nál nél(lásd: 17.2. ábra):

Ezért jelölve N=N+N", kapunk

Az ordinátát meghatározó képlet szerint y s a rendszer tömegközéppontja, Mu s = t ( y x + t 2 y 2, ahol y = C1-nél,2-kor= y D = UA ~ 1 cos Ф" kapjuk

Ennek az egyenlőségnek az időben történő kétszeri megkülönböztetése (figyelembe véve azt a C1-nélÉs A.-nál mennyiségek állandóak, ezért deriváltjaik nullával egyenlőek), azt találjuk

Ezt a kifejezést behelyettesítve az (e) egyenletbe, meghatározzuk a kívánt függőséget N tól től t.

Válasz: N- 176,4 + 1,13,

ahol f = (i/6) (3/ -1), t- másodpercek alatt, N- newtonban.

17.3. probléma. Elektromos motor súlya t x csavarokkal rögzítve az alap vízszintes felületéhez (17.3. ábra). Egy l hosszúságú súlytalan rudat az egyik végén a motor tengelyéhez rögzítenek a forgástengelyre merőlegesen, a rúd másik végére pedig egy pontsúlyt. A tömeg t 2. A tengely egyenletesen forog a szögsebesség co. Keresse meg a motor vízszintes nyomását a csavarokon. Megoldás. Vegyünk egy mechanikus rendszert, amely egy motorból és egy pontsúlyból áll A, bármilyen helyzetben. Ábrázoljuk a rendszerre ható külső erőket: a gravitációt R x, R 2, az alap reakciója függőleges erő formájában N és vízszintes erő R. Rajzoljuk meg vízszintesen az x tengelyt.

A motor vízszintes nyomásának meghatározása a csavarokon (és számszerűen egyenlő lesz a reakcióval R és a vektorral szemben irányul R ), elkészítjük a rendszer impulzusának változására vonatkozó tétel egyenletét a vízszintes x tengelyre vetítve:

A vizsgált rendszerre tetszőleges helyzetében, figyelembe véve, hogy a motortest mozgása nulla, megkapjuk Q x = - t 2 U A szoc. Ezt figyelembe véve V A = a z/, f = co/ (a motor forgása egyenletes), kapjuk Q x - - m 2 co/cos co/. Megkülönböztető Q x időben és az (a) egyenlőségbe behelyettesítve azt találjuk R- m 2 co 2 /sin co/.

Vegyük észre, hogy pontosan az ilyen erők kényszerítenek (lásd 14.3 §), amikor hatnak, a szerkezetek kényszerrezgései keletkeznek.

Gyakorlatok a önálló munkavégzés

• 1. Mit nevezünk egy pont és egy mechanikai rendszer lendületének?
• 2. Hogyan változik a kör körül egyenletesen mozgó pont lendülete?
• 3. Mi jellemzi az erőimpulzust?
• 4. Befolyásolják-e egy rendszer belső erői a lendületét? Tömegközéppontjának mozgásáról?
• 5. Hogyan befolyásolják a rá ható erőpárok a rendszer tömegközéppontjának mozgását?
• 6. Milyen feltételek mellett van a rendszer tömegközéppontja nyugalomban? egyenletesen és egyenes vonalban mozog?

7. Álló csónakban, ahol nincs vízfolyás, egy felnőtt ül a tatnál, egy gyermek pedig a csónak orrában. Milyen irányba mozdul el a hajó, ha helyet cserélnek?

Milyen esetben lesz nagy a csónak mozgásmodulja: 1) ha a gyermek a felnőtt farához költözik; 2) ha egy felnőtt odamegy a gyerekhez a csónak orrában? Mekkora lesz a „csónak és két ember” rendszer tömegközéppontjának elmozdulása ezeknél a mozgásoknál?

Mozogjon egy anyagi pont az erő hatására F. Meg kell határozni ennek a pontnak a mozgását a mozgó rendszerhez képest Oxyz(cm. összetett mozgás anyagi pont), amely az álló rendszerhez képest ismert módon mozog O 1 x 1 y 1 z 1 .

Dinamikai alapegyenlet stacionárius rendszerben

Írjuk fel egy pont abszolút gyorsulását a Coriolis-tétel segítségével

Ahol a abs– abszolút gyorsulás;

a rel– relatív gyorsulás;

a sáv– hordozható gyorsítás;

a mag– Coriolis gyorsulás.

Írjuk át a (25)-öt figyelembe véve (26)

Bemutatjuk a jelölést
- hordozható tehetetlenségi erő,
- Coriolis tehetetlenségi erő. Ekkor a (27) egyenlet felveszi a formát

A dinamika alapegyenlete a relatív mozgás tanulmányozására (28) ugyanúgy van felírva, mint az abszolút mozgásnál, csak a pontra ható erőkhöz hozzá kell adni az átviteli és Coriolis tehetetlenségi erőket.

Általános tételek egy anyagi pont dinamikájáról

Számos probléma megoldása során használhatja a Newton második törvénye alapján kapott előre elkészített nyersdarabokat. Ebben a részben az ilyen problémamegoldó módszereket kombináljuk.

Tétel egy anyagi pont lendületének változásáról

Bemutatjuk a következő dinamikus jellemzőket:

1. Anyagi pont lendülete– vektormennyiség egyenlő egy pont tömegének és sebességvektorának szorzatával

. (29)

2. Erőimpulzus

Elemi erőimpulzus– vektormennyiség egyenlő az erővektor és egy elemi időintervallum szorzatával

(30).

Akkor teljes impulzus

. (31)

Nál nél F=const kapunk S=Ft.

A véges időtartamra vonatkozó teljes impulzus csak két esetben számítható ki, amikor a pontra ható erő állandó vagy időfüggő. Más esetekben az erőt az idő függvényében kell kifejezni.

Az impulzus (29) és az impulzus (30) dimenzióinak egyenlősége lehetővé teszi, hogy kvantitatív kapcsolatot létesítsünk közöttük.

Tekintsük egy anyagi M pont mozgását tetszőleges erő hatására F tetszőleges pálya mentén.

RÓL RŐL UD:
. (32)

A (32) változókat szétválasztjuk és integráljuk

. (33)

Ennek eredményeként (31) figyelembe véve azt kapjuk, hogy

. (34)

A (34) egyenlet a következő tételt fejezi ki.

Tétel: Egy anyagi pont impulzusának egy bizonyos időtartam alatti változása megegyezik a pontra ható erő impulzusával ugyanabban az időintervallumban.

A feladatok megoldása során a (34) egyenletet ki kell vetíteni a koordináta tengelyekre

Ezt a tételt akkor célszerű használni, ha a megadott és az ismeretlen mennyiségek között van egy pont tömege, kezdeti és végsebessége, erői és mozgási ideje.

Tétel egy anyagi pont szögimpulzusának változásáról

M
egy anyagi pont lendületének pillanata a középponthoz viszonyítva egyenlő a pont és a váll lendületi modulusának szorzatával, azaz. legrövidebb távolság(merőleges) a középponttól a sebességvektorral egybeeső egyenes felé

, (36)

. (37)

Az erőnyomaték (ok) és a lendület (hatás) nyomatéka közötti kapcsolatot a következő tétel állapítja meg.

Legyen egy adott tömeg M pontja m erő hatására mozog F.

,
,

, (38)

. (39)

Számítsuk ki (39) deriváltját

. (40)

A (40) és (38) kombinálásával végül megkapjuk

. (41)

A (41) egyenlet a következő tételt fejezi ki.

Tétel: Egy anyagi pont szögimpulzusvektorának valamely középponthoz viszonyított időbeli deriváltja egyenlő a pontra ható erő nyomatékával ugyanahhoz a középponthoz képest.

A feladatok megoldása során a (41) egyenletet ki kell vetíteni a koordináta tengelyekre

A (42) egyenletekben a lendület és az erő momentumait a koordinátatengelyekhez viszonyítva számítjuk ki.

A (41)-ből az következik a szögimpulzus megmaradásának törvénye (Kepler-törvény).

Ha egy anyagi pontra bármely középponthoz képest ható erőnyomaték nulla, akkor a pont e középponthoz viszonyított szögimpulzusa megtartja nagyságát és irányát.

Ha
, Azt
.

A tételt és a megmaradási törvényt a görbe vonalú mozgással kapcsolatos feladatokban használják, különösen központi erők hatására.

Anyagi pont esetében a dinamika alaptörvénye a következőképpen ábrázolható

Ennek a bal oldali relációnak mindkét oldalát vektorosan megszorozva a sugárvektorral (3.9. ábra), azt kapjuk, hogy

(3.32)

Ennek a képletnek a jobb oldalán van az O ponthoz viszonyított erőnyomaték. A bal oldalt transzformáljuk egy vektorszorzat deriváltjának képletével

De Hogyan vektor termék párhuzamos vektorok. Ezek után megkapjuk

(3.33)

Egy pont impulzusnyomatékának bármely középponthoz viszonyított első deriváltja az időre vonatkoztatva egyenlő az ugyanahhoz a középponthoz viszonyított erőnyomatékkal.

Példa egy rendszer szögimpulzusának számítására. Számítsa ki egy M = 20 kg tömegű, R = 0,5 m sugarú hengeres tengelyből és m = 60 kg tömegű leszálló terhelésből álló rendszer O ponthoz viszonyított kinetikus nyomatékát (3.12. ábra). A tengely az Óz tengely körül ω = 10 s -1 szögsebességgel forog.

3.12. ábra

; ;

Adott bemenő adatok esetén a rendszer szögimpulzusa

Tétel egy rendszer szögimpulzusának változásáról. Az eredő külső és belső erőket a rendszer minden pontjára alkalmazzuk. A rendszer minden pontjára alkalmazhatja a szögimpulzus változására vonatkozó tételt, például a (3.33) formában.

A rendszer összes pontját összegezve, és figyelembe véve, hogy a deriváltak összege egyenlő az összeg deriváltjával, megkapjuk

A rendszer kinetikai nyomatékának, valamint a külső és belső erők tulajdonságainak meghatározásával

Ezért az eredményül kapott összefüggést úgy ábrázolhatjuk

Egy rendszer tetszőleges ponthoz viszonyított impulzusimpulzusának első deriváltja megegyezik a rendszerre ható külső erők főnyomatékával ugyanahhoz a ponthoz képest.

3.3.5. Erő munkája

1) Egy erő elemi munkája megegyezik az erő skaláris szorzatával és az erő alkalmazási pontja vektorának differenciális sugarával (3.13. ábra)

3.13. ábra

A (3.36) kifejezés a következő ekvivalens alakokban is felírható

ahol az erő vetülete az erő alkalmazási pontjának sebességének irányára.

2) Erőhatás a végső elmozduláskor

Az erő elemi munkáját integrálva a következő kifejezéseket kapjuk az A pontból a B pontba való végső elmozdulás erőművére

3) Munka állandó erő

Ha az erő állandó, akkor a (3.38)-ból következik

Az állandó erő munkája nem függ a pálya alakjától, hanem csak az erő alkalmazási pontjának elmozdulásvektorától.

4) A súlyerő munkája

A súlyerőre (3.14. ábra) és a (3.39)-ből kapjuk

3.14. ábra

Ha a mozgás B pontból A pontba történik, akkor

Általában

A „+” jel az erőkifejtési pont lefelé, a „-” jel – felfelé mozgásának felel meg.

4) A rugalmas erő munkája

Legyen a rugó tengelye az x tengely mentén irányítva (3.15. ábra), és a rugó vége az 1-es pontból a 2-es pontba mozog, majd a (3.38)-ból kapjuk

Ha a rugó merevsége az Val vel, így aztán

A (3.41)

Ha a rugó vége 0 pontból 1 pontba mozog, akkor ebben a kifejezésben helyettesítjük a , -t, akkor a rugalmas erő munkája a következő alakot ölti

(3.42)

hol van a rugó megnyúlása.

3.15. ábra

5) A forgó testre ható erő munkája. A pillanat műve.

ábrán. A 3.16. ábra egy forgó testet mutat, amelyre tetszőleges erő hat. Forgás közben ennek az erőnek az alkalmazási pontja körben mozog.