Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás fordított művelete, nevezetesen egy függvény visszaállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) nak, nek hívják antiderivatív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként x, ha minden értékre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a függvényt f(x) származéka antiderivatív funkció F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivált készlete. Ebben az esetben a jelölést használják

∫

f(x)dx

,

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) – integrand függvény, és f(x)dx – integráns kifejezés.

Így ha F(x) – valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen ajtó (hagyományos faajtó). Feladata, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Fából készült. Ez azt jelenti, hogy az „ajtónak lenni” függvény integrandusának, azaz határozatlan integráljának antideriváltjainak halmaza a „fának lenni + C” függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelöli például a fa típusát. Ahogy egy ajtót fából készítenek bizonyos szerszámok segítségével, egy függvény származékát egy antiderivatív függvényből „készítik” képletek, amelyeket a derivált tanulmányozása során tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó antiszármazékok ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) függvénytáblázata hasonló az alaptáblázathoz. határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a közös függvényeket, feltüntetve azokat az antideriváltokat, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák egy részében olyan integránsokat adunk meg, amelyek nagyobb erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázatával. Bonyolultabb problémák esetén először az integrandust kell átalakítani, hogy táblaintegrálokat lehessen használni.

2. tény. Amikor egy függvényt antideriváltként állítunk vissza, figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antiderivatívákról 1-től végtelenig különböző állandókkal, meg kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet. C például így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és ha differenciálódik, 4 vagy 3, vagy bármely más állandó nullára megy.

Tegyük fel az integrációs problémát: erre a függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivatív a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x), ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a különbség F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Funkcióként is szolgálnak

Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így ha egy függvénynek van egy antideriválta, akkor annak van végtelen halmaz antiderivatívek, amelyek egy állandó taggal különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) – a funkció antideriváltja f(x) bizonyos időközönként x, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható formában F(x) + C, Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó.

A következő példában áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat elolvasása előtt tesszük, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészében fogjuk használni őket az integráció során.

2. példa Keresse meg az antiderivatív függvénykészleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Az integráltáblázat képleteinek említésekor egyelőre csak fogadjuk el, hogy ott is vannak ilyen formulák, és magát a határozatlan integrálok táblázatát is tanulmányozzuk egy kicsit tovább.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint -val n= -1/4 találunk

Nem maga a függvény van az integráljel alá írva. f, és szorzata a differenciálművel dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy melyik változóval keresik az antiderivatívet. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt a változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy görbét y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintőszög érintője minden pontjában adott függvény f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

Alapján geometriai érzék deriváltja, az érintőszög érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő az értékkel derivált F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amelyekre F"(x)=f(x). A feladathoz szükséges funkció F(x) egy antiderivátuma f(x). A feladat feltételeit nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- ezen görbék egyike, és abból bármely más görbe a tengely mentén párhuzamos transzlációval előállítható Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), akkor a függvény grafikonja y=F(x) van egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja , mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát a koordináták origójától egy tetszőleges integrációs állandó határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciále pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a funkcióval f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

Fő integrálok, amelyeket minden tanulónak tudnia kell

A felsorolt ​​integrálok a fundamentumok alapjai, alapjai. Ezeket a képleteket feltétlenül emlékezni kell. Bonyolultabb integrálok számításakor folyamatosan használni kell őket.

Különös figyelmet kell fordítani az (5), (7), (9), (12), (13), (17) és (19) képletekre. Integráláskor ne felejtsünk el tetszőleges C állandót hozzáadni a válaszhoz!

Egy állandó integrálja

∫ A d x = A x + C (1)

Teljesítményfunkció integrálása

Valójában csak az (5) és (7) képletekre korlátozódhattunk, de ebből a csoportból a többi integrál olyan gyakran előfordul, hogy érdemes egy kicsit odafigyelni rájuk.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Exponenciális függvények és hiperbolikus függvények integráljai

Természetesen a (8) képlet (talán a legkényelmesebb a memorizáláshoz) tekinthető különleges eset képletek (9). A (10) és (11) képlet a hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz integráljaihoz könnyen levezethető a (8) képletből, de jobb, ha egyszerűen emlékezünk ezekre az összefüggésekre.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Trigonometrikus függvények alapintegráljai

A tanulók gyakran elkövetik azt a hibát, hogy összekeverik a (12) és (13) képlet jeleit. Emlékezve arra, hogy a szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal, valamiért sokan úgy gondolják, hogy a szinusz integrálja sinx függvények egyenlő a cosx-szel. Ez nem igaz! A szinusz integrálja egyenlő a „mínusz koszinusszal”, de a cosx integrálja egyenlő a „csak szinuszral”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Inverz trigonometrikus függvényekre redukáló integrálok

Az arktangenshez vezető (16) képlet természetesen a (17) képlet speciális esete, ha a=1. Hasonlóképpen a (18) a (19) speciális esete.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Bonyolultabb integrálok

Ezeket a képleteket is tanácsos megjegyezni. Szintén gyakran használják őket, és a kibocsátásuk meglehetősen unalmas.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Az integráció általános szabályai

1) Két függvény összegének integrálja egyenlő az összeggel megfelelő integrálok: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Két függvény különbségének integrálja egyenlő a megfelelő integrálok különbségével: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) A konstans kivehető az integrál előjelből: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Könnyen belátható, hogy a (26) tulajdonság egyszerűen a (25) és (27) tulajdonságok kombinációja.

4) Integrálja összetett funkció, ha a belső függvény lineáris: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Itt F(x) az f(x) függvény antideriváltja. Megjegyzés: ez a képlet csak akkor működik, ha a belső függvény Ax + B.

Fontos: nincs univerzális képlet két függvény szorzatának integráljára, valamint egy tört integráljára:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (harminc)

Ez természetesen nem jelenti azt, hogy egy frakciót vagy szorzatot ne lehetne integrálni. Csak arról van szó, hogy valahányszor olyan integrált lát, mint a (30), ki kell találnia egy módot, hogy „küzdjön” ellene. Egyes esetekben a részenkénti integráció segít, máskor meg kell változtatni a változót, sőt néha az „iskolai” algebrai vagy trigonometriai képletek is segíthetnek.

Egy egyszerű példa a határozatlan integrál kiszámítására

1. példa: Keresse meg az integrált: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Használjuk a (25) és (26) képleteket (a függvények összegének vagy különbségének integrálja egyenlő a megfelelő integrálok összegével vagy különbségével. Kapjuk: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Emlékezzünk arra, hogy a konstans kivehető az integráljelből ((27) képlet). A kifejezés formává alakul

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x

Most csak az alapintegrálok táblázatát használjuk. Alkalmaznunk kell a (3), (12), (8) és (1) képleteket. Integráljuk a hatványfüggvényt, a szinusz, az exponenciális és a konstans 1. Ne felejtsünk el tetszőleges C állandót hozzáadni a végére:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Az elemi átalakítások után megkapjuk a végső választ:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Tesztelje magát differenciálással: vegye a kapott függvény deriváltját, és győződjön meg arról, hogy az egyenlő az eredeti integrandusszal.

Integrálok összefoglaló táblázata

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Töltse le az integrálok táblázatát (II. rész) erről a linkről

Ha egyetemen tanulsz, ha nehézségeid vannak a felsőfokú matematikával (matematikai elemzés, lineáris algebra, valószínűségszámítás, statisztika), ha szakképzett tanári szolgáltatásra van szükséged, akkor menj egy felsőfokú matematika oktató oldalára. Együtt megoldjuk problémáit!

Esetleg ezek is érdekelhetnek

Az antiderivatívek ("integrálok") táblázata. Integrálok táblázata. Táblázatos határozatlan integrálok. (A legegyszerűbb integrálok és paraméteres integrálok). Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Newton-Leibniz képlet.

Az antiderivatívek ("integrálok") táblázata. Táblázatos határozatlan integrálok. (A legegyszerűbb integrálok és paraméteres integrálok).
Integrál teljesítmény funkció.	Teljesítményfüggvény integrálja.
Integrál, amely egy hatványfüggvény integráljára redukálódik, ha x-et a differenciáljel alatt hajtjuk.
	Exponenciális integrál, ahol a egy állandó szám.
Összetett exponenciális függvény integrálja.	Exponenciális függvény integrálja.
A természetes logaritmussal egyenlő integrál.	Integrál: "Hosszú logaritmus".
	Integrál: "Hosszú logaritmus".
Integrál: "Magas logaritmus".	Egy integrál, ahol a számlálóban x a differenciáljel alá kerül (az előjel alatti konstans összeadható vagy kivonható), végső soron hasonló a természetes logaritmussal egyenlő integrálhoz.
Integrál: "Magas logaritmus".
Koszinusz integrál.	Szinusz integrál.
Integrál egyenlő az érintővel.	Integrál egyenlő a kotangenssel.
Integrál egyenlő mind az arcszinusz, mind az arkoszinusz
Egy integrál egyenlő az arcszinuszral és az arkoszinusszal.	Egy integrál egyenlő az arctangenssel és az arkkotangenssel.
Integrál egyenlő a koszekánssal.	Integrál egyenlő a szekánssal.
Integrál egyenlő íves.	Az arccosekantal egyenlő integrál.
Integrál egyenlő íves.	Integrál egyenlő íves.
Integrál egyenlő a hiperbolikus szinuszával.	A hiperbolikus koszinusznak megfelelő integrál.
A hiperbolikus szinusz integrálja, ahol sinhx a hiperbolikus szinusz az angol változatban.	Integrál egyenlő a hiperbolikus koszinusszal, ahol sinhx a hiperbolikus szinusz az angol változatban.
Integrál egyenlő a hiperbolikus érintővel.	Integrál egyenlő a hiperbolikus kotangenssel.
Integrál egyenlő a hiperbolikus szekánssal.	Integrál egyenlő a hiperbolikus koszekánssal.

Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Integrációs szabályok.

Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Newton-Leibniz formula, az integráció szabályai.
Termék (függvény) integrálása konstanssal:
A függvények összegének integrálása:
határozatlan integrálok:
Alkatrészenkénti integráció képlete határozott integrálok:
Newton-Leibniz képlet határozott integrálok:	Ahol F(a), F(b) az antiderivatívek értékei a b és a pontban.

Származékok táblázata. Táblázatos származékok. A termék származéka. A hányados származéka. Komplex függvény származéka.

Ha x független változó, akkor:

Származékok táblázata. Táblázatos származékok."táblázati származék" - igen, sajnos pontosan így keresik őket az interneten
	Hatványfüggvény származéka
	A kitevő származéka
Komplex exponenciális függvény deriváltja	Az exponenciális függvény deriváltja
Logaritmikus függvény deriváltja	Derivált természetes logaritmus
	Függvény természetes logaritmusának deriváltja
A szinusz származéka	A koszinusz származéka
A koszekáns származéka	Szekáns származéka
Az arcszinusz származéka	Az ív koszinusz származéka
Az arcszinusz származéka	Az ív koszinusz származéka
Érintő derivált	A kotangens származéka
Az arctangens származéka	Az ívkotangens származéka
Az arctangens származéka	Az ívkotangens származéka
Az arcsekant származéka	Az arccosecant származéka
Az arcsekant származéka	Az arccosecant származéka
A hiperbolikus szinusz származéka A hiperbolikus szinusz származéka az angol változatban	A hiperbolikus koszinusz származéka A hiperbolikus koszinusz származéka angol változatban
A hiperbolikus érintő származéka	A hiperbolikus kotangens származéka
A hiperbolikus szekáns származéka	A hiperbolikus koszekáns származéka

A megkülönböztetés szabályai. A termék származéka. A hányados származéka. Komplex függvény származéka.
Egy szorzat (függvény) származéka konstanssal:
Az összeg származéka (függvények):
A termék származéka (függvények):
A (függvények) hányadosának deriváltja:
Egy összetett függvény származéka:

A logaritmusok tulajdonságai. A logaritmusok alapképletei. Tizedes (lg) és természetes logaritmus (ln).

Alapok logaritmikus azonosság
Mutassuk meg, hogyan tehető exponenciálissá az a b alak bármely függvénye. Mivel az e x alakú függvényt exponenciálisnak nevezzük, akkor
Bármely a b alakú függvény tíz hatványaként ábrázolható

Természetes logaritmus ln (logaritmus e bázishoz = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor sorozat. Egy függvény Taylor sorozatának bővítése.

Kiderült, hogy a többség gyakorlatilag találkoztunk A matematikai függvények egy adott pont közelében tetszőleges pontossággal ábrázolhatók egy változó hatványait növekvő sorrendben tartalmazó hatványsorok formájában. Például az x=1 pont közelében:

ún. sorozat használatakor Taylor sorai mondjuk algebrai, trigonometrikus és exponenciális függvényeket tartalmazó vegyes függvények tisztán algebrai függvényekként fejezhetők ki. A sorozatok használatával gyakran gyorsan elvégezhető a differenciálás és az integráció.

A Taylor-sorozat az a pont szomszédságában a következő formában van:

1) , ahol f(x) egy olyan függvény, amelynek minden rendjének deriváltja van x = a helyen. R n - a Taylor-sorozat maradék tagját a kifejezés határozza meg

2)

A sorozat k-edik együtthatóját (x k-nél) a képlet határozza meg

3) A Taylor sorozat speciális esete a Maclaurin (=McLaren) sorozat (a tágulás az a=0 pont körül történik)

a=0-nál

a sorozat tagjait a képlet határozza meg

A Taylor sorozat használatának feltételei.

1. Ahhoz, hogy az f(x) függvény Taylor-sorozattá bővüljön a (-R;R) intervallumon, szükséges és elegendő, hogy a Taylor (Maclaurin (=McLaren)) képletben a maradék tag ehhez függvény nullára hajlik, mint k →∞ a megadott intervallumon (-R;R).

2. Szükséges, hogy egy adott függvénynek legyenek deriváltjai abban a pontban, amelynek közelében a Taylor-sort megszerkesztjük.

A Taylor sorozat tulajdonságai.

Ha f egy analitikus függvény, akkor a Taylor-sora f definíciós tartományának bármely a pontjában konvergál f-hez az a szomszédságában.

Vannak végtelenül differenciálható függvények, amelyek Taylor-sora konvergál, ugyanakkor eltér a bármely szomszédságában lévő függvénytől. Például:

A Taylor sorozatokat közelítésben használjuk (közelítés - tudományos módszer, amely abból áll, hogy egyes objektumokat másokkal helyettesítünk, amelyek bizonyos értelemben közel állnak az eredetiekhez, de egyszerűbb) függvényeket polinomokkal. Különösen a linearizálás ((linearis - lineáris), a zárt nemlineáris rendszerek közelítő ábrázolásának egyik módszere, amelyben a nemlineáris rendszer tanulmányozását egy lineáris rendszer elemzése váltja fel, bizonyos értelemben egyenértékű az eredetivel .) egyenletek úgy lépnek fel, hogy Taylor sorozattá bővülnek, és az összes elsőrendű tagot levágják.

Így szinte minden függvény adott pontossággal polinomként ábrázolható.

Példák a hatványfüggvények néhány gyakori kiterjesztésére a Maclaurin sorozatban (=McLaren, Taylor a 0. pont közelében) és Taylor az 1. pont közelében. A Taylor és McLaren sorozatok fő függvényeinek kiterjesztésének első feltételei.

Példák a hatványfüggvények néhány gyakori kiterjesztésére a Maclaurin sorozatban (=McLaren, Taylor a 0. pont közelében)

Példák néhány gyakori Taylor sorozat bővítésre az 1. pont közelében

1. definíció

A $$ szegmens $y=f(x)$ függvényének $F(x)$ antideriváltja egy olyan függvény, amely ennek a szegmensnek minden pontjában differenciálható, és deriváltjára a következő egyenlőség érvényes:

2. definíció

Az összes antiderivatív készlete adott funkciót Egy bizonyos szakaszon definiált $y=f(x)$ egy adott függvény $y=f(x)$ határozatlan integráljának nevezzük. A határozatlan integrált a $\int f(x)dx $ szimbólummal jelöljük.

A deriváltak táblázatából és a 2. definícióból megkapjuk az alapintegrálok táblázatát.

1. példa

Ellenőrizze a 7-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Tegyünk különbséget jobb oldal: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]

2. példa

Ellenőrizze a 8-as képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

3. példa

Ellenőrizze a 11" képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

4. példa

Ellenőrizze a 12-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

5. példa

Ellenőrizze a 13" képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

6. példa

Ellenőrizze a 14-es képlet érvényességét az integrálok táblázatából:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]

Megkülönböztetjük a jobb oldalt: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \]

A derivált egyenlőnek bizonyult az integrandusszal. Ezért a képlet helyes.

7. példa

Keresse meg az integrált:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Használjuk az integrálösszeg tételt:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Használjuk azt a tételt, hogy egy állandó tényezőt az integráljelen kívül helyezünk el:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Az integrálok táblázata szerint:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Az első integrál kiszámításakor a 3. szabályt használjuk:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Ennélfogva,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]