TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓK ÉRTÉKTÁBLÁZATA
A trigonometrikus függvények értéktáblázata a 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 és 360 fokos szögekre és a megfelelő szögértékekre van összeállítva vradiánban. A trigonometrikus függvények közül a táblázatban a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens, szekáns és koszekáns látható. Az iskolai példák megoldásának kényelme érdekében a trigonometrikus függvények értékeit a táblázatban tört alakban írják, miközben megőrzik a számok négyzetgyökének kinyerésére szolgáló jeleket, ami nagyon gyakran segít csökkenteni a bonyolult matematikai kifejezéseket. Érintő és kotangens esetén egyes szögek értéke nem határozható meg. Az ilyen szögek érintőjének és kotangensének értékéhez kötőjel van a trigonometrikus függvények értéktáblázatában. Általánosan elfogadott, hogy az ilyen szögek érintője és kotangense egyenlő a végtelennel. Külön oldalon találhatók a trigonometrikus függvények csökkentésére szolgáló képletek.
A trigonometrikus szinuszfüggvény értéktáblázata a következő szögek értékeit mutatja: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 fokban, ami megfelel sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi radián szögmértékben. Iskolai szinusztáblázat.
A trigonometrikus koszinuszfüggvényhez a táblázat a következő szögek értékeit mutatja: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 fokban, ami cos 0 pi-nek felel meg. , cos pi 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi 2, cos 2 pi radián szögmértékben. Iskolai koszinusz táblázat.
A trigonometrikus érintőfüggvény trigonometrikus táblázata a következő szögekhez ad értékeket: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 fokban, ami tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi a szögek radián mértékében. A trigonometrikus érintőfüggvények következő értékei nincsenek definiálva tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2, és egyenlőnek tekintendők a végtelennel.
A trigonometrikus függvény kotangenséhez a trigonometrikus táblázatban a következő szögek értékei vannak megadva: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 fokban, ami megfelel ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 radián szögmértékben. A trigonometrikus kotangens függvények alábbi értékei nincsenek definiálva ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi, és egyenlőnek tekintendők a végtelennel.
A szekáns és koszekáns trigonometrikus függvények értékei ugyanazokra a szögekre vannak megadva fokban és radiánban, mint a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens.
A nem szabványos szögek trigonometrikus függvényeinek táblázata a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeit mutatja szögeknél 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 fokban és radiánban pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radián. A trigonometrikus függvények értékeit törtekben és négyzetgyökökben fejezzük ki, hogy megkönnyítsük a törtek csökkentését az iskolai példákban.
Még három trigonometrikus szörny. Az első az 1,5 másfél fok vagy a pi érintője osztva 120-zal. A második a pi koszinusza osztva 240-nel, pi/240. A leghosszabb a pi koszinusza osztva 17-tel, pi/17.
A szinusz és koszinusz függvények trigonometrikus értékköre vizuálisan ábrázolja a szinusz és a koszinusz előjeleit a szög nagyságától függően. Különösen a szőkék esetében a koszinusz értékek zöld vonallal vannak aláhúzva, hogy csökkentsék a zavartságot. A fokok radiánra váltása is nagyon világosan látható, ha a radiánokat pi-ben fejezzük ki.
Ez a trigonometrikus táblázat a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens értékeit mutatja be 0 nulla és 90 kilencven fok közötti szögek esetén, egyfokos időközönként. Az első negyvenöt foknál a trigonometrikus függvények neveit a táblázat tetején kell nézni. Az első oszlop fokokat tartalmaz, a következő négy oszlopba a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek értékeit írjuk.
A negyvenöt foktól kilencven fokig terjedő szögeknél a trigonometrikus függvények neveit a táblázat aljára írjuk. Az utolsó oszlop a fokokat tartalmazza, a koszinuszok, szinuszok, kotangensek és érintők értékeit az előző négy oszlopba írjuk. Legyen óvatos, mert a trigonometrikus függvények nevei a trigonometrikus táblázat alján eltérnek a táblázat tetején található nevektől. A szinuszok és koszinuszok felcserélődnek, csakúgy, mint az érintő és a kotangens. Ez a trigonometrikus függvények értékeinek szimmetriájának köszönhető.
A trigonometrikus függvények előjeleit a fenti ábra mutatja. A szinusz pozitív értékei 0 és 180 fok között, vagy 0 és pi között vannak. A szinusz negatív értékei 180 és 360 fok között, vagy pi és 2 pi között vannak. A koszinusz értékek pozitívak 0 és 90 és 270 és 360 fok között, vagy 0 és 1/2 pi és 3/2 és 2 pi között. Az érintő és a kotangens pozitív értéke 0 és 90 fok között, valamint 180 és 270 fok között van, ami a 0 és 1/2 pi és a pi és 3/2 pi közötti értékeknek felel meg. Az érintő és a kotangens negatív értékei 90-180 fok és 270-360 fok, vagy 1/2 pi-től pi-ig és 3/2 pi-től 2 pi-ig. A trigonometrikus függvények előjeleinek meghatározásakor 360 foknál vagy 2 pi-nél nagyobb szögeknél ezeknek a függvényeknek a periodicitási tulajdonságait kell használni.
A szinusz, az érintő és a kotangens trigonometrikus függvények páratlan függvények. Ezeknek a függvényeknek a negatív szögek értéke negatív lesz. A koszinusz egy egyenletes trigonometrikus függvény - a negatív szög koszinusz értéke pozitív lesz. A trigonometrikus függvények szorzásakor és osztásakor előjelszabályokat kell követni.
A trigonometrikus szinuszfüggvény értéktáblázata a következő szögek értékeit mutatja
DokumentumA redukciós képletek külön oldalon találhatók trigonometrikusfunkciókat. BAN BEN asztalértékeketMerttrigonometrikusfunkciókatsinusadottértékeketMerta következősarkok: bűn 0, bűn 30, bűn 45 ...
A javasolt matematikai berendezés az n-dimenziós hiperkomplex számok komplex számításának teljes analógja tetszőleges számú n szabadságfokkal, és nemlineárisok matematikai modellezésére szolgál.
Dokumentum... funkciókat egyenlő funkciókat Képek. Ebből a tételből kellene, Mit Mert megtalálva az U, V koordinátákat, elég kiszámolni funkció... geometria; polynar funkciókat(a kétdimenziós többdimenziós analógjai trigonometrikusfunkciókat), tulajdonságaik, táblázatokés alkalmazás; ...
-
A szinusz (), koszinusz (), érintő (), kotangens () fogalma elválaszthatatlanul összefügg a szög fogalmával. Annak érdekében, hogy jól megértsük ezeket az első pillantásra összetett fogalmakat (amelyek sok iskolásban rémületet okoznak), és hogy megbizonyosodjunk arról, hogy „nem olyan szörnyű az ördög, mint amilyennek lefestik”, kezdjük a nagyon kezdi és megérti a szög fogalmát.
Szög fogalma: radián, fok
Nézzük a képet. A vektor egy bizonyos mértékben „elfordult” a ponthoz képest. Tehát ennek a forgásnak a kiindulási helyzethez viszonyított mértéke lesz sarok.
Mit kell még tudni a szög fogalmáról? Hát persze, szögegységek!
A szög geometriában és trigonometriában egyaránt mérhető fokban és radiánban.
A szög (egy fok) a kör középponti szöge, amelyet a kör egy részével megegyező körív zár be. Így az egész kör körívek „darabjaiból” áll, vagy a kör által leírt szög egyenlő.
Ez azt jelenti, hogy a fenti ábra egy szöget mutat, amely egyenlő, vagyis ez a szög egy kerület nagyságú köríven nyugszik.
A radiánban kifejezett szög egy körív által bezárt középponti szög, amelynek hossza megegyezik a kör sugarával. Nos, rájöttél? Ha nem, akkor derítsük ki a rajzból.
Tehát az ábra egy radiánnal egyenlő szöget mutat, vagyis ez a szög egy köríven nyugszik, amelynek hossza megegyezik a kör sugarával (a hossza egyenlő a hosszával vagy a sugár egyenlő a körívvel). az ív hossza). Így az ív hosszát a következő képlettel számítjuk ki:
Hol van a középponti szög radiánban.
Nos, ennek ismeretében meg tudnád válaszolni, hogy a kör által leírt szög hány radiánt tartalmaz? Igen, ehhez emlékeznie kell a kerület képletére. Itt is van:
Nos, most korreláljuk ezt a két képletet, és állapítsuk meg, hogy a kör által leírt szög egyenlő. Vagyis a fokban és radiánban megadott értékeket korrelálva azt kapjuk. Illetve,. Mint látható, a "fokkal" ellentétben a "radián" szó kimarad, mivel a mértékegység általában egyértelmű a szövegkörnyezetből.
Hány radián van? Úgy van!
Megvan? Akkor folytassa és javítsa ki:
Nehézségei vannak? Akkor nézd válaszol:
Derékszögű háromszög: szinusz, koszinusz, érintő, szög kotangens
Tehát kitaláltuk a szög fogalmát. De mi egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense? Találjuk ki. Ehhez egy derékszögű háromszög segít.
Hogy hívják egy derékszögű háromszög oldalait? Így van, hipotenusz és lábak: a hipotenusz az az oldal, amely a derékszöggel szemben fekszik (példánkban ez az oldal); a lábak a két fennmaradó oldal és (a derékszöggel szomszédosak), és ha a lábakat a szöghez viszonyítva tekintjük, akkor a láb a szomszédos láb, a láb pedig az ellenkezője. Tehát most válaszoljunk a kérdésre: mi a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens egy szögben?
Szög szinusza- ez az ellentétes (távoli) láb és a hypotenus aránya.
A mi háromszögünkben.
A szög koszinusza- ez a szomszédos (közeli) láb és a hypotenus aránya.
A mi háromszögünkben.
A szög érintője- ez az ellenkező (távoli) oldal és a szomszédos (közeli) oldal aránya.
A mi háromszögünkben.
Szög kotangense- ez a szomszédos (közeli) láb és az ellenkező (távoli) láb aránya.
A mi háromszögünkben.
Ezek a meghatározások szükségesek emlékezik! Ahhoz, hogy könnyebben megjegyezze, melyik lábat mire kell felosztani, ezt egyértelműen meg kell értenie tangensÉs kotangens csak a lábak ülnek, és a hypotenusa csak benne jelenik meg sinusÉs koszinusz. És akkor jöhet az asszociációk láncolata. Például ez:
koszinusz→érintés→érintés→szomszédos;
Kotangens→érintés→érintés→szomszédos.
Először is emlékeznie kell arra, hogy a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens, mivel a háromszög oldalainak aránya nem függ ezen oldalak hosszától (ugyanabban a szögben). Nem hiszek? Akkor győződj meg a képről:
Vegyük például egy szög koszinuszát. Definíció szerint háromszögből: , de kiszámolhatjuk egy szög koszinuszát egy háromszögből: . Látod, az oldalak hossza különböző, de egy szög koszinuszának értéke ugyanaz. Így a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke kizárólag a szög nagyságától függ.
Ha érti a definíciókat, akkor folytassa és konszolidálja azokat!
Az alábbi ábrán látható háromszögnél azt találjuk.
Nos, megkaptad? Aztán próbáld ki magad: számítsd ki ugyanezt a szögre is.
Egység (trigonometrikus) kör
A fok és a radián fogalmát megértve olyan kört tekintettünk, amelynek sugara egyenlő. Egy ilyen kört neveznek egyetlen. Nagyon hasznos lesz a trigonometria tanulmányozása során. Ezért nézzük meg kicsit részletesebben.
Mint látható, ez a kör a derékszögű koordinátarendszerben van megszerkesztve. A kör sugara eggyel egyenlő, míg a kör középpontja a koordináták origójában van, a sugárvektor kezdeti helyzete a tengely pozitív iránya mentén rögzített (példánkban ez a sugár).
A kör minden pontja két számnak felel meg: a tengely koordinátájának és a tengely koordinátájának. Mik ezek a koordinátaszámok? És egyáltalán, mi közük van a szóban forgó témához? Ehhez emlékeznünk kell a figyelembe vett derékszögű háromszögre. A fenti ábrán két teljes derékszögű háromszög látható. Tekintsünk egy háromszöget. Téglalap alakú, mert merőleges a tengelyre.
Mivel egyenlő a háromszög? Úgy van. Ezenkívül tudjuk, hogy az egységkör sugara, ami azt jelenti. Helyettesítsük be ezt az értéket a koszinusz képletébe. Íme, mi történik:
Mivel egyenlő a háromszög? Hát persze! Helyettesítse be a sugár értékét ebbe a képletbe, és kapja meg:
Tehát meg tudod mondani, hogy egy körhöz tartozó pontnak milyen koordinátái vannak? Nos, dehogy? Mi van, ha ezt felismeri, és csak számok vagyunk? Melyik koordinátának felel meg? Hát persze, a koordináták! És milyen koordinátának felel meg? Így van, koordináták! Így pont.
Akkor mik azok és mik azok? Így van, használjuk az érintő és a kotangens megfelelő definícióit, és kapjuk meg, hogy a.
Mi van, ha a szög nagyobb? Például, mint ezen a képen:
Mi változott ebben a példában? Találjuk ki. Ehhez forduljunk ismét egy derékszögű háromszöghöz. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget: szög (mint szög szomszédságában). Mi a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értéke egy szögre? Így van, ragaszkodunk a trigonometrikus függvények megfelelő definícióihoz:
Nos, amint látja, a szög szinuszának értéke még mindig megfelel a koordinátának; a szög koszinuszának értéke - a koordináta; valamint az érintő és a kotangens értékei a megfelelő arányokhoz. Így ezek az összefüggések a sugárvektor bármely elforgatására vonatkoznak.
Már említettük, hogy a sugárvektor kezdeti helyzete a tengely pozitív iránya mentén van. Eddig ezt a vektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgattuk, de mi történik, ha az óramutató járásával megegyező irányba forgatjuk? Semmi rendkívüli, egy bizonyos értékű szöget is kapsz, de csak az lesz negatív. Így a sugárvektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgatva azt kapjuk pozitív szögek, és az óramutató járásával megegyező irányba forgatva - negatív.
Tehát tudjuk, hogy a sugárvektor egy kör körüli teljes fordulata a vagy. Elforgatható-e a sugárvektor oda vagy felé? Hát persze, hogy lehet! Az első esetben tehát a sugárvektor egy teljes fordulatot tesz, és megáll a vagy pozícióban.
A második esetben, vagyis a sugárvektor három teljes fordulatot tesz, és megáll a vagy pozícióban.
A fenti példákból tehát azt a következtetést vonhatjuk le, hogy azok a szögek, amelyek vagy (ahol bármely egész szám) különböznek, a sugárvektor azonos helyzetének felelnek meg.
Az alábbi ábra egy szöget mutat. Ugyanez a kép megfelel a sarok stb. Ez a lista a végtelenségig folytatható. Mindezek a szögek felírhatók az általános képlettel vagy (ahol bármely egész szám van)
Most az alapvető trigonometrikus függvények definícióinak ismeretében és az egységkör használatával próbálja meg megválaszolni, hogy mik az értékek:
Íme egy egységkör, amely segít Önnek:
Nehézségei vannak? Akkor találjuk ki. Tehát tudjuk, hogy:
Innen határozzuk meg az egyes szögmértékeknek megfelelő pontok koordinátáit. Nos, kezdjük sorrendben: a szög egy koordinátákkal rendelkező pontnak felel meg, ezért:
Nem létezik;
Továbbá, ugyanazt a logikát követve, azt találjuk, hogy a sarkok koordinátájú pontoknak felelnek meg. Ennek ismeretében könnyű meghatározni a trigonometrikus függvények értékeit a megfelelő pontokban. Először próbálja ki saját maga, majd ellenőrizze a válaszokat.
Válaszok:
Így elkészíthetjük a következő táblázatot:
Nem szükséges mindezekre az értékekre emlékezni. Elég megjegyezni az egységkör pontjainak koordinátái és a trigonometrikus függvények értékei közötti megfelelést:
De a és a szögek trigonometrikus függvényeinek értékei, az alábbi táblázatban, emlékezni kell:
Ne ijedjen meg, most mutatunk egy példát meglehetősen egyszerű megjegyezni a megfelelő értékeket:
A módszer használatához létfontosságú, hogy emlékezzen a szinusz értékére mindhárom szögmértékre (), valamint a szög érintőjének értékére. Ezen értékek ismeretében meglehetősen egyszerű a teljes táblázat visszaállítása - a koszinusz értékek a nyilaknak megfelelően kerülnek átvitelre, azaz:
Ennek ismeretében visszaállíthatja az értékeket. A " " számláló és a " " nevező egyezik. A kotangens értékek átvitele az ábrán látható nyilak szerint történik. Ha megérti ezt, és emlékszik a nyilakkal ellátott diagramra, akkor elég lesz emlékezni a táblázat összes értékére.
Egy kör pontjának koordinátái
Meg lehet-e találni egy pontot (koordinátáit) a körön, a kör középpontjának koordinátáinak, sugarának és forgásszögének ismeretében?
Hát persze, hogy lehet! Szedjük ki általános képlet egy pont koordinátáinak meghatározására.
Például itt van előttünk egy kör:
Azt kaptuk, hogy a pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni a pont fokos elforgatásával kapott pont koordinátáit.
Amint az ábrán látható, a pont koordinátája megfelel a szakasz hosszának. A szakasz hossza megfelel a kör középpontjának koordinátájának, azaz egyenlő. Egy szakasz hossza a koszinusz definíciójával fejezhető ki:
Akkor ez a pont koordinátája.
Ugyanezt a logikát alkalmazva megtaláljuk a pont y koordináta értékét. És így,
Tehát általában a pontok koordinátáit a képletek határozzák meg:
A kör középpontjának koordinátái,
A kör sugara,
A vektor sugarának elforgatási szöge.
Mint látható, az általunk vizsgált egységkör esetében ezek a képletek jelentősen lecsökkennek, mivel a középpont koordinátái egyenlőek nullával, a sugár pedig eggyel:
Nos, próbáljuk ki ezeket a képleteket úgy, hogy gyakoroljuk a pontok keresését a körön?
1. Keresse meg egy pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.
2. Keresse meg egy pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.
3. Keresse meg az egységkör egy pontjának koordinátáit, amelyet a pont elforgatásával kapunk.
4. A pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni annak a pontnak a koordinátáit, amelyet a kezdeti sugárvektor -kal elforgatva kapunk.
5. A pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni annak a pontnak a koordinátáit, amelyet a kezdeti sugárvektor -kal elforgatva kapunk.
Gondjai vannak egy kör pontjának koordinátáinak megtalálásával?
Oldd meg ezt az öt példát (vagy tanulj jól a megoldásban), és megtanulod megtalálni őket!
ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK
A szög szinusza a szemközti (távoli) láb és a hipotenusz aránya.
A szög koszinusza a szomszédos (közeli) láb és a hypotenus aránya.
A szög érintője a szemközti (távoli) oldal és a szomszédos (közeli) oldal aránya.
Egy szög kotangense a szomszédos (közeli) oldal és az ellenkező (távol) oldal aránya.
Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.
Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!
Most a legfontosabb.
Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.
Az a baj, hogy ez nem elég...
Miért?
Az egységes államvizsga sikeres letételéért, költségvetésből főiskolára való felvételért, és ami a LEGFONTOSABB, egy életre.
Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...
Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.
De nem ez a fő.
A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...
De gondold meg magad...
Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?
NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.
A vizsga során nem kérnek elméletet.
Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.
És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.
Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.
Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!
Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.
Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.
Hogyan? Két lehetőség van:
- Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
- Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 499 RUR
Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.
Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.
Következtetésképpen...
Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.
Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.
Találd meg a problémákat és oldd meg őket!
Az alapvető trigonometrikus függvények táblázata 0, 30, 45, 60, 90, ... fokos szögekhez
A $\sin$, $\cos$, $\tan$ és $\cot$ függvények trigonometrikus definícióiból megtudhatja a $0$ és a $90$ fokos szögek értékét:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ nincs meghatározva;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nincs meghatározva.
Egy iskolai geometria tanfolyamon derékszögű háromszögek tanulmányozása során megtaláljuk a $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ és $90°$ szögek trigonometrikus függvényeit.
A megjelölt szögekhez tartozó trigonometrikus függvények értékei fokban és radiánban ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\) pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) a könnyebb memorizálás és használat érdekében bekerül egy ún. trigonometrikus táblázat, trigonometrikus függvények alapértékeinek táblázata stb.
Redukciós képletek használatakor a trigonometrikus táblázat $360°$ szögig, és ennek megfelelően $2\pi$ radiánig bővíthető:
A trigonometrikus függvények periodicitási tulajdonságait felhasználva minden egyes szög, amely a már ismerttől $360°$-ban különbözik, kiszámítható és táblázatban rögzíthető. Például a $0°$ szög trigonometrikus függvényének értéke ugyanaz lesz a $0°+360°$ szögnél, a $0°+2 szögnél \cdot 360°$ és a $0°+3 szögnél a \cdot 360°$ satöbbi.
Egy trigonometrikus táblázat segítségével meghatározhatja az egységkör összes szögének értékét.
Az iskolai geometriatanfolyamon meg kell jegyezni a trigonometrikus függvények alapértékeit, amelyeket egy trigonometrikus táblázatban gyűjtöttek össze a trigonometrikus feladatok megoldásának kényelme érdekében.
Táblázat segítségével
A táblázatban elég megtalálni a szükséges trigonometrikus függvényt és annak a szögnek vagy radiánoknak az értékét, amelyre ezt a függvényt ki kell számítani. A függvényt tartalmazó sor és az értéket tartalmazó oszlop metszéspontjában megkapjuk az adott argumentum trigonometrikus függvényének kívánt értékét.
Az ábrán láthatja, hogyan találhatja meg a $\cos60°$ értékét, amely megegyezik a $\frac(1)(2)$ értékkel.
A kibővített trigonometrikus táblázatot ugyanígy használjuk. Használatának előnye, mint már említettük, szinte bármilyen szög trigonometrikus függvényének kiszámítása. Például könnyen megtalálhatja a $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 értéket. °$:
Az alapvető trigonometrikus függvények Bradis-táblázatai
A Bradis-táblázatok segítségével teljesen tetszőleges szögérték trigonometrikus függvénye számítható fokos egész és perc egész értékre. Például keresse meg a $\cos34°7"$ értékét. A táblázatok 2 részre vannak osztva: $\sin$ és $\cos$ értéktáblázatra, valamint $ értéktáblázatra \tan$ és $\cot$.
A Bradis táblázatok lehetővé teszik a trigonometrikus függvények hozzávetőleges értékeinek megszerzését akár 4 tizedesjegy pontossággal.
Bradis táblák használata
A Bradis táblák szinuszokhoz használva $\sin17°42"$. Ehhez a szinuszok és koszinuszok táblázatának bal oldali oszlopában a fokok értékét - $17°$, a felső sorban pedig megtaláljuk a percek értékét - $42"$. A metszéspontjuknál megkapjuk a kívánt értéket:
$\sin17°42"=0,304$.
A $\sin17°44"$ érték megtalálásához a táblázat jobb oldalán található korrekciót kell használni. Ebben az esetben a táblázatban szereplő $42"$ értékhez hozzá kell adni egy $2 korrekciót. "$, ami egyenlő 0,0006 dollárral. A következőket kapjuk:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046 $.
A $\sin17°47"$ érték megtalálásához a táblázat jobb oldalán található korrekciót is használjuk, csak ebben az esetben a $\sin17°48"$ értéket vesszük alapul, és kivonjuk a $1"$ korrekciót :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054 $.
A koszinuszok kiszámításakor hasonló műveleteket végzünk, de a táblázat jobb oldali oszlopában a fokokat, az alsó oszlopban a perceket nézzük. Például $\cos20°=0,9397$.
Nincsenek korrekciók az érintőértékekre 90°$-ig és a kis szögű kotangensre. Például keressük meg a $\tan 78°37"$ értéket, ami a táblázat szerint 4,967$-nak felel meg.
A trigonometrikus függvények értéktáblázata
jegyzet. Ez a trigonometrikus függvényértékek táblázata a √ jelet használja a négyzetgyök megjelenítésére. Törtszám jelzéséhez használja a "/" szimbólumot.
Lásd még hasznos anyagok:
Mert trigonometrikus függvény értékének meghatározása, keresse meg a trigonometrikus függvényt jelző egyenes metszéspontjában. Például szinusz 30 fok - megkeressük a sin (szinusz) fejlécű oszlopot, és megtaláljuk ennek a táblázatoszlopnak a metszéspontját a „30 fokos” sorral, a metszéspontjuknál olvassuk le az eredményt - az egyik felét. Hasonlóképpen találjuk koszinusz 60 fokok, szinusz 60 fokok (még egyszer a sin oszlop és a 60 fokos egyenes metszéspontjában a sin 60 = √3/2 értéket találjuk) stb. A szinuszok, koszinuszok és más „népszerű” szögek érintőinek értékei ugyanúgy megtalálhatók.
Szinusz pi, koszinusz pi, tangens pi és egyéb szögek radiánban
Az alábbi koszinuszokat, szinuszokat és érintőket tartalmazó táblázat alkalmas olyan trigonometrikus függvények értékének meghatározására is, amelyek argumentuma radiánban megadva. Ehhez használja a szögértékek második oszlopát. Ennek köszönhetően átválthatja a népszerű szögek értékét fokról radiánra. Például keressük meg az első sorban a 60 fokos szöget, és olvassuk le alatta az értékét radiánban. 60 fok egyenlő π/3 radiánnal.
A pi szám egyértelműen kifejezi a kerületnek a szög mértékétől való függését. Így a pi radián 180 fokkal egyenlő.
Bármely pi-ben (radiánban) kifejezett szám könnyen átváltható fokokká, ha a pi (π)-t 180-ra cseréljük..
Példák:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
így a pi szinusza megegyezik 180 fokos szinuszával, és egyenlő nullával.2. Koszinusz pi.
cos π = cos 180 = -1
így a pi koszinusza megegyezik 180 fokos koszinuszával, és egyenlő mínusz eggyel.3. Érintő pi
tg π = tg 180 = 0
így a pi érintő megegyezik a 180 fokos érintővel, és egyenlő nullával.Szinusz, koszinusz, érintő értékek táblázata 0 - 360 fokos szögekhez (közös értékek)
szög α értéke
(fok)szög α értéke
radiánban(a pi-n keresztül)
bűn
(sinus)kötözősaláta
(koszinusz)tg
(tangens)ctg
(kotangens)mp
(metsző)cosec
(koszekáns)0 0 0 1 0 - 1 - 15 π/12 2 - √3 2 + √3 30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2 45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2 60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3 75 5π/12 2 + √3 2 - √3 90 π/2 1 0 - 0 - 1 105 7π/12 - - 2 - √3 √3 - 2 120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3 135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2 150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3 180 π 0 -1 0 - -1 - 210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3 240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3 270 3π/2 -1 0 - 0 - -1 360 2π 0 1 0 - 1 - Ha a trigonometrikus függvények értéktáblázatában a függvény értéke helyett kötőjel van feltüntetve (tangens (tg) 90 fok, kotangens (ctg) 180 fok), akkor a szög fokmértékének adott értékéhez a függvény nincs konkrét értéke. Ha nincs kötőjel, a cella üres, ami azt jelenti, hogy még nem adtuk meg a szükséges értéket. Érdekel bennünket, hogy a felhasználók milyen lekérdezésekre keresnek fel minket, és új értékekkel egészítik ki a táblázatot, annak ellenére, hogy a leggyakrabban előforduló szögértékek koszinuszainak, szinuszainak és érintőinek értékére vonatkozó aktuális adatok elegendőek a legtöbb megoldáshoz. problémákat.
A sin, cos, tg trigonometrikus függvények értéktáblázata a legnépszerűbb szögekhez
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 fok
(numerikus értékek „a Bradis táblázatok szerint”)α szög értéke (fok) α szög értéke radiánban bűn (szinusz) cos (koszinusz) tg (érintő) ctg (kotangens) 0 0 15 0,2588
0,9659
0,2679
30 0,5000
0,5774
45 0,7071
0,7660
60 0,8660
0,5000
1,7321
7π/18
Egy ponton középre állítva A.
α - radiánban kifejezett szög.Meghatározás
Szinusz (sin α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a hypotenus hosszára |AC|.Koszinusz (cos α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszára |AC|.
Elfogadott jelölések
;
;
.;
;
.A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x
A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x
A szinusz és a koszinusz tulajdonságai
Periodikaság
Függvények y = bűn xés y = cos x periodikus periódussal 2π.
Paritás
A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.
Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés
A szinusz és koszinusz függvények definíciós tartományukban folytonosak, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).
y = bűn x y = cos x Hatály és folytonosság - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞ Értékek tartománya -1 ≤ y ≤ 1 -1 ≤ y ≤ 1 Növekvő Csökkenő Maxima, y = 1 Minimum, y = - 1 Nullák, y = 0 Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0 y = 0 y = 1 Alapképletek
A szinusz és a koszinusz négyzetösszege
Szinusz és koszinusz képlete összegből és különbségből
;
;Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára
Összeg és különbség képletek
Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül
;
;
;
.Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül
;
;
;
.Kifejezés érintőn keresztül
; .
Mikor van nálunk:
; .Nál nél :
; .Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata
Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum bizonyos értékeihez.
Kifejezések összetett változókon keresztül
;Euler-képlet
Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül
;
;Származékok
; . Képletek származtatása >>>
N-edrendű származékai:
{ -∞ < x < +∞ }Szekáns, koszekáns
Inverz függvények
A szinusz és a koszinusz inverz függvénye arszinusz, illetve arkoszinusz.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
