Az előző bekezdésekben leírtak mindegyike lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a racionális törtek integrálásának alapvető szabályait.

1. Ha egy racionális tört helytelen, akkor azt egy polinom és egy megfelelő racionális tört összegeként ábrázoljuk (lásd a 2. bekezdést).

Ez csökkenti a nem megfelelő racionális tört integrálását egy polinom és egy megfelelő racionális tört integrálására.

2. Tényezősítse a megfelelő tört nevezőjét!

3. A megfelelő racionális törtet egyszerű törtek összegére bontjuk. Ez csökkenti a megfelelő racionális tört integrálását egyszerű törtek integrálására.

Nézzünk példákat.

Példa 1. Find .

Megoldás. Az integrál alatt egy helytelen racionális tört található. A teljes részt kiválasztva megkapjuk

Ennélfogva,

Figyelembe véve, hogy bővítsük ki a megfelelő racionális törtet

egyszerű törtekre:

(lásd a (18) képletet). Ezért

Így végre megvan

2. példa Find

Megoldás. Az integrál alatt van egy megfelelő racionális tört.

Egyszerű törtekre bővítve (lásd a (16) képletet) megkapjuk

Mint már megjegyeztem, az integrálszámításban nincs kényelmes képlet a tört integrálására. Ezért van egy szomorú tendencia: minél kifinomultabb a tört, annál nehezebb megtalálni az integrálját. Ebben a tekintetben különféle trükkökhöz kell folyamodnia, amelyekről most mesélek. A felkészült olvasók azonnal igénybe vehetik Tartalomjegyzék:

• Az egyszerű törtek differenciáljelének összegzési módja

Mesterséges számlálókonverziós módszer

1. példa

A figyelembe vett integrál egyébként a változó metódus változtatásával is megoldható, jelölve, de a megoldás írása sokkal hosszabb lesz.

2. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Megjegyzendő, hogy a változócsere módszer itt már nem fog működni.

Figyelem, fontos! Az 1. és 2. példák tipikusak és gyakran előfordulnak. Különösen gyakran más integrálok megoldása során merülnek fel ilyen integrálok, különösen irracionális függvények (gyökök) integrálásakor.

A figyelembe vett technika a tokban is működik ha a számláló legmagasabb foka nagyobb, mint a nevező legmagasabb foka.

3. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.

Elkezdjük kiválasztani a számlálót.

A számláló kiválasztásának algoritmusa a következő:

1) A számlálóban rendeznem kell , de ott . Mit kell tenni? zárójelbe teszem és megszorzom: .

2) Most megpróbálom kinyitni ezeket a zárójeleket, mi történik? . Hmm... ez jobb, de kezdetben nincs kettő a számlálóban. Mit kell tenni? Meg kell szorozni a következővel:

3) Ismét kinyitom a zárójeleket: . És itt az első siker! Pont jó lett! De a probléma az, hogy megjelent egy extra kifejezés. Mit kell tenni? Hogy a kifejezés ne változzon, ugyanezt hozzá kell adnom a konstrukciómhoz:
. Az élet könnyebb lett. Lehetséges-e újra rendezni a számlálóban?

4) Lehetséges. Próbáljuk meg: . Nyissa meg a második kifejezés zárójelét:
. Sajnálom, de az előző lépésben valójában nem volt . Mit kell tenni? A második tagot meg kell szorozni a következővel:

5) Az ellenőrzéshez ismét kinyitom a zárójeleket a második tagban:
. Most már normális: a 3. pont végső konstrukciójából származik! De ismét van egy kis „de”, megjelent egy extra kifejezés, ami azt jelenti, hogy hozzá kell tennem a kifejezésemet:

Ha mindent jól csináltunk, akkor az összes zárójelet megnyitva meg kell kapnunk az integrandus eredeti számlálóját. Ellenőrizzük:
Kapucni.

És így:

Kész. Az utolsó tagban azt a módszert alkalmaztam, hogy egy függvényt differenciál alá vonok.

Ha megtaláljuk a válasz származékát és a kifejezést redukáljuk közös nevező, akkor pontosan az eredeti integrand függvényt kapjuk. Az összegre bontás megfontolt módszere nem más, mint fordított művelet, amikor egy kifejezést közös nevezőre hozunk.

Algoritmus a számláló kiválasztásához hasonló példák Jobb, ha vázlatos formában csinálod. Bizonyos készségek birtokában mentálisan működni fog. Emlékszem egy rekorddöntött esetre, amikor a 11. hatványra válogattam, és a számláló kibővítése majdnem két sor Verd-t foglalt el.

4. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Végezzen ellenőrzést.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Az egyszerű törtek differenciáljelének összegzési módja

Térjünk át a következő típusú törtekre.
, , , (együtthatók és nem egyenlők nullával).

Valójában néhány arcszinuszos és arctangenses esetről már szó esett a leckében Változómódosítási módszer határozatlan integrálban. Az ilyen példákat úgy oldjuk meg, hogy a függvényt a differenciáljel alá foglaljuk, és egy táblázat segítségével tovább integráljuk. Itt vannak tipikusabb példák hosszú és magas logaritmusokkal:

5. példa

6. példa

Itt célszerű elővenni egy integráltáblázatot és megnézni, hogy milyen képleteket ill Hogyanátalakulás történik. Jegyzet, Hogyan és miért Ezekben a példákban a négyzetek kiemelve vannak. Különösen a 6. példában először a nevezőt kell ábrázolnunk az alakban , majd vigye a differenciáljel alá. És mindezt meg kell tenni a szabványos táblázatos képlet használatához .

Miért nézze, próbálja meg saját maga megoldani a 7., 8. példát, főleg, hogy elég rövidek:

7. példa

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ha ezeket a példákat is sikerül leellenőrizned, akkor nagy tisztelet – kiváló a megkülönböztető képességed.

Teljes négyzet kiválasztási módszer

Az űrlap integráljai (együtthatók és nem egyenlők nullával) megoldódnak teljes négyzetkivonási módszer, amely már megjelent a leckében Gráfok geometriai transzformációi.

Valójában az ilyen integrálok az imént megvizsgált négy táblázatos integrál egyikére redukálódnak. És ezt az ismerős rövidített szorzási képletekkel érik el:

A képletek pontosan ebbe az irányba kerülnek alkalmazásra, vagyis a módszer ötlete az, hogy a kifejezéseket mesterségesen szervezzük a nevezőben, majd aszerint konvertáljuk őket bármelyikre.

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált

Ez legegyszerűbb példa, amiben kifejezéssel – egységegyüttható(és nem valami szám vagy mínusz).

Nézzük a nevezőt, itt egyértelműen a véletlenre múlik az egész. Kezdjük a nevező konvertálását:

Nyilvánvalóan hozzá kell adni 4-et. És hogy a kifejezés ne változzon, vonja ki ugyanazt a négyet:

Most alkalmazhatja a következő képletet:

Az átalakítás befejezése után MINDIG Célszerű a fordított mozgást végrehajtani: minden rendben van, nincs hiba.

A szóban forgó példa végső kialakításának valahogy így kell kinéznie:

Kész. Az "ingyenes" összegzése összetett funkció a különbözeti jel alatt: , elvileg elhanyagolható

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania, a válasz a lecke végén található

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Mi a teendő, ha mínusz van előtte? Ebben az esetben ki kell venni a mínuszt a zárójelből, és a kifejezéseket a szükséges sorrendbe kell rendeznünk: . Állandó(ebben az esetben "kettő") ne nyúlj hozzá!

Most zárójelbe teszünk egyet. A kifejezést elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy hozzá kell adnunk egyet a zárójelen kívül:

Itt megkapjuk a képletet, alkalmazzuk:

MINDIG Ellenőrizzük a tervezetet:
, amit ellenőrizni kellett.

A tiszta példa így néz ki:

Nehezíti a feladatot

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Itt a kifejezés már nem egységegyüttható, hanem „öt”.

(1) Ha van at konstans, akkor azonnal kivesszük a zárójelből.

(2) Általában mindig jobb ezt az állandót az integrálon kívülre mozgatni, hogy ne akadályozza.

(3) Nyilvánvalóan minden a képletre fog visszamenni. Meg kell értenünk a kifejezést, nevezetesen megkapjuk a „kettőt”

(4) Igen, . Ez azt jelenti, hogy hozzáadjuk a kifejezéshez és kivonjuk ugyanazt a törtet.

(5) Most kiválasztjuk tökéletes négyzet. BAN BEN általános eset számolnunk is kell, de itt van a hosszú logaritmus képlete , és nincs értelme a műveletet végrehajtani; az alábbiakban kiderül, hogy miért.

(6) Valójában alkalmazhatjuk a képletet , csak az „X” helyett van , ami nem tagadja a táblaintegrál érvényességét. Szigorúan véve egy lépés kimaradt - az integráció előtt a függvényt a differenciáljel alá kellett volna foglalni: , de, mint már többször megjegyeztem, ezt gyakran figyelmen kívül hagyják.

(7) A gyökér alatti válaszban célszerű az összes zárójelet visszafejteni:

Nehéz? Nem ez a legnehezebb része az integrálszámításnak. Bár a vizsgált példák nem annyira bonyolultak, mint inkább jó számítástechnikát igényelnek.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált:

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A válasz a lecke végén található.

A nevezőben gyökös integrálok találhatók, amelyeket behelyettesítéssel a szóban forgó típusú integrálokra redukálunk, ezekről a cikkben olvashat. Komplex integrálok, de nagyon felkészült diákok számára készült.

A differenciáljel alatti számlálót összegezve

Ez a lecke utolsó része, azonban az ilyen típusú integrálok meglehetősen gyakoriak! Ha fáradt, talán jobb, ha holnap olvas? ;)

Az általunk figyelembe vett integrálok hasonlóak az előző bekezdés integráljaihoz, formájuk: vagy (együtthatók , és nem egyenlők nullával).

Vagyis a számlálónkban ez van lineáris függvény. Hogyan lehet megoldani az ilyen integrálokat?

A témában bemutatott anyag a "Racionális törtek. Racionális törtek bontása elemi (egyszerű) törtekre" témakörben bemutatott információkon alapul. Erősen javaslom, hogy legalább olvassa át ezt a témát, mielőtt rátérne az olvasásra. ebből az anyagból. Ezenkívül szükségünk lesz egy határozatlan integrálok táblázatára.

Hadd emlékeztesselek néhány kifejezésre. A megfelelő témában szóba kerültek, ezért itt egy rövid megfogalmazásra szorítkozom.

Két polinom $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ arányát racionális függvénynek vagy racionális törtnek nevezzük. A racionális tört ún helyes, ha $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется rossz.

Az elemi (legegyszerűbb) racionális törteket nevezzük racionális törtek négy típus:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Megjegyzés (kívánatos a szöveg teljesebb megértéséhez): show\hide

Miért van szükség a $p^2-4q feltételre?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим másodfokú egyenlet$x^2+px+q=0$. Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa $D=p^2-4q$. Lényegében a $p^2-4q feltétel< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Például a $x^2+5x+10$ kifejezéshez ezt kapjuk: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Mivel $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Egyébként ehhez az ellenőrzéshez egyáltalán nem szükséges, hogy a $x^2$ előtti együttható 1 legyen. Például $5x^2+7x-3=0$ esetén a következőt kapjuk: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 USD. Mivel $D > 0$, a $5x^2+7x-3$ kifejezés faktorizálható.

Példák racionális törtekre (helyes és helytelen), valamint példák a racionális törtek elemire bontására. Itt csak az integrációjuk kérdéseire leszünk kíváncsiak. Kezdjük az elemi törtek integrálásával. Tehát a fenti négy elemi törttípus mindegyike könnyen integrálható az alábbi képletekkel. Hadd emlékeztessem önöket arra, hogy a (2) és (4) típusú törtek integrálásakor a $n=2,3,4,\ldots$ feltételezhető. A (3) és (4) képlet megköveteli a $p^2-4q feltétel teljesülését< 0$.

\begin(egyenlet) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(egyenlet)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ esetén a $t=x+\frac(p)(2)$ behelyettesítés történik, ami után a kapott intervallum két részre osztva. Az első kiszámítása a differenciáljel alá való beírással történik, a második pedig $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ezt az integrált az ismétlődési reláció segítségével veszi fel

\begin(egyenlet) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(egyenlet)

Egy ilyen integrál számítását a 7. példa tárgyalja (lásd a harmadik részt).

A racionális függvények integráljai (racionális törtek) kiszámításának sémája:

1. Ha az integrandus elemi, akkor alkalmazza az (1)-(4) képleteket.
2. Ha az integrandus nem elemi, akkor ábrázolja elemi törtek összegeként, majd integrálja az (1)-(4) képletekkel.

A racionális törtek integrálására szolgáló fenti algoritmusnak tagadhatatlan előnye van - univerzális. Azok. ezzel az algoritmussal integrálható Bármi racionális tört. Éppen ezért egy határozatlan integrálban a változók szinte minden változása (Euler, Csebisev, univerzális trigonometrikus helyettesítés) úgy történik, hogy e változtatás után az intervallum alatti racionális törtet kapjuk. És akkor alkalmazza rá az algoritmust. Ennek az algoritmusnak a közvetlen alkalmazását elemezzük példákon keresztül, egy kis megjegyzés után.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Elvileg ez az integrál könnyen beszerezhető a képlet mechanikus alkalmazása nélkül. Ha kivesszük az integráljelből a $7$ konstanst, és figyelembe vesszük, hogy $dx=d(x+9)$, akkor a következőt kapjuk:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Részletes információkért javaslom a témában való áttekintést. Részletesen elmagyarázza, hogyan kell megoldani az ilyen integrálokat. A képletet egyébként ugyanazok az átalakítások igazolják, amelyeket ebben a bekezdésben alkalmaztunk a „kézi” megoldásnál.

2) Ismét két módja van: használja a kész formulát, vagy nélküle. Ha alkalmazza a képletet, akkor figyelembe kell vennie, hogy a $x$ (4-es szám) előtti együtthatót el kell távolítani. Ehhez egyszerűen vegyük ki ezt a négyet a zárójelekből:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Most itt az ideje alkalmazni a képletet:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Megteheti a képlet használata nélkül is. És még anélkül is, hogy az állandó 4$-t kivennénk a zárójelekből. Ha figyelembe vesszük, hogy $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, akkor a következőt kapjuk:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Az ilyen integrálok megtalálásának részletes magyarázata az „Integráció helyettesítéssel (helyettesítés a differenciáljel alatt)” című témakörben található.

3) Integrálnunk kell a $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ törtet. Ennek a törtnek a szerkezete $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, ahol $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ahhoz azonban, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ez valóban a harmadik típus elemi törtrésze, ellenőriznie kell, hogy a $p^2-4q feltétel teljesül-e< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Oldjuk meg ugyanazt a példát, de kész képlet nélkül. Próbáljuk meg elkülöníteni a nevező deriváltját a számlálóban. Mit is jelent ez? Tudjuk, hogy $(x^2+10x+34)"=2x+10$. A $2x+10$ kifejezést kell elkülönítenünk a számlálóban. Eddig a számláló csak $4x+7$-t tartalmaz, de ez nem tart sokáig. Alkalmazzuk a következő transzformációt a számlálóra:

$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Ekkor a szükséges $2x+10$ kifejezés megjelenik a számlálóban. Az integrálunk pedig a következőképpen írható át:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Osszuk ketté az integrandust. Nos, és ennek megfelelően maga az integrál is „kétágú”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \jobbra)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Először beszéljünk az első integrálról, i.e. körülbelül $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Mivel $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, ezért az integrandus számlálója tartalmazza a nevező differenciálját. Röviden, ehelyett a $( 2x+10)dx$ kifejezésből $d(x^2+10x+34)$-t írunk.

Most pedig ejtsünk néhány szót a második integrálról. Válasszunk ki egy teljes négyzetet a nevezőben: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Ezen kívül figyelembe vesszük a $dx=d(x+5)$. Most a korábban kapott integrálok összege egy kicsit más formában átírható:

$2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ha az első integrálban végrehajtjuk a $u=x^2+10x+34$ behelyettesítést, akkor az $\int\frac(du)(u)$ alakot ölti majd könnyen kezelhető második képlet -ból. Ami a második integrált illeti, az $u=x+5$ változtatás lehetséges, ami után $\int\frac(du)(u^2+9)$ alakot ölt. Ez a legtisztább tizenegyedik formula a határozatlan integrálok táblázatából. Tehát, visszatérve az integrálok összegéhez, a következőt kapjuk:

$2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ugyanazt a választ kaptuk, mint a képlet alkalmazásakor, ami szigorúan véve nem meglepő. Általánosságban elmondható, hogy a képlet bizonyítása ugyanazokkal a módszerekkel történik, mint amelyeket ennek az integrálnak a meghatározásához használtunk. Úgy gondolom, hogy a figyelmes olvasónak itt egy kérdése lehet, ezért megfogalmazom:

1. kérdés

Ha a határozatlan integrálok táblázatának második képletét alkalmazzuk a $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ integrálra, akkor a következőt kapjuk:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miért nem volt modul a megoldásban?

Válasz az 1. kérdésre

A kérdés teljesen természetes. A modul csak azért hiányzott, mert a $x^2+10x+34$ kifejezés bármely $x\in R$ esetén nagyobb nullánál. Ezt meglehetősen könnyű többféleképpen megmutatni. Például mivel $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ és $(x+5)^2 ≥ 0$, akkor $(x+5)^2+9 > 0$ . Gondolkodhat másként, anélkül, hogy egy teljes négyzetet kiválasztana. Mivel $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0 $ bármely $x\in R$ (ha ez a logikai lánc meglepő, azt tanácsolom, hogy nézze meg grafikus módszer megoldásokat másodfokú egyenlőtlenségek). Mindenesetre mivel $x^2+10x+34 > 0$, akkor $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. Modul helyett használhat szokásos zárójeleket.

Az 1. példa minden pontja megoldva, már csak a választ kell leírni.

Válasz:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

2. példa

Keresse meg a $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integrált.

Első pillantásra a $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ integráns tört nagyon hasonlít a harmadik típusú elemi törthez, azaz. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Úgy tűnik, hogy az egyetlen különbség a $3$-os együttható a $x^2$ előtt, de nem tart sokáig az együttható eltávolítása (zárójelbe téve). Ez a hasonlóság azonban nyilvánvaló. A $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ tört esetében a $p^2-4q feltétel kötelező< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Az együtthatónk $x^2$ előtt nem egyenlő eggyel, ezért ellenőrizze a $p^2-4q feltételt< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, ezért a $3x^2-5x-2$ kifejezés faktorizálható. Ez azt jelenti, hogy a $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ tört nem a harmadik típus elemi törtje, ezért alkalmazza a $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) az integrál 5x-2)dx$ képlet nem lehetséges.

Nos, ha az adott racionális tört nem elemi tört, akkor elemi törtek összegeként kell ábrázolni, majd integrálni. Röviden: használja ki a nyomvonalat. Részletesen meg van írva, hogyan lehet egy racionális törtet elemire bontani. Kezdjük a nevező figyelembevételével:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(igazított) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(igazított)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

A szubinterkális törtet a következő formában mutatjuk be:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Most bontsuk fel a $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ törtet elemire:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\jobbra). $$

Az $A$ és $B$ együtthatók megkeresésére két standard módszer létezik: a meghatározatlan együtthatók módszere és a részértékek helyettesítésének módszere. Alkalmazzuk a részleges értékhelyettesítés módszerét, behelyettesítve $x=2$, majd $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\jobbra); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Mivel az együtthatókat megtaláltuk, már csak a kész bővítést kell felírni:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Elvileg elhagyhatja ezt a bejegyzést, de én egy pontosabb lehetőséget szeretek:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Visszatérve az eredeti integrálhoz, az így kapott bővítést behelyettesítjük abba. Ezután az integrált kettéosztjuk, és mindegyikre alkalmazzuk a képletet. Inkább azonnal az integráljelen kívülre helyezem a konstansokat:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Válasz: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

3. példa

Keresse meg a $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integrált.

Integrálnunk kell a $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ törtet. A számláló egy másodfokú, a nevező pedig egy harmadfokú polinomot tartalmaz. Mivel a polinom fokszáma a számlálóban kisebb, mint a nevezőben lévő polinom mértéke, azaz. 2 dollár< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Nincs más dolgunk, mint a megadott integrált három részre osztani, és mindegyikre alkalmazni a képletet. Inkább azonnal az integráljelen kívülre helyezem a konstansokat:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Válasz: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

A téma példáinak elemzésének folytatása a második részben található.

A határozatlan integrál törtszámú megtalálásának problémája racionális funkció egyszerű törtek integrálására redukálódik. Ezért azt javasoljuk, hogy először ismerkedjen meg a törtek legegyszerűbb lebontásának elméletével.

Példa.

Megoldás.

Mivel az integrandus számlálójának foka megegyezik a nevező mértékével, először a teljes részt jelöljük ki úgy, hogy a polinomot elosztjuk a polinommal egy oszloppal:

Ezért, .

A kapott megfelelő racionális tört egyszerűbb törtekre bontásának van formája . Ennélfogva,

A kapott integrál a harmadik típus legegyszerűbb törtjének integrálja. Kicsit előre tekintve megjegyezzük, hogy ezt a differenciáljel alá vonva veheti át.

Mert , Azt . Ezért

Ennélfogva,

Most térjünk át a négy típus egyszerű törteinek integrálására szolgáló módszerek leírására.

Az első típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer ideális a probléma megoldására:

Példa.

Megoldás.

Keressük meg a határozatlan integrált az antiderivált tulajdonságainak, az antideriválták táblázatának és az integrációs szabálynak a segítségével.

Lap teteje

A második típusú egyszerű törtek integrálása

A közvetlen integrációs módszer is alkalmas ennek a problémának a megoldására:

Példa.

Megoldás.

Lap teteje

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálása

Először a határozatlan integrált mutatjuk be összegként:

Az első integrált a differenciáljel alá vesszük:

Ezért,

Alakítsuk át a kapott integrál nevezőjét:

Ennélfogva,

A harmadik típusú egyszerű törtek integrálásának képlete a következő:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

A kapott képletet használjuk:

Ha nem lenne ez a képlet, mit tennénk:

9. A negyedik típusú egyszerű törtek integrálása

Az első lépés az, hogy a különbségi jel alá helyezzük:

A második lépés az űrlap integráljának megkeresése . Az ilyen típusú integrálokat ismétlődési képletekkel találjuk meg. (Lásd: particionálás ismétlődési képletekkel). A következő ismétlődő képlet alkalmas esetünkre:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált

Megoldás.

Az ilyen típusú integrandusokhoz a helyettesítési módszert használjuk. Vezessünk be egy új változót (lásd az irracionális függvények integrálása című részt):

Csere után a következőkkel rendelkezünk:

Eljutottunk a negyedik típus törtjének integráljához. A mi esetünkben vannak együtthatók M = 0, p = 0, q = 1, N = 1És n=3. Az ismétlődő képletet alkalmazzuk:

A fordított csere után a következő eredményt kapjuk:

10. Trigonometrikus függvények integrálása.

Sok probléma abból adódik, hogy megtaláljuk a transzcendentális függvényeket tartalmazó integrálokat trigonometrikus függvények. Ebben a cikkben csoportosítjuk a leggyakoribb integránstípusokat, és példákon keresztül megvizsgáljuk az integrációjuk módszereit.

Kezdjük a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens integrálásával.

Az antiderivatívek táblázatából azonnal megjegyezzük, hogy És .

A differenciáljel összegének módszere lehetővé teszi az érintő és a kotangens függvények határozatlan integráljának kiszámítását:

Lap teteje

Nézzük az első esetet, a második teljesen hasonló.

Használjuk a helyettesítési módszert:

Eljutottunk az irracionális függvény integrálásának problémájához. A helyettesítési módszer itt is segítségünkre lesz:

Már csak a fordított csere elvégzése van hátra és t = sinx:

Lap teteje

Megtalálásuk alapelveiről az ismétlődő képletek használatával történő szakaszintegrációban tudhat meg többet. Ha tanulmányozza ezeknek a képleteknek a származtatását, könnyen felveheti az alak integráljait , Ahol mÉs n- egész számok.

Lap teteje

Lap teteje

A legtöbb kreativitás akkor jelentkezik, ha az integrandus különböző argumentumokkal rendelkező trigonometrikus függvényeket tartalmaz.

Itt jönnek segítségül a trigonometria alapképletei. Tehát írja le őket egy külön papírra, és tartsa a szeme előtt.

Példa.

Készlet keresése antiderivatív funkciók .

Megoldás.

A redukciós képletek azt adják És .

Ezért

A nevező az összeg szinuszának képlete, ezért

Három integrál összegéhez jutunk.

Lap teteje

A trigonometrikus függvényeket tartalmazó integránsok néha törtekre redukálhatók racionális kifejezések, standard trigonometrikus helyettesítéssel.

Írjunk ki olyan trigonometrikus képleteket, amelyek a félargumentum tangensén keresztül fejezik ki a szinust, koszinust, érintőt:

Integráláskor szükségünk lesz a differenciális kifejezésre is dx félszög érintőjén keresztül.

Mert , Azt

Vagyis hol.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

Használjunk szabványos trigonometrikus helyettesítést:

És így, .

Az integrandus egyszerű törtekre bontása két integrál összegéhez vezet:

Nincs más hátra, mint a fordított csere végrehajtása:

11. Az ismétlődési képletek olyan képletek, amelyek kifejezik n A sorozat edik tagja az előző tagokon keresztül. Gyakran használják integrálok keresésekor.

Nem célunk az összes ismétlődési képlet felsorolása, hanem a származtatásuk elvét szeretnénk megadni. Ezen képletek levezetése az integrandus transzformációján és a részenkénti integrálás módszerének alkalmazásán alapul.

Például a határozatlan integrál az ismétlődési képlet segítségével vehető .

A képlet származtatása:

A trigonometriai képletek segítségével felírhatjuk:

A kapott integrált a részenkénti integráció módszerével találjuk meg. Funkcióként u(x) vessünk cosx, ennélfogva, .

Ezért,

Visszatérünk az eredeti integrálhoz:

vagyis

Ezt kellett megmutatni.

A következő ismétlődési képletek hasonló módon származnak:

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldás.

A negyedik bekezdés ismétlődő képletét használjuk (példánkban n=3):

Mivel az antiderivatívek táblázatából megvan , Azt

A tört úgynevezett helyes, ha a számláló legmagasabb foka kisebb, mint a nevező legmagasabb foka. A megfelelő racionális tört integrálja a következő formájú:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

A racionális törtek integrálásának képlete a nevezőben lévő polinom gyökétől függ. Ha a $ ax^2+bx+c $ polinomnak:

1. Csak összetett gyökök, akkor egy teljes négyzetet kell kivonni belőle: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14:00 a ^2) $$
2. Különféle igazi gyökerek$ x_1 $ és $ x_2 $, akkor ki kell bontani az integrált, és meg kell keresni a határozatlan együtthatókat $ A $ és $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \ frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Egy többszörös gyökér $ x_1 $, majd kibontjuk az integrált, és megkeressük a $ A $ és $ B $ határozatlan együtthatókat a következő képlethez: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ha a tört az rossz, azaz a számláló legmagasabb foka nagyobb vagy egyenlő a nevező legmagasabb fokával, akkor először le kell redukálni helyesúgy alakítjuk ki, hogy a számlálóból származó polinomot elosztjuk a nevezőből származó polinomdal. Ebben az esetben a racionális tört integrálásának képlete a következő:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Példák megoldásokra

1. példa

Keresse meg a racionális tört integrálját: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Megoldás

A tört helyes, és a polinomnak csak összetett gyökei vannak. Ezért egy teljes négyzetet választunk: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Összehajtogatunk egy teljes négyzetet, és a $ x-5 $ különbségi jel alá helyezzük: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Az integráltáblázat segítségével a következőket kapjuk: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. mi biztosítjuk részletes megoldás. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!

Válasz

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

2. példa

Hajtsa végre a racionális törtek integrálását: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Megoldás

Oldjuk meg a másodfokú egyenletet: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Felírjuk a gyökereket: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ A kapott gyököket figyelembe véve átalakítjuk az integrált: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Elvégezzük egy racionális tört bővítését: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Egyenlítjük a számlálókat, és megtaláljuk a $ A $ és a $ B $ együtthatókat: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(esetek) A+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(esetek) $$ $$ \begin(esetek) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(esetek) $$ A talált együtthatókat behelyettesítjük az integrálba, és megoldjuk: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Válasz

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$