Hooke törvénye a következőképpen fogalmazódik meg: az a rugalmas erő, amely akkor lép fel, amikor egy test külső erők hatására deformálódik, arányos a megnyúlásával. A deformáció pedig egy anyag atomközi vagy intermolekuláris távolságának megváltozása külső erők hatására. A rugalmas erő az az erő, amely ezeket az atomokat vagy molekulákat egyensúlyi állapotba hozza vissza.

Forma-1 – Hooke törvénye.

F - Rugalmas erő.

k - test merevsége (Arányossági együttható, amely a test anyagától és alakjától függ).

x - A test deformációja (a test megnyúlása vagy összenyomódása).

Ezt a törvényt Robert Hooke fedezte fel 1660-ban. Kísérletet végzett, amely a következőkből állt. Az egyik végén vékony acélszálat rögzítettek, a másik végére pedig változó mértékű erőt fejtettek ki. Egyszerűen fogalmazva, egy zsinórt felfüggesztettek a mennyezetre, és változó tömegű terhelést helyeztek rá.

1. ábra - Húrfeszülés a gravitáció hatására.

A kísérlet eredményeként Hooke megállapította, hogy kis folyosókon a test nyújtásának a függése lineáris a rugalmas erőhöz képest. Azaz, ha egységnyi erőt alkalmazunk, a test egy egységnyi hosszúsággal meghosszabbodik.

2. ábra - A rugalmas erő testnyúlástól való függésének grafikonja.

A nulla a grafikonon a test eredeti hossza. A jobb oldalon minden a testhossz növekedése. Ebben az esetben a rugalmas erő megvan negatív jelentése. Vagyis arra törekszik, hogy a testet visszaállítsa eredeti állapotába. Ennek megfelelően a deformáló erő ellen irányul. A bal oldalon minden testkompresszió. A rugalmas erő pozitív.

A húr nyúlása nemcsak a külső erőtől függ, hanem a húr keresztmetszetétől is. Egy vékony zsinór a könnyű súlya miatt valahogy megnyúlik. De ha veszel egy ugyanolyan hosszúságú, de mondjuk 1 m átmérőjű zsinórt, nehéz elképzelni, mekkora súlyra lesz szükség a kifeszítéséhez.

Annak felmérésére, hogy az erő hogyan hat egy bizonyos keresztmetszetű testre, bevezetjük a normál mechanikai feszültség fogalmát.

Forma 2 - normál mechanikai igénybevétel.

S-keresztmetszeti terület.

Ez a stressz végső soron arányos a test megnyúlásával. A relatív nyúlás a test hossznövekedésének és teljes hosszának aránya. Az arányossági együtthatót pedig Young-modulusnak nevezzük. Modulus azért, mert a test nyúlásának értékét modulo vesszük, az előjel figyelembe vétele nélkül. Nem veszi figyelembe, hogy a test rövidült vagy meghosszabbodott. Fontos megváltoztatni a hosszát.

Forma 3 – Young modulusa.

|e| - A test relatív megnyúlása.

s normális testfeszültség.

Hooke törvényeáltalában lineáris kapcsolatoknak nevezik az alakváltozási összetevők és a feszültségkomponensek között.

Vegyünk egy elemi téglalap alakú paralelepipedont, melynek lapjai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, normál feszültséggel terhelve σ x, egyenletesen elosztva két ellentétes oldalon (1. ábra). Ahol σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Az arányosság határáig a relatív nyúlást a képlet adja meg

Ahol E— húzó rugalmassági modulus. Acélhoz E = 2*10 5 MPa, ezért az alakváltozások nagyon kicsik, és százalékban vagy 1 * 10 5-ben mérik (a deformációt mérő nyúlásmérő eszközökben).

Egy elem kiterjesztése tengely irányban x az alakváltozási összetevők által meghatározott keresztirányú szűkülése kíséri

Ahol μ - oldalirányú kompressziós aránynak vagy Poisson-aránynak nevezett állandó. Acélhoz μ általában 0,25-0,3.

Ha a kérdéses elemet egyidejűleg terheljük normál feszültségekkel σx, σy, σ z, egyenletesen elosztva a lapjai mentén, majd hozzáadódnak a deformációk

A három feszültség által okozott deformációs komponensek egymásra helyezésével megkapjuk az összefüggéseket

Ezeket az összefüggéseket számos kísérlet igazolja. Alkalmazott overlay módszer vagy szuperpozíciók a több erő által okozott összes nyúlás és feszültség megállapítása mindaddig jogos, amíg az igénybevételek és feszültségek kicsik és lineárisan függenek az alkalmazott erőktől. Ilyenkor figyelmen kívül hagyjuk az eldeformálódott test kisebb méretváltozásait és a külső erők hatópontjainak kis mozgását, és számításainkat a kezdeti méretekre, ill. kezdeti formája testek.

Megjegyzendő, hogy az elmozdulások kicsinysége nem feltétlenül jelenti azt, hogy az erők és az alakváltozások közötti összefüggések lineárisak. Tehát például be erők által összenyomva K nyíróerővel kiegészítőleg terhelt rúd R, még kis kitéréssel is δ egy további pont merül fel M = Qδ, ami nemlineárissá teszi a problémát. Ilyen esetekben a teljes elhajlás nem lineáris függvények erőfeszítést, és nem érhető el egyszerű szuperpozícióval.

Kísérletileg megállapítottam, hogy ha az elem minden felületén nyírófeszültségek hatnak, akkor a megfelelő szög torzulása csak a nyírófeszültség megfelelő összetevőitől függ.

Állandó G nyírási rugalmassági modulusnak vagy nyírási modulusnak nevezzük.

Egy elem három normál és három érintőleges feszültségkomponens hatására bekövetkező deformációjának általános esetét szuperpozíció segítségével kaphatjuk meg: három, az (5.2b) összefüggésekkel meghatározott nyírási deformációt egymásra helyezzük három, kifejezésekkel meghatározott lineáris alakváltozásra ( 5.2a). Az (5.2a) és (5.2b) egyenletek meghatározzák az alakváltozások és feszültségek összetevői közötti kapcsolatot, és ún. általánosította Hooke törvényét. Most mutassuk meg, hogy a nyírási modulus G húzórugalmassági modulusával fejezzük ki Eés Poisson-arány μ . Ehhez fontolja meg különleges eset, Amikor σ x = σ , σy = -σ És σ z = 0.

Vágjuk ki az elemet abcd tengellyel párhuzamos síkok zés 45°-os szöget zár be a tengelyekkel xÉs nál nél(3. ábra). Ahogy a 0. elem egyensúlyi feltételeiből következik bс, normál stressz σ v az elem minden oldalán abcd egyenlőek nullával, és a nyírófeszültségek egyenlőek

Ezt a feszültségi állapotot ún tiszta nyírás. Az (5.2a) egyenletekből az következik, hogy

vagyis a vízszintes elem kiterjesztése 0 c egyenlő a függőleges elem 0 rövidítésével b: εy = -ε x.

Szög az arcok között abÉs időszámításunk előtt változásokat, és a megfelelő nyíró alakváltozási értéket γ megtalálható a 0-s háromszögből bс:

Ebből következik, hogy

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

1) Mit nevezünk deformációnak? Milyen típusú deformációkat ismer?

Deformáció- a testrészecskék relatív helyzetének változása a mozgásukkal összefüggésben. A deformáció az atomok közötti távolságok változásának és az atomtömbök átrendeződésének az eredménye. A deformációt jellemzően az atomközi erők nagyságának változása kíséri, melynek mértéke a rugalmas feszültség.

A deformáció típusai:

Feszülés-kompresszió- anyagok ellenállásában - egy rúd vagy gerenda hosszirányú deformációja, amely akkor lép fel, ha a hossztengelye mentén terhelés éri (a rá ható erők eredője merőleges a rúd keresztmetszetére és áthalad tömegközéppontján keresztül).

A feszítés a rúd megnyúlását okozza (szakadás és maradó alakváltozás is lehetséges), az összenyomás a rúd megrövidülését okozza (stabilitásvesztés és hosszirányú hajlítás lehetséges).

hajlít- olyan alakváltozás, amelyben az egyenes rudak tengelyeinek görbülete vagy ívelt rudak tengelyeinek görbülete megváltozik. A hajlítás a gerenda keresztmetszete hajlítónyomatékainak előfordulásához kapcsolódik. Közvetlen hajlításról akkor beszélünk, ha a gerenda adott keresztmetszetében a hajlítónyomaték a szakasz egyik fő központi tehetetlenségi tengelyén áthaladó síkban hat. Abban az esetben, ha a hajlítónyomaték hatássíkja a gerenda adott keresztmetszetében nem megy át ennek a szakasznak egyik fő tehetetlenségi tengelyén sem, ferdenek nevezzük.

Ha a közvetlen vagy ferde hajlítás során csak egy hajlítónyomaték hat a gerenda keresztmetszetében, akkor ennek megfelelően tiszta egyenes vagy tiszta ferde hajlításról van szó. Ha a keresztmetszetben keresztirányú erő is hat, akkor keresztirányú egyenes vagy keresztirányú ferde kanyar van.

Csavarodás- a test deformációjának egyik fajtája. Akkor fordul elő, ha egy testet a keresztirányú síkban erőpár (pillanat) formájában terhelés éri. Ebben az esetben csak egy belső erőtényező jelenik meg a test keresztmetszetein - a nyomaték. A feszítő-kompressziós rugók és tengelyek a csavaráshoz működnek.

A deformáció típusai szilárd. A deformáció rugalmas és képlékeny.

Deformáció a szilárd test térfogatváltozással, hőtágulással, mágnesezettséggel (magnetostrikciós hatás), megjelenéssel járó fázisátalakulás következménye lehet. elektromos töltés(piezoelektromos hatás) vagy külső erők hatására.

Rugalmasnak nevezzük az alakváltozást, ha az azt okozó terhelés eltávolítása után eltűnik, és képlékenynek nevezzük, ha a terhelés eltávolítása után nem tűnik el (legalábbis teljesen). Minden valódi szilárd anyag, ha deformálódik, kisebb-nagyobb mértékben plasztikus tulajdonságokkal rendelkezik. Bizonyos feltételek mellett a testek plasztikus tulajdonságai elhanyagolhatók, ahogy az a rugalmasság elméletében történik. Kellő pontossággal a szilárd test rugalmasnak tekinthető, vagyis addig nem mutat észrevehető képlékeny alakváltozásokat, amíg a terhelés meg nem halad egy bizonyos határt.

A képlékeny alakváltozás természete a hőmérséklettől, a terhelés időtartamától vagy az alakváltozási sebességtől függően változhat. A testre ható állandó terhelés mellett az alakváltozás idővel változik; ezt a jelenséget kúszásnak nevezik. A hőmérséklet emelkedésével a kúszási sebesség nő. A kúszás speciális esetei a relaxáció és a rugalmas utóhatás. A plasztikus deformáció mechanizmusát magyarázó elméletek egyike a kristályok diszlokációinak elmélete.

A Hooke-törvény levezetése különböző típusú alakváltozásokra.

Nettó eltolódás: Tiszta torzió:

4) Mit nevezünk nyírási modulusnak és torziós modulusnak, mik ezek? fizikai jelentése?

Nyírási modulus vagy merevségi modulus (G vagy μ) egy anyag azon képességét jellemzi, hogy ellenáll az alakváltozásoknak, miközben megtartja térfogatát; ezt a nyírófeszültség és a nyíró alakváltozás arányaként határozzuk meg, a változásként definiáljuk derékszög síkok között, amelyek mentén nyírófeszültségek hatnak). A nyírási modulus a viszkozitási jelenség egyik összetevője.

Nyírási modulus: Torziós modulus:

5) Mi a Hooke-törvény matematikai kifejezése? Milyen mértékegységekben mérik a rugalmassági modulust és a feszültséget?

Pa-ban mérve, - Hooke törvénye

A Krími Autonóm Köztársaság Oktatási Minisztériuma

A Tauride Nemzeti Egyetemről nevezték el. Vernadszkij

Fizikai törvény tanulmányozása

HOOKE TÖRVÉNY

Elkészítette: 1. éves hallgató

Fizikai Kar gr. F-111

Potapov Jevgenyij

Szimferopol-2010

Terv:

Az összefüggés aközött, hogy milyen jelenségeket vagy mennyiségeket fejez ki a törvény.

A törvény nyilatkozata

A törvény matematikai kifejezése.

Hogyan fedezték fel a törvényt: kísérleti adatok alapján vagy elméletileg?

Tapasztalt tények, amelyek alapján a törvény megfogalmazódott.

Az elmélet alapján megfogalmazott törvény érvényességét megerősítő kísérletek.

Példák a jogalkalmazásra és a joghatás figyelembevételére a gyakorlatban.

Irodalom.

A törvény által kifejezett jelenségek vagy mennyiségek közötti kapcsolat:

A Hooke-törvény olyan jelenségekre vonatkozik, mint a szilárd test feszültsége és deformációja, rugalmassági modulusa és nyúlása. A test deformációja során fellépő rugalmas erő modulusa arányos a megnyúlásával. A nyúlás az anyag deformálhatóságának jellemzője, amelyet az anyagminta hosszának növekedésével értékelnek kinyújtott állapotban. A rugalmas erő olyan erő, amely a test deformációja során keletkezik, és ellensúlyozza ezt a deformációt. A feszültség azon belső erők mértéke, amelyek a deformálható testben külső hatások hatására keletkeznek. A deformáció a test részecskéinek egymáshoz viszonyított mozgásával összefüggő relatív helyzetének megváltozása. Ezeket a fogalmakat az úgynevezett merevségi együttható kapcsolja össze. Ez függ az anyag rugalmas tulajdonságaitól és a test méretétől.

A törvény kijelentése:

A Hooke-törvény a rugalmasság elméletének egyenlete, amely a rugalmas közeg feszültségét és alakváltozását hozza összefüggésbe.

A törvény megfogalmazása szerint a rugalmas erő egyenesen arányos az alakváltozással.

A törvény matematikai kifejezése:

Vékony húzórúd esetén a Hooke-törvény a következőképpen alakul:

Itt F rúdfeszítő erő, Δ l- megnyúlása (összenyomódása), ill k hívott rugalmassági együttható(vagy merevség). A mínusz az egyenletben azt jelzi, hogy a feszítőerő mindig az alakváltozással ellentétes irányban irányul.

Ha megadja a relatív nyúlást

és normál feszültség a keresztmetszetben

akkor a Hooke-törvény így lesz megírva

Ebben a formában bármilyen kis térfogatú anyagra érvényes.

Általános esetben a feszültség és a deformáció a háromdimenziós térben a második rangú tenzorok (mindegyik 9 komponensből áll). Az őket összekötő rugalmas állandók tenzora a negyedik rangú tenzor C ijklés 81 együtthatót tartalmaz. A tenzor szimmetriája miatt C ijkl, valamint a feszültség- és alakváltozás tenzorok, csak 21 állandó független. A Hooke törvénye így néz ki:

ahol σ ij- feszültség tenzor, - feszültség tenzor. Izotróp anyag esetén a tenzor C ijkl csak két független együtthatót tartalmaz.

Hogyan fedezték fel a törvényt: kísérleti adatok alapján vagy elméletileg:

A törvényt 1660-ban Robert Hooke (Hook) angol tudós fedezte fel megfigyelések és kísérletek alapján. A felfedezést, amint azt Hooke az 1678-ban megjelent „De potentia restitutiva” című esszéjében kifejtette, 18 évvel korábban ő tette, és 1676-ban a „ceiiinosssttuv” anagramma leple alatt került egy másik könyvébe. „Ut tensio sic vis” . A szerző magyarázata szerint a fenti arányossági törvény nemcsak fémekre vonatkozik, hanem fára, kövekre, szarvra, csontokra, üvegre, selyemre, hajra stb.

Tapasztalt tények, amelyek alapján a törvény megfogalmazásra került:

A történelem hallgat erről..

Az elmélet alapján megfogalmazott törvény érvényességét megerősítő kísérletek:

A törvényt kísérleti adatok alapján fogalmazzák meg. Valójában egy test (huzal) nyújtásakor bizonyos merevségi együtthatóval kΔ távolságra l, akkor szorzatuk egyenlő lesz a testet (huzalt) feszítő erővel. Ez az összefüggés azonban nem minden deformációra igaz, hanem kicsikre. Nagy alakváltozások esetén a Hooke-törvény nem érvényesül, és a test összeesik.

Példák a jogalkalmazásra és a törvény hatásának figyelembevételére a gyakorlatban:

Amint a Hooke-törvényből következik, a rugó megnyúlása alapján megítélhető a rá ható erő. Ezt a tényt az erők mérésére használják dinamométerrel - egy rugóval, amelynek lineáris skálája különböző erőértékekre van kalibrálva.

Irodalom.

1. Internetes források: - Wikipedia webhely (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. fizika tankönyv Peryshkin A.V. 9. osztály

3. fizika tankönyv V.A. Kaszjanov 10. osztály

4. előadások a mechanikáról Ryabushkin D.S.

A deformációk fajtái

Deformáció a test alakjának, méretének vagy térfogatának változása. A deformációt a testre ható külső erők okozhatják. Azokat a deformációkat, amelyek a külső erők testre gyakorolt ​​hatásának megszűnése után teljesen eltűnnek, nevezzük rugalmasés olyan deformációk, amelyek akkor is fennállnak, ha a külső erők már nem hatnak a testre, műanyag. Megkülönböztetni húzó igénybevétel vagy tömörítés(egyoldalú vagy átfogó), hajlítás, csavarodásÉs váltás.

Rugalmas erők

Ha egy szilárd test deformálódik, részecskéi (atomok, molekulák, ionok) a csomópontokban helyezkednek el. kristályrács, kiszorulnak egyensúlyi helyzetükből. Ezt az elmozdulást a szilárd test részecskéi közötti kölcsönhatási erők ellensúlyozzák, amelyek ezeket a részecskéket bizonyos távolságban tartják egymástól. Ezért bármilyen rugalmas deformáció esetén belső erők lépnek fel a testben, amelyek megakadályozzák annak deformációját.

Rugalmas erőknek nevezzük azokat az erőket, amelyek a testben annak rugalmas alakváltozása során keletkeznek, és a test részecskéinek az alakváltozás okozta elmozdulási iránya ellen irányulnak. Rugalmas erők hatnak a deformált test bármely szakaszán, valamint a testtel való érintkezési pontján, ami deformációt okoz. Egyoldali feszítés vagy összenyomás esetén a rugalmas erőt az egyenes vonal mentén irányítják, amely mentén a külső erő hat, és a test deformációját okozza, ennek az erőnek az irányával ellentétes és a test felületére merőlegesen. A rugalmas erők természete elektromos.

Megvizsgáljuk egy szilárd test egyoldalú feszítése és összenyomása során fellépő rugalmas erők esetét.

Hooke törvénye

A rugalmas erő és a test rugalmas alakváltozása közötti kapcsolatot (kis alakváltozásoknál) Newton kortársa, Hooke angol fizikus állapította meg kísérletileg. Matematikai kifejezés A Hooke-törvény az egyoldali húzó- (kompressziós) deformációra a következő formában van:

ahol f a rugalmas erő; x - a test megnyúlása (deformációja); k a test méretétől és anyagától függő arányossági együttható, amelyet merevségnek nevezünk. A merevség SI mértékegysége newton per méter (N/m).

Hooke törvénye az egyoldali feszültség (kompresszió) esetében a következőképpen van megfogalmazva: A test deformációja során fellépő rugalmas erő arányos a test nyúlásával.

Tekintsünk egy kísérletet, amely a Hooke-törvényt illusztrálja. Legyen a hengeres rugó szimmetriatengelye egybeesve az Ax egyenessel (20. ábra, a). A rugó egyik vége az A pontban van rögzítve a tartóban, a második szabadon van, és ehhez van rögzítve az M test. Ha a rugó nem deformálódik, a szabad vége a C pontban található. az x koordináta origója, amely a rugó szabad végének helyzetét határozza meg.

Nyújtsuk meg a rugót úgy, hogy a szabad vége a D pontban legyen, melynek koordinátája x > 0: Ezen a ponton a rugó rugalmas erővel hat az M testre.

Most nyomjuk össze a rugót úgy, hogy a szabad vége a B pontban legyen, melynek koordinátája x

Az ábráról látható, hogy a rugó rugalmas erejének ax tengelyre való vetülete mindig az x koordináta előjelével ellentétes előjellel rendelkezik, mivel a rugalmas erő mindig a C egyensúlyi helyzet felé irányul. A 20. b ábra a Hooke-törvény grafikonját mutatja. A rugó x nyúlásának értékeit az abszcissza tengelyen, a rugalmas erő értékeket az ordináta tengelyen ábrázoljuk. Az fx függése x-től lineáris, így a grafikon a koordináták origóján áthaladó egyenes.

Nézzünk egy másik kísérletet.

Egy vékony acélhuzal egyik végét rögzítsük egy konzolhoz, a másik végére függesztjük fel a terhelést, melynek súlya a huzalra merőlegesen ható F külső húzóerő (21. ábra).

Ennek az erőnek a huzalra gyakorolt ​​hatása nemcsak az F erőmodulustól függ, hanem az S vezeték keresztmetszeti területétől is.

A rá ható külső erő hatására a huzal deformálódik és megnyúlik. Ha a nyúlás nem túl nagy, akkor ez a deformáció rugalmas. Egy rugalmasan deformált huzalban f egységnyi rugalmas erő keletkezik. Newton harmadik törvénye szerint a rugalmas erő egyenlő nagyságú és ellentétes irányú külső erő, a testre ható, azaz.

f fel = -F (2,10)

A rugalmasan deformált test állapotát az s értékkel jellemezzük, ún normál mechanikai igénybevétel(vagy röviden csak normál feszültség). A normál feszültség s egyenlő a rugalmas erő modulusának a test keresztmetszeti területéhez viszonyított arányával:

s = f fel /S (2,11)

Legyen a kinyújtatlan huzal kezdeti hossza L 0. Az F erő kifejtése után a huzal megnyúlt, hossza L-lel egyenlő lett. A DL = L - L 0 mennyiséget ún. abszolút huzalnyúlás. Az e = DL/L 0 (2.12) mennyiséget nevezzük relatív testnyúlás. e>0 húzófeszültségre, e nyomónyúlásra< 0.

A megfigyelések azt mutatják, hogy kis alakváltozások esetén a normál feszültség s arányos a relatív e nyúlással:

s = E|e|. (2,13)

A (2.13) képlet a Hooke-törvény írásának egyik fajtája az egyoldalú feszültségre (kompresszióra). Ebben a képletben a relatív nyúlást modulo-ként veszik, mivel lehet pozitív és negatív is. A Hooke-törvényben szereplő E arányossági együtthatót longitudinális rugalmassági modulusnak (Young modulus) nevezik.

Határozzuk meg a Young-modulus fizikai jelentését. Amint a (2.12) képletből látható, e = 1 és L = 2L 0 DL = L 0 esetén. A (2.13) képletből az következik, hogy ebben az esetben s = E. Következésképpen Young modulusa számszerűen egyenlő azzal a normál feszültséggel, amely a testben keletkezne, ha a test hossza megkétszereződik. (ha a Hooke-törvény igaz lenne ekkora deformációra). A (2.13) képletből az is világos, hogy az SI-ben a Young-modulus pascalban van kifejezve (1 Pa = 1 N/m2).