lecke 32-33. Fordított trigonometrikus függvények

09.07.2015 6432 0

Cél: vegyük figyelembe az inverz trigonometrikus függvényeket és azok felhasználását megoldások írásához trigonometrikus egyenletek.

I. A tanórák témájának és céljának közlése

II. Új anyagok tanulása

1. Inverz trigonometrikus függvények

Kezdjük a téma tárgyalását a következő példával.

1. példa

Oldjuk meg az egyenletet: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Az ordináta tengelyen ábrázoljuk az 1/2 értéket és megszerkesztjük a szögeket x 1 és x2, amihez bűn x = 1/2. Ebben az esetben x1 + x2 = π, ahonnan x2 = π – x 1 . A trigonometrikus függvények értéktáblázata segítségével megtaláljuk az x1 = π/6 értéket, majdVegyük figyelembe a szinuszfüggvény periodicitását, és írjuk fel a megoldásokat adott egyenlet: ahol k ∈ Z.

b) Nyilvánvalóan az egyenlet megoldásának algoritmusa bűn x = a ugyanaz, mint az előző bekezdésben. Természetesen most az a értéket ábrázoljuk az ordinátatengely mentén. Valahogy ki kell jelölni az x1 szöget. Megállapodtunk, hogy ezt a szöget a szimbólummal jelöljük arcsin A. Ekkor ennek az egyenletnek a megoldásai a formába írhatókEz a két képlet egybe kombinálható: ahol

A többi inverz trigonometrikus függvényt hasonló módon vezetjük be.

Nagyon gyakran meg kell határozni a szög nagyságát ismert érték trigonometrikus funkciója. Egy ilyen probléma többértékű – számtalan olyan szög létezik, amelyek trigonometrikus függvényei azonos értékkel egyenlők. Ezért a trigonometrikus függvények monotonitása alapján a következő inverz trigonometrikus függvényeket vezetjük be a szögek egyedi meghatározására.

Az a szám arcsinusza (arcsin , melynek szinusza egyenlő a-val, azaz.

Egy szám ív koszinusza a(arccos a) egy a szög abból az intervallumból, amelynek koszinusza egyenlő a-val, azaz.

Egy szám arktangense a(arctg a) - ilyen a szög az intervallumbólamelynek érintője egyenlő a-val, azaz.tg a = a.

Egy szám arccotangense a(arcctg a) egy a szög a (0; π) intervallumból, amelynek kotangense egyenlő a-val, azaz. ctg a = a.

2. példa

Keressük:

Az inverz trigonometrikus függvények definícióit figyelembe véve a következőket kapjuk:

3. példa

Számoljunk

Legyen a = arcsin szög 3/5, akkor értelemszerűen sin a = 3/5 és . Ezért meg kell találnunk kötözősaláta A. Az alap használata trigonometrikus azonosság, kapunk:Figyelembe kell venni, hogy cos a ≥ 0.

Funkció tulajdonságai	Funkció
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctan x	y = arcctg x
Tartomány	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Értékek tartománya	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0;π)
Paritás	Páratlan	Se nem páros, se nem páratlan	Páratlan	Se nem páros, se nem páratlan
Funkció nullák (y = 0)	x = 0-nál	x = 1-nél	x = 0-nál	y ≠ 0
Az előjelállandóság intervallumai	y > 0 x ∈ esetén (0; 1], nál nél< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 x ∈ [-1; 1)	y > 0 x ∈ (0; +∞) esetén, nál nél< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 x ∈ esetén (-∞; +∞)
Monoton	Növekvő	Csökkenő	Növekvő	Csökkenő
Viszony a trigonometrikus függvényhez	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Menetrend

Adjunk néhány jellemzőbb példát az inverz trigonometrikus függvények definícióihoz és alapvető tulajdonságaihoz.

4. példa

Keressük meg a függvény definíciós tartományát

Ahhoz, hogy az y függvény definiálható legyen, ki kell elégíteni az egyenlőtlenségetami ekvivalens az egyenlőtlenségek rendszerévelAz első egyenlőtlenség megoldása az x intervallum∈ (-∞; +∞), második - Ez az intervallum és megoldása az egyenlőtlenségek rendszerére, és ezért a függvény definíciós tartománya

5. példa

Keressük meg a függvény változási területét

Tekintsük a függvény viselkedését z = 2x - x2 (lásd a képet).

Nyilvánvaló, hogy z ∈ (-∞; 1]. Tekintettel arra, hogy az érv z az arc kotangens függvény a megadott határokon belül változik, a táblázat adataiból azt kapjukTehát a változás területe

6. példa

Bizonyítsuk be, hogy az y = függvény arctg x páratlan. HaddEkkor tg a = -x vagy x = - tg a = tg (- a), és Ezért - a = arctg x vagy a = - arctg X. Tehát ezt látjukazaz y(x) páratlan függvény.

7. példa

Kifejezzük az összes inverz trigonometrikus függvényen keresztül

Hadd Ez nyilvánvaló Aztán azóta

Bemutatjuk a szöget Mert Hogy

Ugyanígy tehát És

Így,

8. példa

Készítsük el az y = függvény grafikonját cos(arcsin x).

Jelöljük akkor a = arcsin x-et Vegyük figyelembe, hogy x = sin a és y = cos a, azaz x 2 + y2 = 1, és az x korlátozásai (x∈ [-1; 1]) és y (y ≥ 0). Ekkor az y = függvény grafikonja cos(arcsin x) egy félkör.

9. példa

Készítsük el az y = függvény grafikonját arccos (cos x ).

Mivel a cos függvény x változik a [-1; 1], akkor az y függvény a teljes numerikus tengelyen definiálva van, és a szakaszon változik. Tartsuk szem előtt, hogy y = arccos (cosx) = x a szakaszon; az y függvény páros és periodikus 2π periódussal. Figyelembe véve, hogy a függvény rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal cos x Most már könnyű grafikont készíteni.

Jegyezzünk meg néhány hasznos egyenlőséget:

10. példa

Keressük a legkisebb és legmagasabb érték funkciókat Jelöljük Akkor Nézzük a függvényt Ennek a függvénynek minimuma van a ponton z = π/4, és egyenlő A függvény legnagyobb értékét a pontban érjük el z = -π/2, és egyenlő Így, és

11. példa

Oldjuk meg az egyenletet

Ezt vegyük figyelembe Ekkor az egyenlet így néz ki:vagy ahol Az arctangens definíciója alapján a következőket kapjuk:

2. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása

Az 1. példához hasonlóan a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre is megoldásokat kaphat.

Az egyenlet	Megoldás
tgx = a
ctg x = a

12. példa

Oldjuk meg az egyenletet

Mivel a szinuszfüggvény páratlan, az egyenletet a formába írjukEnnek az egyenletnek a megoldásai:honnan találjuk?

13. példa

Oldjuk meg az egyenletet

A megadott képlet segítségével felírjuk az egyenlet megoldásait:és megtaláljuk

Vegye figyelembe, hogy speciális esetekben (a = 0; ±1) az egyenletek megoldásánál sin x = a és cos x = de egyszerűbb és kényelmesebb használni nem általános képletek, és írja le a megoldásokat az egységkör alapján:

a sin x = 1 egyenletre megoldás

a sin x = 0 egyenletre x = π k megoldások;

a sin x = -1 egyenletre megoldás

a cos egyenlethez x = 1 megoldások x = 2π k ;

a cos x = 0 egyenletre megoldások

a cos x = -1 egyenletre megoldás

14. példa

Oldjuk meg az egyenletet

Mivel ebben a példában van különleges eset egyenleteket, majd a megfelelő képlet segítségével felírjuk a megoldást:honnan találjuk?

III. Ellenőrző kérdések (frontális felmérés)

1. Határozza meg és sorolja fel az inverz trigonometrikus függvények főbb tulajdonságait!

2. Adja meg az inverz trigonometrikus függvények grafikonjait!

3. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.

IV. Órafeladat

15. § 3. a, b) pontja; 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18. (a, b); 19 (c); 21;

16. § 4. a, b) pontja; 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

17. § 3. a, b) pontja; 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10. (a, c).

V. Házi feladat

15. § 3. pont c, d) pontja; 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

16. § 4. pont c, d) pontja; 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

17. § 3. pont c, d) pontja; 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Kreatív feladatok

1. Keresse meg a függvény tartományát:

Válaszok:

2. Keresse meg a függvény tartományát:

Válaszok:

3. Rajzolja fel a függvény grafikonját:

VII. A tanulságok összegzése

Felkészülés az egységes államvizsgára matematikából

Kísérlet

9. lecke Inverz trigonometrikus függvények.

Gyakorlat

Óra összefoglalója

A trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során elsősorban az ívfüggvényekkel való munka képességére lesz szükségünk.

A most megvizsgálandó feladatok két típusra oszlanak: az inverz trigonometrikus függvények értékeinek kiszámítása és transzformációik az alapvető tulajdonságok segítségével.

Ívfüggvények értékeinek kiszámítása

Kezdjük az ívfüggvények értékeinek kiszámításával.

1. számú feladat. Kiszámítja.

Amint látjuk, az ívfüggvények összes argumentuma pozitív és táblázatos, ami azt jelenti, hogy visszaállíthatjuk a szögek értékét a trigonometrikus függvények értéktáblázatának első részéből a -tól ig terjedő szögekre. Ez a szögtartomány benne van az egyes ívfüggvények értéktartományában, ezért egyszerűen használjuk a táblázatot, keressük meg benne a trigonometrikus függvény értékét, és állítsuk vissza, hogy melyik szögnek felel meg.

A)

b)

V)

G)

Válasz. .

2. feladat. Kiszámítja

.

Ebben a példában már látunk negatív érveket. Gyakori hiba ebben az esetben egyszerűen el kell távolítani a mínuszt a függvény alól, és egyszerűen csökkenteni a feladatot az előzőre. Ezt azonban nem minden esetben lehet megtenni. Emlékezzünk arra, hogy a lecke elméleti részében az összes ívfüggvény paritását tárgyaltuk. A páratlanok arcszinusz és arctangens, azaz a mínusz kikerül belőlük, az arccosine és arcotangens pedig függvények Általános nézet, az argumentumban szereplő mínusz egyszerűsítése érdekében speciális képletekkel rendelkeznek. A számítás után a hibák elkerülése érdekében ellenőrizzük, hogy az eredmény az értékek tartományán belül legyen.

Amikor a függvény argumentumait pozitív formára egyszerűsítjük, kiírjuk a megfelelő szögértékeket a táblázatból.

Felmerülhet a kérdés: miért nem írjuk le például közvetlenül a táblázatból a megfelelő szög értékét? Egyrészt azért, mert az előző táblázatot nehezebb megjegyezni, mint korábban, másrészt azért, mert nincsenek benne negatív szinuszértékek, és negatív értékeket az érintő a táblázat szerint rossz szöget ad meg. Jobb egy univerzális megközelítés a megoldáshoz, mint ha összezavarodunk a sokféle megközelítéstől.

3. feladat. Kiszámítja.

a) Ilyenkor tipikus hiba, hogy elkezdünk kivenni egy mínuszt és leegyszerűsítünk valamit. Az első dolog, amit észre kell venni, hogy az arcszinusz argumentum nem tartozik a hatálya alá

Ezért ennek a bejegyzésnek nincs jelentése, és az arcszinusz nem számítható ki.

b) Ebben az esetben a szokásos hiba az, hogy összekeverik az argumentum és a függvény értékeit, és megadják a választ. Ez nem igaz! Természetesen felmerül a gondolat, hogy a táblázatban a koszinusz az értéknek felel meg, de ebben az esetben az zavar, hogy az ívfüggvényeket nem szögekből, hanem trigonometrikus függvények értékéből számítják. Az nem .

Ezen túlmenően, mivel megtudtuk, hogy pontosan mi is az arc koszinusz argumentuma, ellenőrizni kell, hogy szerepel-e a definíciós tartományban. Ehhez emlékezzünk arra , azaz ami azt jelenti, hogy az arccosine-nak nincs értelme és nem is lehet kiszámítani.

Egyébként például a kifejezésnek van értelme, mert , de mivel a koszinusz egyenlő értéke nem táblázatos, lehetetlen az ív koszinusz kiszámítása a táblázat segítségével.

Válasz. A kifejezéseknek nincs értelme.

Ebben a példában nem vesszük figyelembe az arctangenseket és az arckotangenseket, mivel a definíciós tartományuk nincs korlátozva, és a függvényértékek bármely argumentumhoz tartoznak.

4. feladat. Kiszámítja .

Lényegében a feladat a legelsőre esik le, csak külön-külön kell kiszámítani a két függvény értékét, majd behelyettesíteni az eredeti kifejezésbe.

Az arctangens argumentum táblázatos, és az eredmény az értéktartományba tartozik.

Az arkkoszinusz argumentum nem táblázatos, de ettől nem szabad megijednünk, mert akármivel is egyenlő az arkkoszinusz, értéke nullával szorozva nullát eredményez. Egy fontos megjegyzés maradt: ellenőrizni kell, hogy az arccosine argumentum a definíció tartományába tartozik-e, mert ha nem így van, akkor a teljes kifejezésnek nem lesz értelme, függetlenül attól, hogy nullával való szorzást tartalmaz. . De ezért azt mondhatjuk, hogy van értelme, és a válaszban nullát kapunk.

Adjunk egy másik példát, amelyben szükséges egy ívfüggvény kiszámítása, egy másik értékének ismeretében.

5. probléma. Számítsa ki, ha ismert, hogy .

Úgy tűnhet, hogy először ki kell számítani az x értékét a jelzett egyenletből, majd behelyettesíteni a kívánt kifejezésbe, azaz az inverz érintőbe, de ez nem szükséges.

Emlékezzünk a képletre, amellyel ezek a függvények kapcsolódnak egymáshoz:

És fejezzük ki belőle, mire van szükségünk:

Az biztos, hogy ellenőrizheti, hogy az eredmény az ívkotangens tartományba esik-e.

Ívfüggvények transzformációi alapvető tulajdonságaik felhasználásával

Most térjünk át egy olyan feladatsorra, amelyben ívfüggvények transzformációit kell használnunk az alapvető tulajdonságaik felhasználásával.

6. probléma. Kiszámítja .

A megoldáshoz a jelzett ívfüggvények alapvető tulajdonságait használjuk, csak a megfelelő korlátozások ellenőrzésére ügyelve.

A)

b) .

Válasz. A) ; b) .

7. probléma. Kiszámítja.

Tipikus hiba ebben az esetben, ha azonnal 4-et írunk válaszul.Amint az előző példában jeleztük, az ívfüggvények alapvető tulajdonságainak használatához ellenőrizni kell az argumentumra vonatkozó megfelelő korlátozásokat. Az ingatlannal foglalkozunk:

nál nél

De . A legfontosabb dolog a döntés ezen szakaszában az, hogy ne gondolja azt, hogy a megadott kifejezésnek nincs értelme, és nem lehet kiszámítani. Hiszen a négyet, ami az érintő argumentuma, csökkenthetjük az érintő periódusának kivonásával, és ez nem befolyásolja a kifejezés értékét. Miután elvégeztük ezeket a lépéseket, lehetőségünk lesz az argumentumot úgy csökkenteni, hogy az a megadott tartományba kerüljön.

Mert mivel tehát , mert .

8. számú probléma. Kiszámítja.

A fenti példában olyan kifejezéssel van dolgunk, amely hasonló az arcszinusz alaptulajdonságához, de csak kofüggvényeket tartalmaz. Arkoszinuszból szinuszra vagy arkoszinuszból koszinuszra kell redukálni. Mivel egyszerűbb a direkt trigonometrikus függvények konvertálása, mint az inverzek, térjünk át szinuszról koszinuszra a „trigonometrikus egység” képlet segítségével.

Mint már tudjuk:

Esetünkben a szerepben. Először a kényelem kedvéért számoljunk .

Mielőtt behelyettesítenénk a képletbe, derítsük ki az előjelét, vagyis az eredeti szinusz előjelét. Az ív koszinusz értékéből ki kell számítanunk a szinust, bármi legyen is ez az érték, tudjuk, hogy a tartományban van. Ez a tartomány megfelel az első és a második negyed szögeinek, amelyekben a szinusz pozitív (ezt ellenőrizze Ön is egy trigonometrikus kör segítségével).

A mai napon gyakorlati óra inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezések számítását és transzformációját vizsgáltuk

Erősítse meg az anyagot edzőeszközökkel

1. képző 2. képző 3. képző 4. képző 5. képző

Az "Inverz trigonometrikus függvények. Inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó feladatok" témakörben készült zárómunka továbbképzéseken készült.

Rövid elméleti anyagot, részletes példákat és feladatokat tartalmaz az egyes szakaszok önálló megoldásához.

A mű középiskolás diákoknak és tanároknak szól.

Letöltés:

Előnézet:

ÉRTÉKELŐI MUNKÁK

TÉMA:

„INVERZ TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓK.

INVERZ TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓKAT TARTALMAZÓ PROBLÉMÁK"

Teljesített:

matematika tanár

Városi oktatási intézmény Lermontov 5. számú középiskola

GORBACSENKO V.I.

Pjatigorszk 2011

INVERZ TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓK.

INVERZ TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓKAT TARTALMAZÓ PROBLÉMÁK

1. RÖVID ELMÉLETI TÁJÉKOZTATÓ

1.1. A legegyszerűbb, inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldásai:

Asztal 1.

Az egyenlet	Megoldás

1.2. Egyszerű egyenlőtlenségek megoldása inverz trigonometrikus függvényekkel

2. táblázat.

Egyenlőtlenség	Megoldás

1.3. Néhány azonosság inverz trigonometrikus függvényekhez

Az inverz trigonometrikus függvények definíciójából következnek az azonosságok

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Ráadásul az identitásokat

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Az inverz trigonometrikus függvényektől eltérően kapcsolódó azonosságok

(9)

(10)

2. INVERZ TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓKAT TARTALMAZÓ EGYENLETEK

2.1. Az alak egyenletei stb.

Az ilyen egyenletek redukálódnak racionális egyenletek helyettesítés.

Példa.

Megoldás.

Csere ( ) az egyenletet másodfokú egyenletté redukálja, amelynek gyökei.

A 3. gyökér nem felel meg a feltételnek.

Ezután megkapjuk a fordított helyettesítést

Válasz .

Feladatok.

2.2. Az alak egyenletei, Ahol - racionális funkció.

Az ilyen típusú egyenletek megoldásához fel kell tenni, oldja meg a legegyszerűbb forma egyenletétés végezze el a fordított helyettesítést.

Példa.

Megoldás .

Hadd . Akkor

Válasz . .

Feladatok .

2.3. Különböző ívfüggvényeket vagy különböző argumentumok ívfüggvényeit tartalmazó egyenletek.

Ha az egyenlet különböző ívfüggvényeket tartalmazó kifejezéseket tartalmaz, vagy ezek az ívfüggvények különböző argumentumoktól függenek, akkor az ilyen egyenletek algebrai következményükre való redukálása általában úgy történik, hogy az egyenlet mindkét oldalán valamilyen trigonometrikus függvényt számítanak ki. A keletkező idegen gyökereket ellenőrzéssel elválasztjuk. Ha az érintőt vagy a kotangenst választjuk közvetlen függvényként, akkor ezeknek a függvényeknek a definíciós tartományába tartozó megoldások elveszhetnek. Ezért mielőtt az egyenlet mindkét oldaláról kiszámítaná az érintő vagy kotangens értékét, meg kell győződni arról, hogy a függvények definíciós tartományába nem tartozó pontok között nincs-e az eredeti egyenlet gyöke.

Példa.

Megoldás .

Időzítsük át jobb oldalra, és számítsa ki a szinusz értékét az egyenlet mindkét oldaláról

Az átalakulások eredményeként azt kapjuk

Ennek az egyenletnek a gyökerei

Ellenőrizzük

Amikor megvan

És így, az egyenlet gyöke.

Helyettesítés , vegye figyelembe, hogy a kapott összefüggés bal oldala pozitív, a jobb oldala pedig negatív. És így,- az egyenlet külső gyöke.

Válasz. .

Feladatok.

2.4. Egy argumentum inverz trigonometrikus függvényeit tartalmazó egyenletek.

Az ilyen egyenletek az (1) – (10) alapazonosságok segítségével a legegyszerűbbre redukálhatók.

Példa.

Megoldás.

Válasz.

Feladatok.

3. INVERZ TRIGONOMETRIAI FUNKCIÓKAT TARTALMAZÓ EGYENLŐTLENSÉGEK

3.1. A legegyszerűbb egyenlőtlenségek.

A legegyszerűbb egyenlőtlenségek megoldása a 2. táblázatban szereplő képletek alkalmazásán alapul.

Példa.

Megoldás.

Mert , akkor az egyenlőtlenség megoldása az intervallum.

Válasz .

Feladatok.

3.2. A forma egyenlőtlenségei, - valami racionális függvény.

A forma egyenlőtlenségei, valami racionális függvény, és- az egyik inverz trigonometrikus függvényt két lépésben oldjuk meg - először az ismeretlenhez viszonyított egyenlőtlenséget oldjuk meg, majd az inverz trigonometrikus függvényt tartalmazó legegyszerűbb egyenlőtlenség.

Példa.

Megoldás.

Akkor legyen

Megoldások az egyenlőtlenségekre

Visszatérve az eredeti ismeretlenhez, azt találjuk, hogy az eredeti egyenlőtlenség két legegyszerűbbre redukálható

Ezeket a megoldásokat kombinálva megoldásokat kapunk az eredeti egyenlőtlenségre

Válasz .

Feladatok.

3.3. Ellentétes ívfüggvényeket vagy különböző argumentumok ívfüggvényeit tartalmazó egyenlőtlenségek.

Különböző inverz trigonometrikus függvények értékeit vagy egy trigonometrikus függvény különböző argumentumokból számított értékeit összekötő egyenlőtlenségeket kényelmes megoldani úgy, hogy az egyenlőtlenségek mindkét oldaláról kiszámítjuk valamelyik trigonometrikus függvény értékét. Emlékeztetni kell arra, hogy a kapott egyenlőtlenség csak akkor lesz ekvivalens az eredetivel, ha az eredeti egyenlőtlenség jobb és bal oldalának értékkészlete ennek a trigonometrikus függvénynek ugyanazon monotonitási intervallumához tartozik.

Példa.

Megoldás.

Egy csomó elfogadható értékeket benne van az egyenlőtlenségben:. Nál nél . Ezért az értékeknem megoldások az egyenlőtlenségre.

Nál nél az egyenlőtlenség jobb és bal oldala is rendelkezik értékekkel, intervallumhoz tartozó . Mert köztea szinuszfüggvény monoton növekszik, majd mikoraz eredeti egyenlőtlenség ekvivalens

Az utolsó egyenlőtlenség megoldása

Átkelés réssel, kapunk megoldást

Válasz.

Megjegyzés. segítségével megoldható

Feladatok.

3.4. A forma egyenlőtlensége, Ahol - az egyik inverz trigonometrikus függvény,- racionális funkció.

Az ilyen egyenlőtlenségeket a helyettesítés segítségével oldjuk megés a 2. táblázat legegyszerűbb egyenlőtlenségére redukáljuk.

Példa.

Megoldás.

Akkor legyen

Végezzük el a fordított helyettesítést, és kapjuk meg a rendszert

Válasz .

Feladatok.

Az Orosz Föderáció Szövetségi Oktatási Ügynöksége

Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Mari Állami Egyetem"

Matematika és MPM Tanszék

Tanfolyami munka

Inverz trigonometrikus függvények

Teljesített:

diák

33 JNF csoport

Yashmetova L. N.

Tudományos tanácsadó:

Ph.D. egyetemi adjunktus

Borodina M.V.

Joskar-Ola

Bevezetés…………………………………………………………………………………………3

I. fejezet Inverz trigonometrikus függvények meghatározása.

1.1. Funkció y =arcsin x……………………………………………………........4

1.2. Funkció y =arccos x…………………………………………………….......5

1.3. Funkció y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. Funkció y =arcctg x…………………………………………………….......7

fejezet II. Egyenletek megoldása inverz trigonometrikus függvényekkel.

Alapvető összefüggések inverz trigonometrikus függvényekhez....8

Inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldása……………………………………………………………………………………..11

Inverz trigonometrikus függvények értékeinek kiszámítása 21

Következtetés…………………………………………………………………………………….25

Hivatkozások listája………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Bevezetés

Sok problémában nem csak a trigonometrikus függvények értékeit kell megtalálni egy adott szögből, hanem fordítva, egy szöget vagy ívet is. érték beállítása valamilyen trigonometrikus függvény.

Az inverz trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos problémákat az Egységes államvizsga-feladatok tartalmazzák (főleg a B és C részben). Például az egységes államvizsga B részében a szinusz (koszinusz) értékét kellett használni az érintő megfelelő értékének megtalálásához vagy az inverz trigonometrikus függvények táblázatos értékeit tartalmazó kifejezés értékének kiszámításához. Az ilyen típusú feladatokkal kapcsolatban megjegyezzük, hogy az iskolai tankönyvekben szereplő ilyen jellegű feladatok nem elegendőek ahhoz, hogy a végrehajtásukban erős készség alakuljon ki.

Hogy. célja tanfolyami munka Az inverz trigonometrikus függvények és tulajdonságaik figyelembevétele, valamint az inverz trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos problémák megoldásának megtanulása.

A cél eléréséhez a következő feladatokat kell megoldanunk:

Fedezd fel elméleti alapja inverz trigonometrikus függvények,

Mutassa be az elméleti ismeretek gyakorlati alkalmazását.

Fejezetén. Inverz trigonometrikus függvények meghatározása

1.1. függvény y =arcsinx

Vegye figyelembe a funkciót,
. (1)

Ebben az intervallumban a függvény monoton (-1-ről 1-re nő), ezért van egy inverz függvény

,
. (2)

Minden adott érték nál nél(szinusz érték) a [-1,1] intervallumból egy jól definiált értéknek felel meg x(ív nagysága) az intervallumból
. Áttérve az általánosan elfogadott jelölésre, azt kapjuk

Ahol
. (3)

Ez az (1) függvényrel fordított függvény analitikai specifikációja. A (3) függvény meghívásra kerül arcszinuszérv . Ennek a függvénynek a grafikonja a függvény grafikonjára szimmetrikus görbe, ahol , az I és III koordinátaszög felezőszögéhez viszonyítva.

Mutassuk be a függvény tulajdonságait, ahol .

1. tulajdonság. A függvény értékének változási területe: .

2. tulajdonság. A függvény páratlan, azaz.

3. tulajdonság. A függvénynek, ahol , egyetlen gyöke van
.

4. tulajdonság. Ha akkor
; Ha , Azt.

5. ingatlan. A függvény monoton: ahogy az argumentum -1-ről 1-re növekszik, a függvény értéke tól növekszik
előtt
.

1.2. Funkcióy = arVal velkötözősalátax

Vegye figyelembe a funkciót
, . (4)

Ebben az intervallumban a függvény monoton (+1-ről -1-re csökken), ami azt jelenti, hogy van egy inverz függvénye.

, , (5)

azok. minden értéket (koszinusz értékek) a [-1,1] intervallumból egy jól meghatározott értéknek (ívértékeknek) felel meg a . Áttérve az általánosan elfogadott jelölésre, azt kapjuk

, . (6)

Ez a függvény (4) inverzének analitikai specifikációja. A (6) függvény meghívásra kerül ív koszinuszérv x. Ennek a függvénynek a gráfja megszerkeszthető kölcsönösen inverz függvények gráfjainak tulajdonságai alapján.

A , ahol , függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik.

1. tulajdonság. A függvény értékének változási területe:
.

2. tulajdonság. Mennyiségek
És
kapcsolatban áll a kapcsolattal

3. tulajdonság. A függvénynek egyetlen gyöke van
.

4. tulajdonság. A függvény nem fogad el negatív értékeket.

5. ingatlan. A függvény monoton: ahogy az argumentum -1-ről +1-re nő, a függvény értékei 0-ról csökkennek.

1.3. Funkcióy = arctgx

Vegye figyelembe a funkciót
,
. (7)

Vegye figyelembe, hogy ez a függvény minden olyan értékre van definiálva, amely szigorúan a -tól ig terjedő intervallumon belül van; ennek az intervallumnak a végén nem létezik, mivel az értékek

- érintő töréspontok.

Közben
a funkció monoton (-től növekszik
előtt
), ezért az (1) függvényhez van egy inverz függvény:

,
, (8)

azok. minden adott érték (érintő érték) az intervallumból
intervallumból egy nagyon specifikus értéknek (ívméretnek) felel meg.

Áttérve az általánosan elfogadott jelölésre, azt kapjuk

,
. (9)

Ez az inverz függvény (7) analitikai specifikációja. A (9) függvény meghívásra kerül arctangensérv x. Vegye figyelembe, hogy mikor
függvény értéke
, és mikor

, azaz a függvény grafikonjának két aszimptotája van:
És.

A , , függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik.

1. tulajdonság. A függvényértékek változási tartománya
.

2. tulajdonság. A függvény páratlan, azaz. .

3. tulajdonság. A függvénynek egyetlen gyöke van.

4. tulajdonság. Ha
, Azt

; Ha , Azt
.

5. ingatlan. A függvény monoton: ahogy az argumentum ról -ra nő, a függvény értéke ról + -ra nő.

1.4. Funkcióy = arcctgx

Vegye figyelembe a funkciót
,
. (10)

Ez a függvény minden 0 és ; ennek az intervallumnak a végén nem létezik, mivel az értékek és a kotangens töréspontjai. A (0,) intervallumban a függvény monoton (egytől-ig csökken), ezért az (1) függvényhez van egy inverz függvény

, (11)

azok. minden adott értékre (kotangens érték) a (
) egy jól meghatározott értéknek (ívméretnek) felel meg a (0,) intervallumból. Áttérve az általánosan elfogadott jelölésekre, a következő összefüggést kapjuk: Absztrakt >> Matematika trigonometrikus funkciókat. NAK NEK fordított trigonometrikus funkciókatáltalában hatként emlegetik funkciókat: arcsine...

A fogalomfejlesztés dialektikája funkciókat iskolai matematika tanfolyamon

Szakdolgozat >> Pedagógia

... . Fordított trigonometrikus funkciókat. A fő cél a tulajdonságok tanulmányozása trigonometrikus funkciókat, tanítsa meg a tanulókat grafikonok felépítésére. Első trigonometrikus funkció ...

Hogyan keletkezett és fejlődött a koncepció funkciókat

Absztrakt >> Matematika

Hogyan illeszkedik ez az egyenlet? fordított trigonometrikus funkció, a cikloid nem algebrai... és a jelölés is trigonometrikus) fordított trigonometrikus, exponenciális és logaritmikus funkciókat. Ilyen funkciókat eleminek nevezzük. Hamar...