Megadjuk az ln x függvény természetes logaritmusának, gráfjának, definíciós tartományának, értékhalmazának, alapképleteinek, deriváltjának, integráljának, hatványsor-bővítésének és komplex számokkal történő ábrázolásának alapvető tulajdonságait.

Tartalom

Inverz függvény

A természetes logaritmus inverze a kitevő.

Ha akkor

Ha akkor.

Származék ln x

A természetes logaritmus származéka:
.
Az x modulus természetes logaritmusának deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása >>>

Integrál

Az integrál kiszámítása részenkénti integrációval történik:
.
Így,

Komplex számokat használó kifejezések

Tekintsük a z komplex változó függvényét:
.
Fejezzük ki a komplex változót z modulon keresztül rés érvelés φ :
.
A logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagy
.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. Ha felteszed
, ahol n egy egész szám,
ugyanaz a szám lesz a különböző n-ekhez.

Ezért a természetes logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.

Teljesítménysorozat bővítése

Amikor a bővítés megtörténik:

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Lásd még:

A b (b > 0) szám logaritmusa a bázishoz (a > 0, a ≠ 1)– kitevő, amelyre az a számot emelni kell, hogy b-t kapjunk.

A b 10-es bázisú logaritmusa így írható fel log(b), és az e alapú logaritmus (természetes logaritmus) az ln(b).

Gyakran használják a logaritmusokkal kapcsolatos problémák megoldására:

A logaritmusok tulajdonságai

Négy fő van a logaritmusok tulajdonságai.

Legyen a > 0, a ≠ 1, x > 0 és y > 0.

Tulajdonság 1. A szorzat logaritmusa

A szorzat logaritmusa egyenlő a logaritmusok összegével:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

2. tulajdonság. A hányados logaritmusa

A hányados logaritmusa egyenlő a logaritmusok különbségével:

log a (x / y) = log a x – log a y

3. tulajdonság. Hatvány logaritmusa

Fokozat logaritmusa egyenlő a hatvány és a logaritmus szorzatával:

Ha a logaritmus alapja a fokban van, akkor egy másik képlet érvényes:

4. tulajdonság. A gyökér logaritmusa

Ezt a tulajdonságot egy hatvány logaritmusának tulajdonságából kaphatjuk meg, mivel a hatvány n-edik gyöke egyenlő 1/n hatványával:

Képlet az egyik bázisban lévő logaritmusból egy másik bázisban lévő logaritmusra

Ezt a képletet gyakran használják különféle logaritmusi feladatok megoldására is:

Különleges eset:

A logaritmusok (egyenlőtlenségek) összehasonlítása

Legyen 2 f(x) és g(x) függvény azonos bázisú logaritmus alatt, és közöttük van egy egyenlőtlenségjel:

Az összehasonlításhoz először meg kell nézni a logaritmusok alapját:

• Ha a > 0, akkor f(x) > g(x) > 0
• Ha 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Problémamegoldás logaritmussal: példák

Problémák a logaritmusokkal szerepel az Egységes Államvizsga matematikából 11. évfolyamra az 5. feladatban és a 7. feladatban, weboldalunkon a megfelelő rovatokban találhat megoldást tartalmazó feladatokat. A logaritmusos feladatok is megtalálhatók a matematikai feladatbankban. Az oldalon keresve minden példát megtalálhat.

Mi az a logaritmus

A logaritmus mindig is nehéz témának számított az iskolai matematika tanfolyamokon. A logaritmusnak sokféle definíciója létezik, de valamiért a legtöbb tankönyv a legbonyolultabbat és a legsikeresebbet használja.

A logaritmust egyszerűen és világosan fogjuk meghatározni. Ehhez hozzunk létre egy táblázatot:

Tehát kettős hatalmunk van.

Logaritmusok - tulajdonságok, képletek, megoldás

Ha az alsó sorból veszi ki a számot, könnyen megtalálhatja azt a teljesítményt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapj, kettőt kell emelned a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.

És most - tulajdonképpen a logaritmus meghatározása:

az x argumentum a bázisa az a hatvány, amelyre az a számot emelni kell, hogy megkapjuk az x számot.

Megnevezés: log a x = b, ahol a az alap, x az argumentum, b az, amivel a logaritmus valójában egyenlő.

Például 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Ugyanilyen sikerrel log 2 64 = 6, mivel 2 6 = 64.

Egy szám adott bázishoz való logaritmusának megtalálásának műveletét nevezzük. Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sajnos nem minden logaritmus számítható ki ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a log 2 5 értéket. Az 5-ös szám nem szerepel a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol az intervallumon belül legyen. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok a végtelenségig írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (az alap és az argumentum). Eleinte sokan összekeverik, hol az alap és hol az érv. A bosszantó félreértések elkerülése érdekében csak nézze meg a képet:

Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Emlékezik: a logaritmus egy hatvány, amelybe a bázist be kell építeni, hogy argumentumot kapjunk. Ez az alapot, amely hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Már az első órán elmondom a tanítványaimnak ezt a csodálatos szabályt – és nem keletkezik zavar.

Hogyan számoljunk logaritmusokat

Kitaláltuk a definíciót – már csak meg kell tanulnunk számolni a logaritmusokat, pl. megszabadulni a „napló” jelzéstől. Először is megjegyezzük, hogy a meghatározásból két fontos tény következik:

1. Az argumentumnak és az alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál. Ez a fok racionális kitevővel történő meghatározásából következik, amelyre a logaritmus definíciója redukálódik.
2. Az alapnak másnak kell lennie, mint az egyiknek, mivel az egyik bármilyen mértékben is az marad. Emiatt értelmetlen a „milyen hatalomra kell emelni az embert, hogy kettőt kapjunk” kérdés. Ilyen végzettség nincs!

Az ilyen korlátozásokat hívják elfogadható értékek tartománya(ODZ). Kiderül, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vegye figyelembe, hogy a b számra (a logaritmus értékére) nincs korlátozás. Például a logaritmus lehet negatív is: log 2 0.5 = −1, mert 0,5 = 2 -1.

Most azonban csak numerikus kifejezésekkel foglalkozunk, ahol nem szükséges ismerni a logaritmus VA értékét. A problémák szerzői már minden korlátozást figyelembe vettek. De amikor a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek lépnek életbe, a DL követelmények kötelezővé válnak. Hiszen az alap és az érv nagyon erős konstrukciókat tartalmazhat, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.

Most nézzük meg a logaritmusszámítás általános sémáját. Három lépésből áll:

1. Fejezzük ki az a bázist és az x argumentumot olyan hatványként, amelynek minimális lehetséges bázisa nagyobb egynél. Útközben jobb, ha megszabadulunk a tizedesjegyektől;
2. Oldja meg a b változó egyenletét: x = a b ;
3. A kapott b szám lesz a válasz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésben látható lesz. Nagyon fontos az a követelmény, hogy a bázis nagyobb legyen egynél: ez csökkenti a hiba valószínűségét és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Ugyanez a helyzet a tizedes törtekkel: ha azonnal átalakítja őket közönséges törtekre, sokkal kevesebb hiba lesz.

Nézzük meg, hogyan működik ez a séma konkrét példák segítségével:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot öt hatványaként: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. A választ kaptuk: 2.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. A választ kaptuk: 3.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. A választ kaptuk: 0.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot hét hatványaként: 7 = 7 1 ; A 14 nem ábrázolható hét hatványaként, mivel a 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Az előző bekezdésből az következik, hogy a logaritmus nem számít;
3. A válasz nem változik: napló 7 14.

Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet biztos abban, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű – csak vegye figyelembe az elsődleges tényezőkben. Ha a bővítésnek legalább két különböző tényezője van, a szám nem pontos hatvány.

Feladat. Nézze meg, hogy a számok pontos hatványok-e: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - pontos fok, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nem pontos hatvány, mivel két tényező van: 3 és 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - pontos fok;
35 = 7 · 5 - ismét nem pontos hatvány;
14 = 7 · 2 - megint nem pontos fok;

Vegye figyelembe azt is, hogy maguk a prímszámok mindig önmaguk pontos hatványai.

Tizedes logaritmus

Egyes logaritmusok olyan gyakoriak, hogy különleges nevük és szimbólumuk van.

az x argumentum a 10-es bázis logaritmusa, azaz. Az a hatvány, amelyre a 10-et fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: lg x.

Például log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.

Mostantól kezdve, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg egy tankönyvben, mint a „Find lg 0.01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez egy decimális logaritmus. Ha azonban nem ismeri ezt a jelölést, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a decimális logaritmusokra is.

Természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek megvan a maga jelölése. Bizonyos szempontból ez még a decimálisnál is fontosabb. A természetes logaritmusról beszélünk.

az x argumentum logaritmusa e bázishoz, azaz. az a hatvány, amelyre az e számot fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: ln x.

Sokan kérdezik: mi az e szám? Ez egy irracionális szám, pontos értéke nem található és nem írható le. Csak az első számokat közlöm:
e = 2,718281828459…

Nem részletezzük, mi ez a szám, és miért van rá szükség. Ne feledje, hogy e a természetes logaritmus alapja:
ln x = log e x

így ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában bármely racionális szám természetes logaritmusa irracionális. Kivéve persze egyet: ln 1 = 0.

A természetes logaritmusokra a közönséges logaritmusokra érvényes összes szabály érvényes.

Lásd még:

Logaritmus. A logaritmus tulajdonságai (a logaritmus hatványa).

Hogyan ábrázoljunk egy számot logaritmusként?

A logaritmus definícióját használjuk.

A logaritmus egy olyan kitevő, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy megkapjuk a logaritmusjel alatti számot.

Tehát ahhoz, hogy egy bizonyos c számot logaritmusként ábrázoljon az a bázishoz, a logaritmus alapjával azonos bázisú hatványt kell a logaritmus előjele alá tenni, és ezt a c számot kitevőként kell írni:

Teljesen bármely szám ábrázolható logaritmusként - pozitív, negatív, egész, tört, racionális, irracionális:

Annak érdekében, hogy ne keverje össze az a-t és a c-t egy teszt vagy vizsga stresszes körülményei között, használhatja a következő memorizálási szabályt:

ami lent van, az lemegy, ami fent, az felfelé megy.

Például a 2-es számot a 3-as bázis logaritmusaként kell ábrázolnia.

Két számunk van - 2 és 3. Ezek a számok az alap és a kitevő, amelyeket a logaritmus jele alá írunk. Meg kell határozni, hogy ezek közül a számok közül melyiket kell leírni a fokszám alapján, és melyiket – felfelé, a kitevőt.

A 3-as bázis a logaritmus jelölésében alul van, ami azt jelenti, hogy ha kettőt logaritmusként ábrázolunk a 3-as bázishoz, akkor a 3-at is leírjuk az alapba.

2 nagyobb, mint három. A kettes fokozat jelölésénél pedig a három fölé írjuk, azaz kitevőként:

Logaritmusok. Első szint.

Logaritmusok

Logaritmus pozitív szám b alapján a, Ahol a > 0, a ≠ 1, az a kitevő, amelyre a számot emelni kell a, Megszerezni b.

A logaritmus definíciójaígy röviden leírható:

Ez az egyenlőség érvényes b > 0, a > 0, a ≠ 1.Általában úgy hívják logaritmikus azonosság.
Egy szám logaritmusának megtalálásának műveletét nevezzük logaritmus szerint.

A logaritmus tulajdonságai:

A szorzat logaritmusa:

A hányados logaritmusa:

A logaritmusalap cseréje:

Fokozat logaritmusa:

A gyökér logaritmusa:

Logaritmus hatványalappal:

Tizedes és természetes logaritmus.

Tizedes logaritmus számok ennek a számnak a logaritmusát 10-re hívják, és   lg-t írnak b
Természetes logaritmus számokat az adott szám bázishoz viszonyított logaritmusának nevezzük e, Ahol e- egy irracionális szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,7-tel. Ugyanakkor ln-t írnak b.

Egyéb megjegyzések az algebrához és a geometriához

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log a x és log a y. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

6 4 napló + 6 9 napló.

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is. , azaz A logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba.

Hogyan kell megoldani a logaritmusokat

Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nekünk van:

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük meg a fő törtet. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, a törtet csökkenthetjük - a 2/4 a nevezőben marad. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átmenet egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen adott a logaritmus log a x. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et állítunk be, akkor kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni.

Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmusérték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: .

Valójában mi történik, ha a b számot olyan hatványra emeljük, hogy a b szám ehhez a hatványhoz adja az a számot? Így van: az eredmény ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Az új bázisra való átállás képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Jegyezzük meg, hogy log 25 64 = log 5 8 – egyszerűen a logaritmus alapjából és argumentumából vette a négyzetet. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulóknak is problémát okoznak.

1. log a a = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: magának a bázisnak a logaritmusa minden a bázishoz egyenlő eggyel.
2. log a 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mert a 0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.

A társadalom fejlődésével és a termelés bonyolultabbá válásával a matematika is fejlődött. Mozgás az egyszerűtől a bonyolultig. Az összeadás és kivonás módszerét alkalmazó közönséges könyvelésből, ezek ismételt ismétlésével eljutottunk a szorzás és osztás fogalmáig. A szorzás ismételt műveletének csökkentése vált a hatványozás fogalmává. A számok alaptól való függésének és a hatványozás számának első táblázatait Varasena indiai matematikus állította össze még a 8. században. Ezekből meg lehet számolni a logaritmusok előfordulási idejét.

Történelmi vázlat

Európa 16. századi újjáéledése a mechanika fejlődését is ösztönözte. T nagy mennyiségű számítást igényelt többjegyű számok szorzásával és osztásával kapcsolatos. Az ősi asztalok nagy szolgálatot tettek. Lehetővé tették az összetett műveletek egyszerűbbekkel való helyettesítését - összeadás és kivonás. Nagy előrelépést jelentett Michael Stiefel matematikus 1544-ben megjelent munkája, amelyben sok matematikus ötletét megvalósította. Ez lehetővé tette a táblázatok használatát nemcsak prímszámok hatványaihoz, hanem tetszőleges racionálisokhoz is.

1614-ben a skót John Napier, aki ezeket az ötleteket dolgozta ki, először vezette be az új „szám logaritmusa” kifejezést. A szinuszok és koszinuszok logaritmusának, valamint az érintők kiszámításához új összetett táblázatokat állítottak össze. Ez nagymértékben csökkentette a csillagászok munkáját.

Új táblázatok kezdtek megjelenni, amelyeket a tudósok három évszázadon át sikeresen használtak. Sok idő telt el, mire az algebra új művelete elnyerte kész formáját. Megadtam a logaritmus definícióját és megvizsgáltam tulajdonságait.

Csak a 20. században, a számológép és a számítógép megjelenésével hagyta el az emberiség az ősi táblázatokat, amelyek sikeresen működtek a 13. században.

Ma b logaritmusának nevezzük az a alapú x számot, amely az a hatványa b-t létrehozni. Ezt képletként írjuk le: x = log a(b).

Például a log 3(9) egyenlő lenne 2-vel. Ez nyilvánvaló, ha követi a definíciót. Ha 3-at 2 hatványára emelünk, 9-et kapunk.

Így a megfogalmazott definíció egyetlen megszorítást támaszt: az a és b számoknak valósnak kell lenniük.

A logaritmusok fajtái

A klasszikus definíciót valós logaritmusnak nevezik, és valójában az a x = b egyenlet megoldása. Az a = 1 opció határvonalat jelent, és nem érdekes. Figyelem: bármely hatvány 1-je egyenlő 1-gyel.

A logaritmus valós értéke csak akkor van megadva, ha az alap és az argumentum nagyobb, mint 0, és az alap nem lehet egyenlő 1-gyel.

Különleges hely a matematika területén logaritmusokat játszanak le, amelyeket az alapjuk méretétől függően neveznek el:

Szabályok és korlátozások

A logaritmusok alapvető tulajdonsága a szabály: egy szorzat logaritmusa egyenlő a logaritmikus összeggel. log abp = log a(b) + log a(p).

Ennek az állításnak egy változata lesz: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), a hányadosfüggvény egyenlő a függvények különbségével.

Az előző két szabályból könnyen belátható, hogy: log a(b p) = p * log a(b).

További tulajdonságok:

Megjegyzés. Nem kell gyakori hibát elkövetni - egy összeg logaritmusa nem egyenlő a logaritmusok összegével.

A logaritmus keresése évszázadokon át meglehetősen időigényes feladat volt. A matematikusok a polinombővítés logaritmikus elméletének jól ismert képletét használták:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ahol n egy 1-nél nagyobb természetes szám, amely meghatározza a számítás pontosságát.

A más bázisokkal rendelkező logaritmusokat az egyik bázisból a másikba való átmenetről és a szorzat logaritmusának tulajdonságáról szóló tétel segítségével számítottuk ki.

Mivel ez a módszer nagyon munkaigényes és gyakorlati problémák megoldása során nehezen kivitelezhető, előre összeállított logaritmustáblázatokat használtunk, ami jelentősen felgyorsította az összes munkát.

Egyes esetekben speciálisan összeállított logaritmus-grafikonokat alkalmaztak, amelyek kisebb pontosságot adtak, de jelentősen felgyorsították a kívánt érték keresését. Az y = log a(x) függvény több ponton felépített görbéje lehetővé teszi, hogy egy szabályos vonalzó segítségével megkeressük a függvény értékét bármely más pontban. A mérnökök hosszú ideig úgynevezett milliméterpapírt használtak erre a célra.

A 17. században jelentek meg az első analóg segédszámítási feltételek, amelyek a 19. századra teljes formát öltöttek. A legsikeresebb eszközt a diaszabálynak nevezték. Az eszköz egyszerűsége ellenére megjelenése jelentősen felgyorsította az összes mérnöki számítás folyamatát, és ezt nehéz túlbecsülni. Jelenleg kevesen ismerik ezt az eszközt.

A számológépek és számítógépek megjelenése értelmetlenné tette minden más eszköz használatát.

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Különféle egyenletek és egyenlőtlenségek logaritmussal történő megoldásához a következő képleteket kell használni:

• Egyik bázisról a másikra költözés: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Az előző opció következtében: log a(b) = 1 / log b(a).

Az egyenlőtlenségek megoldásához hasznos tudni:

• A logaritmus értéke csak akkor lesz pozitív, ha az alap és az argumentum egyaránt nagyobb vagy kisebb, mint egy; ha legalább egy feltétel megsértődik, a logaritmus értéke negatív lesz.
• Ha a logaritmusfüggvényt egy egyenlőtlenség jobb és bal oldalára alkalmazzuk, és a logaritmus alapja nagyobb egynél, akkor az egyenlőtlenség előjele megmarad; különben megváltozik.

Minta problémák

Tekintsünk több lehetőséget a logaritmusok és tulajdonságaik használatára. Példák egyenletek megoldására:

Fontolja meg a logaritmus hatványba helyezésének lehetőségét:

• 3. feladat Számítsd ki 25^log 5(3). Megoldás: a feladat feltételei között a bejegyzés hasonló a következőhöz (5^2)^log5(3) vagy 5^(2 * log 5(3)). Írjuk másképp: 5^log 5(3*2), vagy egy szám négyzete függvényargumentumként felírható magának a függvénynek a négyzeteként (5^log 5(3))^2. A logaritmus tulajdonságait használva ez a kifejezés egyenlő 3^2-vel. Válasz: a számítás eredményeként 9-et kapunk.

Gyakorlati használat

Mivel pusztán matematikai eszközről van szó, távol áll a valóságtól, hogy a logaritmus hirtelen nagy jelentőséget kapott a valós világban lévő objektumok leírásában. Nehéz olyan tudományt találni, ahol nem használják. Ez nemcsak a természeti, hanem a humanitárius tudásterületekre is teljes mértékben vonatkozik.

Logaritmikus függőségek

Íme néhány példa a numerikus függőségekre:

Mechanika és fizika

Történelmileg a mechanika és a fizika mindig is matematikai kutatási módszerekkel fejlődött, és egyben ösztönzőleg is szolgált a matematika, ezen belül a logaritmusok fejlődéséhez. A legtöbb fizikatörvény elmélete a matematika nyelvén van megírva. Csak két példát mondjunk a fizikai törvények logaritmus segítségével történő leírására.

Az olyan összetett mennyiség kiszámításának problémája, mint egy rakéta sebessége, megoldható a Ciolkovszkij-képlet segítségével, amely megalapozta az űrkutatás elméletét:

V = I * ln (M1/M2), ahol

• V a repülőgép végsebessége.
• I – a motor specifikus impulzusa.
• M 1 – a rakéta kezdeti tömege.
• M 2 – végső tömeg.

Egy másik fontos példa- ezt használja egy másik nagy tudós, Max Planck formulája, amely a termodinamika egyensúlyi állapotának értékelésére szolgál.

S = k * ln (Ω), ahol

• S – termodinamikai tulajdonság.
• k – Boltzmann állandó.
• Ω a különböző állapotok statisztikai súlya.

Kémia

Kevésbé nyilvánvaló a kémiában a logaritmusok arányát tartalmazó képletek használata. Mondjunk csak két példát:

• Nernst-egyenlet, a közeg redoxpotenciáljának feltétele az anyagok aktivitásához és az egyensúlyi állandóhoz viszonyítva.
• Az olyan állandók kiszámítása, mint az autolízis index és az oldat savassága szintén nem végezhető el funkciónk nélkül.

Pszichológia és biológia

És egyáltalán nem világos, hogy a pszichológiának mi köze ehhez. Kiderült, hogy az érzet erősségét ez a függvény jól írja le, mint az ingerintenzitás értékének az alacsonyabb intenzitásértékhez viszonyított fordított arányát.

A fenti példák után már nem meglepő, hogy a logaritmusok témakörét széles körben használják a biológiában. A logaritmikus spiráloknak megfelelő biológiai formákról egész köteteket lehetne írni.

Más területek

Úgy tűnik, hogy a világ létezése lehetetlen e funkcióval való kapcsolat nélkül, és minden törvényt ural. Különösen akkor, ha a természet törvényei a geometriai haladáshoz kapcsolódnak. Érdemes felkeresni a MatProfi weboldalát, és sok ilyen példa van a következő tevékenységi területeken:

A lista végtelen lehet. Miután elsajátította ennek a funkciónak az alapelveit, belemerülhet a végtelen bölcsesség világába.

Mi az a logaritmus?

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Mi az a logaritmus? Hogyan lehet logaritmusokat megoldani? Ezek a kérdések sok diplomát megzavarnak. A logaritmus témáját hagyományosan összetettnek, érthetetlennek és ijesztőnek tartják. Főleg a logaritmusos egyenletek.

Ez abszolút nem igaz. Teljesen! Ne higgy nekem? Bírság. Most mindössze 10-20 perc alatt:

1. Meg fogod érteni mi az a logaritmus.

2. Tanuljon meg egy egész osztály exponenciális egyenletet megoldani. Még ha nem is hallottál róluk semmit.

3. Ismerje meg az egyszerű logaritmusok kiszámítását.

Sőt, ehhez csak a szorzótáblát kell ismerned, és azt, hogyan emelhetsz egy számot hatványra...

Úgy érzem, kétségei vannak... Nos, oké, jelölje meg az időt! Megy!

Először fejben oldja meg ezt az egyenletet:

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Logaritmikus kifejezések, megoldási példák. Ebben a cikkben a logaritmusok megoldásával kapcsolatos problémákat nézzük meg. A feladatok egy kifejezés jelentésének megtalálását teszik fel. Megjegyzendő, hogy a logaritmus fogalmát számos feladatban használják, és jelentésének megértése rendkívül fontos. Ami az Egységes Államvizsgát illeti, a logaritmust egyenletek megoldásánál, alkalmazott feladatoknál, valamint függvénytanulmányozási feladatoknál is alkalmazzák.

Adjunk példákat, hogy megértsük a logaritmus jelentését:

Alapvető logaritmikus azonosság:

A logaritmusok tulajdonságai, amelyeket mindig emlékezni kell:

*A szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével.

* * *

*Egy hányados (tört) logaritmusa megegyezik a tényezők logaritmusai közötti különbséggel.

* * *

*Egy kitevő logaritmusa egyenlő a kitevő és az alapja logaritmusának szorzatával.

* * *

*Áttérés új alapokra

* * *

További ingatlanok:

* * *

A logaritmusok számítása szorosan összefügg a kitevők tulajdonságainak használatával.

Soroljunk fel néhányat közülük:

Ennek a tulajdonságnak az a lényege, hogy amikor a számlálót átvisszük a nevezőbe és fordítva, a kitevő előjele az ellenkezőjére változik. Például:

Következmény ebből az ingatlanból:

* * *

Ha egy hatványt hatványra emelünk, az alap ugyanaz marad, de a kitevők megszorozódnak.

* * *

Amint látja, maga a logaritmus fogalma egyszerű. A lényeg az, hogy jó gyakorlatra van szükséged, ami bizonyos készségeket ad. Természetesen a képletek ismerete szükséges. Ha az elemi logaritmusok konvertálásának készsége nem fejlődött ki, akkor egyszerű feladatok megoldása során könnyen hibázhat.

Gyakorold, oldd meg először a matematika tantárgy legegyszerűbb példáit, majd térj át a bonyolultabbakra. A jövőben mindenképpen megmutatom, hogyan oldják meg a „csúnya” logaritmusokat, ezek nem fognak megjelenni az egységes államvizsgán, de érdekesek, ne hagyd ki!

Ez minden! Sok szerencsét!

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.