Tehát Fermat utolsó tétele (amelyet gyakran Fermat utolsó tételének neveznek), amelyet a briliáns francia matematikus, Pierre Fermat fogalmazott meg 1637-ben, természeténél fogva nagyon egyszerű, és mindenki számára érthető, aki középfokú végzettséggel rendelkezik. Azt mondja, hogy az a képletnek n hatványára + b n = c n hatványára nincs természetes (vagyis nem tört) megoldása n > 2-re. Minden egyszerűnek és világosnak tűnik, de a a legjobb matematikusok és hétköznapi amatőrök több mint három és fél évszázadon át küzdöttek a megoldás keresésével.

Miért olyan híres? Most megtudjuk...



Sok bizonyított, nem bizonyított és még nem bizonyított tétel? A lényeg itt az, hogy Fermat Utolsó tétele képviseli a legnagyobb kontrasztot a megfogalmazás egyszerűsége és a bizonyítás összetettsége között. Fermat Utolsó tétele hihetetlenül nehéz probléma, mégis a megfogalmazását bárki megértheti, aki 5. osztályos végzettséggel rendelkezik. Gimnázium, de a bizonyíték még csak nem is minden profi matematikusnak való. Sem a fizikában, sem a kémiában, sem a biológiában, sem a matematikában nincs egyetlen olyan probléma sem, amelyet ilyen egyszerűen meg lehetne fogalmazni, de olyan sokáig megoldatlan maradt volna. 2. Miből áll?

Kezdjük a Pythagorean nadrággal.A megfogalmazás nagyon egyszerű – első ránézésre. Gyermekkorunk óta tudjuk, hogy "a pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő." A probléma olyan egyszerűnek tűnik, mert egy mindenki által ismert matematikai állításon alapult – a Pitagorasz-tételen: minden esetben derékszögű háromszög a hipotenuszra épített négyzet, egyenlő az összeggel lábakra épített négyzetek.

A Kr.e. V. században. Pythagoras megalapította a Pythagorean Testvériséget. A pitagoreusok többek között az x²+y²=z² egyenlőséget kielégítő egész hármasokat tanulmányozták. Bebizonyították, hogy végtelenül sok Pitagorasz-hármas létezik, és általános képleteket kaptak ezek megtalálásához. Valószínűleg megpróbáltak hármast vagy többet keresni magas fokok. Abban a meggyőződésben, hogy ez nem működik, a pitagoreusok felhagytak haszontalan próbálkozásaikkal. A testvériség tagjai inkább filozófusok és esztéták voltak, mint matematikusok.


Ez azt jelenti, hogy könnyű kiválasztani egy olyan számkészletet, amely tökéletesen kielégíti az x²+y²=z² egyenlőséget.

3-tól, 4-től, 5-től kezdve - valóban, egy junior diák megérti, hogy 9 + 16 = 25.

Vagy 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Remek.

Stb. Mi van, ha egy hasonló x³+y³=z³ egyenletet veszünk fel? Lehet, hogy vannak ilyen számok is?




És így tovább (1. ábra).

Tehát kiderült, hogy NEM azok. Itt kezdődik a trükk. Az egyszerűség látszólagos, mert nehéz bizonyítani nem valaminek a jelenlétét, hanem éppen ellenkezőleg, a hiányát. Ha bizonyítania kell, hogy létezik megoldás, egyszerűen bemutathatja és kell is ezt a megoldást.

A hiány bizonyítása nehezebb: például valaki azt mondja: ilyen és ilyen egyenletnek nincs megoldása. Pocsolyába tenni? egyszerű: bam – és itt a megoldás! (adj megoldást). És ennyi, az ellenfél vereséget szenved. Hogyan igazolható a hiányzás?

Mondja: „Nem találtam ilyen megoldást”? Vagy talán nem nézel jól? Mi van, ha léteznek, csak nagyon nagyok, nagyon nagyok, olyanok, hogy még egy szupererős számítógépnek sincs elég ereje? Ez az, ami nehéz.

Ezt vizuálisan így lehet megjeleníteni: ha veszünk két megfelelő méretű négyzetet, és szétszedjük őket egységnégyzetekre, akkor ebből a csomó egységnégyzetből egy harmadik négyzetet kapunk (2. ábra):


De tegyük ugyanezt a harmadik dimenzióval (3. ábra) – ez nem működik. Nincs elég kocka, vagy maradtak még több kocka:





De a 17. századi matematikus, a francia Pierre de Fermat lelkesen kutatott általános egyenlet x n +y n =z n . És végül arra a következtetésre jutottam: n>2 esetén nincsenek egész megoldások. Fermat bizonyítéka helyrehozhatatlanul elveszett. Égnek a kéziratok! Már csak a megjegyzése maradt meg Diophantus Aritmetikájában: „Valóban elképesztő bizonyítékot találtam erre az állításra, de a margók túl szűkek ahhoz, hogy betartsam.”

Valójában a bizonyítás nélküli tételt hipotézisnek nevezzük. De Fermat arról híres, hogy soha nem hibázik. Még ha nem is hagyott bizonyítékot a kijelentésére, azt később megerősítették. Sőt, Fermat n=4-re is bebizonyította tézisét. Így a francia matematikus hipotézise Fermat utolsó tételeként vonult be a történelembe.

Fermat után olyan nagy elmék dolgoztak a bizonyítékok keresésén, mint Leonhard Euler (1770-ben megoldást javasolt n = 3-ra),

Adrien Legendre és Johann Dirichlet (ezek a tudósok közösen találták meg az n = 5 bizonyítását 1825-ben), Gabriel Lamé (aki megtalálta az n = 7 bizonyítását) és még sokan mások. Az 1980-as évek közepére világossá vált tudományos világúton van Fermat utolsó tételének végső megoldása felé, de a matematikusok csak 1993-ban látták és hitték el, hogy a Fermat utolsó tételének bizonyításának három évszázados eposzának gyakorlatilag vége.

Könnyen belátható, hogy elég a Fermat-tételt csak egyszerű n-re bizonyítani: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Összetett n esetén a bizonyítás érvényes marad. De szintén prímszámok végtelenül sok...

1825-ben Sophie Germain módszerével női matematikusok, Dirichlet és Legendre egymástól függetlenül igazolták a tételt n=5-re. 1839-ben ugyanezzel a módszerrel a francia Gabriel Lame megmutatta a tétel igazságát n=7-re. Fokozatosan bebizonyosodott a tétel szinte minden n száznál kisebbre.


Végül Ernst Kummer német matematikus egy zseniális tanulmányában kimutatta, hogy a 19. századi matematika módszereit alkalmazva a tétel Általános nézet nem lehet bizonyítani. A Francia Tudományos Akadémia 1847-ben a Fermat-tétel bizonyítására alapított díja kiadatlan maradt.

1907-ben a gazdag német iparos, Paul Wolfskehl úgy döntött, hogy viszonzatlan szerelem miatt kioltja életét. Mint egy igazi német, beállította az öngyilkosság dátumát és időpontját: pontosan éjfélkor. Az utolsó napon végrendeletet készített, és leveleket írt barátainak és rokonainak. A dolgok éjfél előtt véget értek. Azt kell mondanunk, hogy Pált érdekelte a matematika. Nem lévén más dolga, bement a könyvtárba, és olvasni kezdte Kummer híres cikkét. Hirtelen úgy tűnt neki, hogy Kummer tévedett az érvelésében. Wolfskel ceruzával a kezében elemezni kezdte a cikk ezen részét. Elmúlt az éjfél, eljött a reggel. A bizonyítás hiányát pótolták. És az öngyilkosság oka most teljesen nevetségesnek tűnt. Pál széttépte búcsúleveleit, és átírta végrendeletét.

Hamarosan természetes okok miatt meghalt. Az örökösök igencsak meglepődtek: 100 000 márka (több mint 1 000 000 jelenlegi font sterling) került a Göttingeni Királyi Tudományos Társaság számlájára, amely ugyanabban az évben versenyt hirdetett a Wolfskehl-díjra. 100 000 márkát ítéltek oda annak, aki bebizonyította Fermat tételét. Egy pfennig sem kapott a tétel cáfolatáért...

A legtöbb hivatásos matematikus reménytelen feladatnak tartotta Fermat utolsó tételének bizonyítását, és határozottan visszautasította, hogy egy ilyen haszontalan feladatra pazarolja az időt. De az amatőrök jól érezték magukat. Néhány héttel a bejelentés után a „bizonyítékok” lavina sújtotta a göttingeni egyetemet. E.M. Landau professzor, akinek az volt a feladata, hogy elemezze a küldött bizonyítékokat, kártyákat osztott ki diákjainak:


Kedves. . . . . . . .

Köszönöm, hogy elküldted nekem a kéziratot Fermat utolsó tételének bizonyításával. Az első hiba a ... oldalon van a sorban... . Emiatt az egész bizonyíték érvényét veszti.
E. M. Landau professzor











1963-ban Paul Cohen Gödel megállapításaira támaszkodva bebizonyította Hilbert huszonhárom problémája közül az egyik – a kontinuumhipotézis – megoldhatatlanságát. Mi van, ha Fermat utolsó tétele is eldönthetetlen?! A Nagy Tétel igazi fanatikusai azonban egyáltalán nem csalódtak. A számítógépek megjelenése hirtelen új bizonyítási módszert adott a matematikusoknak. A második világháború után programozók és matematikusok csapatai bebizonyították Fermat utolsó tételét minden n értékre 500-ig, majd 1000-ig, később 10 000-ig.

Az 1980-as években Samuel Wagstaff 25 000-re emelte a határt, az 1990-es években pedig a matematikusok kijelentették, hogy Fermat utolsó tétele minden n értékre igaz 4 millióig. De ha akár egy billió billiót is levonsz a végtelenből, nem lesz kisebb. A matematikusokat nem győzik meg a statisztikák. A Nagy Tétel bizonyítása azt jelentette, hogy MINDEN n-re be kell bizonyítani a végtelenbe.




1954-ben két fiatal japán matematikus barát a moduláris formák kutatásába kezdett. Ezek az űrlapok számsorokat generálnak, mindegyiknek saját sorozata van. Véletlenül Taniyama ezeket a sorozatokat elliptikus egyenletek által generált sorozatokkal hasonlította össze. Egyeztettek! De a moduláris formák geometriai objektumok, az elliptikus egyenletek pedig algebrai. Ilyen különböző objektumok között soha nem találtak kapcsolatot.

Azonban gondos tesztelés után a barátok egy hipotézist állítottak fel: minden elliptikus egyenletnek van egy ikerteste - moduláris forma, és fordítva. Ez a hipotézis volt az alapja egy egész matematikai iránynak, de amíg a Taniyama-Shimura hipotézist be nem bizonyítják, az egész épület bármelyik pillanatban összedőlhet.

1984-ben Gerhard Frey megmutatta, hogy a Fermat-egyenlet megoldása, ha létezik, belefoglalható valamilyen elliptikus egyenletbe. Két évvel később Ken Ribet professzor bebizonyította, hogy ennek a hipotetikus egyenletnek nem lehet megfelelője a moduláris világban. Mostantól Fermat utolsó tétele elválaszthatatlanul összekapcsolódott a Taniyama–Shimura sejtéssel. Miután bebizonyítottuk, hogy bármely elliptikus görbe moduláris, arra a következtetésre jutunk, hogy nincs olyan elliptikus egyenlet, amely a Fermat-egyenletet megoldaná, és Fermat utolsó tétele azonnal bizonyításra kerül. Ám harminc éven át nem sikerült bizonyítani a Taniyama-Shimura hipotézist, és egyre kevesebb volt a remény a sikerre.

1963-ban, mindössze tíz éves volt, Andrew Wiles-t már lenyűgözte a matematika. Amikor megismerte a Nagy Tételt, rájött, hogy nem mondhat le róla. Iskolásként, diákként és végzős diákként felkészült erre a feladatra.

Miután tudomást szerzett Ken Ribet megállapításairól, Wiles hanyatt-homlok belevetette magát a Taniyama-Shimura sejtés bizonyításába. Úgy döntött, hogy teljes elszigeteltségben és titokban dolgozik. „Megértettem, hogy minden, aminek köze van Fermat utolsó tételéhez, szintén az nagy érdeklődés… Túl sok néző szándékosan zavarja a cél elérését.” Hét év kemény munkája meghozta gyümölcsét; Wiles végre befejezte a Taniyama–Shimura sejtés bizonyítását.

1993-ban Andrew Wiles angol matematikus bemutatta a világnak Fermat utolsó tételének bizonyítását (Wiles felolvasta szenzációs előadását a cambridge-i Sir Isaac Newton Intézet egyik konferenciáján.), amely több mint hét évig tartott.







Miközben a hírverés folytatódott a sajtóban, komoly munka kezdődött a bizonyítékok ellenőrzésén. Minden bizonyítékot alaposan meg kell vizsgálni, mielőtt a bizonyítékot szigorúnak és pontosnak lehetne tekinteni. Wiles egy nyugtalan nyarat töltött a bírálók visszajelzésére várva, abban a reményben, hogy sikerül elnyernie a tetszését. Augusztus végén a szakértők nem találták kellően megalapozottnak az ítéletet.

Kiderült, hogy ez a döntés durva hibát tartalmaz, bár általában helyes. Wiles nem adta fel, segítségül hívta a híres számelmélet specialistát, Richard Taylort, és már 1994-ben kiadták a tétel javított és bővített bizonyítását. A legcsodálatosabb az, hogy ez a munka 130 (!) oldalt foglalt el az „Annals of Mathematics” matematikai folyóiratban. A történet azonban ezzel sem ért véget - a végső pontot csak a következő évben, 1995-ben érték el, amikor megjelent a bizonyíték végső és matematikai szempontból „ideális” változata.

„...fél perccel a születésnapja alkalmából rendezett ünnepi vacsora kezdete után átadtam Nadyának a teljes bizonyíték kéziratát” (Andrew Wales). Nem mondtam még, hogy a matematikusok furcsa emberek?






Ezúttal nem volt kétség a bizonyítékokhoz. Két cikket vetettek alá a leggondosabb elemzésnek, és 1995 májusában jelentek meg az Annals of Mathematics-ban.

Sok idő telt el azóta, de a társadalomban még mindig az a vélemény, hogy Fermat utolsó tétele megoldhatatlan. De még azok is ebbe az irányba dolgoznak, akik tudnak a talált bizonyításról – kevesen elégedettek azzal, hogy a Nagy Tétel 130 oldalas megoldást igényel!

Ezért most sok matematikus (többnyire amatőr, nem hivatásos tudós) erőfeszítéseit egy egyszerű és tömör bizonyíték keresésébe vetik, de ez az út valószínűleg nem vezet sehova... - » Az emberiség kihívásai

AZ EMBERISÉG MEGOLDÁSA MATEMATIKAI FELADATOK

Hilbert problémák

23 a legfontosabb problémákat A matematikusokat a legnagyobb német matematikus, David Hilbert mutatta be a második nemzetközi matematikuskongresszuson Párizsban 1990-ben. Ezután ezek a problémák (a matematika alapjaira, algebrai, számelméletre, geometriára, topológiára, algebrai geometriára, Lie csoportokra, valós ill. átfogó elemzés, differenciál egyenletek, a matematikai fizika, a variációszámítás és a valószínűségszámítás, nem oldották meg. Tovább Ebben a pillanatban A 23-ból 16 feladatot sikerült megoldani. További 2 nem helyes matematikai feladat (az egyik túl homályosan van megfogalmazva ahhoz, hogy megértsük, hogy megoldódott-e vagy sem, a másik, amely messze nem megoldott, fizikai, nem matematikai). A fennmaradó 5 problémából kettőt semmilyen módon nem sikerült megoldani, hármat pedig csak bizonyos esetekben sikerült megoldani

Landau problémái

Még mindig sokan vannak nyitott kérdések prímszámokkal kapcsolatos (prímszám olyan szám, amelynek csak két osztója van: az egyik és maga a szám). Felsorolták a legfontosabb kérdéseket Edmund Landau az Ötödik Nemzetközi Matematikai Kongresszuson:

Landau első problémája (Goldbach probléma): igaz-e, hogy minden páros szám 2-nél nagyobb, két prímszám összegeként, és minden 5-nél nagyobb páratlan szám összegeként ábrázolható három egyszerű számok?

Landau második problémája: a halmaz végtelen? "egyszerű ikrek"— prímszámok, amelyek különbsége 2?
Landau harmadik problémája(Legendre hipotézise): igaz-e, hogy mindenre természetes szám n között van és mindig van prímszám?
Landau negyedik problémája: Létezik-e végtelen számú prímszám-halmaz alakú prímszám, ahol n természetes szám?

Millenniumi kihívások (Millenniumi díjjal kapcsolatos problémák)

Hét van matematikai problémákat, hés a megoldást, amelyre a Clay Institute 1 000 000 amerikai dollár díjat ajánlott fel. A Clay Institute felhívta a matematikusok figyelmét erre a hét problémára, és összehasonlította őket D. Hilbert 23 problémájával, amelyek hatással voltak nagy befolyást század matematikájáról. Hilbert 23 problémája közül a legtöbbet már megoldották, és csak egy - a Riemann-hipotézis - került be az ezredforduló problémáinak listájára. 2012 decemberéig a hét millenniumi probléma közül csak egyet sikerült megoldani (Poincaré sejtése). Megoldásának díjat Grigory Perelman orosz matematikus kapta, aki ezt visszautasította.

Íme a hét feladat listája:

1. sz. A P és NP osztályok egyenlősége

Ha egy kérdésre pozitív a válasz gyors ellenőrizze (egy tanúsítványnak nevezett segédinformáció segítségével), hogy maga a válasz (a tanúsítvánnyal együtt) igaz-e erre a kérdésre gyors megtalálja? Az első típusú problémák az NP osztályba, a második a P osztályba tartoznak, ezen osztályok egyenlőségének problémája az egyik legfontosabb probléma az algoritmusok elméletében.

2. sz. Hodge-sejtés

Fontos probléma az algebrai geometriában. A sejtés kohomológiai osztályokat ír le összetett projektív változatokon, amelyeket algebrai alváltozatok valósítanak meg.

3. sz. Poincaré-sejtés (G.Ya. Perelman bizonyítja)

Ezt tartják a leghíresebb topológia problémának. Egyszerűbben kimondja, hogy minden olyan 3D „objektum”, amely rendelkezik a 3D gömb tulajdonságaival (például minden benne lévő huroknak összehúzhatónak kell lennie), gömbnek kell lennie egy deformációig. A Poincaré-sejtés bizonyításáért járó díjat G. Ya. Perelman orosz matematikus kapta, aki 2002-ben publikált egy sorozatot, amelyből a Poincaré-sejtés érvényessége következik.

4. sz. Riemann hipotézis

A hipotézis azt állítja, hogy minden nem triviális (vagyis, amelynek nem nulla) képzeletbeli rész) a Riemann-zéta-függvény nulláinak valós része 1/2. A Riemann-hipotézis a nyolcadik helyen állt Hilbert problémalistáján.

5. sz. Yang-Mills elmélet

Egy probléma az elemi részecskefizika területéről. Bizonyítanunk kell, hogy bármely egyszerű G kompakt nyomtávra kvantum elmélet A Yang–Mills egyenlet egy négydimenziós térre létezik, és ennek tömeghibája nem nulla. Ez az állítás összhangban van a kísérleti adatokkal és a numerikus szimulációkkal, de még nem bizonyított.

6. sz. A Navier–Stokes-egyenletek megoldásainak megléte és simasága

A Navier-Stokes egyenletek egy viszkózus folyadék mozgását írják le. A hidrodinamika egyik legfontosabb problémája.

7. sz. Birch-Swinnerton-Dyer sejtés

A hipotézis az elliptikus görbék egyenleteivel és azok halmazával kapcsolatos racionális döntéseket.

"Csak azt tudom, hogy én nem tudok semmit, de mások sem tudják."
(Szókratész, ókori görög filozófus)

SENKINEK NEM adatott meg az a hatalom, hogy birtokolja az egyetemes elmét és MINDENT tudjon. A legtöbb tudós azonban, és azok, akik egyszerűen csak szeretnek gondolkodni és felfedezni, mindig vágynak arra, hogy többet tanuljanak, megfejtsék a rejtélyeket. De maradtak még megoldatlan témák az emberiség számára? Végül is úgy tűnik, hogy már minden világos, és csak alkalmaznia kell az évszázadok során megszerzett tudást?

Ne ess kétségbe! A matematika és a logika területén még mindig vannak megoldatlan problémák, amelyeket 2000-ben a cambridge-i Clay Mathematics Institute (Massachusetts, USA) szakemberei az ezredforduló úgynevezett 7 rejtélyének (Millennium Prize Problems) listájába foglaltak össze. Ezek a problémák világszerte foglalkoztatják a tudósokat. Innentől a mai napig bárki állíthatja, hogy megoldást talált az egyik problémára, bebizonyíthatja a hipotézist, és díjat vehet át Landon Clay bostoni milliárdostól (akiről az intézetet elnevezték). Erre a célra már 7 millió dollárt különített el. Apropó, Mára az egyik probléma már megoldódott.

Szóval készen állsz a matematikai rejtvények megismerésére?

Navier-Stokes egyenletek (1822-ben megfogalmazva)

Terület: hidroaerodinamika

A turbulens és légáramlásra, valamint a folyadékok áramlására vonatkozó egyenletek Navier-Stokes egyenletek néven ismertek. Ha például áthajózik valamin egy tavon, akkor elkerülhetetlenül hullámok jelennek meg körülötted. Ez is érvényes légtér: Repülőgéppel való repülés során turbulens áramlások is kialakulnak a levegőben.
Ezek az egyenletek előállítják viszkózus folyadék mozgási folyamatainak leírásaés minden hidrodinamika alapvető feladata. Néhány speciális esetre már találtak olyan megoldásokat, amelyekben az egyenletek egyes részeit elvetik, mivel azok nem befolyásolják a végeredményt, de általában ezekre az egyenletekre nem találtak megoldást.
Megoldást kell találni az egyenletekre, és azonosítani kell a sima függvényeket.

Riemann hipotézis (1859-ben megfogalmazva)

Szakterület: számelmélet

Ismeretes, hogy a prímszámok (amelyek csak önmagukkal és eggyel oszthatók: 2,3,5,7,11...) eloszlása ​​az összes természetes szám között nem követ semmilyen mintát.
A német matematikus, Riemann elgondolkodott ezen a problémán, és elméletileg saját feltevést tett a létező prímszámok sorozatának tulajdonságairól. Az úgynevezett páros prímszámok régóta ismertek - ikerprímszámok, amelyek különbsége 2, például 11 ​​és 13, 29 és 31, 59 és 61. Néha egész klasztereket alkotnak, például 101, 103, 107, 109 és 113 .
Ha ilyen klasztereket találunk, és levezetünk egy konkrét algoritmust, az forradalmi változáshoz vezet a titkosítás terén szerzett ismereteinkben, és soha nem látott áttöréshez vezet az internetbiztonság területén.

Poincaré probléma (1904-ben megfogalmazva. 2002-ben megoldva.)

Szakterület: többdimenziós terek topológiája vagy geometriája

A probléma lényege a topológiában rejlik, és abban a tényben rejlik, hogy ha egy gumiszalagot húzunk például egy almára (gömbre), akkor elméletileg lehetséges lesz egy pontig összenyomni, lassan mozgatni anélkül, hogy felemelné. a szalagot a felületről. Ha azonban ugyanazt a szalagot egy fánk (tórus) köré húzzák, akkor nem lehet a szalagot összenyomni anélkül, hogy a szalag eltörne vagy maga a fánk eltörne. Azok. a gömb teljes felülete egyszerűen össze van kötve, míg a tórusz nem. A feladat annak bizonyítása volt, hogy csak a gömb kapcsolódik egyszerűen.

A Leningrádi Geometriai Iskola képviselője Grigorij Jakovlevics Perelman a Clay Mathematics Institute millenniumi díjának (2010) kitüntetettje a Poincaré-probléma megoldásáért. Megtagadta a híres Fields-érmet.

Hodge hipotézise (1941-ben megfogalmazva)

Szakterület: algebrai geometria

A valóságban sok egyszerű és sokkal bonyolultabb geometriai objektum létezik. Minél összetettebb egy objektum, annál nehezebb tanulmányozni. Most a tudósok egy olyan megközelítést dolgoztak ki és alkalmaznak aktívan, amely egy egész részeinek („téglák”) felhasználásán alapul, hogy tanulmányozzák ezt az objektumot, például egy építőkészletet. Az „építőkockák” tulajdonságainak ismeretében lehetővé válik magának az objektumnak a tulajdonságainak megközelítése. Hodge hipotézise ebben az esetben mind a „téglák”, mind a tárgyak bizonyos tulajdonságaihoz kapcsolódik.
Ez egy nagyon komoly probléma az algebrai geometriában: precíz módszereket és módszereket találni összetett objektumok egyszerű „építőelemek” segítségével történő elemzésére.

Yang-Mills egyenletek (1954-ben megfogalmazva)

Terület: geometria és kvantumfizika

Young és Mills fizikusok az elemi részecskék világát írják le. Miután felfedezték a geometria és a részecskefizika közötti kapcsolatot, megírták egyenleteiket a kvantumfizika területén. Ezáltal módot találtak az elektromágneses, gyenge és erős kölcsönhatások elméleteinek egységesítésére.
A mikrorészecskék szintjén „kellemetlen” hatás lép fel: ha egy részecskére egyszerre több mező hat, ezek együttes hatása már nem bontható le mindegyik hatására külön-külön. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ebben az elméletben nemcsak az anyagrészecskék vonzzák egymást, hanem távvezetékek mezőket.
Bár a Yang-Mills egyenleteket a világ összes fizikusa elfogadja, az elemi részecskék tömegének előrejelzésére vonatkozó elméletet kísérletileg nem igazolták.

Birch és Swinnerton-Dyer hipotézis (1960-ban megfogalmazva)

Szakterület: algebra és számelmélet

Hipotézis elliptikus görbék egyenleteivel és racionális megoldásaik halmazával kapcsolatos. A Fermat-tétel bizonyítása során az elliptikus görbék foglalták el az egyik legfontosabb helyet. A kriptográfiában pedig az önnév egy teljes részét alkotják, és néhány orosz digitális aláírási szabvány ezeken alapul.
A probléma az, hogy MINDEN megoldást x, y, z egész számokkal kell leírni algebrai egyenletek, azaz több változó egyenlete egész együtthatóval.

Cook problémája (1971-ben megfogalmazva)

Szakterület: matematikai logika és kibernetika

„P és NP osztályok egyenlőségének” is nevezik, és ez az egyik legfontosabb probléma az algoritmusok, a logika és a számítástechnika elméletében.
Tarthat-e tovább egy probléma megoldásának helyességének ellenőrzése, mint a probléma megoldására fordított idő?(az ellenőrző algoritmustól függetlenül)?
A feltételek és az algoritmusok megváltoztatása esetén ugyanazon probléma megoldása néha eltérő időbe telik. Például: egy nagy cégnél ismerőst keresel. Ha tudod, hogy egy sarokban vagy egy asztalnál ül, akkor a másodperc töredékébe fog beletartani, amíg meglátod. De ha nem tudod, hogy pontosan hol van az objektum, akkor több időt töltesz a kereséssel, minden vendég meglátogatásával.
A fő kérdés: minden vagy nem minden könnyen és gyorsan ellenőrizhető probléma könnyen és gyorsan megoldható?

A matematika, ahogy sokak számára tűnhet, nem áll olyan távol a valóságtól. Ez az a mechanizmus, amellyel világunkat és számos jelenséget leírhatjuk. A matematika mindenhol ott van. És V.O.-nak igaza volt. Klyuchevsky, aki azt mondta: "Nem a virágok hibája, hogy a vak nem látja őket.".

Következtetésképpen….

A matematika egyik legnépszerűbb tétele - Fermat Nagy (utolsó) tétele: аn + bn = cn - 358 évig nem volt bizonyítható! És csak 1994-ben a brit Andrew Wiles tudott megoldást adni neki.

A megoldhatatlan feladat 7 érdekes matematikai feladat. Mindegyiket egy időben híres tudósok javasolták, általában hipotézisek formájában. A matematikusok világszerte sok évtizede azon törik az agyukat, hogy megoldják ezeket. Azok, akik sikeresek, egymillió dolláros jutalmat kapnak, amelyet az Agyag Intézet ajánl fel.

Agyag Intézet

Ezt a nevet adták egy magán non-profit szervezetnek, amelynek székhelye a Massachusetts állambeli Cambridge-ben található. 1998-ban alapította A. Jaffee harvardi matematikus és L. Clay üzletember. Az intézet célja a matematikai ismeretek népszerűsítése, fejlesztése. Ennek elérése érdekében a szervezet díjakat adományoz tudósoknak és ígéretes kutatási szponzoroknak.

A 21. század elején az Agyag Matematikai Intézet díjat ajánlott fel azoknak, akik a legnehezebb megoldhatatlannak számító feladatokat oldották meg, névsorát Millenniumi Díjfeladatoknak nevezve. A Hilbert-listából csak a Riemann-hipotézis szerepelt benne.

Millenniumi kihívások

A Clay Institute listája eredetileg a következőket tartalmazza:

• Hodge ciklus hipotézis;
• a kvantum Yang-Mills elmélet egyenletei;
• Poincaré-sejtés;
• a P és NP osztályok egyenlőségének problémája;
• Riemann hipotézis;
• megoldásainak létezéséről, gördülékenységéről;
• Birch-Swinnerton-Dyer probléma.

Ezek a nyitott matematikai problémák nagy érdeklődésre tartanak számot, mert sok gyakorlati megvalósításuk lehet.

Amit Grigory Perelman bebizonyított

1900-ban a híres tudós-filozófus, Henri Poincaré azt javasolta, hogy minden egyszerűen összekapcsolt, határok nélküli kompakt 3 dimenziós sokaság homeomorf egy 3 dimenziós gömbhöz. Megvan a bizonyítéka általános eset egy évszázada nem találták meg. Csak 2002-2003-ban G. Perelman szentpétervári matematikus számos cikket publikált a Poincaré-probléma megoldásáról. Bomba robbanásszerű hatását keltették. 2010-ben a Poincaré-hipotézist kizárták az Agyag Intézet „Megoldatlan problémák” listájáról, és Perelmannak felajánlották, hogy megkapja a neki járó jelentős jutalmat, amit az utóbbi döntése indoklása nélkül visszautasított.

A legérthetőbb magyarázatot arra, amit az orosz matematikus be tudott bizonyítani, ha elképzeljük, hogy gumikorongot feszítenek egy fánk (tórusz) fölé, majd megpróbálják egy pontra húzni a kör széleit. Nyilvánvalóan ez lehetetlen. Más kérdés, ha ezt a kísérletet labdával hajtod végre. Ebben az esetben úgy tűnik, hogy egy korongból származó háromdimenziós gömb, amelynek kerületét egy hipotetikus zsinór egy pontra húzta, háromdimenziós lesz a megértésben. hétköznapi ember, de matematikai szempontból kétdimenziós.

Poincaré felvetette, hogy a háromdimenziós gömb az egyetlen olyan háromdimenziós „objektum”, amelynek felülete egy pontra összehúzható, és Perelman ezt be tudta bizonyítani. Így a „Megoldhatatlan problémák” listája ma 6 feladatból áll.

Yang-Mills elmélet

Ezt a matematikai problémát a szerzők javasolták 1954-ben. Az elmélet tudományos megfogalmazása a következő: bármely egyszerű, kompakt szelvénycsoport esetén a kvantum térelmélet, amelyet Yang és Mills készített, létezik, és ugyanakkor nulla tömeghibája van.

Olyan nyelven beszélni, amelyet az átlagember is megért, a közti interakciókat természeti tárgyak(részecskék, testek, hullámok stb.) 4 típusra oszthatók: elektromágneses, gravitációs, gyenge és erős. A fizikusok már sok éve próbálnak alkotni általános elmélet mezőket. Eszközzé kell válnia mindezen kölcsönhatások magyarázatára. A Yang-Mills elmélet az matematikai nyelv, melynek segítségével lehetővé vált a 4 fő természeti erő közül 3 leírása. A gravitációra nem vonatkozik. Ezért nem tekinthető úgy, hogy Youngnak és Millsnek sikerült mezőelméletet alkotnia.

Ráadásul a javasolt egyenletek nemlinearitása rendkívül megnehezíti a megoldásukat. Kis csatolási állandók esetén ezek megközelítőleg megoldhatók egy perturbációelméleti sorozat formájában. Az azonban még nem világos, hogy ezek az egyenletek hogyan oldhatók meg erős csatolás mellett.

Navier-Stokes egyenletek

Ezek a kifejezések olyan folyamatokat írnak le, mint a légáramlás, a folyadékáramlás és a turbulencia. Egyes speciális esetekre már találtak analitikus megoldásokat a Navier-Stokes egyenletre, de általános esetre ez még senkinek sem sikerült. Ugyanakkor a sebesség, sűrűség, nyomás, idő és így tovább meghatározott értékek numerikus modellezése kiváló eredmények elérését teszi lehetővé. Csak remélni tudjuk, hogy valaki a Navier-Stokes egyenleteket ellentétes irányba is tudja alkalmazni, vagyis ezek segítségével kiszámolja a paramétereket, vagy bebizonyítja, hogy nincs megoldási módszer.

Birch-Swinnerton-Dyer probléma

A „megoldatlan problémák” kategóriája egy hipotézist is tartalmaz, amelyet a Cambridge-i Egyetem angol tudósai javasoltak. Még 2300 évvel ezelőtt az ókori görög tudós, Eukleidész adott Teljes leírás az x2 + y2 = z2 egyenlet megoldásai.

Ha minden prímszámra megszámoljuk a pontok számát a görbén modulo it, végtelen egész számot kapunk. Ha konkrétan egy komplex változó 1 függvényébe „ragasztjuk”, akkor a Hasse-Weil zéta függvényt kapjuk egy harmadrendű görbére, amelyet L betűvel jelölünk. Ez információkat tartalmaz az összes prímszám modulo viselkedéséről egyszerre. .

Brian Birch és Peter Swinnerton-Dyer sejtést javasolt az elliptikus görbékkel kapcsolatban. Eszerint a racionális megoldásai halmazának szerkezete és mennyisége összefügg az L-függvény egységben való viselkedésével. A jelenleg nem bizonyított Birch-Swinnerton-Dyer sejtés a 3-as fokú algebrai egyenletek leírásától függ, és az egyetlen viszonylag egyszerű. általános módon elliptikus görbék rangjának kiszámítása.

A probléma gyakorlati jelentőségének megértéséhez elég azt mondani, hogy a modern elliptikus görbe kriptográfiában az aszimmetrikus rendszerek egész osztálya épül fel, és a hazai digitális aláírási szabványok ezek használatán alapulnak.

A p és np osztályok egyenlősége

Ha a millenniumi problémák többi része tisztán matematikai, akkor ez a jelenlegi algoritmuselmélethez kapcsolódik. A p és np osztályok egyenlőségére vonatkozó probléma, más néven Cook-Lewin probléma, a következőképpen fogalmazható meg világosan. Tegyük fel, hogy egy adott kérdésre adott pozitív válasz elég gyorsan, azaz polinomiális időben (PT) ellenőrizhető. Akkor helyes-e azt állítani, hogy elég gyorsan meg lehet találni a választ? Még egyszerűbbnek hangzik: valóban nem nehezebb egy probléma megoldását ellenőrizni, mint megtalálni? Ha a p és np osztályok egyenlősége valaha is bebizonyosodik, akkor minden szelekciós probléma megoldható PV-vel. Jelenleg sok szakértő kétségbe vonja ennek az állításnak az igazságát, bár ennek ellenkezőjét nem tudják bizonyítani.

Riemann hipotézis

1859-ig nem azonosítottak olyan mintát, amely leírná a prímszámok eloszlását a természetes számok között. Ez talán annak volt köszönhető, hogy a tudomány más kérdésekkel is foglalkozott. A 19. század közepére azonban megváltozott a helyzet, és ők lettek az egyik legrelevánsabbak, amelyeket a matematika tanulmányozni kezdett.

A Riemann-hipotézis, amely ebben az időszakban merült fel, az a feltevés, hogy a prímszámok eloszlásában van egy bizonyos minta.

Ma sok modern tudós úgy gondolja, hogy ha bebizonyosodik, a modern kriptográfia számos alapvető elvét, amelyek az elektronikus kereskedelmi mechanizmusok nagy részének alapját képezik, újra kell gondolni.

A Riemann-hipotézis szerint a prímszámok eloszlásának jellege jelentősen eltérhet a jelenleg feltételezetttől. A helyzet az, hogy a prímszámok eloszlásában eddig nem fedeztek fel rendszert. Például ott van az "ikrek" problémája, amelyek közötti különbség 2. Ezek a számok 11 és 13, 29. Más prímszámok klasztereket alkotnak. Ezek a 101, 103, 107 stb. A tudósok régóta gyanítják, hogy nagyon nagy prímszámok között is léteznek ilyen klaszterek. Ha megtalálják őket, megkérdőjeleződik a modern kriptokulcsok erőssége.

Hodge ciklus sejtése

Ezt a máig megoldatlan problémát 1941-ben fogalmazták meg. Hodge hipotézise felveti annak lehetőségét, hogy bármely objektum alakját közelítsük meg, egyszerű, magasabb dimenziójú testek „összeragasztásával”. Ez a módszer már régóta ismert és sikeresen alkalmazott. Nem ismert azonban, hogy az egyszerűsítés milyen mértékben valósítható meg.

Most már tudja, milyen megoldhatatlan problémák vannak jelenleg. Ezeket tudósok ezrei kutatják szerte a világon. Csak remélni tudjuk, hogy a közeljövőben megoldódnak, és az övék gyakorlati használat segít az emberiségnek belépni a technológiai fejlődés új szakaszába.

Sziasztok!

Van egy vélemény, hogy ma a tudomány gyakorlása nem jövedelmező - nem leszel gazdag! De remélem, a mai bejegyzésből kiderül, hogy ez messze nem így van. Ma elmondom, hogyan, gyakorlás közben alapkutatás, akkor kereshet egy rendezett összeget.

A fejlődés bármely szakaszában a tudományok bármelyike ​​mindig is számos megoldatlan problémával és feladattal szembesült, amelyek kísértették a tudósokat. Fizika - hideg termonukleáris fúzió, matematika - Goldbach hipotézise, ​​orvostudomány - gyógymód a rák ellen stb. Némelyikük annyira fontos (ily vagy olyan okból), hogy megoldásuk jutalom jár. És néha ez a jutalom nagyon-nagyon méltó.

Számos tudományban ez a jutalom lehet Nóbel díj. De nem adják a matematikai felfedezésekért, és ma a matematikáról szeretnék beszélni.

A matematika, a tudományok királynője megoldatlan problémák és érdekes problémák tengerét kínálja, de ma csak hétről fogunk beszélni. „Millennium Challenge”-nek is nevezik őket.

Úgy tűnik, hogy feladatok, sőt feladatok? Mi a különleges bennük? A helyzet az, hogy évek óta nem találtak megoldást rájuk, és mindegyik megoldásáért 1 millió dollár jutalmat ígért az Agyagintézet! Egyetértek, nem kicsit. Persze nem a hozzávetőlegesen 1,5 milliós Nobel-díjat, de az is megteszi.

Íme a listájuk:

• A P és NP osztályok egyenlősége
• Hodge-sejtés
• Poincaré-sejtés (megoldva)
• Riemann hipotézis
• Kvantum Yang-Mills elmélet
• A Navier-Stokes egyenletek megoldásainak megléte és simasága
• Birch-Swinnerton-Dyer sejtés

Tehát nézzük meg mindegyiket közelebbről.

1.P és NP osztályok egyenlősége

Ez a probléma az egyik legfontosabb probléma az algoritmusok elméletében, és lefogadom, hogy sokan hallottatok már róla, legalábbis közvetve. Mi ez a probléma és mi a lényege? Képzeljük el, hogy van egy bizonyos problémacsoport, amelyre gyorsan választ tudunk adni, vagyis gyorsan megoldást találunk rájuk. Az algoritmusok elméletében ezt a feladatosztályt P osztálynak nevezem. És van egy osztály a problémáknak, amelyeknél gyorsan ellenőrizhetjük a megoldás helyességét - ez az NP osztály. És mostanáig nem tudni, hogy ezek az osztályok egyenlőek-e vagy sem. Vagyis nem tudni, hogy legalább elméletben találhatunk-e olyan algoritmust, amellyel gyorsan megoldást találhatunk egy adott problémára, valamint ellenőrizhetjük annak helyességét.

Klasszikus példa. Adjunk meg egy számhalmazt, például: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Feladat: választhatunk-e ezek közül a számok közül úgy, hogy összegük 100 legyen? Válasz: lehet például 50+47+2+1 = 100. Könnyen ellenőrizhető a megoldás helyessége. Alkalmazza négyszer az összeadási műveletet, és kész. Csak ezeknek a számoknak a kiválasztása. Első pillantásra ezt sokkal nehezebb megtenni. Vagyis megoldást találni egy problémára nehezebb, mint ellenőrizni. A banális műveltség szempontjából ez igaz, de matematikailag nem bizonyított, és továbbra is van remény, hogy ez nem így van.

És akkor mi van? Tehát mi van, ha kiderül, hogy a P és az NP osztályok egyenlőek? Ez egyszerű. Az osztályegyenlőség azt jelenti, hogy számos probléma megoldására léteznek olyan algoritmusok, amelyek sokkal gyorsabbak, mint a jelenleg ismertek (mint fentebb említettük).

Természetesen több kísérlet történt e hipotézis bizonyítására vagy cáfolására, de egyik sem járt sikerrel. A legutóbbi Vinay Deolalikar indiai matematikus próbálkozása volt. A problémafelvetés szerzője, Stephen Cook szerint ez a megoldás "viszonylag komoly próbálkozás volt a P vs NP probléma megoldására". Sajnos azonban a bemutatott bizonyításban számos hibát találtak, amelyek kijavítását a szerző ígérte.

2. Hodge-sejtés

A komplexitás egyszerű összetevők összessége. Az összetett objektumok tanulmányozása eredményeként a matematikusok módszereket dolgoztak ki közelítésükre növekvő méretű objektumok összeragasztásával. Az azonban még nem tisztázott, hogy ez a fajta közelítés milyen mértékben valósítható meg, és a közelítésben használt egyes objektumok geometriai természete továbbra sem tisztázott.

3.Poincaré-sejtés

A Poincaré-sejtés jelenleg az egyetlen megoldott hét évezred problémája közül. Örvendetes, hogy a döntés szerzője honfitársunk, Grigorij Jakovlevics Perelman volt, aki szintén visszahúzódó zseni. Sokat és érdekesen beszélhetünk róla, de koncentráljunk magára a hipotézisre.

Összeállítás:

Minden egyszerűen összekapcsolt kompakt háromdimenziós gyűjtőcső határok nélkül homeomorf egy háromdimenziós gömbhöz.

Vagy az általánosított Poincaré-sejtés:

Bármely n természetes számra bármely n dimenziós sokaság akkor és csak akkor homotópia egyenértékű egy n dimenziójú gömbbel, ha azzal homeomorf.

Egyszerűen fogalmazva, a probléma lényege ez. Ha veszünk egy almát és lefedjük egy gumifóliával, akkor deformációk segítségével, a fólia elszakítása nélkül, az almát hegyessé vagy kockává alakíthatjuk, de fánkká semmiképpen sem. Kocka, 3D gömb és páros háromdimenziós tér egymással azonosak, deformációig.

Az ilyen egyszerű megfogalmazás ellenére a hipotézis több száz évig bizonyítatlan maradt. Bár a matematikában néha minél egyszerűbb a megfogalmazás, annál bonyolultabb a bizonyítás (mindannyian emlékszünk Fermat utolsó tételére).

Térjünk vissza Perelman elvtárshoz. Ez az úr arról is híres, hogy visszautasította a neki járó milliót, mondván: „Miért kell nekem a pénzed, ha az egész Univerzum a kezemben van?” Nem tudtam megtenni. Az elutasítás eredményeként a kiutalt milliót fiatal francia és amerikai matematikusoknak ítélték oda.

Végül szeretném megjegyezni, hogy a Poincaré-hipotézisnek egyáltalán nincs gyakorlati alkalmazása (!!!).

4. Riemann hipotézis.

A Riemann-hipotézis valószínűleg a leghíresebb (a Poincaré-hipotézissel együtt) a hét évezred problémái közül. A matematikával hivatásszerűen nem foglalkozók körében népszerűségének egyik oka az, hogy nagyon egyszerű megfogalmazása van.

A Riemann-zéta-függvény minden nem triviális nullájának valós része egyenlő ?-vel.

Egyetértek, ez nagyon egyszerű. És a látszólagos egyszerűség volt az oka számos kísérletnek e hipotézis bizonyítására. Sajnos még nincs eredmény.

A Riemann-hipotézis bizonyítására tett nagyszámú sikertelen kísérlet kétségeket ébreszt egyes matematikusok körében. Köztük van John Littlewood is. De a szkeptikusok sora nem olyan sok, és a matematikai közösség nagy része hajlamos azt hinni, hogy a Riemann-hipotézis végül is igaz. Ennek közvetett megerősítése számos hasonló állítás és hipotézis érvényessége.

Számos számelméleti algoritmus és állítás fogalmazódott meg azzal a feltételezéssel, hogy a fenti hipotézis igaz. Így a Riemann-hipotézis érvényességének bizonyítása megteremti a számelmélet alapjait, cáfolata pedig a számelméletet „megrázza” az alapoknál.

És végül egy nagyon híres, de nagyon Érdekes tény. David Gilbertet egyszer megkérdezték: „Mi lenne az első lépése, ha 500 évig aludna, és felébredne?” – Megkérdezem, hogy a Riemann-hipotézis bebizonyosodott-e.

5. Yang-Mills elmélet

A kvantumfizika egyik mérőelmélete egy nem Abel-féle mérőeszközcsoporttal. Ez az elmélet a múlt század közepén javasolták, de sokáig pusztán matematikai technikának tekintették, amelynek semmi köze a dolgok valódi természetéhez. Később azonban a Yang-Mills elmélet alapján alapvető elméleteket építettek fel Szabványos modell- kvantumkromodinamika és gyenge kölcsönhatások elmélete.

Probléma nyilatkozat:

Bármely egyszerű, kompakt mérőműszercsoport esetében létezik a térre vonatkozó kvantum Yang–Mills elmélet, amelynek tömeghibája nem nulla.

Az elméletet a kísérletek és a számítógépes modellezés eredményei tökéletesen megerősítik, de elméleti bizonyítékot nem kapott.

6. A Navier-Stokes egyenletek megoldásainak megléte és simasága

A hidrodinamika egyik legfontosabb problémája, a klasszikus mechanika megoldatlan problémái közül az utolsó.

A Maxwell-egyenletekkel, hőátadási egyenletekkel stb. kiegészített Navier-Stokes egyenletet számos elektrohidrodinamikai, magnetohidrodinamikai, folyadék- és gázkonvekciós, hődiffúziós stb. probléma megoldására használják.

Maguk az egyenletek parciális differenciálegyenlet-rendszerek. Az egyenletek két részből állnak:

• mozgásegyenletek
• folytonossági egyenletek

A Navier-Stokes egyenletek teljes analitikai megoldásának megtalálását nagymértékben megnehezíti a nemlinearitás, valamint a perem- és kezdeti feltételektől való erős függés.

7. Birch-Swinnerton-Dyer sejtés

Az ezredfordulós problémák közül az utolsó a Birch-Swinnerton-Dyer hipotézis.

A hipotézis azt állítja

egy Q feletti r elliptikus görbe rangja megegyezik a Hasse-Weil zéta függvény nulla nagyságrendjével

E(L,s) az s pontban = 1.

Ez a hipotézis az egyetlen viszonylag egyszerű módja annak, hogy meghatározzuk az elliptikus görbék rangját, amelyek viszont a kutatás fő tárgyai. modern elmélet számok és kriptográfia.

Ez az évezred összes problémája. Elnézést kérek amiatt, hogy egyes problémák sokkal kevésbé vannak lefedve, mint mások. Ennek oka az e problémákkal kapcsolatos információk hiánya, valamint az, hogy nem lehet egészen egyszerűen (a nehézkes és összetett matematika bevonása nélkül) bemutatni a lényegüket. A Clay Institute 1 millió dollár jutalmat hirdetett minden egyes probléma megoldásáért. Hajrá! Megvan az esély arra, hogy jó pénzt keressen az alaptudomány előrehaladásával, mert hét problémából hat még nincs megoldva.