Hol vannak a derékszögű háromszög lábai. Derékszögű háromszög megoldás. Trigonometrikus arányok a derékszögű háromszög lábának megtalálásához

A derékszögű háromszögekkel kapcsolatos téma tanulmányozása után a tanulók gyakran elfelejtik az összes információt a róluk. Beleértve azt is, hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt, nem beszélve arról, hogy mi az.

És hiába. Mert a jövőben a téglalap átlója éppen ez a hipotenusz lesz, és ezt meg kell találni. Vagy egy kör átmérője egybeesik egy háromszög legnagyobb oldalával, amelynek egyik szöge derékszögű. És e tudás nélkül lehetetlen megtalálni.

Több lehetőség is van a háromszög befogópontjának megtalálására. A módszer megválasztása a mennyiségi probléma kezdeti adathalmazától függ.

1. számú módszer: mindkét oldal adott

Ez a legemlékezetesebb módszer, mert a Pitagorasz-tételt használja. Csak néha a tanulók elfelejtik, hogy ezt a képletet használják a hipotenusz négyzetének meghatározására. Ez azt jelenti, hogy magának az oldalnak a megtalálásához négyzetgyököt kell vennie. Ezért a hipotenúza képlete, amelyet általában „c” betűvel jelölnek, így fog kinézni:

c = √ (a 2 + b 2), ahol az „a” és „b” betűk egy derékszögű háromszög mindkét szárát jelentik.

2. számú módszer: ismert a lábszár és a vele szomszédos szög

Annak érdekében, hogy megtudja, hogyan találja meg a hipotenúzát, emlékeznie kell trigonometrikus függvények. Mégpedig koszinusz. A kényelem kedvéért feltételezzük, hogy az „a” láb és a vele szomszédos α szög adott.

Most emlékeznünk kell arra, hogy egy derékszögű háromszög szögének koszinusza egyenlő az aránnyal két oldal. A számláló a láb értékét fogja tartalmazni, a nevező pedig a hipotenúzust. Ebből az következik, hogy ez utóbbi a következő képlettel számítható ki:

c = a / cos α.

3. módszer: adott egy láb és egy vele szemben fekvő szög

Annak érdekében, hogy ne tévesszen meg a képletekben, vezesse be ennek a szögnek a jelölését - β, és hagyja meg ugyanazt az „a” oldalt. Ebben az esetben szüksége lesz egy másik trigonometrikus függvényre - a szinuszra.

Az előző példához hasonlóan a szinusz egyenlő a láb és a hipotenusz arányával. A módszer képlete így néz ki:

c = a / sin β.

Annak érdekében, hogy ne keveredjen össze a trigonometrikus függvényekben, emlékezzen egy egyszerű emlékeztetőre: ha probléma van arról beszélünk o pr O ellentétes szögben, akkor együtt kell használni És hát, ha - ó pr És fekve, majd arra O sinus. Ügyeljen az első magánhangzókra kulcsszavakat. Párokat alkotnak o-i vagy és róla.

4. számú módszer: a körülírt kör sugara mentén

Most, hogy megtudja, hogyan találja meg a hipotenuszt, emlékeznie kell a derékszögű háromszög köré körülírt kör tulajdonságára. Ez így szól. A kör középpontja egybeesik a hipotenusz közepével. Másképp fogalmazva, a derékszögű háromszög leghosszabb oldala egyenlő a kör átlójával. Vagyis dupla sugár. A probléma képlete így fog kinézni:

c = 2 * r, ahol az r betű az ismert sugarat jelöli.

Ez mind lehetséges módjai hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög befogóját. Minden konkrét feladatnál az adathalmaznak leginkább megfelelő módszert kell alkalmazni.

1. számú példafeladat

Állapot: be derékszögű háromszög a mediánokat mindkét oldalra húzták. A nagyobb oldalra húzott hossza √52. A másik medián hossza √73. Ki kell számolnia a hipotenúzát.

Mivel a mediánok háromszögben vannak megrajzolva, a lábakat két egyenlő szegmensre osztják. Az érvelés és a hipotenusz megtalálásának megkönnyítése érdekében több jelölést kell bevezetnie. A nagyobb láb mindkét felét jelölje „x”, a másikat „y” betűvel.

Most két derékszögű háromszöget kell figyelembe vennünk, amelyek hipotenuszai az ismert mediánok. Számukra kétszer kell leírni a Pitagorasz-tétel képletét:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Ez a két egyenlet egy rendszert alkot két ismeretlennel. Ezek megoldása után könnyű lesz megtalálni az eredeti háromszög lábait és belőlük a hipotenuzát.

Először mindent a második hatalomra kell emelnie. Kiderül:

4 év 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

A második egyenletből világos, hogy y 2 = 73 - 4x 2. Ezt a kifejezést be kell cserélni az elsőre, és ki kell számítani az „x”-et:

4 (73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Az átalakítás után:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 vagy 15x 2 = 240.

Az utolsó kifejezésből x = √16 = 4.

Most kiszámolhatja az "y"-t:

y 2 = 73 - 4 (4) 2 = 73 - 64 = 9.

A feltételeknek megfelelően kiderül, hogy az eredeti háromszög lábai 6 és 8. Ez azt jelenti, hogy használhatja az első módszer képletét, és megtalálhatja a hipotenuzist:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Válasz: hypotenus egyenlő 10.

2. számú példafeladat

Feltétel: számítsa ki a téglalapba húzott átlót, amelynek rövidebb oldala egyenlő 41-gyel. Ha ismert, hogy a szöget azokra osztja, amelyek 2-1-hez kapcsolódnak.

Ebben a feladatban a téglalap átlója a 90º-os háromszög leghosszabb oldala. Tehát minden azon múlik, hogyan találjuk meg a hipotenuszt.

A probléma a szögekkel van. Ez azt jelenti, hogy a trigonometrikus függvényeket tartalmazó képletek egyikét kell használnia. Először meg kell határoznia az egyik hegyesszög méretét.

A feltételben tárgyalt szögek közül a kisebbik legyen α. Ekkor a derékszög, amelyet az átlóval osztunk, egyenlő lesz 3α-val. Ennek a matematikai jelölése így néz ki:

Ebből az egyenletből könnyen meghatározható α. 30º lesz. Ezenkívül a téglalap kisebbik oldalával szemben fog feküdni. Ezért szüksége lesz a 3. módszerben leírt képletre.

A hipotenusz egyenlő a láb és az ellenkező szög szinuszának arányával, azaz:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Válasz: A hipotenúza 82.

Az életben gyakran kell megküzdenünk vele matematikai feladatok: az iskolában, az egyetemen, majd segít a gyereknek a befejezésben házi feladat. Bizonyos szakmákban az emberek napi szinten találkoznak a matematikával. Ezért hasznos megjegyezni vagy felidézni a matematikai szabályokat. Ebben a cikkben ezek egyikét nézzük meg: egy derékszögű háromszög oldalának megtalálását.

Mi az a derékszögű háromszög

Először is emlékezzünk arra, hogy mi az a derékszögű háromszög. Egy derékszögű háromszög az geometriai alakzat három szegmensből áll, amelyek olyan pontokat kötnek össze, amelyek nem ugyanazon az egyenesen fekszenek, és ennek az ábrának az egyik szöge 90 fok. A derékszöget bezáró oldalakat lábnak, a szemközti oldalt pedig lábnak nevezzük derékszög– hypotenusa.

Derékszögű háromszög lábának megkeresése

Számos módja van a láb hosszának meghatározására. Ezeket szeretném részletesebben megvizsgálni.

Pitagorasz-tétel egy derékszögű háromszög oldalának megtalálására

Példa. A befogó 5 cm, a láb 3 cm Átalakítjuk a képletet: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ezután megoldjuk: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrikus arányok a derékszögű háromszög lábának megtalálásához

Ismeretlen oldalt is lehet találni, ha van másik oldal és bármelyik éles sarok derékszögű háromszög. Négy lehetőség van a láb megtalálására trigonometrikus függvények segítségével: szinusz, koszinusz, érintő, kotangens. Az alábbi táblázat segít a problémák megoldásában. Tekintsük ezeket a lehetőségeket.

Keresse meg egy derékszögű háromszög lábát szinusz segítségével

A szög szinusza (sin) a szemközti oldal és a hipotenusz aránya. Képlet: sin=a/c, ahol a az adott szöggel szemközti szár, c pedig a befogó. Ezután átalakítjuk a képletet, és megkapjuk: a=sin*c.

Példa. A hipotenusz 10 cm, az A szög 30 fok. A táblázat segítségével kiszámítjuk az A szög szinuszát, ez egyenlő 1/2-vel. Ezután a transzformált képlet segítségével megoldjuk: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Keresse meg egy derékszögű háromszög lábát koszinusz segítségével

A szög koszinusza (cos) a szomszédos láb és a hipotenusz aránya. Képlet: cos=b/c, ahol b az adott szöggel szomszédos szár, c pedig a befogó. Alakítsuk át a képletet, és kapjuk: b=cos*c.

Példa. Az A szög egyenlő 60 fokkal, a befogó 10 cm A táblázat segítségével kiszámítjuk az A szög koszinuszát, ez egyenlő 1/2-vel. Ezután megoldjuk: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Keresse meg egy derékszögű háromszög lábát érintő segítségével

A szög érintője (tg) a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya. Képlet: tg=a/b, ahol a a szöggel ellentétes oldal, b pedig a szomszédos oldal. Alakítsuk át a képletet, és kapjuk: a=tg*b.

Példa. Az A szög egyenlő 45 fokkal, a befogó 10 cm A táblázat segítségével kiszámítjuk az A szög érintőjét, ez egyenlő Megoldás: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Keresse meg egy derékszögű háromszög lábát kotangens segítségével!

Szögkotangens (ctg) a szomszédos oldal és a szemközti oldal aránya. Képlet: ctg=b/a, ahol b a szöggel szomszédos szár, és az ellentétes szár. Más szavakkal, a kotangens egy „fordított érintő”. A következőt kapjuk: b=ctg*a.

Példa. Az A szög 30 fok, a szemközti szár 5 cm. A táblázat szerint az A szög érintője √3. Kiszámoljuk: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Tehát most már tudja, hogyan kereshet egy lábat egy derékszögű háromszögben. Amint látja, ez nem olyan nehéz, a lényeg az, hogy emlékezzen a képletekre.

A derékszögű háromszög egyik lábának ismeretében megtalálhatja a második lábát és a hipotenuszt trigonometrikus arányok segítségével - ismert szög szinusza és érintője. Mivel a szöggel ellentétes láb és a hipotenusz aránya megegyezik ennek a szögnek a szinuszával, ezért a hipotenusz megtalálásához el kell osztani a lábat a szög szinuszával. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

A második szár egy ismert szög érintőjéből, az ismert szár és az érintő arányaként kereshető. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Egy derékszögű háromszög ismeretlen szögének kiszámításához ki kell vonni az α szög értékét 90 fokból. β=90°-α

A derékszögű háromszög kerülete és területe kifejezhető a szárral és a vele szemközti szöggel, ha a képletekben behelyettesítjük a második láb és a hipotenuzus korábban kapott kifejezéseit. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

A magasságot trigonometrikus arányokkal is kiszámíthatja, de az általa alkotott belső derékszögű a oldalú háromszögben. Ehhez meg kell szorozni az a oldalt, mint egy ilyen háromszög befogóját, a β szög vagy az α koszinusz szinuszával, mivel trigonometrikus azonosságok egyenértékűek. (79.2. ábra) h=a cos⁡α

A hypotenus mediánja egyenlő a hypotenus vagy az ismert láb felével osztva két szinusz α. A lábak mediánjainak megtalálásához a képleteket az ismert oldalak és szögek megfelelő alakjára redukáljuk. (79.3. ábra) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Mivel a derékszög felezőpontja egy háromszögben két oldalnak és kettőnek a gyökének a szorzata, osztva ezen oldalak összegével, így az egyik szárat az ismert szár és az érintő arányával helyettesítve megkapjuk a következő kifejezést. Hasonlóképpen, az arány behelyettesítésével a második és harmadik képletbe, kiszámíthatja az α és β szögek felezőit. (79.4. ábra) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

A középső vonal párhuzamosan fut a háromszög egyik oldalával, miközben egy másik hasonló derékszögű háromszöget képez, azonos szögekkel, amelyben minden oldal fele akkora, mint az eredeti. Ez alapján a középső vonalak találhatók a következő képleteket, csak a lábat és a vele szemközti szöget ismerve. (79.7. ábra) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

A beírt kör sugara megegyezik a lábak és a hipotenusz közötti különbséggel, osztva kettővel, és a beírt kör sugarának meghatározásához el kell osztani a hipotenuszt kettővel. Helyettesítjük a második lábat és a hipotenuszt az a láb szinuszhoz, illetve tangenshez viszonyított arányával. (79.5., 79.6. ábra) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Számológép segítségével bontsa ki Négyzetgyök a hipotenusz négyzetének és az ismert lábnak a különbségéből, szintén négyzetesen. A láb egy derékszögű háromszögnek a derékszöggel szomszédos oldala. Ez a kifejezés a Pitagorasz-tételből származik, amely kimondja, hogy a háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Mielőtt megvizsgálnánk a láb megtalálásának különböző módjait egy derékszögű háromszögben, fogadjunk el néhány jelölést. Ellenőrizze, hogy a felsorolt esetek közül melyik felel meg a feladat feltételének, és ennek függvényében kövesse a megfelelő bekezdést. Nézze meg, milyen mennyiségeket ismer a kérdéses háromszögben. A láb kiszámításához használja a következő kifejezést: a=sqrt(c^2-b^2), ha ismeri a befogó és a másik láb értékeit.

Ennek a geometriai alakzatnak az oldalai és szögei közötti kapcsolatokat részletesen tárgyaljuk matematikai tudományág trigonometria. Az egyenlet alkalmazásához ismernie kell a derékszögű háromszög bármely két oldalának hosszát.

Számítsa ki az egyik láb hosszát, ha ismert a hipotenusz és a másik láb mérete! Ha a probléma a hipotenúzust és a vele szomszédos hegyesszögek egyikét határozza meg, használja a Bradis-táblázatokat.

A belső háromszög hasonló lesz a külsőhöz, mivel a középső vonalak párhuzamosak a lábakkal és a hipotenusszal, és megegyeznek a felükkel. Mivel a hipotenúza ismeretlen, az M_c középvonal megkereséséhez be kell cserélni a Pitagorasz-tétel gyökjét.

A hipotenusz a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. Derékszöggel szemben fekszik. A hypotenus hossza megtalálható különböző utak. Ha mindkét láb hossza ismert, akkor a méretét a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki: a két láb négyzeteinek összege megegyezik a hipotenusz négyzetével. Tudva, hogy az összes szög összege 180°, vonjuk ki a derékszöget és a már ismert szöget.

A derékszögű háromszög paramétereinek kiszámításakor fontos odafigyelni ismert értékekés oldja meg a problémát a legegyszerűbb képlet segítségével. Először is emlékezzünk arra, hogy mi az a derékszögű háromszög. A derékszögű háromszög három szakaszból álló geometriai alakzat, amelyek olyan pontokat kötnek össze, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, és ennek az ábrának az egyik szöge 90 fok. Számos módja van a láb hosszának meghatározására.

Képlet: c²=a²+b², ahol c a hipotenusz, a és b a lábak

Ha ismerjük a hipotenuszt és a lábszárat, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével megtudhatjuk az ismeretlen láb hosszát. Ez így hangzik: "A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével." Négy lehetőség van a láb megtalálására trigonometrikus függvények segítségével: szinusz, koszinusz, érintő, kotangens. A szög szinusza (sin) a szemközti oldal és a hipotenusz aránya. Képlet: sin=a/c, ahol a az adott szöggel szemközti szár, c pedig a befogó.

A derékszögű háromszögek szokatlan tulajdonságait az ókori görög tudós, Pythagoras fedezte fel, aki felfedezte, hogy az ilyen háromszögekben a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

A magasság az a merőleges, amely a háromszög bármely csúcsától a szemközti oldalig (vagy tompaszögű háromszögnél annak folytatásáig) terjed. A háromszög magasságai egy pontban metszik egymást, ezt ortocentrumnak nevezzük. Ha ez egy tetszőleges derékszögű háromszög, akkor nincs elég adat.

Szintén hasznos tudni a trigonometrikus függvények értékét a leggyakoribb 30, 45, 60, 90, 180 fokos szögeknél. Ha a feltételek meghatározzák a lábak méreteit, keresse meg a hipotenusz hosszát. Az életben gyakran kell majd matematikai problémákkal megküzdenünk: az iskolában, az egyetemen, majd segítünk a gyerekünknek a házi feladatban.

Ezután átalakítjuk a képletet, és megkapjuk: a=sin*c

Az alábbi táblázat segít a problémák megoldásában. Tekintsük ezeket a lehetőségeket. Érdekes különleges eset, amikor az egyik hegyesszög 30 fokos.

Bizonyos szakmákban az emberek napi szinten találkoznak a matematikával.

Ismeretlen lábat is találhat, ha egy derékszögű háromszög bármely másik oldala és hegyesszöge ismert. Keresse meg egy derékszögű háromszög oldalát a Pitagorasz-tétel segítségével! A derékszögű háromszög oldalai az ismert változók számától függően különféle képletekkel is megkereshetők.

Egy derékszögű háromszög rengeteg függőséget tartalmaz. Emiatt vonzó tárgy minden fajta számára geometriai problémák. Az egyik leggyakoribb probléma a hypotenus megtalálása.

Derékszögű háromszög

A derékszögű háromszög olyan háromszög, amely derékszöget tartalmaz, azaz. 90 fokos szögben. Csak derékszögű háromszögben lehet trigonometrikus függvényeket kifejezni oldalakkal. Egy tetszőleges háromszögben további konstrukciókat kell készíteni.
Egy derékszögű háromszögben a három magasság közül kettőt egybeesik az oldalakkal, lábnak nevezzük. A harmadik oldalt hipotenusznak nevezik. A befogóhoz húzott magasság az egyetlen ilyen típusú háromszögben, amely további konstrukciót igényel.

Rizs. 1. A háromszögek típusai.

Egy derékszögű háromszögnek nem lehetnek tompaszögei. Ahogy a második derékszög léte is lehetetlen. Ebben az esetben egy háromszög szögösszegének azonossága sérül, amely mindig 180 fokkal egyenlő.

Átfogó

Menjünk közvetlenül a háromszög befogójához. A hipotenusz a háromszög leghosszabb oldala. A hipotenusz mindig nagyobb, mint bármelyik láb, de mindig kisebb, mint a lábak összege. Ez a háromszög egyenlőtlenség-tétel következménye.

A tétel kimondja, hogy a háromszög egyik oldala sem lehet nagyobb, mint a másik kettő összege. A tételnek van egy második megfogalmazása vagy második része: egy háromszögben, a nagyobb oldallal szemben van a nagyobb szög és fordítva.

Rizs. 2. Derékszögű háromszög.

Derékszögű háromszögben a főszög a derékszög, mivel a már említett okok miatt nem lehet második derékszög vagy tompaszög. Ez azt jelenti, hogy a nagyobb oldal mindig a derékszöggel szemben helyezkedik el.

Nem világos, hogy egy derékszögű háromszög miért érdemel külön nevet minden oldalának. Sőt, be egyenlő szárú háromszög az oldalaknak is megvan a maguk neve: oldalak és alapok. De a tanárok különösen a lábak és a hypotenusok számára szeretnek ketteseket adni. Miért? Ez egyrészt tisztelgés az ókori görögök, a matematika feltalálói emléke előtt. Ők tanulták a derékszögű háromszögeket, és ezzel a tudással egy egész információréteget hagytak hátra, amelyre építeni lehetett modern tudomány. Másrészt ezeknek a neveknek a megléte nagyban leegyszerűsíti a tételek és a trigonometrikus azonosságok megfogalmazását.

Pitagorasz tétel

Ha egy tanár egy derékszögű háromszög hipotenuszának képletére kérdez rá, 90% az esélye, hogy a Pitagorasz-tételre gondol. A tétel kimondja: Derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő az összeggel lábak négyzetei.

Rizs. 3. Derékszögű háromszög hipoténusza.

Figyeljük meg, hogy a tétel milyen világosan és tömören van megfogalmazva. Ez az egyszerűség nem érhető el a hipotenúza és a láb fogalmának használata nélkül.

A tételnek a következő képlete van:

$c^2=b^2+a^2$ – ahol c a befogó, a és b a derékszögű háromszög lábai.

Mit tanultunk?

Beszéltünk arról, hogy mi az a derékszögű háromszög. Megtudtuk, miért találták ki a lábak és a hypotenus nevét. Megtudtuk a hipotenusz néhány tulajdonságát, és a Pitagorasz-tétel segítségével megadtuk a háromszög befogójának hosszának képletét.