A számítások abszolút hibáját a következő képlet határozza meg:

A modulusjel azt mutatja, hogy nem érdekel, melyik érték nagyobb és melyik kisebb. Fontos, milyen messze a hozzávetőleges eredmény egyik vagy másik irányba eltért a pontos értéktől.

A számítások relatív hibáját a következő képlet határozza meg:
, vagy ugyanaz:

A relatív hiba megmutatja hány százalékkal a hozzávetőleges eredmény eltért a pontos értéktől. A képletnek létezik 100%-os szorzás nélküli változata is, de a gyakorlatban szinte mindig a fenti változatot látom százalékban.

Rövid utalás után térjünk vissza a feladatunkhoz, amelyben a függvény közelítő értékét számoltuk ki differenciálmű segítségével.

Számítsuk ki a függvény pontos értékét egy mikroszámológép segítségével:
, szigorúan véve az érték még hozzávetőleges, de pontosnak fogjuk tekinteni. Ilyen problémák előfordulnak.

Számítsuk ki az abszolút hibát:

Számítsuk ki a relatív hibát:
, ezred százalékot kaptunk, így a differenciál csak kiváló közelítést adott.

Válasz: , abszolút számítási hiba, relatív számítási hiba

A következő példa egy független megoldásra:

4. példa

pontban. Számítsa ki a függvény adott pontban pontosabb értékét, becsülje meg a számítások abszolút és relatív hibáját.

A végső terv hozzávetőleges mintája és a válasz a lecke végén.

Sokan észrevették, hogy a gyökerek az összes vizsgált példában megjelennek. Ez nem véletlen, a legtöbb esetben a szóban forgó probléma valójában gyökérfüggvényeket kínál.

De a szenvedő olvasók számára előástam egy kis példát arcszinuszra:

5. példa

Számítsa ki egy függvény értékét egy differenciál segítségével azon a ponton

Ezt a rövid, de informatív példát önnek is meg kell oldania. És pihentem egy kicsit, hogy újult erővel lássam a különleges feladatot:

6. példa

Körülbelül számítson ki differenciál segítségével, az eredményt kerekítse két tizedesjegyre.

Megoldás: Mi az új a feladatban? A feltételhez az eredményt két tizedesjegyre kell kerekíteni. De nem ez a lényeg; szerintem az iskolakerekítés problémája nem nehéz számodra. A helyzet az, hogy egy érvvel egy érintőt kapunk, amely fokokban van kifejezve. Mit kell tennie, ha egy trigonometrikus függvényt kell megoldania fokokkal? Például , stb.

A megoldási algoritmus alapvetően megegyezik, vagyis az előző példákhoz hasonlóan szükséges a képlet alkalmazása

Írjunk egy nyilvánvaló függvényt

Az értéket a formában kell megadni. Komoly segítséget fog nyújtani trigonometrikus függvények értéktáblázata . Egyébként azoknak, akik még nem nyomtatták ki, javaslom, hogy tegyék meg, mert a felsőbb matematika tanulmányozása során végig ott kell keresni.

A táblázatot elemezve „jó” érintő értéket veszünk észre, ami közel 47 fok:

És így:

Előzetes elemzés után fokokat radiánra kell váltani. Igen, és csak így!

Ebben a példában közvetlenül innen trigonometrikus táblázat megtudhatod, mit. A fokok radiánra konvertálására szolgáló képlet használata: (a képletek ugyanabban a táblázatban találhatók).

A következő képlet:

És így: (az értéket használjuk a számításokhoz). Az eredményt a feltételnek megfelelően két tizedesjegyre kerekítjük.

Válasz:

7. példa

Számítson hozzávetőlegesen differenciál segítségével, az eredményt kerekítse három tizedesjegyre.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Mint látható, nincs semmi bonyolult, a fokokat radiánra konvertáljuk, és betartjuk a szokásos megoldási algoritmust.

Hozzávetőleges számítások két változó függvényének teljes differenciáljával

Minden nagyon-nagyon hasonló lesz, ezért ha erre a feladatra jött erre az oldalra, akkor először azt javaslom, hogy nézzen meg legalább pár példát az előző bekezdésből.

Egy bekezdés tanulmányozásához képesnek kell lennie megtalálni másodrendű parciális származékok , hol lennénk nélkülük? A fenti leckében két változó függvényét jelöltem a betűvel. A vizsgált feladattal kapcsolatban kényelmesebb az ekvivalens jelölés használata.

Egy változó függvényéhez hasonlóan a probléma feltétele is többféleképpen megfogalmazható, és megpróbálom figyelembe venni az összes előforduló megfogalmazást.

8. példa

Megoldás: Nem számít, hogyan írják a feltételt, magában a megoldásban a függvény jelölésére, ismétlem, jobb nem a „zet” betűt használni, hanem .

És íme a munkaképlet:

Ami előttünk áll, az valójában az előző bekezdés képletének idősebb testvére. A változó csak nőtt. Mit mondjak, magam a megoldási algoritmus alapvetően ugyanaz lesz!

A feltétel szerint meg kell találni a függvény közelítő értékét a pontban.

A 3.04 számot ábrázoljuk . Maga a zsemle kéri megenni:
,

A 3,95-ös számot ábrázoljuk . A fordulat a Kolobok második felére érkezett:
,

És ne nézd a róka összes trükkjét, van egy Kolobok - meg kell enni.

Számítsuk ki a függvény értékét a pontban:

Egy függvény differenciálját egy pontban a következő képlet segítségével találjuk meg:

A képletből az következik, hogy meg kell találnunk részleges származékok első sorrendben, és számítsa ki értékeiket a pontban.

Számítsuk ki az elsőrendű parciális deriváltokat a pontban:

Teljes eltérés ponton:

Így a képlet szerint a függvény közelítő értéke a pontban:

Számítsuk ki a függvény pontos értékét a pontban:

Ez az érték teljesen pontos.

A hibák kiszámítása szabványos képletekkel történik, amelyeket ebben a cikkben már tárgyaltunk.

Abszolút hiba:

Relatív hiba:

Válasz: , abszolút hiba: , relatív hiba:

9. példa

Számítsa ki egy függvény közelítő értékét! egy ponton egy teljes differenciál használatával becsülje meg az abszolút és relatív hibát.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Aki közelebbről megnézi ezt a példát, az észre fogja venni, hogy a számítási hibák nagyon-nagyon szembetűnőek lettek. Ez a következő okból történt: a javasolt feladatban az argumentumok növekedése meglehetősen nagy: .

Az általános minta a következő a - minél nagyobbak ezek a lépések abszolút érték, annál kisebb a számítások pontossága. Így például egy hasonló pontnál a lépések kicsik lesznek: , és a közelítő számítások pontossága nagyon nagy lesz.

Ez a tulajdonság egy változó függvényének esetére is igaz (a lecke első része).

10. példa

Megoldás: Számítsuk ki ezt a kifejezést megközelítőleg két változó függvényének teljes differenciájával:

A különbség a 8-9. példáktól az, hogy először két változó függvényét kell megszerkesztenünk: . Szerintem mindenki intuitív módon érti a függvény összeállítását.

A 4,9973 érték közel áll az „öthöz”, ezért: , .
A 0,9919 érték közel áll az „egyhez”, ezért feltételezzük: , .

Számítsuk ki a függvény értékét a pontban:

A különbséget egy pontban a következő képlet segítségével találjuk meg:

Ehhez a pontban kiszámítjuk az elsőrendű parciális deriváltokat.

A származékok itt nem a legegyszerűbbek, és óvatosnak kell lenni:

;

.

Teljes eltérés ponton:

Így ennek a kifejezésnek a hozzávetőleges értéke:

Számítsunk ki pontosabb értéket mikrokalkulátorral: 2.998899527

Keressük a relatív számítási hibát:

Válasz: ,

Csak illusztrálja a fentieket, a vizsgált problémában az érvek növekményei nagyon kicsik, és a hiba fantasztikusan kicsinek bizonyult.

11. példa

Két változó függvényének teljes differenciáljával számítsa ki megközelítőleg ennek a kifejezésnek az értékét. Számítsa ki ugyanazt a kifejezést egy mikroszámológép segítségével. Becsülje meg a relatív számítási hibát százalékban!

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Hozzávetőleges minta a végső tervből a lecke végén.

Mint már említettük, az ilyen típusú feladatokban a leggyakoribb vendég valamilyen gyökér. De időről időre vannak más funkciók is. És egy utolsó egyszerű példa a kikapcsolódásra:

12. példa

Két változó függvényének teljes differenciáját felhasználva számítsuk ki megközelítőleg az if függvény értékét

A megoldás közelebb van az oldal aljához. Még egyszer figyeljünk a tanórai feladatok megfogalmazására, be különféle példák a gyakorlatban a megfogalmazások eltérőek lehetnek, de ez alapvetően nem változtat a megoldás lényegén és algoritmusán.

Őszintén szólva kicsit fáradt voltam, mert kicsit unalmas volt az anyag. Nem volt pedagógiai ezt a cikk elején kimondani, de most már lehetséges =) Valóban, a számítási matematika problémái általában nem túl bonyolultak, nem túl érdekesek, a legfontosabb talán az, hogy ne hibázzunk. közönséges számításokban.

Ne töröljék ki számológépének gombjait!

Megoldások és válaszok:

2. példa:

Megoldás: A képletet használjuk:
Ebben az esetben: , ,

És így:

Válasz:

4. példa:

Megoldás: A képletet használjuk:
Ebben az esetben: , ,

És így:

Számítsuk ki a függvény pontosabb értékét mikrokalkulátor segítségével:

Abszolút hiba:

Relatív hiba:

Válasz: , abszolút számítási hiba, relatív számítási hiba

5. példa:

Megoldás: A képletet használjuk:

Ebben az esetben: , ,

És így:

Válasz:

7. példa:

Megoldás: A képletet használjuk:
Ebben az esetben: , ,

Igazi jelentés fizikai mennyiség Szinte lehetetlen teljesen pontosan meghatározni, mert minden mérési művelet számos hibával vagy más szóval pontatlansággal jár. A hibák okai nagyon eltérőek lehetnek. Előfordulásuk a vizsgált tárgy fizikai jellemzőiből adódó pontatlanságokkal hozható összefüggésbe a mérőeszköz gyártásában és beállításában (például egy nem egyenletes vastagságú huzal átmérőjének mérésekor az eredmény véletlenszerűen függ a a mérési hely kiválasztása), véletlenszerű okok stb.

A kísérletező feladata, hogy csökkentse az eredményre gyakorolt ​​hatását, és jelezze, hogy a kapott eredmény mennyire közelít a valódihoz.

Létezik abszolút és relatív hiba fogalma.

Alatt abszolút hiba a mérések megértik a különbséget a mérési eredmény és a mért mennyiség valódi értéke között:

∆x i =x i -x és (2)

ahol ∆x i az i-edik mérés abszolút hibája, x i _ az i-edik mérés eredménye, x és a mért érték valódi értéke.

Bármely fizikai mérés eredményét általában a következő formában írják fel:

ahol a mért érték számtani középértéke, a valós értékhez legközelebb eső (x és≈ érvényessége lent lesz látható), az abszolút mérési hiba.

A (3) egyenlőséget úgy kell érteni, hogy a mért mennyiség valódi értéke a [- , + ] intervallumban legyen.

Az abszolút hiba dimenziós mennyiség, mérete megegyezik a mért mennyiséggel.

Az abszolút hiba nem teljesen jellemzi a mérések pontosságát. Valójában, ha 1 m és 5 mm hosszú szakaszokat mérünk azonos abszolút hibával ± 1 mm, a mérések pontossága összehasonlíthatatlan lesz. Ezért az abszolút mérési hibával együtt a relatív hiba is kiszámításra kerül.

Relatív hiba a méréseket aránynak nevezzük abszolút hiba a legtöbbet mért értékre:

A relatív hiba dimenzió nélküli mennyiség. Százalékban van kifejezve:

A fenti példában a relatív hibák 0,1% és 20%. Jelentősen eltérnek egymástól, bár az abszolút értékek megegyeznek. A relatív hiba információt ad a pontosságról

Mérési hibák

A megnyilvánulás jellege és a hibák előfordulásának okai szerint a következő osztályokba sorolhatók: instrumentális, szisztematikus, véletlenszerű és hiányos (durva hibák).

A hibákat vagy a készülék meghibásodása, vagy a módszertan vagy a kísérleti feltételek megsértése okozza, vagy szubjektív jellegűek. A gyakorlatban ezeket olyan eredményekként határozzák meg, amelyek élesen különböznek a többitől. Előfordulásuk kiküszöbölése érdekében óvatosnak és alaposnak kell lenni az eszközökkel végzett munka során. A hibákat tartalmazó eredményeket ki kell zárni a mérlegelésből (elvetni).

Műszerhibák. Ha a mérőeszköz üzemképes és beállított, akkor a készülék típusától függően korlátozott pontossággal lehet rajta méréseket végezni. Egy mutató műszer műszerhibáját szokás úgy tekinteni, hogy egyenlő a skála legkisebb osztásának felével. A digitális kijelzésű műszerekben a műszerhibát a műszerskála egy legkisebb számjegyének értékével egyenlőnek kell tekinteni.

A szisztematikus hibák olyan hibák, amelyek nagysága és előjele állandó az azonos módszerrel és ugyanazon mérőműszerekkel végzett mérések teljes sorozatára vonatkozóan.

A mérések során nemcsak a szisztematikus hibák figyelembe vétele, hanem azok kiküszöbölése is fontos.

A szisztematikus hibákat hagyományosan négy csoportra osztják:

1) hibák, amelyek természete ismert, és nagyságuk meglehetősen pontosan meghatározható. Ilyen hiba például a levegőben mért tömeg változása, amely függ a hőmérséklettől, páratartalomtól, légnyomástól stb.;

2) hibák, amelyek természete ismert, de a hiba nagysága nem ismert. Ilyen hibák közé tartoznak a mérőeszköz által okozott hibák: magának a készüléknek a meghibásodása, a nulla értéknek nem megfelelő skála vagy a készülék pontossági osztálya;

3) olyan hibák, amelyek fennállása nem sejthető, de nagyságrendjük gyakran jelentős lehet. Az ilyen hibák leggyakrabban összetett méréseknél fordulnak elő. Egy egyszerű példa ilyen hiba egy üreget tartalmazó minta sűrűségének mérése;

4) magának a mérési objektumnak a jellemzői által okozott hibák. Például egy fém elektromos vezetőképességének mérésekor az utóbbiból vesznek ki egy huzaldarabot. Hibák fordulhatnak elő, ha az anyagban bármilyen hiba van - repedés, a huzal megvastagodása vagy inhomogenitás, amely megváltoztatja az ellenállását.

A véletlenszerű hibák olyan hibák, amelyek előjelükben és nagyságukban véletlenszerűen változnak azonos mennyiségű ismételt mérések azonos körülményei között.

Kapcsolódó információ.

Az abszolút és relatív hibákat a rendkívül összetett számítások pontatlanságának értékelésére használják. Benne is használják különböző dimenziók valamint a számítási eredmények kerekítésére. Nézzük meg, hogyan határozható meg az abszolút és a relatív hiba.

Abszolút hiba

A szám abszolút hibája hívja meg a szám és a pontos értéke közötti különbséget.
Nézzünk egy példát : Az iskolában 374 diák tanul. Ha ezt a számot 400-ra kerekítjük, akkor az abszolút mérési hiba 400-374=26.

Az abszolút hiba kiszámításához ki kell vonni a kisebb számot a nagyobb számból.

Van egy képlet az abszolút hibára. Jelöljük a pontos számot A betűvel, a betűvel pedig a pontos szám közelítését. A hozzávetőleges szám olyan szám, amely kissé eltér a pontos számtól, és általában helyettesíti a számításokban. Ekkor a képlet így fog kinézni:

Δa=A-a. Fentebb tárgyaltuk, hogyan találjuk meg az abszolút hibát a képlet segítségével.

A gyakorlatban az abszolút hiba nem elegendő a mérés pontos kiértékeléséhez. Az abszolút hiba kiszámításához ritkán lehet tudni a mért mennyiség pontos értékét. Egy 20 cm hosszú könyvet mérve 1 cm-es hibát megengedve nagy hibásnak tekinthetjük a mérést. De ha 1 cm-es hiba történt egy 20 méteres fal mérésekor, akkor ez a mérés a lehető legpontosabbnak tekinthető. Ezért a gyakorlatban több fontos rendelkezik a relatív mérési hiba definíciójával.

Jegyezze fel a szám abszolút hibáját a ± előjellel! Például , egy tekercs tapéta hossza 30 m ± 3 cm Az abszolút hibahatárt maximális abszolút hibának nevezzük.

Relatív hiba

Relatív hiba Egy szám abszolút hibájának magához a számhoz viszonyított arányát nevezik. A példában szereplő relatív hiba tanulókkal való kiszámításához elosztjuk a 26-ot 374-gyel. Kapjuk a 0,0695 számot, átváltjuk százalékra, és 6%-ot kapunk. A relatív hibát százalékban jelöljük, mivel ez egy dimenzió nélküli mennyiség. A relatív hiba a mérési hiba pontos becslése. Ha a 10 cm-es és 10 m-es szakaszok hosszának mérésekor 1 cm-es abszolút hibát veszünk fel, akkor a relatív hiba 10% és 0,1% lesz. Egy 10 cm hosszú szegmensnél az 1 cm-es hiba nagyon nagy, ez 10%-os hiba. De egy tízméteres szegmensnél 1 cm nem számít, csak 0,1%.

Vannak szisztematikus és véletlenszerű hibák. Szisztematikus az a hiba, amely változatlan marad az ismételt mérések során. A véletlenszerű hiba a külső tényezők mérési folyamatra gyakorolt ​​hatásának eredményeként keletkezik, és megváltoztathatja annak értékét.

A hibaszámítás szabályai

Számos szabály létezik a hibák névleges becslésére:

• számok összeadásakor és kivonásakor össze kell adni azok abszolút hibáját;
• számok osztásakor és szorzásakor relatív hibákat kell hozzáadni;
• Hatványra emelve a relatív hibát megszorozzuk a kitevővel.

Hozzávetőleges és pontos számokat használunk tizedesjegyek. Csak az átlagértéket veszik, mivel a pontos érték végtelenül hosszú lehet. Ahhoz, hogy megértse, hogyan kell írni ezeket a számokat, meg kell tanulnia az igaz és kétes számokat.

Az igazi számok azok a számok, amelyek rangja meghaladja a szám abszolút hibáját. Ha egy szám számjegye kisebb, mint az abszolút hiba, azt kétesnek nevezzük. Például , a 0,002-es hibával rendelkező 3,6714 törtnél a helyes számok 3,6,7, a kétesek pedig 1 és 4 lesznek. Csak a helyes számok maradnak a közelítő szám rögzítésében. A tört ebben az esetben így fog kinézni - 3,67.

Mit tanultunk?

A mérések pontosságának értékelésére abszolút és relatív hibákat használunk. Az abszolút hiba egy pontos és egy közelítő szám különbsége. A relatív hiba egy szám abszolút hibájának a számhoz viszonyított aránya. A gyakorlatban a relatív hibát alkalmazzák, mivel az pontosabb.

Közvetlen mérésekhez

1. Mérjünk meg egyszer két feszültséget egy voltmérőn U 1 = 10 V, U 2 = 200 V. A voltmérő a következő jellemzőkkel rendelkezik: d pontossági osztály, t = 0,2 osztály, U max = 300 V.

Határozzuk meg ezen mérések abszolút és relatív hibáit.

Mivel mindkét mérést ugyanazon a készüléken végeztük, ezért D U 1 = D U 2, és a (B.4) képlet alapján számítják ki

A definíció szerint relatív hibák U 1 és U 2 rendre egyenlő

ε 1 = 0,6 ∙ V / 10 V = 0,06 = 6%,

ε 2 = 0,6 ∙ V / 200 V = 0,003 = 0,3%.

Az ε 1 és ε 2 számítások megadott eredményeiből jól látható, hogy ε 1 szignifikánsan nagyobb, mint ε 2.

Ebből következik a szabály: olyan készüléket kell választani, amelynek mérési határa a skála utolsó harmadába esik.

2. Legyen valamilyen mennyiség sokszoros mérése, azaz előállítása n ennek a mennyiségnek az egyedi mérése Egy x 1 , A x 2 ,...,Egy x 3 .

Ezután az abszolút hiba kiszámításához a következő műveleteket hajtjuk végre:

1) a (B.5) képlet segítségével határozza meg a számtani középértéket A 0 mért érték;

2) számítsa ki az egyes mérések négyzetes eltéréseinek összegét a talált számtani átlagtól, és a (B.6) képlet segítségével határozza meg a négyzetes középhibát, amely egy mérés abszolút hibáját jellemzi egy bizonyos érték többszöri közvetlen mérése esetén ;

3) az ε relatív hibát a (B.2) képlet segítségével számítjuk ki.

Abszolút és relatív hiba számítása

Közvetett méréssel

A közvetett mérések hibáinak kiszámítása nehezebb feladat, mivel ebben az esetben a kívánt érték más segédmennyiségek függvénye, amelyek mérése hibák megjelenésével jár. Általában a méréseknél a tévedésektől eltekintve a véletlenszerű hibák nagyon kicsinek bizonyulnak a mért értékhez képest. Olyan kicsik, hogy a második vagy több magas fokok A hibák túlmutatnak a mérési pontosságon, és elhanyagolhatóak. A hibák kicsinysége miatt megkapjuk a hibaképletet
a differenciálszámítás módszerei közvetetten mért mennyiség mérésére szolgálnak. Egy mennyiség közvetett mérésekor, amikor a kívánt matematikai összefüggéshez tartozó mennyiségeket közvetlenül mérik, kényelmesebb először meghatározni a relatív hibát, majd
A talált relatív hiba felhasználásával számítsa ki az abszolút mérési hibát!

A differenciálszámítás biztosítja a legegyszerűbb módot a közvetett mérés relatív hibájának meghatározására.

Hagyja a kívánt mennyiséget A funkcionális függőség köti össze több független, közvetlenül mérhető mennyiséggel x 1 ,
x 2 , ..., x k, azaz

A= f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Az érték relatív hibájának meghatározása A vegyük az egyenlőség mindkét oldalának természetes logaritmusát

ln A= log f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Ezután a különbség kiszámításra kerül természetes logaritmus funkciókat
A= f(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln A=dln f(x 1 , x 2 , ..., x k)

Az eredményül kapott kifejezésben minden lehetséges algebrai transzformációt és egyszerűsítést végrehajtunk. Ezt követően az összes d differenciálszimbólumot D hibaszimbólumra cseréljük, a független változók differenciáljei előtti negatív előjeleket pedig pozitívra, vagyis a legkedvezőtlenebb esetet vesszük, amikor az összes hibát összeadjuk. Ebben az esetben az eredmény maximális hibája kerül kiszámításra.

Ezzel mondva

de ε = D A / A

Ez a kifejezés a mennyiség relatív hibájának képlete A indirekt méréseknél a kívánt érték relatív hibáját határozza meg, a mért értékek relatív hibáin keresztül. A relatív hiba kiszámítása után a (B.11) képlet segítségével,
határozza meg az érték abszolút hibáját A mint a relatív hiba és a számított érték szorzata A azaz

D A = ε A, (12-KOR)

ahol ε dimenzió nélküli számként van kifejezve.

Tehát a közvetetten mért mennyiség relatív és abszolút hibáit a következő sorrendben kell kiszámítani:

1) vegyen egy képletet, amellyel a kívánt értéket kiszámítja (számítási képlet);

2) vegye fel a számítási képlet mindkét oldalának természetes logaritmusát;

3) kiszámítja a kívánt mennyiség természetes logaritmusának teljes differenciáját;

4) az összes lehetséges algebrai transzformációt és egyszerűsítést végrehajtjuk a kapott kifejezésben;

5) a d differenciálok szimbólumát a D hiba jelére cseréljük, míg a független változók differenciáljei előtti minden negatív előjelet pozitívra cseréljük (a relatív hiba értéke maximális lesz), és a relatív hibaképlet szerzett;

6) kiszámítják a mért érték relatív hibáját;

7) a számított relatív hiba alapján kiszámítjuk az abszolút hibát közvetett mérés a (B.12) képlet szerint.

Nézzünk meg néhány példát a közvetett mérések relatív és abszolút hibáinak kiszámítására.

1. Szükséges mennyiség A közvetlenül mérhető mennyiségekkel kapcsolatos x, nál nél, z hányados

Ahol aÉs b– állandó értékek.

2. Vegyük a kifejezés természetes logaritmusát (B.13)

3. Számítsa ki a kívánt mennyiség természetes logaritmusának teljes differenciáját! A, azaz megkülönböztetünk (B.13)

4. Átalakításokat végzünk. Tekintettel arra, hogy d A= 0, mivel A= const,cos nál nél/bűn y=ctg y, kapunk:

5. Cserélje ki a differenciál jeleket hibaszimbólumokra, a mínusz jelet pedig a differenciálmű előtt pluszjelre.

6. Kiszámoljuk a mért érték relatív hibáját.

7. A számított relatív hiba alapján a közvetett mérés abszolút hibáját a (B.12) képlet alapján számítjuk ki, azaz.

A hullámhossz meghatározva sárga szín a higany spektrális vonala segítségével diffrakciós rács(az elfogadott sorrendet használva a sárga hullámhossz relatív és abszolút hibáinak kiszámításához).

1. A sárga szín hullámhosszát ebben az esetben a következő képlet határozza meg:

Ahol VAL VEL– a diffrakciós rács állandója (közvetetten mért érték); φ w – a sárga vonal diffrakciós szöge in ebben a sorrendben spektrum (közvetlenül mért mennyiség); K g – a spektrum sorrendje, amelyben a megfigyelést végezték.

A diffrakciós rácsállandót a képlet számítja ki

Ahol K h – a zöld vonal spektrumának sorrendje; λ з – a zöld szín ismert hullámhossza (λ з – állandó); φз – a zöld vonal diffrakciós szöge adott spektrális sorrendben (közvetlenül mért érték).

Ezután a (B.15) kifejezés figyelembevételével

(B.16)

Ahol K h, K g – megfigyelhetőek, amelyeket állandónak tekintünk; φ h, φ w – vannak
közvetlenül mérhető mennyiségek.

A (B.16) kifejezés a diffrakciós ráccsal meghatározott sárga hullámhossz számítási képlete.

4. d K z = 0; d K w = 0; dλ з = 0, mivel K h, K g és λ h – állandó értékek;

Akkor

5. (B.17)

ahol Dφ w, Dφ h – abszolút hibák a sárga diffrakciós szög mérésében
és a spektrum zöld vonalai.

6. Számítsa ki a sárga hullámhossz relatív hibáját!

7. Számítsa ki a sárga hullámhossz abszolút hibáját:

Dλ f = ελ f.

A mérési eredmények hibáinak becslése

Mérési hibák és típusaik

Bármilyen mérést mindig olyan hibákkal végeznek, amelyek a mérőműszerek korlátozott pontosságával, a mérési módszer helytelen megválasztásával és hibájával, a kísérletvezető fiziológiájával, a mérendő objektumok jellemzőivel, a mérési körülmények változásával stb. kapcsolatosak. A mérési feladat nemcsak magát az értéket tartalmazza, hanem a mérési hibát is, vagyis azt az intervallumot, amelyben a mért mennyiség valódi értéke a legvalószínűbb. Például ha egy t időtartamot mérünk egy stopperórával, amelynek osztásértéke 0,2 s, akkor azt mondhatjuk, hogy a valódi értéke a https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131 intervallumban van. .gif" width="85 " height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> és X a vizsgált mennyiség valódi és mért értékei, illetőleg. A mennyiséget ún abszolút hiba mérés (hiba) és a kifejezés , amely a mérési pontosságot jellemzi, ún relatív hiba.

Teljesen természetes, hogy a kísérletező minden mérést az elérhető legnagyobb pontossággal akar elvégezni, de ez a megközelítés nem mindig tanácsos. Minél pontosabban szeretnénk megmérni ezt vagy azt a mennyiséget, minél bonyolultabb műszereket kell használnunk, annál több időt igényelnek ezek a mérések. Ezért a végeredmény pontosságának meg kell felelnie a kísérlet céljának. A hibaelmélet ajánlásokat ad a mérések végzésére és az eredmények feldolgozására úgy, hogy a hiba minimális legyen.

A mérések során fellépő összes hibát általában három típusra osztják - szisztematikus, véletlenszerű és kihagyások, vagy durva hibák.

Szisztematikus hibák az eszközök korlátozott gyártási pontossága (műszerhibák), a választott mérési módszer hiányosságai, a számítási képlet pontatlansága, a készülék helytelen telepítése stb. okozzák. A szisztematikus hibákat tehát olyan tényezők okozzák, amelyek azonos módon hatnak, amikor ugyanazokat a méréseket többször megismételjük. Ennek a hibának a nagysága szisztematikusan megismétlődik, vagy egy bizonyos törvény szerint változik. Egyes szisztematikus hibák kiküszöbölhetők (a gyakorlatban ez mindig könnyen elérhető) a mérési módszer megváltoztatásával, a műszerleolvasások korrekcióinak bevezetésével, valamint a külső tényezők állandó hatásának figyelembe vételével.

Bár a szisztematikus (műszeres) hiba az ismételt méréseknél eltérést ad a mért értéktől igaz értelme egyféleképpen, soha nem tudjuk, melyik irányba. Ezért a műszerhiba kettős előjellel van írva

Véletlenszerű hibák nagyszámú véletlenszerű ok okozza (hőmérséklet-változás, nyomásváltozás, épületremegés stb.), amelyeknek az egyes mérésekre gyakorolt ​​hatásai eltérőek és előre nem vehetőek figyelembe. Véletlenszerű hibák is előfordulnak a kísérletező érzékszerveinek tökéletlensége miatt. A véletlenszerű hibák közé tartoznak azok a hibák is, amelyeket a mért objektum tulajdonságai okoznak.

Az egyes mérések véletlenszerű hibáinak kizárása lehetetlen, de több mérés elvégzésével csökkenthető ezeknek a hibáknak a végeredményre gyakorolt ​​hatása. Ha a véletlenszerű hiba lényegesen kisebbnek bizonyul, mint a műszeres (szisztematikus) hiba, akkor nincs értelme tovább csökkenteni az értéket. véletlenszerű hiba a mérések számának növelésével. Ha a véletlenszerű hiba nagyobb, mint a műszerhiba, akkor a mérések számát növelni kell, hogy a véletlenszerű hiba értéke csökkenjen, és kisebb legyen, vagy azzal azonos nagyságrendű legyen.

Hibák vagy baklövések- ezek hibás leolvasások a készüléken, a leolvasás helytelen rögzítése stb. A jelzett okok által okozott hibák általában jól észrevehetők, mivel a megfelelő leolvasások élesen eltérnek a többi leolvasástól. A hiányosságokat ellenőrző mérésekkel kell kiküszöbölni. Így annak az intervallumnak a szélességét, amelyben a mért mennyiségek valódi értékei vannak, csak véletlenszerű és szisztematikus hibák határozzák meg.

2. A szisztematikus (műszeres) hiba becslése

Közvetlen mérésekhez a mért mennyiség értékét közvetlenül a mérőeszköz skáláján számolják. A leolvasás hibája elérheti a skálaosztás több tizedét is. Általában az ilyen méréseknél a szisztematikus hiba a mérőműszer skálaosztásának felével egyenlő. Például 0,05 mm-es osztásértékű tolómérővel történő méréskor a műszer mérési hibájának értéke 0,025 mm.

Digitális mérőműszerek hibával adja meg az általuk mért mennyiségek értékét, egyenlő az értékkel a műszerskála utolsó számjegyének egy egysége. Tehát, ha egy digitális voltmérő 20,45 mV értéket mutat, akkor az abszolút mérési hiba egyenlő mV-tal.

Szisztematikus hibák a táblázatokból meghatározott állandó értékek használatakor is előfordulnak. Ilyen esetekben a hiba az utolsó jelentős számjegy felével egyenlő. Például, ha a táblázatban az acélsűrűség értéke 7,9∙103 kg/m3, akkor az abszolút hiba ebben az esetben egyenlő: https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">képletet használunk

, (1)

ahol a https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24"> a függvény részleges származékai a https://pandia változóhoz képest. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Változók részleges deriváltjai dÉs h egyenlő lesz

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Így a henger térfogatának mérése során az abszolút szisztematikus hiba meghatározására szolgáló képlet a következő formájú:

,

hol és vannak műszerhibák a henger átmérőjének és magasságának mérésekor

3. A véletlen hiba becslése.

Konfidenciaintervallum és konfidenciavalószínűség

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - véletlenszerű hibák (hibák) eloszlásfüggvénye, amely a hiba valószínűségét jellemzi, σ – átlagos négyzetes hiba.

A σ mennyiség nem véletlen változó, és a mérési folyamatot jellemzi. Ha a mérési feltételek nem változnak, akkor σ marad állandó érték. Ennek a mennyiségnek a négyzetét ún mérési diszperzió. Minél kisebb a szórás, annál kisebb az egyedi értékek szórása és annál nagyobb a mérési pontosság.

A σ négyzetes hiba pontos értéke, valamint a mért érték valódi értéke ismeretlen. Ennek a paraméternek van egy úgynevezett statisztikai becslése, amely szerint az átlagos négyzetes hiba megegyezik a számtani átlag négyzetes átlaghibájával. Amelynek értékét a képlet határozza meg

, (3)

ahol https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> a kapott értékek számtani átlaga; n– mérések száma.

Hogyan nagyobb szám minél kevesebb a https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src="> és a véletlenszerű abszolút hiba, akkor a mérési eredmény https ://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> -hoz formában írt, amely a mért mennyiség μ valós értékét tartalmazza, ún. megbízhatósági intervallum. Mivel a https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> közel van σ-hez. A konfidenciaintervallum és a konfidenciavalószínűség meghatározásához egy kis számú mérést alkalmazunk, amellyel a laboratóriumi munka során foglalkozunk Tanulói valószínűségi eloszlás. Ez a valószínűségi eloszlás valószínűségi változó, hívott Hallgatói együttható, megadja a konfidencia intervallum értékét a számtani átlag négyzetes középhibájának törtrészében.

Ennek a mennyiségnek a valószínűségi eloszlása ​​nem függ σ2-től, de jelentősen függ a kísérletek számától n. A kísérletek számának növekedésével n a Student-eloszlás a Gauss-eloszlásra irányul.

Az eloszlásfüggvény táblázatos (1. táblázat). A Student-együttható értéke a mérések számának megfelelő egyenes metszéspontjában van n, és az α konfidenciavalószínűségnek megfelelő oszlop

Asztal 1.

A táblázat adatainak felhasználásával a következőket teheti:

1) határozza meg a konfidencia intervallumot, adott valószínűséggel;

2) válasszon konfidenciaintervallumot, és határozza meg a konfidenciavalószínűséget.

Közvetett méréseknél a függvény számtani középértékének négyzetes középhibája képlettel számítjuk ki

. (5)

A konfidencia intervallum és a konfidenciavalószínűség meghatározása ugyanúgy történik, mint a közvetlen méréseknél.

A teljes mérési hiba becslése. Rögzítse a végeredményt.

Az X érték mérési eredményének teljes hibája a szisztematikus és véletlenszerű hibák négyzetes középértékeként kerül meghatározásra.

, (6)

Ahol δх – műszerhiba, Δ x- véletlenszerű hiba.

X lehet közvetlenül vagy közvetve mért mennyiség.

, α=…, E=… (7)

Szem előtt kell tartani, hogy maguk a hibaelméleti formulák érvényesek nagyszámú mérések. Ezért a véletlen értéke, és így a teljes hiba is kicsiben van meghatározva n nagy hibával. A Δ kiszámításakor x a mérések számának mérésekor ajánlatos egy szignifikáns számot korlátozni, ha ez több mint 3, és kettőt, ha az első meghatározó alak kisebb mint 3. Például ha Δ x= 0,042, akkor eldobjuk a 2-t és Δ-t írunk x=0,04, és ha Δ x=0,123, akkor Δ-t írunk x=0,12.

Az eredmény számjegyeinek számának és a teljes hibának azonosnak kell lennie. Ezért a hiba számtani átlagának meg kell egyeznie. Ezért a számtani átlagot először a mérésnél egy számjeggyel többre számítják ki, majd az eredmény rögzítésekor az értékét a teljes hiba számjegyeinek számára finomítják.

4. A mérési hibák számításának módszertana.

A közvetlen mérések hibái

A közvetlen mérések eredményeinek feldolgozása során a következő műveleti sorrendet javasolt átvenni.

Mérések a megadott fizikai paraméter n alkalommal azonos feltételek mellett,és az eredményeket táblázatban rögzítjük. Ha egyes mérések eredményei nagymértékben eltérnek más mérésektől, akkor azokat el kell hagyni, ha az ellenőrzés után nem erősítik meg őket. n azonos mérés számtani középértékét számítjuk ki. Ez a mért mennyiség legvalószínűbb értéke

Meghatározzuk az egyes mérések abszolút hibáit, és kiszámítjuk az egyes mérések abszolút hibáinak négyzetét (Δ x i)2 Meghatározzuk a számtani átlag négyzetes középhibáját

.

Az α megbízhatósági valószínűség értéke be van állítva. A műhelylaboratóriumokban α=0,95-öt szokás beállítani. Meghatározzuk a Student együtthatót adott α konfidenciavalószínűséghez és a mérések számához (lásd a táblázatot).

Meghatározzák a teljes hibát

Megbecsüljük a mérési eredmény relatív hibáját

.

A végeredmény a formába van írva

C α=… E=…%.

5. A közvetett mérések hibája

Egy közvetetten mért érték valódi értékének felmérésekor https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24"> két módszer használható.

Első út akkor használjuk, ha az érték y meghatározva at különböző feltételek tapasztalat. Ebben az esetben minden egyes értékre kiszámítják , majd meghatározzuk az összes érték számtani középértékét yi

A szisztematikus (műszeres) hiba az összes mérés ismert műszeres hibái alapján kerül megállapításra a képlet segítségével. A véletlenszerű hiba ebben az esetben a közvetlen mérés hibája.

Második út akkor érvényes, ha ez a funkció y többször meghatározva ugyanazokkal a méretekkel..gif" width="75" height="24">. A mi laboratóriumi műhely gyakrabban alkalmazzák a közvetetten mért mennyiség meghatározásának második módszerét y. A szisztematikus (műszeres) hibát, mint az első módszernél, az összes mérés ismert műszeres hibái alapján találjuk meg a képlet segítségével

. (10)

Egy közvetett mérés véletlenszerű hibájának meghatározásához először az egyes mérések számtani átlagának négyzetes középhibáit kell kiszámítani. Ekkor az érték négyzetes középhibáját találjuk y. Az α megbízhatósági valószínűség beállítása, a Student-együttható megtalálása https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, ahol α=… E=…% .

6. Példa laboratóriumi munkatervre

1. sz. laboratóriumi munka

A HENGER TÉRFOGAT MEGHATÁROZÁSA

Kiegészítők: tolómérő 0,05 mm osztásértékű, mikrométer 0,01 mm osztásértékű, hengeres test.

A munka célja: a legegyszerűbb fizikai mérések megismerése, henger térfogatának meghatározása, direkt és közvetett mérések hibaszámítása.

Mérje meg a henger átmérőjét legalább 5-ször tolómérővel, a magasságát pedig mikrométerrel.

Számítási képlet egy henger térfogatának kiszámításához

ahol d a henger átmérője; h – magasság.

Mérési eredmények

2. táblázat.

Mérés sz.
5.4. A teljes hiba kiszámítása Abszolút hiba ; . 5. Relatív hiba, vagy mérési pontosság ; E = 0,5%. 6. Rögzítse a végeredményt A vizsgált érték végeredménye az űrlapba van írva Jegyzet. A végső rögzítésnél az eredmény és az abszolút hiba számjegyeinek azonosnak kell lenniük. 6. A mérési eredmények grafikus ábrázolása A fizikai mérések eredményeit nagyon gyakran grafikus formában mutatják be. A grafikonoknak számos fontos előnye és értékes tulajdonsága van: a) lehetővé teszi a funkcionális függőség típusának és érvényességi határainak meghatározását; b) lehetővé teszi a kísérleti adatok egyértelmű összehasonlítását az elméleti görbével; c) gráf felépítésénél kisimítják a függvény során a véletlenszerű hibákból adódó ugrásokat; d) lehetővé teszi bizonyos mennyiségek meghatározását, vagy grafikus differenciálást, integrálást, egyenletmegoldást stb. A grafikonokat általában speciális papírra készítik (milliméteres, logaritmikus, féllogaritmikus). Szokásos a független változót a vízszintes tengely mentén ábrázolni, azaz azt az értéket, amelynek értékét maga a kísérletező állítja be, és a függőleges tengely mentén - az általa meghatározott értéket. Ne feledje, hogy a koordinátatengelyek metszéspontja nem kell, hogy egybeessen x és y nulla értékével. A koordináták origójának kiválasztásakor ügyeljen arra, hogy a rajz teljes területe teljesen ki legyen használva (2. ábra). A grafikon koordinátatengelyein nemcsak a mennyiségek nevei vagy szimbólumai, hanem a mértékegységeik is fel vannak tüntetve. A koordinátatengelyek skáláját úgy kell megválasztani, hogy a mért pontok a lap teljes területén helyezkedjenek el. Ebben az esetben a léptéknek egyszerűnek kell lennie, hogy a pontok grafikonon történő ábrázolásakor ne kelljen fejben számtani számításokat végeznie. A grafikonon a kísérleti pontokat pontosan és világosan kell ábrázolni. Célszerű a különböző kísérleti körülmények között (például fűtés és hűtés) kapott pontokat különböző színekkel vagy különböző szimbólumokkal ábrázolni. Ha ismert a kísérlet hibája, akkor pont helyett jobb egy keresztet vagy téglalapot ábrázolni, amelynek a tengelyek mentén mért méretei megfelelnek ennek a hibának. Nem ajánlott a kísérleti pontokat szaggatott vonallal összekötni egymással. A grafikonon a görbét simán kell megrajzolni, ügyelve arra, hogy a kísérleti pontok a görbe felett és alatt egyaránt elhelyezkedjenek, ahogy az a 3. ábrán látható. A gráfok készítésekor az egységes léptékű koordinátarendszer mellett úgynevezett funkcionális skálákat alkalmaznak. A megfelelő x és y függvények kiválasztásával egyszerűbb vonalat kaphatunk a grafikonon, mint a hagyományos konstrukcióval. Ez gyakran szükséges egy adott grafikon képletének kiválasztásakor a paraméterek meghatározásához. A funkcionális skálákat olyan esetekben is használják, amikor a grafikonon a görbe bármely szakaszát meg kell nyújtani vagy le kell rövidíteni. A leggyakrabban használt funkcionális skála a logaritmikus skála (4. ábra).