még, ha a definíciós tartományából származó összes \(x\)-re igaz: \(f(-x)=f(x)\) .

Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az \(y\) tengelyre:

Példa: a \(f(x)=x^2+\cos x\) függvény páros, mert \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) A \(f(x)\) függvény meghívásra kerül páratlan, ha a definíciós tartományából származó összes \(x\)-re igaz: \(f(-x)=-f(x)\) .

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra:

Példa: az \(f(x)=x^3+x\) függvény páratlan, mert \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Azokat a függvényeket, amelyek se nem párosak, se nem páratlanok, általános alakú függvényeknek nevezzük. Egy ilyen függvény mindig egyedileg ábrázolható egy páros és egy páratlan függvény összegeként.

Például az \(f(x)=x^2-x\) függvény a páros \(f_1=x^2\) és a páratlan \(f_2=-x\) függvény összege.

\(\fekete háromszögjobb\) Néhány tulajdonság:

1) Azonos paritású két függvény szorzata és hányadosa páros függvény.

2) Két különböző paritású függvény szorzata és hányadosa páratlan függvény.

3) Páros függvények összege és különbsége – páros függvény.

4) Páratlan függvények összege és különbsége – páratlan függvény.

5) Ha \(f(x)\) páros függvény, akkor az \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) egyenletnek akkor és csak akkor van egyedi gyöke, ha \( x =0\) .

6) Ha \(f(x)\) páros vagy páratlan függvény, és az \(f(x)=0\) egyenletnek \(x=b\) gyöke van, akkor ennek az egyenletnek szükségszerűen lesz egy második. gyökér \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Az \(f(x)\) függvényt periodikusnak nevezzük \(X\)-en, ha valamilyen \(T\ne 0\) számra a következő teljesül: \(f(x)=f( x+T) \) , ahol \(x, x+T\in X\) . A legkisebb \(T\), amelyre ez az egyenlőség teljesül, a függvény fő (fő) periódusának nevezzük.

A periodikus függvény tetszőleges számú \(nT\) alakú, ahol a \(n\in \mathbb(Z)\) is pont lesz.

Példa: bármely trigonometrikus függvény periodikus;
a \(f(x)=\sin x\) és \(f(x)=\cos x\) függvények fő periódusa egyenlő \(2\pi\), a \(f(x) függvények )=\mathrm( tg)\,x\) és \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) a fő periódus egyenlő \(\pi\) .

Egy periódusos függvény grafikonjának elkészítéséhez a grafikonját bármely \(T\) (főperiódus) hosszúságú szegmensre ábrázolhatja; akkor a teljes függvény grafikonját úgy fejezzük be, hogy a megszerkesztett részt egész számú periódussal eltolja jobbra és balra:

\(\blacktriangleright\) Az \(f(x)\) függvény \(D(f)\) tartománya az \(x\) argumentum összes értékéből álló halmaz, amelyre a függvénynek értelme van (meg van határozva).

Példa: az \(f(x)=\sqrt x+1\) függvény definíciós tartománya: \(x\in

1. feladat #6364

Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő

Az \(a\) paraméter mely értékeinél érvényesül az egyenlet

van egyetlen megoldás?

Vegye figyelembe, hogy mivel \(x^2\) és \(\cos x\) páros függvények, ha az egyenletnek \(x_0\) gyöke van, akkor \(-x_0\) gyöke is lesz.
Valóban, legyen \(x_0\) gyök, vagyis az egyenlőség \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) jobb. Cseréljük be a \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Így ha \(x_0\ne 0\) , akkor az egyenletnek már legalább két gyöke lesz. Ezért \(x_0=0\) . Akkor:

A \(a\) paraméterhez két értéket kaptunk. Vegye figyelembe, hogy azt a tényt használtuk, hogy \(x=0\) pontosan az eredeti egyenlet gyöke. De soha nem használtuk fel, hogy ő az egyetlen. Ezért be kell cserélnie az \(a\) paraméter eredő értékeit az eredeti egyenletbe, és ellenőriznie kell, hogy melyik konkrét \(a\) esetében lesz valóban egyedi a \(x=0\) gyökér.

1) Ha \(a=0\) , akkor az egyenlet a következő formában lesz: \(2x^2=0\) . Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek csak egy gyöke van \(x=0\) . Ezért a \(a=0\) érték megfelel nekünk.

2) Ha \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , akkor az egyenlet a következőt veszi fel \ Írjuk át az egyenletet a formába \ Mert \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Azt \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Következésképpen a (*) egyenlet jobb oldalának értékei a szegmenshez tartoznak \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Mivel \(x^2\geqslant 0\) , akkor a (*) egyenlet bal oldala nagyobb vagy egyenlő, mint \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Így a (*) egyenlőség csak akkor lehet igaz, ha az egyenlet mindkét oldala egyenlő \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Ez pedig azt jelenti \[\begin(esetek) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Ezért a \(a=-\mathrm(tg)\,1\) érték megfelel nekünk.

Válasz:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

2. feladat #3923

Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő

Keresse meg az \(a\) paraméter összes értékét, amelyek mindegyikéhez a függvény grafikonját \

szimmetrikus az eredetre.

Ha egy függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest, akkor az ilyen függvény páratlan, azaz \(f(-x)=-f(x)\) a tartomány bármely \(x\) függvényére érvényes a funkció meghatározásáról. Így meg kell találni azokat a paraméterértékeket, amelyekre \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(igazított) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(igazított)\]

Az utolsó egyenletnek teljesülnie kell az \(f(x)\ tartományból származó összes \(x\)-re, ezért \(\sin(2\pi a)=0 \Jobbra a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Válasz:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

3. feladat #3069

Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő

Keresse meg az \(a\) paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére a \ egyenletnek 4 megoldása van, ahol \(f\) egy páros periodikus függvény \(T=\dfrac(16)3\ periódussal) definiálva a teljes számegyenesen , és \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Feladat az előfizetőktől)

Mivel \(f(x)\) páros függvény, grafikonja szimmetrikus az ordinátatengelyre, ezért amikor \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Így mikor \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), és ez egy \(\dfrac(16)3\) hosszúságú szegmens, \(f(x)=ax^2\) függvény.

1) Legyen \(a>0\) . Ekkor az \(f(x)\) függvény grafikonja így fog kinézni:


Ekkor ahhoz, hogy az egyenletnek 4 megoldása legyen, szükséges, hogy a \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) gráf átmenjen a \(A\) ponton:


Ennélfogva, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(igazított)\end(összegyűjtött)\jobbra. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(igazított) \end( összegyűjtve)\jobbra.\] Mivel \(a>0\) , akkor \(a=\dfrac(18)(23)\) megfelelő.

2) Legyen \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Szükséges, hogy a \(g(x)\) gráf átmenjen a \(B\) ponton: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(összegyűjtött)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(igazított) \end(összegyűjtött)\jobbra.\] Mivel \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Az az eset, amikor \(a=0\) nem megfelelő, mivel ekkor \(f(x)=0\) minden \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) és az egyenletnek csak 1 gyöke lesz.

Válasz:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

4. feladat #3072

Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő

Keresse meg \(a\) összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenlet \

legalább egy gyökere van.

(Feladat az előfizetőktől)

Írjuk át az egyenletet a formába \ és vegyünk két függvényt: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) és \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
A \(g(x)\) függvény páros, és minimumpontja \(x=0\) (és \(g(0)=49\) ).
Az \(f(x)\) függvény \(x>0\) esetén csökken, \(x) esetén<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Valójában, amikor \(x>0\) a második modul pozitívan fog megnyílni (\(|x|=x\) ), ezért függetlenül attól, hogy az első modul hogyan nyílik meg, \(f(x)\) egyenlő lesz \(kx+A\)-ra, ahol \(A\) a \(a\) kifejezése, a \(k\) pedig egyenlő a \(-9\) vagy \(-3\) értékkel. Amikor \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Keressük meg a \(f\) értékét a maximális pontban: \

Ahhoz, hogy az egyenletnek legalább egy megoldása legyen, szükséges, hogy a \(f\) és \(g\) függvények grafikonjainak legyen legalább egy metszéspontja. Ezért szüksége van: \ \\]

Válasz:

\(a\in \(-7\)\pohár\)

5. feladat #3912

Feladatszint: Egységes államvizsgával egyenlő

Keresse meg az \(a\) paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenlet \

hat különböző megoldással rendelkezik.

Tegyük a \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) cserét. Ekkor az egyenlet alakját veszi fel \ Fokozatosan írjuk fel azokat a feltételeket, amelyek mellett az eredeti egyenletnek hat megoldása lesz.
Vegye figyelembe, hogy a \((*)\) másodfokú egyenletnek legfeljebb két megoldása lehet. Egy \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) köbös egyenletnek legfeljebb három megoldása lehet. Ezért, ha a \((*)\) egyenletnek két különböző megoldása van (pozitív!, mivel \(t\) nagyobbnak kell lennie nullánál) \(t_1\) és \(t_2\) , akkor fordítva helyettesítéssel kapjuk: \[\left[\begin(összegyűjtve)\begin(igazított) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(igazított)\end(összegyűjtött)\jobbra.\] Mivel bármely pozitív szám bizonyos mértékig \(\sqrt2\)-ként ábrázolható, pl. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), akkor a halmaz első egyenlete átíródik a formába \ Ahogy már mondtuk, egy köbegyenletnek legfeljebb három megoldása van, ezért a halmazban minden egyenletnek legfeljebb három megoldása lesz. Ez azt jelenti, hogy a teljes készlet legfeljebb hat megoldást tartalmaz.
Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy az eredeti egyenletnek hat megoldása legyen, a \((*)\) másodfokú egyenletnek két különböző megoldást kell tartalmaznia, és minden kapott (a halmazból származó) köbegyenletnek három különböző megoldást kell tartalmaznia (és nem az egyik egyenletnek egybe kell esnie bármely -a második döntése alapján!)
Nyilvánvaló, hogy ha a \((*)\) másodfokú egyenletnek egy megoldása van, akkor nem kapunk hat megoldást az eredeti egyenletre.

Így világossá válik a megoldási terv. Írjuk fel pontról pontra, hogy milyen feltételeknek kell megfelelni.

1) Ahhoz, hogy a \((*)\) egyenletnek két különböző megoldása legyen, a diszkriminánsának pozitívnak kell lennie: \

2) Az is szükséges, hogy mindkét gyök pozitív legyen (mivel \(t>0\) ). Ha két gyök szorzata pozitív és összegük pozitív, akkor maguk a gyökök is pozitívak lesznek. Ezért szüksége van: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Így már biztosítottunk magunknak két különböző pozitív gyöket \(t_1\) és \(t_2\) .

3) Nézzük meg ezt az egyenletet \ Mire \(t\) lesz három különböző megoldása?
Tekintsük a \(f(x)=x^3-3x^2+4\) függvényt.
Tényezhető: \ Ezért a nullái: \(x=-1;2\) .
Ha megtaláljuk a \(f"(x)=3x^2-6x\) deriváltot, akkor két szélsőpontot kapunk: \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Ezért a grafikon így néz ki:


Látjuk, hogy bármely vízszintes vonal \(y=k\) , ahol \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) három különböző megoldása volt, szükséges, hogy \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Tehát szüksége van: \[\begin(esetek) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Azt is azonnal jegyezzük meg, hogy ha a \(t_1\) és \(t_2\) számok különböznek, akkor a \(\log_(\sqrt2)t_1\) és \(\log_(\sqrt2)t_2\) eltérő, ami az egyenleteket jelenti \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)És \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) különböző gyökerei lesznek.
A \((**)\) rendszer a következőképpen írható át: \[\begin(esetek) 1

Így megállapítottuk, hogy a \((*)\) egyenlet mindkét gyökének a \((1;4)\) intervallumban kell lennie. Hogyan kell írni ezt a feltételt?
A gyökereket nem írjuk le kifejezetten.
Tekintsük a \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) függvényt. Grafikája egy felfelé ágazó parabola, amelynek két metszéspontja van az x tengellyel (ezt a feltételt az 1. bekezdésben írtuk le). Hogyan nézzen ki a grafikonja, hogy az x tengellyel való metszéspontok a \((1;4)\) intervallumban legyenek? Így:


Először is a függvény \(g(1)\) és \(g(4)\) értékeinek az \(1\) és \(4\) pontokban pozitívnak kell lenniük, másodszor pedig a függvény csúcsának kell lennie. a \(t_0\ ) parabolának szintén a \((1;4)\) intervallumban kell lennie. Ezért felírhatjuk a rendszert: \[\begin(esetek) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) mindig legalább egy gyökérrel rendelkezik \(x=0\) . Ez azt jelenti, hogy a feladat feltételeinek teljesítéséhez szükséges az egyenlet \

négy különböző, nullától eltérő gyöke volt, és \(x=0\) együtt egy aritmetikai progressziót jelent.

Vegye figyelembe, hogy az \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) függvény páros, ami azt jelenti, hogy ha \(x_0\) a \() egyenlet gyöke (*)\ ) , akkor \(-x_0\) is a gyöke lesz. Ekkor szükséges, hogy ennek az egyenletnek a gyökei növekvő sorrendben lévő számok legyenek: \(-2d, -d, d, 2d\) (akkor \(d>0\)). Ekkor ez az öt szám egy aritmetikai sorozatot alkot (\(d\) különbséggel).

Ahhoz, hogy ezek a gyökök a \(-2d, -d, d, 2d\) számok legyenek, szükséges, hogy a \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) számok legyenek a \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) egyenlet. Ezután Vieta tétele szerint:

Írjuk át az egyenletet a formába \ és vegyünk két függvényt: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) és \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
A \(g(x)\) függvény maximális pontja \(x=0\) (és \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulla derivált: \(x=0\) . Amikor \(x<0\) имеем: \(g">0\) , \(x>0\) esetén: \(g"<0\) .
Az \(f(x)\) függvény \(x>0\) esetén növekszik, \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Valójában, amikor \(x>0\) az első modul pozitívan fog megnyílni (\(|x|=x\)), ezért függetlenül attól, hogy a második modul hogyan nyílik meg, \(f(x)\) egyenlő lesz \(kx+A\)-ra, ahol \(A\) az \(a\) kifejezése, és \(k\) egyenlő vagy \(13-10=3\) vagy \(13+10) =23\) . Amikor \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Keressük meg a \(f\) értékét a minimum pontban: \

Ahhoz, hogy az egyenletnek legalább egy megoldása legyen, szükséges, hogy a \(f\) és \(g\) függvények grafikonjainak legyen legalább egy metszéspontja. Ezért szüksége van: \ Ezt a rendszerkészletet megoldva a választ kapjuk: \\]

Válasz:

\(a\in \(-2\)\pohár\)

Egy függvény páratlansága és páratlansága az egyik fő tulajdonsága, és a paritás az iskolai matematika kurzus lenyűgöző részét foglalja el. Nagymértékben meghatározza a függvény viselkedését, és nagyban megkönnyíti a megfelelő gráf felépítését.

Határozzuk meg a függvény paritását. Általánosságban elmondható, hogy a vizsgált függvényt akkor is figyelembe kell venni, ha a definíciós tartományában található független változó (x) ellentétes értékei esetén az y (függvény) megfelelő értékei egyenlőnek bizonyulnak.

Adjunk egy szigorúbb definíciót. Tekintsünk néhány f (x) függvényt, amely a D tartományban van definiálva. Ez akkor is így lesz, ha bármely, a definíciós tartományban található x pontra:

• -x (ellentétes pont) is ebbe a körbe tartozik,

• f(-x) = f(x).

A fenti definícióból következik az ilyen függvény definíciós tartományához szükséges feltétel, nevezetesen a szimmetria az O ponthoz képest, amely a koordináták origója, hiszen ha valamelyik b pont benne van egy páros definíciós tartományában. függvényt, akkor a megfelelő b pont is ebben a tartományban található. A fentiekből tehát az következik: a páros függvénynek az ordináta tengelyére (Oy) szimmetrikus alakja van.

Hogyan határozzuk meg egy függvény paritását a gyakorlatban?

Adjuk meg a h(x)=11^x+11^(-x) képlettel. A definícióból közvetlenül következő algoritmust követve először annak definíciós tartományát vizsgáljuk. Nyilvánvalóan az argumentum összes értékére definiálva van, vagyis az első feltétel teljesül.

A következő lépés az (x) argumentum ellentétes értékének (-x) helyettesítése.
Kapunk:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Mivel az összeadás teljesíti a kommutatív (kommutatív) törvényt, nyilvánvaló, hogy h(-x) = h(x) és az adott funkcionális függés páros.

Ellenőrizzük a h(x)=11^x-11^(-x) függvény paritását. Ugyanezt az algoritmust követve azt kapjuk, hogy h(-x) = 11^(-x) -11^x. Kivéve a mínuszt, a végén megvan
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Ezért h(x) páratlan.

Egyébként emlékeztetni kell arra, hogy vannak olyan függvények, amelyeket nem lehet e kritériumok szerint besorolni, nem nevezik sem párosnak, sem páratlannak.

Még a függvényeknek is van számos érdekes tulajdonsága:

• hasonló függvények hozzáadása eredményeként egy párost kapnak;
• az ilyen függvények kivonása eredményeképpen egy párost kapunk;
• páros, szintén páros;
• két ilyen függvény szorzásának eredményeképpen egy párost kapunk;
• a páratlan és páros függvények szorzása eredményeként egy páratlant kapunk;
• a páratlan és páros függvények felosztása eredményeként egy páratlant kapunk;
• egy ilyen függvény deriváltja páratlan;
• Ha négyzetre tesz egy páratlan függvényt, akkor párost kap.

Egy függvény paritása felhasználható egyenletek megoldására.

Egy olyan egyenlet megoldásához, mint a g(x) = 0, ahol az egyenlet bal oldala páros függvény, elég lesz megoldást találni a változó nemnegatív értékeire. Az egyenlet eredő gyökeit az ellenkező számokkal kell kombinálni. Egyikük ellenőrzés alá tartozik.

Ezt sikeresen alkalmazzák egy paraméterrel kapcsolatos nem szabványos problémák megoldására is.

Például van-e olyan értéke az a paraméternek, amelyre a 2x^6-x^4-ax^2=1 egyenletnek három gyöke lesz?

Ha figyelembe vesszük, hogy a változó páros hatványokban lép be az egyenletbe, akkor egyértelmű, hogy az x - x -re cserélése nem változtatja meg az adott egyenletet. Ebből következik, hogy ha egy bizonyos szám a gyöke, akkor az ellenkező szám egyben gyöke is. A következtetés nyilvánvaló: egy egyenlet nullától eltérő gyökerei „párokban” szerepelnek a megoldások halmazában.

Nyilvánvaló, hogy maga a szám nem 0, vagyis egy ilyen egyenlet gyökeinek száma csak páros lehet, és természetesen a paraméter egyetlen értékére sem lehet három gyöke.

De a 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 egyenlet gyökeinek száma páratlan lehet, és a paraméter tetszőleges értékéhez. Valójában könnyű ellenőrizni, hogy ennek az egyenletnek a gyökkészlete „párban” tartalmaz-e megoldásokat. Ellenőrizzük, hogy a 0 gyökér-e. Ha behelyettesítjük az egyenletbe, 2=2-t kapunk. Így a „páros” mellett a 0 is gyök, ami a páratlan számukat bizonyítja.

Megjelenítés elrejtése

Funkció megadásának módszerei

Adjuk meg a függvényt a következő képlettel: y=2x^(2)-3. Ha bármilyen értéket rendel az x független változóhoz, ezzel a képlettel kiszámíthatja az y függő változó megfelelő értékeit. Például, ha x=-0,5, akkor a képlet segítségével azt találjuk, hogy y megfelelő értéke y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Az y=2x^(2)-3 képlet x argumentuma által felvett tetszőleges értéket figyelembe véve a függvénynek csak egy értékét számíthatja ki, amely megfelel neki. A függvény táblázatként ábrázolható:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

A táblázat segítségével láthatja, hogy a −1 argumentumértékhez a −3 függvényérték fog megfelelni; és az x=2 érték y=0-nak felel meg stb. Azt is fontos tudni, hogy a táblázatban minden argumentumérték csak egy függvényértéknek felel meg.

Grafikonok segítségével több függvény is megadható. Grafikon segítségével megállapítható, hogy a függvény melyik értéke korrelál egy adott x értékkel. Leggyakrabban ez a függvény hozzávetőleges értéke.

Páros és páratlan függvény

A funkció az páros funkció, amikor f(-x)=f(x) bármely x esetén a definíciós tartományból. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

A funkció az páratlan függvény, amikor f(-x)=-f(x) bármely x esetén a definíciós tartományból. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az O (0;0) origóra.

A funkció az nem is, sem furcsaés úgy hívják általános funkciója, ha nincs szimmetriája a tengely vagy az origó körül.

Vizsgáljuk meg a következő paritásfüggvényt:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) az origóhoz képest szimmetrikus definíciós tartománnyal. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Ez azt jelenti, hogy az f(x)=3x^(3)-7x^(7) függvény páratlan.

Periodikus funkció

Az y=f(x) függvényt, amelynek tartományában az f(x+T)=f(x-T)=f(x) egyenlőség fennáll bármely x-re, ún. periodikus függvény T \neq 0 periódussal.

Egy függvény grafikonjának megismétlése az x tengely bármely T hosszúságú szakaszán.

Azok az intervallumok, ahol a függvény pozitív, azaz f(x) > 0, az abszcissza tengely azon szakaszai, amelyek megfelelnek a függvénygrafikon abszcissza tengelye feletti pontjainak.

f(x) > 0 be (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervallumok, ahol a függvény negatív, azaz f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Korlátozott funkció

Alulról határolt Szokásos egy y=f(x), x \in X függvényt meghívni, ha van olyan A szám, amelyre az f(x) \geq A egyenlőtlenség fennáll bármely x \in X esetén.

Példa egy alulról korlátos függvényre: y=\sqrt(1+x^(2)), mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 bármely x esetén.

Felülről határolt egy y=f(x), x \in X függvényt akkor hívjuk meg, ha van egy B szám, amelyre az f(x) \neq B egyenlőtlenség fennáll bármely x \in X esetén.

Példa az alábbiakban behatárolt függvényre: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 bármely x \in [-1;1] esetén.

Korlátozott Szokásos egy y=f(x), x \in X függvényt meghívni, ha van olyan K > 0 szám, amelyre a \left | f(x)\jobbra | \neq K bármely x \az X-ben.

Példa egy korlátozott függvényre: y=\sin x a teljes számtengelyen korlátozott, mivel \bal | \sin x \jobbra | \neq 1.

Növekvő és csökkentő funkció

Olyan függvényről szokás beszélni, amely a vizsgált intervallumon növekszik as funkció növelése majd amikor egy nagyobb x érték az y=f(x) függvény nagyobb értékének felel meg. Ebből következik, hogy az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét figyelembe véve a vizsgált intervallumból, ahol x_(1) > x_(2) az eredmény y(x_(1)) > y(x_(2)).

A vizsgált intervallumon csökkenő függvényt nevezzük csökkenő funkció amikor x nagyobb értéke az y(x) függvény kisebb értékének felel meg. Ebből következik, hogy a vizsgált intervallumból az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét, valamint x_(1) > x_(2) , az eredmény y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funkció Gyökerek Azokat a pontokat szokás hívni, amelyekben az F=y(x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y(x)=0 egyenlet megoldásával kapjuk meg).

a) Ha x > 0 esetén egy páros függvény nő, akkor x esetén csökken< 0

b) Ha egy páros függvény x > 0-nál csökken, akkor x-nél növekszik< 0

c) Ha egy páratlan függvény növekszik x > 0-nál, akkor x-nél is növekszik< 0

d) Ha egy páratlan függvény x > 0 esetén csökken, akkor x esetén is csökken< 0

A funkció extrémje

A függvény minimális pontja Az y=f(x)-et általában olyan x=x_(0) pontnak nevezzük, amelynek szomszédságában más pontok is lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), és ezekre az f(x) > f egyenlőtlenség elégedett (x_(0)) . y_(min) - a függvény kijelölése a min pontban.

A függvény maximális pontja Az y=f(x)-et általában olyan x=x_(0) pontnak nevezzük, amelynek szomszédságában más pontok is lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), és ezekre az f(x) egyenlőtlenség teljesül.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Előfeltétel

Fermat tétele szerint: f"(x)=0, amikor az x_(0) pontban differenciálható f(x) függvénynek ebben a pontban lesz szélsőértéke.

Elegendő állapot

1. Ha a derivált előjelet változtat pluszról mínuszra, akkor x_(0) lesz a minimumpont;
2. x_(0) - csak akkor lesz maximális pont, ha a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, amikor áthalad az x_(0) stacionárius ponton.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy intervallumon

A számítás lépései:

1. Az f"(x) deriváltot keressük;
2. Megkeresi a függvény stacionárius és kritikus pontjait, és kiválasztja a szegmenshez tartozókat;
3. Az f(x) függvény értékei a szegmens stacionárius és kritikus pontjain és végein találhatók. A kapott eredmények közül a kisebb lesz a függvény legkisebb értéke, és több - A legnagyobb.

Funkciótanulmány.

1) D(y) – Definíciós tartomány: az x változó összes értékének halmaza. amelyre az f(x) és g(x) algebrai kifejezéseknek van értelme.

Ha egy függvényt egy képlet ad meg, akkor a definíciós tartomány a független változó összes olyan értékéből áll, amelyre a képletnek van értelme.

2) A függvény tulajdonságai: páros/páratlan, periodicitás:

PáratlanÉs még függvényeket hívjuk meg, amelyek gráfjai szimmetrikusak az argumentum előjelének változásaihoz képest.

Páratlan funkció- függvény, amely a független változó előjelének megváltozásakor az értéket az ellenkezőjére változtatja (a koordináták középpontjához képest szimmetrikusan).

Egyenletes funkció- olyan függvény, amely nem változtatja meg értékét a független változó előjelének megváltozásakor (szimmetrikus az ordinátára).

Sem páros, sem páratlan függvény (általános funkció)- olyan függvény, amelynek nincs szimmetriája. Ez a kategória olyan funkciókat tartalmaz, amelyek nem tartoznak az előző 2 kategóriába.

A fenti kategóriák egyikébe sem tartozó függvényeket hívjuk meg se páros, se páratlan(vagy általános funkciók).

Páratlan függvények

Páratlan hatvány ahol egy tetszőleges egész szám.

Egyenletes funkciókat

Még a hatvány is, ahol egy tetszőleges egész szám.

Periodikus funkció- olyan függvény, amely megismétli értékeit valamilyen szabályos argumentumintervallumban, azaz nem változtatja meg az értékét, ha valamilyen rögzített, nem nulla számot ad az argumentumhoz ( időszak függvények) a teljes definíciós tartományban.

3) Egy függvény nullái (gyökei) azok a pontok, ahol nullává válik.

A grafikon és a tengely metszéspontjának megkeresése Oy. Ehhez ki kell számítani az értéket f(0). Keresse meg a grafikon és a tengely metszéspontjait is Ökör, miért kell megtalálni az egyenlet gyökereit f(x) = 0 (vagy győződjön meg arról, hogy nincsenek gyökök).

Azokat a pontokat, amelyekben a gráf a tengelyt metszi, nevezzük függvény nullák. Egy függvény nulláinak megtalálásához meg kell oldani az egyenletet, azaz meg kell találni az "x" jelentése, amelynél a függvény nullává válik.

4) A jelek állandóságának intervallumai, jelek bennük.

Intervallumok, ahol az f(x) függvény előjelet tart fenn.

Az előjel állandóságának intervalluma az intervallum amelynek minden pontján a függvény pozitív vagy negatív.

Az x tengely felett.

A tengely ALATT.

5) Folytonosság (a folytonossági pontok, a megszakadás jellege, aszimptoták).

Folyamatos funkció- „ugrások” nélküli függvény, azaz olyan, amelyben az argumentum kis változtatásai kis változást okoznak a függvény értékében.

Kivehető töréspontok

Ha a függvény határa létezik, de a függvény ezen a ponton nincs definiálva, vagy a határérték nem esik egybe a függvény értékével ezen a ponton:

,

akkor a pontot nevezik kivehető töréspont függvények (komplex elemzésben eltávolítható szinguláris pont).

Ha „javítjuk” a függvényt az eltávolítható folytonossági ponton és helyezzük el , akkor egy adott pontban folytonos függvényt kapunk. Ezt a műveletet egy függvényen nevezzük a funkció kiterjesztése folyamatosra vagy a függvény újradefiniálása folytonosság által, ami a pont nevét pontként indokolja kivehető törés.

Az első és a második típusú megszakítási pontok

Ha egy függvénynek egy adott pontban megszakadása van (azaz egy adott pontban a függvény határértéke hiányzik, vagy nem esik egybe a függvény adott pontban lévő értékével), akkor numerikus függvényekre két lehetőség van. numerikus függvények létezésével kapcsolatos egyoldalú korlátok:

ha mindkét egyoldalú határérték létezik és véges, akkor egy ilyen pontot nevezünk az első típusú megszakítási pont. Az eltávolítható megszakítási pontok az első típusú szakadási pontok;

ha az egyoldali határértékek közül legalább az egyik nem létezik, vagy nem véges érték, akkor egy ilyen pontot ún. a második típusú megszakítási pont.

Aszimptota - egyenes, amelynek az a tulajdonsága, hogy a távolság a görbe pontjától ehhez egyenes nullára hajlik, ahogy a pont az ág mentén a végtelenbe távolodik.

Függőleges

Függőleges aszimptota - határvonal .

A függőleges aszimptota meghatározásakor általában nem egy határt, hanem két egyoldalút (bal és jobb) keresnek. Ennek célja annak meghatározása, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor különböző irányokból megközelíti a függőleges aszimptotát. Például:

Vízszintes

Vízszintes aszimptota - egyenes fajok, a létezés függvényében határ

.

Hajlamos

Ferde aszimptota - egyenes fajok, a létezés függvényében határait

Megjegyzés: egy függvénynek legfeljebb két ferde (vízszintes) aszimptotája lehet.

Megjegyzés: ha a fent említett két határérték közül legalább az egyik nem létezik (vagy egyenlő azzal), akkor a (vagy ) pontban lévő ferde aszimptóta nem létezik.

ha a 2.), akkor , és a határértéket a vízszintes aszimptota képlet segítségével találjuk meg, .

6) A monotonitás intervallumainak megtalálása. Keresse meg egy függvény monotonitási intervallumait f(x)(azaz növekedési és csökkenési intervallumok). Ez a származék előjelének vizsgálatával történik f(x). Ehhez keresse meg a származékot f(x) és oldja meg az egyenlőtlenséget f(x)0. Azokon az intervallumokon, ahol ez az egyenlőtlenség fennáll, a függvény f(x)növekszik. Ahol a fordított egyenlőtlenség érvényesül f(x)0, függvény f(x) csökken.

Helyi extrémum keresése. A monotonitás intervallumainak megtalálása után azonnal meghatározhatjuk azokat a lokális szélsőséges pontokat, ahol a növekedést csökkenés váltja fel, ahol a lokális maximumok, illetve ahol a csökkenést növekedés váltja fel, ott a lokális minimumok találhatók. Számítsa ki a függvény értékét ezeken a pontokon! Ha egy függvénynek vannak olyan kritikus pontjai, amelyek nem lokális szélsőpontok, akkor célszerű ezeken a pontokon is kiszámítani a függvény értékét.

Az y = f(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékének megkeresése egy szakaszon(folytatás)

1. Keresse meg a függvény deriváltját: f(x). 2. Keresse meg azokat a pontokat, ahol a derivált nulla: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Határozza meg a pontok összetartozását x 1 ,x 2 , … szegmens [ a; b]: hagyjuk x 1a;b, A x 2a;b . 4. Keresse meg a függvény értékeit a kiválasztott pontokban és a szegmens végén: f(x 1), f(x 2),..., f(x a),f(x b), 5. A legnagyobb és legkisebb függvényérték kiválasztása a találtak közül. Megjegyzés. Ha a szegmensen [ a; b] vannak szakadási pontok, akkor ezeknél egyoldalú határértékeket kell kiszámítani, majd ezek értékeit figyelembe kell venni a függvény legnagyobb és legkisebb értékének kiválasztásakor.

7) Konvexitás és homorúság intervallumainak megtalálása. Ez a második derivált előjelének vizsgálatával történik f(x). Keressen inflexiós pontokat a konvex és a konkáv intervallumok találkozásánál! Számítsa ki a függvény értékét az inflexiós pontokban! Ha egy függvénynek vannak olyan folytonossági pontjai (az inflexiós pontok kivételével), amelyeknél a második derivált 0, vagy nem létezik, akkor szintén hasznos ezekben a pontokban kiszámítani a függvény értékét. Miután megtalálta f(x), megoldjuk az egyenlőtlenséget f(x)0. Mindegyik megoldási intervallumon a függvény lefelé konvex lesz. Az inverz egyenlőtlenség megoldása f(x)0, megtaláljuk azokat az intervallumokat, amelyeknél a függvény felfelé konvex (vagyis konkáv). Az inflexiós pontokat úgy definiáljuk, mint azokat a pontokat, ahol a függvény a konvexitás irányát megváltoztatja (és folytonos).

Egy függvény inflexiós pontja- ez az a pont, ahol a függvény folytonos, és amelyen áthaladva a függvény megváltoztatja a konvexitás irányát.

A létezés feltételei

Az inflexiós pont létezésének szükséges feltétele: ha a függvény kétszer differenciálható a pont valamely szúrt környezetében, akkor vagy .

Funkció az egyik legfontosabb matematikai fogalom. Funkció - változó függőség nál nél változótól x, ha minden érték x egyetlen értéknek felel meg nál nél. Változó x független változónak vagy argumentumnak nevezzük. Változó nál nél függő változónak nevezzük. A független változó összes értéke (változó x) alkotják a függvény definíciós tartományát. Minden érték, amelyet a függő változó vesz fel (változó y), alkotják a függvény értéktartományát.

Függvénygrafikon hívja meg a koordinátasík összes pontjának halmazát, amelynek abszcisszái egyenlőek az argumentum értékeivel, és az ordináták egyenlőek a függvény megfelelő értékeivel, azaz a változók az abszcissza tengely mentén vannak ábrázolva x, és a változó értékeit az ordinátatengely mentén ábrázoljuk y. Egy függvény ábrázolásához ismernünk kell a függvény tulajdonságait. A függvény főbb tulajdonságait az alábbiakban tárgyaljuk!

Egy függvény grafikonjának elkészítéséhez javasoljuk a programunk használatát - Graphing functions online. Ha bármilyen kérdése van az oldalon található anyag tanulmányozása során, bármikor felteheti azokat fórumunkon. A fórumon matematikából, kémiából, geometriából, valószínűségszámításból és sok más tantárgyból is segítenek megoldani a feladatokat!

A függvények alapvető tulajdonságai.

1) Funkciótartomány és funkciótartomány.

Egy függvény tartománya az összes érvényes érvényes argumentumérték halmaza x(változó x), amelyhez a függvény y = f(x) eltökélt.
Egy függvény tartománya az összes valós érték halmaza y, amelyet a függvény elfogad.

Az elemi matematikában a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzák.

2) Funkció nullák.

Értékek x, ahol y=0, hívott függvény nullák. Ezek a függvénygráf és az Ox tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán.

3) Egy függvény állandó előjelének intervallumai.

Egy függvény konstans előjelének intervallumai ilyen értékintervallumok x, amelyen a függvény értékeit y vagy csak pozitív vagy csak negatív hívják a függvény állandó előjelének intervallumai.

4) A függvény monotonitása.

Növekvő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Páros (páratlan) függvény.

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x f(-x) = f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátára.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség igaz f(-x) = - f(x). Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Egyenletes funkció
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) ponthoz képest, vagyis ha a pont a a definíció tartományába tartozik, akkor a pont -a szintén a definíció tartományába tartozik.
2) Bármilyen értékre x f(-x)=f(x)
3) Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre.

Páratlan funkció a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) pontra.
2) bármilyen értékre x, amely a definíció, az egyenlőség tartományába tartozik f(-x)=-f(x)
3) Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz (0; 0).

Nem minden függvény páros vagy páratlan. Funkciók Általános nézet sem nem párosak, sem nem páratlanok.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha van olyan pozitív M szám, amelyre |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha ilyen szám nem létezik, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f(x) függvény periodikus, ha van egy nullától eltérő T szám, amelyre a függvény definíciós tartományából származó bármely x-re teljesül a következő: f(x+T) = f(x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvény periodikus. (Trigonometrikus képletek).

Funkció f periodikusnak nevezzük, ha van olyan szám, hogy bármely x a definíció tartományából az egyenlőség f(x)=f(x-T)=f(x+T). T a függvény periódusa.

Minden periodikus függvénynek végtelen számú periódusa van. A gyakorlatban általában a legkisebb pozitív időszakot veszik figyelembe.

A periodikus függvény értékei a periódussal megegyező intervallum után ismétlődnek. Ezt grafikonok készítésekor használják.