Amikor megvizsgáltuk az n-dimenziós vektor fogalmát, és bevezettük a vektorokra vonatkozó műveleteket, azt találtuk, hogy az összes n-dimenziós vektor halmaza lineáris teret generál. Ebben a cikkben a legfontosabb kapcsolódó fogalmakról fogunk beszélni - a vektortér dimenziójáról és alapjáról. Megvizsgáljuk továbbá a tetszőleges vektor bázissá való kiterjesztésének tételét és az n-dimenziós tér különböző bázisai közötti kapcsolatot. Vizsgáljuk meg részletesen a tipikus példák megoldásait.

Oldalnavigáció.

A vektortér és a bázis dimenziójának fogalma.

A vektortér dimenziójának és bázisának fogalma közvetlenül kapcsolódik a lineárisan független vektorrendszer fogalmához, ezért ha szükséges, javasoljuk, hogy hivatkozzon a vektorrendszer lineáris függése, a lineáris függés és függetlenség tulajdonságai című cikkre. .

Meghatározás.

A vektortér mérete az ebben a térben lévő lineárisan független vektorok maximális számával egyenlő szám.

Meghatározás.

Vektor tér alapja e tér lineárisan független vektorainak rendezett halmaza, amelyek száma megegyezik a tér dimenziójával.

Adjunk néhány érvelést e meghatározások alapján.

Tekintsük az n-dimenziós vektorok terét.

Mutassuk meg, hogy ennek a térnek a dimenziója n.

Vegyünk egy alak n egységvektorból álló rendszert

Vegyük ezeket a vektorokat az A mátrix sorainak. Ebben az esetben az A mátrix egy n x n dimenziójú azonosságmátrix lesz. Ennek a mátrixnak a rangja n (szükség esetén lásd a cikket). Ezért a vektorok rendszere lineárisan független, és egyetlen vektor sem adható ehhez a rendszerhez anélkül, hogy megsértené a lineáris függetlenségét. Mivel a vektorok száma a rendszerben akkor egyenlő n-nel az n-dimenziós vektorok terének dimenziója n, és az egységvektorok ennek a térnek az alapja.

Az utolsó állításból és az alap meghatározásából arra következtethetünk bármely n-dimenziós vektorrendszer, amelyben a vektorok száma kisebb, mint n, nem bázis.

Most cseréljük fel a rendszer első és második vektorát . Könnyen kimutatható, hogy a kapott vektorrendszer egy n-dimenziós vektortér alapja is. Hozzunk létre egy mátrixot úgy, hogy ennek a rendszernek a vektorait vesszük soraiként. Ezt a mátrixot az identitásmátrixból az első és a második sor felcserélésével kaphatjuk meg, így a rangja n lesz. Így egy n vektorból álló rendszer lineárisan független és egy n-dimenziós vektortér alapja.

Ha a rendszer többi vektorát átrendezzük , akkor újabb alapot kapunk.

Ha egy nem egységvektorokból álló lineárisan független rendszert vesszük, akkor ez egy n-dimenziós vektortér alapja is.

És így, egy n dimenziójú vektortérnek annyi bázisa van, ahány n n dimenziós vektorból álló lineárisan független rendszer.

Ha egy kétdimenziós vektortérről (vagyis egy síkról) beszélünk, akkor annak alapja bármely két nem kollineáris vektor. Alap háromdimenziós tér bármely három nem egysíkú vektor.

Nézzünk néhány példát.

Példa.

A vektorok a háromdimenziós vektortér alapjai?

Megoldás.

Vizsgáljuk meg ezt a vektorrendszert lineáris függőség szempontjából. Ehhez hozzunk létre egy mátrixot, amelynek sorai a vektorok koordinátái lesznek, és keressük meg a rangját:


Tehát az a, b és c vektorok lineárisan függetlenek, és számuk megegyezik a vektortér méretével, ezért e tér alapját képezik.

Válasz:

Igen.

Példa.

Lehet-e vektorrendszer alapja egy vektortérnek?

Megoldás.

Ez a vektorrendszer lineárisan függő, mivel a lineárisan független háromdimenziós vektorok maximális száma három. Következésképpen ez a vektorrendszer nem lehet bázisa egy háromdimenziós vektortérnek (bár az eredeti vektorrendszer egy alrendszere az alapja).

Válasz:

Nem, ő nem tud.

Példa.

Győződjön meg arról, hogy a vektorok

négydimenziós vektortér alapja lehet.

Megoldás.

Hozzunk létre egy mátrixot az eredeti vektorok soraival:

Keressük meg:

Tehát az a, b, c, d vektorok rendszere lineárisan független és számuk megegyezik a vektortér méretével, ezért a, b, c, d az alapja.

Válasz:

Az eredeti vektorok valóban a négydimenziós tér alapját képezik.

Példa.

A vektorok képezik-e a 4-es dimenziójú vektortér alapját?

Megoldás.

Még ha az eredeti vektorrendszer lineárisan független is, a benne lévő vektorok száma nem elegendő ahhoz, hogy egy négydimenziós tér alapja legyen (egy ilyen tér alapja 4 vektorból áll).

Válasz:

Nem, nem.

Egy vektor felbontása a vektortér alapja szerint.

Legyen tetszőleges vektorok egy n-dimenziós vektortér alapja. Ha hozzáadunk hozzájuk valamilyen n-dimenziós x vektort, akkor a kapott vektorrendszer lineárisan függő lesz. A lineáris függés tulajdonságaiból tudjuk, hogy egy lineárisan függő rendszernek legalább egy vektora lineárisan fejeződik ki a többien keresztül. Más szavakkal, egy lineárisan függő rendszer vektorai közül legalább egy kibővül a többi vektorra.

Ezzel elérkeztünk egy nagyon fontos tételhez.

Tétel.

Az n-dimenziós vektortér bármely vektora az egyetlen módja alapja szerint bontják.

Bizonyíték.

Hadd - n-dimenziós vektortér bázisa. Adjunk hozzá egy n-dimenziós x vektort ezekhez a vektorokhoz. Ekkor a kapott vektorrendszer lineárisan függő lesz, és az x vektor lineárisan kifejezhető vektorokkal : , hol van néhány szám. Így kaptuk meg az x vektor bázishoz viszonyított kiterjesztését. Be kell bizonyítani, hogy ez a bomlás egyedülálló.

Tegyük fel, hogy van egy másik dekompozíció, ahol - néhány szám. Vonjuk le az utolsó egyenlőség bal és jobb oldalából az egyenlőség bal és jobb oldalát:

Mivel a bázisvektorok rendszere lineárisan független, akkor egy vektorrendszer lineáris függetlenségének definíciója szerint a kapott egyenlőség csak akkor lehetséges, ha minden együttható nullával egyenlő. Ezért , ami bizonyítja a vektorbontás egyediségét a bázishoz képest.

Meghatározás.

Az együtthatók ún az x vektor koordinátái a bázisban .

Miután megismertük a vektor bázisra bontására vonatkozó tételt, kezdjük megérteni az „egy n-dimenziós vektort kapunk” kifejezés lényegét. " Ez a kifejezés azt jelenti, hogy egy x n -dimenziós vektortérből álló vektorról van szó, amelynek koordinátái valamilyen alapon vannak megadva. Ugyanakkor megértjük, hogy ugyanannak az x vektornak az n-dimenziós vektortér egy másik bázisában a koordinátái különböznek a -tól.

Tekintsük a következő problémát.

Adjunk meg egy n lineárisan független vektorból álló rendszert az n-dimenziós vektortér valamely bázisában

és vektor . Aztán a vektorok ennek a vektortérnek az alapja is.

Meg kell találnunk az x vektor koordinátáit a bázisban . Jelöljük ezeket a koordinátákat mint .

Vektor x bázisban van egy ötlete. Írjuk fel ezt az egyenlőséget koordináta alakban:

Ez az egyenlőség egy n lineáris rendszerrel ekvivalens algebrai egyenletek n ismeretlen változóval :

Ennek a rendszernek a fő mátrixa a következő alakú

Jelöljük A betűvel. Az A mátrix oszlopai egy lineárisan független vektorrendszer vektorait reprezentálják , tehát ennek a mátrixnak a rangja n, ezért a determinánsa nem nulla. Ez a tény azt jelzi, hogy az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, amely bármilyen módszerrel megtalálható, például vagy.

Így a kívánt koordinátákat megtaláljuk x vektor a bázisban .

Nézzük meg az elméletet példákon keresztül.

Példa.

A háromdimenziós vektortér valamely bázisában a vektorok

Győződjön meg arról, hogy a vektorrendszer egyben ennek a térnek az alapja, és ebben keresse meg az x vektor koordinátáit.

Megoldás.

Ahhoz, hogy egy vektorrendszer egy háromdimenziós vektortér alapja legyen, lineárisan függetlennek kell lennie. Ezt úgy derítsük ki, hogy meghatározzuk az A mátrix rangját, melynek sorai vektorok. Keressük meg a rangot Gauss-módszerrel


ezért Rank(A) = 3, ami a vektorrendszer lineáris függetlenségét mutatja.

Tehát a vektorok az alapok. Legyenek az x vektornak ezen a bázison koordinátái. Ekkor, mint fentebb megmutattuk, ennek a vektornak a koordinátái közötti kapcsolatot az egyenletrendszer adja meg.

A feltételből ismert értékeket behelyettesítve kapjuk

Oldjuk meg Cramer módszerével:

Így a bázisban lévő x vektornak vannak koordinátái .

Válasz:

Példa.

Valamilyen alapon egy négydimenziós vektortérből lineárisan független vektorrendszer adott

Ismeretes, hogy . Keresse meg az x vektor koordinátáit a bázisban! .

Megoldás.

Mivel a vektorok rendszere feltétel szerint lineárisan független, akkor ez a négydimenziós tér alapja. Aztán egyenlőség azt jelenti, hogy az x vektor a bázisban koordinátái vannak. Jelöljük a bázisban az x vektor koordinátáit Hogyan .

Egyenletrendszer, amely meghatározza az x vektor koordinátái közötti kapcsolatot bázisban És úgy néz ki, mint a

helyettesítjük ismert értékekés keresse meg a szükséges koordinátákat:

Válasz:

.

Az alapok közötti kapcsolat.

Legyen két lineárisan független vektorrendszer adott egy n-dimenziós vektortér valamilyen bázisában

És

vagyis ők ennek a térnek az alapjai is.

Ha - a vektor koordinátái a bázisban , akkor a koordinátakapcsolat És egy lineáris egyenletrendszer adja meg (erről az előző bekezdésben beszéltünk):

, amely mátrix formában úgy írható fel

Hasonlóképpen írhatunk vektorra is

Az előző mátrixegyenlőségek összevonhatók egybe, ami lényegében meghatározza két különböző bázis vektorának kapcsolatát

Hasonlóképpen minden bázisvektort kifejezhetünk alapon keresztül :

Meghatározás.

Mátrix hívott átmenet mátrix az alapból a bázisra , akkor az egyenlőség igaz

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldali oldalát megszorozva ezzel

kapunk

Keressük meg az átmeneti mátrixot, de nem foglalkozunk részletesen az inverz mátrix megtalálásával és a mátrixok szorzásával (lásd a cikkeket és ha szükséges):

Továbbra is meg kell találni az x vektor koordinátái közötti kapcsolatot az adott bázisokban.

Legyen tehát az x vektor koordinátái a bázisban

és az alapban az x vektornak vannak koordinátái, akkor

Mivel az utolsó két egyenlőség bal oldala megegyezik, egyenlőségjelet tehetünk a jobb oldalakkal:

Ha mindkét jobb oldali oldalt megszorozzuk azzal

akkor kapunk


A másik oldalon

(keresse meg saját maga az inverz mátrixot).
Az utolsó két egyenlőség megadja a szükséges összefüggést az x vektor koordinátái között az alapokban és.

Válasz:

A bázisról bázisra való átmenet mátrixának formája van
;
az x vektor koordinátáit bázisokban, és a relációkkal összefüggenek

vagy
.

Megvizsgáltuk a vektortér dimenziójának és bázisának fogalmait, megtanultuk a vektort bázisra bontani, és az átmeneti mátrixon keresztül felfedeztük az n-dimenziós vektortér különböző bázisai közötti kapcsolatot.

Keresse meg a vektorok és az alapban nem szereplő vektorok rendszerének alapját, bővítse ki őket az alap szerint:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Megoldás. Tekintsünk egy homogén lineáris egyenletrendszert

A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 x 4 + A 5 x 5 = 0

vagy bővített formában .

Ezt a rendszert Gauss-módszerrel oldjuk meg, anélkül, hogy sorokat és oszlopokat cserélnénk, ráadásul nem a bal felső sarokban, hanem az egész sor mentén választjuk ki a fő elemet. A kihívás az, hogy válassza ki a transzformált vektorrendszer átlós részét.

~ ~

~ ~ ~ .

Az eredetivel ekvivalens vektorok megengedett rendszerének formája van

A 1 1 x 1 + A 2 1 x 2 + A 3 1 x 3 + A 4 1 x 4 + A 5 1 x 5 = 0 ,

Ahol A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vektorok A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 átlós rendszert alkotnak. Ezért a vektorok A 1 , A 3 , A 4 alkotják a vektorrendszer alapját A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Most bővítsük ki a vektorokat A 2 És A 5 alapján A 1 , A 3 , A 4. Ehhez először kibontjuk a megfelelő vektorokat A 2 1 És A 5 1 átlós rendszer A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, szem előtt tartva, hogy egy vektor tágulási együtthatói az átlórendszer mentén a koordinátái x i.

Az (1)-től a következőkkel rendelkezünk:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 · 2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vektorok A 2 És A 5 alapja bővült A 1 , A 3 , A 4 ugyanazokkal az együtthatókkal, mint a vektorok A 2 1 És A 5 1 átlós rendszer A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (azok az együtthatók x i). Ennélfogva,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Feladatok. 1.Keresse meg a vektorok és a bázisban nem szereplő vektorok rendszerének bázisát, bővítse ki a bázis szerint:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Keresse meg a vektorrendszer összes alapját:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Az n-dimenziós vektorokról szóló cikkben eljutottunk a koncepcióhoz lineáris tér, amelyet n-dimenziós vektorok halmaza generál. Most ugyanolyan fontos fogalmakat kell figyelembe vennünk, mint például a vektortér mérete és alapja. Közvetlenül kapcsolódnak a lineárisan független vektorrendszer fogalmához, ezért ajánlott ezen kívül emlékezni a téma alapjaira.

Mutassunk be néhány definíciót.

1. definíció

A vektortér mérete– az ebben a térben található lineárisan független vektorok maximális számának megfelelő szám.

2. definíció

Vektor tér alapja– lineárisan független vektorok halmaza, rendezett és számban egyenlő a tér dimenziójával.

Tekintsünk egy bizonyos n -vektorok terét. Mérete ennek megfelelően egyenlő n-nel. Vegyünk egy n egységnyi vektorrendszert:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . . , 0) e (n) = (0, 0, . . . , 1)

Ezeket a vektorokat az A mátrix komponenseiként használjuk: egységmátrix lesz n x n dimenzióval. Ennek a mátrixnak a rangja n. Ezért az e (1) , e (2) , vektorrendszer. . . , e(n) lineárisan független. Ebben az esetben lehetetlen egyetlen vektort hozzáadni a rendszerhez anélkül, hogy megsértené annak lineáris függetlenségét.

Mivel a rendszerben a vektorok száma n, ezért az n-dimenziós vektorok terének dimenziója n, az egységvektorok pedig e (1), e (2), . . . , e (n) a megadott tér alapja.

Az így kapott definícióból arra következtethetünk: minden n-dimenziós vektorrendszer, amelyben a vektorok száma kisebb, mint n, nem térbázis.

Ha felcseréljük az első és a második vektort, akkor e (2) , e (1) , vektorrendszert kapunk. . . , e (n) . Ez lesz az alapja egy n-dimenziós vektortérnek is. Hozzunk létre egy mátrixot úgy, hogy a kapott rendszer vektorait vesszük soraiként. A mátrixot az első két sor felcserélésével kaphatjuk meg az azonosságmátrixból, a rangja n lesz. Rendszer e (2) , e (1) , . . . , e(n) lineárisan független és egy n-dimenziós vektortér alapja.

Más vektorok átrendezésével az eredeti rendszerben egy másik bázist kapunk.

Tehetünk egy lineárisan független nem egységvektor rendszert, és ez egy n-dimenziós vektortér alapját is képviseli.

3. definíció

Egy n dimenziójú vektortérnek annyi bázisa van, ahány n számú n-dimenziós vektor lineárisan független rendszere van.

A sík egy kétdimenziós tér – alapja bármely két nem kollineáris vektor lehet. A háromdimenziós tér alapja bármely három nem egysíkú vektor lehet.

Tekintsük ennek az elméletnek az alkalmazását konkrét példákon keresztül.

1. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Meg kell határozni, hogy a megadott vektorok egy háromdimenziós vektortér alapját képezik-e.

Megoldás

A probléma megoldásához a lineáris függőség adott vektorrendszerét tanulmányozzuk. Készítsünk egy mátrixot, ahol a sorok a vektorok koordinátái. Határozzuk meg a mátrix rangját.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Ebből következően a feladat feltétele által meghatározott vektorok lineárisan függetlenek, és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - ezek képezik a vektortér alapját.

Válasz: a jelzett vektorok a vektortér alapjai.

2. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Meg kell határozni, hogy a megadott vektorrendszer lehet-e a háromdimenziós tér alapja.

Megoldás

A problémafelvetésben megadott vektorrendszer lineárisan függő, mert a lineárisan független vektorok maximális száma 3. Így a jelzett vektorrendszer nem szolgálhat háromdimenziós vektortér alapjául. De érdemes megjegyezni, hogy az eredeti rendszer alrendszere a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) bázis.

Válasz: a jelzett vektorrendszer nem alap.

3. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Lehetnek a négydimenziós tér alapjai?

Megoldás

Készítsünk mátrixot a megadott vektorok koordinátáinak sorok felhasználásával

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

A Gauss-módszerrel meghatározzuk a mátrix rangját:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Ebből következően az adott vektorok rendszere lineárisan független és számuk megegyezik a vektortér dimenziójával - egy négydimenziós vektortér alapját képezik.

Válasz: a megadott vektorok a négydimenziós tér alapjai.

4. példa

Kiinduló adatok: vektorok

a (1) = (1, 2, - 1, - 2) a (2) = (0, 2, 1, - 3) a (3) = (1, 0, 0, 5)

Ezek képezik a 4-es dimenziójú tér alapját?

Megoldás

Az eredeti vektorrendszer lineárisan független, de a benne lévő vektorok száma nem elegendő ahhoz, hogy egy négydimenziós tér alapjává váljon.

Válasz: nem, nem teszik.

Egy vektor bázisra bontása

Tegyük fel, hogy tetszőleges e (1) , e (2) , vektorok. . . , e (n) egy n-dimenziós vektortér alapja. Adjunk hozzájuk egy bizonyos n-dimenziós x → vektort: ​​a kapott vektorrendszer lineárisan függővé válik. A lineáris függés tulajdonságai kimondják, hogy egy ilyen rendszer vektorai közül legalább egy lineárisan kifejezhető a többien keresztül. Ezt az állítást újrafogalmazva azt mondhatjuk, hogy egy lineárisan függő rendszer vektorai közül legalább egy kiterjeszthető a többi vektorra.

Így elérkeztünk a legfontosabb tétel megfogalmazásához:

4. definíció

Egy n-dimenziós vektortér bármely vektora egyedileg felbontható bázisra.

Bizonyíték 1

Bizonyítsuk be ezt a tételt:

állítsuk be az n-dimenziós vektortér alapját - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Tegyük lineárisan függővé a rendszert úgy, hogy hozzáadunk egy n-dimenziós x → vektort. Ez a vektor lineárisan kifejezhető az eredeti e vektorokkal:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , ahol x 1 , x 2 , . . . , x n - néhány szám.

Most bebizonyítjuk, hogy egy ilyen dekompozíció egyedülálló. Tételezzük fel, hogy ez nem így van, és van egy másik hasonló dekompozíció:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , ahol x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - néhány szám.

Ennek az egyenlőségnek a bal és jobb oldalából vonjuk le az x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + egyenlőség bal és jobb oldalát. . . + x n · e (n) . Kapunk:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

e (1) , e (2) , bázisvektorok rendszere. . . e(n) lineárisan független; egy vektorrendszer lineáris függetlenségének definíciója szerint a fenti egyenlőség csak akkor lehetséges, ha minden együttható (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) egyenlő lesz nullával. Amiből igazságos lesz: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . És ez az egyetlen lehetőség a vektor bázisra bontására.

Ebben az esetben az együtthatók x 1, x 2, . . . , x n az x → vektor koordinátáinak nevezzük az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (n) .

A bizonyított elmélet egyértelművé teszi az „adott egy n-dimenziós x = (x 1, x 2 , . . . , x n)” kifejezést: egy x → n-dimenziós vektorteret veszünk figyelembe, és ennek koordinátáit egy bizonyos alapon. Az is világos, hogy ugyanannak a vektornak az n-dimenziós tér egy másik bázisában különböző koordinátái lesznek.

Tekintsük a következő példát: tegyük fel, hogy az n-dimenziós vektortér valamely bázisában adott egy n lineárisan független vektorból álló rendszer

és az x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) vektor is adott.

Vektorok e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) ebben az esetben is ennek a vektortérnek az alapja.

Tegyük fel, hogy meg kell határozni az x → vektor koordinátáit az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) , jelölése x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Az x → vektort a következőképpen ábrázoljuk:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Írjuk fel ezt a kifejezést koordináta alakban:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1, e (2) 2, ..., e (2) n) +. . . + + x ~ n · (e (n) 1, e (n) 2, ..., e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + ... + x ~ n e 1 (n), x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + ... + x ~ n e 2 (n) , ..., x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

A kapott egyenlőség n lineáris algebrai kifejezésből álló rendszerrel ekvivalens n ismeretlen lineáris változóval x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Ennek a rendszernek a mátrixa a következő formában lesz:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Legyen ez egy A mátrix, és oszlopai egy lineárisan független e 1 (1), e 2 (2), vektorrendszer vektorai. . . , e n (n) . A mátrix rangja n, determinánsa pedig nem nulla. Ez azt jelzi, hogy az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, amelyet bármilyen kényelmes módszerrel határozhatunk meg: például a Cramer-módszerrel vagy a mátrixmódszerrel. Így meghatározhatjuk az x ~ 1, x ~ 2, koordinátákat. . . , x ~ n vektor x → az e 1 (1) , e 2 (2) , bázisban. . . , e n (n) .

Alkalmazzuk a vizsgált elméletet egy konkrét példára.

6. példa

Kiinduló adatok: vektorok a háromdimenziós tér alapján vannak megadva

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, -5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, -7)

Meg kell erősíteni azt a tényt, hogy az e (1), e (2), e (3) vektorok rendszere egy adott tér alapjául is szolgál, valamint meg kell határozni az x vektor koordinátáit egy adott bázisban.

Megoldás

Az e (1), e (2), e (3) vektorrendszer akkor lesz a háromdimenziós tér alapja, ha lineárisan független. Keressük meg ezt a lehetőséget az A mátrix rangjának meghatározásával, amelynek sorai az adott e (1), e (2), e (3) vektorok.

A Gauss-módszert használjuk:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3. Így az e (1), e (2), e (3) vektorok rendszere lineárisan független és bázis.

Legyen az x → vektornak x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinátája a bázisban. A koordináták közötti kapcsolatot a következő egyenlet határozza meg:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Alkalmazzuk az értékeket a probléma feltételeinek megfelelően:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Oldjuk meg az egyenletrendszert Cramer módszerével:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Így az e (1), e (2), e (3) bázisban lévő x → vektor koordinátái x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Válasz: x = (1, 1, 1)

Az alapok közötti kapcsolat

Tegyük fel, hogy az n-dimenziós vektortér valamely bázisában két lineárisan független vektorrendszer adott:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2), c 2 (2) , ... (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), . . ., e n (1) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , ... (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Ezek a rendszerek egyben egy adott tér bázisai is.

Legyen c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - a c (1) vektor koordinátái az e (1) bázisban, e (2) , . . . , e (3) , akkor a koordinátakapcsolatot egy lineáris egyenletrendszer adja meg:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) +. . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) +. . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) +. . . + c ~ n (1) e n (n)

A rendszer a következőképpen ábrázolható mátrixként:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Tegyük meg ugyanezt a bejegyzést a c (2) vektorra analógia útján:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , ... , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Összevonjuk a mátrixegyenlőségeket egyetlen kifejezésben:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Ez határozza meg a kapcsolatot két különböző bázis vektorai között.

Ugyanezen elv alapján az összes e(1), e(2), bázisvektor kifejezhető. . . , e (3) a c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Adjuk meg a következő definíciókat:

5. definíció

Mátrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) az e (1) , e (2) , bázisból származó átmeneti mátrix. . . , e (3)

c (1) , c (2) , alapra. . . , c(n) .

6. definíció

e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e mátrix ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) az átmeneti mátrix a c (1) , c (2) , bázisból. . . , c(n)

e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Ezekből az egyenlőségekből nyilvánvaló, hogy

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

azok. az átmeneti mátrixok reciprok.

Nézzük meg az elméletet egy konkrét példa segítségével.

7. példa

Kiinduló adatok: meg kell találni a bázisból az átmeneti mátrixot

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) · c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, -6)

Egy tetszőleges x → vektor koordinátái közötti kapcsolatot is meg kell adni az adott bázisokban.

Megoldás

1. Legyen T az átmeneti mátrix, akkor igaz lesz az egyenlőség:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Szorozzuk meg az egyenlőség mindkét oldalát

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kapjuk:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Határozza meg az átmeneti mátrixot:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Határozzuk meg az x → vektor koordinátái közötti összefüggést:

Tegyük fel, hogy a c (1) , c (2) , . . . , c (n) x → vektor koordinátái x 1 , x 2 , x 3 , akkor:

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

és az e (1) , e (2) , bázisban. . . , e (3) koordinátái x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, akkor:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Mert Ha ezeknek az egyenlőségeknek a bal oldala egyenlő, akkor a jobb oldalakat is egyenlíthetjük:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Szorozzuk meg mindkét oldalt a jobb oldalon

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

és kapjuk:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

A másik oldalon

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az utolsó egyenlőségek az x → vektor koordinátái közötti kapcsolatot mutatják mindkét bázisban.

Válasz:átmeneti mátrix

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Az x → vektor koordinátáit az adott bázisokban a következő összefüggés kapcsolja össze:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok bázist képeznek a háromdimenziós térben, és keressük meg a vektor koordinátáit ebben a bázisban.

Megoldás: Először is foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és mint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Hogy mi ez az alap, az minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első szakasz teljesen egybeesik a 6. példa megoldásával; ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és a háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos: vektor koordináták Szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncokban. Ellenkező esetben zavar lép fel a további megoldási algoritmusban.

Most pedig emlékezzünk elméleti rész: ha a vektorok bázist alkotnak, akkor tetszőleges vektor csak így bontható ki ebbe a bázisba: , hol vannak a vektor koordinátái a bázisban.

Mivel vektoraink képezik a háromdimenziós tér alapját (ez már bebizonyosodott), a vektor ezen az alapon egyedülálló módon bővíthető:
, ahol a bázisban lévő vektor koordinátái vannak.

A feltételnek megfelelően, és meg kell találni a koordinátákat.

A könnyebb magyarázat kedvéért kicserélem az alkatrészeket: . Ahhoz, hogy megtalálja, fel kell írnia ezt az egyenlőségi koordinátát koordinátánként:

Milyen alapon határozzák meg az együtthatókat? A bal oldalon lévő összes együttható pontosan átkerül a determinánsból , V jobb oldal a vektor koordinátáit rögzítjük.

Az eredmény egy három lineáris egyenletrendszer három ismeretlennel. Általában úgy oldják meg Cramer-képletek, gyakran még a problémafelvetésben is szerepel olyan követelmény.

A rendszer fő meghatározóját már megtaláltuk:
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Az alábbiak a technika kérdése:

És így:
– a vektor bázis szerinti bontása.

Válasz:

Mint már említettem, a probléma algebrai jellegű. Nem feltétlenül a térben rajzolható vektorokat vettük figyelembe, hanem mindenekelőtt a lineáris algebra kurzusának absztrakt vektorait. A kétdimenziós vektorok esetében hasonló probléma fogalmazható meg és oldható meg, a megoldás sokkal egyszerűbb lesz. A gyakorlatban azonban még soha nem találkoztam ilyen feladattal, ezért az előző részben kihagytam.

Ugyanez a probléma a háromdimenziós vektorokkal független megoldáshoz:

9. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok bázist alkotnak, és keressük meg ebben a bázisban a vektor koordinátáit. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével!

Komplett megoldásés egy hozzávetőleges minta a végső tervből a lecke végén.

Hasonlóképpen tekinthetünk négydimenziósnak, ötdimenziósnak stb. vektorterek, ahol a vektoroknak 4, 5 vagy több koordinátája van. Ezekre a vektorterekre vonatkozik a lineáris függés, a vektorok lineáris függetlenségének fogalma is, van alapja, beleértve az ortonormális bázist is, egy vektor bázishoz viszonyított kiterjesztése. Igen, az ilyen tereket nem lehet geometrikusan megrajzolni, de a két- és háromdimenziós esetek összes szabálya, tulajdonsága és tétele működik bennük - tiszta algebra. Tulajdonképpen oh filozófiai kérdéseket Már a cikkben is kedvem támadt beszélni Három változó függvényének parciális deriváltjai, amely korábban jelent meg, mint ez a lecke.

Szeress vektorokat, és a vektorok szeretni fognak!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás: készítsünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból:

Válasz: nál nél

4. példa: Bizonyíték: Trapéz A négyszöget olyan négyszögnek nevezzük, amelynek két oldala párhuzamos, a másik két oldala pedig nem párhuzamos.
1) Ellenőrizzük az ellentétes oldalak párhuzamosságát és .
Keressük a vektorokat:


, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok nem kollineárisak és az oldalak nem párhuzamosak.
2) Ellenőrizzük az ellentétes oldalak párhuzamosságát és .
Keressük a vektorokat:

Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak, és .
Következtetés: A négyszög két oldala párhuzamos, de a másik két oldala nem párhuzamos, ami azt jelenti, hogy definíció szerint trapéz. Q.E.D.

5. példa: Megoldás:
b) Ellenőrizzük, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáira:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.
Egyszerűbb kialakítás:
– a második és harmadik koordináta nem arányos, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.
Válasz: a vektorok nem kollineárisak.
c) Megvizsgáljuk a vektorok kollinearitását . Hozzunk létre egy rendszert:

A vektorok megfelelő koordinátái arányosak, ami azt jelenti
Itt kudarcot vall a „foppish” tervezési módszer.
Válasz:

6. példa: Megoldás: b) Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst (a determináns az első sorban látható):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függőek és nem képezik a háromdimenziós tér alapját.
Válasz : ezek a vektorok nem képeznek bázist

9. példa: Megoldás: Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:


Így a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.
Ábrázoljuk a vektort az alakban lineáris kombináció bázisvektorok:

Koordináta szerint:

Oldjuk meg a rendszert a Cramer-képletekkel:
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

Válasz:A vektorok alapot képeznek,

Felsőfokú matematika levelezős hallgatóknak és még >>>

(Ugrás a főoldalra)

vektoros alkotás vektorok.
Vektorok vegyes szorzata

Ebben a leckében további két műveletet nézünk meg vektorokkal: vektorok vektorszorzataÉs vegyes munka vektorok. Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok skaláris szorzata, egyre többre van szükség. Ez vektorfüggőség. Úgy tűnhet, hogy a vadonba kerülünk analitikus geometria. Ez rossz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában kevés a fa, kivéve talán elég Pinokkiót. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még kevesebb lesz a tipikus feladat. Az analitikus geometriában a legfontosabb, ahogyan sokan meggyõzõdnek vagy már meggyõzõdtek, hogy NE KÖVESSEN HIBÁT A SZÁMÍTÁSBAN. Ismételd, mint egy varázslatot, és boldog leszel =)

Ha valahol távol szikráznak a vektorok, mint a villám a láthatáron, az nem számít, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz a vektorokkal kapcsolatos alapvető ismeretek helyreállítása vagy visszaszerzése. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, igyekeztem minél többet összegyűjteni teljes gyűjtemény példák, amelyeket gyakran találunk praktikus munka

Mitől leszel azonnal boldog? Kicsi koromban két vagy akár három labdával is tudtam zsonglőrködni. Jól sikerült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködnie, hiszen megfontoljuk csak térbeli vektorok, és a két koordinátájú lapos vektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók - a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és háromdimenziós térben működik. Máris könnyebb!

A vektorok lineáris függése és lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

A nézőtéren egy kocsi csokoládéval, és ma minden látogató kap egy édes párost - elemző geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk a magasabb matematika két szakaszát érinti egyszerre, és látni fogjuk, hogyan léteznek együtt egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél egy Twixet! ...a fenébe is, micsoda hülyeség. Bár, oké, nem pontozok, végül is pozitívan kell hozzáállni a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, lineáris vektorfüggetlenség, vektorok alapjaés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a „vektor” fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a „hétköznapi” vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem Gismeteóba: – hőmérséklet ill Légköri nyomás illetőleg. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az megért definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra érvényesek, de geometriai példákat is adunk. Így minden egyszerű, hozzáférhető és világos. Az analitikus geometriai problémák mellett néhányat is figyelembe veszünk tipikus feladatok algebra Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegyük figyelembe a számítógépasztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak megvan a hossza és a szélessége, így intuitív módon két vektorra lesz szükség az alap létrehozásához. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A kiválasztott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes objektumához.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el bal mutatóujj az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely kisujj jobb kéz az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit mondhatunk a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineáris egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol valami nullától eltérő szám.

Erről a műveletről láthat egy képet az órán. Vektorok bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjaid alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak egyedül irányba, és egy síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A „lineáris”, „lineárisan” szavak azt a tényt jelzik, hogy in matematikai egyenletek, a kifejezések nem tartalmaznak négyzeteket, kockákat, egyéb hatványokat, logaritmusokat, szinuszokat stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy 0 vagy 180 foktól eltérő szög legyen közöttük. Két sík vektorlineáris Nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát megvan az alap. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „elferdült” különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi sík vektor az egyetlen módja alapja szerint bővül:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektormint lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapján vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például azt mondhatjuk, hogy a vektort a sík ortonormális bázisa mentén bontjuk fel, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

Fogalmazzuk meg alap meghatározása formálisan: A sík alapja lineárisan független (nem kollineáris) vektorpárnak nevezzük, , ahol Bármi a síkvektor bázisvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényeges pontja az a tény, hogy a vektorokat felvesszük egy bizonyos sorrendben. Alapok – ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kezed kisujját nem tudod kicserélni a jobb kezed kisujja helyett.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani egy koordináta rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok és az egész síkon vándorolnak. Szóval hogyan rendelhet koordinátákat az asztal azon kis piszkos pontjaihoz, amelyek egy vad hétvége után megmaradtak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen tereptárgy mindenki számára ismerős pont - a koordináták eredete. Értsük meg a koordinátarendszert:

Kezdem az „iskolai” rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok bábokhoz Rávilágítottam néhány különbségre a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Íme a standard kép:

Amikor arról beszélnek derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban az origót, a koordinátatengelyeket és a tengelyek menti léptéket jelentik. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt úgy tűnik, hogy egy derékszögű koordinátarendszer teljesen meghatározható ortonormális alapon. És ez majdnem igaz. A megfogalmazás a következő:

eredet, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű téglalap sík koordinátarendszer . Vagyis a derékszögű koordináta-rendszer egyértelműen egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fent adtam - benne geometriai problémák Gyakran (de nem mindig) a vektorokat és a koordinátatengelyeket is megrajzolják.

Szerintem mindenki érti, hogy pont (eredet) és ortonormális alapot használunk BÁRMILYEN PONT a gépen és BÁRMILYEN VEKTOR a gépen koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: „a repülőn minden megszámlálható”.

A koordinátavektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és két tetszőleges nullától eltérő hosszúságú merőleges vektort:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A vektoros koordináták origóját egy koordináta rács határozza meg, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak adott alapon megvannak a koordinátái. Például, vagy. A nyilvánvaló kellemetlenség az, hogy a koordinátavektorok V általános eset az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek egységgel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : az ortogonális alapon, valamint alatta a sík és tér affin alapjaiban a tengelyek mentén lévő egységeket kell figyelembe venni FELTÉTELES. Például egy egység az x tengely mentén 4 cm-t, egy az ordináta tengely mentén 2 cm-t tartalmaz, ez az információ elegendő ahhoz, hogy szükség esetén a „nem szabványos” koordinátákat „szokásos centimétereinkké” alakítsuk át.

A második kérdés, amelyre tulajdonképpen már válaszoltunk, az, hogy az alapvektorok közötti szögnek 90 fokkal kell-e egyenlőnek lennie? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún eredet, És nem kollineáris vektorok, , készlet affin sík koordinátarendszer :

Néha egy ilyen koordináta-rendszert hívnak ferde rendszer. Példaként a rajz pontokat és vektorokat mutat be:

Mint érti, az affin koordináta-rendszer még kevésbé kényelmes; a vektorok és szegmensek hosszának képletei, amelyeket a lecke második részében tárgyaltunk, nem működnek benne Vektorok bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens elosztásának képletei ebben a relációban, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

A következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb speciális esete a derékszögű téglalaprendszer. Ezért kell leggyakrabban látnod őt, kedvesem. ...Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor egy ferde szög (vagy valami más pl. poláris) koordináta-rendszer. És a humanoidoknak tetszhetnek az ilyen rendszerek =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden probléma érvényes mind a négyszögletes koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti részletezése.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézzük meg, hogy létezik-e vektorokra arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Határozottan mesélek neked ennek a szabálynak a „foppis” változatáról, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal alakítsuk ki az arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

A vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból készítsünk arányt:

Rövidítsük le:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat fordítva is kialakítható, ez egy egyenértékű lehetőség:

Önellenőrzéshez használhatja azt a tényt, hogy kollineáris vektorok lineárisan fejezik ki egymást. Ebben az esetben az egyenlőségek megtörténnek . Érvényességük egyszerűen ellenőrizhető vektoros elemi műveletekkel:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). A vektorokat kollinearitás szempontjából vizsgáljuk . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Következtetés: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Készítsünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Általában ezt a lehetőséget nem utasítják el a véleményezők, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet itt az arányokat átdolgozni? (valóban, nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa a saját megoldásodhoz:

2. példa

A paraméter melyik értékénél vannak a vektorok kollineárisak lesznek?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Van egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és ötödik pontként adjuk hozzá:

Két síkvektorra a következő állítások ekvivalensek:

2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok egymáson keresztül lineárisan kifejezhetők;
+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns egyenlő nullával.

Ezt nagyon-nagyon remélem Ebben a pillanatban már érti az összes kifejezést és kijelentést, amellyel találkozik.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Döntsünk 1. példa a második módon:

a) Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból álló determinánst! :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst :
, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint egy arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak a vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem a szakaszok és egyenesek párhuzamossága is igazolható. Nézzünk meg néhány problémát konkrét geometriai alakzatokkal.

3. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot készíteni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzünk a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Olyan négyszöget nevezünk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és.

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor („iskola szerint” – egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb, ha a döntést egyértelműen, elrendezéssel formalizáljuk. Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak, és .

Következtetés: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég egyszerűen emlékezni arra, hogyan néz ki.

Ezt a feladatot egyedül kell megoldania. Teljes megoldás a lecke végén.

És most itt az ideje, hogy lassan mozogjunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

A) ;
b)
V)

Megoldás:
a) Ellenőrizzük, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáira:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az „egyszerűsített” az arány ellenőrzésével formalizálódik. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térbeli vektorok kollinearitás-ellenőrzésére harmadrendű determináns segítségével; ezt a módszert a cikk tárgyalja. Vektor vektor szorzata.

A sík esethez hasonlóan a vizsgált eszközökkel térbeli szakaszok és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Vektorok lineáris függése és függetlensége háromdimenziós térben.
Téralap és affin koordinátarendszer

A síkon megvizsgált minták közül sok érvényes lesz a térben. Igyekeztem minimalizálni az elméleti jegyzeteket, hiszen az információk oroszlánrészét már megrágták. Javasolom azonban, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések, fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett a háromdimenziós teret vizsgáljuk. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem kerülhetjük el a három dimenziót: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért egy bázis felépítéséhez három térbeli vektorra lesz szükség. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjainkon melegedünk. Kérem, emelje fel a kezét és tárja szét különböző oldalak hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögeik vannak egymás között. Gratulálunk, a háromdimenziós tér alapja készen áll! Egyébként ezt nem kell a tanároknak demonstrálni, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nincs menekvés =)

Ezután tegyünk fel magunknak egy fontos kérdést: alkot-e bármely három vektor a háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg erősen három ujját a számítógépasztal tetejére. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik dimenziót - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Meg kell jegyezni, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük; lehetnek benne párhuzamos síkok(csak ne az ujjaiddal csináld, csak Salvador Dali húzott le így =)).

Meghatározás: vektorokat hívják egysíkú, ha van olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el újra, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nem csak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, és a tér bármely vektora az egyetlen módja egy adott bázisra van felbontva, hol vannak a vektor koordinátái ebben a bázisban

Hadd emlékeztesselek arra, hogy azt is mondhatjuk, hogy a vektor az alakban van ábrázolva lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a sík esetében, elegendő egy pont és bármely három lineárisan független vektor:

eredet, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács „ferde” és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordinátarendszer lehetővé teszi egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni a tér affin koordinátarendszerében.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy mindenki sejti, az derékszögű tér koordinátarendszer:

Egy pont a térben ún eredet, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű derékszögű tér koordinátarendszer . Ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismételten rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Szerintem az ellenkező állítások érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan determináns segítségével ellenőrzik (5. pont). Többi gyakorlati feladatokat kifejezett algebrai karaktere lesz. Ideje letenni a geometria botot, és hadonászni a lineáris algebra baseballütőjével:

Három térvektor akkor és csak akkor koplanárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra szeretném felhívni a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke emiatt nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok kiszámításának módszereit, vagy egyáltalán nem értenek hozzájuk, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e a háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában a teljes megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst (a determináns az első sorban látható):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és a háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok alapot képeznek

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében meg kell oldani egy egyenletet egy determinánssal. Lecsapunk a nullákra, mint a sárkányok a jerboákra – a legjobb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbbre redukáljuk lineáris egyenlet:

Válasz: nál nél

Itt egyszerűen ellenőrizhető; ehhez be kell cserélnie a kapott értéket az eredeti determinánsba, és meg kell győződnie arról, hogy , nyissa ki újra.

Végezetül nézzünk még egyet tipikus feladat, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy megérdemelné a saját témáját:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja a háromdimenziós tér alapját
és ebben az alapban keressük meg a 4. vektor koordinátáit

8. példa

Vektorok adottak. Mutassuk meg, hogy a vektorok bázist képeznek a háromdimenziós térben, és keressük meg a vektor koordinátáit ebben a bázisban.

Megoldás: Először is foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és mint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Hogy mi ez az alap, az minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első szakasz teljesen egybeesik a 6. példa megoldásával; ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és a háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták Szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncokban. Ellenkező esetben zavar lép fel a további megoldási algoritmusban.