Szeretek sétálni Moszkva központjában, ahol sok ódon épület van díszítve geometriai formák tartalmazza az aranymetszés. Vonzzák az ember tekintetét, és megcsodálják szépségüket. Érdekessé vált számomra, hogy a geometria tankönyvön túl nézzek, és az aranymetszés szerepét az élet kulturális szférájában.
aranymetszés(vagy a Phidias aránya) sok kutató szerint a legkellemesebb az emberi szem számára. Ezzel magyarázható sokrétű ember általi felhasználása, például olyan területeken, mint az építészet, a festészet, a fényképezés stb Táj tervezés Ezt az arányt és a hozzá kapcsolódó tulajdonságokat széles körben alkalmazzák. Ezt az arányt nagy becsben tartották a legokosabb emberek, mint például Leonardo Da Vinci és Le Corbusier. Leonardo Da Vinci művész és építész úgy vélte, hogy az emberi test ideális arányait az aranymetszethez kell kötni. Le Corbusier építészt számos munkájában ő vezette. Ebben a témában szerettem volna kezdeti ismereteket szerezni.
A reneszánsz idején az aranymetszés nagyon népszerű volt, például szokás volt a festmény méreteit úgy venni, hogy a szélesség és a magasság aránya megegyezzen Phidias számával. Az aranymetszés formát nemcsak a festmények, hanem a könyvek, asztalok, képeslapok is megkapták. Ezért az ókortól, a reneszánsztól a XIX. Ehhez el kell olvasnia és tanulmányoznia kell a témához kapcsolódó szakirodalmat, megtalálja a legtöbbet Érdekes tényekés mutasd be őket absztraktodban.
Ennek az esszének az a célja, hogy az információkat világos és érdekes módon mutassa be. A cél elérése érdekében a következő feladatokat tűztük ki
1. határozza meg a szimmetria és aszimmetria, az aranymetszés fogalmát!
2. írja le az aranyfigurákat, és építsen meg néhányat közülük!
3. beszélni az isteni arány ember általi alkalmazásáról és használatáról
Munkám megírásához a következő irodalmat használom: Azevich A.I. „A harmónia húsz leckéje”, Vedov V. „Az egészség piramisai”, Sagatelova S.S., Studenetskaya V.N. „Geometria: szépség és harmónia. Egyszerű feladatok analitikus geometria a felszínen. Arany szimmetria, Arány minden körülöttünk. 8-9 évfolyam: választható kurzusok", N.Ya. Vilenkin „Egy matematikai tankönyv lapjai mögött”, cikkek a Tudományos és Technológiai Könyvtár elektronikus változatából, a matematikai enciklopédiának elektronikus változatából. Könyv Azevich A.I. A „Twenty Lessons on Harmony” véleményem szerint jól felöleli a szimmetria és az aszimmetria témáját, és világos és részletes kiindulási információkat ad az aranymetszésről. Sagatelova S.S., Studenetskaya V.N. „Geometria: szépség és harmónia. Az analitikus geometria legegyszerűbb feladatai a síkon. Arany szimmetria, Arány minden körülöttünk. 8-9. osztály: szabadon választható kurzusok" jól leírja az aranyfigurákat és azok megalkotását. N.Ya. Vilenkin „Egy matematika tankönyv lapjai mögött” részletesen elmagyarázza az aranymetszet képleteinek levezetését és tulajdonságait, valamint jól leírja az aranymetszet és a pentagram felépítését is. Vedov V. „Az egészség piramisai” hozzáférhető és érthető módon magyarázza el a Fibonacci-sorozatot és a Phidias-szám származtatását. A Tudományos és Technológiai Könyvtár elektronikus változatából, a matematikai gyermeklexikon elektronikus változatából származó cikkek Részletes leírás az aranymetszés alkalmazásai az ókorban, a reneszánszban és a XIX.
1. fejezet Aranymetszés – szimmetria vagy aszimmetria?
A legfontosabb cél ennek az esszének a bemutatása – hogy a szépséget az esztétika és a matematika fő kategóriájaként mutassuk be.
Gondolkoztál már azon, hogy mit jelent a „harmónia” szó?
A harmónia egy görög szó, jelentése „koherencia, arányosság, részek és egész egysége”. Külsőleg a harmónia megnyilvánulhat dallamban, ritmusban, szimmetriában és arányosságban. Az utolsó kettő a matematikához kapcsolódik. A matematika a szépség megértésének egyedülálló eszköze. Mivel a szépség sokrétű és sokrétű, megerősíti a matematikai törvények egyetemességét.
A harmónia törvénye mindenben uralkodik,
És a világon minden ritmus, akkord és hangszín.
Folytassuk a történetet az elv szerint a legnagyobbtól a legkisebbig.
A szimmetria a világ felépítésének alapelve.
A szimmetria – tágabb vagy szűkebb értelemben, attól függően, hogy miként határozza meg a fogalom jelentését – olyan elképzelés, amelyen keresztül az ember évszázadok óta próbálja megérteni és megteremteni a rendet, a szépséget és a tökéletességet.
G. Weil
A szimmetria általános jelenség, egyetemessége szolgálja hatékony módszer a természet ismerete. A természetben a szimmetria szükséges a stabilitás fenntartásához. A külső szimmetrián belül rejlik a szerkezet belső szimmetriája, amely garantálja az egyensúlyt. A szimmetria az anyag megbízhatóság és erősség iránti vágyának megnyilvánulása.
A szimmetrikus formák biztosítják a sikeres formák megismételhetőségét, így jobban ellenállnak a különféle hatásoknak. A szimmetria változatos.
Egyes objektumok megváltoztathatatlansága különféle műveletek - forgatások, tükrözések, fordítások - kapcsán figyelhető meg.
A szimmetriának három fő típusát tanulmányozzák az iskolában: szimmetriát egy pont körül (centrális szimmetria), szimmetriát egy vonallal (tengely szimmetria) és szimmetriát egy síkkal.
A virág központi szimmetriája
Központi szimmetria mesterséges díszekben.
Szimmetria egy egyeneshez képest a Moszkvai Állami Egyetem épületének példáján
Szimmetria egy síkról egy labdában.
Nem az egyetlen faj szimmetria, van spirális szimmetria is. Ha figyelembe vesszük a levelek elrendezését egy faágon, akkor észrevesszük, hogy a levél egymástól távol van, de a törzs tengelye körül is elfordul. A levelek a törzsön spirális vonal mentén helyezkednek el, hogy ne takarják el egymástól a napfényt.
Helikális szimmetria a természetben egy héj példáján .
A spirális szimmetria használata egy személy által egy lépcső példáján .
A szimmetriának sok arca van. Egyszerre egyszerű és összetett tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek egyszer és végtelenül sokszor megnyilvánulhatnak.
Ha egy személy, akit nem ismer jól, több figurát kínál, akkor ösztönösen kiválasztja a legszimmetrikusabbakat. Valószínűleg ha ilyen helyzetbe kerülünk, akkor választunk egyenlő oldalú háromszög vagy négyzet.
Az ember ösztönösen törekszik a stabilitásra, a kényelemre és a szépségre. A világ annyira kaotikus és kiszámíthatatlan, hogy az embernek a legkellemesebb olyan alakokat és dolgokat észlelni, amelyek rendet, harmóniát és szimmetriát tartalmaznak. Könnyebb olyan alakzatokkal dolgozni, amelyeknek több szimmetriája van.
Az alapján, hogy az ábrák hány szimmetriájúak, osztályozhatók. A legtökéletesebb figurának a labda tekinthető, amely mindenféle szimmetriával rendelkezik.
A szimmetria szorgalmas. Minden fajának erőt ad arra, hogy egyre több új figurát generáljon.
A szimmetria életünk minden területén megfigyelhető: az épületek építésének szimmetriája, a zene és a képek szimmetriája az irodalomban, a tánc szimmetriája.
A szimmetria a világépítés egyik alapelve.
A szimmetria a béke őrzője,
Az aszimmetria az élet motorja.
Az aszimmetrikus is lehet harmonikus. A szimmetria a béke és a nyugalom, míg az aszimmetria a mozgás és a szabadság érzését kelti.
Kutatók, akik megkapták Nóbel díj, megmutatta, hogy világunk aszimmetrikus, a szimmetriatörvényeket nem tartják be az Univerzumban. A világ minden szinten aszimmetrikus: tól elemi részecskék biológiai fajokra.
Az aszimmetria harmóniájának leghíresebb példája az aranymetszés. Vannak olyan szavak, amelyek Johannes Keplerhez tartoznak: „A geometriának két kincse van: az egyik a Pitagorasz-tétel, a másik a szakasz felosztása az átlagos és szélsőséges arányban.” A nagy tudós a „szegmens felosztása az átlagos és szélsőséges arány” egy jól ismert arányt jelent – az aranymetszés . Ez az arány az esszém témája. A következő fejezetekben az aranymetszés használatáról lesz szó, az alábbiakban pedig definíciót adok ennek a fogalomnak és annak elnyerésének módjáról.
Bárki, aki legalább közvetve találkozott a térbeli objektumok geometriájával a belsőépítészetben és az építészetben, valószínűleg jól ismeri az aranymetszés elvét. Egészen a közelmúltig, több évtizeddel ezelőtt az aranymetszés olyan népszerűsége volt, hogy a misztikus elméletek és a világ szerkezetének számos híve univerzális harmonikus szabálynak nevezi.
Az egyetemes arány lényege
Meglepően más. Az ilyen egyszerű numerikus függőséghez való elfogult, szinte misztikus hozzáállás oka több szokatlan tulajdonság volt:
- Az élővilágban számos objektum, a vírusoktól az emberekig, alapvető test- vagy végtag-arányai nagyon közel állnak az aranymetszés értékéhez;
- A 0,63-as vagy 1,62-es függőség csak a biológiai lényekre és bizonyos típusú kristályokra jellemző, az élettelen tárgyak az ásványoktól a tájelemekig rendkívül ritkán rendelkeznek aranymetszés geometriájával;
- A testfelépítésben az arany arányok bizonyultak a legoptimálisabbnak a valódi biológiai tárgyak túlélése szempontjából.
Ma az aranymetszés az állatok testének felépítésében, a puhatestűek héjában és héjában, a levelek, ágak, törzsek és gyökérrendszerek arányában található meg. nagyszámú cserjék és gyógynövények.
Az aranymetszet egyetemességének elméletének számos követője többször is kísérletet tett annak bizonyítására, hogy arányai a legoptimálisabbak biológiai szervezetek létezésük körülményei között.
Példaként szokták felhozni az egyik tengeri puhatestű Astreae Heliotropium héjának szerkezetét. A héj egy tekercselt kalcit héj, amelynek geometriája gyakorlatilag egybeesik az aranymetszés arányaival.
Érthetőbb és kézenfekvőbb példa egy közönséges csirke tojás.
A fő paraméterek aránya, nevezetesen a nagy és kicsi fókusz, vagy a felszín egyenlő távolságra lévő pontjaitól a súlypontig terjedő távolságok szintén megfelelnek az aranymetszésnek. Ugyanakkor a madártojás héjának formája a legoptimálisabb a madár, mint biológiai faj fennmaradásához. Ebben az esetben a héj erőssége nem játszik fő szerepet.
Tájékoztatásképpen! Ennek eredményeként jött létre az aranymetszés, amelyet a geometria univerzális arányának is neveznek Hatalmas mennyiségű gyakorlati mérések, valódi növények, madarak, állatok méreteinek összehasonlítása.
Az egyetemes arány eredete
Az ókori görög matematikusok, Eukleidész és Pythagoras tudtak a metszet aranymetszetéről. Az egyik emlékműben ősi építészet- a Kheopsz-piramis oldal- és alaparányú, az egyes elemek és a faldomborművek az univerzális aránynak megfelelően készülnek.
Az aranymetszet technikát a középkorban széles körben használták a művészek és építészek, míg az univerzális arány lényegét a világegyetem egyik titkaként tartották számon, és gondosan elrejtették az egyszerű ember elől. Számos festmény, szobor és épület kompozíciója szigorúan az aranymetszet arányainak megfelelően épült.
Az egyetemes arány lényegét először 1509-ben dokumentálta Luca Pacioli ferences szerzetes, aki briliáns matematikai képességek. Az igazi felismerés azonban azután következett be, hogy Zeising német tudós átfogó vizsgálatot végzett az emberi test, az ősi szobrok, műalkotások, állatok és növények arányairól és geometriájáról.
A legtöbb élő tárgyban bizonyos testméretekre ugyanazok az arányok vonatkoznak. 1855-ben a tudósok arra a következtetésre jutottak, hogy az aranymetszet arányai egyfajta mércét jelentenek a test és a forma harmóniájában. Ez körülbelül, mindenekelőtt az élőlényekről, a holt természetnél az aranymetszés sokkal ritkább.
Hogyan szerezhető be az aranymetszés
Az aranymetszés legkönnyebben úgy képzelhető el, mint ugyanazon tárgy két különböző hosszúságú, egy ponttal elválasztott részének aránya.
Egyszerűen fogalmazva, egy kis szegmens hány hossza fér bele egy nagy szegmensbe, vagy a legnagyobb rész aránya egy lineáris objektum teljes hosszához. Az első esetben az aranymetszés 0,63, a második esetben a képarány 1,618034.
A gyakorlatban az aranymetszés csak egy arány, egy bizonyos hosszúságú szakaszok, egy téglalap oldalainak aránya vagy más geometriai formák, valós objektumok kapcsolódó vagy kapcsolódó dimenziós jellemzői.
Kezdetben az arany arányokat empirikusan, geometriai konstrukciók segítségével határozták meg. Számos módja van a harmonikus arány létrehozásának vagy származtatásának:
Tájékoztatásképpen! A klasszikus aranymetszettől eltérően az építészeti változat 44:56-os képarányt tartalmaz.
Ha az élőlényekre, festményekre, grafikákra, szobrokra és ókori épületekre vonatkozó aranymetszés standard változatát 37:63-ra számolták, akkor az építészetben a 17. század végétől kezdődően egyre inkább 44:56-ra kezdték használni az aranymetszés arányát. A legtöbb szakértő a magasépítés elterjedésének tartja a „négyzetesebb” arányok javára történő változást.
Az aranymetszés fő titka
Ha az univerzális metszet természetes megnyilvánulásai az állatok és az emberek testének arányában, a növények szárbázisában még mindig az evolúcióval és a külső környezet hatásához való alkalmazkodóképességgel magyarázhatók, akkor az aranymetszet felfedezése a konstrukcióban századi házak építése bizonyos meglepetést okozott. Sőt, a híres ókori görög Parthenont egyetemes arányok betartásával építették, a középkori gazdag nemesek és gazdag emberek házait és kastélyait szándékosan, az aranymetszéshez nagyon közel álló paraméterekkel építették.
Aranymetszés az építészetben
A máig fennmaradt épületek közül sok arra utal, hogy a középkori építészek tudtak az aranymetszés létezéséről, és természetesen a házépítés során is primitív számításaik és függőségeik vezérelték őket, a segítséggel. amiből igyekeztek maximális erőt elérni. A legszebb és legharmonikusabb házak építésének vágya különösen az uralkodók lakóházaiban, templomaiban, városházáiban és a társadalomban kiemelt társadalmi jelentőségű épületekben mutatkozott meg.
Például a híres párizsi Notre Dame-székesegyháznak sok olyan szakasza és méretlánca van, amelyek arányaiban megfelelnek az aranymetszésnek.
Még mielőtt Zeising professzor 1855-ben publikálta volna kutatásait, in késő XVIII században épült fel az aranymetszet arányait felhasználva a híres építészeti komplexum, a szentpétervári Golicin Kórház és a Szenátus épülete, a Moszkvában a Pashkov-ház és a Petrovszkij-palota.
Természetesen korábban is az aranymetszés szabályának szigorú betartásával épültek a házak. Érdemes megemlíteni a nerli kegytemplom ókori építészeti emlékét, amely az ábrán látható.
Mindegyiket nem csak a formák harmonikus kombinációja és jó minőségépítkezés, hanem mindenekelőtt az aranymetszés jelenléte az épület arányaiban. Az épület elképesztő szépsége még titokzatosabbá válik, ha figyelembe vesszük a korát is A kegytemplom épülete a 13. századra nyúlik vissza, de az épület a 17. század fordulóján kapta modern építészeti megjelenését. a helyreállítás és a rekonstrukció eredménye.
Az aranymetszés jellemzői az ember számára
A középkori épületek és házak ősi építészete továbbra is vonzó és érdekes modern ember sok ok miatt:
- Egyedi művészeti stílus a homlokzatok kialakításánál kerüli a modern kliséket és az unalmasságot, minden épület műalkotás;
- Masszív felhasználás szobrok, szobrok, stukkó díszlécek díszítésére és díszítésére, különböző korok építési megoldásainak szokatlan kombinációira;
- Az épület arányai és kompozíciója felhívja a figyelmet az épület legfontosabb elemeire.
Fontos! Otthon tervezésénél és fejlesztésénél kinézet A középkori építészek az aranymetszés szabályát alkalmazták, öntudatlanul is felhasználva az emberi tudatalatti felfogásának sajátosságait.
A modern pszichológusok kísérletileg bebizonyították, hogy az aranymetszés az ember tudattalan vágyának vagy reakciójának megnyilvánulása a méretek, formák és színek harmonikus kombinációjára vagy arányára. Kísérletet végeztek, amelyben egymást nem ismerő, közös érdeklődési körökkel, különböző szakmákkal és korcsoportokkal nem rendelkező emberek csoportjának tesztsorozatot ajánlottak fel, amelyek között az volt a feladat, hogy minél többen meghajlítsanak egy papírlapot. az oldalak optimális aránya. A tesztelési eredmények alapján kiderült, hogy 100-ból 85 esetben szinte pontosan az aranymetszés szerint hajlították meg a lapot az alanyok.
Ezért modern tudományúgy véli, hogy az univerzális arány jelensége pszichológiai jelenség, nem pedig metafizikai erők hatása.
Az univerzális metszettényező használata a modern tervezésben és építészetben
Az aranyarány alkalmazásának elvei az elmúlt években rendkívül népszerűvé váltak a magánházak építésében. Az építőanyagok ökológiáját és biztonságát felváltotta a harmonikus tervezés és helyes elosztás energia a házban.
Az egyetemes harmónia szabályának modern értelmezése már rég túlterjedt a tárgyak szokásos geometriáján és alakján. Ma már nem csak a karzat és oromfal hosszának méretláncaira, a homlokzat egyes elemeire és az épület magasságára vonatkozik a szabály, hanem a helyiségek területére, az ablak- és ajtónyílásokra, sőt a színséma a szoba belsejében.
A harmonikus ház felépítésének legegyszerűbb módja a moduláris alapon. Ebben az esetben a legtöbb részleg és helyiség önálló blokkok vagy modulok formájában készül, amelyeket az aranymetszés szabályának megfelelően terveztek. Harmonikus modulokból álló épületet sokkal könnyebb építeni, mint egy dobozt, amelyben a homlokzat és a belső tér nagy részének az aranymetszés arányainak szigorú keretein belül kell lennie.
Sok magánháztartást tervező építőipari cég az aranymetszés alapelveit és koncepcióit használja a költségbecslés növelésére, és azt a benyomást keltve az ügyfelekben, hogy a ház tervezése alaposan kidolgozott. Általában egy ilyen házat nagyon kényelmesnek és harmonikusnak nyilvánítanak. A helyiségek helyesen kiválasztott aránya garantálja a lelki kényelmet és a tulajdonosok kiváló egészségét.
Ha a házat az aranymetszet optimális arányainak figyelembevétele nélkül építették, akkor áttervezheti a helyiségeket úgy, hogy a helyiség arányai megfeleljenek a falak arányának 1:1,61 arányban. Ehhez a bútorok mozgathatók, vagy további válaszfalak telepíthetők a helyiségekben. Ugyanígy az ablak- és ajtónyílások méreteit úgy változtatják meg, hogy a nyílás szélessége 1,61-szer kisebb legyen, mint az ajtólap magassága. Ugyanígy történik a bútorok, háztartási gépek, fal- és padlódekoráció tervezése is.
Nehezebb a színséma kiválasztása. Ebben az esetben a szokásos 63:37 arány helyett az aranyszabály követői leegyszerűsített értelmezést fogadtak el - 2/3. Vagyis a fő színháttérnek a szoba területének 60% -át kell elfoglalnia, legfeljebb 30% -ot kell adni az árnyékoló színnek, a többit pedig különféle kapcsolódó tónusokhoz kell hozzárendelni, amelyek célja a színséma észlelésének javítása. .
A helyiség belső falait 70 cm magasságban vízszintes szalag vagy szegély választja el, a beépített bútorok arányosak legyenek a mennyezet magasságával az aranymetszés szerint. Ugyanez a szabály vonatkozik a hosszok elosztására is, például a kanapé mérete nem haladhatja meg a válaszfal hosszának 2/3-át, és a bútorok által elfoglalt teljes terület a szoba területére vonatkozik, mint 1 :1.61.
Az aranyarány a gyakorlatban egy keresztmetszeti érték miatt nehezen alkalmazható nagy léptékben, ezért harmonikus épületek tervezésénél gyakran Fibonacci-számok sorozatához folyamodnak. Ez lehetővé teszi, hogy bővítse a ház fő elemeinek arányaira és geometriai formáira vonatkozó lehetséges lehetőségek számát. Ebben az esetben az egyértelmű matematikai kapcsolattal összekapcsolt Fibonacci-számok sorozatát harmonikusnak vagy aranynak nevezzük.
Az aranymetszés elvén alapuló háztervezés modern módszerében a Fibonacci sorozat mellett széles körben alkalmazzák a híres francia építész, Le Corbusier által javasolt elvet. Ebben az esetben a jövőbeli tulajdonos magasságát vagy egy személy átlagos magasságát választják kiindulási mértékegységként, amellyel az épület és a belső tér összes paraméterét kiszámítják. Ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy olyan házat tervezzen, amely nemcsak harmonikus, hanem igazán egyedi is.
Következtetés
A gyakorlatban azok véleménye szerint, akik úgy döntöttek, hogy az aranymetszés szabálya szerint házat építenek, egy jól megépített épület valójában meglehetősen kényelmesnek bizonyul az élethez. De az épület költsége az egyedi tervezés és az építőanyag-használat miatt nem szabványos méretek 60-70%-kal nő. És ebben a megközelítésben nincs semmi új, hiszen a múlt század legtöbb épülete kifejezetten alá épült egyéni jellemzők leendő tulajdonosai.
Az ember alakjuk alapján különbözteti meg a körülötte lévő tárgyakat. A tárgy alakja iránti érdeklődést diktálhatja létszükséglet, vagy a forma szépsége okozhatja. A forma, amelynek felépítése a szimmetria és az aranymetszés kombinációján alapul, hozzájárul a legjobb vizuális érzékeléshez, valamint a szépség és harmónia érzésének megjelenéséhez. Az egész mindig részekből áll, a különböző méretű részek bizonyos viszonyban állnak egymással és az egésszel. Az aranymetszés elve az egész és részei szerkezeti és funkcionális tökéletességének legmagasabb megnyilvánulása a művészetben, a tudományban, a technikában és a természetben.
Aranymetszés – harmonikus arány
A matematikában arány(lat. proportio) két reláció egyenlőségének nevezik: a : b = c : d.Egyenes szegmens AB két részre osztható a következő módokon:
két egyenlő részre - AB : AC = AB : Nap;
két minden tekintetben nem egyenlő részre (az ilyen részek nem alkotnak arányokat);
így mikor AB : AC = AC : Nap.
Az aranymetszés egy szakasz olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz a nagyobb részhez kapcsolódik, mint ahogy maga a nagyobb rész a kisebbhez; vagy más szavakkal, a kisebb szegmens a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez
a : b = b : c vagy Val vel : b = b : A.
Rizs. 1. Az aranymetszés geometriai képe
Az aranymetszés gyakorlati megismerése azzal kezdődik, hogy egy egyenes szakaszt arany arányban osztunk el egy iránytű és vonalzó segítségével.
Rizs. 2. Egyenes szakasz felosztása az aranymetszés segítségével. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. = 1/2 AB; CD = IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.
Pontból BAN BEN felével egyenlő merőleges helyreáll AB. Kapott pontot VAL VEL vonallal összekötve egy ponttal A. Az eredményül kapott egyenesen egy szakaszt ábrázolunk Nap ponttal végződve D. Vonalszakasz HIRDETÉSátkerült a direktbe AB. Az eredményül kapott pont E szakaszt oszt AB aranymetszésben.
Az aranymetszés szegmenseit végtelen irracionális törtként fejezzük ki A.E.= 0,618..., ha AB vegyük egynek LENNI= 0,382... Gyakorlati célokra gyakran 0,62 és 0,38 hozzávetőleges értékeket használnak. Ha a szegmens AB 100 résznek vesszük, akkor a szegmens nagyobb része 62, a kisebb része 38 rész.
Az aranymetszés tulajdonságait a következő egyenlet írja le:
x 2 - x - 1 = 0.
Ennek az egyenletnek a megoldása:
Az aranymetszés tulajdonságai romantikus titokzatos aurát és szinte misztikus imádatot teremtettek e szám köré.
Második aranymetszés
A „Fatherland” bolgár magazin (1983. 10. szám) közzétette Cvetan Tsekov-Karandash cikkét „A második aranymetszetről”, amely a fő részből következik, és egy másik 44:56 arányt ad meg.Ez az arány megtalálható az építészetben, és akkor is előfordul, ha hosszúkás vízszintes formátumú képekből kompozíciókat készítünk.
Rizs. 3. A második aranymetszés építése
A felosztás a következőképpen történik (lásd 3. ábra). Vonalszakasz AB aranymetszés szerint osztva. Pontból VAL VEL a merőleges helyreáll CD. Sugár AB van egy pont D, amelyet egy egyenes köt össze egy ponttal A. Derékszög ACD felére van osztva. Pontból VAL VEL addig húzunk egy vonalat, amíg az nem metszi a vonalat HIRDETÉS. Pont E szakaszt oszt HIRDETÉS 56:44-hez képest.
Rizs. 4. Egy téglalap felosztása a második aranymetszés vonalával
ábrán. A 4. ábra a második aranymetszés vonalának helyzetét mutatja. Az aranymetszés vonala és a téglalap középső vonala között félúton található.
Arany háromszög
A növekvő és csökkenő sorozat aranyarányának szegmenseinek megtalálásához használhatja pentagramma.Rizs. 5.Építkezés szabályos ötszögés pentagrammák
Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni. Építésének módját Albrecht Durer (1471...1528) német festő és grafikus dolgozta ki. Hadd O- a kör középpontja, A- egy pont a körön és E- a szegmens közepe OA. A sugárra merőleges OA, helyreállították a ponton RÓL RŐL, metszi a kört a pontban D. Iránytű segítségével rajzoljon egy szakaszt az átmérőre C.E. = ED. A körbe írt szabályos ötszög oldalhossza a DC. Helyezzen el szegmenseket a körön DCés öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásához. Az ötszög sarkait átlókkal összekötjük egymással, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekötött szegmensekre.
Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszöget képvisel. Oldalai a csúcson 36°-os szöget zárnak be, az oldalra fektetett alap pedig az aranymetszés arányában osztja fel.
Rizs. 6. Az arany háromszög építése
Közvetlen AB. Pontból A fektessen rá háromszor egy szegmenst RÓL RŐL tetszőleges érték, a kapott ponton keresztül R húzz egy merőlegest az egyenesre AB, a pont jobb és bal oldali merőlegesén R tegye félre a szegmenseket RÓL RŐL. Kapott pontokat dÉs d 1 csatlakoztasson egyenes vonalakkal egy ponthoz A. Vonalszakasz dd tegyen 1-et a sorba Hirdetés 1, kap egy pontot VAL VEL. Megosztotta a vonalat Hirdetés 1 az aranymetszés arányában. Vonalak Hirdetés 1 és dd 1 „arany” téglalap készítésére szolgál.
Az aranymetszés története
Általánosan elfogadott, hogy az aranyfelosztás fogalmát Pythagoras, egy ókori görög filozófus és matematikus vezette be a tudományos használatba (Kr. e. VI. század). Van egy feltevés, hogy Pythagoras az egyiptomiaktól és babiloniaktól kölcsönözte tudását az arany felosztásról. Valójában a Kheopsz-piramis, a templomok, a domborművek, a háztartási cikkek és a Tutanhamon sírjából származó ékszerek arányai azt mutatják, hogy az egyiptomi kézművesek az arany felosztás arányait alkalmazták létrehozásukkor. Le Corbusier francia építész megállapította, hogy I. Seti fáraó abüdoszi templomának domborművében és a Ramszesz fáraót ábrázoló domborműben az alakzatok arányai megfelelnek az aranyoszlop értékeinek. Khesira építész, akit a róla elnevezett sírból származó fatábla domborművön ábrázoltak, mérőműszereket tart a kezében, amelyekben az arany osztás arányait rögzítik.A görögök képzett geométerek voltak. Még számtant is tanítottak gyermekeiknek geometriai alakzatok segítségével. A Pitagorasz-négyzet és ennek a négyzetnek az átlója volt az alapja a dinamikus téglalapok felépítésének.
Rizs. 7. Dinamikus téglalapok
Platón (Kr. e. 427...347) is tudott az aranyosztásról. „Timeus” című dialógusa a püthagorasz-iskola matematikai és esztétikai nézeteinek, és különösen az aranyfelosztás kérdéseinek szentel.
A Parthenon ókori görög templomának homlokzata arany arányú. Az ásatások során olyan iránytűket fedeztek fel, amelyeket az ókori világ építészei és szobrászai használtak. A pompei iránytű (nápolyi múzeum) az arany osztás arányait is tartalmazza.
Rizs. 8. Antik aranymetszésű iránytű
A meglévőben ókori irodalom Az aranyfelosztást először Eukleidész Elemei című művében említették. Az „Elvek” 2. könyvében az aranyfelosztás geometriai felépítését adjuk meg, Eukleidész után az aranyosztás vizsgálatát Hypsicles (Kr. e. II. század), Pappus (Kr. u. III. század) és mások végezték. középkori Európa Eukleidész Elemeinek arab fordításaiból ismerkedtünk meg az aranyfelosztással. J. Campano navarrai fordító (III. század) megjegyzéseket fűzött a fordításhoz. Az arany hadosztály titkait féltékenyen őrizték és szigorú titokban tartották. Csak a beavatottak ismerték őket.
A reneszánsz idején a tudósok és a művészek körében megnőtt az érdeklődés az aranyfelosztás iránt, mivel mind a geometriában, mind a művészetben, különösen az építészetben alkalmazták Leonardo da Vinci művész és tudós úgy látta, hogy az olasz művészek sok empirikus tapasztalattal rendelkeznek, de kevés. tudás . Fogant és elkezdett egy geometriáról szóló könyvet írni, de ekkor megjelent Luca Pacioli szerzetes könyve, és Leonardo feladta az ötletét. A kortársak és a tudománytörténészek szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, Olaszország legnagyobb matematikusa a Fibonacci és Galilei közötti időszakban. Luca Pacioli Piero della Franceschi művész tanítványa volt, aki két könyvet írt, amelyek közül az egyik „A festészet perspektívájáról” címet viselte. A leíró geometria megalkotójának tartják.
Luca Pacioli tökéletesen megértette a tudomány jelentőségét a művészet számára. 1496-ban Moreau hercegének meghívására Milánóba érkezett, ahol matematikáról tartott előadásokat. Leonardo da Vinci akkoriban Milánóban is dolgozott a morói udvarban. 1509-ben Velencében adták ki Luca Pacioli „Az isteni arány” című könyvét, zseniálisan kivitelezett illusztrációkkal, ezért is gondolják, hogy Leonardo da Vinci készítette. A könyv az aranymetszés lelkes himnusza volt. Az arany arány sok előnye között Luca Pacioli szerzetes nem mulasztotta el annak „isteni lényegét” az isteni háromság kifejezéseként megnevezni – Isten a fiú, Isten az atya és Isten a szent szellem (azt sejtették, hogy a kicsi a szegmens Isten, a fiú megszemélyesítése, a nagyobb szegmens - Isten, az Atya, és az egész szegmens - a Szentlélek Istene).
Leonardo da Vinci is nagy figyelmet fordított az aranyosztály tanulmányozására. Szabályos ötszögekből kialakított sztereometrikus test metszeteit készítette, és minden alkalommal arany osztású téglalapokat kapott. Ezért adta ennek az osztálynak a nevet aranymetszés. Tehát továbbra is a legnépszerűbb.
Ugyanakkor Európa északi részén, Németországban Albrecht Dürer ugyanezen a problémákon dolgozott. Felvázolja az arányokról szóló értekezés első változatának bevezetőjét. Dürer írja. „Szükséges, hogy valaki, aki tud valamit, megtanítsa azt másoknak, akiknek szükségük van rá. Ez az, amit elhatároztam."
Dürer egyik leveléből ítélve Olaszországban találkozott Luca Paciolival. Albrecht Durer részletesen kidolgozza az emberi test arányainak elméletét. Dürer kapcsolatrendszerében fontos helyet tulajdonított az aranymetszetnek. Az ember magasságát arany arányban osztja fel az öv vonala, valamint a leengedett kezek középső ujjainak hegyén keresztül húzott vonal, az arc alsó része a száj stb. A Dürer-féle arányos iránytű jól ismert.
A 16. század nagy csillagásza. Johannes Kepler az aranymetszetet a geometria egyik kincsének nevezte. Elsőként hívta fel a figyelmet az aranyarány botanika (növénynövekedés és szerkezetük) fontosságára.
Kepler az aranyarányt önmagától folytatódónak nevezte. „Olyan szerkezetű – írta –, hogy ennek a soha véget nem érő aránynak a két legalacsonyabb tagja összeadódik a harmadik taggal, és bármely két utolsó tag, ha összeadjuk. , adja meg a következő tagot, és ugyanaz az arány marad a végtelenségig."
Az aranyarányú szegmenssorozat felépítése történhet mind a növekedés (növekvő sorozat), mind a csökkenés irányában (csökkenő sorozat).
Ha tetszőleges hosszúságú egyenesen van, tegye félre a szakaszt m, tegye mellé a szegmenst M. E két szegmens alapján felállítjuk a növekvő és a csökkenő sorozatok arany arányának szegmenseinek skáláját.
Rizs. 9. Arany arányú szegmensek skála felépítése
A következő évszázadokban az aranyarány szabálya akadémiai kánonná változott, és amikor idővel a művészetben megkezdődött az akadémiai rutin elleni küzdelem, a küzdelem hevében „kidobták a babát a fürdővízzel”. Az aranymetszés a 19. század közepén került újra „felfedezésre”. Az aranymetszés német kutatója, Zeising professzor 1855-ben publikálta „Esztétikai tanulmányok” című munkáját. Zeisinggel pontosan az történt, aminek elkerülhetetlenül meg kell történnie egy olyan kutatóval, aki egy jelenséget olyannak tekint, anélkül, hogy más jelenségekkel lenne összefüggésben. Abszolutizálta az aranymetszet arányát, egyetemesnek nyilvánítva a természet és a művészet minden jelenségére. Zeisingnek számos követője volt, de voltak olyan ellenzők is, akik az arányok tanát „matematikai esztétikának” nyilvánították.
Rizs. 10. Arany arányok az emberi test egyes részein
Zeising óriási munkát végzett. Körülbelül kétezer emberi testet mért meg, és arra a következtetésre jutott, hogy az aranymetszés az átlagos statisztikai törvényt fejezi ki. A test köldökpont szerinti felosztása az aranymetszés legfontosabb mutatója. A férfi test arányai a 13:8 = 1,625 átlagos arányon belül ingadoznak, és valamivel közelebb állnak az aranymetszethez, mint a női test arányai, amelyekhez viszonyítva az arány átlagos értéke a 8 arányban fejeződik ki: 5 = 1,6. Egy újszülöttnél ez az arány 1:1, 13 évesen 1,6, 21 évesen pedig megegyezik a férfiével. Az aranymetszés arányai a test más részeihez képest is megjelennek - a váll, az alkar és a kéz, a kéz és az ujjak hosszához képest.
Rizs. tizenegy. Arany arányok az emberi alakban
Zeising görög szobrokon tesztelte elméletének érvényességét. Ő dolgozta ki a legrészletesebben Apollo Belvedere arányait. Görög vázák, különböző korok építészeti szerkezetei, növények, állatok, madártojások, zenei hangok, költői méter. Zeising definíciót adott az aranymetszésnek, és megmutatta, hogyan fejeződik ki egyenes szakaszokban és számokban. Amikor megkapták a szegmensek hosszát kifejező számokat, Zeising úgy látta, hogy ezek egy Fibonacci-sorozatot alkotnak, amely a végtelenségig folytatható egyik vagy másik irányban. Következő könyve az „Arany Division as the Basic Morphological Law in Nature and Art” címet viselte. 1876-ban Oroszországban megjelent egy kis könyv, szinte brosúra, amely Zeising e munkáját ismerteti. A szerző a Yu.F.V. kezdőbetűk alatt keresett menedéket. Ez a kiadás egyetlen festményről sem tesz említést.
A 19. század végén - a 20. század elején. Számos tisztán formalista elmélet jelent meg az aranymetszés művészeti és építészeti alkotásokban való használatáról. A formatervezés és a műszaki esztétika fejlődésével az aranymetszés törvénye kiterjedt az autók, bútorok stb.
Fibonacci sorozat
A pisai Leonardo olasz matematikus szerzetes, ismertebb nevén Fibonacci (Bonacci fia) neve közvetve összefügg az aranymetszés történetével. Sokat utazott keleten, megismertette Európát az indiai (arab) számokkal. 1202-ben jelent meg „Az abakusz könyve” (számlálótábla) matematikai munkája, amely az akkor ismert összes problémát összegyűjtötte. Az egyik probléma a következő volt: „Hány pár nyúl születik egy párból egy év alatt”. Erre a témára reflektálva Fibonacci a következő számsorokat építette fel:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. számsorok. Fibonacci sorozatként ismert. A számsor sajátossága, hogy minden tagja, a harmadiktól kezdve, egyenlő az összeggel két előző 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 stb., és a sorozat szomszédos számainak aránya megközelíti az aranyosztás arányát. Tehát 21:34 = 0,617 és 34: 55 = 0,618. Ezt a kapcsolatot a szimbólum jelöli F. Csak ez az arány - 0,618: 0,382 - ad egy egyenes szakasz folyamatos aranyarányos felosztását, növelve vagy csökkentve azt a végtelenségig, amikor a kisebb szakasz a nagyobbhoz viszonyul, mint a nagyobb az egészhez.
Fibonacci a kereskedelem gyakorlati szükségleteivel is foglalkozott: hány súlyszámmal lehet a legkevesebbet lemérni egy terméket? Fibonacci bizonyítja, hogy az optimális súlyrendszer: 1, 2, 4, 8, 16...
Általánosított aranymetszés
A Fibonacci-sorozat csak matematikai incidens maradhatott volna, ha nem az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az arany törvényének számtani kifejezésére. osztály.A tudósok folytatták a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletének aktív fejlesztését. Yu. Matiyasevics Fibonacci számok segítségével megoldja Hilbert 10. feladatát. Elegáns módszerek vannak kialakulóban számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására a Fibonacci-számok és az aranymetszés segítségével. Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.
Ezen a területen az egyik vívmány az általánosított Fibonacci-számok és az általánosított aranymetszés felfedezése.
A Fibonacci sorozat (1, 1, 2, 3, 5, 8) és az általa felfedezett „bináris” súlysorok 1, 2, 4, 8, 16... első ránézésre teljesen más. De a felépítésük algoritmusai nagyon hasonlóak egymáshoz: az első esetben minden szám az előző szám összege önmagával 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., a másodikban az előző két szám összege: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2... Megtalálható-e az összeg matematikai képlet, amelyből a „bináris” sorozatot és a Fibonacci sorozatot is megkapjuk? Vagy talán ez a képlet olyan új numerikus halmazokat ad, amelyek néhány új egyedi tulajdonsággal rendelkeznek?
Valóban, állítsuk be a numerikus paramétert S, amely tetszőleges értéket vehet fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tekintsünk egy számsort, S melynek első tagjai közül + 1 egység, a továbbiak mindegyike egyenlő az előző két tagjának összegével, és az előzőtől elválasztva S lépések. Ha n Ennek a sorozatnak a tagját φ S ( n), akkor megkapjuk általános képletφ S ( n) = φ S ( n-1) + φ S ( n - S - 1).
Nyilvánvaló, hogy mikor S= 0 ebből a képletből egy „bináris” sorozatot kapunk, azzal S= 1 - Fibonacci sorozat, vele S= 2, 3, 4. új számsorok, amelyeket hívunk S-Fibonacci számok.
BAN BEN Általános nézet aranysárga S-arány az aranyegyenlet pozitív gyökere S-szakaszok x S+1 - x S - 1 = 0.
Könnyű megmutatni, hogy mikor S= 0, a szakaszt fel kell osztani, és mikor S= 1 - az ismerős klasszikus aranymetszés.
Szomszédok közötti kapcsolatok S- A Fibonacci számok abszolút matematikai pontossággal esnek egybe az arany határértékében S- arányok! A matematikusok ilyenkor azt mondják, hogy arany S-a szakaszok numerikus invariánsok S-Fibonacci számok.
Az arany létezését megerősítő tények S-szakaszok a természetben, idézi a fehérorosz tudós, E.M. Soroko a „Rendszerek strukturális harmóniája” című könyvében (Minszk, „Tudomány és technológia”, 1984). Kiderül például, hogy a jól tanulmányozott bináris ötvözetek csak akkor rendelkeznek speciális, kifejezett funkcionális tulajdonságokkal (hőstabil, kemény, kopásálló, oxidációnak ellenálló stb.), ha az eredeti komponensek fajsúlya összefügg egymással. az egyik arany által S- arányok. Ez lehetővé tette a szerző számára, hogy felállítsa azt a hipotézist, hogy az arany S-a szakaszok az önszervező rendszerek numerikus invariánsai. Kísérletileg megerősítve ez a hipotézis alapvető jelentőségű lehet a szinergetika – egy új tudományterület, amely az önszerveződő rendszerekben zajló folyamatokat vizsgálja – fejlődésében.
Arany kódok használata S-az arányok bármely valós számmal kifejezhetők az arany hatványainak összegeként S-arányok egész együtthatókkal.
Az alapvető különbség a számok kódolásának e módszere között az, hogy az új kódok alapjai arany színűek. S-arányok, azzal S> 0 irracionális számoknak bizonyulnak. Így az irracionális alapokkal rendelkező új számrendszerek a racionális és irracionális számok közötti kapcsolatok történelmileg kialakult hierarchiáját „fejtől talpig” helyezik. A tény az, hogy a természetes számokat először „fedezték fel”; akkor arányaik racionális számok. És csak később - miután a pitagoreusok összemérhetetlen szegmenseket fedeztek fel - születtek irracionális számok. Például a decimális, quináris, bináris és más klasszikus helyzeti számrendszerekben a természetes számokat egyfajta alapelvként választották - 10, 5, 2 -, amelyből bizonyos szabályok szerint az összes többi természetes szám, valamint a racionális szám. és irracionális számokat szerkesztettek.
A létező jelölési módszerek egyfajta alternatívája egy új, irracionális rendszer, mint alapelv, melynek kezdete egy irracionális szám (amely, emlékezzünk vissza, az aranymetszés egyenletének gyökere); más valós számok már kifejeződnek rajta.
Ilyen számrendszerben bármely természetes szám mindig végesként ábrázolható – és nem végtelenként, ahogy korábban gondoltuk! - bármely arany fokozatának összege S- arányok. Ez az egyik oka annak, hogy az „irracionális” aritmetika, amely elképesztő matematikai egyszerűséggel és eleganciával rendelkezik, úgy tűnik, felszívódik. legjobb tulajdonságait klasszikus bináris és Fibonacci aritmetika.
A természetben való képződés alapelvei
Minden, ami valamilyen formát öltött, kialakult, nőtt, igyekezett helyet foglalni a térben és megőrizni önmagát. Ez a vágy főként kétféleképpen valósul meg - felfelé növekszik vagy elterjed a föld felszínén, és spirálban csavarodik.A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel rövidebb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagylón 35 cm hosszú spirál van.A spirálok nagyon gyakoriak a természetben. Az aranymetszés ötlete hiányos lesz, ha a spirálról nem beszélünk.
Rizs. 12. Archimedes spirál
A spirálisan felgöndörödött kagyló alakja felkeltette Arkhimédész figyelmét. Tanulmányozta, és kidolgozta a spirál egyenletét. Az egyenlet szerint megrajzolt spirált az ő nevén nevezik. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a technológiában.
Goethe is hangsúlyozta a természet spiralitásra való hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen észlelték. A spirál napraforgómag, fenyőtoboz, ananász, kaktuszok stb. elrendezésében volt látható. Botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a Fibonacci sorozat a levelek elrendezésében egy ágon (phylotaxis), a napraforgómagban és a fenyőtobozban nyilvánul meg, ezért az aranymetszés törvénye megnyilvánul. A pók spirálmintában szövi hálóját. A hurrikán spirálként pörög. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős hélixben van csavarva. Goethe a spirált az „élet görbéjének” nevezte.
Az út menti gyógynövények között nő egy figyelemre méltó növény - a cikória. Nézzük meg közelebbről. A fő szárból hajtás keletkezett. Az első levél ott volt.
Rizs. 13. Cikória
A hajtás erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de ezúttal rövidebb, mint az első, ismét kilökődik a térbe, de kisebb erővel, egy még kisebb méretű levelet enged ki és ismét kilökődik . Ha az első kibocsátást 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24 stb. A szirmok hossza is az arany aránytól függ. A növekedés és a tér meghódítása során a növény megőrizte bizonyos arányait. Növekedésének impulzusai az aranymetszés arányában fokozatosan csökkentek.
Rizs. 14.Élénk gyík
Első pillantásra a gyík olyan arányokkal rendelkezik, amelyek kellemesek a szemünk számára - a farka hossza a test többi részének hosszához kapcsolódik, 62-38.
Mind a növényi, mind az állati világban kitartóan áttör a természet formáló hajlama - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg.
A természet szimmetrikus részekre és arany arányokra osztott. A részek az egész szerkezetének ismétlődését tárják fel.
Rizs. 15. madártojás
A nagy Goethe költő, természettudós és művész (akvarellben rajzolt és festett) az organikus testek formájának, kialakulásának és átalakulásának egységes tanának megalkotásáról álmodozott. Ő vezette be a morfológia kifejezést a tudományos használatba.
Pierre Curie a század elején számos mélyreható gondolatot fogalmazott meg a szimmetriával kapcsolatban. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni anélkül, hogy ne vesszük figyelembe a környezet szimmetriáját.
Az „arany” szimmetria törvényei az elemi részecskék energiaátmeneteiben, egyes részecskék szerkezetében nyilvánulnak meg. kémiai vegyületek, bolygó- és űrrendszerek, az élő szervezetek génstruktúráiban. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, az egyes emberi szervek és a test egészének szerkezetében léteznek, és megnyilvánulnak az agy bioritmusában és működésében, valamint a vizuális észlelésben.
Aranymetszés és szimmetria
Az aranymetszés önmagában, külön-külön, a szimmetriával való kapcsolat nélkül nem tekinthető. A nagy orosz krisztallográfus G.V. Wulf (1863...1925) az aranymetszetet a szimmetria egyik megnyilvánulásának tartotta.Az aranyfelosztás nem az aszimmetria megnyilvánulása, hanem valami ellentéte a szimmetriával, a modern elképzelések szerint az aranyfelosztás aszimmetrikus szimmetria. A szimmetria tudománya olyan fogalmakat foglal magában, mint pl statikusÉs dinamikus szimmetria. A statikus szimmetria a békét és az egyensúlyt, míg a dinamikus szimmetria a mozgást és a növekedést jellemzi. Így a természetben a statikus szimmetriát a kristályok szerkezete képviseli, a művészetben pedig a békét, az egyensúlyt és a mozdulatlanságot jellemzi. A dinamikus szimmetria aktivitást fejez ki, mozgást, fejlődést, ritmust jellemez, az élet bizonyítéka. A statikus szimmetriát egyenlő szegmensek és egyenlő értékek jellemzik. A dinamikus szimmetriát a szegmensek növekedése vagy csökkenése jellemzi, és ez egy növekvő vagy csökkenő sorozat aranymetszetének értékeiben fejeződik ki.
Titok aranymetszés próbálta felfogni Platón, Euklidész, Pythagoras, Leonardo da Vinci, Kepler. A régen megalkotott aranyarány máig sok tudós elméjét izgatja.
Ősidők óta az emberek igyekeztek megérteni, hogyan szervezi és strukturálja világunkat a természet.
Pythagorasúgy gondolták, hogy a világ szigorú geometriai törvények szerint szerveződik, és az univerzum alapja a szám. Vannak arra vonatkozó javaslatok, hogy az aranyfelosztásról szerzett ismereteit az egyiptomiaktól és babiloniaktól kölcsönözte. Ezt bizonyítják a Kheopsz-piramis, a templomok, a háztartási cikkek és a Tutanhamon sírjából származó dekorációk arányai.
A régiek egyik feladata az volt, hogy egy szakaszt 2 egyenlő részre osszanak fel úgy, hogy a nagyobb szakasz hossza ugyanúgy viszonyuljon a kisebb hosszához, mint a teljes szakasz hossza a szelvény hosszához. nagyobbat.
Illetve ezt az arányt megfordítva megkereshetjük a kisebb és a nagyobb arányát, így kiszámítottuk, hogy a nagyobb és a kisebb aránya = 1,61803..., és a kisebbek a nagyobbak aránya = 0,61803...
BAN BEN Ókori Görögország az ilyen felosztást harmonikus aránynak nevezték. 1509-ben olasz matematikus és szerzetes Luca Pacioliírt egy egész könyvet" Az isteni arányról».
2. Arany háromszög és pentagram
« Arany"háromszög egyenlő szárú háromszög, az oldal és az alap aránya 1,618 ( 1. számú melléklet).
aranymetszés a pentagramban is látható - ezt nevezték a görögök csillagpoligonnak.
Az ötágú csillagot formáló húzott átlókkal ellátott ötszöget pentagrammának nevezték, amelyet ősidők óta tisztelt alaknak tartottak.
A jóság ősi mágikus jele volt, és a tűz, a föld, a víz, a fa és a fém világa mögött meghúzódó öt alapelv testvérisége. A pentagram egy szabályos ötszög, amelynek mindkét oldala fel van építve egyenlő szárú háromszögek, egyenlő magasságú.
Az ötágú csillag nagyon szép, nem hiába helyezi sok ország zászlójára és címerére. Ennek a figurának a tökéletes formája örömet okoz a szemnek.
Az ötszög szó szerint arányokból van szőve, és mindenekelőtt az arany arányból ( 2. függelék).
A „Fatherland” bolgár magazin (1983. 10. szám) közzétette Cvetan Tsekov-Karandash cikkét „A második aranymetszetről”, amely a fő részből következik, és egy másik 44:56 arányt ad meg.
Ez az arány megtalálható az építészetben, és akkor is előfordul, ha hosszúkás vízszintes formátumú képekből kompozíciókat készítünk.
Az ábra a második aranymetszés vonalának helyzetét mutatja. Az aranymetszés vonala és a téglalap középső vonala között félúton található.
Arany háromszög
A növekvő és csökkenő sorozat aranyarányának szegmenseinek megtalálásához használhatja pentagramma.
Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni. Építésének módját Albrecht Durer (1471...1528) német festő és grafikus dolgozta ki. Hadd O- a kör középpontja, A- egy pont a körön és E- a szegmens közepe OA. A sugárra merőleges OA, helyreállították a ponton RÓL RŐL, metszi a kört a pontban D. Iránytű segítségével rajzoljon egy szakaszt az átmérőre C.E. = ED. A körbe írt szabályos ötszög oldalhossza a DC. Helyezzen el szegmenseket a körön DCés öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásához. Az ötszög sarkait átlókkal összekötjük egymással, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekötött szegmensekre.
Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszöget képvisel. Oldalai a csúcson 36°-os szöget zárnak be, az oldalra fektetett alap pedig az aranymetszés arányában osztja fel.
Közvetlen AB. Pontból A háromszor ábrázolunk rajta egy tetszőleges méretű O szakaszt, a kapott ponton keresztül R húzz egy merőlegest az egyenesre AB, a pont jobb és bal oldali merőlegesén R tegye félre a szegmenseket RÓL RŐL. Kapott pontokat dÉs d1 egyenes vonalakkal összekötjük egy ponttal A. Vonalszakasz dd1 sorba rakni Ad1, kap egy pontot VAL VEL. Megosztotta a vonalat Ad1 az aranymetszés arányában. Vonalak Ad1És dd1„arany” téglalap felépítésére használják.
