Meghatározás. Az F (x) függvényt egy adott intervallumon lévő f (x) függvény antiderivatívájának nevezzük, ha egy adott intervallum bármely x-ére F"(x)= f (x).

Az antiderivatívek fő tulajdonsága.

Ha F (x) az f (x) függvény antideriváltja, akkor az F (x)+ C függvény, ahol C egy tetszőleges állandó, egyben az f (x) függvény antideriváltja is (vagyis az összes antideriváltja az f(x) függvényt F(x) + C formában írjuk fel.

Geometriai értelmezés.

Egy adott f (x) függvény összes antideriváltjának grafikonja bármely antiderivált grafikonjából származik az Oy tengely mentén történő párhuzamos fordításokkal.

Az antiderivatívek táblázata.

Az antiderivatívek megtalálásának szabályai .

Legyen F(x) és G(x) az f(x) és g(x) függvények antideriváltjai. Akkor:

1. F ( x) ± G ( x) – antiderivatív for f(x) ± g(x);

2. A F ( x) – antiderivatív for Af(x);

3. – antiderivatív a Af(kx +b).

Feladatok és tesztek az "Antiderivoid" témában

• Antiderivatív

  Leckék: 1 Feladatok: 11 Feladat: 1

• Származék és antiderivatív - Egységes államvizsgára való felkészítés HASZNÁLJA a matematikát matematika

  Feladatok: 3

• Integrál - Antiderivatív és integrál 11. fokozat

  Leckék: 4 Feladatok: 13 Tesztek: 1

• Területszámítás integrálok segítségével - Antiderivatív és integrál 11. fokozat

  Leckék: 1 Feladatok: 10 teszt: 1

Miután tanult ez a téma, Tudnia kell, mit nevezünk antideriváltnak, fő tulajdonságát, geometriai értelmezését, az antideriválták megtalálásának szabályait; meg tudja találni a függvények összes antideriváltját táblázat és az antideriválták megtalálásának szabályai segítségével, valamint egy adott ponton áthaladó antiderivált. Nézzük meg a témával kapcsolatos problémák megoldását példák segítségével. Ügyeljen a döntések formázására.

Példák.

1. Állapítsa meg, hogy az F ( x) = x 3 – 3x+ 1 antiderivált a funkcióhoz f(x) = 3(x 2 – 1).

Megoldás: F"( x) = (x 3 – 3x+ 1)′ = 3 x 2 – 3 = 3(x 2 – 1) = f(x), azaz F"( x) = f(x), ezért F(x) az f(x) függvény antideriváltja.

2. Keresse meg az összes f(x) antiderivatív függvényt:

A) f(x) = x 4 + 3x 2 + 5

Megoldás: A táblázatot és az antiderivatívek megtalálásának szabályait felhasználva a következőket kapjuk:

Válasz:

b) f(x) = bűn(3 x – 2)

Megoldás:

Az integrálok megoldása könnyű feladat, de csak néhány kiválasztott számára. Ez a cikk azoknak szól, akik szeretnének megtanulni megérteni az integrálokat, de semmit vagy szinte semmit nem tudnak róluk. Integrál... Miért van szükség rá? Hogyan kell kiszámolni? Mik azok a határozott és határozatlan integrálok? Ha az integrálnak csak egy horgolótűt ismer, amely egy integrálikon alakú horgolótűt használ, hogy valami hasznosat hozzon ki a nehezen elérhető helyekről, akkor üdvözöljük! Tudja meg, hogyan kell megoldani az integrálokat, és miért nem megy nélküle.

Tanulmányozzuk az "integrál" fogalmát

Az integráció már régen ismert volt Az ókori Egyiptom. Természetesen nem benne modern forma, de még mindig. Azóta a matematikusok sok könyvet írtak erről a témáról. Különösen kitüntették magukat Newton És Leibniz , de a dolgok lényege nem változott. Hogyan lehet a semmiből megérteni az integrálokat? Semmiképpen! A téma megértéséhez továbbra is szüksége lesz a matematikai elemzés alapjainak alapismeretére. Az integrálok megértéséhez szükséges információk már vannak a blogunkon.

Határozatlan integrál

Legyen valami funkciónk f(x) .

Határozatlan integrálfüggvény f(x) ezt a függvényt hívják F(x) , melynek deriváltja egyenlő a függvénnyel f(x) .

Más szavakkal, az integrál egy fordított származék vagy egy antiderivált. A hogyanról egyébként cikkünkben olvashat.

Minden folytonos funkcióhoz létezik antiderivált. Emellett gyakran konstans előjelet adnak az antideriválthoz, mivel a konstansban eltérő függvények származékai egybeesnek. Az integrál megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük.

Egyszerű példa:

Hogy ne kelljen állandóan antiderivatívákat számolni elemi függvények, célszerű táblázatban összefoglalni és kész értékeket használni.

Az integrálok teljes táblázata a tanulók számára

Határozott integrál

Amikor az integrál fogalmával foglalkozunk, végtelenül kicsi mennyiségekkel van dolgunk. Az integrál segít kiszámítani az ábra területét, az inhomogén test tömegét, a megtett távolságot egyenetlen mozgásút és még sok más. Emlékeztetni kell arra, hogy az integrál végtelen összeg nagy mennyiség végtelenül kicsi kifejezések.

Példaként képzeljük el valamilyen függvény grafikonját. Hogyan találjuk meg egy ábra területét, amelyet egy függvény grafikonja határol?

Integrál használatával! Osszuk fel a függvény koordinátatengelyeivel és grafikonjával határolt görbe vonalú trapézt infinitezimális szegmensekre. Így az ábra vékony oszlopokra lesz osztva. Az oszlopok területének összege a trapéz területe lesz. De ne feledje, hogy egy ilyen számítás hozzávetőleges eredményt ad. Azonban minél kisebbek és keskenyebbek a szegmensek, annál pontosabb lesz a számítás. Ha olyan mértékben csökkentjük őket, hogy a hosszúság nullára hajlik, akkor a szegmensek területének összege az ábra területéhez fog fordulni. Ez egy határozott integrál, amely így van írva:

Az a és b pontokat integrációs határoknak nevezzük.

Bari Alibasov és az "Integral" csoport

Apropó! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak

A próbabábu integrálszámításának szabályai

A határozatlan integrál tulajdonságai

Hogyan lehet megoldani egy határozatlan integrált? Itt megnézzük a határozatlan integrál tulajdonságait, ami a példák megoldásánál lesz hasznos.

• Az integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

• A konstans kivehető az integráljel alól:

• Az összeg integrálja egyenlő az összeggel integrálok. Ez a különbségre is igaz:

Határozott integrál tulajdonságai

• Linearitás:

• Az integrál előjele megváltozik, ha az integráció határait felcseréljük:

• Nál nél Bármi pontokat a, bÉs Val vel:

Azt már megtudtuk, hogy a határozott integrál egy összeg határa. De hogyan lehet konkrét értéket kapni egy példa megoldása során? Erre van a Newton-Leibniz képlet:

Példák integrálok megoldására

Az alábbiakban néhány példát fogunk megvizsgálni a határozatlan integrálok megtalálására. Javasoljuk, hogy saját maga találja ki a megoldás bonyolultságát, és ha valami nem világos, tegye fel kérdéseit a megjegyzésekben.

Az anyag megerősítéséhez nézzen meg egy videót az integrálok gyakorlati megoldásáról. Ne essen kétségbe, ha az integrált nem adják meg azonnal. Forduljon egy professzionális diákszolgálathoz, és minden zárt felületen lévő hármas vagy ívelt integrált az Ön rendelkezésére áll.

Antiderivatív funkció f(x) közte (a; b) ezt a függvényt hívják F(x), ez az egyenlőség mindenre érvényes x adott intervallumból.

Ha figyelembe vesszük azt a tényt, hogy egy állandó deriváltja VAL VEL egyenlő nullával, akkor az egyenlőség igaz. Tehát a funkció f(x) sok primitíve van F(x)+C, tetszőleges állandóra VAL VEL, és ezek az antiderivatívek tetszőleges állandó értékkel különböznek egymástól.

A határozatlan integrál definíciója.

Az antiderivatív funkciók teljes készlete f(x) ennek a függvénynek határozatlan integráljának nevezzük és jelöljük .

A kifejezést ún integrand, A f(x) – integrand függvény. Az integrandus a függvény differenciálját jelenti f(x).

Azt a műveletet, amely során egy ismeretlen függvényt találunk a differenciálértéke alapján, nevezzük bizonytalan integráció, mert az integráció eredménye egynél több függvény F(x), és primitíveinek halmaza F(x)+C.

A határozatlan integrál geometriai jelentése. A D(x) antiderivált grafikonját integrálgörbének nevezzük. Az x0y koordinátarendszerben egy adott függvény összes antideriváltjának grafikonja a C konstans értékétől függő görbecsaládot reprezentál, és a 0y tengely mentén párhuzamos eltolással kapjuk meg egymást. A fent tárgyalt példához a következőket találjuk:

J 2 x^x = x2 + C.

Az antideriváltak családját (x + C) geometriailag parabolák halmaza értelmezi.

Ha egy antiderivatív családból kell találnia egyet, akkor további feltételeket állít be, amelyek lehetővé teszik a C állandó meghatározását. Általában erre a célra a kezdeti feltételeket beállítják: amikor az argumentum x = x0, a függvény értéke D. (x0) = y0.

Példa. Meg kell találni, hogy az y = 2 x függvény egyik antideriváltja, amely x0 = 1-nél a 3 értéket veszi fel.

A szükséges antiderivált: D(x) = x2 + 2.

Megoldás. ^2x^x = x2 + C; 12+C=3; C = 2.

2. A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrand függvénnyel:

2. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandus kifejezéssel:

3. Egy bizonyos függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő magának ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével:

4. A konstans tényező kivehető az integrál előjelből:

5. Az összeg (különbség) integrálja egyenlő az integrálok összegével (különbség):

6. A tulajdonság a 4. és 5. tulajdonság kombinációja:

7. A határozatlan integrál invariancia tulajdonsága:

Ha , Azt

8. Ingatlan:

Ha , Azt

Valójában ez a tulajdonság a változóváltoztatási módszerrel történő integráció speciális esete, amelyről a következő részben részletesebben is lesz szó.

Nézzünk egy példát:

3. Integrációs módszer amelyben egy adott integrált az integrandus (vagy kifejezés) azonos transzformációival és a határozatlan integrál tulajdonságainak alkalmazásával egy vagy több táblaintegrálra redukálunk, az ún. közvetlen integráció. Ha ezt az integrált táblázatosra redukáljuk, gyakran a következő differenciális transzformációkat alkalmazzuk (művelet feliratkozás a különbözeti jelre»):

Egyáltalán, f’(u)du = d(f(u)). Ezt (a képletet nagyon gyakran használják integrálok számításakor.

Keresse meg az integrált

Megoldás. Használjuk az integrál tulajdonságait, és redukáljuk ezt az integrált több táblázatosra.

4. Integráció helyettesítési módszerrel.

A módszer lényege, hogy bevezetünk egy új változót, ezen a változón keresztül fejezzük ki az integrandust, és ennek eredményeként az integrál táblázatos (vagy egyszerűbb) alakjához jutunk.

A trigonometrikus függvények és függvények gyökökkel való integrálásakor nagyon gyakran a helyettesítési módszer jön segítségül.

Példa.

Keresse meg a határozatlan integrált .

Megoldás.

Vezessünk be egy új változót. Kifejezzük x keresztül z:

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az eredeti integrálba:

A rendelkezésünkre álló antiderivatívek táblázatából .

Már csak vissza kell térni az eredeti változóhoz x:

Válasz:

Óra és előadás a témában: "Antiderivatív függvény. Függvény grafikonja"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 11. évfolyamnak
Algebrai feladatok paraméterekkel, 9–11. évfolyam
"Interaktív feladatok az űrben való építésről 10. és 11. osztályosoknak"

Antiderivatív funkció. Bevezetés

Srácok, tudjátok, hogyan kell függvények deriváltjait megtalálni különféle képletekkel és szabályokkal. Ma a műveletet tanulmányozzuk, a számítás inverze derivált. A származék fogalmát gyakran használják való élet. Hadd emlékeztesselek: a derivált egy függvény változási sebessége egy adott pontban. A mozgással és sebességgel járó folyamatokat jól leírják ezek a kifejezések.

Nézzük meg ezt a problémát: „Egy egyenes vonalban mozgó objektum sebességét a $V=gt$ képlet írja le, ez szükséges a mozgástörvény visszaállításához.
Megoldás.
Jól ismerjük a képletet: $S"=v(t)$, ahol S a mozgás törvénye.
Feladatunk egy $S=S(t)$ függvény keresése, amelynek deriváltja egyenlő a $gt$-val. Ha figyelmesen megnézi, kitalálhatja, hogy $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Ellenőrizzük a probléma megoldásának helyességét: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
A függvény deriváltjának ismeretében megtaláltuk magát a függvényt, vagyis végrehajtottuk az inverz műveletet.
De erre a pillanatra érdemes odafigyelni. Feladatunk megoldása pontosítást igényel, ha a talált függvényhez tetszőleges számot (konstanst) adunk, akkor a derivált értéke nem változik: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Srácok, figyelem: a mi feladatunk az végtelen halmaz megoldásokat!
Ha a probléma nem ad meg kezdeti vagy más feltételt, ne felejtsen el állandót hozzáadni a megoldáshoz. Például feladatunk meghatározhatja testünk helyzetét a mozgás legelején. Ekkor nem nehéz kiszámítani az állandót, a kapott egyenletbe nullát behelyettesítve megkapjuk az állandó értékét.

Mi ennek a műveletnek a neve?
A differenciálás fordított műveletét integrációnak nevezzük.
Függvény keresése adott deriváltból – integráció.
Magát a függvényt antideriváltnak fogjuk nevezni, vagyis annak a képnek, amelyből a függvény deriváltját kaptuk.
Szokásos az antideriváltat nagybetűvel írni $y=F"(x)=f(x)$.

Meghatározás. A $y=F(x)$ függvényt a $у=f(x)$ függvény antideriváltjának nevezzük az X intervallumon, ha bármely $хϵХ$ esetén fennáll a $F'(x)=f(x)$ egyenlőség .

Készítsünk egy táblázatot az antiderivatívákról különféle funkciókat. Emlékeztetőül ki kell nyomtatni és megjegyezni.

Táblázatunkban nem adtunk meg kezdeti feltételeket. Ez azt jelenti, hogy a táblázat jobb oldalán minden kifejezéshez hozzá kell adni egy állandót. Ezt a szabályt később pontosítjuk.

Az antiderivatívek megtalálásának szabályai

Írjunk le néhány szabályt, amelyek segíthetnek az antiderivatívák megtalálásában. Mindegyik hasonló a megkülönböztetés szabályaihoz.

1. szabály Egy összeg antiderivatívája egyenlő az antiderivatívák összegével. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Példa.
Keresse meg a $y=4x^3+cos(x)$ függvény antideriváltját.
Megoldás.
Az összeg antideriváltja egyenlő az antideriválták összegével, ekkor meg kell találnunk az antiderivatívát minden bemutatott függvényhez.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Ekkor az eredeti függvény antideriváltja: $y=x^4+sin(x)$ vagy bármely $y=x^4+sin(x)+C$ alakú függvény.

2. szabály Ha $F(x)$ az $f(x)$ antideriváltja, akkor a $k*F(x)$ a $k*f(x)$ függvény antideriváltája.(Az együtthatót könnyen függvénynek vehetjük).

Példa.
Keresse meg a függvények származékait:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Megoldás.
a) A $sin(x)$ antideriváltja mínusz $cos(x)$. Ekkor az eredeti függvény antideriváltja a következő alakot ölti: $y=-8cos(x)$.

B) A $cos(x)$ antideriváltja $sin(x)$. Ekkor az eredeti függvény antideriváltja a következő alakot ölti: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) A $x^2$ antideriváltja: $\frac(x^3)(3)$. Az x antideriváltja $\frac(x^2)(2)$. 1 antideriváltja x. Ekkor az eredeti függvény antideriváltja a következő formában lesz: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

3. szabály. Ha a $у=F(x)$ a $y=f(x)$ függvény antideriváltja, akkor a $y=f(kx+m)$ függvény antideriváltja a $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Példa.
Keresse meg a következő funkciók antideriváltjait:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Megoldás.
a) A $cos(x)$ antideriváltja $sin(x)$. Ekkor a $y=cos(7x)$ függvény antideriváltja a $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ függvény lesz.

B) A $sin(x)$ antideriváltja mínusz $cos(x)$. Ekkor a $y=sin(\frac(x)(2))$ függvény antideriváltja a $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) A $x^3$ antideriváltja $\frac(x^4)(4)$, majd az eredeti $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Kissé egyszerűsítse a kifejezést a $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ hatványra.
Az exponenciális függvény antideriváltja maga exponenciális függvény. Az eredeti függvény antideriváltja a következő lesz: $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Tétel. Ha $y=F(x)$ az $y=f(x)$ függvény antideriváltja az X intervallumon, akkor az $y=f(x)$ függvénynek végtelen sok antideriváltája van, és mindegyik rendelkezik a $y=F( x)+С$ alak.

Ha az összes fent vizsgált példában meg kellett találni az összes antiderivált halmazát, akkor a C állandót mindenhol hozzá kell adni.
A $y=cos(7x)$ függvény minden antiderivált alakja a következő: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
A $y=(-2x+3)^3$ függvény minden antiderivált alakja a következő: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Példa.
Adott a test sebességének időbeli változásának törvénye $v=-3sin(4t)$, keresse meg a $S=S(t)$ mozgástörvényt, ha az időpont kezdeti pillanatában a test koordinátája egyenlő 1.75.
Megoldás.
Mivel $v=S’(t)$, meg kell találnunk az adott sebesség antideriváltját.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Ebben a feladatban ez adott további feltétel- az idő kezdeti pillanata. Ez azt jelenti, hogy $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Ekkor a mozgás törvényét a következő képlet írja le: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Önállóan megoldandó problémák

1. Keresse meg a függvények származékait:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Keresse meg a következő függvények származékait:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. A test sebességének időbeli változásának adott törvénye szerint $v=4cos(6t)$, keresse meg a $S=S(t)$ mozgástörvényt, ha a testnek az idő kezdeti pillanatában koordinátája egyenlő 2-vel.

Minden matematikai művelethez van egy fordított művelet. A differenciálás műveletéhez (függvények származékainak megtalálásához) van egy fordított művelet is - az integráció. Az integrálással egy függvényt megtalálunk (rekonstruálunk) az adott deriváltjából vagy differenciáljából. A talált függvényt hívjuk antiderivatív.

Meghatározás. Differenciálható funkció F(x) függvény antideriváltjának nevezzük f(x) adott intervallumon, ha mindenre x ebből az intervallumból a következő egyenlőség érvényesül: F′(x)=f(x).

Példák. Keresse meg a függvények antideriváltjait: 1) f (x)=2x; 2) f(x)=3cos3x.

1) Mivel (x²)′=2x, akkor definíció szerint az F (x)=x² függvény az f (x)=2x függvény antideriváltja.

2) (sin3x)′=3cos3x. Ha jelöljük f (x)=3cos3x és F (x)=sin3x, akkor az antiderivált definíció szerint a következőt kapjuk: F′(x)=f (x), és ezért F (x)=sin3x egy antiderivált, ha f (x)=3cos3x.

Vegye figyelembe, hogy (sin3x +5 )′= 3cos3x, és (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... általános formában ezt írhatjuk: (sin3x +C)′= 3cos3x, Ahol VAL VEL- néhány állandó. Ezek a példák az integráció műveletének kétértelműségét jelzik, ellentétben a differenciálással, amikor bármely differenciálható függvénynek egyetlen deriváltja van.

Meghatározás. Ha a funkció F(x) a függvény antideriváltja f(x) egy bizonyos intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antideriváltjának halmaza a következő alakú:

F(x)+C, ahol C bármely valós szám.

Az f (x) függvény F (x) + C antideriváltjainak halmazát a vizsgált intervallumon határozatlan integrálnak nevezzük, és a szimbólummal jelöljük. ∫ (integrált jel). Írd le: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Kifejezés ∫f(x)dx olvassa el: „ef integrál x-ből de x-be”.

f(x)dx- integráns kifejezés,

f(x)– integráns funkció,

x az integrációs változó.

F(x)- egy függvény antideriváltja f(x),

VAL VEL- valamilyen állandó érték.

Most a figyelembe vett példák a következőképpen írhatók fel:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Mit jelent a d jel?

d- differenciáljel - kettős célja van: először is ez a jel választja el az integrandust az integrációs változótól; másodszor, minden, ami ez után a jel után következik, alapértelmezés szerint megkülönböztetve van, és megszorozzuk az integrandummal.

Példák. Keresse meg az integrálokat: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) A differenciálmű ikon után d költségeket xx, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Hasonlítsa össze a példával 1).

Csináljunk egy ellenőrzést. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) A differenciálmű ikon után d költségeket R. Ez azt jelenti, hogy az integrációs változó R, és a szorzó xállandó értéknek kell tekinteni.

∫ 2хрдр=р²х+С. Hasonlítsa össze példákkal 1) És 3).

Csináljunk egy ellenőrzést. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).