MEGHATÁROZÁS

Tizedes logaritmus az úgynevezett 10-es logaritmus:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ez a logaritmus a megoldás exponenciális egyenlet. Néha (főleg a külföldi szakirodalomban) a decimális logaritmust is jelölik, bár az első két elnevezés is a természetes logaritmus velejárója.

Az első táblázatok decimális logaritmus Henry Briggs (1561-1630) angol matematikus publikálta 1617-ben (ezért a külföldi tudósok gyakran Briggs-nek nevezik a decimális logaritmusokat), de ezek a táblázatok hibákat tartalmaztak. Georg Barthalomew Vega (Juri Veha vagy Vehovec, 1754-1802) szlovén és osztrák matematikus táblázatai (1783) alapján 1857-ben a német csillagász és földmérő, Karl Bremiker (1804-1877) adta ki az első hibamentes kiadást. Az orosz matematikus és tanár, Leonty Filippovich Magnitsky (Telyatin vagy Telyashin, 1669-1739) részvételével Oroszországban 1703-ban adták ki az első logaritmustáblázatokat. Számításokhoz széles körben használták a decimális logaritmusokat.

A decimális logaritmusok tulajdonságai

Ez a logaritmus rendelkezik a logaritmusban rejlő összes tulajdonsággal egy tetszőleges bázishoz:

1. Alapvető logaritmikus azonosság:

5. .

7. Áttérés új alapra:

A decimális logaritmus függvény egy függvény. Ennek a görbének a grafikonját gyakran nevezik logaritmikus.

Az y=lg x függvény tulajdonságai

1) A meghatározás hatálya: .

2) Több jelentése: .

3) Általános funkció.

4) A függvény nem periodikus.

5) A függvény grafikonja a pontban metszi az x tengelyt.

6) Az előjel állandóságának intervallumai: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} azért .

Tehát kettős hatalmunk van. Ha az alsó sorból veszi ki a számot, könnyen megtalálhatja azt a teljesítményt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapj, kettőt kell emelned a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.

És most tulajdonképpen a logaritmus meghatározása:

Az x logaritmusának alapja az a hatvány, amelyre a-t fel kell emelni, hogy x-et kapjunk.

Jelölés: log a x = b, ahol a az alap, x az argumentum, b az, amivel a logaritmus valójában egyenlő.

Például 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Ugyanilyen sikerrel log 2 64 = 6, mivel 2 6 = 64.

Egy szám egy adott bázishoz való logaritmusának megtalálását logaritmizálásnak nevezzük. Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:

Sajnos nem minden logaritmus számítható ki ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a log 2 5 értéket. Az 5-ös szám nincs a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol az intervallumon belül legyen. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok a végtelenségig írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (az alap és az argumentum). Sokan először összekeverik, hol az alap és hol az érv. Elkerülni bosszantó félreértések, nézd csak meg a képet:

[Felirat a képhez]

Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Emlékezik: a logaritmus egy hatvány, amelybe a bázist be kell építeni, hogy argumentumot kapjunk. Ez az alapot, amely hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Már az első órán elmondom a tanítványaimnak ezt a csodálatos szabályt – és nem keletkezik zavar.

Kitaláltuk a definíciót – már csak az van hátra, hogy megtanuljuk a logaritmusok számolását, azaz megszabadulni a „napló” jelzéstől. Először is megjegyezzük, hogy a meghatározásból két fontos tény következik:

1. Az argumentumnak és az alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál. Ez következik a diploma meghatározásából racionális mutató, amelyre a logaritmus definíciója következik.
2. Az alapnak másnak kell lennie, mint az egyiknek, mivel az egyik bármilyen mértékben is az marad. Emiatt értelmetlen a „milyen hatalomra kell emelni az embert, hogy kettőt kapjunk” kérdés. Ilyen végzettség nincs!

Az ilyen korlátozásokat hívják vidék elfogadható értékeket (ODZ). Kiderül, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vegye figyelembe, hogy a b számra (a logaritmus értékére) nincs korlátozás. Például a logaritmus lehet negatív is: log 2 0.5 = −1, mert 0,5 = 2 -1.

Most azonban csak mérlegeljük numerikus kifejezések, ahol nem szükséges ismerni a logaritmus CVD-jét. A problémák szerzői már minden korlátozást figyelembe vettek. De amikor mennek logaritmikus egyenletekés egyenlőtlenségek, a DHS követelményei kötelezővé válnak. Hiszen az alap és az érv nagyon erős konstrukciókat tartalmazhat, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.

Most nézzük meg a logaritmusszámítás általános sémáját. Három lépésből áll:

1. Fejezzük ki az a bázist és az x argumentumot olyan hatványként, amelynek minimális lehetséges bázisa nagyobb egynél. Útközben jobb, ha megszabadulunk a tizedesjegyektől;
2. Oldja meg a b változó egyenletét: x = a b ;
3. A kapott b szám lesz a válasz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésben látható lesz. Nagyon fontos az a követelmény, hogy a bázis nagyobb legyen egynél: ez csökkenti a hiba valószínűségét, és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Ugyanez a helyzet a tizedes törtekkel: ha azonnal átalakítja őket közönséges törtekre, sokkal kevesebb hiba lesz.

Nézzük meg, hogyan működik ez a séma konkrét példák segítségével:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot öt hatványaként: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. A választ kaptuk: 2.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust:

[Felirat a képhez]

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. A választ kaptuk: 3.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. A választ kaptuk: 0.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot hét hatványaként: 7 = 7 1 ; A 14 nem ábrázolható hét hatványaként, mivel a 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Az előző bekezdésből az következik, hogy a logaritmus nem számít;
3. A válasz nem változik: napló 7 14.

Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet biztos abban, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű – csak vegye figyelembe az elsődleges tényezőkben. És ha az ilyen tényezők nem gyűjthetők hatványokba azonos kitevőkkel, akkor az eredeti szám nem pontos hatvány.

Feladat. Nézze meg, hogy a számok pontos hatványok-e: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - pontos fok, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nem pontos hatvány, mivel két tényező van: 3 és 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - pontos fok;
35 = 7 · 5 - ismét nem pontos hatvány;
14 = 7 · 2 - megint nem pontos fok;

Vegyük észre azt is, hogy mi magunk prímszámok mindig pontos fokozatai önmaguknak.

Tizedes logaritmus

Egyes logaritmusok olyan gyakoriak, hogy különleges nevük és szimbólumuk van.

Az x decimális logaritmusa a 10-es alapú logaritmus, azaz. Az a hatvány, amelyre a 10-et fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: lg x.

Például log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.

Mostantól kezdve, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg egy tankönyvben, mint a „Find lg 0.01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez egy decimális logaritmus. Ha azonban nem ismeri ezt a jelölést, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a decimális logaritmusokra is.

Természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek megvan a maga jelölése. Bizonyos szempontból ez még a decimálisnál is fontosabb. Ez körülbelül a természetes logaritmusról.

Az x természetes logaritmusa az e bázis logaritmusa, azaz. az a hatvány, amelyre az e számot fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: ln x .

Sokan kérdezik: mi az e szám? Ez egy irracionális szám, pontos értéke nem található és nem írható le. Csak az első számokat közlöm:
e = 2,718281828459...

Nem részletezzük, mi ez a szám, és miért van rá szükség. Ne feledje, hogy e a természetes logaritmus alapja:
ln x = log e x

így ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában a természetes logaritmus bármely racionális szám irracionális. Kivéve persze egyet: ln 1 = 0.

Mert természetes logaritmusok a közönséges logaritmusokra igaz összes szabály érvényes.

Gyakran veszik a tízes számot. A tízes bázison alapuló számok logaritmusait hívjuk decimális. A decimális logaritmussal végzett számítások során gyakori az előjellel történő művelet lg, de nem log; ebben az esetben a bázist meghatározó tízes szám nincs feltüntetve. Igen, cseréljük napló 10 105 leegyszerűsítve lg105; A napló 10 2 tovább lg2.

Mert decimális logaritmus ugyanazok a jellemzők, mint az egynél nagyobb bázisú logaritmusok. A decimális logaritmusokat ugyanis kizárólag pozitív számokra jellemzik. Az egynél nagyobb számok decimális logaritmusa pozitív, az egynél kisebb számoké pedig negatív; két nem negatív szám közül a nagyobb megegyezik a nagyobb decimális logaritmussal, stb. Ezenkívül a decimális logaritmusoknak van megkülönböztető jellegzetességekés sajátos jellemzők, amelyek megmagyarázzák, miért kényelmes a tízes számot előnyben részesíteni a logaritmus alapjaként.

Mielőtt megvizsgálnánk ezeket a tulajdonságokat, ismerkedjünk meg a következő megfogalmazásokkal.

Egy szám decimális logaritmusának egész része A nak, nek hívják jellegzetes, a tört pedig az mantissza ezt a logaritmust.

Egy szám decimális logaritmusának jellemzői A jelölése , a mantisza pedig (lg A}.

Vegyük, mondjuk, log 2 ≈ 0,3010. Ennek megfelelően = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Hasonlóképpen a log 543,1 ≈2,7349 esetén. Ennek megfelelően = 2, (log 543,1)≈ 0,7349.

A pozitív számok decimális logaritmusának táblázatokból történő kiszámítását széles körben használják.

A decimális logaritmusok jellemzői.

A decimális logaritmus első jele. nem egy egész negatív szám, amelyet egy egy, majd nullák képviselnek, egy pozitív egész szám, amely megegyezik a kiválasztott szám bejegyzésében lévő nullák számával .

Vegyük log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Általánosságban elmondható, ha

Hogy A= 10n , amelyből kapunk

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Második jel. A pozitív tizedesjegy tíz logaritmusa, amelyet egyként mutatunk be vezető nullákkal, a következő: P, Ahol P- a nullák száma ennek a számnak az ábrázolásában, nulla egész számok figyelembevételével.

Mérlegeljük , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.

Általánosságban elmondható, ha

,

Hogy a= 10-n és kiderül

lga= lg 10n =-n log 10 =-n

Harmadik jel. Egy nem negatív szám decimális logaritmusára jellemző, nagyobb egynél, egyenlő a számjegyek számával a szám egész részében, az egy kivételével.

Elemezzük ezt a jellemzőt: 1) Az lg 75,631 logaritmus karakterisztikája egyenlő 1-gyel.

Valóban, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Ez azt jelenti,

log 75,631 = 1 +b,

Vesszőeltolás be decimális jobbra vagy balra ekvivalens azzal a művelettel, hogy ezt a törtet megszorozzuk tízes hatványokkal egy egész kitevővel P(pozitív vagy negatív). Ezért, ha egy pozitív tizedes tört tizedespontját balra vagy jobbra toljuk, a tört tizedes logaritmusának mantisszája nem változik.

Tehát (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).