Hogyan ábrázoljuk az y=sin x függvényt? Először nézzük meg az intervallum szinuszgrafikonját.

Egyetlen 2 cella hosszúságú szegmenst veszünk fel a notebookban. Az Oy tengelyen jelölünk egyet.

A kényelem kedvéért a π/2 számot 1,5-re kerekítjük (és nem 1,6-ra, ahogy azt a kerekítési szabályok előírják). Ebben az esetben egy π/2 hosszúságú szegmens 3 cellának felel meg.

Az Ox tengelyen nem egyedi szegmenseket jelölünk, hanem π/2 hosszúságú szakaszokat (minden 3 cellában). Ennek megfelelően egy π hosszúságú szegmens 6 cellának, egy π/6 hosszúságú szegmens pedig 1 cellának felel meg.

Ezzel az egységszegmens kiválasztásával a notebook lapján egy dobozban ábrázolt grafikon a lehető legnagyobb mértékben megfelel az y=sin x függvény grafikonjának.

Készítsünk egy táblázatot az intervallum szinuszértékeiről:

A kapott pontokat a koordinátasíkon jelöljük:

Mivel y=sin x páratlan függvény, a szinuszgráf szimmetrikus az origóhoz - O(0;0) ponthoz. Ezt a tényt figyelembe véve folytassuk a grafikon ábrázolását balra, majd a -π pontokat:

Az y=sin x függvény periodikus, T=2π periódussal. Ezért a [-π;π] intervallumon felvett függvény grafikonja végtelen számú alkalommal ismétlődik jobbra és balra.

FUNKCIÓGRAFIKA

Szinuszfüggvény

- Egy csomó R minden valós szám.

Több funkcióérték— szegmens [-1; 1], azaz szinuszfüggvény - korlátozott.

Páratlan függvény: sin(−x)=−sin x minden x ∈ esetén R.

A függvény periodikus

sin(x+2π k) = sin x, ahol k ∈ Z minden x ∈ esetén R.

sin x = 0 ha x = π·k, k ∈ Z.

sin x > 0(pozitív) minden x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ esetén Z.

bűn x< 0 (negatív) minden x ∈ esetén (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Koszinusz függvény

Funkció Domain- Egy csomó R minden valós szám.

Több funkcióérték— szegmens [-1; 1], azaz koszinusz függvény - korlátozott.

Páros funkció: cos(−x)=cos x minden x ∈ esetén R.

A függvény periodikus a legkisebb pozitív periódussal, 2π:

cos(x+2π k) = cos x, ahol k ∈ Z minden x ∈ esetén R.

cos x = 0 nál nél
cos x > 0 mindenkinek
cos x< 0 mindenkinek
A funkció növekszik-1-től 1-ig intervallumonként:
A funkció csökken-1-től 1-ig intervallumonként:
A sin x = 1 függvény legnagyobb értéke pontokon:
A sin x = −1 függvény legkisebb értéke pontokon:

Érintő függvény

Több funkcióérték— a teljes számsor, azaz. érintő - függvény korlátlan.

Páratlan függvény: tg(−x)=−tg x
A függvény grafikonja szimmetrikus az OY tengelyre.

A függvény periodikus a legkisebb π pozitív periódussal, azaz. tg(x+π k) = barna x, k ∈ Z minden x-re a definíciós tartományból.

Kotangens függvény

Több funkcióérték— a teljes számsor, azaz. kotangens - függvény korlátlan.

Páratlan függvény: ctg(-x)=-ctg x minden x-re a definíciós tartományból.
A függvény grafikonja szimmetrikus az OY tengelyre.

A függvény periodikus a legkisebb π pozitív periódussal, azaz. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z minden x-re a definíciós tartományból.

Arcsine függvény

Funkció Domain— szegmens [-1; 1]

Több funkcióérték- szegmens -π /2 arcsin x π /2, azaz. arcszinusz - függvény korlátozott.

Páratlan függvény: arcsin(−x)=−arcsin x minden x ∈ esetén R.
A függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Az egész definíciós területen.

Ív koszinusz függvény

Funkció Domain— szegmens [-1; 1]

Több funkcióérték— 0 arccos x π szegmens, azaz. arccosine - függvény korlátozott.

A funkció növekszik a teljes definíciós területen.

Arktangens függvény

Funkció Domain- Egy csomó R minden valós szám.

Több funkcióérték— 0 π szegmens, azaz. arctangens - függvény korlátozott.

Páratlan függvény: arctg(−x)=−arctg x minden x ∈ esetén R.
A függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

A funkció növekszik a teljes definíciós területen.

Ív érintő függvény

Funkció Domain- Egy csomó R minden valós szám.

Több funkcióérték— 0 π szegmens, azaz. arccotangens - függvény korlátozott.

A függvény se nem páros, se nem páratlan.
A függvény grafikonja nem aszimmetrikus sem az origóhoz, sem az Oy tengelyhez képest.

A funkció csökken a teljes definíciós területen.

Egy ponton középre állítva A.
α - radiánban kifejezett szög.

Meghatározás
Szinusz (sin α) egy trigonometrikus függvény, amely a hipotenusz és a láb közötti α szögtől függ derékszögű háromszög, egyenlő az aránnyal a szemközti oldal hossza |BC| a hypotenus hosszára |AC|.

Koszinusz (cos α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszára |AC|.

Elfogadott jelölések

;
;
.

;
;
.

A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x

A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x

A szinusz és a koszinusz tulajdonságai

Periodikaság

Függvények y = bűn xés y = cos x periodikus periódussal 2π.

Paritás

A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.

Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés

A szinusz és koszinusz függvények definíciós tartományukban folytonosak, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).

	y = bűn x	y = cos x
Hatály és folytonosság	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Növekvő
Csökkenő
Maxima, y ​​= 1
Minimum, y = - 1
Nullák, y = 0
Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0	y = 0	y = 1

Alapképletek

A szinusz és a koszinusz négyzetösszege

Szinusz és koszinusz képlete összegből és különbségből

;
;

Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára

Összeg és különbség képletek

Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül

;
;
;
.

Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül

;
;
;
.

Kifejezés érintőn keresztül

; .

Mikor van nálunk:
; .

Nál nél :
; .

Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata

Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum bizonyos értékeihez.

Kifejezések összetett változókon keresztül

;

Euler-képlet

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

;
;

Származékok

; . Képletek származtatása >>>

N-edrendű származékai:
{ -∞ < x < +∞ }

Szekáns, koszekáns

Inverz függvények

Inverz függvények a szinuszhoz és a koszinuszhoz az arcszinusz, illetve az arkoszinusz.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekel ez a munka, töltse le a teljes verziót.

A vas rozsdásodik anélkül, hogy hasznot találna,
Állóvíz elrohad vagy megfagy a hidegben,
és az emberi elme, nem találván magának hasznát, elsorvad.
Leonardo da Vinci

Alkalmazott technológiák: probléma alapú tanulás, kritikus gondolkodás, kommunikatív kommunikáció.

Célok:

• Fejlesztés kognitív érdeklődés a tanuláshoz.
• Az y = sin x függvény tulajdonságainak tanulmányozása.
• Gyakorlati készségek kialakítása az y = sin x függvény grafikonjának megalkotásában a tanulmányozott elméleti anyag alapján.

Feladatok:

1. Használja ki az y = sin x függvény tulajdonságairól meglévő tudásban rejlő lehetőségeket adott helyzetekben.

2. Alkalmazza az y = sin x függvény analitikai és geometriai modelljei közötti összefüggések tudatos felépítését.

Fejleszteni kell a kezdeményezőkészséget, bizonyos hajlandóságot és érdeklődést a megoldás keresésében; döntéshozatal képessége, ne álljon meg itt, és megvédje álláspontját.

Elősegíti a tanulókban a kognitív tevékenységet, a felelősségérzetet, az egymás iránti tiszteletet, a kölcsönös megértést, a kölcsönös támogatást és az önbizalmat; kommunikációs kultúra.

Az órák alatt

1. szakasz. Alapismeretek felfrissítése, új tananyag tanulásának motiválása

– Belépés a leckébe.

A táblára három állítás van felírva:

1. A sin t = a trigonometrikus egyenletnek mindig vannak megoldásai.
2. Menetrend páratlan függvény az Oy tengely körüli szimmetriatranszformáció segítségével szerkeszthető meg.
3. Egy trigonometrikus függvény egy fő félhullámmal ábrázolható.

A tanulók párban megbeszélik: igazak az állítások? (1 perc). A kezdeti megbeszélés eredményei (igen, nem) ezután bekerülnek a táblázatba az „Előtte” oszlopban.

A tanár határozza meg az óra céljait és célkitűzéseit.

2. Az ismeretek frissítése (frontálisan egy trigonometrikus kör modelljén).

Az s = sin t függvénnyel már megismerkedtünk.

1) Milyen értékeket vehet fel a t változó? Mi ennek a funkciónak a hatóköre?

2) Milyen intervallumban találhatók a sin t kifejezés értékei? Keresse meg az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értékét.

3) Oldja meg a sin t = 0 egyenletet!

4) Mi történik egy pont ordinátájával, amikor az az első negyedben mozog? (az ordináta nő). Mi történik egy pont ordinátájával, amikor a második negyedben mozog? (az ordináta fokozatosan csökken). Hogyan kapcsolódik ez a függvény monotonitásához? (az s = sin t függvény a szakaszon növekszik, a szakaszon csökken).

5) Írjuk fel az s = sin t függvényt a számunkra ismerős y = sin x formában (a szokásos xOy koordinátarendszerben fogjuk megszerkeszteni), és állítsuk össze a függvény értékeinek táblázatát.

x	0
nál nél	0			1			0

2. szakasz. Érzékelés, megértés, elsődleges konszolidáció, akaratlan memorizálás

4. szakasz. Elsődleges rendszerezés ismeretek és tevékenységi módszerek, ezek átadása és alkalmazása új helyzetekben

6. No. 10.18 (b,c)

5. szakasz. Végső ellenőrzés, javítás, értékelés és önértékelés

7. Visszatérünk az állításokhoz (az óra eleje), megbeszéljük az y = sin x trigonometrikus függvény tulajdonságait, és kitöltjük a táblázat „Utána” oszlopát.

8. D/z: 10. záradék, 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Megtaláltuk ezt a viselkedést trigonometrikus függvényekés funkciókat y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére x) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < x < π / 2 .

Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.

Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;

A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk

A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékeket tartalmazó táblázatot kellene összeállítani y = sin x .

1. Oszd fel az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre A kör osztópontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.

2.A kör első negyede 0-tól ig terjedő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen x Vegyünk egy szakaszt, és osszuk fel 8 egyenlő részre.

3. Rajzoljunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket! x, és az osztási pontokból merőlegeseket építünk, amíg nem metszik egymást vízszintes vonalakkal.

4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.

Most nézzük az intervallumot π / 2 < x < π .
Minden argumentum értéke x ebből az intervallumból úgy ábrázolható

x = π / 2 + φ

Ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint

bűn( π / 2 + φ ) = cos φ = bűn ( π / 2 - φ ).

Tengelypontok x abszcisszákkal π / 2 + φ És π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül x abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi, hogy megkapjuk a függvény grafikonját y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban x = π / 2 .

Most használja az ingatlant páratlan paritásfüggvény y = sin x,

bűn(- x) = - bűn x,

ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].

Az y = sin x függvény 2π periódusú periodikus ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának elkészítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .

Az így kapott görbét ún szinuszos . A függvény grafikonját ábrázolja y = sin x.

Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amit korábban már bebizonyítottunk. Emlékezzünk vissza ezekre a tulajdonságokra.

1) Funkció y = sin x minden értékre definiálva x , tehát a tartománya az összes valós szám halmaza.

2) Funkció y = sin x korlátozott. Az általa elfogadott összes érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Következésképpen ennek a függvénynek a változási tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < nál nél < 1. Mikor x = π / 2 + 2k π függvény veszi legmagasabb értékeket, egyenlő 1-gyel, és ha x = - π / 2 + 2k π - legkisebb értékek, egyenlő -1.

3) Funkció y = sin x páratlan (a szinusz szimmetrikus az origóra).

4) Funkció y = sin x periodikus a 2. periódussal π .

5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < x < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. x = k-nél π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) függvényeket nulláknak nevezzük y = sin x

6) Időközönként - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.

Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sin x a pont közelében x = 0 .

Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Ugyanakkor meg kell jegyezni, hogy az x bármely értékéhez

| bűn x| < | x | . (1)

Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a / AOB = x.

Aztán bűn x= AC. De AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő x, mivel a kör sugara 1. Tehát 0-nál< x < π / 2

bűn x< х.

Ezért a függvény páratlansága miatt y = sin x könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < x < 0

| bűn x| < | x | .

Végül, mikor x = 0

| sin x | = | x |.

Így a | x | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodott. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | bűn x | < 1, a π / 2 > 1

Feladatok

1.A függvény grafikonja szerint y = sin x határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).

2.A függvénygrafikon szerint y = sin x határozza meg, melyik szám az intervallumból
[ - π / 2 , π / 2 ] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.

3. A függvény grafikonja szerint y = sin x határozza meg, hogy mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2.

4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").