A modulokat tartalmazó függvénygráfok készítése általában jelentős nehézségeket okoz az iskolásoknak. Azonban nem minden olyan rossz. Elegendő néhány algoritmust megjegyezni az ilyen problémák megoldásához, és könnyedén elkészítheti a grafikont a legbonyolultabbnak tűnő függvényről is. Nézzük meg, milyen algoritmusok ezek.

1. Az y = |f(x)| függvény grafikonjának ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy a függvényértékek halmaza y = |f(x)| : y ≥ 0. Így az ilyen függvények grafikonjai mindig teljes egészében a felső félsíkban helyezkednek el.

Az y = |f(x)| függvény grafikonjának ábrázolása a következő egyszerű négy lépésből áll.

1) Óvatosan és körültekintően készítse el az y = f(x) függvény grafikonját!

2) Hagyja változatlanul a grafikon minden olyan pontját, amely a 0x tengely felett vagy azon található.

3) Jelenítse meg a grafikon azon részét, amely a 0x tengely alatt van, szimmetrikusan a 0x tengelyhez képest.

Példa 1. Rajzolja meg az y = |x 2 – 4x + 3| függvény grafikonját

1) Megszerkesztjük az y = x 2 – 4x + 3 függvény grafikonját. Nyilvánvalóan ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Határozzuk meg a parabola és a koordinátatengelyek metszéspontjainak koordinátáit, valamint a parabola csúcsának koordinátáit.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Ezért a parabola a (3, 0) és (1, 0) pontokban metszi a 0x tengelyt.

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Ezért a parabola a (0, 3) pontban metszi a 0y tengelyt.

Parabola csúcs koordinátái:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Ezért a (2, -1) pont ennek a parabolának a csúcsa.

A kapott adatok felhasználásával rajzoljunk parabolát! (1. ábra)

2) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x tengelyhez képest.

3) Megkapjuk az eredeti függvény grafikonját ( rizs. 2 szaggatott vonallal ábrázolva).

2. Az y = f(|x|) függvény ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy az y = f(|x|) alakú függvények párosak:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Ez azt jelenti, hogy az ilyen függvények grafikonjai szimmetrikusak a 0y tengelyre.

Az y = f(|x|) függvény grafikonjának ábrázolása a következő egyszerű műveleti láncból áll.

1) Ábrázolja az y = f(x) függvényt!

2) Hagyja el a gráfnak azt a részét, amelyre x ≥ 0, azaz a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

3) Jelenítse meg a grafikon (2) pontban meghatározott részét szimmetrikusan a 0y tengelyre.

4) Végső grafikonként válassza ki a (2) és (3) pontban kapott görbék unióját!

2. példa Rajzolja meg az y = x 2 – 4 · |x| függvény grafikonját + 3

Mivel x 2 = |x| 2, akkor az eredeti függvény a következő formában írható át: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Most már alkalmazhatjuk a fent javasolt algoritmust.

1) Gondosan és körültekintően elkészítjük az y = x 2 – 4 x + 3 függvény grafikonját (lásd még rizs. 1).

2) Meghagyjuk a gráfnak azt a részét, amelyre x ≥ 0, vagyis a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

3) Kijelző jobb oldal a grafika szimmetrikus a 0y tengelyre.

(3. ábra).

3. példa Rajzolja meg az y = log 2 |x| függvény grafikonját

A fenti sémát alkalmazzuk.

1) Készítsd el az y = log 2 x függvény grafikonját (4. ábra).

3. Az y = |f(|x|)| függvény ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy az y = |f(|x|)| alakú függvények szintén egyenletesek. Valóban, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), ezért grafikonjaik szimmetrikusak a 0y tengelyre. Az ilyen függvények értékkészlete: y ≥ 0. Ez azt jelenti, hogy az ilyen függvények grafikonjai teljes egészében a felső félsíkban helyezkednek el.

Az y = |f(|x|)| függvény ábrázolásához a következőket kell tennie:

1) Óvatosan készítse el az y = f(|x|) függvény gráfját!

2) Hagyja változatlanul a grafikonnak azt a részét, amely a 0x tengely felett vagy azon található.

3) Jelenítse meg a grafikon 0x tengely alatti részét szimmetrikusan a 0x tengelyhez képest.

4) Végső grafikonként válassza ki a (2) és (3) pontban kapott görbék unióját!

4. példa Rajzolja meg az y = |-x 2 + 2|x| függvény grafikonját – 1|.

1) Vegye figyelembe, hogy x 2 = |x| 2. Ez azt jelenti, hogy az eredeti függvény helyett y = -x 2 + 2|x| - 1

használhatja az y = -|x| függvényt 2 + 2|x| – 1, mivel grafikonjaik egybeesnek.

Egy y = -|x| gráfot készítünk 2 + 2|x| – 1. Ehhez a 2. algoritmust használjuk.

a) Ábrázolja az y = -x 2 + 2x – 1 függvényt! (6. ábra).

b) Meghagyjuk a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

c) A grafikon eredményül kapott részét a 0y tengelyre szimmetrikusan jelenítjük meg.

d) A kapott grafikont az ábrán a pontozott vonal mutatja (7. ábra).

2) A 0x tengely felett nincsenek pontok, a 0x tengelyen lévő pontokat változatlanul hagyjuk.

3) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x-hez képest.

4) A kapott grafikont pontozott vonallal ábrázoltuk az ábrán (8. ábra).

5. példa: Ábrázolja az y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| függvényt.

1) Először meg kell ábrázolnia az y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) függvényt. Ehhez visszatérünk a 2. algoritmushoz.

a) Óvatosan ábrázolja az y = (2x – 4) / (x + 3) függvényt (9. ábra).

Vegye figyelembe, hogy ez a függvény tört lineáris, és a grafikonja egy hiperbola. A görbe ábrázolásához először meg kell találni a grafikon aszimptotáit. Vízszintes – y = 2/1 (x együtthatóinak aránya a tört számlálójában és nevezőjében), függőlegesen – x = -3.

2) Változatlanul hagyjuk a grafikonnak azt a részét, amely a 0x tengely felett van vagy rajta.

3) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x-hez képest.

4) A végső grafikon az ábrán látható (11. ábra).

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

„Funkciók átalakítása” – libikóka. Tolja felfelé az y tengelyt. Teljesre állítsa a hangerőt – növeli a levegő rezgésének a (amplitúdóját). Tolja el az x tengelyt balra. Az óra céljai. 3 pont. Zene. Ábrázolja a függvényt, és határozza meg D(f), E(f) és T: tömörítést az x tengely mentén. Tolja le az y tengelyt. Adjon hozzá pirosat a palettához, és csökkentse az elektromágneses rezgések k frekvenciáját.

„Több változó függvényei” – Magasabb rendű származékok. Két változó függvénye ábrázolható grafikusan. Differenciál- és integrálszámítás. Belső és határpontok. 2 változós függvény határértékének meghatározása. Matematikai elemzés tanfolyam. Berman. 2 változóból álló függvény határértéke. Függvénygrafikon. Tétel. Korlátozott terület.

„A függvény fogalma” - Grafikonok ábrázolásának módszerei másodfokú függvény. Fontos, hogy megtanuljuk a függvények meghatározásának különböző módjait módszeres technika. A másodfokú függvények tanulmányozásának jellemzői. A „funkció” fogalmának genetikai értelmezése. Függvények és grafikonok iskolai matematika tanfolyamon. A lineáris függvény gondolata egy bizonyos lineáris függvény ábrázolásakor kiemelésre kerül.

"Téma funkció" - Elemzés. Nem azt kell kideríteni, amit a tanuló nem tud, hanem azt, amit tud. Az alapok lerakása a sikeres teljesítés Egységes államvizsga és felvétel az egyetemekre. Szintézis. Ha a tanulók másképp dolgoznak, akkor a tanárnak is másképp kell velük dolgoznia. Analógia. Általánosítás. Egységes államvizsga-feladatok megoszlása ​​fő tartalmi blokkok szerint iskolai tanfolyam matematika.

„Függvénygráfok transzformációja” - Ismételje meg a gráftranszformációk típusait. Párosítsd az egyes grafikonokat egy függvénnyel! Szimmetria. Az óra célja: Grafikonok készítése összetett funkciók. Nézzünk példákat az átalakításokra, és magyarázzuk el az egyes transzformációk típusait. Függvénygráfok transzformációja. Nyújtás. Erősítse meg a függvénygráfok felépítését elemi függvények gráfjainak transzformációival.

„Függvénygrafikonok” – A függvény típusa. Egy függvény értéktartománya az y függő változó összes értéke. Egy függvény grafikonja egy parabola. A függvény grafikonja egy köbös parabola. Egy függvény grafikonja hiperbola. Egy függvény definíciós tartománya és értéktartománya. Korrelálja az egyes sorokat az egyenletével: A függvény definíciós tartománya az x független változó összes értéke.

Építési funkció

Figyelmébe ajánljuk a függvénygrafikonok online összeállítására szolgáló szolgáltatást, amelynek minden joga a céget illeti Desmos. A bal oldali oszlop segítségével adja meg a függvényeket. Megadhatja kézzel vagy segítségével virtuális billentyűzet az ablak alján. Az ablak grafikonnal való nagyításához elrejtheti a bal oldali oszlopot és a virtuális billentyűzetet is.

Az online térképezés előnyei

• A bevitt funkciók vizuális megjelenítése
• Nagyon összetett grafikonok készítése
• Implicit módon megadott gráfok felépítése (például ellipszis x^2/9+y^2/16=1)
• Lehetőség a diagramok mentésére és a rájuk mutató hivatkozás fogadására, amely mindenki számára elérhetővé válik az interneten
• Skála, vonalszín szabályozása
• Grafikonok pontonkénti ábrázolásának lehetősége, állandók használatával
• Több függvénygrafikon egyidejű ábrázolása
• Polárkoordináták ábrázolása (használjon r és θ(\theta))

Nálunk könnyű különféle bonyolultságú grafikonokat készíteni online. Az építkezés azonnal megtörténik. Igény van a szolgáltatásra a függvények metszéspontjainak megtalálására, gráfok ábrázolására, azok Word dokumentumba történő további áthelyezésére, feladatmegoldáskor illusztrációként, valamint a függvénygráfok viselkedési sajátosságainak elemzésére. Az ezen a weboldalon található diagramok használatához az optimális böngésző a Google Chrome. Más böngészők használata esetén a megfelelő működés nem garantált.

„Természetes logaritmus” - 0,1. Természetes logaritmusok. 4. Logaritmikus darts. 0,04. 7.121.

„Power function grade 9” – U. Köbös parabola. Y = x3. 9. osztályos tanár Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y = xn, y = x-n ahol n a megadott természetes szám. X. A kitevő egy páros természetes szám (2n).

„Másodfokú függvény” - 1 Másodfokú függvény definíciója 2 Függvény tulajdonságai 3 Függvény grafikonjai 4 Másodfokú egyenlőtlenségek 5 Következtetés. Tulajdonságok: Egyenlőtlenségek: Andrey Gerlitz 8A osztályos tanuló készítette. Terv: Grafikon: -A monotonitás intervallumai a > 0 esetén a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

„Kvadratikus függvény és grafikonja” - Megoldás.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-tartozik. Ha a=1, az y=ax képlet a következő alakot veszi fel.

„8. osztályos másodfokú függvény” - 1) Szerkessze meg egy parabola csúcsát! Másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása. x. -7. Szerkessze meg a függvény grafikonját. Algebra 8. osztály Tanító 496 Bovina iskola T.V. -1. Építési terv. 2) Szerkessze meg az x=-1 szimmetriatengelyt! y.

1. Tört lineáris függvény és grafikonja

Az y = P(x) / Q(x) alakú függvényt, ahol P(x) és Q(x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.

A koncepcióval racionális számok valószínűleg már ismeritek egymást. Hasonlóképpen racionális függvények olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.

Ha egy tört racionális függvény a kettő hányadosa lineáris függvények– elsőfokú polinomok, i.e. a forma funkciója

y = (ax + b) / (cx + d), akkor ezt tört lineárisnak nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax/d + b/d), és hogy a/c ≠ b/d (egyébként a függvény állandó). A lineáris törtfüggvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d/c. A tört lineáris függvények grafikonjai alakjukban nem különböznek az általad ismert y = 1/x gráftól. Egy görbét, amely az y = 1/x függvény grafikonja, hívjuk túlzás. x korlátlan növelésével abszolút érték az y = 1/x függvény abszolút értékben korlátlanul csökken, és a gráf mindkét ága megközelíti az x tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról. Azokat az egyeneseket, amelyekhez a hiperbola megközelítés ágait nevezzük annak aszimptoták.

1. példa

y = (2x + 1) / (x – 3).

Megoldás.

Jelöljük ki a teljes részt: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: eltolás 3 egységnyi szegmenssel jobbra, az Oy tengely mentén 7-szer nyújtva és 2-vel eltolva. egységszegmensek felfelé.

Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört hasonló módon írható, kiemelve az „egész részt”. Következésképpen az összes tört lineáris függvény grafikonja hiperbola, különböző módon eltolva a koordinátatengelyek mentén, és az Oy tengely mentén kifeszítve.

Egy tetszőleges tört-lineáris függvény grafikonjának elkészítéséhez egyáltalán nem szükséges a függvényt meghatározó tört transzformációja. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég lesz megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez az ágai megközelítik - az x = -d/c és y = a/c hiperbola aszimptotáját.

2. példa

Keresse meg az y = (3x + 5)/(2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!

Megoldás.

A függvény nincs definiálva, x = -1. Ez azt jelenti, hogy az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptota megtalálásához nézzük meg, hogy az y(x) függvény értékei mihez közelednek, amikor az x argumentum abszolút értéke nő.

Ehhez osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ha x → ∞, a tört 3/2-re fog emelkedni. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.

3. példa

Ábrázolja az y = (2x + 1)/(x + 1) függvényt!

Megoldás.

Jelöljük ki a tört „egész részét”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 1 egységnyi eltolás balra, szimmetrikus megjelenítés az Ox-hoz képest és eltolás 2 egységszegmens felfelé az Oy tengely mentén.

D(y) tartomány = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

ÉrtéktartományE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány minden intervallumában növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Tört racionális függvény

Tekintsünk egy y = P(x) / Q(x) alakú tört racionális függvényt, ahol P(x) és Q(x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.

Példák ilyen racionális függvényekre:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) vagy y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ha az y = P(x) / Q(x) függvény két, az elsőnél magasabb fokú polinom hányadosát reprezentálja, akkor a gráfja általában bonyolultabb lesz, és néha nehéz lehet pontosan megszerkeszteni. , minden részlettel. Gyakran azonban elegendő a fent már bemutatott technikákhoz hasonló technikákat alkalmazni.

Legyen a tört megfelelő tört (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом az egyetlen módja, összegként véges szám elemi törtek, amelynek formáját a Q(x) tört nevezőjének valós tényezők szorzatára való felosztásával határozzuk meg:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy tört racionális függvény grafikonja megkapható elemi törtek grafikonjainak összegeként.

Tört racionális függvények grafikonjainak ábrázolása

Tekintsünk több módot egy tört racionális függvény grafikonjainak összeállítására.

4. példa

Rajzoljuk fel az y = 1/x 2 függvény grafikonját.

Megoldás.

Az y = x 2 függvény grafikonját használjuk y = 1/x 2 gráf megalkotásához, és a gráfok „osztásának” technikáját alkalmazzuk.

D(y) tartomány = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Értéktartomány E(y) = (0; +∞).

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól +∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa

Ábrázolja az y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) függvényt!

Megoldás.

D(y) tartomány = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Itt a faktorizálás, redukció és lineáris függvényre való redukció technikáját alkalmaztuk.

Válasz: 3. ábra.

6. példa.

Ábrázolja az y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) függvényt!

Megoldás.

A definíciós tartomány D(y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az ordinátára. Grafikon készítése előtt transzformáljuk újra a kifejezést, kiemelve a teljes részt:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Megjegyzendő, hogy a tört racionális függvény képletében az egész rész elkülönítése az egyik legfontosabb a gráfok felépítésénél.

Ha x → ±∞, akkor y → 1, azaz. az y = 1 egyenes vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa.

Tekintsük az y = x/(x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a legtöbb csúcspont a grafikon jobb fele. Ennek a grafikonnak a pontos felépítéséhez a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvalóan a görbénk nem „emelkedhet” nagyon magasra, mert a nevező gyorsan elkezdi „előzni” a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldanunk az x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs igazi gyökerek. Ez azt jelenti, hogy a feltételezésünk téves. Hogy megtalálja a legtöbbet nagyon fontos függvény függvényében meg kell találni, hogy az A = x/(x 2 + 1) egyenletnek mekkora A legnagyobbnál lesz megoldása. Cseréljük ki az eredeti egyenletet másodfokúra: Аx 2 – x + А = 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 – 4А 2 ≥ 0. legmagasabb érték A = 1/2.

Válasz: 5. ábra, max y(x) = ½.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell függvényeket ábrázolni?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.