Egy függvény deriváltjának meghatározása a függvény integrálásának inverz művelete. Mert elemi függvények A derivált kiszámítása nem nehéz, csak használja a derivált táblázatot. Ha szükségünk van rá keresse meg a származékot tól től összetett funkció, akkor a megkülönböztetés sokkal nehezebb lesz, és több odafigyelést és időt igényel. Ugyanakkor nagyon könnyű elgépelést vagy apróbb hibát elkövetni, amely végül hibás válaszhoz vezet. Ezért mindig fontos, hogy ellenőrizni tudja döntését. Ezt megteheti ezzel az online számológéppel, amely lehetővé teszi, hogy bármilyen funkció származékait online, részletes megoldással megtalálja ingyenesen, regisztráció nélkül. A függvény deriváltjának megtalálása (differenciálás) a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya (numerikusan a derivált egyenlő a függvény grafikonjának érintőjével). Ha egy függvény deriváltját egy adott pontban kell kiszámítani, akkor argumentum helyett a kapott válaszban kell szerepelnie xállítsa fel őt numerikus értékés kiszámítja a kifejezést. Nál nél online származékos megoldás be kell írnia a függvényt a megfelelő mezőbe: az argumentumnak változónak kell lennie x, mivel a differenciálódás pontosan ennek mentén megy végbe. A második derivált kiszámításához meg kell különböztetni a kapott választ.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg deriváltjaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője van, ez kivehető a derivált előjeléből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azokat rendszerint tisztázzuk, miután megismerkedtünk a származékok táblázatával és a differenciálás legegyszerűbb szabályaival. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. Származék négyzetgyök
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Az ív koszinusz származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Származék exponenciális függvény

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő algebrai összeg ezeknek a függvényeknek a származékai.

Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez tipikus hiba, ami a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában jelentkezik, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát is megold, ezt a hibát már nem követi el.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

És ellenőrizheti a derivált probléma megoldását.

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és mások származékairól trigonometrikus függvények, vagyis amikor a függvény úgy néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét alkalmazva kapjuk:

A derivált probléma megoldását a címen ellenőrizheti online származékos kalkulátor .

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.

Időpont: 2015.10.05

Hogyan lehet megtalálni a származékot?

A megkülönböztetés szabályai.

Bármely függvény származékának megtalálásához mindössze három fogalmat kell elsajátítania:

2. A megkülönböztetés szabályai.

3. Komplex függvény deriváltja.

Pontosan ebben a sorrendben. Ez egy tipp.)

Természetesen jó lenne, ha lenne elképzelésünk a származékokról általában). Az előző leckében világosan elmagyarázzuk, hogy mi az a származék, és hogyan kell dolgozni a származékok táblázatával. Itt a megkülönböztetés szabályaival fogunk foglalkozni.

A differenciálás a derivált megtalálásának művelete. Nincs több rejtve e kifejezés mögött. Azok. kifejezéseket "keresse meg egy függvény deriváltját"És "megkülönböztet egy függvényt"- Ez ugyanaz.

Kifejezés "a megkülönböztetés szabályai" a származék megtalálására utal aritmetikai műveletekből. Ez a megértés sokat segít abban, hogy elkerülje a fejedben a zavart.

Koncentráljunk és emlékezzünk mindenre, mindenre, mindenre aritmetikai műveletek. Négy van belőlük). Összeadás (összeg), kivonás (különbség), szorzás (szorzat) és osztás (hányados). Íme, a megkülönböztetés szabályai:

A tányér mutatja öt szabályait négy aritmetikai műveletek. Nem lettem lerövidítve.) Csak a 4. szabály a 3. szabály elemi következménye. De annyira népszerű, hogy van értelme önálló képletként írni (és emlékezni!).

A megnevezések alatt UÉs V néhány (abszolút bármilyen!) függvény beletartozik U(x)És V(x).

Nézzünk néhány példát. Először is - a legegyszerűbbek.

Keresse meg az y=sinx - x 2 függvény deriváltját

Itt van különbség két elemi függvény. Alkalmazzuk a 2. szabályt. Feltételezzük, hogy a sinx függvény U, és x 2 a függvény V. Minden jogunk megvan azt írni:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Ez jobb, igaz?) Csak meg kell keresni x szinuszának és négyzetének deriváltját. Erre a célra létezik egy származékos táblázat. Csak a táblázatban keressük meg a szükséges függvényeket ( sinxÉs x 2), nézd meg, milyen származékai vannak, és írd le a választ:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Ez az. Az összegdifferenciálás 1. szabálya pontosan ugyanígy működik.

Mi van, ha több kifejezésünk van? Nem probléma.) A függvényt tagokra bontjuk, és mindegyik tag származékát a többitől függetlenül keressük. Például:

Keresse meg az y=sinx - x 2 +cosx - x +3 függvény deriváltját

Bátran írjuk:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

A lecke végén tippeket adok az élet megkönnyítésére a megkülönböztetés során.)

Gyakorlati tippek:

1. A megkülönböztetés előtt nézze meg, hogy lehetséges-e az eredeti függvény egyszerűsítése.

2. Bonyolult példákban részletesen leírjuk a megoldást, minden zárójellel és kötőjellel.

3. A törtek megkülönböztetésekor azzal állandó szám a nevezőben fordítsa osztást szorzássá, és használja a 4. szabályt.

A matematikai fizikai feladatok vagy példák megoldása teljesen lehetetlen a derivált és a számítási módszerek ismerete nélkül. A derivált a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma. Úgy döntöttünk, hogy a mai cikket ennek az alapvető témának szenteljük. Mi a származéka, mi a fizikai és geometriai jelentése hogyan kell kiszámítani egy függvény deriváltját? Mindezek a kérdések összevonhatók egybe: hogyan lehet megérteni a származékot?

A származék geometriai és fizikai jelentése

Legyen függvény f(x) , meghatározott intervallumban (a, b) . Az x és x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Ha x változik, maga a függvény is megváltozik. Az érv megváltoztatása - az értékek különbsége x-x0 . Ez a különbség így van írva delta x és argumentumnövekménynek nevezzük. Egy függvény változása vagy növekménye a függvény értékeinek különbsége két ponton. A származék definíciója:

Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény adott pontban való növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik.

Különben így írható:

Mi értelme ilyen határt találni? És íme, mi ez:

egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő az OX tengely és a függvény grafikonjának érintője közötti szög érintőjével egy adott pontban.

A származék fizikai jelentése: az út időbeli deriváltja egyenlő az egyenes vonalú mozgás sebességével.

Valójában az iskolai idők óta mindenki tudja, hogy a sebesség egy adott út x=f(t) és az idő t . átlagsebesség egy bizonyos ideig:

Megtudni a mozgás sebességét egy adott pillanatban t0 ki kell számolni a határértéket:

Első szabály: állítson be egy állandót

A konstans kivehető a derivált előjelből. Ráadásul ezt meg is kell tenni. A matematikai példák megoldása során vegye ezt szabálynak - Ha le tud egyszerűsíteni egy kifejezést, mindenképpen egyszerűsítse .

Példa. Számítsuk ki a deriváltot:

Második szabály: a függvények összegének deriváltja

Két függvény összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak összegével. Ugyanez igaz a függvények különbségének deriváltjára is.

Nem bizonyítjuk ezt a tételt, inkább egy gyakorlati példát veszünk figyelembe.

Keresse meg a függvény deriváltját:

Harmadik szabály: a függvények szorzatának deriváltja

Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja a következő képlettel számítható ki:

Példa: keresse meg egy függvény deriváltját:

Megoldás:

Itt fontos szót ejteni az összetett függvények deriváltjainak kiszámításáról. Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjának a szorzatával a köztes argumentumhoz és a köztes argumentum deriváltjának a független változóhoz képest.

A fenti példában a következő kifejezéssel találkozunk:

Ebben az esetben a köztes argumentum az ötödik hatvány nyolcszorosa. Egy ilyen kifejezés deriváltjának kiszámításához először kiszámítjuk a külső függvény deriváltját a köztes argumentumhoz képest, majd megszorozzuk magának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.

Negyedik szabály: két függvény hányadosának deriváltja

Képlet két függvény hányadosának deriváltjának meghatározására:

Megpróbáltunk a nulláról beszélni a próbababák származékairól. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik, ezért figyelem: a példákban gyakran vannak buktatók, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.

Ha bármilyen kérdése van ezzel vagy más témával kapcsolatban, forduljon hozzánk diákszolgálat. Rövid időn belül segítünk megoldani a legnehezebb tesztet és megérteni a feladatokat, még akkor is, ha még soha nem végzett derivált számításokat.