Egy derékszögű háromszög rengeteg függőséget tartalmaz. Emiatt vonzó tárgy minden fajta számára geometriai problémák. Az egyik leggyakoribb probléma a hypotenus megtalálása.

Derékszögű háromszög

A derékszögű háromszög olyan háromszög, amely derékszöget tartalmaz, azaz. 90 fokos szögben. Csak benne derékszögű háromszög kifejezhető trigonometrikus függvények az oldalak méretein keresztül. Egy tetszőleges háromszögben további konstrukciókat kell készíteni.
Egy derékszögű háromszögben a három magasság közül kettőt egybeesik az oldalakkal, lábnak nevezzük. A harmadik oldalt hipotenusznak nevezik. A befogóhoz húzott magasság az egyetlen ilyen típusú háromszögben, amely további konstrukciót igényel.

Rizs. 1. A háromszögek típusai.

Egy derékszögű háromszögnek nem lehetnek tompaszögei. Ahogy a második létezése is lehetetlen derékszög. Ebben az esetben egy háromszög szögösszegének azonossága sérül, amely mindig 180 fokkal egyenlő.

Átfogó

Menjünk közvetlenül a háromszög befogójához. A hipotenusz a háromszög leghosszabb oldala. A hipotenusz mindig nagyobb, mint bármelyik láb, de mindig kisebb, mint a lábak összege. Ez a háromszög egyenlőtlenség-tétel következménye.

A tétel kimondja, hogy a háromszög egyik oldala sem lehet nagyobb, mint a másik kettő összege. A tételnek van egy második megfogalmazása vagy második része: egy háromszögben a nagyobb oldallal szemben van a nagyobb szög és fordítva.

Rizs. 2. Derékszögű háromszög.

Derékszögű háromszögben a főszög a derékszög, mivel a már említett okok miatt nem lehet második derékszög vagy tompaszög. Ez azt jelenti, hogy a nagyobb oldal mindig a derékszöggel szemben helyezkedik el.

Nem világos, hogy egy derékszögű háromszög miért érdemel külön nevet minden oldalának. Sőt, be egyenlő szárú háromszög az oldalaknak is megvan a maguk neve: oldalak és alapok. De a tanárok különösen a lábak és a hypotenusok számára szeretnek ketteseket adni. Miért? Ez egyrészt tisztelgés az ókori görögök, a matematika feltalálói emléke előtt. Ők tanulták a derékszögű háromszögeket, és ezzel a tudással egy egész információréteget hagytak hátra, amelyre építeni lehetett modern tudomány. Másrészt ezeknek a neveknek a megléte nagyban leegyszerűsíti a tételek és a trigonometrikus azonosságok megfogalmazását.

Pitagorasz tétel

Ha egy tanár egy derékszögű háromszög hipotenuszának képletére kérdez rá, 90% az esélye, hogy a Pitagorasz-tételre gondol. A tétel kimondja: derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Rizs. 3. Derékszögű háromszög hipoténusza.

Figyeljük meg, hogy a tétel milyen világosan és tömören van megfogalmazva. Ez az egyszerűség nem érhető el a hipotenúza és a láb fogalmának használata nélkül.

A tételnek a következő képlete van:

$c^2=b^2+a^2$ – ahol c a befogó, a és b a derékszögű háromszög lábai.

Mit tanultunk?

Beszélgettünk arról, hogy mi az a derékszögű háromszög. Megtudtuk, miért találták ki a lábak és a hypotenus nevét. Kiderítettük a hipotenusz néhány tulajdonságát, és a Pitagorasz-tétel segítségével megadtuk a háromszög befogójának hosszának képletét.

Teszt a témában

Cikk értékelése

Átlagos értékelés: 4.6. Összes beérkezett értékelés: 213.

Utasítás

Az a és b szárral ellentétes szögeket rendre A és B jelöljük. A hipotenusz definíció szerint egy derékszögű háromszögnek a derékszöggel ellentétes oldala (míg a hipotenuzus hegyesszögeket alkot a másik oldalával a háromszög). A hipotenusz hosszát c-vel jelöljük.

Szükséged lesz:
Számológép.

Használja a következő kifejezést a lábra: a=sqrt(c^2-b^2), ha ismeri az alsó és a másik láb értékeit. Ez a kifejezés a Pitagorasz-tételből származik, amely kimondja, hogy a háromszög befogójának négyzete egyenlő az összeggel lábak négyzetei. Az sqrt operátor a négyzetgyök felvételét jelenti. A "^2" jel a második hatványra való emelést jelent.

Használja az a=c*sinA képletet, ha ismeri a hipotenúzust (c) és a kívánt lábbal ellentétes szöget (ezt a szöget A-val jelöltük).
Használja az a=c*cosB kifejezést egy láb megkereséséhez, ha ismeri a hipotenúzust (c) és a kívánt szárral szomszédos szöget (ezt a szöget B-vel jelöltük).
Számítsa ki a lábszárat az a=b*tgA képlettel abban az esetben, ha a b láb és a kívánt szárral ellentétes szög adott (megegyeztünk, hogy ezt a szöget A-val jelöljük).

Jegyzet:
Ha problémájában a láb egyik leírt módon sem található meg, akkor valószínűleg az egyikre redukálható.

Hasznos tippek:
Mindezek a kifejezések a trigonometrikus függvények jól ismert definícióiból származnak, ezért még ha elfelejti is valamelyiket, mindig gyorsan levezetheti egyszerű műveletekkel. Szintén hasznos tudni a trigonometrikus függvények értékét a leggyakoribb 30, 45, 60, 90, 180 fokos szögeknél.

Mielőtt megtalálná a háromszög hipotenuszát, meg kell értenie, milyen jellemzői vannak ennek az ábrának. Tekintsük a főbbeket:

1. Derékszögű háromszögben mindkettő hegyesszögek a végösszeg 90º lesz.
2. A 30°-os szöggel szemben fekvő láb a hypotenus méretének felével egyenlő.
3. Ha a láb egyenlő a hipotenusz felével, akkor a második szög értéke ugyanaz - 30º.

A derékszögű háromszögben többféleképpen lehet megtalálni a hipotenuszt. A legtöbb egyszerű megoldás egy számítás a lábakon keresztül. Tegyük fel, hogy ismeri az A és B oldal értékeit. Ekkor a Pitagorasz-tétel jön a segítségünkre, amely azt mondja, hogy ha az oldal minden értékét négyzetre emeljük, és összegezzük a kapott adatokat, akkor megtudjuk, mi a hipotenusz egyenlő. Tehát csak a négyzetgyök értéket kell kivonnunk:

Például, ha az A láb = 3 cm és a B láb = 4 cm, akkor a számítás így fog kinézni:

Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt egy szögben?

Egy másik módja annak, hogy megtudjuk, mi a befogó egy derékszögű háromszögben, ha egy adott szöget számolunk ki. Ehhez le kell vezetnünk az értéket a szinusz-képlettel. Tegyük fel, hogy ismerjük a láb méretét (A) és az ellentétes szög értékét (α). Ekkor az egész oldatot egy képlet tartalmazza: C=A/sin(α).

Például, ha a láb hossza 40 cm, a szög pedig 45°, akkor a hipotenúza hossza a következőképpen származtatható:

A kívánt érték egy adott szög koszinuszán keresztül is meghatározható. Tegyük fel, hogy ismerjük az egyik láb (B) és a hegyes szomszédos szög (α) értékét. Ezután a feladat megoldásához egy képletre lesz szüksége: C=B/cos(α).

Például, ha a láb hossza 50 cm, a szög pedig 45°, akkor a hipotenúza a következőképpen számítható ki:

Így megvizsgáltuk a háromszögben található hipotenusz meghatározásának fő módjait. Egy probléma megoldásánál fontos a rendelkezésre álló adatokra koncentrálni, akkor az ismeretlen mennyiség megtalálása meglehetősen egyszerű lesz. Csak néhány képletet kell ismernie, és a problémamegoldás folyamata egyszerűvé és élvezetessé válik.

A derékszögű háromszög egyik lábának ismeretében megtalálhatja a második lábát és a hipotenuszt trigonometrikus arányok segítségével - ismert szög szinusza és érintője. Mivel a szöggel ellentétes láb és a hipotenusz aránya megegyezik ennek a szögnek a szinuszával, ezért a hipotenusz megtalálásához el kell osztani a lábat a szög szinuszával. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

A második szár egy ismert szög érintőjéből, az ismert szár és az érintő arányaként kereshető. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Egy derékszögű háromszög ismeretlen szögének kiszámításához ki kell vonni az α szög értékét 90 fokból. β=90°-α

A derékszögű háromszög kerülete és területe kifejezhető a szárral és a vele szemközti szöggel, ha a képletekben behelyettesítjük a második láb és a hipotenuzus korábban kapott kifejezéseit. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

A magasságot trigonometrikus arányokkal is kiszámíthatja, de az általa alkotott belső derékszögű a oldalú háromszögben. Ehhez meg kell szorozni az a oldalt, mint egy ilyen háromszög befogóját, a β szög vagy az α koszinusz szinuszával, mivel trigonometrikus azonosságok egyenértékűek. (79.2. ábra) h=a cos⁡α

A hypotenus mediánja egyenlő a hypotenus vagy az ismert láb felével osztva két szinusz α. A lábak mediánjainak megtalálásához a képleteket az ismert oldalak és szögek megfelelő alakjára redukáljuk. (79.3. ábra) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Mivel a derékszög felezőpontja egy háromszögben két oldalnak és kettőnek a gyökének a szorzata, osztva ezen oldalak összegével, így az egyik szárat az ismert szár és az érintő arányával helyettesítve megkapjuk a következő kifejezést. Hasonlóképpen, az arány behelyettesítésével a második és harmadik képletbe, kiszámíthatja az α és β szögek felezőit. (79.4. ábra) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

A középső vonal párhuzamosan fut a háromszög egyik oldalával, miközben egy másik hasonló derékszögű háromszöget alkot azonos szögekkel, amelyben minden oldal fele akkora, mint az eredeti. Ez alapján a középső vonalak találhatók a következő képleteket, csak a lábat és a vele szemközti szöget ismerve. (79.7. ábra) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

A beírt kör sugara megegyezik a lábak és a befogó közötti különbséggel, osztva kettővel, és a beírt kör sugarának meghatározásához el kell osztani a hipotenuszt kettővel. Helyettesítjük a második lábat és a hipotenuszt az a láb szinuszhoz, illetve tangenshez viszonyított arányával. (79.5., 79.6. ábra) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

A derékszögű háromszögekkel kapcsolatos téma tanulmányozása után a tanulók gyakran elfelejtik az összes információt a róluk. Beleértve azt is, hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt, nem beszélve arról, hogy mi az.

És hiába. Mert a jövőben a téglalap átlója éppen ez a hipotenusz lesz, és ezt meg kell találni. Vagy egy kör átmérője egybeesik egy háromszög legnagyobb oldalával, amelynek egyik szöge derékszögű. És e tudás nélkül lehetetlen megtalálni.

Több lehetőség is van a háromszög befogópontjának megtalálására. A módszer megválasztása a mennyiségi probléma kezdeti adathalmazától függ.

1. módszer: mindkét oldal adott

Ez a legemlékezetesebb módszer, mert a Pitagorasz-tételt használja. Csak néha a tanulók elfelejtik, hogy ezt a képletet használják a hipotenusz négyzetének meghatározására. Ez azt jelenti, hogy magának az oldalnak a megtalálásához négyzetgyököt kell vennie. Ezért a hipotenúza képlete, amelyet általában „c” betűvel jelölnek, így fog kinézni:

c = √ (a 2 + b 2), ahol az „a” és „b” betűk egy derékszögű háromszög mindkét szárát jelentik.

2. számú módszer: ismert a lábszár és a vele szomszédos szög

Annak érdekében, hogy megtanulja megtalálni a hipotenúzát, emlékeznie kell a trigonometrikus függvényekre. Mégpedig koszinusz. A kényelem kedvéért feltételezzük, hogy az „a” láb és a vele szomszédos α szög adott.

Most emlékeznünk kell arra, hogy egy derékszögű háromszög szögének koszinusza egyenlő az aránnyal két oldal. A számláló a láb értékét fogja tartalmazni, a nevező pedig a hipotenúzust. Ebből az következik, hogy ez utóbbi a következő képlettel számítható ki:

c = a / cos α.

3. módszer: adott egy láb és egy vele szemben fekvő szög

Annak érdekében, hogy ne tévesszen meg a képletekben, vezesse be ennek a szögnek a jelölését - β, és hagyja meg ugyanazt az „a” oldalt. Ebben az esetben szüksége lesz egy másik trigonometrikus függvényre - a szinuszra.

Az előző példához hasonlóan a szinusz egyenlő a láb és a hipotenusz arányával. A módszer képlete így néz ki:

c = a / sin β.

Annak érdekében, hogy ne keveredjen össze a trigonometrikus függvényekben, emlékezzen egy egyszerű emlékeztetőre: ha probléma van arról beszélünk o pr O ellentétes szögben, akkor együtt kell használni És hát, ha - ó pr És fekve, majd arra O sinus. Ügyeljen az első magánhangzókra kulcsszavakat. Párokat alkotnak o-i vagy és róla.

4. számú módszer: a körülírt kör sugara mentén

Most, hogy megtudja, hogyan találja meg a hipotenuszt, emlékeznie kell a derékszögű háromszög köré körülírt kör tulajdonságára. Ez így szól. A kör középpontja egybeesik a hipotenusz közepével. Másképp fogalmazva, a derékszögű háromszög leghosszabb oldala egyenlő a kör átlójával. Vagyis dupla sugár. A probléma képlete így fog kinézni:

c = 2 * r, ahol az r betű az ismert sugarat jelöli.

Ez mind lehetséges módjai hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög befogóját. Minden konkrét feladatnál az adathalmaznak leginkább megfelelő módszert kell alkalmazni.

1. számú példafeladat

Feltétel: derékszögű háromszögben a mediánok mindkét oldalra vannak húzva. A nagyobb oldalra húzott hossza √52. A másik medián hossza √73. Ki kell számolnia a hipotenúzát.

Mivel a mediánok háromszögben vannak megrajzolva, a lábakat két egyenlő szegmensre osztják. Az érvelés és a hipotenusz megtalálásának megkönnyítése érdekében több jelölést kell bevezetnie. A nagyobb láb mindkét felét jelölje „x”, a másikat „y” betűvel.

Most két derékszögű háromszöget kell figyelembe vennünk, amelyek hipotenuszai az ismert mediánok. Számukra kétszer meg kell írni a Pitagorasz-tétel képletét:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Ez a két egyenlet egy rendszert alkot két ismeretlennel. Ezek megoldása után könnyű lesz megtalálni az eredeti háromszög lábait és belőlük a hipotenuzát.

Először mindent a második hatalomra kell emelnie. Kiderül:

4 év 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

A második egyenletből világos, hogy y 2 = 73 - 4x 2. Ezt a kifejezést be kell cserélni az elsőre, és ki kell számítani az „x”-et:

4 (73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Az átalakítás után:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 vagy 15x 2 = 240.

Az utolsó kifejezésből x = √16 = 4.

Most kiszámolhatja az "y"-t:

y 2 = 73 - 4 (4) 2 = 73 - 64 = 9.

A feltételeknek megfelelően kiderül, hogy az eredeti háromszög lábai 6 és 8. Ez azt jelenti, hogy használhatja az első módszer képletét, és megtalálhatja a hipotenuzist:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Válasz: hypotenus egyenlő 10.

2. számú példafeladat

Feltétel: számítsa ki a téglalapba húzott átlót, amelynek rövidebb oldala egyenlő 41-gyel. Ha ismert, hogy a szöget azokra osztja, amelyek 2-1-hez kapcsolódnak.

Ebben a feladatban a téglalap átlója a 90º-os háromszög leghosszabb oldala. Tehát minden azon múlik, hogyan találjuk meg a hipotenuszt.

A probléma a szögekkel van. Ez azt jelenti, hogy a trigonometrikus függvényeket tartalmazó képletek egyikét kell használnia. Először meg kell határoznia az egyik hegyesszög méretét.

A feltételben tárgyalt szögek közül a kisebbik legyen α. Ekkor a derékszög, amelyet az átlóval osztunk, egyenlő lesz 3α-val. Ennek a matematikai jelölése így néz ki:

Ebből az egyenletből könnyen meghatározható α. 30º lesz. Ezenkívül a téglalap kisebbik oldalával szemben fog feküdni. Ezért szüksége lesz a 3. módszerben leírt képletre.

A hipotenusz egyenlő a láb és az ellenkező szög szinuszának arányával, azaz:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Válasz: A hipotenúza 82.