matematikát megoldani. Keresse meg gyorsan matematikai egyenlet megoldása módban online. A www.site weboldal lehetővé teszi oldja meg az egyenletet szinte minden adott algebrai, trigonometrikus vagy transzcendentális egyenlet online. Amikor a matematika szinte bármely ágát különböző szakaszokban tanulja, döntenie kell egyenletek online. Ahhoz, hogy azonnal választ kapjon, és ami a legfontosabb, hogy pontos választ kapjon, olyan erőforrásra van szüksége, amely lehetővé teszi ezt. Köszönet a www.site oldalnak egyenleteket online megoldani eltart néhány percig. A www.site fő előnye matematikai megoldások során egyenletek online- ez a megadott válasz gyorsasága és pontossága. Az oldal bármelyiket képes megoldani algebrai egyenletek online, trigonometrikus egyenletek online, transzcendentális egyenletek online, és egyenletek ismeretlen paraméterekkel módban online. Egyenletek erős matematikai berendezésként szolgálnak megoldásokat gyakorlati problémák. Segítségével matematikai egyenletek lehetséges olyan tényeket és összefüggéseket kifejezni, amelyek első pillantásra zavarosnak és összetettnek tűnhetnek. Ismeretlen mennyiségek egyenletek a probléma megfogalmazásával lehet megtalálni matematikai nyelv a formában egyenletekÉs döntsd el módban fogadta a feladatot online a www.site weboldalon. Bármi algebrai egyenlet, trigonometrikus egyenlet vagy egyenletek tartalmazó transzcendentális könnyen elérhető funkciókat döntsd el online, és megkapja a pontos választ. Tanul természettudományok, elkerülhetetlenül szembe kell néznie azzal a szükséglettel egyenletek megoldása. Ebben az esetben a válasznak pontosnak kell lennie, és azonnal meg kell kapnia a módban online. Ezért azért matematikai egyenletek online megoldása ajánljuk a www.site oldalt, amely nélkülözhetetlen számológépe lesz megoldásokat algebrai egyenletek online, trigonometrikus egyenletek online, és transzcendentális egyenletek online vagy egyenletek ismeretlen paraméterekkel. A különféle gyökerek megtalálásának gyakorlati problémáira matematikai egyenletek forrás www.. Megoldás egyenletek online saját magának, célszerű a kapott választ a segítségével ellenőrizni online megoldás egyenletek a www.site weboldalon. Meg kell írni az egyenletet helyesen, és azonnal megkapja online megoldás, ami után már csak össze kell hasonlítani a választ az egyenlet megoldásával. A válasz ellenőrzése nem tart tovább egy percnél, ez elég oldja meg az egyenletet onlineés hasonlítsa össze a válaszokat. Ez segít elkerülni a hibákat döntésés időben javítsa ki a választ egyenletek online megoldása bármelyik algebrai, trigonometrikus, transzcendentális vagy az egyenlet ismeretlen paraméterekkel.

Elemezzünk kétféle megoldást az egyenletrendszerekre:

1. A rendszer megoldása helyettesítési módszerrel.
2. A rendszer megoldása a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásával (kivonásával).

Az egyenletrendszer megoldása érdekében helyettesítési módszerrel egy egyszerű algoritmust kell követnie:
1. Expressz. Bármely egyenletből egy változót fejezünk ki.
2. Helyettesítő. A kapott értéket behelyettesítjük egy másik egyenletbe a kifejezett változó helyett.
3. Oldja meg a kapott egyenletet egy változóval! Megoldást találunk a rendszerre.

Megoldani rendszer tagonkénti összeadás (kivonás) módszerrel kell:
1. Válasszunk ki egy változót, amelyre azonos együtthatókat készítünk.
2. Összeadunk vagy kivonunk egyenleteket, így egy változós egyenletet kapunk.
3. Oldja meg a kapott lineáris egyenletet! Megoldást találunk a rendszerre.

A rendszer megoldását a függvénygráfok metszéspontjai jelentik.

Tekintsük részletesen a rendszerek megoldását példákon keresztül.

1. példa:

Oldjuk meg helyettesítési módszerrel

Egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel

2x+5y=1 (1 egyenlet)
x-10y=3 (2. egyenlet)

1. Expressz
Látható, hogy a második egyenletben van egy x változó, melynek együtthatója 1, ami azt jelenti, hogy a második egyenletből a legkönnyebb az x változót kifejezni.
x=3+10y

2. Miután kifejeztük, az első egyenletbe behelyettesítjük a 3+10y-t az x változó helyett.
2(3+10y)+5y=1

3. Oldja meg a kapott egyenletet egy változóval!
2(3+10y)+5y=1 (nyissa ki a zárójeleket)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25 év = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Az egyenletrendszer megoldása a gráfok metszéspontjai, ezért meg kell keresnünk x-et és y-t, mert a metszéspont x-ből és y-ból áll Keressük meg x-et, az első pontban, ahol kifejeztük, helyettesítjük y-val.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Szokásos pontokat írni először az x, a második helyre az y változót.
Válasz: (1; -0,2)

2. példa:

Oldjuk meg a tagonkénti összeadás (kivonás) módszerrel.

Egyenletrendszer megoldása összeadásos módszerrel

3x-2y=1 (1 egyenlet)
2x-3y=-10 (2. egyenlet)

1. Válasszunk egy változót, tegyük fel, hogy x-et választunk. Az első egyenletben az x változó együtthatója 3, a másodikban - 2. Az együtthatókat azonosnak kell tennünk, ehhez jogunk van az egyenleteket szorozni vagy elosztani tetszőleges számmal. Az első egyenletet megszorozzuk 2-vel, a másodikat pedig 3-mal, és 6-ot kapunk.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Vonja ki a másodikat az első egyenletből, hogy megszabaduljon az x változótól.. Oldja meg a lineáris egyenletet!
__6x-4y=2

5 év = 32 | :5
y=6,4

3. Keresse meg x-et. A talált y-t behelyettesítjük bármelyik egyenletbe, mondjuk az első egyenletbe.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

A metszéspont x=4,6 lesz; y=6,4
Válasz: (4,6; 6,4)

Szeretnél ingyenesen felkészülni a vizsgákra? Oktató online ingyen. Nem viccelek.

A másodfokú egyenleteket 8. osztályban tanulják, tehát nincs itt semmi bonyolult. Ezek megoldásának képessége feltétlenül szükséges.

A másodfokú egyenlet ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol az a, b és c együtthatók tetszőleges számok, és a ≠ 0.

A konkrét megoldási módszerek tanulmányozása előtt vegye figyelembe, hogy minden másodfokú egyenlet három osztályba osztható:

1. Nincsenek gyökerei;
2. Pontosan egy gyökér legyen;
3. Két különböző gyökerük van.

Ez egy fontos különbség másodfokú egyenletek lineárisakból, ahol a gyökér mindig létezik és egyedi. Hogyan határozható meg, hogy egy egyenletnek hány gyöke van? Van ebben egy csodálatos dolog - diszkriminatív.

Megkülönböztető

Legyen adott az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet, ekkor a diszkrimináns egyszerűen a D = b 2 − 4ac szám.

Ezt a képletet fejből kell tudni. Hogy honnan származik, az most nem fontos. Még egy fontos dolog: a diszkrimináns előjele alapján meg lehet határozni, hogy hány gyöke van egy másodfokú egyenletnek. Ugyanis:

1. Ha D< 0, корней нет;
2. Ha D = 0, akkor pontosan egy gyök van;
3. Ha D > 0, akkor két gyök lesz.

Kérjük, vegye figyelembe: a diszkrimináns a gyökerek számát jelzi, és egyáltalán nem a jeleiket, ahogyan azt valamilyen okból sokan hiszik. Vessen egy pillantást a példákra, és mindent meg fog érteni:

Feladat. Hány gyöke van a másodfokú egyenleteknek:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Írjuk ki az első egyenlet együtthatóit, és keressük meg a diszkriminánst:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Tehát a diszkrimináns pozitív, tehát az egyenletnek két különböző gyökere van. Hasonló módon elemezzük a második egyenletet:
a = 5; b = 3; c=7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

A diszkrimináns negatív, nincsenek gyökerei. Az utolsó hátralévő egyenlet:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

A diszkrimináns nulla - a gyökér egy lesz.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy minden egyenlethez együtthatókat írtunk le. Igen, hosszú, igen, fárasztó, de nem fogod összekeverni az esélyeket és hülye hibákat elkövetni. Válassz magadnak: sebesség vagy minőség.

Mellesleg, ha rájön a dolog, egy idő után nem kell leírnia az összes együtthatót. Ilyen műveleteket hajt végre a fejében. A legtöbben 50-70 megoldott egyenlet után kezdik ezt megtenni – általában nem annyira.

Másodfokú egyenlet gyökerei

Most térjünk át magára a megoldásra. Ha a diszkrimináns D > 0, akkor a gyökök a következő képletekkel kereshetők:

Másodfokú egyenlet gyökeinek alapképlete

Ha D = 0, bármelyik képletet használhatja - ugyanazt a számot kapja, amely lesz a válasz. Végül, ha D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Első egyenlet:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ az egyenletnek két gyöke van. Keressük meg őket:

Második egyenlet:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ az egyenletnek ismét két gyöke van. Keressük meg őket

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(igazítás)\]

Végül a harmadik egyenlet:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ az egyenletnek egy gyöke van. Bármilyen képlet használható. Például az első:

Amint a példákból látható, minden nagyon egyszerű. Ha ismeri a képleteket és tud számolni, akkor nem lesz probléma. Leggyakrabban akkor fordulnak elő hibák, amikor negatív együtthatókat helyettesítenek a képletben. Itt is segít a fent leírt technika: nézze meg a képletet szó szerint, írjon le minden lépést - és hamarosan megszabadul a hibáktól.

Hiányos másodfokú egyenletek

Előfordul, hogy egy másodfokú egyenlet kissé eltér a definícióban megadottól. Például:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Könnyen észrevehető, hogy ezekből az egyenletekből hiányzik az egyik kifejezés. Az ilyen másodfokú egyenletek még könnyebben megoldhatók, mint a szabványosak: még a diszkrimináns kiszámítását sem igénylik. Tehát vezessünk be egy új koncepciót:

Az ax 2 + bx + c = 0 egyenletet nem teljes másodfokú egyenletnek nevezzük, ha b = 0 vagy c = 0, azaz. az x változó vagy a szabad elem együtthatója nullával egyenlő.

Természetesen nagyon nehéz eset lehetséges, ha mindkét együttható nulla: b = c = 0. Ebben az esetben az egyenlet ax 2 = 0 alakot ölt. Nyilvánvalóan egy ilyen egyenletnek egyetlen gyöke van: x = 0.

Tekintsük a fennmaradó eseteket. Legyen b = 0, akkor egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletet kapunk. Alakítsuk át egy kicsit:

Az aritmetika óta Négyzetgyök csak től létezik nem negatív szám, az utolsó egyenlőségnek csak akkor van értelme, ha (−c /a) ≥ 0. Következtetés:

1. Ha egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletben teljesül a (−c /a) ≥ 0 egyenlőtlenség, akkor két gyöke lesz. A képlet fent van megadva;
2. Ha (-c /a)< 0, корней нет.

Amint látja, a diszkriminánsra nem volt szükség - a hiányos másodfokú egyenletekben nincs összetett számítások. Valójában nem is szükséges megjegyezni az egyenlőtlenséget (−c /a) ≥ 0. Elég, ha kifejezzük az x 2 értéket, és megnézzük, mi van az egyenlőségjel másik oldalán. Ha van pozitív szám, akkor két gyöke lesz. Ha negatív, akkor egyáltalán nem lesznek gyökerei.

Most nézzük meg az ax 2 + bx = 0 alakú egyenleteket, amelyekben a szabad elem egyenlő nullával. Itt minden egyszerű: mindig két gyökér lesz. Elég a polinomot faktorozni:

A közös tényezőt zárójelből kivéve

A szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Innen erednek a gyökerek. Végezetül nézzünk meg néhány ilyen egyenletet:

Feladat. Másodfokú egyenletek megoldása:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nincsenek gyökerek, mert négyzet nem lehet egyenlő negatív számmal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

I. ax 2 =0 – befejezetlen másodfokú egyenlet (b=0, c=0 ). Megoldás: x=0. Válasz: 0.

Egyenletek megoldása.

2x·(x+3)=6x-x 2.

Megoldás. Nyissuk meg a zárójeleket szorzással 2x minden zárójelben lévő kifejezéshez:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; A kifejezéseket jobbról balra mozgatjuk:

2x2 +6x-6x+x2 =0; Itt vannak hasonló kifejezések:

3x2 =0, tehát x=0.

Válasz: 0.

II. ax 2 +bx=0 –befejezetlen másodfokú egyenlet (c=0 ). Megoldás: x (ax+b)=0 → x 1 =0 vagy ax+b=0 → x 2 =-b/a. Válasz: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Megoldás. Vegyük ki a közös tényezőt x zárójelen kívül:

x(5x-26)=0; minden tényező nulla lehet:

x=0 vagy 5x-26=0→ 5x=26, ossza el az egyenlőség mindkét oldalát 5 és kapjuk: x=5,2.

Válasz: 0; 5,2.

3. példa 64x+4x2 =0.

Megoldás. Vegyük ki a közös tényezőt 4x zárójelen kívül:

4x(16+x)=0. Három tényezőnk van, 4≠0 tehát, ill x=0 vagy 16+x=0. Az utolsó egyenlőségből x=-16-ot kapunk.

Válasz: -16; 0.

4. példa(x-3) 2 +5x=9.

Megoldás. A két kifejezés különbségének négyzetére vonatkozó képlet alkalmazásával megnyitjuk a zárójeleket:

x 2 -6x+9+5x=9; átalakítani a következő alakra: x 2 -6x+9+5x-9=0; Mutassunk be hasonló kifejezéseket:

x2-x=0; kivesszük x a zárójeleken kívül a következőt kapjuk: x (x-1)=0. Innen ill x=0 vagy x-1=0→ x=1.

Válasz: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –befejezetlen másodfokú egyenlet (b=0 ); Megoldás: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Ha (-c/a)<0 , Azt igazi gyökerek Nem. Ha (-с/а)>0

5. példa. x 2 -49=0.

Megoldás.

x 2 =49, innen x=±7. Válasz:-7; 7.

6. példa. 9x2 -4=0.

Megoldás.

Gyakran meg kell találni egy másodfokú egyenlet gyökeinek négyzetösszegét (x 1 2 +x 2 2) vagy kockáinak összegét (x 1 3 +x 2 3), ritkábban - a reciprok értékek összegét. egy másodfokú egyenlet gyökeinek négyzetéből vagy aritmetikai négyzetgyökeinek összegéből:

Vieta tétele segíthet ebben:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Kifejezzük keresztül pÉs q:

1) az egyenlet gyökeinek négyzetösszege x 2 +px+q=0;

2) az egyenlet gyökeinek kockáinak összege x 2 +px+q=0.

Megoldás.

1) Kifejezés x 1 2 + x 2 2 az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével kapjuk x 1 + x 2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (-p) 2; nyissa ki a zárójeleket: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; kifejezzük a szükséges mennyiséget: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Hasznos egyenlőséget kaptunk: x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

2) Kifejezés x 1 3 + x 2 3 Képzeljük el a kockák összegét a következő képlettel:

(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Egy másik hasznos egyenlet: x 1 3 + x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Példák.

3) x 2 -3x-4=0. Az egyenlet megoldása nélkül számítsa ki a kifejezés értékét! x 1 2 + x 2 2.

Megoldás.

x 1 + x 2 =-p=3,és a munka x 1 ∙x 2 =q=az 1. példában) egyenlőség:

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q. Nekünk van -o=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Akkor x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Válasz: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Számítsd ki: x 1 3 +x 2 3 .

Megoldás.

Vieta tétele szerint ennek a redukált másodfokú egyenletnek a gyökeinek összege x 1 + x 2 =-p=2,és a munka x 1 ∙x 2 =q=-4. Alkalmazzuk amit kaptunk ( a 2. példában) egyenlőség: x 1 3 + x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Válasz: x 1 3 + x 2 3 =32.

Kérdés: mi van, ha kapunk egy redukálatlan másodfokú egyenletet? Válasz: mindig „csökkenthető”, ha tagonként elosztjuk az első együtthatóval.

5) 2x2 -5x-7=0. Döntés nélkül számítsa ki: x 1 2 + x 2 2.

Megoldás. Kapunk egy teljes másodfokú egyenletet. Ossza el az egyenlőség mindkét oldalát 2-vel (az első együttható), és kapja meg a következő másodfokú egyenletet: x 2 -2,5x-3,5=0.

Vieta tétele szerint a gyökök összege egyenlő 2,5 ; a gyökerek szorzata egyenlő -3,5 .

A példához hasonlóan oldjuk meg 3) az egyenlőséget használva: x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Válasz: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Megtalálja:

Alakítsuk át ezt az egyenlőséget, és Vieta tételével cseréljük ki a gyökök összegét át -o, és a szorzat a gyökerek keresztül q, újabb hasznos képletet kapunk. A képlet levezetésénél az 1-es egyenlőséget használtuk: x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

Példánkban x1+x2=-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a kapott képletbe:

7) x 2 -13x+36=0. Megtalálja:

Alakítsuk át ezt az összeget, és kapjunk egy képletet, amellyel egy másodfokú egyenlet gyökéből ki tudjuk számolni a számtani négyzetgyök összegét.

Nekünk van x1+x2=-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a kapott képletbe:

Tanács : mindig ellenőrizze a másodfokú egyenlet gyökeinek megtalálásának lehetőségét megfelelő módszerrel, mert 4 áttekintette hasznos képletek lehetővé teszi a feladat gyors elvégzését, különösen olyan esetekben, amikor a diszkrimináns egy „kényelmetlen” szám. Minden egyszerű esetben keresse meg a gyökereket, és operálja meg őket. Például az utolsó példában a gyököket Vieta tételével választjuk ki: a gyökök összegének egyenlőnek kell lennie 13 , és a gyökerek szorzata 36 . Mik ezek a számok? Biztosan, 4 és 9. Most számítsa ki ezeknek a számoknak a négyzetgyökének összegét: 2+3=5. Ez az!

I. Vieta tétele a redukált másodfokú egyenlethez.

A redukált másodfokú egyenlet gyökeinek összege x 2 +px+q=0 egyenlő az ellenkező előjellel vett második együtthatóval, és a gyökök szorzata egyenlő a szabad taggal:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Keresse meg az adott másodfokú egyenlet gyökereit Vieta tételével!

1. példa) x 2 -x-30=0. Ez a redukált másodfokú egyenlet ( x 2 +px+q=0), második együttható p=-1, és az ingyenes tag q=-30. Először is győződjünk meg erről adott egyenlet gyökerei vannak, és a gyökök (ha vannak) egész számokként lesznek kifejezve. Ehhez elegendő, ha a diszkrimináns az tökéletes négyzet egész szám.

A diszkrimináns megtalálása D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Most, Vieta tétele szerint, a gyökök összegének egyenlőnek kell lennie az ellenkező előjellel vett második együtthatóval, azaz. ( -o), a szorzat pedig egyenlő a szabad kifejezéssel, azaz. ( q). Akkor:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙x 2 =-30. Két számot kell választanunk úgy, hogy a szorzatuk egyenlő legyen -30 , és az összeg Mértékegység. Ezek számok -5 És 6 . Válasz: -5; 6.

2. példa) x 2 +6x+8=0. Megvan a redukált másodfokú egyenlet a második együtthatóval p=6és ingyenes tagja q=8. Győződjön meg róla, hogy vannak egész gyökök. Keressük a diszkriminánst D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . A D 1 diszkrimináns a szám tökéletes négyzete 1 , ami azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek a gyökerei egész számok. Válasszuk ki a gyököket Vieta tételével: a gyökök összege egyenlő –р=-6, és a gyökök szorzata egyenlő q=8. Ezek számok -4 És -2 .

Valójában: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Válasz: -4; -2.

3. példa) x 2 +2x-4=0. Ebben a redukált másodfokú egyenletben a második együttható p=2, és az ingyenes tag q=-4. Keressük a diszkriminánst D 1, mivel a második együttható az páros szám. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. A diszkrimináns nem a szám tökéletes négyzete, ezért tesszük következtetés: Ennek az egyenletnek a gyökerei nem egész számok, és nem találhatók meg Vieta tételével. Ez azt jelenti, hogy ezt az egyenletet szokás szerint a képletekkel (jelen esetben a képletekkel) oldjuk meg. Kapunk:

4. példa).Írj fel egy másodfokú egyenletet a gyökeivel, ha x 1 =-7, x 2 =4.

Megoldás. A szükséges egyenlet a következő formában kerül felírásra: x 2 +px+q=0, és Vieta tétele alapján –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel: x 2 +3x-28=0.

5. példa).Írjon fel egy másodfokú egyenletet a gyökeivel, ha:

II. Vieta tétele teljes másodfokú egyenlethez ax 2 +bx+c=0.

A gyökerek összege mínusz b, osztva A, a gyökerek szorzata egyenlő Val vel, osztva V:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

6. példa). Határozzuk meg egy másodfokú egyenlet gyökeinek összegét! 2x 2 -7x-11=0.

Megoldás.

Gondoskodunk arról, hogy ennek az egyenletnek legyen gyökere. Ehhez elegendő egy kifejezést létrehozni a diszkrimináns számára, és anélkül, hogy kiszámítaná, csak győződjön meg arról, hogy a diszkrimináns nagyobb, mint nulla. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Most pedig használjuk tétel Vieta teljes másodfokú egyenletekhez.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

7. példa). Határozzuk meg a másodfokú egyenlet gyökeinek szorzatát! 3x 2 +8x-21=0.

Megoldás.

Keressük a diszkriminánst D 1, mivel a második együttható ( 8 ) páros szám. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . A másodfokú egyenletnek van 2 gyökér, Vieta tétele szerint a gyökök szorzata x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– általános másodfokú egyenlet

Megkülönböztető D=b 2-4ac.

Ha D>0, akkor két valódi gyökerünk van:

Ha D=0, akkor egyetlen gyökünk van (vagy két egyenlő gyökünk) x=-b/(2a).

Ha D<0, то действительных корней нет.

Példa 1) 2x 2 +5x-3=0.

Megoldás. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 igazi gyökér.

4x 2 +21x+5=0.

Megoldás. a=4; b=21; c=5.

D=b 2-4ac=21 2-4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 igazi gyökér.

II. ax 2 +bx+c=0 – meghatározott alakú másodfokú egyenlet páros másodikkal

együttható b

Példa 3) 3x 2 -10x+3=0.

Megoldás. a=3; b=-10 (páros szám); c=3.

4. példa) 5x2 -14x-3=0.

Megoldás. a=5; b= -14 (páros szám); c=-3.

5. példa) 71x2 +144x+4=0.

Megoldás. a=71; b=144 (páros szám); c=4.

6. példa) 9x2 -30x+25=0.

Megoldás. a=9; b=-30 (páros szám); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – másodfokú egyenlet privát típus biztosított: a-b+c=0.

Az első gyök mindig egyenlő mínusz eggyel, a második gyök pedig mindig egyenlő mínuszral Val vel, osztva A:

x1 =-1, x2 =-c/a.

7. példa) 2x 2 +9x+7=0.

Megoldás. a=2; b=9; c=7. Ellenőrizzük az egyenlőséget: a-b+c=0. Kapunk: 2-9+7=0 .

Akkor x1 =-1, x2 =-c/a=-7/2=-3,5. Válasz: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – egy adott alak másodfokú egyenlete : a+b+c=0.

Az első gyökér mindig egyenlő eggyel, a második gyök pedig egyenlő Val vel, osztva A:

x 1 = 1, x 2 = c/a.

8. példa) 2x 2 -9x+7=0.

Megoldás. a=2; b=-9; c=7. Ellenőrizzük az egyenlőséget: a+b+c=0. Kapunk: 2-9+7=0 .

Akkor x1=1, x2=c/a=7/2=3,5. Válasz: 1; 3,5.

1/1 oldal 1

Az online egyenletmegoldó szolgáltatás bármilyen egyenlet megoldásában segít. Weboldalunk segítségével nemcsak az egyenletre adott választ kapja meg, hanem részletes megoldást is láthat, vagyis az eredmény megszerzésének folyamatának lépésről lépésre történő megjelenítését. Szolgáltatásunk a középiskolások számára lesz hasznos középiskolákés szüleik. A tanulók felkészülhetnek a tesztekre, vizsgákra, összemérhetik tudásukat, a szülők pedig figyelemmel kísérhetik gyermekeik matematikai egyenletek megoldását. Az egyenletmegoldó képesség az iskolások számára kötelező követelmény. A szolgáltatás segíti önképzését és tudásának bővítését a matematikai egyenletek területén. Segítségével bármilyen egyenletet megoldhat: másodfokú, köbös, irracionális, trigonometrikus stb. Előny online szolgáltatásés megfizethetetlen, mert a helyes válasz mellett minden egyenletre részletes megoldást is kap. Az egyenletek online megoldásának előnyei. Weboldalunkon online bármilyen egyenletet teljesen ingyenesen megoldhat. A szolgáltatás teljesen automatikus, nem kell semmit telepítenie a számítógépére, csak be kell írnia az adatokat és a program ad megoldást. A számítási hibák és az elírások kizártak. Nálunk bármilyen egyenlet online megoldása nagyon egyszerű, ezért mindenképpen használja oldalunkat bármilyen egyenlet megoldásához. Csak az adatokat kell megadni, és pillanatok alatt elkészül a számítás. A program önállóan, emberi beavatkozás nélkül működik, pontos és részletes választ kap. Az egyenlet megoldása in Általános nézet. Egy ilyen egyenletben a változó együtthatók és a kívánt gyökök összekapcsolódnak. Egy változó legnagyobb hatványa határozza meg egy ilyen egyenlet sorrendjét. Ennek alapján az egyenletekhez különféle módszereket és tételeket használnak a megoldások keresésére. Az ilyen típusú egyenletek megoldása a szükséges gyökök általános formában történő megtalálását jelenti. Szolgáltatásunk lehetővé teszi a legbonyolultabb algebrai egyenlet online megoldását is. Kaphat egy általános megoldást az egyenletre és egy konkrét megoldást a megadottakra számértékek együtthatók Egy algebrai egyenlet megoldásához a webhelyen elegendő csak két mezőt helyesen kitölteni: a bal és a jobb oldalt. adott egyenlet. A változó együtthatós algebrai egyenleteknek végtelen számú megoldása van, és bizonyos feltételek felállításával a megoldások halmazából kiválasztják a részlegeseket. Másodfokú egyenlet. A másodfokú egyenlet alakja ax^2+bx+c=0, ha a>0. Egyenletek megoldása szögletes megjelenés azt jelenti, hogy meg kell keresni x azon értékét, amelyre az ax^2+bx+c=0 egyenlőség érvényes. Ehhez keresse meg a diszkrimináns értéket a D=b^2-4ac képlet segítségével. Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek nincs valódi gyöke (a gyökök a mezőből származnak komplex számok), ha egyenlő nullával, akkor az egyenletnek egy valós gyöke van, ha pedig a diszkrimináns nagyobb nullánál, akkor az egyenletnek két valós gyöke van, amelyeket a következő képlettel találunk meg: D= -b+-sqrt/2a. Egy másodfokú egyenlet online megoldásához csak meg kell adnia az egyenlet együtthatóit (egész számok, törtek vagy tizedesjegyek). Ha egy egyenletben kivonási előjelek vannak, akkor az egyenlet megfelelő tagjai elé mínuszjelet kell tenni. Másodfokú egyenletet online is meg tud oldani a paramétertől, vagyis az egyenlet együtthatóiban szereplő változóktól függően. Online keresési szolgáltatásunk általános megoldások. Lineáris egyenletek. Megoldásokért lineáris egyenletek(vagy egyenletrendszerek) négy fő módszert használnak a gyakorlatban. Mindegyik módszert részletesen ismertetjük. Helyettesítő módszer. Az egyenletek helyettesítési módszerrel történő megoldásához az egyik változót a többivel kell kifejezni. Ezt követően a kifejezést behelyettesítjük a rendszer más egyenleteivel. Innen származik a megoldási metódus neve is, vagyis változó helyett a kifejezése a fennmaradó változókkal helyettesítődik. A gyakorlatban a módszer bonyolult számításokat igényel, bár könnyen érthető, így egy ilyen egyenlet online megoldása időt takarít meg és megkönnyíti a számításokat. Csak meg kell adni az ismeretlenek számát az egyenletben, és ki kell töltenie a lineáris egyenletek adatait, majd a szolgáltatás elvégzi a számítást. Gauss módszer. A módszer a rendszer legegyszerűbb átalakításán alapul, hogy egy ekvivalens rendszert kapjunk háromszög alakú. Belőle sorra határozzák meg az ismeretleneket. A gyakorlatban egy ilyen egyenletet online kell megoldani Részletes leírás, aminek köszönhetően jól ismeri a Gauss-módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására. Írja fel a lineáris egyenletrendszert a megfelelő formátumban, és vegye figyelembe az ismeretlenek számát a rendszer pontos megoldása érdekében! Cramer módszere. Ez a módszer olyan egyenletrendszereket old meg, ahol a rendszernek egyedi megoldása van. A fő matematikai művelet itt a mátrix-determinánsok kiszámítása. Az egyenletek megoldása a Cramer módszerrel online történik, az eredményt azonnal megkapja teljes és részletes leírással. Elég csak kitölteni a rendszert együtthatókkal és kiválasztani az ismeretlen változók számát. Mátrix módszer. Ez a módszer az A mátrixban lévő ismeretlenek, az X oszlopban az ismeretlenek, a B oszlopban a szabad tagok együtthatóiból áll. Így a lineáris egyenletrendszer egy AxX = B formájú mátrixegyenletre redukálódik. Ennek az egyenletnek csak akkor van egyedi megoldása, ha az A mátrix determinánsa különbözik nullától, ellenkező esetben a rendszernek nincs megoldása, vagy végtelen számú megoldása van. Az egyenletek mátrixmódszerrel történő megoldása magában foglalja az A inverz mátrix megtalálását.