Szabályos piramis felülete. A piramis teljes felülete

Melyik alakot nevezzük piramisnak? Először is, ez egy poliéder. Másodszor, ennek a poliédernek az alján van egy tetszőleges sokszög, és a piramis oldalai (oldallapjai) szükségszerűen háromszög alakúak, amelyek egy közös csúcsban konvergálnak. Most, miután megértette a kifejezést, megtudjuk, hogyan találjuk meg a piramis felületét.

Egyértelmű, hogy a felület olyan geometrikus test az alap területeinek és teljes oldalfelületének összegéből áll majd.

A piramis alapterületének kiszámítása

A számítási képlet megválasztása a piramisunk mögötti sokszög alakjától függ. Lehet szabályos, azaz azonos hosszúságú oldalú, vagy szabálytalan. Tekintsük mindkét lehetőséget.

Az alap egy szabályos sokszög

Tól től iskolai tanfolyam ismert:

a négyzet területe egyenlő lesz az oldal négyzetes hosszával;
Egy egyenlő oldalú háromszög területe egyenlő az oldalának négyzetével osztva 4-gyel és megszorozva Négyzetgyök háromból.

De van olyan is általános képlet, bármely szabályos sokszög (Sn) területének kiszámításához: meg kell szorozni ennek a sokszögnek a kerületét (P) a beleírt kör sugarával (r), majd az eredményt el kell osztani kettővel: Sn= 1/2P*r.

Az alján egy szabálytalan sokszög található

A terület megtalálásának sémája az, hogy először a teljes sokszöget háromszögekre osztjuk, és mindegyikük területét a következő képlettel számítjuk ki: 1/2a*h (ahol a a háromszög alapja, h a magasság, amelyre csökkentjük ezt az alapot), adja össze az összes eredményt.

A piramis oldalfelülete

Most számoljuk ki a piramis oldalfelületének területét, pl. az összes oldalsó oldala területének összege. Itt is van 2 lehetőség.

Legyen egy tetszőleges piramisunk, pl. egy szabálytalan sokszög az alján. Ezután külön-külön ki kell számítania az egyes arcok területét, és össze kell adnia az eredményeket. Mivel a piramis oldalai értelemszerűen csak háromszögek lehetnek, a számítást a fent említett képlet alapján végezzük: S=1/2a*h.
A piramisunk legyen helyes, i.e. az alján egy szabályos sokszög fekszik, és a piramis csúcsának vetülete van a középpontjában. Ezután az oldalsó felület (Sb) területének kiszámításához elegendő megtalálni az alapsokszög kerületének (P) és az oldalsó oldal magasságának (h) a szorzatának felét (minden lapra ugyanaz) ): Sb = 1/2 P*h. Egy sokszög kerületét úgy határozzuk meg, hogy az összes oldala hosszát összeadjuk.

Egy szabályos piramis teljes felületét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az alapterületét a teljes oldalfelület területével.

Példák

Például algebrai úton számítsuk ki több piramis felületét.

Háromszög alakú piramis felülete

Egy ilyen piramis alján egy háromszög található. Az So=1/2a*h képlet segítségével megtaláljuk az alap területét. Ugyanezzel a képlettel keressük meg a piramis minden lapjának területét, amelyek szintén háromszög alakúak, és 3 területet kapunk: S1, S2 és S3. A piramis oldalfelületének területe az összes terület összege: Sb = S1+ S2+ S3. Az oldalak és az alapterületek összeadásával megkapjuk a kívánt piramis teljes felületét: Sp= So+ Sb.

Négyszögletű piramis felülete

Az oldalfelület területe 4 tag összege: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, amelyek mindegyikét a háromszög területére vonatkozó képlet alapján számítjuk ki. És meg kell keresni az alap területét, a négyszög alakjától függően - szabályos vagy szabálytalan. A piramis teljes felületét ismét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az adott piramis alapterületét és teljes felületét.

A piramis oldalsó felületének teljes területe az oldallapok területének összegéből áll.

Egy négyszögletű piramisban kétféle lap létezik - egy négyszög az alapnál és egy közös csúcsú háromszög, amelyek az oldalfelületet alkotják.
Először ki kell számítania az oldalfelületek területét. Ehhez használhatja a háromszög területének képletét, vagy használhatja a négyszög alakú piramis felületére vonatkozó képletet is (csak akkor, ha a poliéder szabályos). Ha a gúla szabályos és ismert az alap a élének hossza és a hozzá húzott h apotém, akkor:

Ha a feltételeknek megfelelően egy szabályos gúla c élének hossza és az a alap oldalának hossza adott, akkor az értéket a következő képlettel találhatja meg:

Ha adott az él hossza az alapnál és az ellentétes éles sarok a csúcsban, akkor az oldalfelület területe az a oldal négyzetének és az α szög felének kettős koszinuszának arányával számítható ki:

Tekintsünk egy példát egy négyszög alakú piramis felületének kiszámítására az alap oldalélén és oldalán keresztül.

Feladat: Legyen adott egy szabályos négyszög alakú piramis. Élhossz b = 7 cm, alapoldal hossza a = 4 cm Csere beállított értékeket a képletbe:

Megmutattuk egy szabályos piramis egyik oldallapjának területére vonatkozó számításokat. Illetőleg. A teljes felület területének meghatározásához meg kell szorozni az eredményt a lapok számával, azaz 4-gyel. Ha a piramis tetszőleges és lapjai nem egyenlőek egymással, akkor a területet ki kell számítani. minden egyes oldal számára. Ha az alap téglalap vagy paralelogramma, akkor érdemes megjegyezni a tulajdonságait. Ezeknek az ábráknak az oldalai páronként párhuzamosak, és ennek megfelelően a piramis lapjai is páronként azonosak lesznek.
A négyszög alakú piramis alapterületének képlete közvetlenül attól függ, hogy melyik négyszög található az alapon. Ha a piramis helyes, akkor az alap területét a képlet segítségével számítják ki, ha az alap egy rombusz, akkor emlékeznie kell arra, hogyan helyezkedik el. Ha van egy téglalap az alapnál, akkor a terület megtalálása meglehetősen egyszerű. Elég tudni az alap oldalainak hosszát. Tekintsünk egy példát a négyszög alakú piramis alapterületének kiszámítására.

Feladat: Adjunk meg egy gúlát, amelynek az alján egy a = 3 cm, b = 5 cm oldalú téglalap fekszik, a gúla tetejéről mindkét oldalára leeresztünk egy-egy apotémet. h-a =4 cm, h-b =6 cm A piramis csúcsa az átlók metszéspontjával egy egyenesen fekszik. Keresse meg a piramis teljes területét.
A négyszög alakú piramis területének képlete az összes lap és az alap területének összegéből áll. Először keressük meg az alap területét:

Most nézzük meg a piramis oldalait. Párban azonosak, mert a piramis magassága metszi az átlók metszéspontját. Vagyis a mi piramisunkban van két háromszög, amelyeknek alapja a és magasság h-a, valamint két háromszög b és alappal magasság h-b. Most keressük meg a háromszög területét a jól ismert képlet segítségével:

Most mutassunk példát egy négyszögletű piramis területének kiszámítására. Az alján téglalappal rendelkező piramisunkban a képlet így nézne ki:

Háromszög alakú piramis olyan poliéder, amelynek alapja szabályos háromszög.

Egy ilyen piramisban az alap élei és az oldalak élei egyenlőek egymással. Ennek megfelelően az oldallapok területe három azonos háromszög területének összegéből adódik. Egy szabályos piramis oldalfelületét a képlet segítségével találhatja meg. És a számítást többször is gyorsabbá teheti. Ehhez alkalmaznia kell a képletet a háromszög alakú piramis oldalfelületének területén:

ahol p az alap kerülete, amelynek minden oldala egyenlő b-vel, a a felülről erre az alapra süllyesztett apotéma. Tekintsünk egy példát a háromszög alakú piramis területének kiszámítására.

Feladat: Legyen adott egy szabályos piramis. A háromszög oldala az alapnál b = 4 cm. A gúla apotémája a = 7 cm. Határozza meg a gúla oldalfelületének területét!
Mivel a feladat feltételeinek megfelelően ismerjük az összes szükséges elem hosszát, meg fogjuk találni a kerületet. Emlékezzünk arra, hogy egy szabályos háromszögben minden oldal egyenlő, ezért a kerületet a következő képlettel számítjuk ki:

Cseréljük be az adatokat és keressük meg az értéket:

Most a kerület ismeretében kiszámíthatjuk az oldalfelületet:

A háromszög alakú piramis területének képletének alkalmazásához a teljes érték kiszámításához meg kell találnia a poliéder alapterületét. Ehhez használja a következő képletet:

A háromszög alakú piramis alapterületének képlete eltérő lehet. Egy adott ábrához bármilyen paraméterszámítás használható, de leggyakrabban erre nincs szükség. Tekintsünk egy példát a háromszög alakú piramis alapterületének kiszámítására.

Feladat: Egy szabályos gúlában a háromszög oldala az alapnál a = 6 cm. Számítsa ki az alap területét!
A kiszámításhoz csak a piramis alján található szabályos háromszög oldalának hosszára van szükségünk. Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:

Elég gyakran meg kell találnia egy poliéder teljes területét. Ehhez össze kell adnia az oldalfelület és az alap területét.

Tekintsünk egy példát a háromszög alakú piramis területének kiszámítására.

Feladat: Legyen adott egy szabályos háromszög alakú piramis. Az alapoldal b = 4 cm, az apotém a = 6 cm. Határozza meg a piramis teljes területét!
Először keressük meg az oldalsó felület területét a már ismert képlet segítségével. Számítsuk ki a kerületet:

Helyettesítsd be az adatokat a képletbe:
Most keressük meg az alap területét:
Ismerve az alap- és oldalfelület területét, megtaláljuk a piramis teljes területét:

A szabályos piramis területének kiszámításakor ne felejtse el, hogy az alap szabályos háromszög, és ennek a poliédernek sok eleme egyenlő egymással.

Utasítás

Először is érdemes megérteni, hogy a piramis oldalsó felületét több háromszög ábrázolja, amelyek területei az ismert adatoktól függően különféle képletekkel kereshetők:

S = (a*h)/2, ahol h az a oldalra süllyesztett magasság;

S = a*b*sinβ, ahol a, b a háromszög oldalai, és β az ezen oldalak közötti szög;

S = (r*(a + b + c))/2, ahol a, b, c a háromszög oldalai, r pedig a háromszögbe írt kör sugara;

S = (a*b*c)/4*R, ahol R a kör körül körülírt háromszög sugara;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (ha a háromszög derékszögű);

S = S = (a²*√3)/4 (ha a háromszög egyenlő oldalú).

Valójában ezek csak a legalapvetőbb ismert képletek a háromszög területének meghatározására.

Miután a fenti képletekkel kiszámította az összes háromszög területét, amelyek a piramis lapjai, elkezdheti kiszámítani a piramis területét. Ez rendkívül egyszerűen történik: össze kell adni a piramis oldalfelületét alkotó háromszögek területeit. Ez a következő képlettel fejezhető ki:

Sp = ΣSi, ahol Sp az oldalfelület területe, Si az i-edik háromszög területe, amely az oldalfelületének része.

A jobb áttekinthetőség kedvéért tekinthetünk egy kis példát: adott egy szabályos gúla, amelynek oldallapjait egyenlő oldalú háromszögek alkotják, és az alján egy négyzet található. Ennek a piramisnak a szélének hossza 17 cm. Meg kell találni a gúla oldalfelületének területét.

Megoldás: ennek a piramisnak a peremének hossza ismert, lapjai egyenlő oldalú háromszögek. Tehát azt mondhatjuk, hogy az oldalfelületen lévő összes háromszög minden oldala 17 cm. Ezért ezen háromszögek területének kiszámításához a következő képletet kell alkalmazni:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Ismeretes, hogy a piramis alján egy négyzet található. Így világos, hogy négy adott egyenlő oldalú háromszög van. Ezután a piramis oldalfelületének területét a következőképpen számítjuk ki:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Válasz: A piramis oldalfelülete 500,548 cm²

Először is számítsuk ki a piramis oldalfelületének területét. Az oldalfelület az összes oldalfelület területének összege. Ha szabályos piramisról van szó (vagyis olyanról, amelynek az alapja egy szabályos sokszög van, és a csúcs ennek a sokszögnek a középpontjába van vetítve), akkor a teljes oldalfelület kiszámításához elegendő a kör kerületét megszorozni. az alap (azaz a sokszög alappiramison fekvő összes oldala hosszának összege) az oldallap magasságával (más néven apotém), és a kapott értéket osszuk el 2-vel: Sb = 1/2P* h, ahol Sb az oldalfelület területe, P az alap kerülete, h az oldalfelület magassága (apotém).

Ha van előtted egy tetszőleges piramis, akkor külön-külön ki kell számítanod az összes lap területét, majd össze kell adnod azokat. Mivel a piramis oldallapjai háromszögek, a háromszög területére a következő képletet használjuk: S=1/2b*h, ahol b a háromszög alapja, h pedig a magassága. Ha az összes lap területét kiszámoltuk, már csak össze kell adni őket, hogy megkapjuk a piramis oldalfelületének területét.

Ezután ki kell számítania a piramis alapterületét. A számítási képlet megválasztása attól függ, hogy melyik sokszög található a piramis alján: szabályos (vagyis olyan, amelynek minden oldala azonos hosszúságú) vagy szabálytalan. A szabályos sokszög területe kiszámítható úgy, hogy a kerületet megszorozzuk a sokszögbe írt kör sugarával, és a kapott értéket elosztjuk 2-vel: Sn = 1/2P*r, ahol Sn a sokszög területe. sokszög, P a kerülete, r pedig a sokszögbe írt kör sugara.

A csonka gúla olyan poliéder, amelyet egy gúla alkot, és az alappal párhuzamos keresztmetszete. A piramis oldalsó felületének megtalálása egyáltalán nem nehéz. Nagyon egyszerű: a terület egyenlő a bázisok összegének felének szorzatával. Nézzünk egy példát az oldalsó felület kiszámítására. Tegyük fel, hogy kapunk egy szabályos piramist. Az alap hossza b = 5 cm, c = 3 cm. Apothem a = 4 cm. A piramis oldalfelületének területének meghatározásához először meg kell találni az alapok kerületét. Nagy alapon p1=4b=4*5=20 cm lesz, kisebb alapon a képlet a következő lesz: p2=4c=4*3=12 cm. Ezért a terület egyenlő lesz : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.

Mielőtt megvizsgálná a geometriai alakzatra és tulajdonságaira vonatkozó kérdéseket, meg kell értenie néhány kifejezést. Amikor az ember hall egy piramisról, hatalmas épületeket képzel el Egyiptomban. Így néznek ki a legegyszerűbbek. De előfordulnak különböző típusokés alakzatok, ami azt jelenti, hogy a geometriai alakzatok számítási képlete más lesz.

Piramis - geometriai ábra, több arcot jelölve és ábrázolva. Lényegében ez ugyanaz a poliéder, amelynek alján egy sokszög található, és az oldalakon háromszögek vannak, amelyek egy ponton - a csúcson - kapcsolódnak össze. Az ábrának két fő típusa van:

helyes;
megcsonkított.

Az első esetben az alap egy szabályos sokszög. Itt van minden oldalfelületek egyenlő maguk és a figura között tetszeni fog egy perfekcionista szemében.

A második esetben két alap van - egy nagy alul és egy kicsi a tetején, megismételve a fő alakját. Más szavakkal, a csonka gúla az alappal párhuzamos keresztmetszetű poliéder.

Kifejezések és szimbólumok

Kulcsfontossagu kifejezesek:

Szabályos (egyenlő oldalú) háromszög- három egyenlő szögű és egyenlő oldalú ábra. Ebben az esetben minden szög 60 fokos. Az ábra a legegyszerűbb szabályos poliéder. Ha ez a szám az alapnál fekszik, akkor egy ilyen poliédert szabályos háromszögnek neveznek. Ha az alap négyzet, a piramist szabályosnak nevezzük négyszög alakú piramis.
Csúcs– a legmagasabb pont, ahol az élek találkoznak. A csúcs magasságát egy egyenes vonal alkotja, amely a csúcstól a piramis alapjáig húzódik.
Él– a sokszög egyik síkja. Háromszög alakú piramis esetén lehet háromszög, vagy trapéz alakú. csonka piramis.
Szakasz – lapos alak, boncolás eredményeként alakult ki. Nem szabad összetéveszteni egy résszel, hiszen egy szakasz azt is mutatja, hogy mi van a szakasz mögött.
Apothem- a piramis tetejétől az aljáig húzott szakasz. Ez egyben az arc magassága is, ahol a második magassági pont található. Ez a meghatározás csak szabályos poliéderre érvényes. Például, ha ez nem egy csonka piramis, akkor az arc háromszög lesz. Ebben az esetben ennek a háromszögnek a magassága lesz az apotém.

Területi képletek

Keresse meg a piramis oldalfelületét bármely típus többféleképpen is elvégezhető. Ha az ábra nem szimmetrikus és sokszög -val különböző oldalak, akkor ebben az esetben egyszerűbb a teljes felület kiszámítása az összes felület összességén keresztül. Más szóval, ki kell számítania az egyes arcok területét, és össze kell adnia őket.

Attól függően, hogy milyen paraméterek ismertek, szükség lehet négyzet, trapéz, tetszőleges négyszög stb. kiszámítására szolgáló képletekre. Maguk a képletek különböző esetekben is lesznek különbségek.

Normál alak esetén sokkal könnyebb a terület megtalálása. Elég, ha csak néhány kulcsfontosságú paramétert ismer. A legtöbb esetben kifejezetten az ilyen számadatokhoz van szükség számításokra. Ezért az alábbiakban megadjuk a megfelelő képleteket. Ellenkező esetben mindent több oldalra kellene kiírnia, ami csak összezavarná és összezavarná.

Számítási alapképlet Egy szabályos piramis oldalfelülete a következő formában lesz:

S=½ Pa (P az alap kerülete és az apotéma)

Nézzünk egy példát. A poliéder alapja A1, A2, A3, A4, A5 szelvényekkel rendelkezik, és mindegyik egyenlő 10 cm-rel. Legyen az apotém egyenlő 5 cm-rel. Először meg kell találni a kerületet. Mivel az alap mind az öt lapja egyforma, így megtalálhatja: P = 5 * 10 = 50 cm Ezután alkalmazzuk az alapképletet: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm négyzet.

Szabályos háromszög alakú piramis oldalfelülete legkönnyebben kiszámítható. A képlet így néz ki:

S =½* ab *3, ahol a az apotém, b az alap lapja. A hármas tényező itt az alap felületeinek számát jelenti, az első rész pedig az oldalfelület területe. Nézzünk egy példát. Adott egy 5 cm-es apotém és 8 cm-es alapélű ábra.Számítjuk: S = 1/2*5*8*3=60 cm négyzetben.

Egy csonka piramis oldalfelülete Kicsit nehezebb kiszámolni. A képlet így néz ki: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, ahol p_01 és p_02 az alapok kerülete, és az apotéma. Nézzünk egy példát. Tegyük fel, hogy egy négyszögletű alaknál az alapok oldalainak mérete 3 és 6 cm, az apotéma pedig 4 cm.

Itt először meg kell találni az alapok kerületét: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm. Marad az értékek behelyettesítése a főképletbe, és kapjuk: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm négyzetben.

Így bármilyen bonyolultságú szabályos piramis oldalfelületét megtalálhatja. Óvatosnak kell lenni, és nem szabad összekeverni ezeket a számításokat teljes terület az egész poliéder. És ha ezt továbbra is meg kell tennie, csak számítsa ki a poliéder legnagyobb alapterületét, és adja hozzá a poliéder oldalsó felületének területéhez.