Szakaszok: Matematika
Osztály: 9
Kötelező tanulási eredmény a formai egyenlőtlenségek megoldásának képessége:
ax 2 + bx+ c ><0
sematikus diagram alapján másodfokú függvény.
Leggyakrabban a tanulók hibáznak, amikor másodfokú egyenlőtlenségeket oldanak meg negatív első együtthatóval. Ilyen esetekben a tankönyv javasolja az egyenlőtlenség helyettesítését egy ekvivalensre, pozitív együtthatóval x 2-nél (3. példa) Fontos, hogy a tanulók megértsék, hogy „el kell felejteniük” az eredeti egyenlőtlenséget, megoldani a problémát. , felfelé mutató parabolát kell rajzolniuk. Lehet másképp vitatkozni.
Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az egyenlőtlenséget:
–x 2 + 2x –5<0
Először nézzük meg, hogy az y=-x 2 +2x-5 függvény grafikonja metszi-e az OX tengelyt. Ehhez oldjuk meg az egyenletet:
Az egyenletnek nincs gyöke, ezért az y=-x 2 +2x-5 függvény grafikonja teljesen az X tengely alatt helyezkedik el és az -x 2 +2x-5 egyenlőtlenség<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
A megoldási képességet a 111. és 119. sz. fejlesztik. Feltétlenül figyelembe kell venni a következő egyenlőtlenségeket: x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x2 >0 stb.
Természetesen az ilyen egyenlőtlenségek megoldásához használhat parabolát. Az erős tanulóknak azonban azonnal választ kell adniuk anélkül, hogy rajzhoz folyamodnának. Ebben az esetben magyarázatra van szükség, például: x 2 ≥0 és x 2 +7>0 x bármely értékéhez. Az óra felkészültségi szintjétől függően korlátozhatja magát ezekre a számokra, vagy használhatja a 120. számú 121-es számot. Ezekben egyszerű, azonos átalakításokat kell végrehajtani, így itt megismétlődik a tárgyalt anyag. Ezeket a szobákat erős tanulók számára tervezték. Ha jó eredményt érünk el, és a másodfokú egyenlőtlenségek megoldása nem okoz problémát, akkor megkérhetjük a tanulókat, hogy oldjanak meg egy olyan egyenlőtlenségrendszert, amelyben az egyik vagy mindkét egyenlőtlenség másodfokú (193., 194. gyakorlat).
Nemcsak a másodfokú egyenlőtlenségek megoldása érdekes, hanem az is, hogy hol máshol alkalmazható ez a megoldás: egy másodfokú egyenlet paraméterekkel történő vizsgálatának függvényének definíciós tartományának megtalálása (122-124. gyakorlat). A leghaladóbb tanulók számára figyelembe veheti a másodfokú egyenlőtlenségeket a következő alak paramétereivel:
Ax 2 +Bx+C>0 (≥0)
Axe 2 +Bx+C<0 (≤0)
Ahol A,B,C a paraméterektől függő kifejezések, ott A≠0,x ismeretlen.
Egyenlőtlenség Ax 2 +Bx+C>0
Tanulmányozása a következő sémák szerint történik:
1)Ha A=0, akkor megvan a Bx+C>0 lineáris egyenlőtlenség
2) Ha A≠0 és diszkriminans D>0, akkor a négyzetes trinomit faktorozhatjuk és megkaphatjuk az egyenlőtlenséget
A(x-x1) (x-x2)>0
x 1 és x 2 az Ax 2 +Bx+C=0 egyenlet gyöke
3) Ha A≠0 és D<0 то если A>0 a megoldás az R valós számok halmaza lesz; A.-nál<0 решений нет.
A fennmaradó egyenlőtlenségeket hasonlóan lehet tanulmányozni.
Másodfokú egyenlőtlenségek megoldására használható, ezért a másodfokú trinom tulajdonsága
1) Ha A>0 és D<0 то Ax2+Bx+C>0- minden x-re.
2) Ha A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
Másodfokú egyenlőtlenség megoldásánál célszerűbb az y=Ax2+Bx+C függvény grafikonjának sematikus ábrázolása.
Példa: Minden paraméterértékre oldja meg az egyenlőtlenséget
X 2 +2(b+1)x+b 2 >0
D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2
1) D<0 т.е. 2b+1<0
Az x 2 előtti együttható 1>0, ekkor az egyenlőtlenség teljesül minden x-re, azaz. X és R
2) D=0 => 2b+1=0
Ekkor x 2 +x+¼>0
x є(-∞;-½) U (-½;∞)
3) D>0 =>2b+1>0
A négyzetes trinom gyökerei:
X 1 =-b-1-√2b+1
X 2 =-b-1+√2b+1
Az egyenlőtlenség formát ölt
(x-x 1) (x-x 2)>0
Az intervallum módszerrel azt kapjuk
x є(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)
Független megoldáshoz adja meg a következő egyenlőtlenséget!
Az egyenlőtlenségek megoldásának eredményeként a hallgatónak meg kell értenie, hogy a másodfokú egyenlőtlenségek megoldásához javasolt a gráfkészítés módszerében elhagyni a túlzott részletezést, a parabola csúcsainak koordinátáinak megtalálásától, figyelembe véve a léptékben, és korlátozhatjuk magunkat egy másodfokú függvény grafikonjának vázlatának megrajzolására.
Felső szinten a másodfokú egyenlőtlenségek megoldása gyakorlatilag nem önálló feladat, hanem egy másik egyenlet vagy egyenlőtlenség (logaritmikus, exponenciális, trigonometrikus) megoldásának összetevőjeként működik. Ezért meg kell tanítani a tanulókat a másodfokú egyenlőtlenségek folyékony megoldására. Három tételre hivatkozhat, amelyeket A.A. kölcsönzött a tankönyvből. Kiseleva.
1. Tétel. Legyen adott egy négyzetes trinomiális ax 2 +bx+c, ahol a>0, 2 különböző valós gyökével (D>0).
Ekkor: 1) Az x változó minden olyan értékére, amely kisebb, mint a kisebbik gyök, és nagyobb, mint a nagyobb gyök, a négyzetes trinom pozitív
2) A négyzetgyökök közötti x értékeknél a trinom negatív.
2. tétel. Legyen adott egy ax 2 +bx+c négyzetháromtag, ahol a>0 2 egyforma valós gyök (D=0), majd a négyzetes hármasgyökétől eltérő x összes értékére a négyzetháromrész pozitív .
3. tétel. Legyen adott egy ax 2 +bx+c négyzetes trinom, ahol a>0 nincs igazi gyökerek(D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
Például: az egyenlőtlenséget meg kell oldani:
D=1+288=289>0
A megoldás az
X≤-4/3 és x≥3/2
Válasz (-∞; -4/3] U
A válaszok a hátoldalon találhatók, és a megadott idő letelte után megtekinthetők. Ezt a munkát a legkényelmesebb az óra elején a tanár jelzésére elvégezni. (Figyelem, készüljetek, kezdjük). A „Stop” parancs megszakítja a munkát.
A munkaidő meghatározása az óra felkészültségének függvényében történik. A sebesség növekedése a tanuló munkájának mutatója.
A másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának képessége az egységes államvizsga letételekor is hasznos lesz a hallgatók számára. A B csoport problémáiban egyre gyakrabban találkozunk a másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának képességével kapcsolatos feladatokkal.
Például:
Egy követ függőlegesen felfelé dobnak. Amíg a kő le nem esik, a képlet írja le a magasságot, amelyen található
(h - magasság méterben, t - a dobás pillanatától eltelt idő másodpercben).
Határozza meg, hány másodpercig volt a kő legalább 9 méteres magasságban.
A megoldáshoz egyenlőtlenséget kell létrehozni:
5t 2 +18t-9≥0
Válasz: 2,4 s
Már a 9. osztályban, az anyag tanulásának szakaszában elkezdve példákat adni a tanulóknak az egységes államvizsgáról, már készülünk a vizsgára, a paramétert tartalmazó másodfokú egyenlőtlenségek megoldása lehetővé teszi a C csoportból származó feladatok megoldását.
A témakör 9. osztályos tanulmányozásának nem formális megközelítése megkönnyíti az „Algebra és az elemzés kezdetei” kurzus anyagának elsajátítását olyan témákban, mint „A derivált alkalmazása”, „Egyenlőtlenségek megoldása intervallumok módszerével” „Logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek megoldása” „Irracionális egyenlőtlenségek megoldása”.
Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)
Mi történt "négyzetes egyenlőtlenség"? Nem kérdés!) Ha veszed Bármi másodfokú egyenletet, és cserélje ki benne a jelet "=" (egyenlő) bármely egyenlőtlenség jellel ( > ≥ < ≤ ≠ ), másodfokú egyenlőtlenséget kapunk. Például:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Nos, érted...)
Nem hiába kapcsoltam ide az egyenleteket és az egyenlőtlenségeket. A lényeg az, hogy a megoldás első lépése Bármi másodfokú egyenlőtlenség - oldja meg azt az egyenletet, amelyből ez az egyenlőtlenség keletkezik. Emiatt a másodfokú egyenletek megoldásának képtelensége automatikusan az egyenlőtlenségek teljes kudarcához vezet. Világos a tipp?) Ha van, nézze meg, hogyan lehet másodfokú egyenleteket megoldani. Ott minden részletesen le van írva. És ebben a leckében az egyenlőtlenségekkel fogunk foglalkozni.
A megoldásra kész egyenlőtlenség a következőképpen alakul: bal - másodfokú trinomikus ax 2 +bx+c, a jobb oldalon - nulla. Az egyenlőtlenség jele bármi lehet. Az első két példa itt található már készen állnak a döntésre. A harmadik példát még elő kell készíteni.
Ha tetszik ez az oldal...
Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)
Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)
Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.
A másodfokú egyenletek megoldásának megértéséhez meg kell értenünk, mi a másodfokú függvény, és milyen tulajdonságai vannak.
Biztosan elgondolkozott már azon, hogy miért van egyáltalán szükség másodfokú függvényre? Hol alkalmazhatjuk a gráfját (parabola)? Igen, csak körül kell nézni, és ezt minden nap észreveszed Mindennapi élet találkozol vele. Észrevetted, hogyan repül egy eldobott labda a testnevelésben? "Az ív mentén"? A leghelyesebb válasz a „parabola” lenne! És milyen pályán mozog a sugár a szökőkútban? Igen, parabolában is! Hogyan repül a golyó vagy a lövedék? Így van, parabolában is! Így egy másodfokú függvény tulajdonságainak ismeretében sok gyakorlati probléma megoldására nyílik lehetőség. Például milyen szögben kell egy labdát eldobni, hogy a legnagyobb távolságot biztosítsuk? Vagy hova kerül a lövedék, ha bizonyos szögben elindítja? stb.
Másodfokú függvény
Szóval, találjuk ki.
Például, . Mik itt az egyenlők, és? Hát persze!
Mi van, ha pl. nullánál kisebb? Nos, természetesen „szomorúak” vagyunk, ami azt jelenti, hogy az ágak lefelé irányulnak! Nézzük a grafikont.
Ez az ábra a függvény grafikonját mutatja. Azóta, i.e. nullánál kisebb, a parabola ágai lefelé irányulnak. Ráadásul valószínűleg már észrevette, hogy ennek a parabolának az ágai metszik a tengelyt, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek 2 gyöke van, és a függvény pozitív és negatív értékeket is felvesz!
A legelején, amikor megadtuk a másodfokú függvény definícióját, azt mondták, hogy és néhány szám. Egyenlőek lehetnek nullával? Hát persze, hogy tudnak! Még egy még nagyobb titkot is elárulok (ami egyáltalán nem titok, de érdemes megemlíteni): ezekre a számokra (és) egyáltalán nincs korlátozás!
Nos, lássuk, mi történik a grafikonokkal, ha és egyenlő nullával.
Amint látható, a vizsgált függvények (és) grafikonjai eltolódtak, így csúcsaik most a koordinátákkal rendelkező pontban vannak, vagyis a tengelyek metszéspontjában, és ennek nincs hatása az ágak irányára. . Ebből arra következtethetünk, hogy ők a felelősek a parabolagráf koordinátarendszer mentén történő „mozgásáért”.
Egy függvény grafikonja egy pontban érinti a tengelyt. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek egy gyöke van. Így a függvény nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő értékeket vesz fel.
Ugyanezt a logikát követjük a függvény grafikonjával. Egy ponton érinti az x tengelyt. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek egy gyöke van. Így a függvény nullánál kisebb vagy azzal egyenlő értékeket vesz fel, azaz.
Így egy kifejezés előjelének meghatározásához először meg kell találnia az egyenlet gyökereit. Ez nagyon hasznos lesz számunkra.
Másodfokú egyenlőtlenség
Másodfokú egyenlőtlenség egy egyenlőtlenség, amely egyetlen másodfokú függvényből áll. Így minden másodfokú egyenlőtlenség a következő négy típusra redukálódik:
Az ilyen egyenlőtlenségek megoldása során szükségünk lesz arra, hogy meghatározzuk, hol nagyobb, kisebb vagy egyenlő nullával egy másodfokú függvény. Azaz:
- ha van egy formaegyenlőtlenségünk, akkor valójában a feladat annak az értékeknek a numerikus intervallumának a meghatározása, amelyre a parabola a tengely felett van.
- ha van egy formaegyenlőtlenségünk, akkor valójában a feladat annak az x értékeknek a numerikus intervallumának a meghatározása, amelyre a parabola a tengely alatt van.
Ha az egyenlőtlenségek nem szigorúak, akkor a gyökök (a parabola és a tengely metszéspontjának koordinátái) belekerülnek a kívánt numerikus intervallumba, szigorú egyenlőtlenségek esetén kizárva.
Mindez meglehetősen formalizált, de ne essen kétségbe, és ne ijedjen meg! Most nézzük a példákat, és minden a helyére kerül.
A másodfokú egyenlőtlenségek megoldásánál betartjuk a megadott algoritmust, és elkerülhetetlen siker vár ránk!
| Algoritmus | Példa: |
| 1) Írjuk fel az egyenlőtlenségnek megfelelő másodfokú egyenletet (egyszerűen változtassuk meg az egyenlőtlenség jelét „=” egyenlőségjelre). | |
| 2) Keressük ennek az egyenletnek a gyökereit. | |
| 3) Jelölje meg a gyökereket a tengelyen, és mutassa be sematikusan a parabola ágainak irányát ("fel" vagy "le") |  |
| 4) Helyezzük a jeleket a másodfokú függvény előjelének megfelelő tengelyre: ahol a parabola a tengely felett van, tegyük a " " jelet, ahol pedig lent - " ". |  |
| 5) Írja ki az egyenlőtlenség jelétől függően a „ ” vagy a „ ” jelnek megfelelő intervallum(oka)t! Ha az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor a gyökök belekerülnek az intervallumba, ha szigorú, akkor nem. |
Megvan? Akkor menj és biztosítsd!
Nos, sikerült? Ha nehézségei vannak, keresse a megoldásokat.
Megoldás:
Írjuk fel a " " jelnek megfelelő intervallumokat, mivel az egyenlőtlenség jele " ". Az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért a gyököket az intervallumokba foglaljuk:
Írjuk fel a megfelelő másodfokú egyenletet:
Keressük ennek a másodfokú egyenletnek a gyökereit:
Jelöljük sematikusan a kapott gyökereket a tengelyen, és rendezzük el a jeleket:
Írjuk fel a " " jelnek megfelelő intervallumokat, mivel az egyenlőtlenség jele " ". Az egyenlőtlenség szigorú, ezért a gyökök nem szerepelnek az intervallumokban:
Írjuk fel a megfelelő másodfokú egyenletet:
Keressük ennek a másodfokú egyenletnek a gyökereit:
ennek az egyenletnek egy gyöke van
Jelöljük sematikusan a kapott gyökereket a tengelyen, és rendezzük el a jeleket:
Írjuk fel a " " jelnek megfelelő intervallumokat, mivel az egyenlőtlenség jele " ". Bármelyik esetén a függvény nem negatív értékeket vesz fel. Mivel az egyenlőtlenség nem szigorú, a válasz az lesz.
Írjuk fel a megfelelő másodfokú egyenletet:
Keressük ennek a másodfokú egyenletnek a gyökereit:
Rajzoljuk fel sematikusan egy parabola grafikonját, és rendezzük el a jeleket:
Írjuk fel a " " jelnek megfelelő intervallumokat, mivel az egyenlőtlenség jele " ". Bármelyik esetén a függvény pozitív értékeket vesz fel, ezért az egyenlőtlenség megoldása a következő intervallum lesz:
TERÜLETI EGYENLŐTLENSÉGEK. ÁTLAGOS SZINT
Másodfokú függvény.
Mielőtt a „másodfokú egyenlőtlenségek” témáról beszélnénk, emlékezzünk arra, hogy mi a másodfokú függvény és mi a grafikonja.
| A másodfokú függvény az alak függvénye, |
Más szóval ez másodfokú polinom.
A másodfokú függvény grafikonja egy parabola (emlékszel, mi ez?). Az ágai felfelé irányulnak, ha "a) a függvény csak pozitív értékeket vesz fel mindenkinél, és a másodikban () - csak negatív értékeket:
Abban az esetben, ha a () egyenletnek pontosan egy gyöke van (például ha a diszkrimináns nulla), ez azt jelenti, hogy a gráf érinti a tengelyt:
Ekkor az előző esethez hasonlóan a for függvény nem negatív mindenkire, a for pedig nem pozitív.
Tehát a közelmúltban megtanultuk, hogyan határozzuk meg, hol nagyobb a másodfokú függvény nullánál, és hol kisebb:
Ha a másodfokú egyenlőtlenség nem szigorú, akkor a gyökök benne vannak a numerikus intervallumban, ha szigorú, akkor nem.
Ha csak egy gyökér van, az rendben van, mindenhol ugyanaz a jel lesz. Ha nincsenek gyökök, minden csak az együtthatótól függ: ha, akkor a teljes kifejezés nagyobb, mint 0, és fordítva.
Példák (döntsd el magad):
Válaszok:
Nincsenek gyökök, így a bal oldali teljes kifejezés a vezető együttható jelét veszi: mindenre. Ez azt jelenti, hogy az egyenlőtlenségre nincs megoldás.
Ha a bal oldalon lévő másodfokú függvény „hiányos”, annál könnyebben meg lehet találni a gyököket:
TERÜLETI EGYENLŐTLENSÉGEK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL
Másodfokú függvény az alak függvénye: ,
A másodfokú függvény grafikonja egy parabola. Az ágai felfelé irányulnak, és lefelé, ha:
- Ha olyan numerikus intervallumot szeretne találni, amelyen a másodfokú trinom nagyobb, mint nulla, akkor ez az a numerikus intervallum, ahol a parabola a tengely felett van.
- Ha olyan numerikus intervallumot szeretne találni, amelyen a másodfokú trinom kisebb, mint nulla, akkor ez az a numerikus intervallum, ahol a parabola a tengely alatt van.
A másodfokú egyenlőtlenségek típusai:
Minden másodfokú egyenlőtlenség a következő négy típusra redukálódik:
Megoldási algoritmus:
| Algoritmus | Példa: |
| 1) Írjuk fel az egyenlőtlenségnek megfelelő másodfokú egyenletet (egyszerűen változtassa meg az egyenlőtlenség jelét "" egyenlőségjelre). | |
| 2) Keressük ennek az egyenletnek a gyökereit. | |
| 3) Jelölje meg a gyökereket a tengelyen, és mutassa be sematikusan a parabola ágainak irányát ("fel" vagy "le") | |
| 4) A másodfokú függvény előjelének megfelelő tengelyre helyezzünk jeleket: ahol a parabola a tengely felett van, tegyük a „ ”-t, és ahol alul - „ “. | |
| 5) Írja fel az egyenlőtlenség jelétől függően a „ ” vagy „ ” jelnek megfelelő intervallum(oka)t. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor a gyökök belekerülnek az intervallumba, ha szigorú, akkor nem. |
Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.
Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!
Most a legfontosabb.
Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.
Az a baj, hogy ez nem elég...
Miért?
Mert sikeres teljesítés Egységes államvizsga, költségvetési keretből való felvételhez, és ami a LEGFONTOSABB, élethosszig tartó felvételhez.
Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...
Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.
De nem ez a fő.
A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több van előttük több lehetőségés az élet fényesebb lesz? nem tudom...
De gondold meg magad...
Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?
NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.
A vizsga során nem kérnek elméletet.
Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.
És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.
Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.
Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!
Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.
Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.
Hogyan? Két lehetőség van:
- Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
- Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 899 RUR
Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.
Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.
Következtetésképpen...
Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.
Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.
Találd meg a problémákat és oldd meg őket!
Mielőtt rájössz, hogyan lehet megoldani a másodfokú egyenlőtlenséget, nézzük meg, milyen egyenlőtlenséget nevezünk másodfokúnak.
Emlékezik!
Az egyenlőtlenséget hívják négyzet, ha az ismeretlen „x” legmagasabb (legnagyobb) foka egyenlő kettővel.
Gyakoroljuk az egyenlőtlenség típusának azonosítását példák segítségével.
Hogyan oldjuk meg a másodfokú egyenlőtlenséget
Az előző leckéken a lineáris egyenlőtlenségek megoldását vizsgáltuk. De ellentétben lineáris egyenlőtlenségek a négyzeteseket egészen másképp oldják meg.
Fontos!
Másodfokú egyenlőtlenséget nem lehet ugyanúgy megoldani, mint egy lineárist!
A másodfokú egyenlőtlenség megoldására egy speciális módszert alkalmaznak, amelyet ún intervallum módszer.
Mi az intervallum módszer
Intervallum módszer egy speciális módszer a másodfokú egyenlőtlenségek megoldására. Az alábbiakban elmagyarázzuk, hogyan kell használni ezt a módszert, és miért kapta a nevét.
Emlékezik!
Másodfokú egyenlőtlenség megoldása intervallum módszerrel:
Megértjük, hogy a fent leírt szabályokat csak elméletben nehéz megérteni, ezért azonnal megvizsgálunk egy példát egy másodfokú egyenlőtlenség megoldására a fenti algoritmus segítségével.
Meg kell oldanunk egy másodfokú egyenlőtlenséget.
Most, amint azt leírtuk, rajzoljunk „íveket” a megjelölt pontok közötti intervallumokra.
Tegyünk jeleket az intervallumok belsejébe. Jobbról balra váltakozva, a „+” jellel kezdve jelöljük a jeleket.
Nincs más dolgunk, mint végrehajtani, azaz kiválasztani a szükséges intervallumokat, és válaszként felírni. Térjünk vissza az egyenlőtlenségünkhöz.
Mivel a mi egyenlőtlenségünkben" x 2 + x − 12 ", ami azt jelenti, hogy negatív intervallumokra van szükségünk. Árnyékoljuk az összes negatív területet a számegyenesen, és válaszként írjuk le!
Egyetlen negatív intervallum volt, ami a „−3” és a „4” számok között helyezkedik el, ezért ezt dupla egyenlőtlenségként írjuk a válaszba.
"-3".
Írjuk fel a másodfokú egyenlőtlenség eredő válaszát.
Válasz: −3
Az intervallummetódus egyébként éppen azért kapta a nevét, mert egy másodfokú egyenlőtlenség megoldásánál a számok közötti intervallumokat vesszük figyelembe.
A válasz megérkezése után célszerű ellenőrizni, hogy a döntés helyes-e.
Válasszunk ki egy tetszőleges számot, amely a kapott válasz árnyékolt területén található" −3", és cserélje be az "x" helyett az eredeti egyenlőtlenségben. Ha helyes egyenlőtlenséget kapunk, akkor helyesen találtuk meg a választ a másodfokú egyenlőtlenségre.
Vegyük például a „0” számot az intervallumból. Helyettesítsük be az eredeti „x 2 + x − 12” egyenlőtlenségbe.
X 2 + x − 12
0 2 + 0 - 12 -12 (helyes)
A megoldási terület számának behelyettesítésekor a helyes egyenlőtlenséget kaptuk, ami azt jelenti, hogy a választ helyesen találtuk meg.
A megoldás rövid rögzítése intervallum módszerrel
A másodfokú egyenlőtlenség megoldásának rövidített formája " x 2 + x − 12 "az intervallum módszerrel így fog kinézni:
X 2 + x − 12
x 2 + x − 12 = 0
x 1 =
|
x 2 =
|
||||||||||||||||||||
x 1 =
|
x 2 =
 Válasz: x ≤ 0 ; x ≥
Tekintsünk egy példát, ahol a másodfokú egyenlőtlenségben az „x 2” előtt negatív együttható található. 12. Dalinger V.A. Gyakori hibák matematikában at belépő vizsgákés hogyan lehet megelőzni őket. – Omszk: IUU Omszki Kiadó, 1991. 3. Dalinger V.A. Mindent a matematika érettségi és felvételi vizsgán való sikeres teljesítéséhez. 5. kérdés. Exponenciális, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek és rendszereik: oktatóanyag. – Omszk: Omszki Állami Pedagógiai Egyetem Kiadója, 1996. 4. Dalinger V.A. A matematikai elemzés kezdetei: Jellemző hibák, okaik és elhárításuk módjai: Tankönyv. – Omszk: „Kiadó-Plygraphist”, 2002. 5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Útmutató a matematika vizsga sikeres teljesítéséhez: A jelentkezők matematikai hibáinak elemzése és azok elhárításának módjai. – Omszk: Omszki Állami Pedagógiai Egyetem Kiadója, 1991. 6. Kutasov A.D. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek: Oktatási és módszertani kézikönyv N7. – Az Orosz Nyílt Egyetem kiadója, 1992. A diákok által a logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során elkövetett hibák nagyon sokfélék: a megoldás helytelen formázásától a logikai jellegű hibákig. Ezeket és más hibákat ebben a cikkben tárgyaljuk. 1. A legjellemzőbb hiba, hogy a tanulók az egyenletek és egyenlőtlenségek további magyarázat nélküli megoldása során az ekvivalenciát sértő transzformációkat alkalmaznak, ami gyökerek elvesztéséhez és idegen lovak megjelenéséhez vezet. Nézzük konkrét példák az ilyen jellegű hibákat, de először felhívjuk az olvasó figyelmét a következő gondolatra: ne féljen idegen gyökereket szerezni, ellenőrzéssel el lehet dobni, féljen a gyökerek elvesztésétől. a) Oldja meg az egyenletet: log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x). A tanulók gyakran a következőképpen oldják meg ezt az egyenletet. log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x) (-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0, x1 = -4; x2 = 8. A tanulók gyakran mindkét számot leírják válaszként további érvelés nélkül. De ahogy egy ellenőrzés is mutatja, az x = 8 szám nem az eredeti egyenlet gyöke, mivel x = 8-nál az egyenlet bal és jobb oldala értelmetlenné válik. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy az x = -4 szám az adott egyenlet gyöke. b) Oldja meg az egyenletet! Az eredeti egyenlet definíciós tartományát a rendszer határozza meg A megadott egyenlet megoldásához menjünk a logaritmushoz az x bázisig, kapjuk Látjuk, hogy ennek az utolsó egyenletnek a bal és jobb oldala x = 1-nél nincs definiálva, de ez a szám az eredeti egyenlet gyöke (ezt közvetlen helyettesítéssel ellenőrizheti). Így az új alapra való formális átmenet a gyökér elvesztéséhez vezetett. Az x = 1 gyök elvesztésének elkerülése érdekében meg kell adni, hogy az új bázisnak egytől eltérő pozitív számnak kell lennie, és az x = 1 esetet külön kell figyelembe venni. 2. A hibák, vagy inkább hiányosságok egész csoportja abban áll, hogy a tanulók nem fordítanak kellő figyelmet az egyenletek definíciós tartományának megtalálására, holott egyes esetekben éppen ez a megoldás kulcsa. Nézzünk egy példát ezzel kapcsolatban. Oldja meg az egyenletet Keressük meg ennek az egyenletnek a definíciós tartományát, amelyre megoldjuk az egyenlőtlenségrendszert:
Innen van x = 0. Közvetlen behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy az x = 0 szám az eredeti egyenlet gyöke-e Válasz: x = 0. 3. A tanulók tipikus hibája, hogy nem ismerik a szükséges szintű fogalmakat, képleteket, tételállításokat, algoritmusokat. Erősítsük meg ezt a következő példával. Oldja meg az egyenletet
Íme egy hibás megoldás erre az egyenletre: Az ellenőrzés azt mutatja, hogy x = -2 nem az eredeti egyenlet gyöke. A következtetés az adott egyenlet nincsenek gyökerei. Azonban nem. Ha x = -4-et behelyettesítünk az adott egyenletbe, ellenőrizhetjük, hogy gyökről van-e szó. Elemezzük, miért történt a gyökérvesztés. Az eredeti egyenletben az x és x + 3 kifejezések lehetnek negatívak vagy egyszerre pozitívak is, de az egyenletre áttérve ezek a kifejezések csak pozitívak lehetnek. Következésképpen a definíciós terület leszűkült, ami a gyökerek elvesztéséhez vezetett. A gyök elvesztésének elkerülése érdekében a következőképpen járhatunk el: az eredeti egyenletben az összeg logaritmusától a szorzat logaritmusához lépünk. Ebben az esetben idegen gyökerek megjelenése lehetséges, de helyettesítéssel megszabadulhat tőlük. 4. Az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során elkövetett sok hiba annak a következménye, hogy a tanulók nagyon gyakran sablon szerint, vagyis a megszokott módon próbálják megoldani a feladatokat. Mutassuk meg ezt egy példával. Oldja meg az egyenlőtlenséget Ha ezt az egyenlőtlenséget ismert algoritmusos módszerekkel próbáljuk megoldani, az nem vezet válaszra. A megoldásnak itt az egyenlőtlenség definíciós tartományában az egyenlőtlenség bal oldalán lévő egyes tagok értékeinek becsléséből kell állnia. Keressük az egyenlőtlenség definíciós tartományát:
A (9;10] intervallumból származó összes x esetén a kifejezés pozitív értékekkel rendelkezik (értékek exponenciális függvény mindig pozitív). A (9;10] intervallumból származó összes x esetén az x - 9 kifejezés pozitív, az lg(x - 9) kifejezés negatív vagy nulla értéket tartalmaz, majd a (- (x - 9) lg(x - 9) pozitív vagy egyenlő nullával. Végül megvan az x∈ (9;10]. Vegyük észre, hogy a változó ilyen értékeinél az egyenlőtlenség bal oldalán minden tag pozitív (a második tag lehet nulla), ami azt jelenti, hogy összegük mindig nagyobb, mint nulla, ezért az eredeti egyenlőtlenség megoldása a (9;10) rés. 5. Az egyik hiba az egyenletek grafikus megoldásához kapcsolódik. Oldja meg az egyenletet Tapasztalataink azt mutatják, hogy a tanulók ezt az egyenletet grafikusan megoldva (megjegyezzük, hogy más elemi módszerekkel nem oldható meg) csak egy gyöket kapnak (ez az y = x egyenesen fekvő pont abszcisszája), mert a függvények grafikonjai Ezek kölcsönösen inverz függvények grafikonjai. Valójában az eredeti egyenletnek három gyöke van: az egyik az y = x első koordinátaszög felezőjén fekvő pont abszcisszája, a másik gyök és a harmadik gyök. úgy, hogy számokat közvetlenül behelyettesítünk az adott egyenletbe. Vegye figyelembe, hogy a logax = ax alakú egyenletek 0-nál< a < e-e всегда имеют три действительных корня. Ez a példa jól illusztrálja a következő következtetést: grafikus megoldás az f(x) = g(x) egyenlet „hibátlan”, ha mindkét függvény különböző-monoton (az egyik növekvő, a másik csökkenő), és matematikailag nem elég helyes monoton függvények esetén (mindkettő vagy egyidejűleg csökken, vagy egyidejűleg nő). 6. Számos tipikus hiba társul ahhoz, hogy a tanulók a funkcionális megközelítés alapján nem teljesen helyesen oldják meg az egyenleteket és egyenlőtlenségeket. Mutassuk meg az ilyen tipikus hibákat. a) Oldja meg az xx = x egyenletet! Az egyenlet bal oldalán lévő függvény exponenciális, és ha igen, akkor a fok alapján a következő megszorításokat kell alkalmazni: x > 0, x ≠ 1. Vegyük az adott egyenlet mindkét oldalának logaritmusát: Honnan van x = 1. A logaritmizálás nem vezetett az eredeti egyenlet definíciós tartományának szűkítéséhez. Ennek ellenére elvesztettük az egyenlet két gyökerét; azonnali megfigyeléssel azt találjuk, hogy x = 1 és x = -1 az eredeti egyenlet gyöke. b) Oldja meg az egyenletet! Az előző esethez hasonlóan itt is van egy exponenciális függvényünk, ami azt jelenti, hogy x > 0, x ≠ 1. Az eredeti egyenlet megoldásához mindkét oldal logaritmusát tetszőleges bázisra, például 10-es alapra vesszük: Figyelembe véve, hogy két tényező szorzata nullával egyenlő, ha legalább az egyik egyenlő nullával, és a másiknak van értelme, két rendszer kombinációját kapjuk: Az első rendszernek nincs megoldása; a második rendszerből x = 1-et kapunk. Figyelembe véve a korábban érvényben lévő megszorításokat, az x = 1 szám nem lehet az eredeti egyenlet gyöke, bár direkt behelyettesítéssel meg vagyunk győződve arról, hogy ez nem így van. 7. Nézzünk meg néhány, a fogalommal kapcsolatos hibát összetett funkció kedves . Mutassuk meg a hibát ezzel a példával. Határozza meg a függvény monotonitásának típusát! Gyakorlatunk azt mutatja, hogy a hallgatók túlnyomó többsége ebben az esetben csak a logaritmus alapján határozza meg a monotonitást, és mivel 0< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает. Nem! Ez a funkció növekszik. Hagyományosan az űrlap függvényére írhatjuk: Növekvő (Csökkenő) = Csökkenő; Növekedés (növekedés) = Növekedés; Csökkenő (Csökkenő) = Növekedés; Csökkenő (Növekvő) = Csökkenő; 8. Oldja meg az egyenletet! Ez a feladat az Egységes Államvizsga harmadik részéből származik, amit pontokkal értékelnek ( maximális pontszám - 4). Olyan megoldást mutatunk be, amely hibákat tartalmaz, ami azt jelenti, hogy nem kapja meg a maximális pontszámot. A logaritmusokat 3-as bázisra redukáljuk. Az egyenlet alakját veszi fel Potencírozással azt kapjuk x1 = 1, x2 = 3. Ellenőrizzük, hogy azonosítsuk-e az idegen gyökereket.
ez azt jelenti, hogy x = 1 az eredeti egyenlet gyöke. Ez azt jelenti, hogy x = 3 nem az eredeti egyenlet gyöke. Magyarázzuk meg, miért tartalmaz ez a megoldás hibákat. A hiba lényege, hogy a rekord két durva hibát tartalmaz. Első hiba: a felvételnek semmi értelme. Második hiba: nem igaz, hogy két tényező szorzata, amelyek közül az egyik 0, szükségszerűen nulla lesz. Akkor és csak akkor lesz nulla, ha az egyik tényező 0, és a második tényezőnek van értelme. Itt azonban nincs értelme a második tényezőnek. 9. Térjünk vissza a fentebb már kommentált hibához, de egyúttal új érvelést adunk. A logaritmikus egyenletek megoldásánál lépjen az egyenletre. Az első egyenlet minden gyöke egyben a második egyenlet gyöke is. Ennek a fordítottja általánosságban véve nem igaz, ezért egyenletről egyenletre haladva a végén ellenőrizni kell az utóbbi gyökereit, behelyettesítve az eredeti egyenletbe. A gyökök ellenőrzése helyett célszerű az egyenletet egy ekvivalens rendszerrel helyettesíteni Ha döntéskor logaritmikus egyenlet kifejezéseket ahol n - páros szám, a , , , képletek szerint transzformálódnak, akkor, mivel ez sok esetben leszűkíti az egyenlet definíciós tartományát, lehetséges egyes gyökeinek elvesztése. Ezért ajánlatos ezeket a képleteket a következő formában használni:
n páros szám. Fordítva, ha egy logaritmikus egyenlet megoldása során a , , , kifejezéseket, ahol n páros szám, rendre a kifejezésekké alakítjuk akkor az egyenlet definíciós tartománya kibővülhet, aminek következtében idegen gyökökre tehet szert. Ezt szem előtt tartva, ilyen helyzetekben figyelni kell a transzformációk ekvivalenciáját, és ha az egyenlet definíciós tartománya bővül, ellenőrizni kell a kapott gyököket. 10. Döntéskor logaritmikus egyenlőtlenségek A behelyettesítés segítségével először mindig egy új egyenlőtlenséget oldunk meg egy új változóra vonatkozóan, és csak a megoldás során lépünk át a régi változóra. Az iskolások nagyon gyakran tévedésből korábban, a gyökerek megtalálásának szakaszában hajtják végre a fordított átmenetet racionális funkció, amelyet az egyenlőtlenség bal oldalán kapunk. Ezt nem szabad megtenni. 11. Adjunk példát egy másik, az egyenlőtlenségek megoldásával kapcsolatos hibára! Oldja meg az egyenlőtlenséget
Itt van egy hibás megoldás, amelyet a diákok nagyon gyakran kínálnak. Nézzük négyzetre az eredeti egyenlőtlenség mindkét oldalát. Lesz: honnan szerzünk téves információkat? numerikus egyenlőtlenség, amiből arra következtethetünk: az adott egyenlőtlenségnek nincsenek megoldásai. Olvassa el még:
|
, 1 = 1,
.
