Logaritmusok

A logaritmusok története

A nevet Napier vezette be, és a görög logoz és ariumoz szavakból származik - szó szerint azt jelenti: „kapcsolatok száma”. A logaritmusokat Napier találta fel. Napier legkésőbb 1594-ben feltalálta a logaritmusokat. Logaritmus bázissal a Speidel matematikatanár mutatta be. A bázis szót a hatványelméletből kölcsönözte, és Euler átvitte a logaritmuselméletbe. A „logaritmushoz” ige a 19. században jelent meg Coppéban. Cauchy volt az első, aki különböző jelek bevezetését javasolta a tizedesjegyekhez és természetes logaritmusok. A modernhez közeli jelöléseket Pringsheim német matematikus vezette be 1893-ban. Ő volt az, aki a logaritmust jelölte természetes szám keresztül ln. A logaritmus definíciója egy adott bázis kitevőjeként Wallisban (1665), Bernoulliban (1694) található.

A logaritmus definíciója

Logaritmus a b>0 számot az a>0 bázishoz, a ≠ 1-et annak a kitevőnek nevezzük, amelyre az a számot emelni kell, hogy megkapjuk a b számot.

A b szám logaritmusát a bázishoz jelöljük: log a b

Alapvető logaritmikus azonosság

Ez az egyenlőség egyszerűen a logaritmus meghatározásának egy másik formája. Gyakran hívják alapvető logaritmikus azonosság.

Példa

1. 3=log 2 8, mivel 2³=8

2. ½=log 3 √3, mivel 3= √3

3. 3 log 3 1/5 =1/5

4. 2=log √5 5, mivel (√5)²=5

Természetes és decimális logaritmusok

Természetes logaritmusnak nevezzük, amelynek alapja egyenlő e-vel. Jelölve ln b, azaz.

Decimális logaritmusnak nevezzük, melynek alapja 10. Jelöljük lg b-vel, azaz.

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

Legyen: a > 0, a ≠ 1. Ekkor:

1. naplózzon egy x*y=logax+logay (x>0, y>0)

2. naplózza a y/x=logax-logay (x>0, y>0)

3. log a x p =p*logax (x>0)

4. naplózza a p x=1/p*logax (x>0)

Példa

1) log 8 16+log 8 4= log 8 (16 4)= log 8 64= 2;

2) log 5 375– log 5 3= log 5 375/3= log 5 125= 3;

3) ½log 3 36+ log 3 2- log 3 √6- ½ log 3 8=log 3 √36+ log 3 2-(log 3 √6+log 3 √8) =log 3 12/4 √3=log 3 √3= ½.

Az egyik bázisban lévő logaritmusról a másik bázisban lévő logaritmusra való átmenet formái

1.log a b=log c b/log c a

2.log a b=1/log b a

Logaritmikus egyenletek

1) A logaritmusjel (log) alatt változót tartalmazó egyenleteket logaritmikusnak nevezzük. A logaritmikus egyenlet legegyszerűbb példája a következő alakú egyenlet: log a x=b, ahol a>0 és a=1.

2) A log a f(x)=log a g(x) (1) alakú logaritmikus egyenlet megoldása azon alapul, hogy ekvivalens egy f(x) = g(x) alakú egyenlettel. (2) -val további feltételek f(x)>0 és g(x)>0.

3) Amikor az (1) egyenletből a (2) egyenletbe lépünk, idegen gyökök jelenhetnek meg, ezért azonosításuk ellenőrzést igényel.

4) A logaritmikus egyenletek megoldásánál gyakran alkalmazzák a helyettesítési módszert.

Következtetés

Logaritmus szám, amellyel számos összetett aritmetikai művelet egyszerűsíthető. A számok helyett a logaritmusok használata a számításokban lehetővé teszi, hogy a szorzást az összeadás egyszerűbb műveletével, az osztást a kivonással, a hatványozást a szorzással és a gyökök kivonását osztással helyettesítsük.

A megvalósítás egyetlen módja hosszú utakat volt navigáció, ami mindig nagy mennyiségű navigációs számítás elvégzésével jár. Most már nehéz elképzelni a fárasztó számítások folyamatát, amikor öt-hatjegyű számokat „kézzel” szorozunk és osztunk. A teológus főtevékenységéből adódóan, szabadidejében trigonometrikus számításokat végezve arra jutott, hogy a munkaigényes szorzási eljárást egyszerű összeadásra cserélje. Ő maga mondta, hogy célja az volt, hogy „megszabaduljon a számítások nehézségeitől és unalmasságától, amelyek sokakat eltántorítanak a matematika tanulmányozásától”. Az erőfeszítéseket siker koronázta - egy matematikai készüléket hoztak létre, amelyet logaritmusrendszernek neveztek.

Tehát mi az a logaritmus? A logaritmikus számítások alapja a szám eltérő ábrázolása: a megszokott helyzetrendszer helyett, ahogyan azt megszoktuk, az A számot alakban ábrázoljuk. hatalom kifejezése, ahol egy tetszőleges N számot, amelyet a hatvány alapjának nevezünk, olyan n hatványra emelünk, hogy az eredmény az A szám legyen. Így n az A szám logaritmusa N bázishoz. A logaritmusalap kiválasztása meghatározza a rendszer nevét. Az egyszerű számításokhoz a tizedes logaritmusrendszert, a tudományban és a technikában pedig a természetes logaritmus rendszerét használják széles körben, ahol az alap az e = 2,718 irracionális szám. Az A szám logaritmusát meghatározó kifejezést matematikai nyelven a következőképpen írjuk le:

n=log(N)A, ahol N a gyök.

A decimális és a természetes logaritmusoknak saját specifikus rövidített formájuk van - lgA és lnA.

Egy logaritmusokat használó számítási rendszerben a fő elem egy szám hatványformává alakítása egy logaritmustáblázat segítségével valamilyen bázisra, például 10-re. Ez a manipuláció nem okoz nehézséget. Ezután a hatványszámok tulajdonságát használjuk, ami azt jelenti, hogy ha megszorozzuk, hatványaik összeadódnak. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a számok logaritmikus ábrázolású szorzását a hatványaik összeadásával helyettesítjük. Ezért a „mi a logaritmus” kérdésre, ha folytatjuk a „miért van rá szükségünk” kérdésre, egyszerű válasza van - a többjegyű számok szorzásának és osztásának egyszerűsítése érdekében - végül is az oszlopösszeadás sokkal egyszerűbb mint oszlopszorzás. Aki nem hiszi, próbálja meg összeadni és szorozni két nyolcjegyű számot.

Az első logaritmustáblázatokat (c alapján) John Napier adta ki 1614-ben, és 1857-ben jelent meg egy teljesen hibamentes változat, benne a decimális logaritmusok táblázataival, és Bremiker-táblázatként ismertek. forma annak a ténynek köszönhető, hogy az e szám meglehetősen egyszerű átjutni a Taylor sorozaton széles körű alkalmazás integrálban és

Ennek a számítási rendszernek a lényege a „mi a logaritmus” kérdésre adott válaszban rejlik, és az alapvető logaritmikus azonosságból következik: N(logaritmusalap) n, amely egyenlő az A(logA) szám logaritmusával, egyenlő ez a szám A. Ebben az esetben A>0, azaz . a logaritmus csak pozitív számokra van definiálva, és a logaritmus alapja mindig nagyobb, mint 0, és nem egyenlő 1-gyel. A fentiek alapján a természetes logaritmus tulajdonságai a következőképpen fogalmazhatók meg:

1. A természetes logaritmus definíciós tartománya a teljes numerikus tengely 0-tól a végtelenig.
2. ln x = 0 - a jól ismert összefüggés következménye - a nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő 1-gyel.
3. ln (X*Y) = ln X + lnY - a számítási manipulációk legfontosabb tulajdonsága két ramen szám szorzatának logaritmusa és mindegyik logaritmusának összege.
4. ln (X/Y) = ln X - lnY - két szám hányadosának logaritmusa megegyezik e számok logaritmusainak különbségével.
5. ln (X)n =n*ln X.
6. A természetes logaritmus egy differenciálható, felfelé konvex függvény, ln’ X = 1 / X
7. log (N)A =K* ln A - az e számtól eltérő pozitív bázis logaritmusa csak az együtthatóban tér el a természetestől.

Most már minden iskolás tudja, mi a logaritmus, de az alkalmazás terén elért haladásnak köszönhetően számítógépes technológia A számítási problémák a múlté. A logaritmusokat azonban – már matematikai eszközként – alkalmazzák olyan egyenletek megoldására, amelyek kitevőjében ismeretlenek, időkereső kifejezésekben

Mi az a logaritmus?

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Mi az a logaritmus? Hogyan lehet logaritmusokat megoldani? Ezek a kérdések sok diplomát megzavarnak. A logaritmus témáját hagyományosan összetettnek, érthetetlennek és ijesztőnek tartják. Főleg a logaritmusos egyenletek.

Ez abszolút nem igaz. Teljesen! Ne higgy nekem? Bírság. Most mindössze 10-20 perc alatt:

1. Meg fogod érteni mi az a logaritmus.

2. Tanulj meg egy egész osztályt megoldani exponenciális egyenletek. Még ha nem is hallottál róluk semmit.

3. Ismerje meg az egyszerű logaritmusok kiszámítását.

Sőt, ehhez csak a szorzótáblát kell ismerned, és azt, hogyan emelhetsz egy számot hatványra...

Úgy érzem, kétségei vannak... Nos, oké, jelölje meg az időt! Megy!

Először fejben oldja meg ezt az egyenletet:

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Tehát kettős hatalmunk van. Ha az alsó sorból veszi ki a számot, könnyen megtalálhatja azt a teljesítményt, amelyre kettőt kell emelnie, hogy megkapja ezt a számot. Például, hogy 16-ot kapjon, kettőt kell emelnie a negyedik hatványra. És ahhoz, hogy 64-et kapj, kettőt kell emelned a hatodik hatványra. Ez látható a táblázatból.

És most tulajdonképpen a logaritmus meghatározása:

Az x logaritmusának alapja az a hatvány, amelyre a-t fel kell emelni, hogy x-et kapjunk.

Jelölés: log a x = b, ahol a az alap, x az argumentum, b az, amivel a logaritmus valójában egyenlő.

Például 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (a 8-as 2-es bázis logaritmusa három, mert 2 3 = 8). Ugyanilyen sikerrel log 2 64 = 6, mivel 2 6 = 64.

Egy szám egy adott bázishoz való logaritmusának megtalálását logaritmizálásnak nevezzük. Tehát adjunk hozzá egy új sort a táblázatunkhoz:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sajnos nem minden logaritmus számítható ki ilyen könnyen. Például próbálja meg megkeresni a log 2 5 értéket. Az 5-ös szám nem szerepel a táblázatban, de a logika azt diktálja, hogy a logaritmus valahol az intervallumon belül legyen. Mert 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük: a tizedesvessző utáni számok a végtelenségig írhatók, és soha nem ismétlődnek. Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, jobb, ha így hagyjuk: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Fontos megérteni, hogy a logaritmus két változóból álló kifejezés (az alap és az argumentum). Sokan először összekeverik, hol az alap és hol az érv. Elkerülni bosszantó félreértések, nézd csak meg a képet:

Előttünk nem más, mint a logaritmus meghatározása. Emlékezik: a logaritmus egy hatvány, amelybe a bázist be kell építeni, hogy argumentumot kapjunk. Ez az alapot, amely hatványra van emelve - a képen pirossal van kiemelve. Kiderült, hogy az alap mindig alul van! Már az első órán elmondom a tanítványaimnak ezt a csodálatos szabályt – és nem keletkezik zavar.

Kitaláltuk a definíciót – már csak az van hátra, hogy megtanuljuk a logaritmusok számolását, azaz megszabadulni a „napló” jelzéstől. Először is megjegyezzük, hogy a meghatározásból két fontos tény következik:

1. Az argumentumnak és az alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál. Ez következik a diploma meghatározásából racionális mutató, amelyre a logaritmus definíciója következik.
2. Az alapnak másnak kell lennie, mint az egyiknek, mivel az egyik bármilyen mértékben is az marad. Emiatt értelmetlen a „milyen hatalomra kell emelni az embert, hogy kettőt kapjunk” kérdés. Ilyen végzettség nincs!

Az ilyen korlátozásokat hívják vidék elfogadható értékeket (ODZ). Kiderül, hogy a logaritmus ODZ-je így néz ki: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Vegye figyelembe, hogy a b számra (a logaritmus értékére) nincs korlátozás. Például a logaritmus lehet negatív is: log 2 0.5 = −1, mert 0,5 = 2 -1.

Most azonban csak mérlegeljük numerikus kifejezések, ahol nem szükséges ismerni a logaritmus CVD-jét. A problémák szerzői már minden korlátozást figyelembe vettek. De amikor mennek logaritmikus egyenletekés egyenlőtlenségek, a DHS követelményei kötelezővé válnak. Hiszen az alap és az érv nagyon erős konstrukciókat tartalmazhat, amelyek nem feltétlenül felelnek meg a fenti korlátozásoknak.

Most nézzük meg a logaritmusszámítás általános sémáját. Három lépésből áll:

1. Fejezzük ki az a bázist és az x argumentumot olyan hatványként, amelynek minimális lehetséges bázisa nagyobb egynél. Útközben jobb, ha megszabadulunk a tizedesjegyektől;
2. Oldja meg a b változó egyenletét: x = a b ;
3. A kapott b szám lesz a válasz.

Ez minden! Ha a logaritmus irracionálisnak bizonyul, ez már az első lépésben látható lesz. Az a követelmény, hogy az alap legyen több mint egy, nagyon releváns: csökkenti a hiba valószínűségét és nagyban leegyszerűsíti a számításokat. Ugyanazzal tizedesjegyek: ha azonnal átalakítja őket normálra, sokkal kevesebb lesz a hiba.

Nézzük meg, hogyan működik ez a séma konkrét példák segítségével:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 5 25

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot öt hatványaként: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. A választ kaptuk: 2.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust:

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 4 64

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. A választ kaptuk: 3.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 16 1

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot kettő hatványaként: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Hozzuk létre és oldjuk meg az egyenletet:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. A választ kaptuk: 0.

Feladat. Számítsa ki a logaritmust: log 7 14

1. Képzeljük el az alapot és az argumentumot hét hatványaként: 7 = 7 1 ; A 14 nem ábrázolható hét hatványaként, mivel a 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Az előző bekezdésből az következik, hogy a logaritmus nem számít;
3. A válasz nem változik: napló 7 14.

Egy kis megjegyzés az utolsó példához. Hogyan lehet biztos abban, hogy egy szám nem egy másik szám pontos hatványa? Nagyon egyszerű – csak vegye figyelembe az elsődleges tényezőkben. És ha az ilyen tényezők nem gyűjthetők hatványokba azonos kitevőkkel, akkor az eredeti szám nem pontos hatvány.

Feladat. Nézze meg, hogy a számok pontos hatványok-e: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - pontos fok, mert csak egy szorzó van;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nem pontos hatvány, mivel két tényező van: 3 és 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - pontos fok;
35 = 7 · 5 - ismét nem pontos hatvány;
14 = 7 · 2 - megint nem pontos fok;

Vegyük észre azt is, hogy mi magunk prímszámok mindig pontos fokozatai önmaguknak.

Tizedes logaritmus

Egyes logaritmusok olyan gyakoriak, hogy különleges nevük és szimbólumuk van.

Az x decimális logaritmusa a 10-es alapú logaritmus, azaz. Az a hatvány, amelyre a 10-et fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: lg x.

Például log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - stb.

Mostantól kezdve, amikor egy olyan kifejezés jelenik meg egy tankönyvben, mint a „Find lg 0.01”, tudd, hogy ez nem elírás. Ez egy decimális logaritmus. Ha azonban nem ismeri ezt a jelölést, bármikor átírhatja:
log x = log 10 x

Minden, ami igaz a közönséges logaritmusokra, igaz a decimális logaritmusokra is.

Természetes logaritmus

Van egy másik logaritmus, amelynek megvan a maga jelölése. Bizonyos szempontból ez még a decimálisnál is fontosabb. Ez körülbelül a természetes logaritmusról.

Az x természetes logaritmusa az e bázis logaritmusa, azaz. az a hatvány, amelyre az e számot fel kell emelni, hogy megkapjuk az x számot. Megnevezés: ln x .

Sokan kérdezik: mi az e szám? Ez egy irracionális szám, pontos értéke nem található és nem írható le. Csak az első számokat közlöm:
e = 2,718281828459...

Nem részletezzük, mi ez a szám, és miért van rá szükség. Ne feledje, hogy e a természetes logaritmus alapja:
ln x = log e x

így ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - stb. Másrészt ln 2 irracionális szám. Általában a természetes logaritmus bármely racionális szám irracionális. Kivéve persze egyet: ln 1 = 0.

A természetes logaritmusokra a közönséges logaritmusokra érvényes összes szabály érvényes.

A tizenhatodik században a navigáció gyorsan fejlődött. Ezért megfigyelések a égitestek. A csillagászati ​​számítások egyszerűsítése érdekében a 16. század végén és a 17. század elején logaritmikus számítások.

A logaritmikus módszer értéke abban rejlik, hogy a számok szorzását és osztását összeadásra és kivonásra redukálja. Kevésbé munkaigényes tevékenységek. Főleg, ha többjegyű számokkal kell dolgozni.

Bürgi módszer

Az első logaritmikus táblázatokat Joost Bürgi svájci matematikus állította össze 1590-ben. Módszerének lényege a következő volt.

Például 10 000 1000-rel való szorzásához elegendő megszámolni a szorzóban és a szorzóban lévő nullák számát, összeadni őket (4 + 3), és felírni a 10 000 000 szorzatot (7 nulla). A faktorok a 10-es szám egész hatványai. Szorzáskor a hatványok kitevői összeadódnak. Az osztást is végrehajtják. Helyébe a kitevők kivonásával kerül sor.

Így nem lehet minden számot osztani és szorozni. De több lesz belőlük, ha egy 1-hez közeli számot veszünk alapul, például 1,000001.

Ezt tette négyszáz évvel ezelőtt Jost Bürgi matematikus. Igaz, „Aritmetikai és geometriai táblázatok, alapos instrukciókkal együtt...” című munkáját csak 1620-ban adta ki.

Jost Bürgi 1552. február 28-án született Liechtensteinben. 1579 és 1604 között IV. Vilmos hessen-kasseli földgróf udvari csillagászaként szolgált. Később II. Rudolf császárral Prágában. Egy évvel halála előtt, 1631-ben, Kasselben. Bürgi az első ingaóra feltalálójaként is ismert.

Napier asztalai

1614-ben jelentek meg John Napier asztalai. Ez a tudós is egyhez közeli számot vett alapul. De kevesebb volt, mint egy.

John Napier skót báró (1550-1617) szülőföldjén tanult. Szeretett utazni. Németországban, Franciaországban és Spanyolországban járt. 21 évesen visszatért az Edinburgh melletti családi birtokra, és ott élt haláláig. Teológiát és matematikát tanult. Ez utóbbit Eukleidész, Arkhimédész és Kopernikusz műveiből tanulmányozta.

Tizedes logaritmus

Napier és az angol Brigg azzal az ötlettel állt elő, hogy összeállítsanak egy decimális logaritmustáblázatot. Elkezdték a korábban összeállított Napier-táblázatok közös újraszámítását. Napier halála után Brigg folytatta. A művet 1624-ben adta ki. Ezért a tizedesjegyeket briggian-nak is nevezik.

A logaritmikus táblázatok összeállítása sok évnyi munkaigényes munkát igényelt a tudósoktól. De az általuk összeállított táblázatokat használó több ezer számológép termelékenysége többszörösére nőtt.