Ha ugyanazokkal a hatványokkal rendelkeznek, de a hatványok kitevői nem azonosak, 2² * 2³, akkor az eredmény a fok alapja lesz, amely azonos alapja a hatványokra emelt hatványok szorzatának kitevő, egyenlő az összes szorzott hatvány kitevőjének összegével.

2² * 2³ = 2²⁺3 = 2⁵ = 32

Ha a hatványok szorzatának a hatványalapja eltérő, és a kitevők azonosak, például 2³ * 5³, akkor az eredmény ezen hatványok alapjainak szorzata lesz, amelyet ugyanazzal a kitevővel egyenlő kitevőre emelünk. .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

Ha a szorozandó hatványok egyenlőek egymással, például 5³ * 5³, akkor az eredmény egy olyan hatvány lesz, amelynek alapja megegyezik ezekkel az azonos hatványbázisokkal, a hatványok kitevőjével egyenlő kitevőre emelve, megszorozva ezeknek az azonos hatványoknak a száma.

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

Vagy egy másik példa ugyanazzal az eredménnyel:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

Források:

• Mi az a fok természetes kitevővel?
• erők terméke

Hatványos matematikai műveletek csak akkor hajthatók végre, ha a kitevők alapjai megegyeznek, és ha közöttük szorzó- vagy osztásjelek vannak. A kitevő alapja az a szám, amelyet hatványra emelünk.

Utasítás

Ha a számok oszthatók egymással (cm 1), akkor y (ebben a példában ez a 3) hatványként jelenik meg, amelyet a kitevők kivonásával alakítunk ki. Ezenkívül ezt a műveletet közvetlenül hajtják végre: a másodikat levonják az első mutatóból. Példa 1. Vezessük be: (a)b, ahol zárójelben – a az alap, a külső zárójelben – a kitevőben. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Ha a válasz negatív hatványú szám, akkor ezt a számot egy számmá alakítjuk közönséges tört, melynek számlálója egy , a nevezőben pedig az alap a különbségből kapott kitevővel, csak pozitív formában (plusz előjellel). 2. példa (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. A hatalmi ágak megosztása más formában is felírható, a tört jellel, és nem úgy, ahogy ebben a lépésben a „:” jellel jelezzük. Ez nem változtat a megoldás elvén, minden pontosan ugyanúgy történik, csak kettőspont helyett vízszintes (vagy ferde) törtjellel történik a bejegyzés 3. példa (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Ha azonos bázisokat szorozunk, amelyeknek fokozatai vannak, a fokozatok összeadódnak. 4. példa (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Ha a kitevők különböző jelek, akkor összeadásukat a matematikai törvények szerint hajtjuk végre 5. példa (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼ .

Ha a kitevők alapjai eltérnek, akkor nagy valószínűséggel matematikai transzformációval azonos formára hozhatók. 6. példa Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a következő kifejezés értékét: (4)2: (2)3. Tudva, hogy a négyes szám ábrázolható két négyzetként, ezt a példát a következőképpen oldjuk meg: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Következő, amikor egy számot hatványra emelünk. Már diplomával a fokozati indexek megszorozódnak egymással: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

Hasznos tanács

Ne feledje, ha egy adott bázis különbözik a második bázistól, keressen matematikai megoldást. Éppen különböző számok nem adják meg. Hacsak a szedő nem hibázott a tankönyvben.

A számírás hatványformátuma egy bázis önmagával való szorzásának műveletének rövidített formája. Az ezen az űrlapon bemutatott számmal ugyanazokat a műveleteket hajthatja végre, mint bármely más számmal, beleértve a hatványra emelését is. Például egy szám négyzetét tetszőleges hatványra emelheti, és az eredmény elérése a technológiai fejlettség jelenlegi szintjén nem jelent nehézséget.

Szükséged lesz

• Internet hozzáférés vagy Windows számológép.

Utasítás

A négyzet hatványra emeléséhez használja a Általános szabály olyan hatalomra emelés, amely már rendelkezik hatványkitevő. Ezzel a művelettel a mutatók megszorozódnak, de az alap ugyanaz marad. Ha az alap x-nek van jelölve, az eredeti és a kiegészítő jelzők pedig a és b-vel vannak jelölve, írja be ezt a szabályt Általános nézet ezt megteheti: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

Fokozatképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat ugyanazzal az alappal megszorozva a mutatóik összeadódnak:

a m·a n = a m + n .

2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:

3. A szorzat teljesítménye 2 ill több tényezők egyenlő e tényezők hatványainak szorzatával:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n /b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(a m) n = a m n .

Mindegyik fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. A hozzáállás gyökere egyenlő az aránnyal a gyökér osztója és osztója:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyszerre vonjuk ki a gyökeret n-gyökszám hatványa, akkor a gyök értéke nem változik:

Egy fok negatív kitevővel. Egy nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával egyenlő kitevővel abszolút érték nem pozitív indikátor:

Képlet a m:a n =a m - n nem csak arra használható m> n, hanem azzal is m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, nulla fok megléte szükséges.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullával nem egyenlő szám hatványa nulla kitevővel egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Valós szám emelésére A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m- ennek a számnak a hatványa A.

Hatványok összeadása és kivonása

Nyilvánvaló, hogy a hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan összeadhatók , jeleikkel egymás után hozzáadva.

Tehát a 3 és b 2 összege a 3 + b 2.
A 3 - b n és h 5 -d 4 összege a 3 - b n + h 5 - d 4.

Esély azonos változók egyenlő hatványaiösszeadható vagy kivonható.

Tehát 2a 2 és 3a 2 összege egyenlő 5a 2-vel.

Az is nyilvánvaló, hogy ha két a négyzetet vagy három a négyzetet vagy öt a négyzetet veszünk.

De fokok különféle változókÉs különféle fokozatok azonos változók, úgy kell összeállítani, hogy hozzá kell adni őket a jeleikkel.

Tehát egy 2 és egy 3 összege egy 2 + egy 3 összege.

Nyilvánvaló, hogy a négyzete és a kockája nem egyenlő a négyzetének kétszeresével, hanem a kockájának kétszeresével.

A 3 b n és 3a 5 b 6 összege a 3 b n + 3a 5 b 6.

Kivonás A jogosítványokat ugyanúgy hajtjuk végre, mint az összeadást, azzal a különbséggel, hogy a részrészek előjeleit ennek megfelelően módosítani kell.

Vagy:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 óra 2 b 6 — 4 óra 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Hatványok megsokszorozása

A hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan szorozhatók egymás után, szorzójellel vagy anélkül.

Így a 3-at b 2-vel megszorozva a 3 b 2 vagy aaabb lesz.

Vagy:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Az utolsó példában szereplő eredmény azonos változók hozzáadásával rendezhető.
A kifejezés a következő formában lesz: a 5 b 5 y 3.

Több szám (változó) hatványokkal való összehasonlításával láthatjuk, hogy ha bármelyik kettőt megszorozzuk, akkor az eredmény egy szám (változó), amelynek hatványa egyenlő összeg kifejezések fokozatai.

Tehát a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Itt 5 a szorzási eredmény hatványa, amely egyenlő 2 + 3-mal, a tagok hatványainak összegével.

Tehát a n .a m = a m+n .

Egy n esetén a-t annyiszor veszik tényezőnek, mint n hatványát;

És egy m-t annyiszor veszünk tényezőnek, ahányszor m fok egyenlő;

Ezért, Az azonos bázisú hatványok a hatványok kitevőinek összeadásával szorozhatók.

Tehát a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . És x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vagy:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Szorozza meg (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Válasz: x 4 - y 4.
Szorozd meg (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ez a szabály azokra a számokra is igaz, amelyek kitevői negatív.

1. Tehát a -2 .a -3 = a -5 . Ezt így írhatjuk fel: (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ha a + b-t megszorozzuk a - b-vel, az eredmény a 2 - b 2 lesz:

Két szám összegének vagy különbségének szorzata egyenlő az összeggel vagy négyzeteik különbsége.

Ha megszorozza két szám összegét és különbségét, amelyre emelt négyzet, az eredmény egyenlő lesz ezeknek a számoknak az összegével vagy különbségével negyedik fokon.

Tehát (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

A fokozatok felosztása

A hatványokkal rendelkező számok más számokhoz hasonlóan oszthatók, az osztalékból levonva, vagy tört alakba helyezve.

Így a 3 b 2 osztva b 2-vel egyenlő egy 3-mal.

Ha 5-öt osztunk 3-mal, úgy néz ki, hogy $\frac $. De ez egyenlő 2-vel. Egy számsorozatban
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bármely szám osztható egy másikkal, és a kitevő egyenlő lesz különbség osztható számok mutatói.

Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk..

Tehát y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Azaz $\frac = y$.

És a n+1:a = a n+1-1 = a n . Azaz $\frac = a^n$.

Vagy:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

A szabály a -val rendelkező számokra is igaz negatív fokok értékei.
A -5 -3-mal való osztásának eredménye -2.
Továbbá $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:ó -1 = h 2+1 = h 3 vagy $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Nagyon jól kell elsajátítani a szorzást és a hatványosztást, mivel az ilyen műveleteket nagyon széles körben használják az algebrában.

Példák a hatványos számokat tartalmazó törtek példáinak megoldására

1. Csökkentse a kitevőket $\frac $ értékkel. Válasz: $\frac $.

2. Csökkentse a kitevőket $\frac$ értékkel. Válasz: $\frac$ vagy 2x.

3. Csökkentse az a 2 /a 3 és a -3 /a -4 kitevőket, és vezessen közös nevező.
a 2 .a -4 egy -2 az első számláló.
a 3 .a -3 egy 0 = 1, a második számláló.
a 3 .a -4 egy -1 , a közös számláló.
Egyszerűsítés után: a -2 /a -1 és 1/a -1 .

4. Csökkentse a 2a 4 /5a 3 és 2 /a 4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
Válasz: 2a 3 /5a 7 és 5a 5 /5a 7 vagy 2a 3 /5a 2 és 5/5a 2.

5. Szorozzuk meg (a 3 + b)/b 4-et (a - b)/3-mal.

6. Szorozza meg (a 5 + 1)/x 2-t (b 2 - 1)/(x + a) értékkel.

7. Szorozzuk meg b 4 /a -2-t h -3 /x-el és a n /y -3-mal.

8. Ossz el egy 4 /y 3-at egy 3 /y 2-vel. Válasz: a/y.

A fokozat tulajdonságai

Emlékeztetjük, hogy ebben a leckében megértjük fokok tulajdonságai természetes mutatókkal és nullával. Fokokkal racionális mutatókés tulajdonságaikról a 8. osztályos órákon lesz szó.

A természetes mutatójú végzettségnek több is van fontos tulajdonságait, amelyek lehetővé teszik a számítások egyszerűsítését a hatáskörökkel rendelkező példákban.

1. számú ingatlan
Az erők szorzata

Ha a hatványokat azonos alapokkal szorozzuk, az alap változatlan marad, és a hatványok kitevői összeadódnak.

a m · a n = a m + n, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

A hatványok ezen tulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára is érvényes.

• Egyszerűsítse a kifejezést.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Mutassa be diplomaként.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Mutassa be diplomaként.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Felhívjuk figyelmét, hogy a meghatározott tulajdonság csak a hatalmak megsokszorozásáról beszéltünk azonos alapokon. Ezek kiegészítésére nem vonatkozik.

Az összeget (3 3 + 3 2) nem helyettesítheti 3 5-tel. Ez érthető, ha
számold ki (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 és 3 5 = 243

2. számú ingatlan
Részleges diplomák

Ha azonos bázisú hatványokat osztunk fel, az alap változatlan marad, és az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

• Írja fel a hányadost hatványként!
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Kiszámítja.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Példa. Oldja meg az egyenletet. A hányados hatványok tulajdonságát használjuk.
3 8: t = 3 4

Válasz: t = 3 4 = 81

Az 1. és 2. tulajdonság használatával egyszerűen leegyszerűsítheti a kifejezéseket és számításokat végezhet.

Példa. Egyszerűsítse a kifejezést.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Példa. Keresse meg egy kifejezés értékét a kitevők tulajdonságainak segítségével.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 2. tulajdonságban csak a hatáskörök azonos alapokon történő felosztásáról beszéltünk.

A különbséget (4 3 −4 2) nem helyettesítheti 4 1-gyel. Ez érthető, ha kiszámolja (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, és 4 1 = 4

3. számú ingatlan
Fokozat hatalommá emelése

Ha egy fokot hatványra emelünk, a fok alapja változatlan marad, és a kitevőket megszorozzuk.

(a n) m = a n · m, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

Emlékeztetünk arra, hogy a hányadost törtként is lehet ábrázolni. Ezért a következő oldalon részletesebben foglalkozunk a tört hatványra emelésének témájával.

Hogyan szorozzuk meg az erőket

Hogyan szorozzuk meg az erőket? Mely erők szaporíthatók és melyek nem? Hogyan szorozhatunk meg egy számot hatvánnyal?

Az algebrában két esetben találhatunk hatványok szorzatát:

1) ha a fokozatok alapjai azonosak;

2) ha a fokok azonos mutatókkal rendelkeznek.

Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, az alapot ugyanaznak kell hagyni, és a kitevőket össze kell adni:

Ha a fokokat ugyanazokkal a mutatókkal szorozzuk, akkor a teljes mutató kivehető a zárójelekből:

Nézzük meg, hogyan szorozzuk meg a hatványokat konkrét példákon keresztül.

A mértékegységet nem a kitevőben írják, de a hatványok szorzásakor figyelembe veszik:

Szorzáskor tetszőleges számú hatvány lehet. Emlékeztetni kell arra, hogy a szorzójelet nem kell a betű elé írni:

A kifejezésekben először a hatványozás történik.

Ha meg kell szoroznia egy számot hatványokkal, először hajtsa végre a hatványozást, és csak azután a szorzást:

Hatványok szorzása azonos alapokkal

Ez az oktatóvideó előfizetéssel érhető el

Már van előfizetése? Bejönni

Ebben a leckében a hatványok hasonló bázisokkal való szorzását tanulmányozzuk. Először idézzük fel a fokozat definícióját, és fogalmazzunk meg egy tételt az egyenlőség érvényességéről . Ezután példákat adunk konkrét számokon való alkalmazására, és bebizonyítjuk. A tételt különféle problémák megoldására is alkalmazzuk.

Téma: Hatalom természetes kitevővel és tulajdonságai

Tanulság: Hatványok szorzása azonos alapokkal (képlet)

1. Alapvető definíciók

Alapvető definíciók:

n- kitevő,

— n egy szám hatványa.

2. Az 1. tétel állítása

1. tétel. Bármilyen számhoz Aés bármilyen természetes nÉs k az egyenlőség igaz:

Más szóval: ha A- bármilyen szám; nÉs k természetes számok, akkor:

Ezért az 1. szabály:

3. Magyarázó feladatok

Következtetés: speciális esetek igazolták az 1. tétel helyességét. Bizonyítsuk be általános eset, azaz bármilyen Aés bármilyen természetes nÉs k.

4. Az 1. tétel bizonyítása

Adott egy számot A- Bármi; számok nÉs k – természetes. Bizonyít:

A bizonyítás a fokozat definícióján alapul.

5. Példák megoldása az 1. Tétel segítségével

1. példa: Gondolj rá diplomának.

A következő példák megoldásához az 1. tételt használjuk.

és)

6. Az 1. tétel általánosítása

Az itt használt általánosítás:

7. Példák megoldása az 1. Tétel általánosításával

8. Különféle feladatok megoldása az 1. Tétel segítségével

2. példa: Számolja ki (használhatja az alaphatványok táblázatát).

A) (táblázat szerint)

b)

3. példa:Írd hatványként 2-es bázissal.

A)

4. példa: Határozza meg a szám előjelét:

, A - negatív, mivel a -13-as kitevő páratlan.

5. példa: Cserélje ki (·) egy szám hatványát egy bázissal r:

Nekünk van, vagyis.

9. Összegzés

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. és mások Algebra 7. 6. kiadás. M.: Felvilágosodás. 2010

1. Iskolai asszisztens (Forrás).

1. Jelen, mint hatalom:

a B C D E)

3. Írja be hatványként 2-es bázissal:

4. Határozza meg a szám előjelét:

A)

5. Cserélje ki (·) egy szám hatványát egy bázissal r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Hatványok szorzása és felosztása azonos kitevőkkel

Ebben a leckében a hatványok egyenlő kitevővel való szorzását tanulmányozzuk. Először is emlékezzünk vissza a hatványok azonos bázisú szorzására és osztására, valamint a hatványok hatványokká emelésére vonatkozó alapvető definíciókra és tételekre. Ezután a hatványok szorzásáról és osztásáról szóló tételeket fogalmazunk meg és bizonyítunk ugyanazokkal a kitevőkkel. És akkor a segítségükkel számos tipikus problémát megoldunk.

Emlékeztető alapvető definíciókra és tételekre

Itt a- a végzettség alapja,

— n egy szám hatványa.

1. tétel. Bármilyen számhoz Aés bármilyen természetes nÉs k az egyenlőség igaz:

Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, a kitevők összeadódnak, az alap változatlan marad.

2. tétel. Bármilyen számhoz Aés bármilyen természetes nÉs k, oly módon, hogy n > k az egyenlőség igaz:

Ha a fokokat azonos alapokkal osztjuk, a kitevőket levonjuk, de az alap változatlan marad.

3. tétel. Bármilyen számhoz Aés bármilyen természetes nÉs k az egyenlőség igaz:

Az összes felsorolt ​​tétel azonos hatványokról szólt okokból, ebben a leckében ugyanazokkal a fokozatokkal fogunk nézni mutatók.

Példák hatványok szorzására azonos kitevőkkel

Tekintsük a következő példákat:

Írjuk fel a fokozat meghatározására szolgáló kifejezéseket!

Következtetés: A példákból látható, hogy , de ezt még bizonyítani kell. Fogalmazzuk meg a tételt és bizonyítsuk be általános esetben, azaz bármelyikre AÉs bés bármilyen természetes n.

A 4. tétel megfogalmazása és bizonyítása

Bármilyen számhoz AÉs bés bármilyen természetes n az egyenlőség igaz:

Bizonyíték 4. tétel .

A diploma meghatározása szerint:

Tehát ezt bebizonyítottuk .

A hatványok azonos kitevőkkel való szorzásához elegendő az alapokat megszorozni, és a kitevőt változatlanul hagyni.

Az 5. tétel megfogalmazása és bizonyítása

Fogalmazzunk meg egy tételt a hatványok azonos kitevőjű osztására.

Bármilyen számhoz AÉs b() és bármilyen természetes n az egyenlőség igaz:

Bizonyíték 5. tétel .

Írjuk le a diploma definícióját:

Tételek megfogalmazása szavakban

Tehát ezt bebizonyítottuk.

Az azonos kitevővel rendelkező hatványok egymásra osztásához elegendő az egyik bázist a másikkal osztani, és a kitevőt változatlanul hagyni.

Tipikus problémák megoldása a 4. Tétel segítségével

1. példa: A hatalom termékeként jelenjen meg.

A következő példák megoldásához a 4. tételt használjuk.

A következő példa megoldásához idézzük fel a képleteket:

A 4. tétel általánosítása

A 4. tétel általánosítása:

Példák megoldása a 4. általánosított tétel használatával

A tipikus problémák megoldásának folytatása

2. példa:Írja be a szorzat hatványaként.

3. példa:Írd hatványként 2-es kitevővel.

Számítási példák

4. példa: Számoljon a legracionálisabb módon.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. és mások Algebra 7.M.: Felvilágosodás. 2006

2. Iskolai asszisztens (Forrás).

1. Hatványok szorzataként jelenítsük meg:

A) ; b) ; V) ; G) ;

2. Írja be a szorzat hatványaként:

3. Írja hatványként 2-es kitevővel:

4. Számoljon a legracionálisabb módon.

Matematika lecke a „Hatalmak szorzása és felosztása” témában

Szakaszok: Matematika

Pedagógiai cél:

a diák megtanulja megkülönböztetni a szorzás és a hatványosztás tulajdonságait természetes kitevőkkel; alkalmazza ezeket a tulajdonságokat ugyanazon alapok esetén;

a diáknak lehetősége lesz legyen képes különböző alapú fokozattranszformáció végrehajtására és tudjon transzformációt végrehajtani kombinált feladatokban.

Feladatok:

megszervezni a tanulók munkáját a korábban tanult anyagok ismétlésével;

biztosítsa a szaporodás szintjét különféle típusú gyakorlatok végrehajtásával;

megszervezni a tanulók önértékelésének ellenőrzését teszteléssel.

A tanítás tevékenységi egységei: fok meghatározása természetes jelzővel; fokozat összetevői; a magánélet meghatározása; szorzás kombinációs törvénye.

I. A tanulók meglévő tudásának elsajátításáról bemutató bemutató szervezése. (1. lépés)

a) Ismeretek frissítése:

2) Fogalmazza meg a fok definícióját természetes kitevővel!

a n =a a a a … a (n-szer)

b k =b b b b a… b (k-szer) Indokolja a választ!

II. A hallgató jelenlegi tapasztalataiban való jártassági fokának önértékelésének megszervezése. (2. lépés)

Önteszt: ( egyéni munka két változatban.)

A1) Mutassa be a 7 7 7 7 x x x terméket teljesítményként:

A2) Jelenítse meg a hatványt (-3) 3 x 2 szorzatként

A3) Számítsa ki: -2 3 2 + 4 5 3

A tesztben szereplő feladatok számát az osztályszint előkészítésének megfelelően választom ki.

Átadom a kulcsot az önellenőrzés tesztjéhez. Feltételek: átment - nem igazolt.

III. Oktatási és gyakorlati feladat (3. lépés) + 4. lépés (a tanulók maguk fogalmazzák meg a tulajdonságokat)

számítsuk ki: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Leegyszerűsítve: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

Az 1) és 2) feladatok megoldása során a tanulók megoldást javasolnak, én pedig tanárként úgy szervezem az órát, hogy megtaláljuk a módját, hogyan lehet egyszerűsíteni a hatványokat az azonos alapokkal történő szorzásnál.

Tanár: találjon ki egy módot a képességek egyszerűsítésére, amikor ugyanazokkal az alapokkal szoroz.

Egy bejegyzés jelenik meg a klaszteren:

Az óra témája megfogalmazásra kerül. Hatványok szorzása.

Tanár: dolgozzon ki egy szabályt a hatalom azonos alapokon történő felosztására.

Indoklás: milyen művelettel ellenőrizzük az osztást? a 5: a 3 = ? hogy a 2 a 3 = a 5

Visszatérek a diagramhoz - egy klaszter és hozzáadom a bejegyzéshez - .. felosztáskor kivonjuk és hozzáadjuk a lecke témáját. ...és a fokozatok felosztása.

IV. A tudás határainak (minimum és maximum) kommunikálása a tanulókkal.

Tanár: a mai óra minimális feladata a szorzás és a hatványosztás tulajdonságainak azonos alapokon történő alkalmazásának megtanulása, a maximális pedig a szorzás és az osztás együttes alkalmazása.

A táblára írunk : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Új anyag tanulmányozásának megszervezése. (5. lépés)

a) A tankönyv szerint: 403. szám (a, c, e) különböző megfogalmazású feladatok

404 (a, d, f) önálló munkavégzés, majd szervezek egy közös ellenőrzést és átadom a kulcsokat.

b) Milyen m értékre érvényes az egyenlőség? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Feladat: találj ki hasonló példákat a felosztásra.

c) 417. a) sz., 418. sz. Csapdák diákoknak: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.

VI. A tanultak összegzése, diagnosztikai munka elvégzése (ami nem a tanárt, hanem a diákokat ösztönzi a téma tanulmányozására) (6. lépés)

Diagnosztikai munka.

Teszt(tegyük a kulcsokat a tészta hátuljára).

Feladatlehetőségek: ábrázoljuk az x 15 hányadost hatványként: x 3; képviselje hatványként a (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 szorzatot; melyik m-re érvényes az a 16 a m = a 32 egyenlőség? keresse meg a h 0: h 2 kifejezés értékét h = 0,2-nél; számítsuk ki az (5 2 5 0) kifejezés értékét: 5 2 .

Óra összefoglalója. Visszaverődés. Az osztályt két csoportra osztom.

Keressen érveket az I. csoportban: a fokozat tulajdonságainak ismerete mellett, a II. csoportban pedig olyan érveket, amelyek azt mondják, hogy a tulajdonságok nélkül is megteheti. Minden választ meghallgatunk, és következtetéseket vonunk le. A következő leckéken kínálhat statisztikai adatokat, és felhívhatja a rubrikát „Őrültség!”

Egy átlagos ember 32 10 2 kg uborkát eszik meg élete során.

A darázs képes elkövetni megállás nélküli repülés 3,2 10 2 km-nél.

Az üveg megrepedésekor a repedés körülbelül 5 10 3 km/h sebességgel terjed.

Egy béka élete során több mint 3 tonna szúnyogot eszik meg. A fokozat használatával írd kg-ban.

A legtermékenyebbnek az óceáni halat tartják - a holdat (Mola mola), amely egy ívás során akár 300 000 000 tojást is rak, amelyek átmérője körülbelül 1,3 mm. Írja be ezt a számot egy hatvány segítségével.

VII. Házi feladat.

Történelmi hivatkozás. Milyen számokat nevezünk Fermat-számoknak.

19. o. 403., 408., 417. sz

Használt könyvek:

Tankönyv "Algebra-7", szerzők Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al.

Didaktikai anyag a 7. osztály számára, L.V. Kuznyecova, L.I. Zvavich, S.B. Szuvorov.

Matematika enciklopédiája.

„Kvant” folyóirat.

Fokozatok tulajdonságai, megfogalmazások, bizonyítások, példák.

Egy szám hatványának meghatározása után logikus, hogy beszéljünk róla fok tulajdonságait. Ebben a cikkben megadjuk egy szám hatványának alapvető tulajdonságait, miközben érintünk minden lehetséges kitevőt. Itt bemutatjuk a fokozatok összes tulajdonságát, és bemutatjuk, hogyan használják ezeket a tulajdonságokat a példák megoldása során.

Oldalnavigáció.

A fokok tulajdonságai természetes kitevővel

A természetes kitevővel rendelkező hatvány meghatározása szerint az a n hatvány n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ennek a definíciónak az alapján, és használva is valós számok szorzásának tulajdonságai, a következőket kaphatjuk és igazolhatjuk fok tulajdonságai természetes kitevővel:

az a m ·a n =a m+n fok fő tulajdonsága, általánosítása a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága a m:a n =a m−n ;

egy szorzat fokának tulajdonsága (a·b) n =a n ·b n, kiterjesztése (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

a hányados természetes fokra vonatkozó tulajdonsága (a:b) n =a n:b n ;

fok emelése (a m) n =a m·n hatványra, általánosítása (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

fok összehasonlítása nullával:

• ha a>0, akkor a n>0 bármely n természetes számra;
• ha a=0, akkor a n=0;
• ha a 2·m >0 , ha a 2·m−1 n ;
• ha m és n olyan természetes számok, amelyekre m>n, akkor 0m n-re és a>0-ra az a m >a n egyenlőtlenség igaz.

Azonnal jegyezzük meg, hogy minden írott egyenlőség van azonos a megadott feltételek mellett jobb és bal oldali részük is cserélhető. Például az a m ·a n =a m+n tört fő tulajdonsága -val kifejezések egyszerűsítése gyakran használt a m+n =a m ·a n formában.

Most nézzük meg mindegyiket részletesen.

Kezdjük két azonos bázisú hatvány szorzatának tulajdonságával, amelyet ún a diploma fő tulajdonsága: bármely a valós számra, valamint bármely m és n természetes számra igaz az a m ·a n =a m+n egyenlőség.

Bizonyítsuk be a fokozat fő tulajdonságát. A természetes kitevővel rendelkező hatvány definíciója szerint az a m ·a n alakú azonos bázisú hatványok szorzata írható fel szorzatként . A szorzás tulajdonságaiból adódóan a kapott kifejezést így írhatjuk fel , és ez a szorzat az a szám m+n természetes kitevőjű hatványa, azaz a m+n. Ezzel teljes a bizonyítás.

Adjunk egy példát, amely megerősíti a diploma fő tulajdonságát. Vegyünk azonos 2-es bázisú fokokat és 2 és 3 természetes hatványokat, a fokok alaptulajdonságával felírhatjuk a 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 egyenlőséget. Ellenőrizzük érvényességét a 2 2 · 2 3 és 2 5 kifejezések értékeinek kiszámításával. Hatványozást végrehajtva 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 és 2 5 =2 2 2 2 = 32 kapjuk, mivel azt kapjuk egyenlő értékeket, akkor a 2 2 ·2 3 =2 5 egyenlőség helyes, és megerősíti a fok fő tulajdonságát.

A szorzás tulajdonságain alapuló fok alaptulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára általánosítható azonos bázisokkal és természetes kitevőkkel. Tehát bármely n 1, n 2, …, n k természetes számra az a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k egyenlőség igaz.

Például (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

A hatványok következő tulajdonságára természetes kitevővel léphetünk át – azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága: bármely nem nulla a valós számra és tetszőleges m és n természetes számokra, amelyek kielégítik az m>n feltételt, az a m:a n =a m−n egyenlőség igaz.

Mielőtt bizonyítanánk ezt a tulajdonságot, beszéljük meg a jelentését további feltételek a megfogalmazásban. Az a≠0 feltétel a nullával való osztás elkerülése érdekében szükséges, hiszen 0 n =0, és amikor megismerkedtünk az osztással, megegyeztünk, hogy nullával nem oszthatunk. Az m>n feltételt úgy vezetjük be, hogy ne lépjük túl a természetes kitevőket. Valóban, m>n esetén az a m-n természetes szám, különben vagy nulla (ami m-n esetén történik), vagy negatív szám (ami m m-n esetén történik ·a n =a (m-n)) +n =a m. A kapott a m−n ·a n =a m egyenlőségből, valamint a szorzás és osztás összefüggéséből következik, hogy egy m−n az a m és egy n hatványok hányadosa. ugyanazok az alapok.

Mondjunk egy példát. Vegyünk két fokot azonos π bázisokkal és 5 és 2 természetes kitevővel, a π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 egyenlőség a fok figyelembe vett tulajdonságának felel meg.

Most fontoljuk meg termék teljesítmény tulajdonsága: természetes fok Bármely két a és b valós szám n szorzata egyenlő az a n és b n hatványok szorzatával, azaz (a·b) n =a n ·b n .

Valójában a természetes kitevővel rendelkező fok definíciója alapján rendelkezünk . Utolsó darab a szorzás tulajdonságai alapján átírható úgy , ami egyenlő a n · b n -nel.

Íme egy példa: .

Ez a tulajdonság három vagy több tényező szorzatának hatványára is kiterjed. Ez azt jelenti, hogy egy k tényezőből álló szorzat n természetes fokú tulajdonságát a következőképpen írjuk fel: (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Az érthetőség kedvéért ezt a tulajdonságot egy példán mutatjuk be. Három tényező 7 hatványához tartozó szorzatához van .

A következő tulajdonság az természetbeni hányados tulajdona: az a és b valós számok, b≠0 hányadosa az n természetes hatványhoz egyenlő az a n és b n hatványok hányadosával, azaz (a:b) n =a n:b n.

A bizonyítás elvégezhető az előző tulajdonság segítségével. Tehát (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n, és az (a:b) n ·b n =a n egyenlőségből következik, hogy (a:b) n a hányadosa osztás a n a bn.

Írjuk fel ezt a tulajdonságot konkrét számokkal példaként: .

Most hangoztassuk a hatalom hatalommá emelésének tulajdonsága: bármely a valós szám, valamint bármely m és n természetes szám esetén a m hatványa n hatványára egyenlő az a szám m·n kitevőjű hatványával, azaz (a m) n =a m·n.

Például (5 2) 3 =5 2 · 3 =5 6.

A hatvány-fok tulajdonság bizonyítéka a következő egyenlőséglánc: .

A figyelembe vett tulajdonság fokonként bővíthető stb. Például bármely p, q, r és s természetes szám esetén az egyenlőség . A jobb érthetőség kedvéért mondjunk egy példát konkrét számokkal: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Továbbra is a fokok természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságain kell elidőzni.

Kezdjük a nulla és a hatvány természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságának bizonyításával.

Először is bizonyítsuk be, hogy a n >0 bármely a>0 esetén.

Két pozitív szám szorzata pozitív szám, amint az a szorzás definíciójából következik. Ez a tény és a szorzás tulajdonságai arra utalnak, hogy tetszőleges számú pozitív szám szorzásának eredménye is pozitív szám lesz. Egy n természetes kitevővel rendelkező a szám hatványa pedig értelemszerűen n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezek az érvek lehetővé teszik, hogy kijelentsük, hogy bármely pozitív a bázis esetén az a n fok pozitív szám. A bizonyított tulajdonság miatt 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ill. .

Nyilvánvaló, hogy bármely n természetes számra, ahol a=0, a n foka nulla. Valóban, 0 n =0·0·…·0=0 . Például 0 3 =0 és 0 762 =0.

Térjünk át a negatív fokozati alapokra.

Kezdjük azzal az esettel, amikor a kitevő páros szám, jelöljük 2·m-nek, ahol m természetes szám. Akkor . A negatív számok szorzására vonatkozó szabály szerint az a·a alakú szorzatok mindegyike egyenlő az a és a számok abszolút értékeinek szorzatával, ami azt jelenti, hogy pozitív szám. Ezért a termék is pozitív lesz és foka a 2·m. Mondjunk példákat: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 és .

Végül, ha az a bázis negatív szám, a kitevő pedig páratlan szám 2 m−1, akkor . Minden a·a szorzat pozitív szám, ezeknek a pozitív számoknak a szorzata is pozitív, és a maradék negatív a számmal való megszorzása negatív számot eredményez. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően (−5) 3 17 n n n valódi egyenlőtlenség bal és jobb oldalának szorzata a egyenlőtlenségek tulajdonságaira, igaz egy a n n alakú bizonyítható egyenlőtlenség is. Például ebből a tulajdonságból adódóan az egyenlőtlenségek 3 7 7 ill .

Már csak az utolsót kell bizonyítani felsorolt ​​ingatlanok fokok természetes mutatókkal. Fogalmazzuk meg. Két hatvány közül, amelyek természetes kitevője és azonos pozitív bázisa kisebb, mint egy, az a nagyobb, amelynek a kitevője kisebb; és két hatvány közül, amelyek természetes kitevője és azonos bázisa nagyobb, mint egy, az a nagyobb, amelynek a kitevője nagyobb. Folytassuk ennek a tulajdonságnak a bizonyítását.

Bizonyítsuk be, hogy m>n és 0m n esetén. Ehhez felírjuk az a m − a n különbséget, és összehasonlítjuk nullával. A felvett különbség, miután egy n-t zárójelekből kiveszünk, a n ·(a m−n−1) alakot ölti. A kapott szorzat negatív, mint egy pozitív szám n és szorzata negatív szám a m−n −1 (a n pozitív, mint egy pozitív szám természetes hatványa, és az a m−n −1 különbség negatív, mivel m−n>0 az m>n kezdeti feltétel miatt, ami azt jelenti, hogy 0m−nél n kisebb egynél). Ezért a m −a n m n, amit bizonyítani kellett. Példaként megadjuk a helyes egyenlőtlenséget.

Az ingatlan második részének bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy m>n és a>1 esetén a m >a n igaz. Az a m −a n különbség egy n zárójelből való kihúzása után a n ·(a m−n −1) alakot ölti. Ez a szorzat pozitív, mivel a>1 esetén az a n fok pozitív szám, az a m-n -1 különbség pedig pozitív szám, mivel m-n>0 a kezdeti feltétel miatt, a>1 esetén pedig a fok a m−n nagyobb egynél. Következésképpen a m −a n >0 és a m >a n, amit bizonyítani kellett. Ezt a tulajdonságot a 3 7 >3 2 egyenlőtlenség szemlélteti.

Egész kitevős hatványok tulajdonságai

Mivel a pozitív egészek természetes számok, ezért a pozitív egész kitevővel rendelkező hatványok minden tulajdonsága pontosan egybeesik az előző bekezdésben felsorolt ​​és bizonyított természetes kitevőjű hatványok tulajdonságaival.

Egy egész szám negatív kitevőjű fokot, valamint nulla kitevővel definiáltunk úgy, hogy a természetes kitevős fokok egyenlőségekkel kifejezett összes tulajdonsága érvényben maradjon. Ezért ezek a tulajdonságok mind nulla kitevőre, mind negatív kitevőre érvényesek, miközben természetesen a hatványok alapjai eltérnek a nullától.

Tehát minden a és b valós és nem nulla számra, valamint bármely m és n egész számra a következők igazak: egész kitevőjű hatványok tulajdonságai:

• a m ·a n =a m+n ;
• a m:a n =a m−n ;
• (a · b) n =a n · b n ;
• (a:b) n =a n:bn;
• (a m) n =a m·n;
• ha n pozitív egész szám, akkor a és b pozitív számok, és a n n és a −n >b −n ;
• ha m és n egész számok, és m>n, akkor 0m n-re és a>1-re érvényes az a m >a n egyenlőtlenség.

Ha a=0, az a m és a n hatványoknak csak akkor van értelme, ha m és n is pozitív egész szám, azaz természetes szám. Így az imént felírt tulajdonságok azokra az esetekre is érvényesek, amikor a=0 és az m és n számok pozitív egészek.

Ezen tulajdonságok mindegyikének bizonyítása nem nehéz, ehhez elegendő a természetes és egész kitevős fokok definícióit, valamint a valós számokkal végzett műveletek tulajdonságait használni. Példaként bizonyítsuk be, hogy a hatvány-hatvány tulajdonság pozitív egészekre és nem pozitív egészekre is érvényes. Ehhez meg kell mutatnunk, hogy ha p nulla vagy természetes számés q nulla vagy természetes szám, akkor az (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p)·q, (a p) −q =a p·(−q) és ( a −p) −q =a (−p)·(−q) . Csináljuk.

Pozitív p és q esetén az (a p) q =a p·q egyenlőséget az előző bekezdésben igazoltuk. Ha p=0, akkor van (a 0) q =1 q =1 és a 0·q =a 0 =1, ahonnan (a 0) q =a 0·q. Hasonlóképpen, ha q=0, akkor (a p) 0 =1 és a p·0 =a 0 =1, innen (a p) 0 =a p·0. Ha p=0 és q=0 is, akkor (a 0) 0 =1 0 =1 és a 0·0 =a 0 =1, ahonnan (a 0) 0 =a 0,0.

Most bebizonyítjuk, hogy (a −p) q =a (−p)·q . A negatív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint tehát . Hatványaink hányadosainak tulajdonsága alapján . Mivel 1 p =1·1·…·1=1 és , akkor . Az utolsó kifejezés definíció szerint egy a −(p·q) alakú hatvány, amely a szorzás szabályai miatt (−p)·q-ként írható fel.

Hasonlóképpen .

ÉS .

Ugyanezt az elvet alkalmazva a fok összes többi tulajdonságát egész kitevővel, egyenlőségek formájában írva igazolhatja.

A rögzített tulajdonságok közül az utolsó előttiben érdemes elidőzni az a −n >b −n egyenlőtlenség bizonyításán, amely minden negatív −n egész számra, valamint minden olyan pozitív a és bre érvényes, amelyre az a feltétel teljesül. . Írjuk fel és alakítsuk át ennek az egyenlőtlenségnek a bal és jobb oldala közötti különbséget: . Mivel feltétellel a n n tehát b n −a n >0 . Az a n · b n szorzat is pozitív a n és b n pozitív számok szorzataként. Ekkor a kapott tört a b n −a n és a n ·b n pozitív számok hányadosaként pozitív. Ezért honnan a −n >b −n , amit bizonyítani kellett.

Az egész kitevővel rendelkező hatványok utolsó tulajdonsága ugyanúgy igazolt, mint a természetes kitevős hatványok hasonló tulajdonsága.

Racionális kitevős hatványok tulajdonságai

Egy fokot tört kitevővel határoztunk meg úgy, hogy a fok tulajdonságait egész kitevővel kiterjesztettük rá. Más szóval, a tört kitevővel rendelkező hatványok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az egész kitevőkkel rendelkező hatványok. Ugyanis:

1. azonos bázisú hatványok szorzatának tulajdonsága a>0 esetén, és ha és, akkor a≥0 esetén;
2. azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága a>0 esetén;
3. egy szorzat tulajdonsága törthatványra a>0 és b>0 esetén, és ha és, akkor a≥0 és (vagy) b≥0 esetén;
4. hányados tulajdonsága egy törthatványhoz a>0 és b>0 esetén, és ha , akkor a≥0 és b>0 esetén;
5. fokról fokozatra vonatkozó tulajdonság a>0 esetén, és ha és, akkor a≥0 esetén;
6. Hatványok egyenlő racionális kitevőkkel való összehasonlításának tulajdonsága: bármely a és b pozitív számra a 0 az a p p egyenlőtlenség igaz, és p p >b p esetén;
7. a fokok racionális kitevőkkel való összehasonlításának tulajdonsága és egyaránt: p és q racionális számok esetén 0p q esetén p>q, a>0 esetén pedig a p >a q egyenlőtlenség.

A tört kitevős hatványok tulajdonságainak bizonyítása a tört kitevős hatvány meghatározásán, az n-edik fokú számtani gyök tulajdonságain és az egész kitevős hatvány tulajdonságain alapul. Adjunk bizonyítékot.

Hatvány definíciója szerint tört kitevővel és , akkor . Az aritmetikai gyök tulajdonságai lehetővé teszik, hogy a következő egyenlőségeket írjuk fel. Továbbá az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságát felhasználva megkapjuk, amelyből a tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján azt kapjuk, hogy , és a kapott fok mutatója a következőképpen alakítható át: . Ezzel teljes a bizonyítás.

A tört kitevővel rendelkező hatványok második tulajdonsága teljesen hasonló módon bizonyított:


A fennmaradó egyenlőségeket hasonló elvekkel bizonyítjuk:


Térjünk át a következő tulajdonság bizonyítására. Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív a és b esetén a 0 az a p p egyenlőtlenség igaz, és p p >b p esetén. Írjuk fel a p racionális számot m/n-nek, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. A p 0 feltételek ebben az esetben egyenértékűek lesznek az m 0 feltételekkel. m>0 és am m esetén. Ebből az egyenlőtlenségből a gyökök tulajdonsága alapján megvan, és mivel a és b pozitív számok, akkor a törtkitevős fok definíciója alapján a kapott egyenlőtlenség átírható a következőre, azaz a p p -re.

Hasonlóképpen m m >b m-re, ahonnan, azaz a p >b p.

A felsorolt ​​tulajdonságok közül az utolsó bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy p és q racionális számokra 0p q esetén p>q, a>0 esetén pedig a p >a q egyenlőtlenség. Mindig találhatunk közös nevezőt racionális számok p és q, akkor kapjunk közönséges törteket és ahol m 1 és m 2 egész számok, n pedig természetes szám. Ebben az esetben a p>q feltétel megfelel az m 1 >m 2 feltételnek, ami az összehasonlítási szabályból következik. közönséges törtek Val vel ugyanazok a nevezők. Ekkor a fokok azonos bázisokkal és természetes kitevőkkel való összehasonlításának tulajdonsága alapján 0m 1 m 2 és a>1 esetén az a m 1 >a m 2 egyenlőtlenség. A gyökök tulajdonságainak ezen egyenlőtlenségei ennek megfelelően átírhatók És . A fokozat racionális kitevővel való meghatározása pedig lehetővé teszi, hogy továbblépjünk az egyenlőtlenségekre és ennek megfelelően. Innen vonjuk le a végső következtetést: p>q és 0p q esetén, a>0 esetén pedig az a p >a q egyenlőtlenséget.

Irracionális kitevőkkel rendelkező hatványok tulajdonságai

Abból, ahogyan egy irracionális kitevővel rendelkező fokot meghatározunk, arra a következtetésre juthatunk, hogy rendelkezik a racionális kitevővel rendelkező fokok összes tulajdonságával. Tehát bármely a>0, b>0 és irracionális p és q számra a következők igazak irracionális kitevőjű hatványok tulajdonságai:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a · b) p =a p · b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q;
6. bármely pozitív a és b szám esetén a 0 az a p p egyenlőtlenség igaz, és p p >b p esetén;
7. p és q irracionális számok esetén 0p q esetén p>q, a>0 esetén pedig a p >a q egyenlőtlenség.

Ebből arra következtethetünk, hogy a fokok bármely tényleges mutatók p és q a>0 esetén ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik.

• Algebra - 10. évfolyam. Trigonometrikus egyenletek Tanóra és előadás a témában: "A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása" Kiegészítő anyagok Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, javaslataikat! Minden anyag […]
• Pályázatot hirdettek az „ELADÓ - TANÁCSADÓ” munkakör betöltésére: Feladatok: mobiltelefonok és mobilkommunikációs tartozékok értékesítése, ügyfélszolgálat Beeline, Tele2, MTS előfizetőknek, Beeline és Tele2 díjcsomagok és szolgáltatások összekapcsolása, MTS tanácsadás [… ]
• Parallelepiped formula A paralelepipedon egy poliéder 6 lappal, amelyek mindegyike paralelogramma. A téglatest olyan paralelepipedon, amelynek minden lapja téglalap. Bármely paralelepipedont 3 […]
• Törvény elfogadása a családi birtokokról Elfogadjon egy szövetségi törvényt az ingyenes juttatásokról minden állampolgár számára, aki akar Orosz Föderáció vagy egy telek polgárainak családja a családi birtok elrendezésére következő feltételekkel: 1. A telek a […]
• Fogyasztói Jogvédő Társaság Astana Annak érdekében, hogy a weboldalunkon jelen dokumentum eléréséhez PIN-kódot kapjon, küldjön SMS-t zan szöveggel a GSM szolgáltatók (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) előfizetői számra a következő címen: SMS küldése a számra, […]
• A BRYANSK RÉGIÓ GOSTEKHNADZORÁNAK ELLENŐRZÉSE Állami illetékfizetési elismervény (Letöltés-12,2 kb) Nyilvántartási kérelmek magánszemélyek számára (Letöltés-12 kb) Jogi személyek nyilvántartásba vételi kérelmei (Letöltés-11,4 kb) 1. Új autó regisztrálásakor: 1.kérelem 2.útlevél […]
• N ÉS NN HELYESÍRÁS A KÜLÖNBÖZŐ BESZÉDRÉSZBEN S.G. ZELINSKAYA DIDAKTIKAI ANYAG Elméleti gyakorlat 1. Mikor írják az nn-t a melléknevekben? 2. Nevezze meg a szabályok alóli kivételeket! 3. Hogyan lehet megkülönböztetni verbális melléknév az -n- utótaggal a melléknévi igenévből […]
• Pivoev V.M. Tudományfilozófia és módszertan: oktatóanyag mester- és végzős hallgatóknak Petrozsény: PetrSU Kiadó, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb A tankönyv szociális és […]

Nyilvánvaló, hogy a hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan összeadhatók , jeleikkel egymás után hozzáadva.

Tehát a 3 és b 2 összege a 3 + b 2.
A 3 - b n és h 5 -d 4 összege a 3 - b n + h 5 - d 4.

Esély azonos változók egyenlő hatványaiösszeadható vagy kivonható.

Tehát 2a 2 és 3a 2 összege egyenlő 5a 2-vel.

Az is nyilvánvaló, hogy ha két a négyzetet vagy három a négyzetet vagy öt a négyzetet veszünk.

De fokok különféle változókÉs különféle fokozatok azonos változók, úgy kell összeállítani, hogy hozzá kell adni őket a jeleikkel.

Tehát egy 2 és egy 3 összege egy 2 + egy 3 összege.

Nyilvánvaló, hogy a négyzete és a kockája nem egyenlő a négyzetének kétszeresével, hanem a kockájának kétszeresével.

A 3 b n és 3a 5 b 6 összege a 3 b n + 3a 5 b 6.

Kivonás A jogosítványokat ugyanúgy hajtjuk végre, mint az összeadást, azzal a különbséggel, hogy a részrészek előjeleit ennek megfelelően módosítani kell.

Vagy:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 óra 2 b 6 - 4 óra 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Hatványok megsokszorozása

A hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan szorozhatók egymás után, szorzójellel vagy anélkül.

Így a 3-at b 2-vel megszorozva a 3 b 2 vagy aaabb lesz.

Vagy:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Az utolsó példában szereplő eredmény azonos változók hozzáadásával rendezhető.
A kifejezés a következő formában lesz: a 5 b 5 y 3.

Több szám (változó) hatványokkal való összehasonlításával láthatjuk, hogy ha bármelyik kettőt megszorozzuk, akkor az eredmény egy szám (változó), amelynek hatványa egyenlő összeg kifejezések fokozatai.

Tehát a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Itt 5 a szorzás eredményének hatványa, egyenlő 2 + 3-mal, a tagok hatványainak összegével.

Tehát a n .a m = a m+n .

Egy n esetén a-t annyiszor veszik tényezőnek, mint n hatványát;

És egy m-t annyiszor veszünk tényezőnek, ahányszor m fok egyenlő;

Ezért, Az azonos bázisú hatványok a hatványok kitevőinek összeadásával szorozhatók.

Tehát a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . És x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vagy:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Szorozza meg (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Válasz: x 4 - y 4.
Szorozd meg (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ez a szabály azokra a számokra is igaz, amelyek kitevői negatív.

1. Tehát a -2 .a -3 = a -5 . Ezt így írhatjuk fel: (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ha a + b-t megszorozzuk a - b-vel, az eredmény a 2 - b 2 lesz:

Két szám összegének vagy különbségének szorzata megegyezik a számok négyzeteinek összegével vagy különbségével.

Ha megszorozza két szám összegét és különbségét, amelyre emelt négyzet, az eredmény egyenlő lesz ezeknek a számoknak az összegével vagy különbségével negyedik fokon.

Tehát (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

A fokozatok felosztása

A hatványokkal rendelkező számok más számokhoz hasonlóan oszthatók, az osztalékból levonva, vagy tört alakba helyezve.

Így a 3 b 2 osztva b 2-vel egyenlő egy 3-mal.

Vagy:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ha 5-öt osztunk 3-mal, ez így néz ki: $\frac(a^5)(a^3)$. De ez egyenlő 2-vel. Egy számsorozatban
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bármely szám osztható egy másikkal, és a kitevő egyenlő lesz különbség osztható számok mutatói.

Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk..

Tehát y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Azaz $\frac(yyy)(yy) = y$.

És a n+1:a = a n+1-1 = a n . Azaz $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Vagy:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

A szabály a -val rendelkező számokra is igaz negatív fokok értékei.
A -5 -3-mal való osztásának eredménye -2.
Továbbá $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vagy $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Nagyon jól kell elsajátítani a szorzást és a hatványosztást, mivel az ilyen műveleteket nagyon széles körben használják az algebrában.

Példák a hatványos számokat tartalmazó törtek példáinak megoldására

1. Csökkentse a kitevőket $\frac(5a^4)(3a^2)$ értékkel. Válasz: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Csökkentse a kitevőket $\frac(6x^6)(3x^5)$ értékkel. Válasz: $\frac(2x)(1)$ vagy 2x.

3. Csökkentse az a 2 /a 3 és a -3 /a -4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
a 2 .a -4 egy -2 az első számláló.
a 3 .a -3 egy 0 = 1, a második számláló.
a 3 .a -4 egy -1 , a közös számláló.
Egyszerűsítés után: a -2 /a -1 és 1/a -1 .

4. Csökkentse a 2a 4 /5a 3 és 2 /a 4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
Válasz: 2a 3 /5a 7 és 5a 5 /5a 7 vagy 2a 3 /5a 2 és 5/5a 2.

5. Szorozzuk meg (a 3 + b)/b 4-et (a - b)/3-mal.

6. Szorozza meg (a 5 + 1)/x 2-t (b 2 - 1)/(x + a) értékkel.

7. Szorozzuk meg b 4 /a -2-t h -3 /x-el és a n /y -3-mal.

8. Ossz el egy 4 /y 3-at egy 3 /y 2-vel. Válasz: a/y.

9. Oszd meg (h 3 - 1)/d 4 -vel (d n + 1)/h.