A munka reciprocitás tételének állítása (Betti-tétel), 1872-ben E. Betti bebizonyította: az első állapot erőinek lehetséges munkája a megfelelő elmozdulásokon, amelyeket a második állapot erői okoznak, megegyezik a második állapot erőinek lehetséges munkájával a megfelelő elmozdulásokon, amelyeket a második állapot okoz. az első állam erői.

24. Tétel az elmozdulások reciprocitásáról (Maxwell)

Hadd legyen. Tétel az elmozdulások reciprocitásáról figyelembe véve az egységnyi erőből való elmozdulás elfogadott jelölését, alakja: .Az elmozdulások kölcsönösségére vonatkozó tételt Maxwell bizonyította. Az elmozdulások reciprocitásáról szóló tétel megfogalmazása: az első egységnyi erő alkalmazási pontjának a második egységnyi erő hatására bekövetkező elmozdulása egyenlő a második egységnyi erő hatópontjának az első egységnyi erő hatása által okozott elmozdulásával

25. Rayleigh-tétel a reakciók reciprocitásáról.

26. Gvozdev tétele az elmozdulások és reakciók kölcsönösségéről.

27. Terhelésből adódó elmozdulások meghatározása. Mohr képlete.

Pestiles formula

28. Hőmérsékleti hatások és elmozdulások miatti elmozdulások meghatározása.

Hőmérséklet hatás.

Piszkozat

29. Verescsagin szabálya. Trapéz szorzóképlet, Simpson-képlet.

Trapéz szorzóképlet.

Képlet ívelt trapézok szorzására

31. Statikusan határozatlan rendszerek tulajdonságai.

Az erők és reakciók meghatározásához nem elegendő a statika egyenlete, hanem az alakváltozás és az elmozdulás folytonosságának egyenleteit kell használni.

Az erők és reakciók az egyes elemek merevségének arányától függenek.

A hőmérséklet változása és az alátámasztás lerakódása belső erők megjelenését idézi elő.

Terhelés hiányában önfeszültség állapota lehetséges.

32. A statikus határozatlanság mértékének meghatározása, az erők módszerének alaprendszerének megválasztásának elvei.

Statikailag határozatlan rendszerek esetén W<0

Az extra csatlakozások számát a következő képlet határozza meg:

L = -W+ 3K,

ahol W azoknak a független geometriai paramétereknek a száma, amelyek meghatározzák a szerkezet helyzetét a síkon anélkül, hogy figyelembe vennék a szerkezet deformációját (a szabadságfokok száma), K a zárt kontúrok száma (kontúrok, amelyekben van nincs csuklópánt).

W= 3D – 2SH – Co

Csebisev képlete a szabadságfok meghatározására, ahol D a tárcsák száma, Ш a csuklópántok száma, Co a tartórudak száma.

Az OSMS-nek geometriailag megváltoztathatatlannak kell lennie.

Statikusan definiálhatónak kell lennie (a szükségtelen kapcsolatok eltávolítása).

Ennek a rendszernek könnyen kiszámíthatónak kell lennie.

Ha az eredeti rendszer szimmetrikus volt, akkor az OSMS-t, ha lehetséges, szimmetrikusnak választjuk.

33. Az erőmódszer kanonikus egyenletei, fizikai jelentésük.

Kanonikus egyenletek:

Fizikai jelentése:

Az egyes távoli linkek irányába történő teljes mozgásnak = 0-nak kell lennie

34. Kanonikus egyenletek együtthatóinak számítása, fizikai jelentésük, a talált együtthatók helyességének ellenőrzése.

Egyetlen erő által okozott távoli kapcsolat irányába való mozgás.

Külső terhelés okozta mozgás a távoli kapcsolat irányába.

A talált együtthatók helyességének ellenőrzéséhez be kell cserélni őket a kanonikus egyenletrendszerbe, és meg kell találni az X1 és X2 értékeket.

Tekintsük egy rugalmas rendszer két egyensúlyi állapotát. Ezen állapotok mindegyikében a rendszer valamilyen statikus terhelésnek van kitéve (4a. ábra). Jelöljük az F1 és F2 erők irányú mozgását, ahol az „i” index a mozgás irányát, a „j” index pedig az ok, ami ezt okozta.

Jelöljük az első állapot terhelésének (F1 erő) hatását az első állapot elmozdulásaira A11-el, és az F2 erő munkáját az általa okozott elmozdulásokra A22-vel:

Az (1.9) segítségével az A11 és A22 munkákat belső erőtényezőkkel fejezhetjük ki:

Tekintsük ugyanazon rendszer statikus terhelésének esetét (5. ábra, a) a következő sorrendben. Először egy statikusan növekvő F1 erőt fejtünk ki a rendszerre (23. ábra, b); statikus növekedési folyamatának befejeztével a rendszer deformációja és a benne ható belső erők az első állapottal megegyezővé válnak (23. ábra, a). Az F1 erővel végzett munka a következő lesz:

Ekkor statikusan növekvő F2 erő kezd hatni a rendszerre (5. ábra, b). Ennek eredményeként a rendszer további deformációkat kap, és további belső erők keletkeznek benne, ugyanúgy, mint a második állapotban (5. ábra, a). Az F2 erő nulláról a végső értékre történő növelése során az F1 erő változatlan marad, de a további elhajlás mértékével lefelé mozog, és ezért további munkát végez:

A Force F2 elvégzi a munkát:

A teljes A munka a rendszer F1, F2 erők általi szekvenciális terhelésével egyenlő:

Másrészt az (1.4) pont szerint a teljes munka a következőképpen határozható meg:

Az (1.11) és (1.12) kifejezéseket egymással egyenlővé téve a következőt kapjuk:

A12=A21 (1,14)

Az (1.14) egyenlőséget munkareciprocitás-tételnek, vagy Betti-tételnek nevezzük: az első állapot erőinek munkája az irányukban a második állapot erői által okozott elmozdulásokra egyenlő a második állapot erőinek munkája irányukban az első állapot erői által okozott elmozdulások. A közbenső számítások mellőzésével az A12 munkáját az első és második állapotban fellépő hajlítónyomatékok, hosszanti és keresztirányú erők segítségével fejezzük ki:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán minden integrandus tekinthető az első állapot erőiből a rúd szakaszában fellépő belső erő és a dz elemnek a második állapot erői által okozott deformációjának szorzatának.

A munka reciprocitás tételének bizonyítása

Jelöljünk a gerendán két 1. és 2. pontot (15.4. ábra, a).

Alkalmazzuk statikus erőt az 1. pontban. Ezen a ponton elhajlást okoz, a 2. pontban pedig – .

A mozgások jelzésére két indexet használunk. Az első index a mozgás helyét, a második pedig a mozgás okát jelenti. Vagyis majdnem mint egy levélborítékon, ahol feltüntetjük: honnan és kitől.

Tehát például a gerenda elhajlását jelenti a 2. pontban a terheléstől.

Miután az erőnövekedés befejeződött. Fejlesszünk statikus erőt (15.4, b) a gerenda deformált állapotára a 2. pontban. A gerenda további elhajlást kap: az 1. pontban és a 2. pontban.

Hozzunk létre egy kifejezést arra a munkára, amelyet ezek az erők a megfelelő elmozdulásaik során végeznek: .

Itt az első és a harmadik tag az erők rugalmas munkáját és . Clapeyron tétele szerint van egy együtthatójuk. A második tag nem rendelkezik ezzel az együtthatóval, mivel az erő nem változtatja meg az értékét, és lehetséges munkát végez egy másik erő által okozott elmozduláson.

A lehetséges elmozdulások kezdete, mint a mechanika általános elve, rendkívül fontos a rugalmas rendszerek elmélete szempontjából. Rájuk alkalmazva ez az elv a következőképpen fogalmazható meg: ha a rendszer egyensúlyban van a rájuk kifejtett terhelés hatására, akkor a rendszer lehetséges végtelen kicsi elmozdulásain a külső és belső erők munkájának összege nulla.

Ahol - külső erők;
- ezen erők lehetséges mozgásai;
- belső erők munkája.

Vegye figyelembe, hogy a rendszer egy lehetséges mozgása során a külső és belső erők nagysága és iránya változatlan marad. Ezért a munka kiszámításakor a megfelelő erők és elmozdulások szorzatának felét és teljes értékét kell venni.

Tekintsük egy egyensúlyban lévő rendszer két állapotát (2.2.9. ábra). Képes általánosított erő hatására a rendszer deformálódik (2.2.9. ábra, a), állapotban - erővel (2.2.9. ábra, b).

Állami erők munkája az állami mozgalmakról , valamint az állami erők munkáját az állami mozgalmakról , lehetséges lesz.

(2.2.14)

Számítsuk ki most az állam belső erőinek lehetséges munkáját állapotterhelés okozta mozgásokon . Ehhez vegyünk egy tetszőleges hosszúságú rúdelemet
mindkét esetben. Lapos hajlítás esetén a távoli részek hatását az elemre egy erőrendszer fejezi ki ,,
(2.2.10. ábra, a). A belső erők iránya ellentétes a külsővel (szaggatott vonallal). ábrán. 2.2.10, b külső erőket mutat ,,
, az elemre ható
képes . Határozzuk meg ezen erőfeszítések által okozott deformációkat.

Az elem megnyúlása nyilvánvaló
erők okozzák

.

A belső tengelyirányú erők munkája erről a lehetséges lépésről

. (2.2.15)

Az elemlapok párok által okozott kölcsönös elfordulási szöge
,

.

Belső hajlítónyomatékok munkája
ezen a lépésen

. (2.2.16)

Hasonlóképpen meghatározzuk a keresztirányú erők munkáját erők okozta mozgásokra

. (2.2.17)

A kapott munkát összegezve megkapjuk az elemre ható belső erők lehetséges munkáját
rúd, más, teljesen önkényes terhelés okozta mozgásokra, indexszel jelölve

A rúdon belüli elemi munkát összegezve megkapjuk a belső erők lehetséges munkájának teljes értékét:

(2.2.19)

Alkalmazzuk a lehetséges elmozdulások kezdetét, összegezve a belső és külső erők munkáját a rendszer lehetséges elmozdulásain, és kapjunk egy általános kifejezést a lehetséges elmozdulások kezdetére lapos rugalmas rúdrendszer esetén:

(2.2.20)

Vagyis ha a rugalmas rendszer egyensúlyban van, akkor a külső és belső erők munkája olyan állapotban van más, teljesen önkényes terhelés okozta esetleges mozgásokról, indexszel jelölve , egyenlő nullával.

Tételek a munka és a mozgás kölcsönösségéről

Írjuk fel az ábrán látható nyaláb lehetséges mozgásainak kezdetére vonatkozó kifejezéseket. 2.2.9, miután elfogadta az állam mint az állapot által okozott lehetséges mozgások és az állam számára - az állapot okozta mozgások .

(2.2.21)

(2.2.22)

Mivel a belső erők munkájának kifejezései ugyanazok, nyilvánvaló, hogy

(2.2.23)

Az így kapott kifejezést munkareciprocitás tételnek (Betti-tétel) nevezzük. A következőképpen fogalmazódik meg: külső (vagy belső) állami erők lehetséges munkája az állami mozgalmakról egyenlő az állam külső (vagy belső) erőinek lehetséges munkájával az állami mozgalmakról .

Alkalmazzuk a munka reciprocitás tételét a terhelés speciális esetére, amikor a rendszer mindkét állapotában egy egységnyi általánosított erő hat
És
.

Rizs. 2.2.11

A munkareciprocitás tétele alapján megkapjuk az egyenlőséget

, (2.2.24)

amelyet az elmozdulások reciprocitásáról szóló tételnek neveznek (Maxwell-tétel). A következőképpen fogalmazódik meg: az első erő hatópontjának irányában történő elmozdulása, amelyet a második egységnyi erő hatása okoz, megegyezik a második erő hatópontjának az irányába való elmozdulásával. az első egységerő hatására.

A munka és az elmozdulás kölcsönösségére vonatkozó tételek jelentősen leegyszerűsítik az elmozdulás meghatározásával kapcsolatos számos probléma megoldását.

A munkareciprocitás tétel segítségével meghatározzuk az elhajlást
gerendák a fesztáv közepén, ha nyomatékos támaszra hatnak
(2.2.12. ábra, a).

A sugár második állapotát használjuk - a koncentrált erő 2. pontjában történő cselekvést . A referencia szakasz elfordulási szöge
a gerenda B pontban való rögzítésének feltételéből határozzuk meg:

Rizs. 2.2.12

A munkareciprocitás tétele szerint

,

Munka reciprocitás tétele. Tétel az elmozdulások reciprocitásáról

Tekintsünk egy lineárisan deformálható rendszert két különböző állapotú, két különböző terhelésnek megfelelő állapotban (5.15. ábra) A számítások egyszerűsége érdekében tekintsünk egy egyszerű kéttámaszú, két koncentrált erővel egymás után terhelt gerendát.

15. ábra. A terhelés alkalmazásának közvetlen és fordított sorrendje

A terhelések előre és fordított sorrendjének összmunkáját egyenlítve megkapjuk

Azt a munkát, amelyet egy másik erő vagy erők által okozott elmozdulásokra ténylegesen végzett erő végez, járulékos munkának nevezzük.

A munkareciprocitás tétele szerint az első állapot erői által a második állapot mozgatására végzett munka megegyezik azzal a munkával, amelyet a második állapot erői végeznek az első állapot mozgatása érdekében.

Hasonló módon igazolható a belső erők többletmunkájának kölcsönössége is.

16. ábra. A belső erők további munkájának kölcsönössége.

Az energiamegmaradás törvénye alapján kimutatható, hogy a külső erők többletmunkája abszolút értékben egyenlő a belső erők járulékos munkájával:

Fogadás

tételt kapunk az elmozdulások reciprocitásáról.

Az egységnyi erő kifejtési pontjának az irányába történő elmozdulása, amelyet a második egységnyi erő okoz, megegyezik a második egységnyi erő hatópontjának az utóbbi irányába történő elmozdulásával, amelyet az egység hatása okoz. első egységerő.

Az elmozdulások meghatározása Mohr-módszerrel

Az F 1 és F 2 erőrendszer helyett terhelést és segédállapotokat vezetünk be:

17. ábra. Rakomány- és segédállapotok bemutatása

Írjuk fel e két állapot munka kölcsönösségére vonatkozó tételt:

A gerenda egyes szakaszainak összegzése után megkapjuk a Mohr integrált

Példa 5.2. Nézzünk egy példát a Mohr integrál használatára koncentrált erővel terhelt konzolos gerenda elmozdulásának meghatározására

18. ábra. Konzolos gerenda terhelési és segéddiagramjának felépítése

A Mohr integrált használjuk.

A gyakorlatban ezt a megközelítést nehéz használni. Ezt a nehézséget az integráció megszervezésével küszöböljük ki, az integráció könnyen megvalósítható számítógépen.

Grafikus-analitikai módszer a hajlítási elmozdulás meghatározására. Verescsagin módszere

Mutassunk be két egyszerűsítő körülményt:

Lineáris függvény a vizsgált terület határában.

19. ábra A Mohr-integrál grafikus-analitikai számítása

Az utolsó integrál az ABCD ábra statikus nyomatékát jelenti az y tengely körül. Munka

a segéddiagramon felvett ordinátát jelöli a rakomány súlypontja alatt.

ahol n a telephely száma.

5.3. példa. Nézzük újra a konzolos gerendát

20. ábra. A Verescsagin módszer alkalmazása konzolos gerendához

Bonyolultabb esetek:

1. Trapéz szorzása trapézzel

Rizs. 21. Trapéz szorzása trapézzel

Egy trapéz trapézzel való szorzásához továbbléphet egy téglalap trapézzel és egy háromszög trapézzel való szorzásához.

A téglalap trapézzel való szorzásának definíciója azt jelenti, hogy A f-et vesszük a téglalap fölé, és M-t c-be a trapéz fölé.

A permutációs szabály csak lineáris diagramokra vonatkozik.

2. Parabola szegmens

22. ábra. A parabolaszakasz súlypontjának területe és helyzete

3. Konkáv parabola háromszög

23. ábra. Konkáv parabola háromszög súlypontjának területe és helyzete

4. Konvex háromszög

24. ábra. Konvex parabola háromszög súlypontjának területe és helyzete

5. Konvex parabola trapéz.

25. ábra. Területek és súlypontok helyzetének felosztása konvex parabolatrapéz esetén

Példa: 5.4. Tekintsük a konzolos gerenda terhelésének bonyolultabb esetét, amikor mindhárom típusú külső terhelés hat. Meg kell határozni a sugár maximális forgási szögét

Rizs. Konzolos gerenda három terhelés egyidejű hatása alatt

I. módszer Cseréljük le az M f diagramot egyszerűbb ábrák halmazával.

vagyis a parabola csúcsa a nyalábon kívül van.

A segéddiagram elkészítéséhez szüksége lesz:

1. Tekintsünk néhány gerendát külső terhelés nélkül.

2. Adott ponton alkalmazzuk az F=1 vagy M=1 függvényt az elhajlás vagy az elfordulás szögének meghatározásához. A külső terhelések hatásiránya tetszőleges.

3. Egy egységterhelést külsőnek tekintve meghatározzuk a reakciókat és diagramokat készítünk.

A forgásszög Verescsagin módszerével történő meghatározására szolgáló képlet a következő formában lesz

hol van az M k segéddiagramon felvett ordináta a rakomány diagram súlypontja alatt - figyelembe véve a rakomány elemi ábrákra való felosztását

A gerenda íves tengelyének megszerkesztésekor a következőket használjuk:

1. Általánosított eltolási jel. A vizsgált esetben a pontot az óramutató járásával megegyező irányba forgatjuk.

2. A terhelési diagramon a hajlítónyomaték előjelét használjuk.

ábra a gerenda ívelt tengelyének hozzávetőleges nézete látható. 5.24.

II módszer. A szuperpozíció elve segítségével.

Rizs A szuperpozíció elvét alkalmazva