Gradiens funkció egy pontban egy vektor, amelynek koordinátái megegyeznek a megfelelő parciális deriváltokkal, és jelöljük.

Ha az e=() egységvektort tekintjük, akkor a (3) képlet szerint az irányderivált a gradiens és az irányt meghatározó egységvektor skaláris szorzata. Ismeretes, hogy két vektor skaláris szorzata akkor a legnagyobb, ha azonos irányúak. Következésképpen egy függvény gradiense egy adott pontban a függvény legnagyobb növekedésének irányát és nagyságát jellemzi ezen a ponton.

Tétel . Ha a függvény differenciálható az M pontban 0 a gradiens értéke eltér nullától, akkor a gradiens merőleges a rajta áthaladó szintvonalra ez a pontés ebben az esetben a funkció növelésére irányul

KÖVETKEZTETÉS: 1) Egy függvény deriváltja egy pontban abban az irányban, amelyet ennek a függvénynek a gradiense határozza meg a megadott pontban, maximális értéket képvisel az adott pontban bármely más irányú deriválthoz képest.

• 2) Egy függvény irányú deriváltjának értéke, amely egy adott pontban meghatározza ennek a függvénynek a gradiensét, egyenlő.
• 3) Az egyes pontokban a függvény gradiensének ismeretében lehetőség van némi hibával szintvonalak szerkesztésére. Kezdjük az M 0 pontból. Ezen a ponton építsünk egy gradienst. Határozzuk meg a gradiensre merőleges irányt. Építsük meg a szintvonal egy kis részét. Tekintsünk egy M 1 közeli pontot, építsünk benne gradienst, és így tovább.

Koncepció irányszármazék két- és háromváltozós függvényekre nézve. Az irányszármazék jelentésének megértéséhez definíció szerint össze kell hasonlítania a származékokat

Ennélfogva,

Most megtalálhatjuk ennek a függvénynek az irányszármazékát a képletével:

És most - házi feladat. Nem három, hanem csak két változó függvényét adja meg, de az irányvektor némileg eltérően van megadva. Tehát újra meg kell tennie vektor algebra .

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját egy pontban M0 (1; 2) a vektor irányába, ahol M1 - pont koordinátákkal (3; 0).

A derivált irányát meghatározó vektor a következő példában látható formában is megadható - alakban kiterjesztése a koordinátatengelyek egységvektoraiban, de ez ismerős téma a vektoralgebra legelejétől.

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját azon a ponton M0 (1; 1; 1) a vektor irányába.

Megoldás. Keressük meg a vektor iránykoszinuszait

Keressük meg a függvény parciális deriváltjait a pontban M0 :

Ezért ennek a függvénynek az irányszármazékát a képletével találhatjuk meg:

.

Gradiens funkció

Több változó függvényének gradiense egy pontban M0 pontban ennek a függvénynek a maximális növekedési irányát jellemzi M0 és ennek a maximális növekedésnek a nagysága.

Hogyan lehet megtalálni a gradienst?

Meg kell határozni olyan vektor, amelynek vetületei a koordinátatengelyekre azok az értékek részleges származékok, , ez a függvény a megfelelő pontban:

.

Vagyis működnie kell vektor ábrázolása koordinátatengelyek egységvektoraival, amelyben a tengelyének megfelelő parciális deriváltot megszorozzuk az egyes egységekkel.

Gradiens funkciókat– olyan vektormennyiség, amelynek meghatározása a függvény parciális deriváltjainak meghatározásával függ össze. A gradiens iránya jelzi a függvény leggyorsabb növekedési útját a skalármező egyik pontjától a másikig.

Utasítás

1. Egy függvény gradiensének problémájának megoldására differenciálszámítási módszereket alkalmaznak, nevezetesen három változóra vonatkozóan elsőrendű parciális deriváltokat keresnek. Feltételezzük, hogy maga a függvény és valamennyi parciális deriváltja rendelkezik a folytonosság tulajdonságával a függvény definíciós tartományában.

2. A gradiens egy vektor, amelynek iránya az F függvény leggyorsabb növekedésének irányát jelzi. Ehhez a grafikonon kiválasztunk két M0 és M1 pontot, amelyek a vektor végei. A gradiens nagysága megegyezik a függvény növekedési sebességével az M0 pontból az M1 pontba.

3. A függvény ennek a vektornak minden pontjában differenciálható, ezért a vektor koordinátatengelyekre vonatkozó vetületei annak valamennyi parciális deriváltja. Ekkor a gradiens képlete így néz ki: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, ahol i, j, k az egységvektor koordinátái . Más szóval, egy függvény gradiense egy olyan vektor, amelynek koordinátái a parciális deriváltjai grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Példa 1. Legyen adott az F = sin(x z?)/y függvény. A gradiensét a (?/6, 1/4, 1) pontban kell érzékelni.

5. Megoldás: Határozzuk meg az egyes változókra vonatkozó parciális deriváltokat: F'_х = 1/y сos(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Helyettesítsd be a pont híres koordinátaértékeit: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. Alkalmazza a függvény gradiens képletét:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. 2. példa. Keresse meg az F = y arсtg (z/x) függvény gradiensének koordinátáit az (1, 2, 1) pontban!

9. Megoldás.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x (arсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

A skaláris mező gradiens egy vektormennyiség. Ennek megtalálásához tehát meg kell határozni a megfelelő vektor összes komponensét a skalármező felosztásának ismerete alapján.

Utasítás

1. Olvassa el egy felsőbb matematikai tankönyvben, hogy mi a skalármező gradiense. Mint tudják, ennek a vektormennyiségnek van egy iránya, amelyre jellemző maximális sebesség a skalárfüggvény lecsengése. Ennek a vektormennyiségnek az értelmezését indokolja a komponenseinek meghatározására szolgáló kifejezés.

2. Ne feledje, hogy bármely vektort összetevőinek nagysága határozza meg. Egy vektor komponensei valójában ennek a vektornak a vetületei egyik vagy másik koordinátatengelyre. Így ha figyelembe vesszük háromdimenziós tér, akkor a vektornak három összetevőből kell állnia.

3. Írja le, hogyan határozzák meg egy adott mező gradiensének számító vektor összetevőit! Egy ilyen vektor összes koordinátája egyenlő a skaláris potenciál deriváltjával ahhoz a változóhoz képest, amelynek koordinátáját számítjuk. Azaz, ha ki kell számítani a mező gradiensvektor „x” komponensét, akkor meg kell különböztetni a skalárfüggvényt az „x” változóhoz képest. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a származéknak részlegesnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a differenciálás során az abban részt nem vevő többi változót állandónak kell tekinteni.

4. Írjon egy kifejezést a skaláris mezőre! Mint ismeretes, ez a kifejezés csak több változó skalárfüggvényét jelenti, amelyek egyben skaláris mennyiségek is. A skalárfüggvény változóinak számát a tér mérete korlátozza.

5. Differenciáld a skalárfüggvényt az egyes változókra vonatkozóan. Ennek eredményeként három új funkciót kap. Írjon be tetszőleges függvényt a skalármező gradiensvektor kifejezésébe. A kapott függvények mindegyike tulajdonképpen egy adott koordináta egységvektorának indikátora. Így a végső gradiensvektornak polinomnak kell kinéznie, amelynek kitevői a függvény deriváltjai formájában vannak.

A gradiens ábrázolással kapcsolatos kérdések mérlegelésekor a függvényeket általában skaláris mezőknek tekintjük. Ezért szükséges a megfelelő jelölés bevezetése.

Szükséged lesz

• - bumm;
• - toll.

Utasítás

1. Adjuk meg a függvényt három u=f(x, y, z) argumentummal. Egy függvény parciális deriváltja, például x-hez képest, úgy van definiálva, mint az argumentum deriváltja, amelyet a fennmaradó argumentumok rögzítésével kapunk. Hasonló a többi érvhez is. A parciális derivált jelölése a következő formában van írva: df/dx = u’x ...

2. A teljes differenciál egyenlő lesz a du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. A parciális deriváltok a koordinátatengelyek iránya szerinti deriváltakként értelmezhetők. Következésképpen felmerül a kérdés, hogy meg kell-e találni a származékot a mögötte lévő irányban adott vektor s az M(x, y, z) pontban (ne felejtsük el, hogy s irányát az s^o egységvektor adja meg). Ebben az esetben az argumentumok vektor-differenciálja (dx, dy, dz) = (дscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. A kilátást nézve teljes differenciálmű du, arra a következtetésre juthatunk, hogy az s irányú derivált az M pontban egyenlő: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ ((дf/дy)|M) сos (béta) +((df/dz)|M) cos(gamma).Ha s= s(sx,sy,sz), akkor az irány koszinuszai (cos(alpha), cos(béta), cos(gamma)) kiszámítják (lásd 1a. ábra).

4. Az irányderivált definíciója M pontot változónak tekintve átírható skaláris szorzat formájában: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) , cos(béta), cos (gamma)))=(grad u, s^o). Ez a kifejezés objektív lesz skalármező esetén. Ha egy függvény könnyen értelmezhető, akkor a gradf olyan vektor, amelynek koordinátái egybeesnek az f(x, y, z) parciális deriváltokkal. gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Itt (i, j, k) a koordinátatengelyek egységvektorai egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben.

5. Ha a Hamilton Nabla differenciálvektor operátort használjuk, akkor a gradf felírható ennek az operátorvektornak az f skalárral való szorzataként (lásd 1b. ábra). A gradf és az irányított derivált kapcsolata szempontjából a (gradf, s^o)=0 egyenlőség elfogadható, ha ezek a vektorok ortogonálisak. Következésképpen a gradf-et gyakran a skalármező leggyorsabb metamorfózisának irányaként határozzák meg. A differenciális műveletek szempontjából pedig (a gradf az egyik) a gradf tulajdonságai pontosan megismétlik a differenciáló függvények tulajdonságait. Különösen, ha f=uv, akkor gradf=(vgradu+u gradv).

Videó a témáról

Gradiens Ez egy olyan eszköz, amely a grafikus szerkesztőkben kitölti a sziluettet az egyik színről a másikra való sima átmenettel. Gradiens sziluettet adhat a hangerőnek, imitálhatja a világítást, egy tárgy felületén megcsillanó fényt, vagy egy fénykép hátterében naplementét. Ezt az eszközt széles körben használják, ezért fényképek feldolgozásához vagy illusztrációk készítéséhez nagyon fontos megtanulni a használatát.

Szükséged lesz

• Számítógép, grafikus szerkesztő Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net vagy más.

Utasítás

1. Nyisson meg egy képet a programban, vagy készítsen egy újat. Készítsen sziluettet, vagy válassza ki a kívánt területet a képen.

2. Kapcsolja be a gradiens eszközt a grafikus szerkesztő eszköztárán. Vigye az egérmutatót arra a pontra a kiválasztott területen vagy sziluetten belül, ahol a színátmenet 1. színe kezdődik. Kattintson és tartsa lenyomva a bal egérgombot. Vigye a kurzort arra a pontra, ahol a színátmenetet a végső színre szeretné váltani. Engedje el a bal egérgombot. A kiválasztott sziluettet színátmenetes kitöltés tölti ki.

3. Gradiens A kitöltés egy bizonyos pontján beállíthatja az átlátszóságot, a színeket és ezek arányát. Ehhez nyissa meg a színátmenet szerkesztő ablakot. A Photoshop szerkesztőablakának megnyitásához kattintson a színátmenet példájára a Beállítások panelen.

4. A megnyíló ablak példák formájában jeleníti meg az elérhető színátmenet-kitöltési lehetőségeket. Az egyik lehetőség szerkesztéséhez jelölje ki azt egy egérkattintással.

5. Az ablak alján egy színátmenet példája jelenik meg széles skála formájában, amelyen a csúszkák találhatók. A csúszkák jelzik azokat a pontokat, ahol a színátmenetnek meg kellett volna határoznia a leválogatást, és a csúszkák közötti intervallumban a szín egyenletesen vált át az első pontban megadott színről a 2. pont színére.

6. A skála tetején található csúszkák állítják be a színátmenet átlátszóságát. Az átlátszóság megváltoztatásához kattintson a kívánt csúszkára. A skála alatt megjelenik egy mező, amelybe be kell írni szükséges végzettségátláthatóság százalékban.

7. A skála alján található csúszkák állítják be a színátmenet színeit. Az egyikre kattintva kiválaszthatja a kívánt színt.

8. Gradiens több átmeneti szín is lehet. Másik szín beállításához kattintson a skála alján lévő szabad helyre. Egy másik csúszka jelenik meg rajta. Adja meg a kívánt színt. A skála egy példát jelenít meg a gradiensre még egy ponttal. A csúszkákat az egér bal gombjával lenyomva mozgathatja a kívánt kombináció eléréséhez.

9. Gradiens Többféle típus létezik, amelyek formát adhatnak a lapos sziluetteknek. Például annak érdekében, hogy egy kör golyó alakját adja, sugárirányú gradienst használnak, a kúp alakjának megadásához pedig kúp alakú gradienst. Ahhoz, hogy a felület a domborúság illúzióját keltsük, használhatunk tükör színátmenetet, rombusz alakú színátmenettel pedig kiemeléseket hozhatunk létre.

Videó a témáról

Videó a témáról

1. definíció

Ha valamelyik tartomány két független változójának minden egyes $(x,y)$ értékpárjához egy bizonyos $z$ érték társul, akkor a $z$ két $(x,y) változó függvénye. $. Jelölés: $z=f(x,y)$.

Tekintsük a $z=f(x,y)$ függvényt, amely az $Oxy$ tér valamely régiójában van definiálva.

Ennélfogva,

3. definíció

Ha valamely tartomány három független változójának minden hármasához $(x,y,z)$ egy bizonyos $w$ érték társul, akkor $w$-t három változó függvényének mondjuk $(x, y,z)$ ezen a területen.

Kijelölés:$w=f(x,y,z)$.

Tekintsük a $w=f(x,y,z)$ függvényt, amely a $Oxyz$ tér valamely régiójában van definiálva.

Mert adott funkciót Definiáljunk egy vektort, amelyre a koordinátatengelyekre vonatkozó vetületek egy adott függvény parciális deriváltjainak értékei egy adott pontban $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)( \részleges y) $.

4. definíció

Egy adott $w=f(x,y,z)$ függvény gradiense egy $\overrightarrow(gradw)$ vektor a következő formában:

3. tétel

Legyen definiálva egy gradiens mező valamilyen skaláris mezőben $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k).\]

A $\frac(\partial w)(\partial s) $ derivált egy adott vektor irányában $\overrightarrow(s) $ egyenlő a $\overrightarrow(gradw) $ gradiensvektor adott vektorra való vetületével $\overrightarrow(s) $.

4. példa

Megoldás:

A gradiens kifejezését a képlet segítségével találjuk meg

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k).\]

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]

Ennélfogva,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

5. példa

Határozza meg egy adott függvény gradiensét!

a $M(1;2;1)$ pontban. Számítsa ki a $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Megoldás:

Az in gradiens kifejezése adott pont képlet alapján keresse meg

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k).\]

A részleges származékok a következő formájúak:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]

Származékok a $M(1;2)$ pontban:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Ennélfogva,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overright arrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]

Soroljunk fel néhányat gradiens tulajdonságai:

Egy adott függvény deriváltja egy adott pontban valamilyen $\overrightarrow(s) $ vektor irányában legmagasabb érték, ha ennek a vektornak a $\overrightarrow(s) $ iránya egybeesik a gradiens irányával. Ebben az esetben a deriváltnak ez a legnagyobb értéke egybeesik a gradiensvektor hosszával, azaz. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Adott függvény deriváltja egy olyan vektor irányában, amely merőleges a gradiens vektorra, azaz. $\overrightarrow(gradw) $ egyenlő 0-val. Mivel $\varphi =\frac(\pi )(2) $, akkor $\cos \varphi =0$; ezért $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Az iskolai matematika tantárgyból tudjuk, hogy a síkon lévő vektor irányított szakasz. Kezdésének és végének két koordinátája van. A vektorkoordináták kiszámítása úgy történik, hogy a kezdőkoordinátákat kivonjuk a végkoordinátákból.

A vektor fogalma kiterjeszthető n-dimenziós térre (két koordináta helyett n koordináta lesz).

Gradiens gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) a függvény parciális deriváltjainak vektora egy pontban, azaz. vektor koordinátákkal.

Bizonyítható, hogy egy függvény gradiense egy ponton a függvény szintjének leggyorsabb növekedési irányát jellemzi.

Például a z = 2x 1 + x 2 függvénynél (lásd az 5.8. ábrát) a gradiens bármely pontban koordinátákkal rendelkezik (2; 1). Különféle módon megszerkesztheti egy síkon, bármely pontot a vektor kezdetének tekintve. Például összekapcsolhatja a (0; 0) pontot a (2; 1) ponttal, vagy az (1; 0) pontot a (3; 1) ponttal, vagy a (0; 3) pontot a (2; 4) ponttal, vagy így tovább..P. (Lásd 5.8. ábra). Az így megszerkesztett vektorok koordinátái (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Az 5.8 ábrán jól látható, hogy a függvény szintje a gradiens irányában növekszik, mivel a megszerkesztett szintvonalak a 4 > 3 > 2 szintértékeknek felelnek meg.

5.8. ábra - A z= 2x 1 + x 2 függvény gradiense

Tekintsünk egy másik példát - a z = 1/(x 1 x 2) függvényt. Ennek a függvénynek a gradiense már nem lesz mindig ugyanaz a különböző pontokban, mivel koordinátáit a (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2) képletek határozzák meg.

Az 5.9. ábra a 2. és 10. szintek z = 1/(x 1 x 2) függvényszintvonalait mutatja (az 1/(x 1 x 2) = 2 egyenest szaggatott vonal jelzi, az egyenest pedig 1/( x 1 x 2) = 10 folyamatos vonal).

5.9. ábra - A z= 1/(x 1 x 2) függvény gradiensei különböző pontokban

Vegyük például a pontot (0,5; 1), és számítsuk ki a gradienst ennél a pontnál: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Jegyezzük meg, hogy a (0,5; 1) pont az 1/(x 1 x 2) = 2 szintvonalon fekszik, mert z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. A vektor megrajzolásához ( -4; -2) az 5.9. ábrán kösd össze a (0,5; 1) pontot a (-3,5; -1) ponttal, mert (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Vegyünk egy másik pontot ugyanazon a szintvonalon, például az (1; 0,5) pontot (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Számítsuk ki a gradienst ezen a ponton (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Az 5.9. ábra ábrázolásához az (1; 0,5) pontot összekapcsoljuk a (-1; -3,5) ponttal, mert (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Vegyünk egy másik pontot ugyanazon a szintvonalon, de csak most egy nem pozitív koordinátanegyedben. Például a (-0,5; -1) pont (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). A gradiens ezen a ponton egyenlő lesz: (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Ábrán ábrázoljuk a (-0,5; -1) pontot a (3,5; 1) ponttal, mert (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Megjegyzendő, hogy mindhárom vizsgált esetben a gradiens a függvényszint növekedési irányát mutatja (a szintvonal felé 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Bizonyítható, hogy a gradiens mindig merőleges az adott ponton áthaladó szintvonalra (szintfelületre).

Több változó függvényének extrémája

Határozzuk meg a fogalmat extrémum sok változó függvényére.

Egy sok változóból álló f(X) függvénynek az X (0) pontja van maximum (minimum), ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy ebből a környékből minden X pontra teljesülnek az f(X)f(X (0)) () egyenlőtlenségek.

Ha ezeket az egyenlőtlenségeket szigorúan kielégítjük, akkor a szélsőséget nevezzük erős, és ha nem, akkor gyenge.

Figyeljük meg, hogy az így definiált szélsőség az helyi karakter, mivel ezek az egyenlőtlenségek csak a szélsőpont egy bizonyos környékére teljesülnek.

A z=f(x 1, . . ., x n) differenciálható függvény lokális szélsőértékének szükséges feltétele egy pontban, hogy ebben a pontban minden elsőrendű parciális derivált nullával egyenlő:
.

Azokat a pontokat, ahol ezek az egyenlőségek fennállnak, nevezzük helyhez kötött.

Más módon a szélsőséghez szükséges feltétel a következőképpen fogalmazható meg: a szélsőponton a gradiens nulla. Egy általánosabb állítás is bebizonyítható: a szélsőponton a függvény deriváltjai minden irányban eltűnnek.

A helyhez kötött pontokat további kutatásnak kell alávetni annak megállapítására, hogy teljesülnek-e a lokális extrémum létezésének elegendő feltételei. Ehhez határozza meg a másodrendű differenciál előjelét. Ha bármely , amely egyidejűleg nem egyenlő nullával, mindig negatív (pozitív), akkor a függvénynek van maximuma (minimum). Ha nem csak nulla lépésekkel tud nullára menni, akkor az extrémum kérdése nyitva marad. Ha pozitív és negatív értékeket is felvehet, akkor stacionárius pontban nincs szélsőérték.

Általános esetben a differenciál előjelének meghatározása meglehetősen összetett probléma, amellyel itt nem foglalkozunk. Két változó függvényére bebizonyítható, hogy ha egy stacionárius pontban
, akkor az extrémum jelen van. Ebben az esetben a második differenciál előjele egybeesik az előjellel
, azaz Ha
, akkor ez a maximum, és ha
, akkor ez a minimum. Ha
, akkor ezen a ponton nincs extrémum, és ha
, akkor az extrémum kérdése nyitva marad.

1. példa. Keresse meg a függvény szélsőértékét
.

Keressünk logaritmikus differenciálási módszerrel parciális deriváltokat.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Hasonlóképpen
.

Keressünk stacionárius pontokat az egyenletrendszerből:

Így négy stacionárius pontot találtunk (1; 1), (1; -1), (-1; 1) és (-1; -1).

Keressük a másodrendű parciális deriváltokat:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2 ln (1 + x 2)

Hasonlóképpen
;
.

Mert
, kifejezés jele
csak attól függ
. Figyeljük meg, hogy mindkét deriváltban a nevező mindig pozitív, így csak a számláló előjelét vehetjük figyelembe, vagy akár az x(x 2 – 3) és y(y 2 – 3) kifejezések előjelét is. Határozzuk meg minden kritikus pontban, és ellenőrizzük, hogy teljesül-e az extrémum elégséges feltétele.

Az (1; 1) pontra 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух negatív számok
> 0, és
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Az (1; -1) pontra azt kapjuk, hogy 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Mert ezeknek a számoknak a szorzata
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

A (-1; -1) pontra azt kapjuk, hogy (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. két pozitív szám szorzata
> 0, és
> 0, a (-1; -1) pontban található a minimum. Ez egyenlő 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

megtalálja globális A maximum vagy minimum (a függvény legnagyobb vagy legkisebb értéke) valamivel bonyolultabb, mint egy lokális szélsőség, mivel ezek az értékek nem csak stacionárius pontokon érhetők el, hanem a definíciós tartomány határán is. Nem mindig könnyű tanulmányozni egy függvény viselkedését ennek a régiónak a határán.