Logaritmikus egyenletek teszt. Logaritmikus egyenletek

1/22

A prezentáció leírása külön diánként:

1. dia

Tudományos kézikönyv az algebráról Témakör: „Logaritmikus és exponenciális egyenletekés egyenlőtlenségek" Teljesítette: Manuilova L.N. - matematika tanár, MBOU 76. számú középiskola, Izhevsk, Udmurtia

2. dia

Tartalom: 1. fejezet 1.1. A logaritmus fogalma 1.2. A logaritmus tulajdonságai 1.3. Logaritmikus egyenletek A. Elméleti rész B. Példák 1.4. Logaritmikus egyenlőtlenségek A. Elméleti rész B. Példák 2. fejezet 2.1. Egy pozitív szám hatványa 2,2. Exponenciális függvény 2.3. Exponenciális egyenletek A. Elméleti rész B. Példák 2.4. Exponenciális egyenlőtlenségek A. Elméleti rész B. Példák 3. fejezet 3.1. Teszt a „Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek” témakörben I. komplexitási szint II komplexitási szint III bonyolultsági szint 3.2. Teszt az „Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek” témában I. komplexitási szint II komplexitási szint III.

3. dia

1.1 A logaritmus fogalma y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) olyan n szám, amelyben b = an Egy pozitív b szám logaritmusa a bázishoz (a > 0,a ≠ 1) a következőképpen jelölhető: n = loga b A logaritmus definíciójából nyilvánvalóan ebből következik, hogy ha a > 0, a ≠ 1, b > 0: a loga b = b

4. dia

y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Az y = loga x függvényt logaritmikus függvénynek nevezzük. Az y = loga x függvény tulajdonságai a > 0 esetén: Folyamatos és növekvő a (0;+∞) intervallumon; Ha x→+∞, akkor y→+∞; ha x→0, akkor y→ -∞. Mivel loga1=0, akkor az 1. tulajdonságból következik: ha x > 1, akkor y > 0; ha 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, majd y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

5. dia

Legyenek a, M és N pozitív számok, ahol a ≠ 1, és k valós szám. Ekkor igazak az egyenlőségek: 1. loga (M N) = loga M + loga N - pozitív számok szorzatának logaritmusa egyenlő az összeggel ezeknek a számoknak a logaritmusa. 2. loga M = loga M – loga N - Az N pozitív számok hányadosának logaritmusa megegyezik az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel. 3. loga Mk = k · loga M - Egy pozitív szám hatványának logaritmusa egyenlő ennek a számnak a kitevőjének és logaritmusának szorzatával. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Képlet a logaritmusok egyik logb a logb a bázisból a másikba való konvertálására. Egyedi esetek: 1. log10 b = log b - A b pozitív szám 10-es bázishoz viszonyított logaritmusa ún. decimális logaritmus számok b. 2. loge b = ln b - A b pozitív szám e bázishoz viszonyított logaritmusa ún. természetes logaritmus számok b 1.2 A logaritmusok tulajdonságai

6. sz. dia

1. Legyen a egy adott pozitív szám, amely nem egyenlő 1-gyel, b egy adott valós szám. Ekkor a loga x = b egyenletet a legegyszerűbb logaritmikus egyenletnek nevezzük. Például az a) log3 x = 3 egyenletek; (1) b) log⅓ x = -2; (2) c) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) a legegyszerűbb logaritmikus egyenletek. A logaritmus definíciója szerint, ha egy x0 szám kielégíti a loga x = b numerikus egyenlőséget, akkor az x0 szám ab, és ez az x0 = ab szám az egyetlen. Így bármely b valós szám esetén a loga x = b egyenletnek egyedi gyöke van x0 = ab. 2. Egyenletek, amelyek az ismeretlen helyettesítése után a legegyszerűbb logaritmikus egyenletté alakulnak: a) log5 (4x – 3) = 2; (4) b) 2 + 1 = -1; (5) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) 1.3 Egyenletek (Elméleti rész)

7. dia

1.3 Példák log3 x = 3 Írjuk át az egyenletet a következő alakban: log3 x = log3 27 Ekkor nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek egyetlen gyöke van x0 = 27. Válasz: 27. b) log1/3 x = -2 Ez az egyenlet egyetlen gyöke van x0 = ( ⅓)-2 =9 Válasz: 9. c) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálva átírjuk a egyenlet: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Mivel a zárójelben lévő összeg minden tagja pozitív, az összeg nem egyenlő nullával. Ezért az (1) egyenlet és így a (2) egyenlet ekvivalens a log25 x = 0 egyenlettel, amelynek egyetlen gyöke x0 = 1. Ezért az (1) egyenletnek egyetlen gyöke van x0 = 1. Válasz: 1 . a, b – a legegyszerűbb egyenletek; c egy egyenlet, amely transzformációk után a legegyszerűbb log-má alakul. az egyenlet

8. dia

1.3 Példák a) log5 (4x – 3) = 2 (1) Az új ismert t = 4x – 3 bevezetésével átírjuk az egyenletet a következő alakban: log5 t = 2. Ennek az egyenletnek egyetlen gyöke t1 = 52 =25. Az (1) egyenlet gyökerének megtalálásához meg kell oldani a következő egyenletet: 4x – 3 = 25. (2) Egyetlen gyöke van x1 =7. Ezért az (1) egyenletnek is egyetlen gyöke van x1=7. Válasz: 7. b) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0,01 log(3x + 1) Új ismeretlen t = log (3x + 1) bevezetése és figyelembevétele, hogy a log 0,01 = -2, az (1) egyenletet átírjuk a következő alakba: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t A (2) racionális egyenlet megoldása után azt találjuk, hogy két gyöke van: t1 = -2 és t2 = 1. Az (1) egyenlet összes gyökerének megtalálásához össze kell vonni a két egyenlet gyökét: log(3x + 1) = -2 és log(3x + 1) = 1. Az első egyenlet ekvivalens az egyenlettel 3x + 1 = 10-2, amelynek egyetlen gyöke van x1 = -0,33. A második egyenlet ekvivalens a 3x + 1 = 10 egyenlettel, amelynek szintén egyetlen gyöke van x2 = 3. Válasz: -0,33 ; 3. a, b – az ismeretlen helyettesítésével a legegyszerűbbre redukált egyenletek

9. dia

1.4 Egyenlőtlenségek (Elméleti rész) Legyen a egy adott pozitív szám, amely nem egyenlő 1-gyel, b egy adott valós szám. Ekkor az egyenlőtlenségek: logа x > b (1) logа x< b (2) являются простейшими logaritmikus egyenlőtlenségek. Az (1) és (2) egyenlőtlenségek a következőképpen írhatók át: loga x > loga x0 (3) loga x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, akkor az y = loga x függvény a teljes definíciós tartományában növekszik, azaz. intervallumon (0;+∞). Ezért minden x > x0 számra igaz numerikus egyenlőtlenség loga x > loga x0 , és bármely x számra a 0 intervallumból< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 és bármely b valós szám, a (3) egyenlőtlenség összes megoldásának halmaza az (x0 ;+ ∞) intervallum, és a (4) egyenlőtlenség összes megoldásának halmaza a (0; x0) intervallum. Ha 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 a loga x numerikus egyenlőtlenség igaz< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >loga x0 . Ezenkívül a loga x = loga x0 egyenlőség csak x = x0 esetén érvényes. Így 0-nál< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

10. dia

1.4 Egyenlőtlenségek (Elméleti rész) Be Koordináta sík xOy tekintsük az y = loga x és y = b függvény grafikonjait. Az y = b egyenes az y = loga x függvény grafikonját egyetlen x0 = ab pontban metszi. Ha a > 1, akkor minden x > x0 esetén az y = loga x függvény grafikonjának megfelelő pontja az y = b egyenes felett helyezkedik el, azaz. minden x > x0 esetén a megfelelő y = ax ordináta nagyobb, mint az ax0 ordináta, és minden x esetén a 0 intervallumból< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 az y = loga x függvény grafikonjának megfelelő pontja az y = b egyenes alatt van, és az intervallumok minden x-ére 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = loga x (0< a < 1) х0

11. dia

1.4 Példák Oldjuk meg a log1/3 x > -2 egyenlőtlenséget. (1) Mivel -2 = log⅓ 9, akkor az (1) egyenlőtlenség átírható log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Mivel ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Mivel ½ = log4 2, akkor a (3) egyenlőtlenség átírható log4 x > log4 2-re (4) Mivel 4 > 1, akkor az y = log4 x függvény növekszik. Ezért a (4) egyenlőtlenség, tehát a (3) egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a (2;+∞) intervallum. Válasz: (2;+∞). (lásd: 1. ábra) x y 1 2 3 4 1 -1 0 1. ábra y = ½ y = log4 x

12. dia

1.4 Példák Oldjuk meg a log3 x – 3log9 x – log81 x > 1.5 egyenlőtlenséget. (5) Mivel log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), akkor az (5) egyenlőtlenség átírható a következőre: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 vagy log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, akkor az y = log3 x függvény növekszik. Ezért a (6) és így az (5) egyenlőtlenség összes megoldásának halmaza a 0 intervallum< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

13. dia

2.1 Pozitív szám hatványa c hatványa racionális mutató Legyen a pozitív szám, p/q pedig racionális szám(q ≥ 2). Definíció szerint a p/q hatványhoz tartozó a szám a p hatványhoz tartozó q hatvány számtani gyöke, azaz. a p/q = q√ap . TÉTEL. Legyen a pozitív szám, p egész szám, k és q egész számok, q ≥ 2, k ≥ 2. Ekkor a következő egyenlőségek igazak: a) ap/q = (a1/p)p ; b) ap/q = a pk/qk ; c) ap = a pq/q; A racionális kitevővel rendelkező fok tulajdonságai 1. TÉTEL. A pozitív a szám bármely r racionális kitevőjű fokhoz pozitív: ar > 0 TÉTEL 2. Legyen a pozitív szám, r1, r2 és r pedig racionális számok. Ekkor a következő tulajdonságok igazak: 1. Ha hatványokat szorozunk azonos pozitív szám racionális kitevőjével, a kitevők összeadják: аr1 ∙ аr2 = аr1 + r2. 2. Ha a hatványokat azonos pozitív szám racionális kitevőjével osztjuk, a kitevőket kivonjuk: аr1: аr2 = аr1 – r2. 3. Ha pozitív szám racionális kitevőjével hatványt emelünk be racionális fok a kitevőket megszorozzuk: (a r1) r2 = a r1∙ r2. 3. TÉTEL. Legyen a és b pozitív számok, r pedig racionális szám. Ekkor a racionális kitevővel rendelkező fok következő tulajdonságai érvényesek: A pozitív számok szorzatának racionális kitevőjével rendelkező fok egyenlő a tényezők azonos hatványainak szorzatával: (ab)r = ar ∙ br . A pozitív számok hányadosának racionális kitevőjű hatványa egyenlő az osztó és osztó azonos hatványainak hányadosával: (a / b)r = ar / br. 4. TÉTEL. Legyen az a > 1, és r racionális szám. Ekkor ar > 1 r > 0 0 esetén< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, és az r1 és r2 racionális számok kielégítik az r1 egyenlőtlenséget< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

14. dia

2.2 Exponenciális függvény Tekintsük az y = a (1) függvényt, ahol a > 0 és a ≠ 0, a racionális számok halmazán. Minden r racionális számhoz definiálunk egy ar számot. Jelenleg így van definiálva az (1) függvény a racionális számok halmazán. Ennek a függvénynek a grafikonja az x0y koordinátarendszerben pontok halmaza (x; ax), ahol x tetszőleges racionális szám. A > 1 esetén ez a grafikon vázlatosan látható az (1) ábrán, és 0 esetén< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют exponenciális függvény alappal a.

15. dia

2.3 Exponenciális egyenletek (Elméleti rész) 1. Legyen a egy adott pozitív szám, amely nem egyenlő 1-gyel, b egy adott valós szám. Ekkor az ax = b (1) egyenletet a legegyszerűbb exponenciális egyenletnek nevezzük. Például a 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 egyenletek a legegyszerűbb exponenciális egyenletek. Az ismeretlen x-szel rendelkező egyenlet gyöke (vagy megoldása) az x0 szám, ha x helyett behelyettesítjük az egyenletbe, akkor a helyes numerikus egyenlőséget kapjuk. Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy megmutatjuk, hogy nincsenek. Mivel ax0 > 0 minden olyan x0 valós számra, amelyre az ax0 = b numerikus egyenlőség igaz lenne, teljesül egyedülálló x0 = loga b. Így az (1) egyenletnek: b ≤ 0 esetén nincs gyöke; b > 0 esetén egyetlen gyöke van x0 = loga b. 2. Egyenletek, amelyek az ismeretlen helyettesítése után a legegyszerűbb exponenciális egyenletekké alakulnak.

16. dia

2.3 Példák Oldjuk meg az (1/2)x = 2 (2) egyenletet, mivel 2 > 1, ennek az egyenletnek egyetlen gyöke van x0 = log½ 2 = -1. Válasz: -1. Oldjuk meg a 3x = 5 (3) egyenletet, mivel 5 > 0, ennek az egyenletnek egyetlen gyöke van x0 = log3 5. Válasz: log3 5. Oldjuk meg a 25x = -25 egyenletet, mivel -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 ezt az egyenletet gyakran úgy írják le, hogy ax = aα, ahol α = loga b. Ekkor nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek, tehát az (1) egyenletnek egyetlen gyöke az α szám. Mivel a (2) egyenlet felírható (1/2)x = (1/2)-1 formában, ezért az egyetlen gyöke x0 = -1. Mivel a (3) egyenlet felírható a következőképpen: 3x = 3log 35, az egyetlen gyöke x0 = log3 5.

17. dia

2.3 Példák Most nézzük meg azokat az egyenleteket, amelyek egyszerű transzformációk után egyszerű exponenciális egyenletekké alakulnak. Oldjuk meg az 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) egyenletet, mivel 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x, így a (4) egyenlet átírható 5x-re ( 25 - 2 – 15) = 200 vagy 5x = 52 formában (5) Nyilvánvaló, hogy az (5) egyenletnek, így a (4) egyenletnek egyetlen gyöke van x0 = 2. Válasz: 2. Oldja meg a 4 3x - 9 2x egyenletet = 0 (6) Mivel 2x ≠ 0 bármely valós számra, majd a (6) egyenletet elosztva 2x-el, megkapjuk a 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) egyenletet, amely megfelel a (6 ) egyenletnek. A (7) egyenlet átírható a következőre: (3/2)x = (3/2)2. (8) Mivel a (8) egyenletnek egyetlen gyöke van x0 = 2, így a (6) egyenletnek egyetlen gyöke van x0 = 2. Válasz: 2.

18. dia

2.3 Példák Oldjuk meg a 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0 egyenletet. (9) A (9) egyenletet 34x2 – 8x + 3 = 1 alakban átírva bevezetünk egy új ismeretlent t = 4x2 – 8x + 3. Ekkor a (9) egyenlet átírható 3t = 1 alakban. (10) ) Mivel a (10 ) egyenletnek egyetlen gyöke t1 = 0, ezért a (9) egyenlet gyökereinek megtalálásához meg kell oldani a 4x2 – 8x + 3 = 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek két gyöke van x1 = 1 /2, x2 = 3/2, tehát a (9) egyenletnek ugyanazok a gyökerei. Válasz: 1/2 ; 3/2. Most fontolja meg olyan egyenletek megoldását, amelyek egy új ismeretlen t bevezetése után másodfokú vagy racionális egyenletté alakulnak át ismeretlen t-vel. Oldjuk meg a 4x - 3 2x + 2 = 0 egyenletet. (11) Mivel 4x = (2x)2, ezért a (11) egyenlet átírható a következőre: (2x)2 - 3 2x + 2 = 0. Egy új ismeretlen bevezetésével t = 2x, akkor kapunk egy t2 - 3t + 2 = 0 másodfokú egyenletet, amelynek két gyöke t1 = 1, t2 = 2. Ezért a (11) egyenlet összes gyökerének megtalálásához össze kell vonnunk a a két egyenlet 2x = 1 és 2x = 2 Miután megoldottuk ezeket a legegyszerűbb exponenciális egyenleteket, azt találjuk, hogy a (11) egyenlet minden gyöke x1 = 0; x2 = 1. Válasz: 0; 1 .

19. dia

2.4 Exponenciális egyenlőtlenségek (Elméleti rész) Legyen a egy adott pozitív szám, amely nem egyenlő 1-gyel, b egy adott valós szám. Ekkor az ax > b (1) és ax egyenlőtlenségek< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 bármely x0 valós számra, akkor b ≤ 0 esetén az a x0 > b egyenlőtlenség igaz bármely x0 valós számra, de nincs egyetlen olyan x0 valós szám sem, amelyre az a x0 numerikus egyenlőtlenség igaz lenne.< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, akkor az (1) és (2) egyenlőtlenség átírható ax > ax0 (1) és ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Mivel ilyenre az y = ax függvény növekszik, akkor tetszőleges x > > ax0 és tetszőleges x > x0 számra igaz az ax numerikus egyenlőtlenség< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

20. dia

2.4 Exponenciális egyenlőtlenségek (Elméleti rész) Így b > 0 és a > 1 esetén a (3) egyenlőtlenség összes megoldásának halmaza az (x0 ;+∞) intervallum, és a (4) egyenlőtlenség összes megoldásának halmaza az intervallum (-∞; x0) , ahol x0 = loga b. Legyen most 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 a numerikus egyenlőtlenség ax igaz< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 és 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b és nincs olyan x, amelyre az ax egyenlőtlenség< b . При b >0 egyenes y = b az y = aх függvény grafikonját egyetlen x0 = loga b pontban metszi. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

22. dia

2.4 Példák Oldja meg az egyenlőtlenséget 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, akkor az (1) egyenlőtlenség 2x-re írható át< 23. (2) Так как 2 >1, akkor az y = 2x függvény növekszik. Ezért a (2) és így az (1) egyenlőtlenség megoldásai mind x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, akkor ez a (3) egyenlőtlenség átírható (1/3) x-re< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >log⅓5. Válasz: (log⅓ 5; +∞). Tekintsünk egy egyenlőtlenséget, amely az ismeretlen helyettesítése után a legegyszerűbbvé válik exponenciális egyenlőtlenség. Oldjuk meg az 5 3x2 - 2x – 6 egyenlőtlenséget< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, akkor ennek az egyenlőtlenségnek minden megoldása t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив másodfokú egyenlőtlenség(6) minden megoldását megtaláljuk: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módjaik Figyelemkoncentráció: A figyelem koncentrációja egyenlő N-vel. N = (helyes válaszok száma) x 0,125 x 100%. Írd le különleges eset képletek egy másik bázis logaritmusára való átmenethez Írd fel a másik bázis logaritmusára való átmenet képletét Mivel egyenlő egy szám és egy bázis hatványának logaritmusa? Mi az alap logaritmusa? Mi a logaritmusa egy szám hatványának? Mi a hányados logaritmusa? Mi a szorzat logaritmusa? Fogalmazza meg a logaritmus definícióját Válasz kérdés!

Mérlegeljük kölcsönös megegyezés az y = log a x függvény (a > 0, a ≠ 1) és az y = b egyenes grafikonja. y = log a x (a>1) y x 0 y = log a x (0

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik KÖVETKEZTETÉS: Az y = log a x (a > 0, a ≠ 1) függvény és az y = b egyenes grafikonja egyetlen pontban metszi egymást, azaz. a log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 egyenletnek egyedi megoldása van x 0 = a b.

DEFINÍCIÓ: A log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 egyenletet a legegyszerűbb logaritmikus egyenletnek nevezzük. Logaritmikus egyenletek, típusai és megoldási módjai Példa:

A logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módjai. DEFINÍCIÓ: A logaritmikus egyenletek azok, amelyek egy ismeretlent tartalmaznak a logaritmus előjele alatt vagy a logaritmus alapján (vagy mindkettő). Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módjaik

A logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módjai. KIEGÉSZÍTÉS: A logaritmikus egyenletek megoldásánál figyelembe kell venni: terület elfogadható értékeket logaritmus: a logaritmus jele alatt csak pozitív mennyiségek jelenhetnek meg; a logaritmusok alapján csak az egységtől eltérő pozitív mennyiségek vannak; a logaritmusok tulajdonságai; potencírozó akció. Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módjaik

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik Logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módszerei. 1) A legegyszerűbb logaritmikus egyenletek. 1. példa Válasz: Megoldás:

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik Logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módszerei. 2) Logaritmikus egyenletek, a legegyszerűbb logaritmikus egyenletekre redukálva. 1. példa Válasz: Megoldás:

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik Logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módszerei. 3) Logaritmikus egyenletek, redukálva -ra másodfokú egyenletek. 1. példa Válasz: Megoldás:

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik Logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módszerei. 3) Logaritmikus egyenletek másodfokú egyenletekre redukálva. 2. példa Válasz: Megoldás: Az x változó megengedhető értékeinek talált tartományában a logaritmus tulajdonságaival transzformáljuk az egyenletet. Az elfogadható értékek tartományát figyelembe véve a következőket kapjuk: 10; 100

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik Logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módszerei. 4) Logaritmikus egyenletek, redukálva -ra racionális egyenletek. 1. számú példa Válasz: Megoldás: Térjünk vissza az x változóhoz

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik Logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módszerei. 4) Logaritmikus egyenletek, racionális egyenletekre redukálva. 2. példa Válasz: Megoldás: Az x változó megengedett értékeinek talált tartományában transzformáljuk adott egyenletés azt kapjuk: Térjünk vissza az x változóhoz:

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik Logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módszerei. 5) Logaritmikus egyenletek változóval az alapban és a logaritmusjel alatt. 1. példa Válasz: Megoldás: Az x változó megengedett értékeinek talált tartományában átalakítjuk az egyenletet és megkapjuk: Figyelembe véve az x változó megengedett értékeinek tartományát, a következőt kapjuk:

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módszereik Logaritmikus egyenletek típusai és megoldási módszerei. 5) Logaritmikus egyenletek változóval az alapban és a logaritmusjel alatt. 2. példa Válasz: Megoldás: Az x változó megengedett értékeinek talált tartományában az egyenlet ekvivalens a halmazzal: Figyelembe véve az x változó megengedett értékeinek tartományát, a következőt kapjuk: 5; 6.

Logaritmikus egyenletek, típusaik és megoldási módjaik

biztosítsa a témával kapcsolatos anyagok ismétlését, általánosítását, rendszerezését;
megteremteni a megszerzett ismeretek és készségek ellenőrzésének és önellenőrzésének feltételeit;
elősegíti a technikák alkalmazásához szükséges készségek kialakulását: összehasonlítás, általánosítás, a legfontosabb kiemelése, ismeretek átadása egy új helyzetbe, matematikai szemlélet kialakítása;
feltételeket teremteni a tanulók kognitív érdeklődésének fejlesztéséhez;
a tanórán végzett munka minősége és eredménye, a matematikai tevékenység, a csoportmunka képessége és az általános műveltség iránti felelősség ápolása.

Tekintse át az elméleti anyagot. Különös figyelmet kell fordítani a logaritmikus függvény ODZ-ére.
Rendszerezze a logaritmikus egyenletek megoldási módszereit.
Tudásdiagnosztikát végezni.

Óratípus: az ismeretek általánosításának, rendszerezésének órája.

Az óra formátuma: workshop

Felszerelés: tankönyv, tananyagok, egyedi kártyákönálló munkához tudásrögzítő lapok, médiaprojektor.

Az órák alatt

1. Szervezési mozzanat

A tanulók tájékoztatást kapnak az óra témájáról és céljairól, és kiemelik a téma megismétlésének relevanciáját az egységes államvizsgára való felkészüléshez.

2. Házi feladat ellenőrzése

3. Korábbi ismeretek frissítése

A tanulók szóban dolgoznak a képernyőn bemutatott gyakorlatokon projektor segítségével.

Kiszámítja

1 lehetőség
2)
2. lehetőség
2)

3)

5)

4. A készségek és képességek kialakítása.

Csoportmunka, majd tesztelés.

1) Logaritmikus egyenletek megoldása a logaritmus meghatározásával.

Válasz:

Válasz: 256

2) Potenciálással megoldott egyenletek.

Először meg kell oldani a rendszer egyenletét, és a rendszer egyenlőtlensége alapján kiválasztják a gyököket.

Válasz: 3
Válasz: 3,5

Behelyettesítéssel megoldott egyenletek.

Válasz:

Ez az egyenlet ekvivalens az egyenlettel

Akkor legyen

Válasz:

Logaritmussal megoldott egyenletek.

.
= Szóval Válasz: 0,1; 10..
ODZ: x. Vegyük mindkét oldal logaritmusát 10-es alapra.
Ahol
Válasz: 1; 4.

Az alak egyenletei

Ez az egyenlet ekvivalens a for egyenlettel

.
A DZ-t a rendszer határozza meg

A DZ-t a rendszer határozza meg

Válasz:( (0;)

A logaritmusok különféle tulajdonságainak felhasználásával megoldott egyenletek.

A képletet alkalmazva azt kapjuk

Ha ezeket az x értékeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, azt látjuk, hogy ez az egyenlet gyökere, és 0,1 nem az egyenlet gyökere.

Válasz:

Azokat az egyenleteket, amelyek nehézséget okoztak a tanulóknak, az azokat teljesítő tanulók a táblán oldják meg.

5. Testnevelési perc

A kezüket „zárba” kulcsolták, kinyújtották maguk előtt, felemelték és jól nyújtóztak. Az orvosok azt mondják, hogy ebben a pillanatban felszabadul a „boldogság enzimje”.

6. Önálló munkavégzés

(Csúsztassa a képernyőt és kártyákat minden tanulónak). A tanulókat megkérjük, hogy értékeljék képességeiket, és válasszanak A, B vagy C feladatszintet.

A munka elvégzése után a tanulók beküldik azt tesztelésre. A válaszok és egy rövid megoldás megjelenik a képernyőn. A tanulókat arra ösztönzik, hogy ellenőrizzék és értékeljék munkájukat az önálló munkáért járó érdemjegy megadásával.

6. Házi feladat

Ismételje meg a P.6.2, 6.3. D.M. C – 21 No. 2 (b, c), No. 3 (d, e) 3. és 4. lehetőség.

7. Óra összefoglalója

Tehát ma logaritmikus egyenleteket oldottunk meg. Most pedig foglaljuk össze, milyen módszereket használtunk az egyenletek megoldására:
a logaritmus definícióját használva,

az alapvető logaritmikus azonosságot használva,

a potenciálás módszerével,

új változó bevezetése,

átmenet egy különböző bázisú egyenletről egy bázisra,

a logaritmus tulajdonságait felhasználva.

Pontozás a füzetben található „+” szám alapján, a táblán és a kártyákon lévő megoldásért. A tanulói teljesítmény meghatározása.

Leckénk a végéhez ért. Elértük a céljainkat?

Az idő észrevétlenül repül, ma tizedik osztályosok vagytok, holnap pedig már végzősök. Amikor vizsgára készülsz, soha ne gondolj arra, hogy nem fogsz megbirkózni a feladattal, hanem éppen ellenkezőleg, fejts magadnak gondolatban egy képet a sikerről, és akkor biztosan sikerül!

Irodalom:
Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V.. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 10-es fokozat. Tutorial for oktatási intézmények: alap- és profilszintek. – M., 2009

Potapov M.K., Shevkin A.V.. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. Didaktikai anyagok a 10. évfolyamhoz. – M., 2009.

Shepeleva Yu.V.. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. Tematikus és végső tesztek 10. osztály számára. – M., 2009.

Lysenko F.F.. Matematika egységes államvizsga-2009. Légió. – M., 2009.

Klovo A.G.. Matematika egységes államvizsga-2010 - M., 2010.

Erina T.M. Algebra. Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek - M, 2004.

A logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során használja a logaritmus tulajdonságait, valamint a logaritmikus függvény tulajdonságait

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Meghatározási tartomány: x > 0;

2) Tartomány: y R ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) A>1 esetén az y=log a x függvény növekszik, 0 esetén< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, azaz

a >1 és log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

A logaritmikus egyenletekről (egyenlőtlenségekről) a logaritmusjelet nem tartalmazó egyenletekre (egyenlőtlenségekre) való áttéréskor figyelembe kell venni az eredeti egyenlet (egyenlőtlenség) megengedett értékeinek tartományát (APV).

Feladatok és tesztek a "Logaritmikus egyenletek" témában

Logaritmikus egyenletek
Leckék: 4 Feladatok: 25 Teszt: 1
Exponenciális és logaritmikus egyenletrendszerek - Demonstratív és logaritmikus függvények 11. évfolyam
Leckék: 1 Feladatok: 15 Feladat: 1
§5.1. Logaritmikus egyenletek megoldása
Leckék: 1 Feladatok: 38
§7 Exponenciális és logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek - 5. szakasz Exponenciális és logaritmikus függvények, 10. fokozat
Leckék: 1 Feladatok: 17
Egyenletek ekvivalenciája - Egyenletek és egyenlőtlenségek 11. évfolyam
Leckék: 2 Feladatok: 9 Feladat: 1

A logaritmikus egyenletek megoldása során sok esetben szükség van egy szorzat, hányados vagy fok logaritmusának tulajdonságaira. Azokban az esetekben, amikor egy logaritmikus egyenletben különböző bázisú logaritmusok vannak, a használat meghatározott tulajdonságokat csak az egyenlő bázisú logaritmusokra való áttérés után lehetséges.

Ezenkívül a logaritmikus egyenlet megoldását a megengedett értékek tartományának (O.D.Z.) megtalálásával kell kezdeni. adott egyenlet, mert A megoldás során idegen gyökerek jelenhetnek meg. A megoldás befejezésekor ne felejtse el ellenőrizni, hogy a talált gyökerek O.D.Z.-hez tartoznak-e.

Megoldhat logaritmikus egyenleteket az O.D.Z. használata nélkül. Ebben az esetben a hitelesítés a megoldás kötelező eleme.

Példák.

Egyenletek megoldása:

a) log 3 (5x – 1) = 2.

Megoldás:

ODZ: 5x – 1 > 0; x > 1/5.
log 3 (5x–1) = 2,
log 3 (5x – 1) = log 3 3 2,
5x - 1 =9,
x = 2.