Egy y változó függőségét egy x változótól, amelyben minden x értéke y egyetlen értékének felel meg, függvénynek nevezzük. A jelöléshez használja az y=f(x) jelölést. Mindegyik függvénynek számos alapvető tulajdonsága van, például monotonitás, paritás, periodicitás és mások.

Nézze meg közelebbről a paritási tulajdonságot.

Az y=f(x) függvényt akkor is meghívjuk, ha teljesíti a következő két feltételt:

2. A függvény definíciós tartományába tartozó x pontban lévő függvény értékének meg kell egyeznie a függvény -x pontbeli értékével. Vagyis bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = f(-x).

Páros függvény grafikonja

Ha egy páros függvény grafikonját ábrázolja, az szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

Például az y=x^2 függvény páros. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=3-at. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Ezért f(x) = f(-x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban az y=x^2 függvény grafikonja látható.

Az ábrán látható, hogy a grafikon szimmetrikus az Oy tengelyre.

Egy páratlan függvény grafikonja

Az y=f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha teljesíti a következő két feltételt:

1. Egy adott függvény definíciós tartományának szimmetrikusnak kell lennie az O ponthoz képest. Vagyis ha valamelyik a pont a függvény definíciós tartományába tartozik, akkor a megfelelő -a pontnak is a definíció tartományába kell tartoznia. az adott függvényről.

2. Bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = -f(x).

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O ponthoz - a koordináták origójához. Például az y=x^3 függvény páratlan. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=2-t. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Ezért f(x) = -f(x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban az y=x^3 függvény grafikonja látható.

Az ábra jól mutatja ezt páratlan függvény y=x^3 szimmetrikus az origóra.

Egy függvényt párosnak (páratlannak) nevezünk, ha bármely és az egyenlőség esetén

.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre
.

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

6.2. példa. Vizsgálja meg, hogy egy függvény páros vagy páratlan

1)
; 2)
; 3)
.

Megoldás.

1) A függvény akkor van meghatározva, amikor
. meg fogjuk találni
.

Azok.
. Ez azt jelenti, hogy ez a függvény páros.

2) A függvény definiálása mikor

Azok.
. Így ez a függvény páratlan.

3) a függvény definiálva van, azaz. Mert

,
. Ezért a függvény nem páros és nem páratlan. Nevezzük az általános forma függvényének.

3. A monotonitás függvényének vizsgálata.

Funkció
Egy bizonyos intervallumon növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha ebben az intervallumban az argumentum minden nagyobb értéke a függvény nagyobb (kisebb) értékének felel meg.

Egy bizonyos intervallumon belül növekvő (csökkenő) függvényeket monotonnak nevezzük.

Ha a funkció
intervallumon differenciálható
és pozitív (negatív) származéka van
, majd a függvény
növekszik (csökken) ezen az intervallumon keresztül.

6.3. példa. Keresse meg a függvények monotonitási intervallumait

1)
; 3)
.

Megoldás.

1) Ez a függvény a teljes számegyenesen van definiálva. Keressük a származékot.

A derivált egyenlő nullával, ha
És
. A meghatározás tartománya a számtengely, pontokkal osztva
,
Időközönként. Határozzuk meg az egyes intervallumokban a derivált előjelét.

Az intervallumban
a derivált negatív, a függvény ezen az intervallumon csökken.

Az intervallumban
a derivált pozitív, ezért a függvény ezen az intervallumon keresztül növekszik.

2) Ezt a függvényt akkor határozzuk meg, ha
vagy

.

Minden intervallumban meghatározzuk a másodfokú trinom előjelét.

Így a függvény definíciós tartománya

Keressük a származékot
,
, Ha
, azaz
, De
. Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban
.

Az intervallumban
a derivált negatív, ezért a függvény az intervallumon csökken
. Az intervallumban
a derivált pozitív, a függvény növekszik az intervallumon keresztül
.

4. Az extrémum funkciójának tanulmányozása.

Pont
a függvény maximális (minimális) pontjának nevezzük
, ha van a pontnak ilyen környéke ez mindenkinek szól
ebből a szomszédból az egyenlőtlenség érvényesül

.

Egy függvény maximum és minimum pontját szélsőpontoknak nevezzük.

Ha a funkció
azon a ponton szélsősége van, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton nulla vagy nem létezik (a szélsőség létezésének szükséges feltétele).

Azokat a pontokat, ahol a derivált nulla vagy nem létezik, kritikusnak nevezzük.

5. Elegendő feltételek szélsőség megléte.

1. szabály Ha az átmenet során (balról jobbra) a kritikus ponton keresztül derivált
megváltoztatja a jelet „+”-ról „–”-ra, majd a pontra funkció
maximummal rendelkezik; ha „–”-tól „+”-ig, akkor a minimum; Ha
nem vált előjelet, akkor nincs véglet.

2. szabály Hadd a ponton
függvény első deriváltja
egyenlő nullával
, és a második derivált létezik, és különbözik a nullától. Ha
, Azt – maximum pont, ha
, Azt – a függvény minimális pontja.

6.4. példa. Fedezze fel a maximális és minimális funkciókat:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Megoldás.

1) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumon
.

Keressük a származékot
és oldja meg az egyenletet
, azaz
.Innen
– kritikus pontok.

Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban,
.

Pontokon való áthaladáskor
És
a derivált „–”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, ezért az 1. szabály szerint
– minimum pontok.

Amikor áthalad egy ponton
a derivált „+”-ról „–”-ra változtatja az előjelet, tehát
– maximum pont.

,
.

2) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumban
. Keressük a származékot
.

Az egyenlet megoldása után
, megtaláljuk
És
– kritikus pontok. Ha a nevező
, azaz
, akkor a származék nem létezik. Így,
– harmadik kritikus pont. Határozzuk meg a derivált előjelét intervallumokban.

Ezért a függvénynek minimuma van a ponton
, maximum pontban
És
.

3) Egy függvény definiált és folytonos, ha
, azaz nál nél
.

Keressük a származékot

.

Keressük a kritikus pontokat:

Pontok környékei
nem tartoznak a definíció tartományába, ezért nem szélsőségesek. Tehát vizsgáljuk meg a kritikus pontokat
És
.

4) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumon
. Használjuk a 2. szabályt. Keressük meg a deriváltot
.

Keressük a kritikus pontokat:

Keressük a második származékot
és határozzuk meg annak előjelét a pontokban

A pontokon
funkciónak van minimuma.

A pontokon
a függvénynek van maximuma.

2020 júliusában a NASA expedíciót indít a Marsra. Űrhajó elektronikus adathordozót juttat el a Marsra az expedíció összes regisztrált résztvevőjének nevével.

A résztvevők regisztrációja nyitott. Szerezze meg jegyét a Marsra ezen a linken.

Ha ez a bejegyzés megoldotta a problémát, vagy csak tetszett, oszd meg a linket barátaiddal a közösségi hálózatokon.

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan figyeli és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, LaTeX és ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és máris beágyazható matematikai képletek webhelye weboldalaira.

Újabb szilveszter... fagyos idő és hópelyhek az ablaküvegen... Mindez arra késztetett, hogy ismét írjak... fraktálokról, és arról, hogy mit tud róla Wolfram Alpha. Ebből az alkalomból van érdekes cikk, amely kétdimenziós fraktálszerkezetekre tartalmaz példákat. Itt többet fogunk nézni összetett példák háromdimenziós fraktálok.

A fraktál vizuálisan ábrázolható (leírható) geometriai alakzatként vagy testként (ez azt jelenti, hogy mindkettő halmaz, jelen esetben ponthalmaz), amelynek részletei ugyanolyan alakúak, mint magának az eredeti alaknak. Vagyis ez egy önhasonló szerkezet, amelynek részleteit megvizsgálva nagyítva ugyanazt az alakot fogjuk látni, mint nagyítás nélkül. Míg a közönséges esetében geometriai alakzat(nem fraktál), nagyításkor olyan részleteket fogunk látni, amelyekben több van egyszerű alak mint maga az eredeti figura. Például elég nagy nagyításnál az ellipszis egy része egyenes szakasznak tűnik. Ez nem történik meg a fraktálokkal: ezek növekedésével újra ugyanazt az összetett alakzatot fogjuk látni, amely minden növekedésnél újra és újra megismétlődik.

Benoit Mandelbrot, a fraktálok tudományának megalapítója ezt írta Fraktálok és művészet a tudomány nevében című cikkében: „A fraktálok geometriai formák, amelyek részleteiben és általános formájukban egyaránt összetettek. Vagyis ha egy fraktál egy részét az egész méretére nagyítjuk, akkor egészként fog megjelenni, vagy pontosan, vagy esetleg enyhe deformációval."

Megjelenítés elrejtése

Funkció megadásának módszerei

Adjuk meg a függvényt a következő képlettel: y=2x^(2)-3. Ha bármilyen értéket rendel az x független változóhoz, ezzel a képlettel kiszámíthatja az y függő változó megfelelő értékeit. Például, ha x=-0,5, akkor a képlet segítségével azt találjuk, hogy y megfelelő értéke y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Az y=2x^(2)-3 képlet x argumentuma által felvett tetszőleges értéket figyelembe véve a függvénynek csak egy értékét számíthatja ki, amely megfelel neki. A függvény táblázatként ábrázolható:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

A táblázat segítségével láthatja, hogy a −1 argumentumértékhez a −3 függvényérték fog megfelelni; és az x=2 érték y=0-nak felel meg stb. Azt is fontos tudni, hogy a táblázatban minden argumentumérték csak egy függvényértéknek felel meg.

Grafikonok segítségével több függvény is megadható. Grafikon segítségével megállapítható, hogy a függvény melyik értéke korrelál egy adott x értékkel. Leggyakrabban ez a függvény hozzávetőleges értéke.

Páros és páratlan függvény

Egy függvény páros függvény, ha f(-x)=f(x) bármely x esetén a tartományban. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

Egy függvény páratlan függvény, ha f(-x)=-f(x) bármely x esetén a tartományban. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az O (0;0) origóra.

A függvény se nem páros, se nem páratlan, és függvénynek nevezzük Általános nézet, ha nincs szimmetriája a tengely vagy az origó körül.

Vizsgáljuk meg a következő paritásfüggvényt:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) az origóhoz képest szimmetrikus definíciós tartománnyal. f(-x)= 3 \cpont (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3) -7x^(7))= -f(x) .

Ez azt jelenti, hogy az f(x)=3x^(3)-7x^(7) függvény páratlan.

Periodikus funkció

Az y=f(x) függvényt, amelynek tartományában az f(x+T)=f(x-T)=f(x) egyenlőség fennáll bármely x-re, ún. periodikus függvény T \neq 0 periódussal.

Egy függvény grafikonjának megismétlése az x tengely bármely T hosszúságú szakaszán.

Azok az intervallumok, ahol a függvény pozitív, azaz f(x) > 0, az abszcissza tengely azon szakaszai, amelyek megfelelnek a függvénygrafikon abszcissza tengelye feletti pontjainak.

f(x) > 0 on (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervallumok, ahol a függvény negatív, azaz f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})

Korlátozott funkció

Az y=f(x), x \in X függvényt általában lent korlátosnak nevezzük, ha van olyan A szám, amelyre az f(x) \geq A egyenlőtlenség érvényes bármely x \in X esetén.

Példa egy alulról korlátos függvényre: y=\sqrt(1+x^(2)), mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 bármely x esetén.

Az y=f(x), x \in X függvényt fent korlátosnak nevezzük, ha van olyan B szám, amelyre az f(x) \neq B egyenlőtlenség teljesül bármely x \in X esetén.

Példa egy alulról korlátos függvényre: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] mivel y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 for tetszőleges x \ a [-1;1]-ben.

Az y=f(x), x \in X függvényt általában korlátosnak nevezzük, ha van olyan K > 0 szám, amelyre az egyenlőtlenség \left | f(x)\jobbra | \neq K bármely x \az X-ben.

Példa korlátos függvényre: y=\sin x a teljes számegyenesen korlátos, mivel \left | \sin x \jobbra | \neq 1 .

Növekvő és csökkentő funkció

Egy olyan függvényről szokás beszélni, amely a vizsgált intervallumon át növekszik, mint növekvő függvényként, ha nagyobb x érték felel meg az y=f(x) függvény nagyobb értékének. Ebből következik, hogy az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét figyelembe véve a vizsgált intervallumból, ahol x_(1) > x_(2) az eredmény y(x_(1)) > y(x_(2)).

A vizsgált intervallumon csökkenő függvényt csökkenő függvénynek nevezzük, ha x nagyobb értéke az y(x) függvény kisebb értékének felel meg. Ebből következik, hogy a vizsgált intervallumból az x_(1) és x_(2) argumentum két tetszőleges értékét, valamint x_(1) > x_(2) , az eredmény y(x_(1))< y(x_{2}) .

Egy függvény gyökének szokták nevezni azokat a pontokat, ahol az F=y(x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y(x)=0 egyenlet megoldásával kapjuk meg).

a) Ha x > 0 esetén egy páros függvény nő, akkor x esetén csökken< 0

b) Ha egy páros függvény x > 0-nál csökken, akkor x-nél növekszik< 0

c) Ha egy páratlan függvény növekszik x > 0-nál, akkor x-nél is növekszik< 0

d) Ha egy páratlan függvény x > 0 esetén csökken, akkor x esetén is csökken< 0

A funkció extrémje

Az y=f(x) függvény minimumpontját általában olyan x=x_(0) pontnak nevezzük, amelynek szomszédságában más pontok is lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), és ezekre az f() egyenlőtlenség. x ) > f(x_(0)) . y_(min) - a függvény kijelölése a min pontban.

Az y=f(x) függvény maximális pontját általában olyan x=x_(0) pontnak nevezzük, amelynek szomszédságában más pontok is lesznek (kivéve az x=x_(0) pontot), és ezekre az f( x )< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Előfeltétel

Fermat tétele szerint: f"(x)=0, amikor az x_(0) pontban differenciálható f(x) függvénynek ebben a pontban lesz szélsőértéke.

Elegendő állapot

Ha a derivált előjelet változtat pluszról mínuszra, akkor x_(0) lesz a minimumpont;

x_(0) - csak akkor lesz maximális pont, ha a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, amikor áthalad az x_(0) stacionárius ponton.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy intervallumon

A számítás lépései:

Az f"(x) deriváltot keressük;

Megkeresi a függvény stacionárius és kritikus pontjait, és kiválasztja a szegmenshez tartozókat;

Az f(x) függvény értékei a szegmens stacionárius és kritikus pontjain és végein találhatók. A kapott eredmények közül a kisebb lesz legalacsonyabb érték funkciókat, és a legnagyobb a legnagyobb.

Amelyek ilyen vagy olyan mértékben ismerősek voltak számodra. Ott is feljegyezték, hogy a funkciótulajdonságok állománya fokozatosan bővül. Ebben a részben két új ingatlanról lesz szó.

1. definíció.

Az y = f(x), x є X függvényt akkor is meghívjuk, ha az X halmaz bármely x értékére fennáll az f (-x) = f (x) egyenlőség.

2. definíció.

Az y = f(x), x є X függvényt páratlannak nevezzük, ha az X halmaz bármely x értékére teljesül az f (-x) = -f (x) egyenlőség.

Bizonyítsuk be, hogy y = x 4 páros függvény.

Megoldás. Van: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. De (-x) 4 = x 4. Ez azt jelenti, hogy bármely x-re teljesül az f(-x) = f(x) egyenlőség, azaz. a függvény páros.

Hasonlóan igazolható, hogy az y - x 2, y = x 6, y - x 8 függvények párosak.

Bizonyítsuk be, hogy y = x 3 ~ páratlan függvény.

Megoldás. Van: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. De (-x) 3 = -x 3. Ez azt jelenti, hogy bármely x-re teljesül az f (-x) = -f (x) egyenlőség, azaz. a függvény páratlan.

Hasonlóan bebizonyítható, hogy az y = x, y = x 5, y = x 7 függvények páratlanok.

Ön és én már nem egyszer meggyőződtünk arról, hogy a matematikában az új kifejezések leggyakrabban „földi” eredetűek, pl. valahogy megmagyarázhatók. Ez a helyzet a páros és a páratlan függvényeknél is. Lásd: y - x 3, y = x 5, y = x 7 páratlan függvények, míg y = x 2, y = x 4, y = x 6 páros függvények. Általánosságban elmondható, hogy bármely y = x" alakú függvényre (az alábbiakban ezeket a függvényeket vizsgáljuk meg), ahol n egy természetes szám, arra a következtetésre juthatunk: ha n nem páros szám, akkor az y = x" függvény páratlan; ha n páros szám, akkor az y = xn függvény páros.

Vannak olyan függvények is, amelyek se nem párosak, se nem páratlanok. Ilyen például az y = 2x + 3 függvény. Valóban, f(1) = 5 és f (-1) = 1. Amint látható, itt tehát nem az f(-x) = azonosság f (x), sem az f(-x) = -f(x) azonosság.

Tehát egy függvény lehet páros, páratlan vagy egyik sem.

Annak a kérdésnek a tanulmányozása, hogy vajon adott funkciót páros vagy páratlan általában a paritás függvényének vizsgálata.

Az 1. és 2. definícióban arról beszélünk a függvény értékeiről az x és -x pontokban. Ez feltételezi, hogy a függvény az x és a -x pontban is definiálva van. Ez azt jelenti, hogy az -x pont az x ponttal egyidejűleg a függvény definíciós tartományába tartozik. Ha egy X numerikus halmaz minden x elemével együtt az ellentétes -x elemet is tartalmazza, akkor X-et szimmetrikus halmaznak nevezzük. Tegyük fel, hogy (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) szimmetrikus halmazok, míg )