Ugyanolyan fokszámúak, de a fokok kitevői nem azonosak, 2² * 2³, akkor az eredmény a fok bázisa lesz a fokok szorzatának azonos bázisával, egyenlő kitevőre emelve az összes szorzott fok kitevőjének összegére.

2² * 2³ = 2²⁺3 = 2⁵ = 32

Ha a hatványok szorzatának a hatványalapja eltérő, és a kitevők azonosak, például 2³ * 5³, akkor az eredmény ezen hatványok alapjainak szorzata lesz, amelyet ugyanazzal a kitevővel egyenlő kitevőre emelünk. .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

Ha a szorozandó hatványok egyenlőek egymással, például 5³ * 5³, akkor az eredmény egy olyan hatvány lesz, amelynek alapja megegyezik ezekkel az azonos hatványbázisokkal, a hatványok kitevőjével egyenlő kitevőre emelve, megszorozva ezeknek az azonos hatványoknak a száma.

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

Vagy egy másik példa ugyanazzal az eredménnyel:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

Források:

• Mi az a fok természetes kitevővel?
• erők terméke

Hatványos matematikai műveletek csak akkor hajthatók végre, ha a kitevők alapjai megegyeznek, és ha közöttük szorzó- vagy osztásjelek vannak. A kitevő alapja az a szám, amelyet hatványra emelünk.

Utasítás

Ha a számok oszthatók egymással (cm 1), akkor y (ebben a példában ez a 3) hatványként jelenik meg, amelyet a kitevők kivonásával alakítunk ki. Ezenkívül ezt a műveletet közvetlenül hajtják végre: a másodikat levonják az első mutatóból. Példa 1. Vezessük be: (a)b, ahol zárójelben – a az alap, a külső zárójelben – a kitevőben. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Ha a válasz negatív hatványú számot ad, akkor ezt a számot a rendszer átalakítja közönséges tört, melynek számlálójában egység van, a nevezőben pedig az alap a különbségből kapott kitevővel, csak pozitív formában (plusz előjellel). 2. példa (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. A hatalmi ágak megosztása más formában is felírható, a tört jellel, és nem úgy, ahogy ebben a lépésben a „:” jellel jelezzük. Ez nem változtat a megoldás elvén, minden pontosan ugyanúgy történik, csak kettőspont helyett vízszintes (vagy ferde) törtjellel történik a bejegyzés 3. példa (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Ha azonos bázisokat szorozunk, amelyeknek fokozatai vannak, a fokozatok összeadódnak. 4. példa (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Ha a kitevők különböző jelek, akkor összeadásukat a matematikai törvények szerint hajtjuk végre 5. példa (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼ .

Ha a kitevők alapjai eltérnek, akkor nagy valószínűséggel matematikai transzformációval azonos formára hozhatók. 6. példa Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a következő kifejezés értékét: (4)2: (2)3. Tudva, hogy a négyes szám ábrázolható két négyzetként, ezt a példát a következőképpen oldjuk meg: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Következő, amikor egy számot hatványra emelünk. Már diplomával a fokozati indexek megszorozódnak egymással: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

Hasznos tanács

Ne feledje, ha egy adott bázis különbözik a második bázistól, keressen matematikai megoldást. Különböző számokat nem csak megadnak. Hacsak a szedő nem hibázott a tankönyvben.

A számírás hatványformátuma egy bázis önmagával való szorzásának műveletének rövidített formája. Az ezen az űrlapon bemutatott számmal ugyanazokat a műveleteket hajthatja végre, mint bármely más számmal, beleértve a hatványra emelését is. Például egy szám négyzetét tetszőleges hatványra emelheti, és az eredmény elérése a technológiai fejlettség jelenlegi szintjén nem jelent nehézséget.

Szükséged lesz

• Internet hozzáférés vagy Windows számológép.

Utasítás

A négyzet hatványra emeléséhez használja a Általános szabály olyan hatalomra emelés, amely már rendelkezik hatványkitevő. Ezzel a művelettel a mutatók megszorozódnak, de az alap ugyanaz marad. Ha az alap x-nek van jelölve, az eredeti és a kiegészítő jelzők pedig a és b-vel vannak jelölve, írja be ezt a szabályt Általános nézet ezt megteheti: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

Hogyan szorozzuk meg az erőket? Mely erők szaporíthatók és melyek nem? Hogyan szorozhatunk meg egy számot hatvánnyal?

Az algebrában két esetben találhatunk hatványok szorzatát:

1) ha a fokozatok alapjai azonosak;

2) ha a fokok azonos mutatókkal rendelkeznek.

Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, az alapot ugyanaznak kell hagyni, és a kitevőket össze kell adni:

Ha a fokokat ugyanazokkal a mutatókkal szorozzuk, akkor a teljes mutató kivehető a zárójelekből:

Nézzük meg, hogyan szorozzuk meg a hatványokat konkrét példákon keresztül.

A mértékegységet nem a kitevőben írják, de a hatványok szorzásakor figyelembe veszik:

Szorzáskor tetszőleges számú hatvány lehet. Emlékeztetni kell arra, hogy a szorzójelet nem kell a betű elé írni:

A kifejezésekben először a hatványozás történik.

Ha meg kell szoroznia egy számot hatványokkal, először hajtsa végre a hatványozást, és csak azután a szorzást:

www.algebraclass.ru

Hatványok összeadása, kivonása, szorzása és osztása

Hatványok összeadása és kivonása

Nyilvánvaló, hogy a hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan összeadhatók , jeleikkel egymás után hozzáadva.

Tehát a 3 és b 2 összege a 3 + b 2.
A 3 - b n és h 5 -d 4 összege a 3 - b n + h 5 - d 4.

Esély azonos változók egyenlő hatványaiösszeadható vagy kivonható.

Tehát 2a 2 és 3a 2 összege egyenlő 5a 2-vel.

Az is nyilvánvaló, hogy ha két a négyzetet vagy három a négyzetet vagy öt a négyzetet veszünk.

De fokok különféle változókÉs különféle fokozatok azonos változók, úgy kell összeállítani, hogy hozzá kell adni őket a jeleikkel.

Tehát egy 2 és egy 3 összege egy 2 + egy 3 összege.

Nyilvánvaló, hogy a négyzete és a kockája nem egyenlő a négyzetének kétszeresével, hanem a kockájának kétszeresével.

A 3 b n és 3a 5 b 6 összege a 3 b n + 3a 5 b 6.

Kivonás A jogosítványokat ugyanúgy hajtjuk végre, mint az összeadást, azzal a különbséggel, hogy a részrészek előjeleit ennek megfelelően módosítani kell.

Vagy:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 óra 2 b 6 — 4 óra 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Hatványok megsokszorozása

A hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan szorozhatók egymás után, szorzójellel vagy anélkül.

Így a 3-at b 2-vel megszorozva a 3 b 2 vagy aaabb lesz.

Vagy:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Az utolsó példában szereplő eredmény azonos változók hozzáadásával rendezhető.
A kifejezés a következő formában lesz: a 5 b 5 y 3.

Több szám (változó) hatványokkal való összehasonlításával láthatjuk, hogy ha bármelyik kettőt megszorozzuk, akkor az eredmény egy szám (változó), amelynek hatványa egyenlő összeg kifejezések fokozatai.

Tehát a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Itt 5 a szorzási eredmény hatványa, amely egyenlő 2 + 3-mal, a tagok hatványainak összegével.

Tehát a n .a m = a m+n .

Egy n esetén a-t annyiszor veszik tényezőnek, mint n hatványát;

És egy m-t annyiszor veszünk tényezőnek, ahányszor m fok egyenlő;

Ezért, Az azonos bázisú hatványok a hatványok kitevőinek összeadásával szorozhatók.

Tehát a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . És x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vagy:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Szorozza meg (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Válasz: x 4 - y 4.
Szorozd meg (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ez a szabály azokra a számokra is igaz, amelyek kitevői negatív.

1. Tehát a -2 .a -3 = a -5 . Ezt így írhatjuk fel: (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ha a + b-t megszorozzuk a - b-vel, az eredmény a 2 - b 2 lesz:

Két szám összegének vagy különbségének szorzata egyenlő az összeggel vagy négyzeteik különbsége.

Ha megszorozza két szám összegét és különbségét, amelyre emelt négyzet, az eredmény egyenlő lesz ezeknek a számoknak az összegével vagy különbségével negyedik fokon.

Tehát (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

A fokozatok felosztása

A hatványokkal rendelkező számok más számokhoz hasonlóan oszthatók, az osztalékból levonva, vagy tört alakba helyezve.

Így a 3 b 2 osztva b 2-vel egyenlő egy 3-mal.

Ha 5-öt osztunk 3-mal, úgy néz ki, hogy $\frac $. De ez egyenlő 2-vel. Egy számsorozatban
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bármely szám osztható egy másikkal, és a kitevő egyenlő lesz különbség osztható számok mutatói.

Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk..

Tehát y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Azaz $\frac = y$.

És a n+1:a = a n+1-1 = a n . Azaz $\frac = a^n$.

Vagy:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

A szabály a -val rendelkező számokra is igaz negatív fokok értékei.
A -5 -3-mal való osztásának eredménye -2.
Továbbá $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:ó -1 = h 2+1 = h 3 vagy $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Nagyon jól kell elsajátítani a szorzást és a hatványosztást, mivel az ilyen műveleteket nagyon széles körben használják az algebrában.

Példák a hatványos számokat tartalmazó törtek példáinak megoldására

1. Csökkentse a kitevőket $\frac $ értékkel. Válasz: $\frac $.

2. Csökkentse a kitevőket $\frac$ értékkel. Válasz: $\frac$ vagy 2x.

3. Csökkentse az a 2 /a 3 és a -3 /a -4 kitevőket, és vezessen közös nevező.
a 2 .a -4 egy -2 az első számláló.
a 3 .a -3 egy 0 = 1, a második számláló.
a 3 .a -4 egy -1 , a közös számláló.
Egyszerűsítés után: a -2 /a -1 és 1/a -1 .

4. Csökkentse a 2a 4 /5a 3 és 2 /a 4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
Válasz: 2a 3 /5a 7 és 5a 5 /5a 7 vagy 2a 3 /5a 2 és 5/5a 2.

5. Szorozzuk meg (a 3 + b)/b 4-et (a - b)/3-mal.

6. Szorozza meg (a 5 + 1)/x 2-t (b 2 - 1)/(x + a) értékkel.

7. Szorozzuk meg b 4 /a -2-t h -3 /x-el és a n /y -3-mal.

8. Ossz el egy 4 /y 3-at egy 3 /y 2-vel. Válasz: a/y.

A fokozat tulajdonságai

Emlékeztetjük, hogy ebben a leckében megértjük fokok tulajdonságai természetes mutatókkal és nullával. A racionális kitevőkkel rendelkező hatványokról és tulajdonságaikról a 8. osztályos órákon lesz szó.

A természetes mutatójú végzettségnek több is van fontos tulajdonságait, amelyek lehetővé teszik a számítások egyszerűsítését a hatáskörökkel rendelkező példákban.

1. számú ingatlan
Az erők szorzata

Ha a hatványokat azonos alapokkal szorozzuk, az alap változatlan marad, és a hatványok kitevői összeadódnak.

a m · a n = a m + n, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig tetszőleges szám egész számok.

A hatványok ezen tulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára is érvényes.

Egyszerűsítse a kifejezést.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Mutassa be diplomaként.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Mutassa be diplomaként.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Felhívjuk figyelmét, hogy a meghatározott tulajdonság csak a hatalmak megsokszorozásáról beszéltünk azonos alapokon. Ezek kiegészítésére nem vonatkozik.

Az összeget (3 3 + 3 2) nem helyettesítheti 3 5-tel. Ez érthető, ha
számold ki (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 és 3 5 = 243

2. számú ingatlan
Részleges diplomák

Ha azonos bázisú hatványokat osztunk fel, az alap változatlan marad, és az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

Írja fel a hányadost hatványként!
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Kiszámítja.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Példa. Oldja meg az egyenletet. A hányados hatványok tulajdonságát használjuk.
3 8: t = 3 4

Válasz: t = 3 4 = 81

Az 1. és 2. tulajdonság használatával egyszerűen leegyszerűsítheti a kifejezéseket és számításokat végezhet.

Példa. Egyszerűsítse a kifejezést.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Példa. Keresse meg egy kifejezés értékét a kitevők tulajdonságainak segítségével.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 2. tulajdonságban csak a hatáskörök azonos alapokon történő felosztásáról beszéltünk.

A különbséget (4 3 −4 2) nem helyettesítheti 4 1-gyel. Ez érthető, ha kiszámolja (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, és 4 1 = 4

3. számú ingatlan
Fokozat hatalommá emelése

Ha egy fokot hatványra emelünk, a fok alapja változatlan marad, és a kitevőket megszorozzuk.

(a n) m = a n · m, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

Felhívjuk figyelmét, hogy a 4. számú tulajdonság, mint a fokok többi tulajdonsága, szintén fordított sorrendben kerül alkalmazásra.

(a n · b n)= (a · b) n

Vagyis a hatványok azonos kitevőkkel való szorzásához meg lehet szorozni az alapokat, de a kitevőt változatlanul hagyni.

Példa. Kiszámítja.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Példa. Kiszámítja.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Bonyolultabb példákban előfordulhatnak olyan esetek, amikor a szorzást és az osztást különböző alapú és hatványokon kell végrehajtani különböző mutatók. Ebben az esetben azt tanácsoljuk, hogy tegye a következőket.

Például 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Példa a tizedesjegy hatványra emelésére.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Tulajdonságok 5
Hányados hatványa (tört)

Ha hányadost szeretne hatványra emelni, az osztalékot és az osztót külön erre a hatványra emelheti, és az első eredményt eloszthatja a másodikkal.

(a: b) n = a n: b n, ahol „a”, „b” bármely racionális számok, b ≠ 0, n - bármilyen természetes szám.

Példa. Mutassa be a kifejezést a hatványok hányadosaként.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Emlékeztetünk arra, hogy a hányadost törtként is lehet ábrázolni. Ezért a következő oldalon részletesebben foglalkozunk a tört hatványra emelésének témájával.

Hatalmak és gyökerek

Hatványokkal és gyökerekkel végzett műveletek. Fokozat negatívval ,

nulla és tört indikátor. Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük.

Műveletek fokozatokkal.

1. Ha a hatványokat ugyanazzal az alappal szorozzuk, a kitevőjüket hozzáadjuk:

a m · a n = a m + n.

2. Azonos bázisú fokok osztásakor kitevőik levonásra kerülnek .

3. Két vagy több tényező szorzatának mértéke megegyezik e tényezők fokszámainak szorzatával.

4. Az arány (tört) mértéke megegyezik az osztó (számláló) és az osztó (nevező) fokszámának arányával:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőjüket megszorozzuk:

Az összes fenti képletet mindkét irányban balról jobbra olvassa be és hajtja végre, és fordítva.

PÉLDA (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Műveletek gyökerekkel. Az összes alábbi képletben a szimbólum azt jelenti számtani gyök(a radikális kifejezés pozitív).

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. A hozzáállás gyökere egyenlő az aránnyal osztalék és osztó gyökerei:

3. Ha gyökérre emelünk egy hatványt, elég, ha erre a hatalomra emelünk gyökszám:

4. Ha m-szeresére növeljük a gyök fokát, és ezzel egyidejűleg a gyökszámot az m-edik hatványra emeljük, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha m-szer csökkenti a gyök fokát, és egyidejűleg kivonja a gyökszám m-edik gyökét, akkor a gyök értéke nem változik:

A fokozat fogalmának bővítése. Eddig csak természetes kitevőkkel vettük figyelembe a fokokat; de a hatalommal és a gyökérrel végzett műveletek oda is vezethetnek negatív, nullaÉs töredékes mutatók. Mindezek a kitevők további definíciót igényelnek.

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos negatív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a negatív kitevő abszolút értékével:

Most a képlet a m : a n = a m - n nem csak arra használható m, több mint n, hanem azzal is m, kevesebb, mint n .

PÉLDA a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ha a képletet akarjuk a m : a n = a m — n igazságos volt, amikor m = n, szükségünk van a nulla fok definíciójára.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullától eltérő szám hatványa nulla kitevővel 1.

PÉLDÁK. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Ahhoz, hogy egy a valós számot az m / n hatványra emeljünk, ki kell vonni az a szám m-edik hatványának n-edik gyökét:

Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük. Több ilyen kifejezés létezik.

Ahol a ≠ 0 , nem létezik.

Sőt, ha azt feltételezzük x egy bizonyos szám, akkor az osztási művelet definíciójának megfelelően a következőt kapjuk: a = 0· x, azaz a= 0, ami ellentmond a feltételnek: a ≠ 0

— bármilyen szám.

Valójában, ha feltételezzük, hogy ez a kifejezés egyenlő valamilyen számmal x, akkor az osztási művelet definíciója szerint: 0 = 0 · x. De ez az egyenlőség akkor következik be tetszőleges számú x, amit bizonyítani kellett.

0 0 — bármilyen szám.

Megoldás. Nézzünk három fő esetet:

1) x = 0 – ez az érték nem felel meg ennek az egyenletnek

2) mikor x> 0 kapjuk: x/x= 1, azaz 1 = 1, ami azt jelenti

Mit x- bármilyen szám; de ezt figyelembe véve

a mi esetünkben x> 0, a válasz az x > 0 ;

A hatványok különböző alapokon történő szorzásának szabályai

FOKOZAT RACIONÁLIS MUTATÓVAL,

TELJESÍTMÉNY FUNKCIÓ IV

69. § A hatáskörök szaporodása és megosztása azonos alapokon

1. tétel. A hatványok azonos bázisokkal való szorzásához elegendő a kitevőket összeadni és az alapot ugyanazt hagyni, azaz

Bizonyíték. A fokozat meghatározása szerint

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Megnéztük két hatvány szorzatát. Valójában a bizonyított tulajdonság tetszőleges számú, azonos alapokon álló hatványra igaz.

2. tétel. Ha az osztó indexe nagyobb, mint az osztó indexe, az azonos alapú hatványok felosztásához elegendő az osztó indexét kivonni az osztó indexéből, és az alapot változatlannak hagyni, azaz nál nél t > p

(a =/= 0)

Bizonyíték. Emlékezzünk vissza, hogy az egyik szám egy másikkal való osztásának hányadosa az a szám, amelyet az osztóval megszorozva osztalékot adunk. Ezért bizonyítsa be a képletet ahol a =/= 0, ez ugyanaz, mint a képlet bizonyítása

Ha t > p , majd a szám t - p természetes lesz; ezért az 1. tétel szerint

A 2. Tétel bebizonyosodott.

Meg kell jegyezni, hogy a képlet

csak azzal a feltételezéssel bizonyítottuk t > p . Ezért a bebizonyítottakból még nem lehet levonni például a következő következtetéseket:

Ráadásul még nem vettük figyelembe a negatív kitevős fokozatokat, és még nem tudjuk, hogy milyen jelentést adhat a 3. kifejezés - 2 .

3. tétel. Egy fok hatványra emeléséhez elég a kitevőket megszorozni, és a fok alapját változatlannak kell hagyni, vagyis

Bizonyíték. A fokozat meghatározását és a szakasz 1. tételét felhasználva a következőket kapjuk:

Q.E.D.

Például (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Szóbeli) Határozza meg x az egyenletekből:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Szett sz.) Egyszerűsítés:

520. (Szett sz.) Egyszerűsítés:

521. Mutassa be ezeket a kifejezéseket fokozatok formájában, azonos alapokkal:

1) 32. és 64.; 3) 8 5 és 16 3; 5) 4 100 és 32 50;

2) -1000 és 100; 4) -27 és -243; 6) 81 75 8 200 és 3 600 4 150.

A fokok alapvető tulajdonságai

"A fokozatok tulajdonságai" egy meglehetősen népszerű lekérdezés a keresőkben, amely nagy érdeklődést mutat a diploma tulajdonságai iránt. Összegyűjtöttük Önnek a fok összes tulajdonságát (a fok tulajdonságait természetes kitevővel, a fok tulajdonságait racionális mutató, egész kitevőjű fok tulajdonságai) egy helyen. Letöltheti a csalólap rövid változatát "A fokozatok tulajdonságai".pdf formátumban, hogy szükség esetén könnyen megjegyezhesse vagy megismerhesse őket fokok tulajdonságai közvetlenül az oldalon. A részletekben hatványok tulajdonságai példákkal alább tárgyaljuk.

Töltse le a "Fokozatok tulajdonságai" csalólapot (formátum.pdf)

A hatáskörök tulajdonságai (röviden)

a 0=1 ha a≠0

a 1=a

(−a)n=an, Ha n- még

(−a)n=−an, Ha n- páratlan

(a⋅b)n=an⋅bn

(ab)n=anbn

a−n=1an

(ab)−n=(ba)n

an⋅am=an+m

anam=an−m

(an)m=an⋅m

A fokozatok tulajdonságai (példákkal)

1. fokú ingatlan A nullától a nulla hatványig terjedő bármely szám egyenlő eggyel. a 0=1 ha a≠0 Például: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2. fokú ingatlan Az első hatvány bármely szám egyenlő magával a számmal. a 1=a Például: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3. fokú ingatlan Bármely szám egy páros hatványhoz pozitív. an=an, Ha n- páros (2-vel osztható) egész szám (− a)n=an, Ha n- páros (2-vel osztható) egész szám Például: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4. fokú ingatlan Bármely páratlan hatványhoz tartozó szám megtartja előjelét. an=an, Ha n- páratlan (2-vel nem osztható) egész szám (- a)n=−an, Ha n- páratlan (2-vel nem osztható) egész szám Például: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

5. fokú ingatlan A megemelt számok szorzata ó hatványra, felvett számok szorzataként ábrázolható s V ez fokozat (és fordítva). ( a⋅b)n=an⋅bn, ahol a, b, n Például: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6. fokú ingatlan A felvett számok hányadosa (osztása). ó hatványhoz, a felemelt számok hányadosaként ábrázolható s V ez fokozat (és fordítva). ( ab)n=anbn, ahol a, b, n- bármilyen érvényes (nem feltétlenül egész) szám Például: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7. fokú ingatlan Egy negatív hatvány bármely szám egyenlő az adott hatványhoz tartozó reciprok számával. (A reciprok az a szám, amellyel az adott számot meg kell szorozni, hogy egyet kapjunk.) a−n=1an, ahol aÉs n- bármilyen érvényes (nem feltétlenül egész) szám Például: 7−2=172=149

8. fokú ingatlan Egy negatív hatvány bármely törtrésze egyenlő ennek a hatványnak a reciprok törtével. ( ab)−n=(ba)n, ahol a, b, n- bármilyen érvényes (nem feltétlenül egész) szám Például: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9. fokú ingatlan Ha a hatványokat ugyanazzal az alappal szorozzuk, a kitevők összeadódnak, de az alap ugyanaz marad. an⋅am=an+m, ahol a, n, m- bármilyen érvényes (nem feltétlenül egész) szám Például: 23⋅25=23+5=28, vegye figyelembe, hogy ez a fok tulajdonság megmarad a fokozatok negatív értékeinél is 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44

10. fokú ingatlan Ha a hatványokat azonos bázissal osztjuk el, a kitevőket levonjuk, de az alap ugyanaz marad. anam=an−m, ahol a, n, m- bármilyen érvényes (nem feltétlenül egész) szám Például:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, figyelje meg, hogyan vonatkozik ez a hatványtulajdonság a negatív hatványokra3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3 )=47+3=410

11. fokú ingatlan Ha egy hatványt hatalommá emelünk, a hatványok megszorozódnak. ( an)m=an⋅m Például: (23)2=23⋅2=26=64

Hatványtáblázat 10-ig

Keveseknek sikerül megjegyezni a teljes foktáblázatot, és kinek van szüksége rá, amikor olyan könnyű megtalálni? Erőtáblánkban megtalálhatóak a népszerű négyzet- és kockák (1-től 10-ig), valamint más, kevésbé elterjedt hatványtáblázatok. A hatványtáblázat oszlopai jelzik a fokszám alapjait (az a szám, amelyet hatványra kell emelni), a sorok a kitevőket (az a hatvány, amelyre a számot emelni kell), és a szám metszéspontja. a kívánt oszlop és a kívánt sor a kívánt szám adott hatványra emelésének eredménye. A teljesítménytáblázatok segítségével többféle probléma is megoldható. Az azonnali feladat a számítás n egy szám hatványa. A hatványtáblázat segítségével is megoldható fordított probléma így hangozhat: „milyen hatványra emeljük a számot? a hogy megkapja a számot b ?" vagy "Milyen szám a hatványhoz n számot ad b ?".

Hatványtáblázat 10-ig

	1 n	2 n	3 n	4 n	5 n	6 n	7 n	8 n	9 n	10 n

Hogyan kell használni a fokozattáblázatot

Nézzünk néhány példát a teljesítménytábla használatára.

1. példa Milyen szám adódik, ha a 6-ot a 8. hatványra emeljük? A foktáblázatban a 6. oszlopot keressük n, mivel a feladat feltételei szerint a 6-os szám hatványra emelkedik. Ezután a hatványtáblázatban keressük a 8-as sort, hiszen a megadott számot 8 hatványára kell emelni. A metszéspontnál megnézzük a választ: 1679616.

2. példa Milyen hatványra kell emelni a 9-et, hogy 729 legyen? A foktáblázatban a 9. oszlopot keressük nés lemegyünk a 729-es számra (foktáblázatunk harmadik sora). A sorszám a kívánt fokozat, vagyis a válasz: 3.

3. példa Melyik számot kell 7 hatványára emelni, hogy 2187-et kapjunk? A foktáblázatban keressük a 7-es sort, majd azon haladjunk jobbra a 2187-es számig. A talált számból felfelé megyünk, és megtudjuk, hogy ennek az oszlopnak a fejléce 3 n, ami azt jelenti, hogy a válasz: 3.

4. példa Milyen hatványra kell emelni a 2-es számot, hogy 63 legyen? A foktáblázatban a 2. oszlopot találjuk nés addig megyünk le, amíg nem találkozunk 63-mal... De ez nem fog megtörténni. Soha nem fogjuk látni a 63-as számot ebben az oszlopban vagy a hatványtáblázat bármely más oszlopában, ami azt jelenti, hogy 1-től 10-ig egyetlen egész szám sem adja meg a 63-as számot, ha 1-től 10-ig terjedő egész hatványra emeljük. Így nincs válaszolj .

Miért van szükség diplomára?

Hol lesz rájuk szüksége?

Miért érdemes időt szánni a tanulmányozásukra?

Olvassa el ezt a cikket, hogy megtudjon MINDENT A FOKOZATOKRÓL.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az egységes államvizsga sikeres letételéhez.

És felvételire álmai egyetemére!

Gyerünk... (Menjünk!)

ELSŐ SZINT

A hatványozás olyan matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent nagyon elmagyarázok emberi nyelven egyszerű példák. Légy óvatos. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindenkinek van két üveg kólája. Mennyi kóla van? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanaz a példa a kólával másképp is írható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben azt vették észre, hogy a nyolc embernek ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibákkal is! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És még egy, szebb:

Milyen okos számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? Jobb - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy a kettőtől az ötödik hatványhoz... És fejben oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Csak annyit kell tennie ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják másodfokúnak? négyzet számok, a harmadik pedig - kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük a szám négyzetével vagy második hatványával.

Képzeljen el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete 1 méter x egy méter. A medence a dachánál van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De... a medencének nincs feneke! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence alsó részét.

Egyszerűen kiszámolhatja az ujjával, hogy a medence alja méterenkénti kockákból áll. Ha 1 méteres csempe van, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempéket? A csempe nagy valószínűséggel cm-ről cm-re lesz, és akkor kínozni fog az „ujjal számolva”. Akkor szorozni kell. Tehát a medence aljának egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét helyezünk. Szorozzuk meg, és kapunk csempéket ().

Észrevette, hogy a medencefenék területének meghatározásához ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot szorozzuk, használhatjuk a „hatványozás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb, és kevesebb a számítási hiba is. Az egységes államvizsga esetében ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második hatvány lesz (). Vagy azt is mondhatjuk, hogy harminc négyzet lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat: számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. Számuk kiszámításához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolc négyzetet írhat. Kapsz sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Nem várt, ugye?) Rajzolj egy medencét: az alja egy méter nagyságú és egy méter mély, és próbáld meg megszámolni, hány méteres méteres kocka lesz. belefér a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy... huszonkettő, huszonhárom... Hányat kaptál? Nem veszett el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal... Könnyebb, nem?

Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítenék. Mindent egyetlen műveletre redukáltunk. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám szorozódik önmagával... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát amit egyszer megszámoltál az ujjaddal, azt egy művelettel megcsinálják: három kocka egyenlő. Így van írva: .

Csak az marad emlékezz a foktáblázatra. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, továbbra is számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat felmondók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, és nem azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden keresett millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden milliód megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és "ujjal számolsz", akkor nagyon szorgalmas ember vagy és... hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kettő szorozva kettővel... a második évben - ami történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám szorozva van önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és az kapja meg ezeket a milliókat, aki a leggyorsabban tud számolni... Érdemes emlékezni a számok erejére, nem gondolod?

5. példa a valós életből

Van egy milliód. Minden év elején minden keresett millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű nem? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatványhoz egyenlő egy millióval. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudod, hogy egy szám hatványra emelésével sokkal könnyebbé válik az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne keveredjen össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi az a kitevő? Nagyon egyszerű – ez a szám van a szám hatványának „tetején”. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen diplomaalap? Még egyszerűbb - ez a szám az alján található.

Íme egy rajz a jó mérethez.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezet érdekében... A „ ” bázissal és „ ” kitevővel rendelkező fokot „fokozatnak” kell olvasni, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen ám, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok felsorolásakor használunk: egy, kettő, három... Amikor objektumokat számolunk, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad”, vagy „nulla pont öt”. Ezek nem természetes számok. Szerinted milyen számok ezek?

Az olyan számok, mint a „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét” utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes (vagyis mínuszjellel vett) számokat és a számokat. A nullát könnyű megérteni – ez az, amikor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív („mínusz”) számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan keletkeztek, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nem rendelkeznek természetes számokkal a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok... Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden, végtelen decimális. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg egy olyan fok fogalmát, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy megszorozzuk önmagával:
3. Egy szám kockára bontása azt jelenti, hogy háromszorosára szorozzuk önmagával:

Meghatározás. Egy szám természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:
.

A fokozatok tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk: mi az És ?

A-prioritás:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: szorzót adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény szorzó.

De definíció szerint ez egy kitevős szám hatványa, vagyis: , amit bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen biztos ugyanazok az okok!
Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

csak az erők szorzatára!

Semmi esetre sem írhat ilyet.

2. ennyi egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen:

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni?

De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

Hatáskörében természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz pozitív és negatív számok hatványa?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Egész a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a " " jellel felvetve) és a számot hívjuk.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Nézzünk most új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk egy bizonyos fokot egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot vel, és ugyanazt kaptuk, mint volt - . Milyen számmal kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, rá. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint bármely nulla hatványhoz tartozó szám, ennek is egyenlőnek kell lennie. Szóval mennyi igaz ebből? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani nullával, hanem nulla hatványra emelni sem.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi a negatív hatvány, tegyük úgy, mint legutóbb: szorozzunk meg egy normál számot ugyanazzal a számmal egy negatív hatványra:

Innentől kezdve egyszerűen kifejezheti, hogy mit keres:

Most bővítsük ki az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:

Egy negatív hatványú szám ugyanannak a pozitív hatványú számnak a reciproka. De ugyanakkor Az alap nem lehet null:(mert nem lehet vele osztani).

Összefoglaljuk:

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák független megoldásokra:

Problémák elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de az egységes államvizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásaikat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan birkózik meg velük könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontoljuk meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: minden, ami törtként ábrázolható, ahol és egész számok, és.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok", vegye figyelembe a törtet:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzünk a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th hatvány gyöke a hatványra emelés fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilván ezt különleges eset bővíthető: .

Most hozzáadjuk a számlálót: mi az? A válasz könnyen megkapható a teljesítmény-teljesítmény szabály segítségével:

De lehet az alap bármilyen szám? Hiszen a gyökér nem vonható ki minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: tetszőleges számra emelve páros fokozat- a szám pozitív. Vagyis a negatív számokból még gyököket sem lehet kinyerni!

Ez azt jelenti, hogy ilyen számokra nem lehet emelni tört hatvány páros nevezővel, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukálható törtek formájában is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De ha másképp írjuk le a mutatót, akkor megint bajba kerülünk: (vagyis egészen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében megfontoljuk csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A racionális kitevők nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most jön a legnehezebb rész. Most kitaláljuk fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, kivéve a kivételt

Hiszen definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel.

Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám;

...számot a nulladik hatványig- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen egy szám;

...negatív egész fokozat- mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg magával, hanem osztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a hatvány hatványra emelésének szokásos szabályával:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — fokozatalap;
• - kitevő.

Fok természetes indikátorral (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Fok egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

Építkezés a nulla fokig:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az negatív egész szám szám:

(mert nem lehet vele osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Hatvány racionális kitevővel

• - természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A fokozatok tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

A-prioritás:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen ugyanazoknak az okoknak kell lenniük. Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a hatványok szorzatára!

Semmi esetre sem írhat ilyet.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Csoportosítsuk át ezt a munkát a következőképpen:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen: !

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni? De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy milyennek kell lennie index fokon. De mi legyen az alap? Hatáskörében természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz pozitív és negatív számok hatványa?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk (-vel), akkor - .

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. A következőket tudjuk megfogalmazni egyszerű szabályok:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszünk, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap nullánál kisebb. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és elosztjuk őket egymással, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezéseket:

Megoldások :

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki és egyszerűsítsük a diploma fogalmát:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány betű van összesen? alkalommal szorzókkal – mire emlékeztet ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: Ott csak szorzók voltak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot irracionális kitevővel elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel. Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám; a nulla hatványhoz tartozó szám úgymond önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív kitevőjével - olyan, mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Ez inkább egy tisztán matematikai objektum, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetőséged megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

A SZEKCIÓ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPKÉPLETEK

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Hatvány racionális kitevővel

fok, amelynek kitevője a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

fok, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST MEGVAN A SZÓ...

Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentbe, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk a diplomatulajdonságok használatával kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Mert sikeres teljesítés Egységes államvizsga, költségvetési keretből való felvételhez, és ami a LEGFONTOSABB, élethosszig tartó felvételhez.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több van előttük több lehetőségés az élet fényesebb lesz? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 899 RUR

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

Egy szám hatványának meghatározása után logikus, hogy beszéljünk róla fok tulajdonságait. Ebben a cikkben megadjuk egy szám hatványának alapvető tulajdonságait, miközben érintünk minden lehetséges kitevőt. Itt bemutatjuk a fokozatok összes tulajdonságát, és bemutatjuk, hogyan használják ezeket a tulajdonságokat a példák megoldása során.

Oldalnavigáció.

A fokok tulajdonságai természetes kitevővel

A természetes kitevővel rendelkező hatvány meghatározása szerint az a n hatvány n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ennek a definíciónak az alapján, és használva is valós számok szorzásának tulajdonságai, a következőket kaphatjuk és igazolhatjuk fok tulajdonságai természetes kitevővel:

1. az a m ·a n =a m+n fok fő tulajdonsága, általánosítása;
2. azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága a m:a n =a m−n ;
3. szorzati teljesítmény tulajdonság (a·b) n =a n ·b n, kiterjesztése;
4. a hányados természetes fokra vonatkozó tulajdonsága (a:b) n =a n:b n ;
5. fok emelése hatványra (a m) n =a m·n, annak általánosítása (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·… · n k;
6. fok összehasonlítása nullával:
   • ha a>0, akkor a n>0 bármely n természetes számra;
   • ha a=0, akkor a n=0;
   • Ha egy<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ha a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. ha a és b pozitív számok és a
8. ha m és n olyan természetes számok, amelyekre m>n , akkor 0-nál 0 az a m >a n egyenlőtlenség igaz.

Azonnal jegyezzük meg, hogy minden írott egyenlőség van azonos a megadott feltételek mellett jobb és bal oldali részük is cserélhető. Például az a m ·a n =a m+n tört fő tulajdonsága -val kifejezések egyszerűsítése gyakran használt a m+n =a m ·a n formában.

Most nézzük meg mindegyiket részletesen.

Kezdjük két azonos bázisú hatvány szorzatának tulajdonságával, amelyet ún a diploma fő tulajdonsága: bármely a valós számra, valamint bármely m és n természetes számra igaz az a m ·a n =a m+n egyenlőség.

Bizonyítsuk be a fokozat fő tulajdonságát. A természetes kitevővel rendelkező hatvány definíciója szerint az a m ·a n alakú azonos bázisú hatványok szorzata szorzatként írható fel. A szorzás tulajdonságaiból adódóan a kapott kifejezést így írhatjuk fel , és ez a szorzat az a szám m+n természetes kitevőjű hatványa, azaz a m+n. Ezzel teljes a bizonyítás.

Adjunk egy példát, amely megerősíti a diploma fő tulajdonságát. Vegyünk azonos 2-es bázisú fokokat és 2 és 3 természetes hatványokat, a fokok alaptulajdonságával felírhatjuk a 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 egyenlőséget. Ellenőrizzük érvényességét a 2 2 · 2 3 és 2 5 kifejezések értékeinek kiszámításával. Hatványozást végzünk 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 ​​· 2 · 2) = 4 · 8 = 32és 2 5 =2·2·2·2·2=32, mivel egyenlő értékeket kapunk, akkor a 2 2 ·2 3 =2 5 egyenlőség helyes, és megerősíti a fok fő tulajdonságát.

A szorzás tulajdonságain alapuló fok alaptulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára általánosítható azonos bázisokkal és természetes kitevőkkel. Tehát bármely n 1, n 2, …, n k természetes számra a következő egyenlőség igaz: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Például, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

A hatványok következő tulajdonságára természetes kitevővel léphetünk át – azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága: bármely nem nulla a valós számra és tetszőleges m és n természetes számokra, amelyek kielégítik az m>n feltételt, az a m:a n =a m−n egyenlőség igaz.

Mielőtt bemutatnánk ennek a tulajdonságnak a bizonyítását, beszéljük meg a megfogalmazásban szereplő további feltételek jelentését. Az a≠0 feltétel a nullával való osztás elkerülése érdekében szükséges, hiszen 0 n =0, és amikor megismerkedtünk az osztással, megegyeztünk, hogy nullával nem oszthatunk. Az m>n feltételt úgy vezetjük be, hogy ne lépjük túl a természetes kitevőket. Valójában m>n esetén az m-n egy természetes szám, különben vagy nulla (ami m-n esetén történik), vagy negatív szám (ami m-re történik)

Bizonyíték. A tört fő tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség felírását a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. A kapott egyenlőségből a m−n ·a n =a m, és az következik, hogy egy m−n az a m és a n hatványok hányadosa. Ez bizonyítja az azonos bázisú hányados hatványok tulajdonságát.

Mondjunk egy példát. Vegyünk két fokot azonos π bázisokkal és 5 és 2 természetes kitevővel, a π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 egyenlőség a fok figyelembe vett tulajdonságának felel meg.

Most fontoljuk meg termék teljesítmény tulajdonsága: bármely két a és b valós szám szorzatának n természetes hatványa egyenlő az a n és b n hatványok szorzatával, azaz (a·b) n =a n ·b n .

Valójában a természetes kitevővel rendelkező fok definíciója alapján rendelkezünk . A szorzás tulajdonságai alapján az utolsó szorzat átírható így , ami egyenlő a n · b n -nel.

Íme egy példa: .

Ez a tulajdonság három vagy több tényező szorzatának hatványára is kiterjed. Vagyis k tényező szorzatának n természetes fokának tulajdonságát így írjuk fel (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Az érthetőség kedvéért ezt a tulajdonságot egy példán mutatjuk be. Három tényező 7 hatványához tartozó szorzatához van .

A következő tulajdonság az természetbeni hányados tulajdona: az a és b valós számok, b≠0 hányadosa az n természetes hatványhoz egyenlő az a n és b n hatványok hányadosával, azaz (a:b) n =a n:b n.

A bizonyítás elvégezhető az előző tulajdonság segítségével. Így (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, és az (a:b) n ·b n =a n egyenlőségből következik, hogy (a:b) n az a n hányadosa osztva b n -nel.

Írjuk fel ezt a tulajdonságot konkrét számokkal példaként: .

Most hangoztassuk a hatalom hatalommá emelésének tulajdonsága: bármely a valós szám, valamint bármely m és n természetes szám esetén a m hatványa n hatványára egyenlő az a szám m·n kitevőjű hatványával, azaz (a m) n =a m·n.

Például (5 2) 3 =5 2 · 3 =5 6.

A hatvány-fok tulajdonság bizonyítéka a következő egyenlőséglánc: .

A figyelembe vett tulajdonság fokonként bővíthető stb. Például bármely p, q, r és s természetes szám esetén az egyenlőség . A jobb érthetőség kedvéért itt van egy példa konkrét számokkal: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Továbbra is a fokok természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságain kell elidőzni.

Kezdjük a nulla és a hatvány természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságának bizonyításával.

Először is bizonyítsuk be, hogy a n >0 bármely a>0 esetén.

Két pozitív szám szorzata pozitív szám, amint az a szorzás definíciójából következik. Ez a tény és a szorzás tulajdonságai arra utalnak, hogy tetszőleges számú pozitív szám szorzásának eredménye is pozitív szám lesz. Egy n természetes kitevővel rendelkező a szám hatványa pedig értelemszerűen n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezek az érvek lehetővé teszik, hogy kijelentsük, hogy bármely pozitív a bázis esetén az a n fok pozitív szám. A bizonyított tulajdonság miatt 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ill. .

Nyilvánvaló, hogy bármely n természetes számra, ahol a=0, a n foka nulla. Valóban, 0 n =0·0·…·0=0 . Például 0 3 =0 és 0 762 =0.

Térjünk át a negatív fokozati alapokra.

Kezdjük azzal az esettel, amikor a kitevő páros szám, jelöljük 2·m-nek, ahol m természetes szám. Akkor . Az a·a alakú szorzatok mindegyike egyenlő az a és a számok modulusainak szorzatával, ami azt jelenti, hogy pozitív szám. Ezért a termék is pozitív lesz és foka a 2·m. Mondjunk példákat: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 és .

Végül, ha az a bázis negatív szám, a kitevő pedig páratlan szám 2 m−1, akkor . Minden a·a szorzat pozitív szám, ezeknek a pozitív számoknak a szorzata is pozitív, és ennek szorzata a maradékkal negatív szám a negatív számot eredményez. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Térjünk át az azonos természetes kitevővel rendelkező hatványok összehasonlításának tulajdonságára, amelynek a következő megfogalmazása van: két azonos természetes kitevőjű hatvány közül n kisebb, mint az, amelynek az alapja kisebb, és nagyobb az, amelynek az alapja nagyobb. . Bizonyítsuk be.

Egyenlőtlenség a n az egyenlőtlenségek tulajdonságai igaz az a n alakú bizonyítható egyenlőtlenség is (2.2) 7. és .

A hatványok felsorolt ​​tulajdonságai közül az utolsót kell bizonyítani természetes kitevővel. Fogalmazzuk meg. Két hatvány közül, amelyek természetes kitevője és azonos pozitív bázisa kisebb, mint egy, az a nagyobb, amelynek a kitevője kisebb; és két hatvány közül, amelyek természetes kitevője és azonos bázisa nagyobb, mint egy, az a nagyobb, amelynek a kitevője nagyobb. Folytassuk ennek a tulajdonságnak a bizonyítását.

Bizonyítsuk be, hogy m>n és 0 esetén 0 az m>n kezdeti feltétel miatt, ami azt jelenti, hogy 0-nál

Az ingatlan második részének bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy m>n és a>1 esetén a m >a n igaz. Az a m −a n különbség egy n zárójelből való kihúzása után a n ·(a m−n −1) alakot ölti. Ez a szorzat pozitív, mivel a>1 esetén az a n fok pozitív szám, az a m-n -1 különbség pedig pozitív szám, mivel m-n>0 a kezdeti feltétel miatt, a>1 esetén pedig a fok a m−n nagyobb egynél. Következésképpen a m −a n >0 és a m >a n, amit bizonyítani kellett. Ezt a tulajdonságot a 3 7 >3 2 egyenlőtlenség szemlélteti.

Egész kitevős hatványok tulajdonságai

Mivel a pozitív egészek természetes számok, ezért a pozitív egész kitevővel rendelkező hatványok minden tulajdonsága pontosan egybeesik az előző bekezdésben felsorolt ​​és bizonyított természetes kitevőjű hatványok tulajdonságaival.

Egy egész szám negatív kitevőjű fokot, valamint nulla kitevővel definiáltunk úgy, hogy a természetes kitevős fokok egyenlőségekkel kifejezett összes tulajdonsága érvényben maradjon. Ezért ezek a tulajdonságok mind nulla kitevőre, mind negatív kitevőre érvényesek, miközben természetesen a hatványok alapjai eltérnek a nullától.

Tehát minden a és b valós és nem nulla számra, valamint bármely m és n egész számra a következők igazak: egész kitevőjű hatványok tulajdonságai:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a · b) n =a n · b n ;
4. (a:b) n =a n:bn;
5. (a m) n =a m·n;
6. ha n pozitív egész szám, akkor a és b pozitív számok, és a b-n ;
7. ha m és n egész számok, és m>n , akkor 0-nál 1 az a m >a n egyenlőtlenség teljesül.

Ha a=0, az a m és a n hatványoknak csak akkor van értelme, ha m és n is pozitív egész szám, azaz természetes szám. Így az imént felírt tulajdonságok azokra az esetekre is érvényesek, amikor a=0 és az m és n számok pozitív egészek.

Ezen tulajdonságok mindegyikének bizonyítása nem nehéz, ehhez elegendő a természetes és egész kitevős fokok definícióit, valamint a valós számokkal végzett műveletek tulajdonságait használni. Példaként bizonyítsuk be, hogy a hatvány-hatvány tulajdonság pozitív egészekre és nem pozitív egészekre is érvényes. Ehhez meg kell mutatni, hogy ha p nulla vagy természetes szám és q nulla vagy természetes szám, akkor az (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) egyenlőségek ·q, (a p ) −q =a p·(−q) és (a −p) −q =a (−p)·(−q). Csináljuk.

Pozitív p és q esetén az (a p) q =a p·q egyenlőséget az előző bekezdésben igazoltuk. Ha p=0, akkor van (a 0) q =1 q =1 és a 0·q =a 0 =1, ahonnan (a 0) q =a 0·q. Hasonlóképpen, ha q=0, akkor (a p) 0 =1 és a p·0 =a 0 =1, innen (a p) 0 =a p·0. Ha p=0 és q=0 is, akkor (a 0) 0 =1 0 =1 és a 0·0 =a 0 =1, ahonnan (a 0) 0 =a 0,0.

Most bebizonyítjuk, hogy (a −p) q =a (−p)·q . A negatív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint tehát . Hatványaink hányadosainak tulajdonsága alapján . Mivel 1 p =1·1·…·1=1 és , akkor . Az utolsó kifejezés definíció szerint egy a −(p·q) alakú hatvány, amely a szorzás szabályai miatt (−p)·q-ként írható fel.

Hasonlóképpen .

ÉS .

Ugyanezt az elvet alkalmazva a fok összes többi tulajdonságát egész kitevővel, egyenlőségek formájában írva igazolhatja.

A rögzített tulajdonságok közül az utolsó előttiben érdemes elidőzni az a −n >b −n egyenlőtlenség bizonyításán, amely minden negatív −n egész számra, valamint minden olyan pozitív a és bre érvényes, amelyre az a feltétel teljesül. . Mivel feltétellel a 0 . Az a n · b n szorzat is pozitív a n és b n pozitív számok szorzataként. Ekkor a kapott tört a b n −a n és a n ·b n pozitív számok hányadosaként pozitív. Ezért honnan a −n >b −n , amit bizonyítani kellett.

Az egész kitevővel rendelkező hatványok utolsó tulajdonsága ugyanúgy igazolt, mint a természetes kitevős hatványok hasonló tulajdonsága.

Racionális kitevős hatványok tulajdonságai

Egy fokot tört kitevővel határoztunk meg úgy, hogy a fok tulajdonságait egész kitevővel kiterjesztettük rá. Más szóval, a tört kitevővel rendelkező hatványok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az egész kitevőkkel rendelkező hatványok. Ugyanis:

A fokok tulajdonságainak tört kitevővel való bizonyítása a tört kitevővel rendelkező fok, illetve az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságain alapul. Adjunk bizonyítékot.

Hatvány definíciója szerint tört kitevővel és , akkor . Az aritmetikai gyök tulajdonságai lehetővé teszik, hogy a következő egyenlőségeket írjuk fel. Továbbá az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságát felhasználva megkapjuk, amelyből a tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján azt kapjuk, hogy , és a kapott fok mutatója a következőképpen alakítható át: . Ezzel teljes a bizonyítás.

A tört kitevővel rendelkező hatványok második tulajdonsága teljesen hasonló módon bizonyított:

A fennmaradó egyenlőségeket hasonló elvekkel bizonyítjuk:

Térjünk át a következő tulajdonság bizonyítására. Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív a és b esetén a b p . Írjuk fel a p racionális számot m/n-nek, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Feltételek p<0 и p>0 ebben az esetben a feltételek m<0 и m>0 ennek megfelelően. m>0 és a

Hasonlóképpen a m<0 имеем a m >b m , honnan, azaz és a p >b p .

A felsorolt ​​tulajdonságok közül az utolsó bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy p és q racionális számokra p>q 0-nál 0 – egyenlőtlenség a p >a q . A p és q racionális számokat mindig közös nevezőre redukálhatjuk, még akkor is, ha és közönséges törteket kapunk, ahol m 1 és m 2 egész számok, n pedig természetes szám. Ebben az esetben a p>q feltétel megfelel az m 1 >m 2 feltételnek, ami ebből következik. Ezután az azonos bázisú hatványok és a 0-nál lévő természetes kitevők összehasonlításának tulajdonsága alapján 1 – egyenlőtlenség a m 1 >a m 2 . A gyökök tulajdonságainak ezen egyenlőtlenségei ennek megfelelően átírhatók És . A fokozat racionális kitevővel való meghatározása pedig lehetővé teszi, hogy továbblépjünk az egyenlőtlenségekre és ennek megfelelően. Innen vonjuk le a végső következtetést: p>q és 0 esetén 0 – egyenlőtlenség a p >a q .

Irracionális kitevőkkel rendelkező hatványok tulajdonságai

Abból, ahogyan egy irracionális kitevővel rendelkező fokot meghatározunk, arra a következtetésre juthatunk, hogy rendelkezik a racionális kitevővel rendelkező fokok összes tulajdonságával. Tehát bármely a>0, b>0 és irracionális p és q számra a következők igazak irracionális kitevőjű hatványok tulajdonságai:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a · b) p =a p · b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q;
6. bármely pozitív a és b szám esetén a 0 az egyenlőtlenség a p b p ;
7. p és q irracionális számok esetén p>q 0-nál 0 – egyenlőtlenség a p >a q .

Ebből arra következtethetünk, hogy a tetszőleges p és q valós kitevővel rendelkező hatványok a>0 esetén azonos tulajdonságokkal rendelkeznek.

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika tankönyv 5. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9. osztálynak. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).