Számkör trigonometria. Trigonometria. Egységkör. függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg

A trigonometria, mint tudomány, az ókori Keletről származik. Első trigonometrikus arányok csillagászok fejlesztették ki pontos naptár létrehozására és a csillagok szerinti navigálásra. Ezek a számítások a gömbi trigonometriára vonatkoztak, míg in iskolai tanfolyam tanulmányozza a sík háromszög oldalainak és szögeinek arányát.

A trigonometria a matematikának egy ága, amely a tulajdonságokkal foglalkozik trigonometrikus függvények valamint a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolat.

A kultúra és a tudomány virágkorában, az i.sz. I. évezredben a tudás az ókori Keletről terjedt Görögországba. De a trigonometria fő felfedezései az arab kalifátus embereinek érdemei. Különösen a türkmén tudós, al-Marazwi olyan függvényeket vezetett be, mint az érintő és a kotangens, és összeállította a szinuszok, érintők és kotangensek első értéktáblázatait. A szinusz és koszinusz fogalmát indiai tudósok vezették be. A trigonometria nagy figyelmet kapott az ókor olyan nagy alakjainak munkáiban, mint Eukleidész, Arkhimédész és Eratoszthenész.

A trigonometria alapmennyiségei

Alapvető trigonometrikus függvények numerikus argumentum– ezek a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Mindegyiknek megvan a saját gráfja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Ezen mennyiségek értékének kiszámítására szolgáló képletek a Pitagorasz-tételen alapulnak. Az iskolások jobban ismerik a megfogalmazásban: „Pitagorasz nadrág, minden irányban egyenlő”, mivel a bizonyítást egy egyenlő szárú derékszögű háromszög példáján keresztül adjuk meg.

Szinusz, koszinusz és egyéb függőségek teremtik meg a kapcsolatot éles sarkokés bármely derékszögű háromszög oldalai. Mutassunk be képleteket ezeknek a mennyiségeknek az A szögre történő kiszámításához, és kövessük nyomon a trigonometrikus függvények közötti összefüggéseket:

Amint látja, a tg és a ctg az inverz függvények. Ha az a lábat az A sin és a c hipotenusz szorzataként, a b lábat pedig cos A * cként képzeljük el, akkor azt kapjuk, hogy következő képleteketérintő és kotangens esetén:

Trigonometrikus kör

Grafikusan az említett mennyiségek közötti kapcsolat a következőképpen ábrázolható:

A kör ebben az esetben az α szög összes lehetséges értékét képviseli 0°-tól 360°-ig. Amint az ábrán látható, minden függvény a szögtől függően negatív vagy pozitív értéket vesz fel. Például a sin α „+” jelű lesz, ha α a kör 1. és 2. negyedéhez tartozik, azaz 0° és 180° közötti tartományban van. 180° és 360° közötti α esetén (III. és IV. negyed) a sin α csak negatív érték lehet.

Próbáljunk építeni trigonometrikus táblázatok adott szögekhez és megtudja a mennyiségek értékét.

A 30°, 45°, 60°, 90°, 180° és így tovább α értékeit speciális eseteknek nevezzük. A trigonometrikus függvények értékeit kiszámítják és speciális táblázatok formájában mutatják be.

Ezeket a szögeket nem véletlenül választották ki. A táblázatokban a π jelölés a radiánokra vonatkozik. Rad az a szög, amelyben a körív hossza megfelel a sugarának. Ezt az értéket egy univerzális függés megállapítása érdekében vezették be, radiánban való számításnál a sugár cm-ben megadott tényleges hossza nem számít.

A trigonometrikus függvények táblázatában szereplő szögek radiánértékeknek felelnek meg:

Tehát nem nehéz kitalálni, hogy 2π egy teljes kör vagy 360°.

A trigonometrikus függvények tulajdonságai: szinusz és koszinusz

A szinusz és koszinusz, érintő és kotangens alapvető tulajdonságainak figyelembe vételéhez és összehasonlításához szükséges ezek függvényeinek felrajzolása. Ez megtehető egy kétdimenziós koordináta-rendszerben elhelyezett görbe formájában.

Tekintsük a szinusz és koszinusz tulajdonságainak összehasonlító táblázatát:

Szinuszos hullám	Koszinusz
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, ha x = πk, ahol k ϵ Z	cos x = 0, ha x = π/2 + πk, ahol k ϵ Z
sin x = 1, ha x = π/2 + 2πk, ahol k ϵ Z	cos x = 1, ahol x = 2πk, ahol k ϵ Z
sin x = - 1, ahol x = 3π/2 + 2πk, ahol k ϵ Z	cos x = - 1, ha x = π + 2πk, ahol k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, azaz a függvény páratlan	cos (-x) = cos x, azaz a függvény páros
	a függvény periodikus, legrövidebb időszak- 2π
sin x › 0, ahol x az 1. és 2. negyedhez tartozik, vagy 0°-tól 180°-ig (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, ahol x az I. és IV. negyedhez tartozik, vagy 270°-tól 90°-ig (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, ahol x a harmadik és negyedik negyedhez tartozik, vagy 180°-tól 360°-ig (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, ahol x a 2. és 3. negyedhez tartozik, vagy 90°-tól 270°-ig (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
növekszik a [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] intervallumban	növekszik a [-π + 2πk, 2πk] intervallumon
intervallumonként csökken [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	időközönként csökken
derivált (sin x)’ = cos x	derivált (cos x)’ = - sin x

Annak meghatározása, hogy egy függvény páros-e vagy sem, nagyon egyszerű. Elég elképzelni egy trigonometrikus kört a trigonometrikus mennyiségek előjeleivel, és gondolatban „hajtogatni” a grafikont az OX tengelyhez képest. Ha az előjelek egybeesnek, a függvény páros, egyébként páratlan.

A radiánok bevezetése, valamint a szinusz- és koszinuszhullámok alapvető tulajdonságainak felsorolása lehetővé teszi a következő minta bemutatását:

Nagyon könnyű ellenőrizni, hogy a képlet helyes-e. Például x = π/2 esetén a szinusz 1, csakúgy, mint az x = 0 koszinusza. Az ellenőrzés elvégezhető táblázatokból, vagy adott értékek függvénygörbéinek nyomon követésével.

Tangentsoidok és kotangenszoidok tulajdonságai

Az érintő és a kotangens függvények grafikonjai jelentősen eltérnek a szinusz- és koszinuszfüggvényektől. A tg és ctg értékek egymás reciprokjai.

Y = barna x.
Az érintő az x = π/2 + πk y értékei felé hajlik, de soha nem éri el azokat.
A tangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
Tg (- x) = - tg x, azaz a függvény páratlan.
Tg x = 0, ha x = πk.
A funkció növekszik.
Tg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, x ϵ esetén (— π/2 + πk, πk).
Származék (tg x)’ = 1/cos 2⁡x.

Mérlegeljük grafikus kép kotangentoidok alább a szövegben.

A kotangentoidok fő tulajdonságai:

Y = kiságy x.
A szinusz- és koszinuszfüggvényekkel ellentétben a tangentoidban Y felveheti az összes valós szám halmazának értékét.
A kotangentoid az x = πk y értékei felé hajlik, de soha nem éri el azokat.
A kotangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
Ctg (- x) = - ctg x, azaz a függvény páratlan.
Ctg x = 0, ha x = π/2 + πk.
A funkció csökken.
Ctg x › 0, x ϵ esetén (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, x ϵ esetén (π/2 + πk, πk).
Származék (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Helyes

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekel ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Cél: tanítsa meg az egységkör használatát különféle trigonometrikus feladatok megoldása során.

Egy iskolai matematika tanfolyamon többféle lehetőség is lehetséges a trigonometrikus függvények bevezetésére. A legkényelmesebb és leggyakrabban használt a „numerikus egységkör”. Alkalmazása a „Trigonometria” témakörben igen kiterjedt.

Egységkör a következőkre használják:

– a szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásai;
- trigonometrikus függvények értékeinek megtalálása egyes numerikus és numerikus értékekhez szögérv;
– alapvető trigonometriai képletek levezetése;
– redukciós képletek származtatása;
– a trigonometrikus függvények definíciós tartományának és értéktartományának megtalálása;
– trigonometrikus függvények periodicitásának meghatározása;
– trigonometrikus függvények paritásának és páratlanságának meghatározása;
– növekvő és csökkenő trigonometrikus függvények intervallumainak meghatározása;
– trigonometrikus függvények állandó előjelének intervallumainak meghatározása;
– szögek radián mérése;
– inverz trigonometrikus függvények értékeinek megtalálása;
– megoldás a legegyszerűbbre trigonometrikus egyenletek;
– egyszerű egyenlőtlenségek megoldása stb.

Így a tanulók aktív, tudatos elsajátítása az ilyen típusú vizualizációban vitathatatlan előnyökkel jár a matematika „trigonometria” szakaszának elsajátításában.

Az IKT használata a matematika tanítási órákon megkönnyíti a numerikus egységkör elsajátítását. Biztosan, interaktív tábla sokféle alkalmazással rendelkezik, de nem minden osztály rendelkezik vele. Ha már a prezentációk használatáról beszélünk, akkor az interneten széles a választék, és minden tanár megtalálhatja a számára legmegfelelőbb lehetőséget az óráira.

Mi a különleges az általam bemutatott előadásban?

Ez az előadás különféle felhasználási eseteket javasol, és nem célja a „Trigonometria” témakör egy konkrét leckének bemutatása. Ennek a prezentációnak minden diája külön-külön használható az anyag ismertetésének, a készségek fejlesztésének és a reflexiónak a szakaszában. Az előadás elkészítésekor kiemelt figyelmet fordítottak a távolról való „olvashatóságára”, hiszen folyamatosan nő a gyengénlátó tanulók száma. A színséma átgondolt, a logikailag összetartozó tárgyakat egyetlen szín egyesíti. A prezentáció animációja oly módon történik, hogy a tanár hozzászólhat a diarészlethez, a diák pedig kérdést tehet fel. Így ez a bemutató egyfajta „mozgó” asztalok. Az utolsó diák nem animáltak, és az anyag elsajátításának tesztelésére szolgálnak trigonometrikus feladatok megoldása során. A diákon látható kör a lehető legegyszerűbb megjelenésű, és a lehető legközelebb áll a tanulók által a füzetpapíron ábrázolt körhöz. Ezt a feltételt alapvetőnek tartom. Fontos, hogy a trigonometrikus feladatok megoldása során a tanulók véleményt alkossanak az egységkörről, mint a tisztánlátás elérhető és mobil (bár nem az egyetlen) formájáról.

Ez az előadás segít a tanároknak abban, hogy bemutassák a tanulóknak az egységkört a 9. osztályos geometria leckéken, amikor a „Háromszög oldalai és szögei közötti összefüggések” témát tanulmányozzák. És természetesen segít bővíteni és elmélyíteni az egységkörrel való munkavégzés készségeit, amikor az algebrai órákon trigonometrikus problémákat oldanak meg az idősebb diákok számára.

3., 4. dia ismertesse az egységkör felépítését; az 1. és 2. koordinátanegyedben lévő egységkör pontjának meghatározásának elve; transzfer innen geometriai meghatározások szinuszos és koszinuszos függvények (in derékszögű háromszög) algebraihoz az egységkörön.

5-8. dia magyarázza el, hogyan lehet megtalálni a trigonometrikus függvények értékeit az első koordinátanegyed fő szögeihez.

Dia 9-11 elmagyarázza a függvények jeleit koordinátanegyedekben; trigonometrikus függvények állandó előjelének intervallumainak meghatározása.

12. dia pozitív és negatív szögértékekkel kapcsolatos elképzelések kialakítására szolgál; megismerkedés a trigonometrikus függvények periodicitásának fogalmával.

13., 14. dia radiánszögmérésre való átváltáskor használatosak.

Dia 15-18 nem animáltak, és különféle trigonometrikus feladatok megoldására, az anyag elsajátításának eredményeinek konszolidálására és ellenőrzésére használatosak.

Címlap.
Célmeghatározás.
Egységkör felépítése. A szögek alapértékei fokban.
Szög szinuszának és koszinuszának meghatározása egységkörön.
A szinusz táblázatértékei növekvő sorrendben.
A koszinusz táblázatértékei növekvő sorrendben.
Táblázatbeli értékek az érintőhöz növekvő sorrendben.
A kotangens táblázatértékei növekvő sorrendben.
Funkciójelek sin α.
Funkciójelek cos α.
Funkciójelek tan αÉs ctg α.
Pozitív és negatív értékeket szögek az egységkörön.
Radián szögmérték.
Pozitív és negatív szögértékek radiánban az egységkörön.
Különféle lehetőségek egységkör az anyag elsajátításának eredményeinek konszolidálásához és ellenőrzéséhez.

A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknős” apóriája. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták a mai napig folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem komplett megoldás Problémák. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire külön szeretném felhívni a figyelmet, az az, hogy két időpont és két térpont különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más kutatási lehetőséget biztosítanak.

2018. július 4., szerda

A készlet és a multihalmaz közötti különbségek nagyon jól le vannak írva a Wikipédián. Lássuk.

Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „csavarj meg, a házban vagyok”, vagy inkább „matematika tanulmányok” kifejezés mögé. elvont fogalmak", van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Jelentkezés matematikai elmélet maguknak a matematikusoknak állítja be.

Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetéskészletét”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek megnyugtatni bennünket, hogy az azonos címletű váltószámok eltérőek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: a különböző érmékben különböző mennyiségű szennyeződés van, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi...

És most van a legérdekesebb kérdésem: hol van az a határ, amelyen túl a multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak, és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.

Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy van egy multihalmazunk. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan működnek a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

2018. március 18. vasárnap

Egy szám számjegyeinek összege sámánok tánca tamburával, aminek semmi köze a matematikához. Igen, a matematika órán azt tanítják, hogy keressük meg egy szám számjegyeinek összegét és használjuk, de ezért ők sámánok, hogy megtanítsák leszármazottaikat tudásukra és bölcsességükre, különben a sámánok egyszerűen kihalnak.

Bizonyítékra van szüksége? Nyissa meg a Wikipédiát, és próbálja meg megtalálni a "Számjegyek összege" oldalt. Ő nem létezik. A matematikában nincs olyan képlet, amellyel bármely szám számjegyeinek összegét meg lehetne találni. Hiszen a számok grafikus szimbólumok, amelyekkel számokat írunk, és a matematika nyelvén a feladat így hangzik: „Keresd meg a tetszőleges számot ábrázoló grafikus szimbólumok összegét!” A matematikusok nem tudják megoldani ezt a problémát, de a sámánok könnyen meg tudják oldani.

Találjuk ki, mit és hogyan tegyünk annak érdekében, hogy megtaláljuk egy adott szám számjegyeinek összegét. Tehát legyen az 12345 szám. Mit kell tenni, hogy megtaláljuk ennek a számnak a számjegyeinek összegét? Vegyük sorra az összes lépést.

1. Írja fel a számot egy papírra. Mit tettünk? A számot grafikus számszimbólummá alakítottuk át. Ez nem matematikai művelet.

2. Egy kapott képet több, egyedi számokat tartalmazó képre vágunk. A kép kivágása nem matematikai művelet.

3. Alakítsa át az egyes grafikus szimbólumokat számokká. Ez nem matematikai művelet.

4. Adja hozzá a kapott számokat. Ez most a matematika.

Az 12345 számjegyeinek összege 15. Ezek a sámánok által tanított „szabás- és varrótanfolyamok”, amelyeket a matematikusok használnak. De ez még nem minden.

Matematikai szempontból nem mindegy, hogy melyik számrendszerben írunk egy számot. Tehát különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő lesz. A matematikában a számrendszert alsó indexként tüntetjük fel a számtól jobbra. VAL VEL egy nagy szám 12345 Nem akarom becsapni a fejem, nézzük a 26-os számot a cikkből. Írjuk fel ezt a számot bináris, oktális, decimális és hexadecimális számrendszerben. Nem nézünk mikroszkóp alatt minden lépést, ezt már megtettük. Nézzük az eredményt.

Mint látható, a különböző számrendszerekben ugyanazon szám számjegyeinek összege eltérő. Ennek az eredménynek semmi köze a matematikához. Ez ugyanaz, mintha egy téglalap területét méterben és centiméterben határozná meg, teljesen más eredményeket kapna.

A nulla minden számrendszerben ugyanúgy néz ki, és nincs számjegyösszege. Ez egy újabb érv amellett, hogy. Kérdés matematikusokhoz: hogyan lehet a matematikában kijelölni valamit, ami nem szám? A matematikusok számára a számokon kívül semmi sem létezik? Ezt megengedhetem a sámánoknak, de nem a tudósoknak. A valóság nem csak a számokból áll.

A kapott eredményt annak bizonyítékának kell tekinteni, hogy a számrendszerek a számok mértékegységei. Hiszen nem hasonlíthatjuk össze a számokat különböző mértékegységekkel. Ha ugyanazok a műveletek ugyanazon mennyiség különböző mértékegységeivel eltérő eredményre vezetnek az összehasonlítás után, akkor ennek semmi köze a matematikához.

Mi az igazi matematika? Ilyenkor egy matematikai művelet eredménye nem függ a szám nagyságától, az alkalmazott mértékegységtől és attól, hogy ki végzi el ezt a műveletet.

Jelölje be az ajtón Kinyitja az ajtót és azt mondja:

Ó! Ez nem a női mosdó?
- Fiatal nő! Ez egy laboratórium a lelkek indefil szentségének tanulmányozására a mennybemenetelük során! Halo a tetején és nyíl felfelé. Milyen másik wc?

Nő... A tetején lévő halo és a lefelé mutató nyíl férfi.

Ha egy ilyen dizájnművészeti alkotás naponta többször felvillan a szemed előtt,

Akkor nem meglepő, hogy hirtelen egy furcsa ikont talál az autójában:

Én személy szerint igyekszem mínusz négy fokot látni egy kakáló emberben (egy kép) (több képből álló kompozíció: mínusz jel, négyes szám, fokok megjelölése). És szerintem ez a lány nem bolond, aki nem ismeri a fizikát. Csak erős sztereotípiája van a grafikus képek észlelésével kapcsolatban. A matematikusok pedig állandóan ezt tanítják nekünk. Íme egy példa.

Az 1A nem „mínusz négy fok” vagy „egy a”. Ez a "pooping man" vagy a "huszonhat" szám hexadecimális jelöléssel. Azok, akik folyamatosan ebben a számrendszerben dolgoznak, automatikusan egy számot és egy betűt egyetlen grafikus szimbólumként érzékelnek.

Ha már ismeri trigonometrikus kör , és csak bizonyos elemekre szeretné felfrissíteni az emlékezetét, vagy teljesen türelmetlen vagy, akkor itt van:

Itt mindent részletesen elemzünk lépésről lépésre.

A trigonometrikus kör nem luxus, hanem szükséglet

Trigonometria Sokan az áthatolhatatlan bozóttal asszociálják. Hirtelen annyi trigonometrikus függvény értéke, annyi képlet halmozódik fel... De mintha az elején nem sikerült, és... indulunk... teljes félreértés...

Nagyon fontos, hogy ne add fel trigonometrikus függvények értékei, - mondják, értéktáblázattal mindig lehet a sarkantyút nézni.

Ha folyamatosan nézel egy táblázatot értékeket trigonometrikus képletek, szabaduljunk meg ettől a szokástól!

Ő segíteni fog nekünk! Többször fogsz vele dolgozni, aztán felpattan a fejedben. Miben jobb, mint egy asztal? Igen, a táblázatban korlátozott számú értéket talál, de a körön - MINDEN!

Például, mondd, miközben nézed a trigonometrikus képletek standard értéktáblázata , mi a szinusz egyenlő mondjuk 300 fokkal, vagy -45-tel.

Dehogy?.. persze lehet csatlakozni redukciós képletek... És a trigonometrikus kört nézve könnyen megválaszolhatja az ilyen kérdéseket. És hamarosan megtudod, hogyan!

És amikor trigonometrikus egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg trigonometrikus kör nélkül, az abszolút sehol.

Bevezetés a trigonometrikus körbe

Menjünk sorban.

Először is írjuk ki ezt a számsort:

És most ez:

És végül ez:

Természetesen világos, hogy valójában az első helyen a , a második helyen a , az utolsó helyen pedig a . Vagyis minket jobban érdekel majd a lánc.

De milyen szép lett! Ha valami történik, helyreállítjuk ezt a „csodalétrát”.

És miért van rá szükségünk?

Ez a lánc a szinusz és a koszinusz fő értéke az első negyedévben.

Rajzoljunk egy egységsugarú kört téglalap alakú koordináta-rendszerbe (vagyis vegyünk tetszőleges sugarat hosszra, és a hosszát egységnyire nyilvánítjuk).

A „0-Start” gerendáról a sarkokat a nyíl irányába fektetjük (lásd az ábrát).

Megkapjuk a kör megfelelő pontjait. Tehát, ha a pontokat mindegyik tengelyre vetítjük, akkor a fenti láncból pontosan az értékeket kapjuk.

Miért van ez, kérdezed?

Ne elemezzünk mindent. Mérlegeljük elv, amely lehetővé teszi, hogy megbirkózzon más, hasonló helyzetekkel.

Az AOB háromszög téglalap alakú, és . És tudjuk, hogy a b szöggel szemben van egy láb, amely akkora, mint a hipotenusz (az alsó szögben van a kör sugara, azaz 1).

Ez azt jelenti, hogy AB= (és ezért OM=). És a Pitagorasz-tétel szerint