A rudak kiszámítása excenteres nyomófeszültség alatt

1. példa

Öntöttvas rövid a rudat hosszanti erő összenyomja F= 600 kN egy ponton BAN BEN.

Kívánt:

1. Határozza meg a semleges vonal helyzetét;

2. Számítsa ki a legnagyobb húzó- és legnagyobb nyomófeszültséget!

Megoldás.

1. Rajzoljuk meg a szakaszt méretarányosan.

2. Határozza meg a fő központi tengelyek helyzetét! A metszetnek van szimmetriatengelye, tehát a tengely Y Azonnal megmutatjuk.

3. Határozza meg az ábra súlypontjának helyzetét (az ábra két négyzetből áll). Válasszunk egy tetszőleges segédkoordináta-rendszert.

x 1 C 1 Y– segédkoordináta-rendszer;

határozza meg a pontok koordinátáit VAL VEL 1 és VAL VEL 2 a rendszerben x 1 C 1 Y.

A 1 , A 2 – az első és a második négyzet területe.

A = A 1 – A 2– a teljes ábra területe.

A 1 = b 2 = 2500 cm2

VAL VEL (x c = 0; nál nél c = -5,89) – a súlypont helyzete a segédkoordináta-rendszerben x 1 C 1 Y.

Tengely x tengelyre merőlegesen rajzoljon Y ponton keresztül VAL VEL.

Mivel a szakasz szimmetrikus, akkor XС Y– fő központi koordinátarendszer.

4. Határozzuk meg a fő központi tehetetlenségi nyomatékokat és a szelvény fő sugarainak négyzetét!

Ahol A 1 = 5,89 cm – a tengelyek közötti távolság xÉs x 1 ;

A 2 = 5,89 + 17,68 = 23,57 – a tengelyek közötti távolság xÉs x 2 .

5. Határozza meg a pont koordinátáit! BAN BEN(erő alkalmazási pontjai) a központi főkoordináta-rendszerben x c Su c.

6. Határozza meg a semleges vonal helyzetét.

,

Ahol x N, nál nél N – semleges vonalpontok koordinátái.

Ebben a problémában

A semleges vonal átmegy a ponton ( x N=0;nál nél N =11,36) párhuzamos a tengellyel x Val vel.

7. Ebben a feladatban a rúdra nyomóerő hat, így a normál feszültségeket a keresztmetszet bármely pontjában a képlet határozza meg.

Ahol x, y– ezek annak a pontnak a koordinátái, ahol a feszültségeket számítjuk.

8. A legnagyobb nyomófeszültségek a ponton érhetők el BAN BEN. Ez a kompressziós területen a semleges vonaltól legtávolabbi pont.

A legnagyobb húzófeszültség a pontokon érhető el NAK NEKÉs Ly K = nál nél L = 23,57 cm.

Válasz: ,

2. példa

Szerkessze meg a szakasz magját.

Megoldás.

1. Határozza meg a metszetmag kontúrjának típusát.

2. Határozza meg a kontúron belül kapott sokszög csúcsainak számát (vagyis a rúd metszetét korlátozó érintők számát). 6 határ érintő - 6 csúcs.

3. Határozza meg a fő központi tengelyek helyzetét! A szakasznak van egy vízszintes szimmetriatengelye, így a tengely " x– Azonnal megmutathatjuk. XOY 0 – segédkoordináta-rendszer (tengely " Y 0" önkényesen hajtják végre).

A szakasz két egyszerű formából áll (téglalap és négyzet). Határozzuk meg a súlypontok koordinátáit VAL VEL 1 és VAL VEL 2 tetszőleges koordinátarendszerben XOY 0 .

Téglalap súlypontja.

Négyzet súlypontja.

Egy téglalap területe.

Egy négyzet területe.

(mert VAL VEL 1 és VAL VEL 2 feküdjön a tengelyen).

A teljes szakasz súlypontja a koordinátarendszerben XOY 0 koordinátákkal rendelkezik VAL VEL(0,015; 0). (A rajzon megmutatjuk).

Tengely Y tengelyre merőlegesen rajzoljon Y 0 a súlyponton keresztül VAL VEL.

Mivel a metszet szimmetrikus, a szimmetriatengely és a rá merőleges, a súlyponton átmenő tengely alkotja a fő központi rendszer koordináták

X, Y– a szakasz fő központi tengelyei.

4. Határozza meg a szakasz geometriai jellemzőit a fő központi tengelyekhez viszonyítva!

Számítsa ki a fő központi tehetetlenségi nyomatékokat! J x és J y.

Egy téglalap fő központi tehetetlenségi nyomatékai.

Egy négyzet fő központi tehetetlenségi nyomatékai.

(itt képletekkel határoztuk meg a párhuzamos tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat. Axiális pillanatok lapos szakasz tehetetlensége tetszőleges tengelyekhez viszonyítva x 1 és nál nél 1, párhuzamosan a központi tengelyekkel xÉs nál nél, amelyet a képletek határoznak meg

;

Ahol A,b– a tengelyek közötti távolság xÉs x 1 , nál nélÉs nál nél 1 , A- keresztmetszeti terület. az elfogadott x, y– központi tengelyek, azaz a súlyponton átmenő tengelyek VAL VEL lapos szakasz).

Számítsuk ki a fő tehetetlenségi sugarak négyzeteit!

5. Határozza meg a metszetmag csúcsait!

Legyen ismert a semleges egyenes helyzete. Meg kell határozni az erő alkalmazási pontjának koordinátáit.

1. Tekintsük a semleges egyenes helyzetét 1 – 1.

A semleges vonal tulajdonságát használjuk. Mivel az 1–1 semleges egyenes párhuzamos a tengellyel Y, akkor az erő alkalmazási pontja én 1 van a tengelyen x, vagyis nál nél F =0.

x N – a semleges vonal abszcisszán 1 – 1 pont (ponttávolság VAL VEL a semleges vonalhoz 1 – 1).

2. Tekintsük a 2 – 2 semleges egyenes helyzetét.

Vegyünk a 2-2 semleges egyenes két pontját (jobb olyan pontokat választani, ahol könnyen kiszámíthatja a koordinátákat)

BAN BEN(-0,615; 0,3)i D(-0,015; 0,6)

Helyettesítsük be a pontok koordinátáit BAN BEN És D a semleges egyenes egyenletbe.

(1)

(2)

Oldjuk meg az (1) – (2) egyenletrendszert!

Az első egyenletből

(3)

Helyettesítsük (3)-t (2)-re

3. Tekintsük a semleges egyenes helyzetét 3 – 3.

A semleges vonal tulajdonságát használjuk. Mivel a 3-3 semleges egyenes párhuzamosan fut a tengellyel x, akkor az erő alkalmazási pontja én 3 van a tengelyen Y, vagyis x F =0.

nál nél N – a semleges egyenes pontjának ordinátája 3 – 3 (a ponttól való távolság VAL VEL a semleges vonalhoz 3 – 3).

4. Tekintsük a 4 – 4 semleges egyenes helyzetét.

A semleges vonal tulajdonságát használjuk. Mivel a 4-4 semleges egyenes párhuzamosan fut a tengellyel Y, akkor az erő alkalmazási pontja én 4 van a tengelyen x, vagyis nál nél F = 0.

Példa3 .

A merev rúd két erővel van terhelve – húzó és nyomó (1. ábra). A rúd törékeny anyagból készült, melynek jellemzői és. A rúd keresztmetszete szimmetrikus, alakja és méretei megfelelnek az 1. ábrának. 2.

Kívánt:

1) keresse meg a szilárdsági állapotból a rúd megengedett terhelését, ha a nyomó- és húzóerők aránya

2) készítse el a szakasz magját.

1. ábra 2. ábra

Megoldás.

A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetét és a tehetetlenségi nyomatékokat egy adott szakasz e tengelyeihez képest korábban megtaláltuk (lásd a „Síkmetszetek geometriai jellemzői” című részt). Határozzuk meg a belső erőket a rúd tetszőleges szakaszában:

A veszélyes pontok helyzetének meghatározásához semleges egyenest szerkesztünk. Semleges egyenes egyenlet ebben a problémában van a forma

Innen a és tengelyeken találjuk a semleges vonal által levágott szakaszokat. Ha akkor

és ha , akkor

A semleges vonal az ábrán látható. 3.

3. ábra

Rajzoljunk érintőket a semleges egyenessel párhuzamos metszetkontúrra. Az 1. és 1. pont veszélyes ¢ (lásd 3. ábra), a legtávolabb a semleges vonaltól. Törékeny anyagnál veszélyesebb a maximális húzófeszültségű pont, pl. pont 1. Keressük meg a feszültséget ezen a ponton a képletbe behelyettesítéssel az 1. pont koordinátái:

Szilárdsági állapot az 1. pontban Or

Itt megtalálhatja a megengedett terhelési értéket (ne felejtse el helyesen beállítani a mértékegységeket. Szorzó előtt F p ebben a példában a mérete cm -2).

Végezetül meg kell győződni arról, hogy az 1. pontban ¢ , amely ebben a példában távolabb van a semleges tengelytől, mint az 1. pont, és amelynél nyomófeszültségek hatnak, a szilárdsági feltétel is teljesül, pl.

Most készítsük el a szakasz magját. Helyezzük a rudakat a szakasz külső sarokpontjaira. Figyelembe véve a metszet szimmetriáját, elegendő a pólusokat három ponton elhelyezni: 1, 2 és 3 (lásd 3. ábra). Behelyettesítés képletekre; a pólusok koordinátáit, a és a tengelyeken semleges vonalakkal levágott szakaszokat találunk. Ha a pólus az 1. pontban van, akkor a koordinátái És

Az 1-es pontban lévő pólusnak megfelelő 1–1 semleges vonal az ábrán látható. 3. Hasonlóképpen megépítjük a 2-2 és 3-3 semleges vonalakat, amelyek megfelelnek a 2-es és 3-as pólusnak. Semleges vonal készítésekor ügyeljünk arra, hogy az a pólussal ellentétes kvadránsban fusson. ábrán árnyékolt terület. A 3 a szakasz magja. ábra szerinti vezérléshez. A 3. ábrán a tehetetlenségi ellipszis látható. A szakasz magjának a tehetetlenségi ellipszis belsejében kell elhelyezkednie, anélkül, hogy azt bárhol metszi.

4. példa

Egy aszimmetrikus keresztmetszetű rudat egy pontban kifejtett erő összenyom A (1. ábra). A keresztmetszet alakja és méretei az ábrán láthatóak. 2. A rúd anyaga törékeny.

Kívánt:

1) találja meg a megengedett terhelést, amely kielégíti a szilárdsági feltételt;

2) készítse el a szakasz magját.

Megoldás.

Először is meg kell határozni a keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékait és sugarait a fő központi tengelyekhez képest. A probléma megoldásának ezt a részét a „Síkmetszetek geometriai jellemzői” című fejezet tartalmazza. ábrán. Az 1. ábrán a , szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyei láthatók, amelyek helyzetét korábban megtaláltuk. A központi tengelyek rendszerében YZ(2. ábra) az erőkifejtési pont koordinátái A , . Számítsuk ki a pont koordinátáit A a fő központi tengelyek rendszerében a képletek szerint

.

1. ábra 2. ábra

A veszélyes pontok helyzetének meghatározásához a képletek segítségével semleges egyenest készítünk; . Korábban talált tehetetlenségi sugarak.

Ábrázoljuk ezeket a szakaszokat a főtengelyek mentén, és a kapott pontokon keresztül húzzunk egy semleges vonalat (lásd 3. ábra).

3. ábra

Veszélypontok, pl. a semleges tengelytől legtávolabbi pontok az 1. és 3. pontok lesznek (lásd 3. ábra). Az 1. pontban hat a legnagyobb húzófeszültség. Írjuk fel a szilárdsági feltételt ezen a ponton a képlet segítségével :

Helyettesítsük be a szilárdsági feltételbe a főtengelyek 1. veszélyes pontjának koordinátáit, a képletekkel számítva

vagy rajzon méretarányosan mérve, Ekkor az 1. pont szilárdsági feltételéből a megengedett terhelési érték megtalálható:

.

A megengedett terhelés talált értékéhez meg kell győződni arról, hogy a szilárdsági feltétel a 3. pontban is teljesül, amely távolabb van a semleges vonaltól, és amelyen nyomófeszültség működik. A 3. pont feszültségének meghatározásához helyettesítse be ennek a pontnak a koordinátáit a képletben

.

Ez a feszültség nem haladhatja meg a . Ha a szilárdsági feltétel a maximális nyomófeszültségekkel járó ponton nem teljesül, akkor az ezen a ponton lévő szilárdsági feltételből újra meg kell találni a megengedett terhelés értékét.

Végül megszerkesztjük a szakasz magját. Helyezzük a rudakat a szakasz külső sarokpontjaira, pl. az 1., 2., 3., 4., 5. pontokhoz (lásd 3. ábra). A kör kvadránsának kontúrján található 4. pontot a következőképpen kapjuk meg. A belső sarokpontot levágva a metszet kontúrját érintő vonalat húzunk (3. ábrán pontozott vonal). A 4. pont az a pont, ahol ez az egyenes érinti a kör kvadránsát. Sorra megkeressük a pólusoknak megfelelő semleges egyenesek helyzetét a jelzett pontokban, a , tengelyeken a semleges vonalak által levágott szakaszokat a képletek segítségével; .Például, ha a pólus az 1-es pontban van, akkor behelyettesítve ; 1. pont koordinátáit (), találjuk

Mivel lényegesen nagyobb, ez azt jelenti, hogy az 1–1 semleges egyenes majdnem párhuzamos a tengellyel. A szakaszt skálán ábrázoljuk a tengely mentén, és a tengellyel párhuzamos 1–1 egyenest húzunk (lásd 3. ábra). Hasonlóan más pontokon elhelyezkedő pólusoknak megfelelő semleges vonalakat építünk. A keresztmetszetű mag (árnyékolt terület) az ábrán látható. 3. Vegye figyelembe, hogy a szelvénymag kontúrja a 4–4 és 5–5 semleges vonalak között egy görbe mentén körvonalazódik, mert A pólus átmenete a 4. pontból az 5. pontba nem egyenes vonalban történik. ábrán. A 3. ábra a szelvény korábban megszerkesztett tehetetlenségi ellipszisét is mutatja.

5. példa.

Adott keresztmetszetű gerendán egy pontban D a felső vége hosszanti nyomóerővel bír R=300 kN (lásd az ábrát). Meg kell találni a nulla vonal helyzetét, meg kell határozni a legnagyobb (húzó- és nyomó) feszültségeket és meg kell alkotni a szelvény magját.

Megoldás:

1. A fő központi tehetetlenségi tengelyek helyzetének meghatározása és a keresztmetszeti terület meghatározása

Mivel a gerenda keresztmetszetének (1. ábra) két szimmetriatengelye van, és ezek mindig áthaladnak a szelvény súlypontján és a fő tengelyek, ezért a szelvény fő központi tengelyei xés nál nél c egybe fog esni ezekkel a szimmetriatengelyekkel.

A szakasz súlypontja VAL VEL ebben az esetben nem kell meghatározni, mivel egybeesik a metszet geometriai középpontjával.

A gerenda keresztmetszete egyenlő:

2. A fő központi tehetetlenségi nyomatékok és a fő tehetetlenségi sugarak meghatározása

A tehetetlenségi nyomatékokat a következő képletek határozzák meg:

Kiszámoljuk a fő tehetetlenségi sugarak négyzetét:

3. A nulla egyenes helyzetének meghatározása

A fő központi tehetetlenségi tengelyen a nulla vonal által levágott szakaszokat a következő képletek határozzák meg:

Ahol x p=2,3 cm és y r=2 cm – az erőkifejtési pont koordinátái R(P pont a 11. ábrán). Félretéve a szegmenseket, illetve a tengelyeken x sÉs y sés a végükön keresztül egyenes vonalat húzva nulla metszetvonalat kapunk, amelynél a normálfeszültségek egyenlőek nullával (). Az 1. ábrán ez a vonal n-n.

4. A legnagyobb nyomó- és húzófeszültségek meghatározása és feszültségdiagram készítése

D pont , amelynek koordinátái x D =5,25 cm és nál nél D=5 cm, a szelvény összenyomott zónájában van a legtávolabb a nulla vonaltól, ezért ebben keletkeznek a legnagyobb nyomófeszültségek és a képlet határozza meg

A legnagyobb húzófeszültségek a K pontban jelentkeznek, amelynek koordinátái vannak x k= -5,25 cm, y k= -5 cm.

A kapott értékek alapján elkészítjük a normálfeszültségek diagramját (lásd 11. ábra).

5. A szelvénymag felépítése

A metszet magjának megszerkesztéséhez, figyelembe véve, hogy a szakasz szimmetrikus, vegye figyelembe az I-I és II-II szakasz körvonalának érintőjének két helyzetét. (lásd 1. ábra).

Az I -I érintővel levágott szegmensek a koordinátatengelyeken egyenlők:

A keresztmetszet mag 1 határpontjának koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

Tangens II -II szegmenseket vág le =5,25 cm, = ¥ .

Határpont koordináták 2 :

A szelvénymag második felének határpontjainak koordinátáit nem kell meghatározni, mivel a gerenda szakasza szimmetrikus. Ezt figyelembe véve a III -III és IV -IV érintőknél a határpontok koordinátái 3 És 4 lesz:

= 0; = 15,2× 10 -3 m;

=23,0× 10 -3 m = 0.

Az 1-es, 2-es, 3-as és 4-es pontokat egymás után egyenes vonalakkal összekötve megkapjuk a szelvény magját (1. ábra).

6. példa.

Az ábrán jelzett és egy excentrikusan összenyomott oszlophoz tartozó szakaszban határozza meg a legveszélyesebb pontokat és az azokban lévő feszültségeket! Nyomóerő F= 200 kN = 20 t egy ponton alkalmazva A.

Megoldás.

Mivel az X és az Y tengelyek szimmetriatengelyek, ezek a fő központi tengelyek.

A legveszélyesebb pontok azok a pontok lesznek, ahol maximum normál feszültség, és ezek a nullavonaltól legtávolabbi pontok. Ezért először meg kell határoznunk a nulla vonal helyzetét. Felírjuk a nulla egyenes egyenletét.

Esetünkben az erőkifejtési pont koordinátái a következők (lásd az ábrát):

= – 90 mm = – 0,09 m;

= – 60 mm = – 0,06 m.

A tehetetlenségi sugarak négyzetét a következőképpen határozzuk meg:

itt és - tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok az X és Y fő központi tengelyekre.

Axiális tehetetlenségi nyomatékok meghatározása. A mi rovatunkban a következők lesznek:

M 4;

M 4.

A teljes szakasz területe egyenlő lesz:

M 2,

majd a tehetetlenségi sugarak négyzete:

m 2;

m 2.

Képletek segítségével meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyeket a nulla egyenes a tengelyeken levág xÉs Y:

m;

m.

Ábrázoljuk ezeket a szakaszokat a koordinátatengelyeken, és megkapjuk azokat a pontokat, ahol a nulla egyenes metszi a koordinátatengelyeket. Ezeken a pontokon keresztül egyenes vonalat húzunk (lásd az ábrát). Azt látjuk, hogy a legtávolabbi pontok - ez a B pont a negatív feszültség zónában és a D pont a pozitív feszültség zónában.

Határozzuk meg a feszültségeket ezeken a pontokon:

;

A rajz alapján (lásd az ábrát) kapjuk:

= – 0,12 m; = – 0,03 m.

= –5,39× 10 4 kN/m 2 = – 53,9 MPa.

;

0,12 m; = 0,03 m.

1,86× 10 4 kN/m 2 = 18,6 MPa.

7. példa.

Öntöttvas rövida rudat, melynek keresztmetszete az ábrán látható, hosszirányú erő összenyomja F ponton alkalmazva A.

Kívánt:

1) számítsa ki a legnagyobb húzó- és maximális nyomófeszültséget a keresztmetszetben, kifejezve ezen feszültségek értékeit Fés a szakasz méretei; A= 40 mm, b= 60 mm;

2) keresse meg a megengedett terhelést F adott keresztmetszeti méreteknél és megengedett feszültségeknél az öntöttvasnál nyomásban = 100 MPa és feszítésben = 30 MPa.

Megoldás.

Fentebb jeleztük, hogy a számítási képletekben a geometriai jellemzőket a fő központi tengelyekhez viszonyítva vettük, ezért meghatározzuk a szakasz súlypontját. Tengely x a szimmetriatengely, ezért átmegy a súlyponton, ezért csak meg kell találnunk a helyét ezen a tengelyen. Osszuk fel a metszetet két komponensre (1 és 2) és válasszunk segédtengelyeket Írjuk fel a koordinátákat a súlypontok VAL VEL 1 és VAL VEL 2 ezekben a tengelyekben.

Lesz VAL VEL 1 (0,0); VAL VEL 2 (0,04; 0), majd:

m;

Tehát a tengelyekben xy 1 a teljes szakasz súlypontjának koordinátái vannak VAL VEL (0,0133; 0). Rajzolunk egy tengelyt a metszet súlypontján keresztül Y tengely merőleges X. X-tengely és Y lesz a szakasz fő központi tengelye.

Határozzuk meg a nulla vonal helyzetét.

Az erőkifejtési pont koordinátái (pontok A) a következőképpen alakul: =(0,02–0,0133)+0,04 =0,0467 m; = 0,06 m;

m 4,

m 4,

ahol = 0,0133 m;

m 2.

m 2, m 2;

és megkapjuk a semleges tengely által levágott szegmenseket az X és Y fő tehetetlenségi tengelyeken:

Tedd a tengelyre x, és a tengelyen Yés a kapott pontokon keresztül húzzunk egy nulla vonalat (lásd az ábrát). Látjuk, hogy a szakasz legtávolabbi pontjai a nullavonaltól - ez a lényeg A tömörített zónában és pontban BAN BEN feszített területen. Ezeknek a pontoknak a koordinátái a következők: A(0,0467; 0,06); BAN BEN(–0,0333; –0,12). Határozzuk meg ezeken a pontokon a feszültségeket, fejezzük ki azokat F.

Pontfeszültség A nem haladhatja meg a megengedett nyomófeszültséget , és a pont feszültsége BAN BEN nem haladhatja meg a megengedett húzófeszültséget, pl. a következő feltételeknek kell teljesülniük:

, ,

vagy

(A),

(b).

Tól től:

b) pontból:

Ahhoz, hogy a szilárdsági feltételt az oszlop húzó és nyomott zónájában egyidejűleg teljesítsük, megengedett terhelésnek a kapott kettő közül a kisebbet kell vennünk, pl. = 103 kN.

8. példa.

Öntöttvas rövidábrán látható téglalap keresztmetszetű rudat hosszanti erő összenyomja F ponton alkalmazva A.

Kívánt:

1) számítsa ki a legnagyobb húzó- és maximális nyomófeszültséget a keresztmetszetben, kifejezve ezen feszültségek értékeit Fés a szakasz méretei;

2) keresse meg a megengedett terhelést F adott keresztmetszeti méreteknél és öntöttvas megengedett nyomófeszültségeknél és szakító .

Megoldás.

Határozzuk meg a nulla vonal helyzetét. Ehhez a képleteket fogjuk használni

Az erőkifejtési pont (A pont) koordinátái a következők:

A tehetetlenségi sugarak négyzetét a következő képletekkel határozzuk meg:

Meghatározzuk azokat a szakaszokat, amelyeket a nulla egyenes levág a tengelyeken xÉs nál nél.

Tedd a tengelyre x – x 0 , és a tengelyen nál nél – nál nél 0, és húzz egy nulla vonalat a kapott pontokon n – n(Lásd a képen). Látjuk, hogy a szakasz legtávolabbi pontjai az A pont az összenyomott tartományban és a B pont a nyújtott tartományban. E pontok koordinátái a következők: A (0,04; 0,06), B (–0,04; –0,06). Határozzuk meg ezeken a pontokon a feszültség nagyságát, kifejezve azokat erővel F:

Az A pontban a feszültség nem haladhatja meg a megengedett nyomófeszültséget, a B pontban pedig a feszültség nem haladhatja meg a megengedett húzófeszültséget, azaz. feltételnek teljesülnie kell

Az első kifejezéstől a mennyiség F

A talált kettő közül azt a terhelést fogadjuk el, amelyik a legkisebb, azaz. = 567 kn.

9. példa.

ábrán látható keresztmetszetű rövid öntöttvas rúd. A, hosszanti erő hatására összenyomva P ponton alkalmazva A. Határozza meg a legnagyobb húzó- és maximális nyomófeszültséget a rúd keresztmetszetében, erővel kifejezve Pés keresztmetszeti méretek cm, cm.. Határozza meg a megengedett terhelést adott megengedett feszültségeknél az anyagra kN/cm 2 nyomásban és kN/cm 2 húzásban.

Megoldás.

A rúdra ható erő P az összenyomás mellett a rudat a fő központi tengelyekhez képest hajlítja xÉs y. A hajlítási nyomatékok rendre egyenlőek:

ahol cm és cm az erő alkalmazási pontjának koordinátái P(pont koordináták A).

Normális feszültségek egy ponton koordinátákkal xÉs yBármi a rúd keresztmetszetét a képlet határozza meg

,

Ahol F a terület, és a keresztmetszet forgási sugarai.

1. Határozza meg a rúd keresztmetszetének geometriai jellemzőit!

A rúd keresztmetszete egyenlő:

A fő központi tehetetlenségi nyomatékokat a következőképpen határozzuk meg.

A tehetetlenségi nyomaték kiszámítása Teljes tengelyhez viszonyított keresztmetszetek x, a teljes ábrát felosztjuk egy szélességű és magasságú téglalapra és két szélességű és magasságú téglalapra úgy, hogy a tengely x mindhárom figura központi eleme volt. Akkor

.

A teljes szakasz tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása a tengelyhez képest y osszuk el az egész ábrát egy kicsit másképp: egy téglalap szélességgel és magassággal és két téglalap szélességgel és magassággal, így most a tengely y mindhárom figura központi eleme volt. Kapunk

.

A tehetetlenségi sugarak négyzetei:

; .

2. Határozza meg a nulla vonal helyzetét!

A szegmensek és a koordinátatengelyektől a nulla egyenes által levágott szakaszok egyenlőek:

cm ; cm.

A nulla vonal megjelenítése N –Nábrán. b. A nulla vonal a keresztmetszetet két részre osztja, amelyek közül az egyik feszített, a másik pedig összenyomott. Az 1. ábrán b feszített a rúd keresztmetszete általunk árnyékolt.

3. Számítsa ki a legnagyobbat szakító feszültség.

Pontokban fordul elő 6 És 7 , azaz a nulla egyenestől legtávolabbi pontokban. Ennek a feszültségnek az értéke, például a pontra számítva 6 egyenlő:

4. Számítsa ki a legnagyobbat összenyomó feszültség.

Pontokban fordul elő 2 És 3 , egyben a legtávolabbi a nulla vonaltól. Ennek a feszültségnek az értéke, például a pontra számítva 2 , egyenlő:

5. Meghatározzuk a megengedett terhelést a szakítószilárdsági feltételből:

kN/cm2; kN.

6. Meghatározzuk a megengedett terhelést a nyomószilárdsági feltételből:

kN/cm2; kN.

a (6) és (7) bekezdésben található két értékből:

10. példa.

Egy rövid oszlop, amelynek keresztmetszete az 1. ábrán látható, hosszanti erő hatására összenyomódik. F= 200 kN, ponton alkalmazva NAK NEK. Szakasz méretei a= 40 cm, b = 16 cm. Az anyag számított szakítószilárdsága Rt = 3 MPa, kompresszió R with = 30 MPa .

Kívánt:

1. Keresse meg a nulla egyenes helyzetét!

2. Számítsa ki a legnagyobb nyomó- és húzófeszültségeket, és készítsen feszültségdiagramot! Adjon következtetést az oszlop szilárdságáról!

3. Határozza meg a tervezési teherbírást (tervezési terhelés) F max adott keresztmetszeti méretekhez.

4. Szerkessze meg a szakasz magját.

1. ábra

Megoldás.

1. A szakasz súlypontjának koordinátáinak meghatározása.

Az oszlop keresztmetszetének szimmetriatengelye van X s, ezért a súlypont ezen a tengelyen fekszik, és meg kell találni a koordinátát x s a melléktengelyhez képest Y o (lásd 1. ábra) az összetett szakaszt három téglalapra osztjuk

2. A szelvény geometriai jellemzői.

A fő központi tehetetlenségi nyomatékok kiszámításához a tehetetlenségi nyomatékok közötti kapcsolatot használjuk a tengelyek párhuzamos transzlációja során.

Határozzuk meg a tehetetlenségi sugarak négyzetét!

Az erőkifejtési pont koordinátái F

3. Nulla vonal pozíciója

A talált szerint az általunk rajzolt koordinátatengelyeken levágott szakaszok nulla vonal (lásd 2. ábra).

4. A legnagyobb nyomó- és húzófeszültségek meghatározása. Diagram .

A nulla vonaltól legtávolabbi pontok: BAN BEN(-60; 16)ÉsD(60; -32). Feszültségek ezeken a veszélyes pontokon koordinátákkal x dan , y dan nem haladhatja meg a megfelelő tervezési ellenállást

.

Húzófeszültség

Kompressziós stressz

Az oszlop szilárdsága biztosított.

A feszültségszámítások eredményei szerint és az ábra szerint. 2 ábrázolva .

5. Az oszlop számított teherbíró képességének számítása Fmax .

Mivel a nyomóerő adott értékénél az oszlop anyagának szilárdsága jelentősen alulhasznosul, a külső terhelés maximális értékét a legnagyobb feszültségek egyenletével fogjuk megtalálni. s tÉs s c számított ellenállások.

Végül válasszon egy kisebb értéket Fmax = 425,8 kN, biztosítva mind a húzó, mind a nyomott szelvényzónák szilárdságát.

2. ábra

6. A szelvénymag felépítése.

A metszet magjának körvonalának meghatározásához figyelembe kell venni a metszet körvonalához fűződő érintők összes lehetséges helyzetét, és feltételezve, hogy ezek az érintők nulla egyenesek, ki kell számítani a mag határpontjainak koordinátáit a szakasz fő központi tengelyei. Ezután ezeket a pontokat összekapcsolva megkapjuk a szakasz magjának körvonalát.

1-1 érintő: y o = 32 cm,

.

2-2 érintő: , .

3-3 érintő: , .

4-4 érintő: ; ;

; ;

;

.

5-5 érintő: ; .

6-6 érintő: ; ;

11. példa .

Azon a ponton P téglalap keresztmetszetű oszlopok, amelyek nyomóerőnek vannak kitéve P(Lásd a képen). Határozza meg a maximális és minimális normálfeszültséget!

Megoldás.

Az excenteres összenyomás során fellépő normál feszültséget a következő képlet határozza meg:

A mi feladatunkban

Tehetetlenségi nyomaték, terület ,

Ennélfogva

A semleges vonalon. Ezért az egyenlete

A semleges tengelytől legtávolabbi pontok a pontok AÉs B:

azon a ponton AÉs

azon a ponton BÉs

Ha egy anyag eltérően ellenáll a feszültségnek és a nyomásnak, akkor két szilárdsági egyenletet kell felállítani:

12. példa.

Határozza meg az ábrán látható gerenda megengedett terhelését, ha a faanyag számított húzó- és nyomószilárdsága egyenlő Radm,t= 20 MPa; R adm,s= 100 MPa.

Megoldás. Írjuk fel a szilárdsági feltételt egy gerenda bármely szakaszának legnagyobb igénybevételű pontjaira, mivel minden szakasz egyformán veszélyes:

Ezt figyelembe véve írjuk át ezeket a feltételeket

és akkor

És

Innen határozzuk meg a megengedett terhelések értékeit.

Az excentrikus feszültséget (kompressziót) a gerenda tengelyével párhuzamos, de azzal nem egybeeső erő okozza (9.4. ábra).

Az erő alkalmazási pontjának a keresztmetszetre vetítését pólusnak vagy erőpontnak, a póluson és a szakasz középpontján áthaladó egyenest pedig erővonalnak nevezzük.

Az excentrikus feszültség (kompresszió) axiális feszültségre (kompresszióra) és ferde hajlításra csökkenthető, ha a P erőt a szakasz súlypontjába visszük át. Így az ábrán jelölt P erő. 9.4 egy kötőjellel G a gerenda axiális feszültségét, a két szaggatott vonallal jelölt erőpár pedig ferde hajlítást okoz.

Az excentrikus feszültség (összenyomódás) során a keresztmetszeti pontokon a feszültségi erők hatásának függetlenségének elve alapján ezeket a képlet határozza meg.

Ebben a képletben az axiális erőt, a hajlítónyomatékokat, valamint annak a keresztmetszeti pontnak a koordinátáit, ahol a feszültséget meghatározzák, előjelükkel kell helyettesíteni. Hajlítónyomatékoknál ugyanazt az előjel-szabályt fogadjuk el, mint a ferde hajlításnál, és az axiális erőt akkor tekintjük pozitívnak, ha feszültséget okoz.

Ha a pólus koordinátáit jelöli, akkor a (9.5) képlet pillanata alakot ölt

Ebből az egyenletből jól látható, hogy a feszültségvektorok végei a keresztmetszeti pontokban a síkon helyezkednek el. A feszültségsík és a keresztmetszeti sík metszésvonala egy semleges egyenes, melynek egyenletét úgy találjuk meg, hogy a (9.6) egyenlőség jobb oldalát nullával egyenlővé tesszük. P-vel való csökkentés után kapjuk

Így a semleges vonal az excentrikus feszültség (kompresszió) során nem halad át a metszet súlypontján, és nem merőleges a hajlítónyomaték hatássíkjára. A semleges vonal szegmenseket vág le a koordinátatengelyeken

A tehetetlenségi nyomatékokat a keresztmetszeti terület és a megfelelő tehetetlenségi sugár négyzetének szorzataként ábrázoljuk

Ekkor a (9.8) kifejezések a következőképpen írhatók:

A (9.8) képletekből jól látható, hogy a pólus és a semleges vonal mindig mentén helyezkedik el különböző oldalak a szakasz súlypontjától, a semleges vonal helyzetét pedig a pólus koordinátái határozzák meg.

Ahogy közeledik a pólus erővonal a szakasz súlypontja felé a semleges vonal eltávolodik a középponttól, és párhuzamos marad az eredeti irányával. A határértékben a semleges vonal a végtelenbe megy. Ebben az esetben a gerenda központi feszültsége (kompressziója) lép fel.

Az erővonalon mindig megtalálhatja a pólusnak azt a pozícióját, ahol a semleges vonal érinti a szakasz kontúrját anélkül, hogy azt bárhol metszi. Ha az összes lehetséges semleges vonalat úgy rajzoljuk meg, hogy azok érintsék a szakasz kontúrját anélkül, hogy azt sehol metszik, és megtaláljuk a megfelelő pólusokat, akkor kiderül, hogy a pólusok egy zárt vonalon helyezkednek el, amely minden szakaszra teljesen specifikus. Az ezzel a vonallal határolt területet a szakasz magjának nevezzük. Kör keresztmetszetben például a mag a keresztmetszet átmérőjénél 4-szer kisebb átmérőjű kör, téglalap és I-metszetben pedig paralelogramma alakú a mag (9.5. ábra).

A szelvény magjának felépítéséből az következik, hogy amíg a pólus a magon belül van, a semleges vonal nem metszi a szakasz kontúrját, és a feszültségek a teljes szakaszon azonos előjelűek lesznek. Ha a pólus a magon kívül helyezkedik el, akkor a semleges vonal metszi a szakasz kontúrját, majd a szakaszon feszültségek hatnak eltérő jel. Ezt a körülményt figyelembe kell venni a rideg anyagokból készült állványok középen kívüli összenyomásának számításakor. Mivel a rideg anyagok nem jól viselik a húzó terhelést, célszerű külső erőket kifejteni az oszlopra, hogy a teljes keresztmetszetben csak nyomófeszültségek hatnak. Ehhez az eredő alkalmazási pontja külső erők, összenyomja az állványt, a szakasz magjában kell lennie.

A szilárdsági számításokat az excentrikus húzásra és összenyomódásra ugyanúgy kell elvégezni, mint a ferde hajlításnál - a keresztmetszet veszélyes pontjában fellépő feszültség alapján. A veszélyes pont a semleges vonalától legtávolabbi szakasz. Azokban az esetekben azonban, amikor ezen a ponton nyomófeszültség hat, és az állvány anyaga rideg, veszélyes lehet az a pont, ahol a legnagyobb húzófeszültség hat.

A feszültségdiagram a semleges metszetvonalra merőleges tengelyre épül fel, és egy egyenes határolja (lásd 9.4. ábra).

A szilárdsági feltétel a következőképpen lesz felírva.

Tekintsünk egy egyenes rudat, amely a végén a tengellyel párhuzamos erőkkel van terhelve Ó. Ezen erők eredője F pontban alkalmazták VAL VEL. Helyi jobbkezes koordinátarendszerben yOz, egybeesik a szakasz fő központi tengelyeivel, a pont koordinátáival VAL VEL egyenlő AÉs b(5.18. ábra).

Helyettesítsük az alkalmazott terhelést statikailag egyenértékű erő- és nyomatékrendszerrel. Ehhez átvisszük az eredő erőt F a szakasz súlypontjába RÓL RŐLés a karjaival a koordinátatengelyekhez képest terhelje meg a rudat a T^ erő szorzatával egyenlő két hajlítónyomatékkal: Mff = FaÉs M z = Fb.

Vegye figyelembe, hogy az első negyedben fekvő C pont jobb oldali koordinátarendszerének szabálya szerint a hajlítási nyomatékok formálisan a következők:

Rizs. 5.18.Egyenes rúd a végén terhelve a tengellyel párhuzamos erőkkelÓ

fújó jelek: M y = Faés M 7 = -Fb. Ebben az esetben az első negyedben fekvő elemi területen mindkét nyomaték húzófeszültséget okoz.

Az erőhatások függetlenségének elvét alkalmazva meghatározzuk a feszültségeket a szakasz aktuális pontjában koordinátákkal nál nélÉs z minden teljesítménytényezőtől külön-külön. A teljes feszültséget a három feszültségkomponens összegzésével kapjuk meg:

Határozzuk meg a semleges tengely helyzetét. Ehhez az (5.69) képletnek megfelelően nullával egyenlővé tesszük a normál feszültség értékét az árampontban:

Egyszerű transzformációk eredményeként megkapjuk a semleges egyenes egyenletét

Ahol én yÉs i z - fő tehetetlenségi sugarak, amelyet a (3.14) képletek határoznak meg.

Így excentrikus feszítés-kompresszió esetén a semleges vonal nem halad át a szakasz súlypontján (5.19. ábra), amint azt az (5.70) egyenletben egy nullától eltérő szabad tag jelenléte jelzi.

A legnagyobb feszültségek a keresztmetszeti pontokon lépnek fel AÉs BAN BEN, legtávolabb a semleges vonaltól. Határozzuk meg az erőkifejtési pont koordinátái és a semleges egyenes helyzete közötti kapcsolatot. Ehhez meghatározzuk ennek a koordinátatengely-vonalnak a metszéspontjait:

Rizs. 5.19.

A kapott képletek azt mutatják, hogy az erő alkalmazási pontjának koordinátája Aés annak a pontnak a koordinátája, ahol a semleges egyenes metszi a koordinátatengelyt Oz(g 0 pont) ellentétes előjelűek. Ugyanez mondható el a mennyiségekről is bÉs y 0 .Így az eredő erő alkalmazási pontja és a semleges egyenes az origóhoz képest ellentétes oldalon van.

A kapott képletek szerint, ahogy az erő alkalmazási pontja megközelíti a szakasz súlypontját, a semleges vonal eltávolodik a központi zónától. Korlátozó esetben (a = b = 0) eljutunk a központi feszítés-kompresszió esetéhez.

Érdemes meghatározni azt az erőkifejtési zónát, amelyben a szakaszon lévő feszültségek azonos előjelűek lesznek. Különösen a gyenge szakítószilárdságú anyagoknál célszerű a nyomóerőt pontosan ebben a zónában alkalmazni, így a szakaszon csak nyomófeszültségek hatnak. Ezt a szakasz súlypontja körüli zónát ún szakasz mag.

Ha az erőt a szakasz magjára alkalmazzuk, akkor a semleges vonal nem metszi a szakaszt. Ha a szelvénymag határa mentén erőt fejtünk ki, a semleges vonal érinti a szakasz kontúrját. A keresztmetszet kernel meghatározásához használhatja az (5.71) képletet.

Ha a semleges vonalat a metszet körvonalának érintőjeként ábrázoljuk, és az érintő összes lehetséges helyzetét és az ezeknek a pozícióknak megfelelő erőhatáspontokat figyelembe vesszük, akkor az erő alkalmazási pontjai körvonalazzák a szakasz magját. .

Rizs. 5.20.

A - ellipszis; 6 - téglalap

Az épületszerkezetek számos eleme (oszlopok, állványok, támasztékok) nem a metszet súlypontjában kifejtett nyomóerők hatása alatt áll. ábrán. A 12.9. ábra azt az oszlopot mutatja, amelyen a födémgerenda felfekszik. Amint látható, az erő az oszlop tengelyéhez képest excentricitással hat e,és így egy tetszőleges szakaszban AH ah oszlopok hosszirányú erővel együtt N = -R hajlítónyomaték lép fel, melynek nagysága egyenlő Újra. A rúd excentrikus feszültsége (kompressziója) egy olyan alakváltozás, amelyben az eredő külső erők a rúd tengelyével párhuzamos egyenes mentén hatnak. A következőkben elsősorban az excenteres tömörítés problémáit vizsgáljuk meg. Excentrikus feszültség esetén az összes számítási képletben az erő előtti jelet meg kell változtatni R az ellenkezőjére.

Legyen egy tetszőleges keresztmetszetű rúd (12.10. ábra) a végén terhelve excentrikusan kifejtett nyomóerővel R, a tengellyel párhuzamos Ó. Fogadjuk el a pozitívumot

a szakasz fő tehetetlenségi tengelyeinek irányai OUÉs Oz hogy az erő alkalmazási pontja R a koordinátatengelyek első negyedében volt. Jelöljük az erőkifejtési pont koordinátáit R keresztül y rÉs z P -

A belső erők a rúd tetszőleges szakaszában egyenlőek

A hajlítási nyomatékok mínusz jelei abból adódnak, hogy a koordinátatengelyek első negyedében ezek a nyomatékok összenyomódást okoznak. A belső erők nagysága ebben a példában nem változik a rúd hossza mentén, így a feszültségek eloszlása ​​a terhelés helyétől kellően távoli szakaszokon azonos lesz.

A (12.11)-et (12.1) behelyettesítve megkapjuk az excenteres összenyomás alatti normál feszültségek képletét:

Ez a képlet formává alakítható

Ahol én, én- a szakasz fő tehetetlenségi sugarai. Ahol

Ha o = 0-t teszünk (12.12) -be, megkapjuk az egyenletet nulla sor:

Itt y 0 és z 0 - a nullapontok koordinátái (12.11. ábra). A (12.14) egyenlet egy olyan egyenes egyenlete, amely nem halad át a szakasz súlypontján. A nullavonal megrajzolásához megkeressük a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait. Feltételezve, hogy a (12.14)-ben szekvenciálisan y 0 = 0 és z 0= 0, ennek megfelelően azt találjuk

Ahol a zÉs és y - a koordinátatengelyeken a nulla egyenes által levágott szakaszok (12.11. ábra).

Határozzuk meg a nullavonal helyzetének jellemzőit excenteres tömörítés során.

• 1. A (12.15) képletekből az következik és yÉs a z rendre a táblákkal ellentétes jelekkel rendelkeznek y rÉs z P -Így a nullavonal a koordinátatengelyek azon negyedein halad át, amelyek nem tartalmazzák az erő alkalmazási pontját (12.12. ábra).
• 2. Az erő alkalmazási pontjának közeledtével R egyenes vonalban ennek a pontnak a szakasz koordinátáinak súlypontjához y rÉs zP csökkennek. A (12.15)-ből az következik, hogy a szakaszok hosszának abszolút értékei és yÉs a z növekedést, vagyis a nullavonal eltávolodik a súlyponttól, önmagával párhuzamos marad (12.13. ábra). A limitben: Z P = y P = 0 (a súlypontra kifejtett erő) a nullavonal a végtelenbe mozdul. Ebben az esetben a keresztmetszetben a feszültségek állandóak és egyenlők o =-val -P/F.
• 3. Ha az erő alkalmazási pontja R az egyik főtengelyen van, a nulla egyenes párhuzamos a másik tengellyel. Valójában például (12.15) y r= 0, ezt kapjuk és y= azaz a nulla egyenes nem metszi a tengelyt OU(12.14. ábra).
• 4. Ha az erő alkalmazási pontja olyan egyenes mentén mozog, amely nem megy át a súlyponton, akkor a nullavonal egy bizonyos pont körül forog. Bizonyítsuk be ezt a tulajdonságot. Az erő alkalmazási pontjai R xÉs R 2, a koordinátatengelyeken elhelyezkedő 1 - 1 és 2-2 nulla egyeneseknek felel meg, párhuzamosan a tengelyekkel (12.15. ábra), amelyek a pontban metszik egymást D. Mivel ez a pont két nullavonalhoz tartozik, a feszültségek ezen a ponton az egyidejűleg kifejtett erőkből származnak R xÉs R 2 nullával lesz egyenlő. Mivel bármilyen erő R3, amelynek alkalmazási pontja egy egyenesen helyezkedik el R ( R 2 , Tud

a Pj és pontokban alkalmazott két párhuzamos komponensre bomlik R 2, akkor ebből az következik, hogy a stressz a ponton D az erő hatásától R 3 szintén nullával egyenlők. Így a nulla vonal 3-3, ami az erőnek felel meg R3, ponton halad át D.

Más szóval, pontok halmazához R, egyenes vonalon helyezkedik el R ( R 2 , ponton áthaladó vonalkötegnek felel meg D. Ez fordítva is igaz: amikor a nulla vonal egy bizonyos pont körül forog, az erő alkalmazási pontja olyan egyenes mentén mozog, amely nem halad át a súlyponton.

Ha a nulla vonal metszi a szakaszt, akkor azt kompressziós és feszítési zónákra osztja. A ferde hajlításhoz hasonlóan a lapos szakaszok hipotéziséből az következik, hogy a feszültségek a nulla vonaltól legtávolabbi pontokon érik el legnagyobb értéküket. A feszültségdiagram jellegét ebben az esetben az ábra mutatja. 12.16, A.

Ha a nullavonal a szakaszon kívül helyezkedik el, akkor a szelvény minden pontján azonos előjelűek lesznek a feszültségek (12.16. ábra, b).

12.3. példa. Készítsünk egy diagramot a normál feszültségekről egy excentrikusan összenyomott, téglalap keresztmetszetű oszlop tetszőleges szakaszában, méretekkel b x h(12.17. ábra). A (12.22) szerinti szakasz tehetetlenségi sugarai négyzetesen egyenlők

A koordinátatengelyeken a nulla egyenes által levágott szakaszokat a (12.15) képlet határozza meg:

A nulla egyenestől legtávolabbi C pontok koordinátáit szekvenciálisan behelyettesítjük (12.12) BAN BEN(12.18. ábra)

meg fogjuk találni

ábrán látható az o diagram. 12.18. A legnagyobb nyomófeszültségek szerint abszolút érték négyszer nagyobb, mint a központi erőkifejtés esetén érvényes feszültségértékek. Emellett jelentős húzófeszültségek jelentek meg a szakaszon. Figyeljük meg, hogy a (12.12)-ből az következik, hogy a súlypontban (y = z= 0) feszültségek egyenlők o = -P/F.

12.4. példa. A kivágott szalag húzóerővel van terhelve R(12.19. ábra, A). Hasonlítsuk össze a szakasz feszültségeit LV, kellően távol a végétől és a kivágás helyétől, feszültségekkel a szakaszon CD a kivágás helyén.

Keresztmetszetben AB(12.19. ábra, b) Kényszerítés R központi feszültséget okoz és a feszültségek egyenlőek a =-val P/F = P/bh.

Keresztmetszetben CD(12.19. ábra, V) erővonal R nem megy át a szakasz súlypontján, ezért excentrikus feszültség lép fel. A (12.12) képletben az előjelet az ellenkezőjére változtatva és elfogadva y r= 0, ezt a szakaszt kapjuk

Fogadás

Nulla vonal a szakaszban CD a tengellyel párhuzamos OUés metszi a tengelyt Oz a távolságon a =-i 2 y /z P- b/ 12. A szakasz nullavonaltól legtávolabbi pontjain C(z - -b/ 4) és D(z - b/ 4) a (12.16) szerinti feszültségek egyenlőek

Normál feszültség diagramok metszetekhez LWÉs CDábrán látható. 12.19, időszámításunk előtt.

Így annak ellenére, hogy a szakasz CD területe kétszer kisebb, mint a keresztmetszete AB, Az excentrikus erőkifejtés következtében a húzófeszültségek a gyengített szakaszban nem kétszeresére, hanem nyolcszorosára nőnek. Ezen kívül jelentős nyomófeszültségek jelennek meg ebben a szakaszban.

Megjegyzendő, hogy a fenti számítás nem veszi figyelembe azokat a további helyi feszültségeket, amelyek a C pont közelében keletkeznek egy mélyedés miatt. Ezek a feszültségek a horony sugarától függenek (a sugár csökkenésével nőnek), és jelentősen meghaladhatják a talált értéket és azzal = 8P/bh. Ebben az esetben a C pont közelében lévő feszültségdiagram jellege jelentősen eltér a lineáristól. A lokális feszültségek (feszültségkoncentráció) meghatározását a 18. fejezet tárgyalja.

Sok építőanyag (beton, tégla, stb.) szakítószilárdsága gyenge. Szakítószilárdságuk sokszor kisebb, mint nyomószilárdságuk. Ezért az ilyen anyagokból készült szerkezeti elemekben húzófeszültségek megjelenése nem kívánatos. Ahhoz, hogy ez a feltétel teljesüljön, a nulla vonalnak a szakaszon kívül kell lennie. Ellenkező esetben a nulla vonal metszi a szakaszt, és húzófeszültségek jelennek meg benne. Ha a nulla vonal érinti a szakasz kontúrját, akkor az erőkifejtési pont megfelelő pozíciója korlátozó. A nullavonal 2. tulajdonságának megfelelően, ha az erő hatópontja megközelíti a szakasz súlypontját, a nullavonal eltávolodik tőle. A metszetkontúr különböző érintőinek megfelelő határpontok geometriai helye a határ szakasz kernelek. A szelvény magja a súlypont körüli konvex terület, amelynek a következő tulajdonsága van: ha az erő alkalmazási pontja e terület belsejében vagy határán van, akkor a szelvény minden pontján a feszültségek ugyanaz a jel. A metszetmag konvex alakzat, mivel a nulla vonalaknak érinteniük kell a metszet kontúrjának burkolóját, és nem metszik azt.

A ponton keresztül A(12.20. ábra) számtalan érintőt (nulla vonal) rajzolhat; ebben az esetben csak érintő ACérinti a burkot, és a metszetmag kontúrján egy bizonyos pontnak meg kell felelnie neki. Ugyanakkor például nem lehet érintőt húzni a területre AB szakasz kontúrját, mert metszi a szakaszt.

Készítsünk egy metszetmagot a téglalaphoz (12.21. ábra). Az 1-1 érintőhöz a 7 - b/ 2; A= . A (12.15)-ből megtaláljuk az 1. ponthoz, amely megfelel ennek az érintőnek, z P = -i2y/a7 = -b/6; y r - 0. A 2-2 érintőhöz a y - k/ 2; a 7 =°°,és a 2. pont koordinátái egyenlők lesznek nál nélR- -h/6; z P - 0. A nulla egyenes 4. tulajdonsága szerint a szelvény jobb alsó sarokpontjának különböző érintőinek megfelelő erőhatáspontok az 1-2 egyenesen helyezkednek el. A 3. és 4. pont helyzetét a szimmetriafeltételek határozzák meg. Így a téglalap keresztmetszeti magja egy átlós rombusz b/3 és TÓL TŐL.

Egy kör metszetmagjának megszerkesztéséhez elegendő egy érintőt rajzolni (12.22. ábra). Ahol a = R; A= °o.

"U U ^ ^

Figyelembe véve, hogy egy kör i y - J y /F - R / 4, (12.15)-ből kapjuk

Így a kör keresztmetszeti magja egy sugarú kör R/4.

ábrán. 12.23, a, 6 az I-gerenda és a csatorna keresztmetszeti magjai láthatók. Négy darab elérhetősége sarokpontok A magszakasz mindegyik példában annak a ténynek köszönhető, hogy mind az I-nyaláb, mind a csatorna burkológörbéje egy téglalap.

A belső erők meghatározásához a gerenda keresztmetszetein excentrikus feszültség (összenyomás) hatására az adott erőrendszert más erők statikailag egyenértékű rendszerével helyettesítjük. A Saint-Venant-elv alapján egy ilyen csere nem okoz változást a gerenda erőkifejtési helyétől kellően távol eső részeinek terhelési és alakváltozási viszonyaiban.

Először mozgatjuk az erő alkalmazási pontját a tengelyre, és ezen a ponton erőt alkalmazunk, egyenlő erősségű, hanem ellenkező irányban (3.2. ábra). Ahhoz, hogy erőt hagyjunk a tengelyen, a hatásához hozzá kell adni egy két vonallal jelölt erőpár hatását, vagy egy pillanatot. Ezután az erőt átvisszük a metszet súlypontjára, és ezen a ponton az erővel megegyező, de ellentétes irányú erőt alkalmazunk (3.2. ábra). Ahhoz, hogy az erő a súlypontban maradjon, egy másik, kereszttel jelölt erőpárt vagy egy pillanatot kell hozzáadni a hatásához.

Így egy szakaszra excentrikusan kifejtett erő hatása egyenértékű egy központilag kifejtett erő és két külső koncentrált nyomaték együttes hatásával és.

A metszetek módszerével könnyen megállapítható, hogy egy excentrikusan nyújtott (összenyomott) gerenda minden keresztmetszetében a következő belső erőtényezők hatnak: hosszirányú erő és két hajlítónyomaték és (3.3. ábra).

A feszültségeket a gerenda keresztmetszetein az erőhatásoktól való függetlenség elve alapján határozzuk meg. A normál feszültségek a keresztmetszetekben minden belső erőtényezőből származnak. A feszültség jeleit az alakváltozások jellege határozza meg: plusz - feszültség, mínusz - összenyomás. Helyezzük el az egyes belső erőtényezőkből származó feszültségek előjeleit a tengelyek metszéspontjaiban és a keresztmetszeti kontúrral (3.3. ábra). A hosszanti erő miatt a szelvények minden ponton azonosak és pozitívak; attól a pillanattól kezdve a stressz ponton - plusz, a ponton - mínusz, a pontokon és, mert a tengely ebben az esetben semleges vonal; attól a pillanattól kezdve a stressz ponton - plusz, a ponton - mínusz, a pontokon és, mert a tengely ebben az esetben a semleges egyenes.

A teljes feszültség egy pontban koordinátákkal és egyenlő lesz:

A szabad formájú szakasz legterheltebb pontja a semleges vonaltól legtávolabbi pont. Ennek köszönhetően, nagyon fontos felmerülnek a semleges vonal helyzetének meghatározásával kapcsolatos kérdések.

A semleges vonal helyzetének meghatározása

A semleges vonal helyzete a (3.1) képlettel határozható meg, a normál feszültségeket nullával egyenlővé téve

itt és a semleges egyenesen fekvő pont koordinátái.

Az utolsó kifejezés a forgási sugarak képleteivel transzformálható: és. Akkor

A (3.2) egyenletből kitűnik, hogy az excentrikus feszültség (összenyomás) alatti semleges egyenes olyan egyenes, amely nem megy át a koordináták origóján (a keresztmetszet súlypontján).

Húzzuk meg ezt az egyenest két, a koordinátatengelyeken fekvő ponton keresztül (3.4. ábra). Legyen az 1. pont a tengelyen, akkor a koordinátái az és, a 2. pont pedig a tengelyen, akkor a koordinátái a és (a (3.2) egyenlet alapján).

Ha az erő alkalmazási pontjának (pólusának) koordinátái pozitívak, akkor az 1. és 2. pont koordinátái negatívak, és fordítva. Így a pólus és a semleges vonal az origó ellentétes oldalán helyezkedik el.

A semleges vonal helyzetének meghatározása lehetővé teszi a szakasz veszélyes pontjainak azonosítását, pl. pontok, ahol normál feszültségek lépnek fel legmagasabb értékeket. Ehhez a semleges egyenessel párhuzamos metszetkontúr érintőit kell megszerkeszteni. Az érintkezési pontok veszélyesek lesznek (3.4. ábra).

A veszélyes pontok szilárdsági feltételei a faanyag tulajdonságaitól függenek. Mivel a rideg anyag húzó- és nyomókörülmények között eltérő tulajdonságokkal rendelkezik - rosszul és jól ellenáll a nyomásnak, a szilárdsági feltételek két pontra vonatkoznak: ahol a maximális húzó (t.) és maximális nyomófeszültség (t.) hat (ábra . 3.4)

Egy olyan műanyag esetében, amely egyformán ellenáll a húzásnak és a nyomásnak, egy szilárdsági feltételt kell felállítani arra a keresztmetszeti pontra, ahol a maximális normál feszültségek abszolút értékben jelentkeznek. Esetünkben ez a pont az a pont, ahol azonos előjelű feszültségek hatnak

A szekció kernel fogalma

A semleges egyenes építésénél (3.4. ábra) meghatároztuk az 1. és 2. pont koordinátáit, amelyeken keresztül megrajzoltuk.

A semleges egyenesen fekvő pontok koordinátái az erő alkalmazási pontjának (pólusának) a koordinátákkal való helyzetétől függenek. Ha a póluskoordináták csökkennek, pl. a pólus megközelíti a szakasz súlypontját, majd megnövekednek, i.e. a semleges vonal túlnyúlhat a szakaszon, vagy érintheti a szakasz kontúrját. Ebben az esetben azonos előjelű feszültségek lépnek fel a szakaszon.

Az ilyenkor a keresztmetszetben azonos előjelű feszültségeket okozó hosszirányú erők alkalmazási területét ún. szakasz mag.

A szelvény mag meghatározásának kérdése leginkább az excenteres összenyomással dolgozó, rideg anyagból készült szerkezeti elemeknél releváns, hogy a keresztmetszetben csak nyomófeszültségek keletkezzenek, mert A rideg anyag nem áll jól a húzó deformációnak. Ehhez be kell állítani a semleges vonal számos pozícióját, át kell húzni a kontúr határpontjain, és ki kell számítani az erő megfelelő alkalmazási pontjainak koordinátáit a (3.5) képletek szerint. ).

Az így kiszámított pontok geometriai elhelyezkedése határozza meg a metszetmag kontúrját. ábrán. A 3.6. ábra példákat mutat be gyakori alakzatok metszetmagjaira.

Tekintsünk egy példát az excentrikus feszítés-kompresszió számításaira.

Példa 3.1. Egy =10 cm széles és =1 cm vastag, középen =70 kN erővel megfeszített acélszalagon =3 cm széles rés van (3.6. ábra). Határozza meg a metszet legnagyobb normálfeszültségeit, a feszültségkoncentrációk figyelembevétele nélkül. Mekkora lehet a rés ugyanolyan nagy húzóerő mellett, ha a szalagszélesség közepén helyezkedne el?

Megoldás. Aszimmetrikus rés esetén a gyengített szakasz súlypontja az erő hatásvonaláról jobbra tolódik el, és excentrikus feszültség lép fel. A súlypont helyzetének meghatározásához () a gyengített szakaszt egy nagy méretű téglalapként képzeljük el (I. ábra), amelyből eltávolítottunk egy méretekkel rendelkező kis téglalapot (II. ábra). Vegyük a tengelyt kezdőtengelynek.

Ebben az esetben két belső erőtényező lép fel a keresztmetszetben: a hosszirányú erő és a hajlítónyomaték.

A veszélyes pont meghatározásához a keresztmetszet oldalsó oldalain feszültségjeleket helyezünk el (3.6. ábra). A hosszanti erő hatására a szelvény minden pontján pozitív (húzó) feszültségek lépnek fel. A hajlítónyomatéktól a tengelytől balra húzófeszültségek (plusz jel), jobbra nyomófeszültségek (mínusz előjel) vannak.

Így a maximális normálfeszültségek az ún

ahol a gyengített szakasz területe = 7 cm 2;

A gyengített szakasz tehetetlenségi nyomatéka a fő központi tengely körül

Távolság a semleges vonaltól () a legtávolabbi pontig (t.)

Ennek eredményeként a maximális normál feszültségek egyenlőek lesznek

Szimmetrikus résszélesség esetén csak feszültség lép fel