A függvénygráf egy függvény viselkedésének vizuális ábrázolása egy koordinátasíkon. A grafikonok segítenek megérteni egy függvény különböző aspektusait, amelyek nem határozhatók meg magából a függvényből. Számos függvény grafikonját összeállíthatja, és mindegyik kap egy adott képletet. Bármely függvény grafikonja egy adott algoritmus segítségével épül fel (ha elfelejtette egy adott függvény grafikus ábrázolásának pontos folyamatát).
Lépések
Lineáris függvény ábrázolása
- Ha a meredekség negatív, a függvény csökken.
-
Attól a ponttól kezdve, ahol az egyenes metszi az Y tengelyt, ábrázoljon egy második pontot függőleges és vízszintes távolságok használatával. Menetrend lineáris függvény két pontból építhető fel. Példánkban az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5); Ettől a ponttól lépj 2 szóközzel feljebb, majd 1 szóközzel jobbra. Jelöljön meg egy pontot; koordinátái lesznek (1,7). Most egyenes vonalat húzhat.
Vonalzó segítségével húzzon egyenes vonalat két ponton. A hibák elkerülése érdekében keresse meg a harmadik pontot, de a legtöbb esetben a grafikon két pont segítségével is ábrázolható. Így egy lineáris függvényt ábrázolt.
Pontok ábrázolása a koordinátasíkon
-
Határozzon meg egy függvényt. A függvény jelölése f(x). Az "y" változó minden lehetséges értékét a függvény tartományának, az "x" változó minden lehetséges értékét pedig a függvény tartományának nevezzük. Például vegyük az y = x+2 függvényt, nevezetesen f(x) = x+2.
Rajzolj két egymást metsző merőleges vonalat. A vízszintes vonal az X tengely, a függőleges az Y tengely.
Jelölje be a koordinátatengelyeket. Oszd fel az egyes tengelyeket egyenlő szegmensekre, és számozd meg őket. A tengelyek metszéspontja 0. Az X tengelynél: a pozitív számok jobbra (0-tól), a negatív számok balra vannak ábrázolva. Az Y tengelyre: a pozitív számok felül (0-tól), a negatív számok pedig alul vannak ábrázolva.
Keresse meg az "y" értékeit az "x" értékei közül. Példánkban f(x) = x+2. Helyettesítsen be adott x értékeket ebbe a képletbe a megfelelő y értékek kiszámításához. Ha összetett függvényt adunk, egyszerűsítsük úgy, hogy az egyenlet egyik oldalán elválasztjuk az „y”-t.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
Ábrázoljuk a pontokat a koordinátasíkon. Minden koordinátapárnál tegye a következőket: keresse meg a megfelelő értéket az X tengelyen, és rajzoljon egy függőleges vonalat (pontozott); keresse meg a megfelelő értéket az Y tengelyen, és rajzoljon egy vízszintes vonalat (szaggatott vonal). Jelölje meg a két szaggatott vonal metszéspontját; így egy pontot ábrázolt a grafikonon.
Törölje a pontozott vonalakat. Ezt azután végezze el, hogy a grafikonon az összes pontot a koordinátasíkon ábrázolta. Megjegyzés: az f(x) = x függvény grafikonja a koordináták középpontján átmenő egyenes [pont koordinátákkal (0,0)]; az f(x) = x + 2 gráf az f(x) = x egyenessel párhuzamos, de két egységgel felfelé eltolt egyenes, ezért átmegy a (0,2) koordinátájú ponton (mivel az állandó 2) .
Összetett függvény ábrázolása
Keresse meg a függvény nulláit! Egy függvény nullái az x változó értékei, ahol y = 0, vagyis ezek azok a pontok, ahol a grafikon metszi az X tengelyt. Ne feledje, hogy nem minden függvénynek van nullája, de ezek az elsők lépése bármely függvény grafikus ábrázolásának folyamatában. Egy függvény nulláinak megtalálásához egyenlővé tegyük azt nullával. Például:
Keresse meg és jelölje meg a vízszintes aszimptotákat. Az aszimptota egy olyan egyenes, amelyet egy függvény grafikonja megközelít, de soha nem metszi egymást (vagyis ebben a tartományban a függvény nincs definiálva, pl. 0-val osztva). Jelölje meg az aszimptotát szaggatott vonallal. Ha az "x" változó egy tört nevezőjében van (pl. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), állítsa a nevezőt nullára, és keresse meg az „x”-et. Az „x” változó kapott értékeiben a függvény nincs definiálva (példánkban szaggatott vonalakat húzz x = 2 és x = -2 között), mert nem oszthatsz 0-val. De aszimptoták nem csak azokban az esetekben léteznek, amikor a függvény tartalmazza tört kifejezés. Ezért ajánlott a józan ész használata:
-
Határozza meg, hogy a függvény lineáris-e. A lineáris függvényt a forma képlete adja meg F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) vagy y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(például ), grafikonja pedig egy egyenes. Így a képlet egy változót és egy állandót (konstanst) tartalmaz kitevők, gyökjelek vagy hasonlók nélkül. Ha egy hasonló típusú függvényt adunk meg, akkor nagyon egyszerű egy ilyen függvény grafikonját ábrázolni. Íme további példák a lineáris függvényekre:
Használjon konstanst egy pont megjelölésére az Y tengelyen. A (b) konstans annak a pontnak az „y” koordinátája, ahol a gráf metszi az Y tengelyt, vagyis olyan pontról van szó, amelynek „x” koordinátája 0. Tehát ha x = 0 behelyettesítjük a képletbe , akkor y = b (konstans). Példánkban y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) az állandó egyenlő 5-tel, vagyis az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5). Helyezze ezt a pontot Koordináta sík.
megtalálja lejtő egyenes. Ez egyenlő a változó szorzójával. Példánkban y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) az „x” változóval 2-es tényező; így a lejtési együttható egyenlő 2-vel. A lejtéstényező határozza meg az egyenes dőlésszögét az X tengelyhez képest, vagyis minél nagyobb a meredekségtényező, annál gyorsabban nő vagy csökken a függvény.
Írja fel a lejtőt törtként! A szögegyüttható megegyezik a dőlésszög érintőjével, vagyis a függőleges távolság (egy egyenes két pontja között) és a vízszintes távolság (ugyanazon pontok közötti) arányával. Példánkban a meredekség 2, így kijelenthetjük, hogy a függőleges távolság 2 és a vízszintes távolság 1. Írja ezt törtként: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
1. Tört lineáris függvény és grafikonja
Az y = P(x) / Q(x) alakú függvényt, ahol P(x) és Q(x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.
Valószínűleg már ismeri a racionális számok fogalmát. Hasonlóképpen racionális függvények olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.
Ha egy tört racionális függvény két lineáris függvény - elsőfokú polinomok - hányadosa, azaz. a forma funkciója
y = (ax + b) / (cx + d), akkor ezt tört lineárisnak nevezzük.
Vegye figyelembe, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax/d + b/d), és hogy a/c ≠ b/d (egyébként a függvény állandó). A lineáris törtfüggvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d/c. A tört lineáris függvények grafikonjai alakjukban nem különböznek az általad ismert y = 1/x gráftól. Egy görbét, amely az y = 1/x függvény grafikonja, hívjuk túlzás. x korlátlan növelésével abszolút érték az y = 1/x függvény abszolút értékben korlátlanul csökken, és a gráf mindkét ága megközelíti az x tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról. Azokat az egyeneseket, amelyekhez a hiperbola megközelítés ágait nevezzük annak aszimptoták.
1. példa
y = (2x + 1) / (x – 3).
Megoldás.
Jelöljük ki a teljes részt: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: eltolás 3 egységnyi szegmenssel jobbra, az Oy tengely mentén 7-szer nyújtva és 2-vel eltolva. egységszegmensek felfelé.
Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört hasonló módon írható, kiemelve az „egész részt”. Következésképpen az összes tört lineáris függvény grafikonja hiperbola, különböző módon eltolva a koordinátatengelyek mentén, és az Oy tengely mentén kifeszítve.
Bármely tetszőleges grafikon felépítéséhez tört lineáris függvény Egyáltalán nem szükséges átalakítani az ezt a függvényt meghatározó törtet. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég lesz megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez az ágai megközelítik - az x = -d/c és y = a/c hiperbola aszimptotáját.
2. példa
Keresse meg az y = (3x + 5)/(2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!
Megoldás.
A függvény nincs definiálva, x = -1. Ez azt jelenti, hogy az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptota megtalálásához nézzük meg, hogy az y(x) függvény értékei mihez közelednek, amikor az x argumentum abszolút értéke nő.
Ehhez osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Ha x → ∞, a tört 3/2-re fog emelkedni. Ez azt jelenti, hogy a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.
3. példa
Ábrázolja az y = (2x + 1)/(x + 1) függvényt!
Megoldás.
Jelöljük ki a tört „egész részét”:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 1 egységnyi eltolás balra, szimmetrikus megjelenítés az Ox-hoz képest és eltolás 2 egységszegmens felfelé az Oy tengely mentén.
D(y) tartomány = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
ÉrtéktartományE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány minden intervallumában növekszik.
Válasz: 1. ábra.
2. Tört racionális függvény
Tekintsünk egy y = P(x) / Q(x) alakú tört racionális függvényt, ahol P(x) és Q(x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.
Példák ilyen racionális függvényekre:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) vagy y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ha az y = P(x) / Q(x) függvény két, az elsőnél magasabb fokú polinom hányadosát reprezentálja, akkor a gráfja általában bonyolultabb lesz, és néha nehéz lehet pontosan megszerkeszteni. , minden részlettel. Gyakran azonban elegendő a fent már bemutatott technikákhoz hasonló technikákat alkalmazni.
Legyen a tört megfelelő tört (n< m). Известно, что любую несократимую racionális tört el lehet képzelni, és ráadásul az egyetlen módja, összegként véges szám elemi törtek, amelynek formáját a Q(x) tört nevezőjének valós tényezők szorzatára való felosztásával határozzuk meg:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Nyilvánvaló, hogy egy tört racionális függvény grafikonja megkapható elemi törtek grafikonjainak összegeként.
Tört racionális függvények grafikonjainak ábrázolása
Tekintsünk több módot egy tört racionális függvény grafikonjainak összeállítására.
4. példa
Rajzoljuk fel az y = 1/x 2 függvény grafikonját.
Megoldás.
Az y = x 2 függvény grafikonját használjuk y = 1/x 2 gráf megalkotásához, és a gráfok „osztásának” technikáját alkalmazzuk.
D(y) tartomány = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Értéktartomány E(y) = (0; +∞).
Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól +∞-ig.
Válasz: 2. ábra.
5. példa.
Ábrázolja az y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) függvényt!
Megoldás.
D(y) tartomány = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Itt a faktorizálás, redukció és lineáris függvényre való redukció technikáját alkalmaztuk.
Válasz: 3. ábra.
6. példa.
Ábrázolja az y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) függvényt!
Megoldás.
A definíciós tartomány D(y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az ordinátára. Grafikon készítése előtt transzformáljuk újra a kifejezést, kiemelve a teljes részt:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Megjegyzendő, hogy a tört racionális függvény képletében az egész rész elkülönítése az egyik legfontosabb a gráfok felépítésénél.
Ha x → ±∞, akkor y → 1, azaz. az y = 1 egyenes vízszintes aszimptota.
Válasz: 4. ábra.
7. példa.
Tekintsük az y = x/(x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a legtöbb csúcspont a grafikon jobb fele. Ennek a grafikonnak a pontos felépítéséhez a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvalóan a görbénk nem „emelkedhet” nagyon magasra, mert a nevező gyorsan elkezdi „előzni” a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldanunk az x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs igazi gyökerek. Ez azt jelenti, hogy a feltételezésünk téves. Hogy megtalálja a legtöbbet nagyon fontos függvény függvényében meg kell találni, hogy az A = x/(x 2 + 1) egyenletnek mekkora A legnagyobbnál lesz megoldása. Cseréljük ki az eredeti egyenletet másodfokúra: Аx 2 – x + А = 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 – 4А 2 ≥ 0. legmagasabb érték A = 1/2. 
Válasz: 5. ábra, max y(x) = ½.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell függvényeket ábrázolni?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Az y=x^2 függvényt másodfokú függvénynek nevezzük. Menetrend másodfokú függvény egy parabola. Általános forma A parabola az alábbi ábrán látható.
Másodfokú függvény
1. ábra A parabola általános képe
A grafikonon látható, hogy szimmetrikus az Oy tengelyre. Az Oy tengelyt a parabola szimmetriatengelyének nevezzük. Ez azt jelenti, hogy ha a grafikonon az Ox tengellyel párhuzamos egyenest rajzol e tengely fölött. Ekkor két pontban metszi a parabolát. Ezeknek a pontoknak a távolsága az Oy tengelytől azonos lesz.
A szimmetriatengely a parabola grafikonját két részre osztja. Ezeket a részeket a parabola ágainak nevezzük. És a parabola azon pontját, amely a szimmetriatengelyen fekszik, a parabola csúcsának nevezzük. Vagyis a szimmetriatengely átmegy a parabola csúcsán. Ennek a pontnak a koordinátái (0;0).
A másodfokú függvény alapvető tulajdonságai
1. x =0, y=0 és y>0 x0 esetén
2. A másodfokú függvény a csúcsánál éri el minimális értékét. Ymin x=0-nál; Azt is meg kell jegyezni, hogy a függvénynek nincs maximális értéke.
3. A függvény a (-∞;0] intervallumon csökken és az intervallumon növekszik A \(x"\left(t \right) = 0,\ egyenlet megoldásával meghatározzuk az \(x\) függvény stacionárius pontjait bal(t \jobb):\ ) \[ (x"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Jobbra 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Jobbra (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] For \ (t = 1\) a \ (x\left(t \right)\) függvény eléri a \-vel egyenlő maximumot és a \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) pontban minimum egyenlő \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\ bal((\frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] Tekintsük a \(y"\left(t \right):\) \ származékot [ (y"\left(t \right) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] Keresse meg a \(y \left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\jobbra 3.) függvény stacionárius pontjait (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ; (\jobbra nyíl (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = -2 ;\;\frac(2)(3).) \] Itt hasonlóan a \(y\left(t \right)\) függvény a \(t = -2:\) \ pontban ér el maximumot és minimum a \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left) ((\frac(2)(3)) \right)^3) + 2(\ left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3 ) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] A \(x\left(t \right)\), \(y\ left(t \right)\) függvények grafikonjait sematikusan a \(15a.\) ábra mutatja.
15a |
15b. ábra |
15c |
Vegye figyelembe, hogy mivel \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] akkor a \(y\left(x \right)\) görbének nincs függőleges, nincsenek vízszintes aszimptoták. Ráadásul mivel \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color) (kék)(t^3)) + \szín(piros)(2(t^2)) - \szín(zöld)(4t) - \cancel(\color(kék)(t^3)) - \ szín (piros)(t^2) + \szín(zöld)(t)) \jobbra) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\szín(piros)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] akkor a \(y\left(x \right)\) görbének szintén nincsenek ferde aszimptotái.
Határozzuk meg a \(y\left(x \right)\) gráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjait. Az x tengellyel való metszéspont a következő pontokban történik: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\jobbra t\left(((t^2) + 2t - 4) \jobbra) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\jobbra D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Jobbra nyíl (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\jobbra D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Jobbra nyíl (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
A második intervallumban \(\left(( - 2, - 1) \right)\) az \(x\) változó \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) értékről \ értékre nő (x \left(( - 1) \right) = 1,\) és az \(y\) változó \(y\left(( - 2) \right) = 8\) értékről \(y\left) értékre csökken (( - 1) \jobbra) = 5.\) Itt van egy csökkenő görbe szakasza \(y\left(x \right).\) Az ordinátatengelyt a \(\left((0,3) pontban metszi + 2\sqrt 5 ) \jobbra).\)
A harmadik intervallumban \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) mindkét változó csökken. Az \(x\) értéke \(x\left(( - 1) \right) = 1\) értékről \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right értékre változik ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Ennek megfelelően az \(y\) értéke \(y\left(( - 1) \right) = 5\) értékre csökken \(y\ left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Görbe \(y\left(x) \right)\ ) metszi a koordináták origóját.
A negyedik intervallumban \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) a \(x\) változó növekszik \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) - \(x\left((\) big\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) és az \(y\) változó \(y\left(() \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) - \(y\left((\large\frac(2)() 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) Ebben a szakaszban a \(y\left(x \right)\) görbe metszi az ordináta tengelyt pontban pont \(\left( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
Végül az utolsó intervallumon \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) mindkét függvény \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) növeli. Az \(y\left(x \right)\) görbe az x tengelyt az \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \ kb. 2,18.\) pontban metszi.
A \(y\left(x \right)\ görbe alakjának tisztázásához számítsuk ki a maximális és minimum pontot. Az \(y"\left(x \right)\) származékot a következőképpen fejezzük ki: \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \jobbra))^\prím )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \jobbra))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ right)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(( \ balra((t + 2) \jobbra)\left((t - \frac(2)(3)) \jobbra)))(\left((t + 1) \jobbra)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] A \(y"\left(x \right)\) derivált előjelének változása a \(15c.\) ábrán látható. látható, hogy a \(t = - 2,\) pontban, azaz. az \(I\)-edik és \(II\)-edik intervallum határán a görbének van maximuma, és \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (a \(IV\)-edik és \(V\)-edik intervallum határa) van egy minimum. A \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\ ponton áthaladva a derivált is előjelet vált pluszból mínuszba, de ebben a tartományban a görbe \(y\left(x \right) \) nem egyedi függvény. Ezért a jelzett pont nem szélsőség.
Megvizsgáljuk ennek a görbének a konvexitását is. Második származék\(y""\left(x \right)\) alakja: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \jobbra))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \jobbra))^\prím )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ jobb ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \jobb) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \jobbra)\bal((6t + 2) \jobbra)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \jobbra))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^) 2) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \jobbra)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \jobbra))^3))) = \ frac((\cancel(\szín(kék)(18(t^3))) + \szín(piros)(24(t^2)) + \szín(zöld)(2t) - \szín(barna) (4) - \cancel(\szín(kék)(18(t^3))) - \szín(piros)(30(t^2)) + \szín(zöld)(16t) + \szín(barna) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \jobbra))^3))) = \frac(( - \szín(piros)(6(t^2) ) ) + \szín(zöld)(18t) + \szín(barna)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \jobb)))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105)) ) )(6)) \jobbra)))((((\left((t + 1) \right)))^3)((\left((3t - 1) \right)))^3))). \] Következésképpen a második derivált az ellenkezőjére változtatja az előjelét, amikor a következő pontokon halad át (\(15с\) ábra): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \jobbra ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \jobb) \kb. 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \kb. 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \) sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \jobb) \kb. 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \jobbra x \jobbra).\)
A \(y\left(x \right)\) görbe sematikus grafikonja a \(15b.\) ábrán látható.
