A „Funkció y = sinx, ee tulajdonságok és grafikon” című videólecke vizuális anyagokat mutat be erről a témáról, valamint megjegyzéseket tesz hozzá. A demonstráció során figyelembe veszik a függvény típusát, tulajdonságait, a koordinátasík különböző szegmenseiben való viselkedést, a gráf jellemzőit részletesen ismertetjük, egy példát ismertetünk. grafikus megoldás trigonometrikus egyenletek szinust tartalmazó. A videolecke segítségével a tanár könnyebben megfogalmazhatja a tanuló megértését erről a funkcióról, és megtanítja őket grafikus problémák megoldására.
A videólecke olyan eszközöket használ, amelyek megkönnyítik a memorizálást és a megértést oktatási információk. A grafikonok bemutatásánál és a feladatok megoldásának leírásánál olyan animációs effektusokat alkalmaznak, amelyek segítik a függvény viselkedésének megértését és a megoldás előrehaladásának szekvenciális bemutatását. Ezenkívül az anyag hangoztatása fontos megjegyzésekkel egészíti ki, amelyek helyettesítik a tanár magyarázatát. És így, ezt az anyagot Vizuális segédeszközként is használható. És az óra önálló részeként a tanári magyarázat helyett egy új témában.
A bemutató az óra témájának bemutatásával kezdődik. Megjelenik a szinuszfüggvény, melynek leírása egy memorizálásra szolgáló dobozban van kiemelve - s=sint, amelyben a t argumentum tetszőleges valós szám lehet. A függvény tulajdonságainak leírása a definíció tartományával kezdődik. Megjegyezzük, hogy a függvény definíciós tartománya a valós számok teljes numerikus tengelye, azaz D(f)=(- ∞;+∞). A második tulajdonság a szinuszfüggvény páratlansága. Emlékeztetjük a tanulókat, hogy ezt az ingatlant a 9. osztályban tanulmányozták, amikor megjegyezték, hogy a páratlan függvény az f(-x)=-f(x) egyenlőség teljesül. A szinusz esetében a függvény páratlanságának megerősítése a következőben van bemutatva egységkör, negyedekre osztva. Tudva, hogy a függvény milyen előjelet vesz fel a koordinátasík különböző negyedeiben, megjegyezzük, hogy ellentétes előjelű argumentumok esetén az L(t) és N(-t) pontok példáján a szinuszra vonatkozó furcsasági feltétel teljesül. Ezért az s=sint páratlan függvény. Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.
A szinusz harmadik tulajdonsága a növekvő és csökkenő függvények közötti intervallumokat mutatja. Megjegyzi, hogy ez a függvény a szegmensen növekszik, a [π/2;π] szakaszon pedig csökken. A tulajdonságot az ábra szemlélteti, amely egy egységkört mutat, és az A pontból az óramutató járásával ellentétes irányba haladva az ordináta növekszik, azaz a függvény értéke π/2-re nő. Amikor B pontból C-be haladunk, vagyis amikor a szög π/2-ről π-re változik, az ordináta értéke csökken. A kör harmadik negyedében a C pontból D pontba haladva az ordináta 0-ról -1-re csökken, azaz csökken a szinusz értéke. Az utolsó negyedben D pontból A pontba haladva az ordináta értéke -1-ről 0-ra nő. Így általános következtetést vonhatunk le a függvény viselkedéséről. A képernyőn megjelenik az a kimenet, amely sint növekszik a [-(π/2)+2πk szegmensen; (π/2)+2πk], a [(π/2)+2πk intervallumon csökken; (3π/2)+2πk] bármely k egész számra.
A szinusz negyedik tulajdonsága a függvény korlátosságát veszi figyelembe. Megjegyzendő, hogy a sint függvény fent és lent is korlátozott. A tanulók eszébe jutnak a 9. osztályos algebra információi, amikor megismerkedtek egy függvény korlátosságának fogalmával. Egy felülről korlátos függvény feltétele jelenik meg a képernyőn, amelyre van egy bizonyos szám, amelyre a függvény bármely pontjában teljesül az f(x)>=M egyenlőtlenség. Felidézzük egy lent korlátos függvény feltételét is, amelyre a függvény minden pontjánál m-rel kisebb szám van. Sint esetében a -1 feltétel teljesül<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.
Az ötödik tulajdonság a függvény legkisebb és legnagyobb értékét veszi figyelembe. Minden egyes t=-(π/2)+2πk pontban a legkisebb -1, a t=(π/2)+2πk pontokban a legnagyobb érték elérését jegyezzük fel.
A figyelembe vett tulajdonságok alapján a szegmensen megszerkesztjük a sint függvény grafikonját. A függvény összeállításához a szinusz táblázatos értékeit használják a megfelelő pontokban. A koordinátasíkon a π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π pontok koordinátáit jelöljük. A függvény táblázati értékeit ezeken a pontokon megjelölve és sima vonallal összekötve grafikont építünk.
A sint függvény grafikonjának ábrázolásához a [-π;π] szakaszon a függvény koordináták origójához viszonyított szimmetriájának tulajdonságát használjuk. Az ábrán látható, hogy az építés eredményeként kapott egyenes hogyan kerül simán szimmetrikusan a koordináták origójához képest a [-π;0] szakaszra.
A sint függvény sin(x+2π) = sin x redukciós képletben kifejezett tulajdonságát felhasználva megjegyezzük, hogy minden 2π-nél megismétlődik a szinuszgráf. Így a [π; 3π] a grafikon ugyanaz lesz, mint a [-π;π]-n. Így ennek a függvénynek a grafikonja az ismétlődő [-π;π] töredékeket reprezentálja a teljes definíciós tartományban. Külön meg kell jegyezni, hogy egy függvény ilyen grafikonját szinuszosnak nevezzük. Bemutatjuk a szinuszhullám fogalmát is - a [-π;π] szegmensre épített gráf töredékét és a szegmensre épített szinuszos ívet. Ezeket a töredékeket ismét bemutatjuk a memorizálás céljából.
Meg kell jegyezni, hogy a sint függvény egy folytonos függvény a teljes definíciós tartományban, és azt is, hogy a függvény értéktartománya a [-1;1] szegmens értékkészletében található.
A videóóra végén a sin x=x+π egyenlet grafikus megoldását vizsgáljuk meg. Nyilvánvalóan az egyenlet grafikus megoldása a bal oldali kifejezés által adott függvény és a jobb oldali kifejezés által adott függvény grafikonjának metszéspontja lesz. A feladat megoldásához megszerkesztünk egy koordinátasíkot, amelyen felvázoljuk a hozzá tartozó y=sin x szinuszost, és megszerkesztjük az y=x+π függvény grafikonjának megfelelő egyenest. A megszerkesztett gráfok egyetlen B(-π;0) pontban metszik egymást. Ezért x=-π lesz az egyenlet megoldása.
Az „Y függvény = sinx, ee tulajdonságok és grafikon” című videóóra segít növelni a hagyományos iskolai matematika óra hatékonyságát. A távoktatás során vizuális anyagot is használhat. A kézikönyv segíthet a téma elsajátításában azoknak a tanulóknak, akiknek további leckékre van szükségük az anyag mélyebb megértéséhez.
SZÖVEGDEKÓDOLÁS:
Leckénk témája „Az y = sin x függvény, tulajdonságai és grafikonja”.
Korábban már megismerkedtünk az s = sin t függvénnyel, ahol tϵR (es egyenlő a te szinuszával, ahol te a valós számok halmazához tartozik). Vizsgáljuk meg ennek a függvénynek a tulajdonságait:
TULAJDONSÁGOK 1. A definíciós tartomány az R (er) valós számok halmaza, azaz D(f) = (- ; +) (ef-ből de a mínusz végtelentől a plusz végtelenig terjedő intervallumot jelöli).
TULAJDONSÁG 2. Az s = sin t függvény páratlan.
A 9. osztályos órákon megtanultuk, hogy az y = f (x), x ϵX függvényt (az y egyenlő x ef-jével, ahol x az x halmazhoz tartozik) páratlannak nevezzük, ha bármely x értékre a halmazból. X az egyenlőség
f (- x) = - f (x) (eff mínusz x-ből egyenlő mínusz ef x-ből).
És mivel az abszcissza tengelyre szimmetrikus L és N pontok ordinátái ellentétesek, akkor sin(- t) = -sint.
Azaz s = sin t páratlan függvény, és az s = sin t függvény grafikonja szimmetrikus a derékszögű koordináta-rendszer origójához képest. tOs(te o es).
Tekintsük a 3. TULAJDONSÁGOT. A [ 0; ] (nulláról pi-re kettővel) az s = sin t függvény növekszik és csökken a [ szakaszon; ] (pi-ről kettővel pi-re).
Ez jól látható az ábrákon: amikor egy pont halad számkör nulláról pi-re kettővel (A pontból B-be) az ordináta fokozatosan növekszik 0-ról 1-re, a pi-ből kettővel a pi-be (B-ből C-be) haladva pedig fokozatosan csökken 1-ről 0-ra.
Amikor egy pont a harmadik negyed mentén mozog (C pontból D pontba), a mozgó pont ordinátája nulláról mínusz egyre csökken, a negyedik negyed mentén haladva pedig mínusz egyről nullára nő. Ezért általános következtetést vonhatunk le: az s = sin t függvény az intervallumon növekszik
(mínusz pi-ről kettő plusz kettő pi ka-val pi-re kettő plusz kettő pi ka), és csökken a [; (pi-ről kettő plusz kettő pi ka három pi kettő plusz kettő pi ka), ahol
(ka az egész számok halmazába tartozik).
TULAJDONSÁG 4. Az s = sint függvény alul és felül korlátos.
A 9. osztályos kurzusból idézzük fel a korlátosság definícióját: az y = f (x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha a függvény minden értéke nem kisebb egy bizonyos számnál m múgy, hogy a függvény definíciós tartományából származó bármely x értékre az f (x) egyenlőtlenség ≥ m(az x-ből származó ef nagyobb vagy egyenlő, mint em). Egy y = f (x) függvényt fent korlátosnak mondjuk, ha a függvény összes értéke nem nagyobb egy bizonyos számnál M, ez azt jelenti, hogy van egy szám Múgy, hogy a függvény definíciós tartományából származó bármely x értékre az f (x) egyenlőtlenség ≤ M(eff x-ből kisebb vagy egyenlő, mint em.) Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha alul és felül is korlátos.
Térjünk vissza a függvényünkhöz: a korlátosság abból adódik, hogy bármely te-re igaz az egyenlőtlenség - 1 ≤ sint≤ 1. (te szinusza nagyobb vagy egyenlő mínusz 1-nél, de kisebb vagy egyenlő eggyel).
TULAJDONSÁG 5. Egy függvény legkisebb értéke mínusz eggyel egyenlő, és ezt az értéket a függvény bármely t = alakú pontban eléri (te egyenlő mínusz pi-vel két plusz két csúcs, és a függvény legnagyobb értéke egyenlő egyhez, és a függvénnyel a t = alak bármely pontjában érhető el (te egyenlő pi szor kettő plusz két pi ka).
Az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értéke s legtöbbet jelöl. és s max. .
A kapott tulajdonságok felhasználásával megszerkesztjük az y = sin x függvény grafikonját (az y egyenlő az x-szel), mert jobban megszoktuk, hogy y = f (x) írjuk, nem pedig s = f (t).
Kezdésként válasszunk egy léptéket: az ordináta tengely mentén vegyünk két cellát egységszegmensnek, az abszcissza tengely mentén pedig két cella pi háromszoros (mivel ≈ 1). Először készítsük el az y = sin x függvény grafikonját a szakaszon. Ehhez a szegmenshez szükségünk van egy függvényérték-táblázatra, ennek elkészítéséhez a megfelelő koszinusz- és szinuszszögek értéktáblázatát fogjuk használni:
Ezért az argumentum- és függvényértékek táblázatának elkészítéséhez emlékeznie kell erre x(x) ez a szám ennek megfelelően egyenlő a nullától pi-ig terjedő intervallum szögével, és nál nél(görög) ennek a szögnek a szinuszának értéke.
Jelöljük ezeket a pontokat a koordinátasíkon. A szegmens 3. TULAJDONJA szerint
[ 0; ] (nulláról pi-re kettővel) az y = sin x függvény növekszik és csökken a [ szakaszon; ](pi-ből kettővel pi-be) és a kapott pontokat sima vonallal összekötve megkapjuk a grafikon egy részét. (1. ábra)
Egy páratlan függvény grafikonjának origóhoz viszonyított szimmetriáját felhasználva megkapjuk az y = sin x függvény grafikonját már a szakaszon
[-π; π ] (mínusz pi-ről pi-re). (2. ábra)
Emlékezzünk vissza, hogy sin(x + 2π)= sinx
(x plusz két pi szinusza egyenlő x szinuszával). Ez azt jelenti, hogy az x + 2π pontban az y = sin x függvény ugyanazt az értéket veszi fel, mint az x pontban. És mivel (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plusz két pi a pi-től három pi-ig terjedő szakaszhoz tartozik), ha xϵ[-π; π ], majd a [π; 3π ] a függvény grafikonja pontosan ugyanúgy néz ki, mint a [-π; π]. Hasonlóképpen a , , [-3π; -π ] és így tovább, az y = sin x függvény grafikonja ugyanúgy néz ki, mint a szakaszon
[-π; π].(3. ábra)
Azt az egyenest, amely az y = sin x függvény grafikonja, szinuszhullámnak nevezzük. A szinuszhullám 2. ábrán látható részét szinuszhullámnak, míg az 1. ábrán szinuszhullámnak vagy félhullámnak nevezzük.
A megszerkesztett gráf segítségével felírjuk ennek a függvénynek még néhány tulajdonságát.
TULAJDONSÁG 6. Az y = sin x függvény folytonos függvény. Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja folytonos, vagyis nincs benne ugrás vagy defekt.
TULAJDONSÁG 7. Az y = sin x függvény értéktartománya a [-1; 1] (mínusz egytől egyig), vagy így írható fel: (e-ből ef egyenlő a mínusz egytől egyig terjedő szegmenssel).
Nézzünk egy PÉLDÁT. Oldja meg grafikusan a sin x = x + π egyenletet (szinusz x egyenlő x plusz pi).
Megoldás. Építsünk függvénygrafikonokat y = bűn xÉs y = x + π.
Az y = sin x függvény grafikonja szinuszos.
y = x + π egy lineáris függvény, melynek grafikonja a (0; π) és (- π ; 0) koordinátájú pontokon áthaladó egyenes.
A megszerkesztett gráfoknak egy metszéspontja van - B(- π;0) pont (legyen mínusz pi, nulla koordinátákkal). Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek csak egy gyöke van - a B pont abszcisszája - -π. Válasz: x = - π.
Megállapítottuk, hogy a trigonometrikus függvények viselkedése, és a függvények y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére x) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < x < π / 2 .
Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.
Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;
A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk
A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékeket tartalmazó táblázatot kellene összeállítani y = sin x .
1. Oszd fel az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre A kör osztópontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.
2.A kör első negyede 0-tól ig terjedő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen x Vegyünk egy szakaszt, és osszuk fel 8 egyenlő részre.
3. Rajzoljunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket! x, és az osztási pontokból merőlegeseket építünk, amíg nem metszik egymást vízszintes vonalakkal.
4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.
Most nézzük az intervallumot π /
2
<
x <
π
.
Minden argumentum értéke x ebből az intervallumból úgy ábrázolható
x = π / 2 + φ
Ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint
bűn( π / 2 + φ ) = cos φ = bűn ( π / 2 - φ ).
Tengelypontok x abszcisszákkal π / 2 + φ És π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül x abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi, hogy megkapjuk a függvény grafikonját y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban x = π / 2 .
Most használja az ingatlant páratlan paritásfüggvény y = sin x,
bűn(- x) = - bűn x,
ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].
Az y = sin x függvény 2π periódusú periodikus ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának elkészítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .
Az így kapott görbét ún szinuszos . A függvény grafikonját ábrázolja y = sin x.
Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amit korábban már bebizonyítottunk. Emlékezzünk vissza ezekre a tulajdonságokra.
1) Funkció y = sin x minden értékre definiálva x , tehát a tartománya az összes valós szám halmaza.
2) Funkció y = sin x korlátozott. Az általa elfogadott összes érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Következésképpen ennek a függvénynek a változási tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < nál nél < 1. Mikor x = π / 2 + 2k π a függvény a legnagyobb értékeket 1-gyel veszi fel, és x = - esetén π / 2 + 2k π - a legkisebb értékek egyenlőek -1-gyel.
3) Funkció y = sin x páratlan (a szinusz szimmetrikus az origóra).
4) Funkció y = sin x periodikus a 2. periódussal π .
5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < x < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. x = k-nél π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) függvényeket nulláknak nevezzük y = sin x
6) Időközönként - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < x < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.
Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sin x a pont közelében x = 0 .
Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = sin π 2 / 180 = bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Ugyanakkor meg kell jegyezni, hogy az x bármely értékéhez
| bűn x| < | x | . (1)
Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a /
AOB = x.
Aztán bűn x= AC. De AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő x, mivel a kör sugara 1. Tehát 0-nál< x < π / 2
bűn x< х.
Ezért a függvény páratlansága miatt y = sin x könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < x < 0
| bűn x| < | x | .
Végül, mikor x = 0
| sin x | = | x |.
Így a | x | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodott. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | bűn x | < 1, a π / 2 > 1
Feladatok
1.A függvény grafikonja szerint y = sin x határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).
2.A függvénygrafikon szerint y = sin x
határozza meg, melyik szám az intervallumból
[ - π /
2 ,
π /
2
] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.
3. A függvény grafikonja szerint y = sin x
határozza meg, hogy mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2.
4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").
Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, alapvető tulajdonságait és grafikonját. Az óra elején megadjuk az y = sin t on trigonometrikus függvény definícióját koordináta körés tekintsük egy függvény grafikonját körön és egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.
Téma: Trigonometrikus függvények
Lecke: y=sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja
Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez társítsunk. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.
Határozzuk meg a megfelelési törvényt.
Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg, egy pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).
Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.
A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.
Az ábra azt mutatja 
mert az egységkör egy pontjának ordinátája.
Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a központi szög, radiánban mérve. A tengely mentén valós számokat vagy szögeket ábrázolunk radiánban, a tengely mentén pedig a függvény megfelelő értékeit.
Például az egységkörön lévő szög megfelel a grafikon egy pontjának (2. ábra).
Megkaptuk a függvény grafikonját a területen, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).
A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikon egy szegmensen megkapható, majd az egész definíciós tartományon keresztül folytatható.
Tekintsük a függvény tulajdonságait:
1) A meghatározás hatálya:
2) Értéktartomány: 
3) Páratlan függvény:
4) A legkisebb pozitív időszak:
5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái: 
6) A gráf ordinátatengellyel való metszéspontjának koordinátái:
7) Intervallumok, amelyeknél a függvény pozitív értékeket vesz fel:
8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:
9) Növekvő időközök:
10) Csökkenő intervallumok:
11) Minimum pont: 
12) Minimális funkciók:
13) Maximális pont: 
14) Maximális funkciók:
Megnéztük a függvény tulajdonságait és grafikonját. A tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek a problémák megoldása során.
Bibliográfia
1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tutorial for oktatási intézmények(profilszint) szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és számítás a 10. évfolyamhoz ( oktatóanyag iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával).-M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Mélyreható tanulmány algebra és matematikai elemzés.-M.: Nevelés, 1997.
5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.
Házi feladat
Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
További webes források
3. Oktatási portál vizsgákra készülni ().
Egy ponton középre állítva A.
α
- radiánban kifejezett szög.
Meghatározás
Szinusz (sin α)- Ezt trigonometrikus függvény, a derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függően, egyenlő az aránnyal a szemközti oldal hossza |BC| a hypotenus hosszára |AC|.
Koszinusz (cos α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszára |AC|.
Elfogadott jelölések
;
;
.
;
;
.
A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x
A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x
A szinusz és a koszinusz tulajdonságai
Periodikaság
Függvények y = bűn xés y = cos x periodikus periódussal 2π.
Paritás
A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.
Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés
A szinusz és koszinusz függvények definíciós tartományukban folytonosak, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).
| y = bűn x | y = cos x | |
| Hatály és folytonosság | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Értékek tartománya | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Növekvő | ||
| Csökkenő | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minimum, y = - 1 | ||
| Nullák, y = 0 | ||
| Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Alapképletek
A szinusz és a koszinusz négyzetösszege
Szinusz és koszinusz képlete összegből és különbségből
;
;
Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára
Összeg és különbség képletek
Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül
;
;
;
.
Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül
;
;
;
.
Kifejezés érintőn keresztül
; .
Mikor van nálunk:
;
.
Nál nél :
;
.
Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata
Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum bizonyos értékeihez. 
Kifejezések összetett változókon keresztül
;
Euler-képlet
Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül
;
;
Származékok
; . Képletek származtatása >>>
N-edrendű származékai:
{ -∞ <
x < +∞ }
Szekáns, koszekáns
Inverz függvények
Inverz függvények a szinuszhoz és a koszinuszhoz az arcszinusz, illetve az arkoszinusz.
Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.
>>Matematika: y = sin x, y = cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik
Az y = sin x, y = cos x függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik
Ebben a részben az y = függvények néhány tulajdonságát tárgyaljuk sin x,y= cos x és készítse el a grafikonjaikat.
1. Függvény y = sin X.
Fent, a 20. §-ban megfogalmaztunk egy olyan szabályt, amely lehetővé teszi, hogy minden t számhoz egy cos t szám társuljon, pl. jellemezte az y = sin t függvényt. Nézzünk meg néhány tulajdonságát.
Az u = sin t függvény tulajdonságai.
A definíciós tartomány a valós számok K halmaza.
Ez abból következik, hogy bármely 2-es szám megfelel egy M(1) pontnak a számkörön, amelynek jól meghatározott ordinátája van; ez az ordináta a cos t.
u = sin t páratlan függvény.
Ez abból következik, hogy a 19. §-ban bebizonyosodott, hogy bármely t az egyenlőség
Ez azt jelenti, hogy az u = sin t függvény grafikonja, mint bármely páratlan függvény grafikonja, szimmetrikus a tOi derékszögű koordinátarendszer origójához képest.
Az u = sin t függvény az intervallumon növekszik 
Ez abból következik, hogy amikor egy pont a számkör első negyede mentén mozog, az ordináta fokozatosan növekszik (0-ról 1-re - lásd 115. ábra), és amikor a pont a számkör második negyede mentén mozog, a ordináta fokozatosan csökken (1-ről 0-ra – lásd 116. ábra).
Az u = sint függvény alul és felül is korlátos. Ez abból a tényből következik, hogy amint azt a 19. §-ban láttuk, minden t esetében fennáll az egyenlőtlenség
(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket 
(a függvény az űrlap bármely pontján eléri ezt az értéket
A kapott tulajdonságok felhasználásával megszerkesztjük a számunkra érdekes függvény grafikonját. De (figyelem!) az u - sin t helyett y = sin x-et fogunk írni (végül is inkább y = f(x), és nem u = f(t)-t szoktunk írni). Ez azt jelenti, hogy egy gráfot a szokásos xOy koordinátarendszerben fogunk felépíteni (és nem tOy).
Készítsünk egy táblázatot az y - sin x függvény értékeiről:
Megjegyzés.
Adjuk meg a „sine” kifejezés eredetének egyik változatát. Latinul a sinus azt jelenti, hajlítás (íjhúr).
A felépített gráf bizonyos mértékig igazolja ezt a terminológiát. 
Az y = sin x függvény grafikonjaként szolgáló egyenest szinuszhullámnak nevezzük. A szinusz azon része, amely az ábrán látható. A 118 vagy 119 szinuszhullámnak nevezzük, és a szinuszhullámnak azt a részét, amely az ábrán látható. 117, félhullámnak vagy szinuszhullám ívének nevezik.
2. Függvény y = cos x.
Az y = cos x függvény vizsgálata megközelítőleg ugyanazon séma szerint végezhető el, mint amit fentebb az y = sin x függvénynél használtunk. De azt az utat választjuk, amely gyorsabban vezet a célhoz. Először két olyan képletet fogunk bebizonyítani, amelyek önmagukban is fontosak (ezt látni fogjátok a gimnáziumban), de egyelőre csak kisegítő jelentőséggel bírnak céljaink szempontjából.
t bármely értékére a következő egyenlőségek érvényesek:
Bizonyíték. A t szám feleljen meg az n numerikus kör M pontjának, a * + - szám pedig P pontnak (124. ábra; az egyszerűség kedvéért az első negyedben vettük az M pontot). Az AM és BP ívek egyenlőek, az OKM és OLBP derékszögű háromszögek pedig ennek megfelelően egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy O K = Ob, MK = Pb. Ezekből az egyenlőségekből, valamint az OCM és OBP háromszögek koordinátarendszerben való elhelyezkedéséből két következtetést vonunk le:
1) a P pont ordinátája abszolút értékben és előjelben egybeesik az M pont abszcisszájával; ez azt jelenti
2) a P pont abszcisszája abszolút értékben egyenlő az M pont ordinátájával, de előjelben különbözik tőle; ez azt jelenti
Körülbelül ugyanezt az érvelést hajtjuk végre azokban az esetekben, amikor az M pont nem tartozik az első negyedévhez.
Használjuk a képletet 
(ez a fent bizonyított képlet, de a t változó helyett az x változót használjuk). Mit ad nekünk ez a képlet? Lehetővé teszi számunkra annak állítását, hogy a funkciók
azonosak, ami azt jelenti, hogy grafikonjaik egybeesnek.
Ábrázoljuk a függvényt 
Ehhez térjünk át egy segédkoordináta-rendszerre, amelynek origója egy pontban van (a szaggatott vonal a 125. ábrán látható). Kössük az y = sin x függvényt az új koordinátarendszerhez - ez lesz a függvény grafikonja 
(125. ábra), i.e. az y - cos x függvény grafikonja. Ezt, akárcsak az y = sin x függvény grafikonját, szinuszhullámnak nevezzük (ami teljesen természetes).
Az y = cos x függvény tulajdonságai.
y = cos x páros függvény.
Az építési szakaszok az ábrán láthatók. 126:
1) készítsük el az y = cos x függvény grafikonját (pontosabban egy félhullámot);
2) a megszerkesztett gráfot az x tengelytől 0,5-ös tényezővel megnyújtva megkapjuk a kívánt gráf egy félhullámát;
3) a kapott félhullám felhasználásával megszerkesztjük az y = 0,5 cos x függvény teljes grafikonját.
