Meghatározás. A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ingatlan. A paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek és a szemközti szögek egyenlőek.

Ingatlan. A paralelogramma átlóit kettéosztjuk a metszésponttal.

1 paralelogramma jele. Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor a négyszög paralelogramma.

2 paralelogramma jele. Ha egy négyszögben a szemközti oldalak páronként egyenlőek, akkor ez a négyszög paralelogramma.

paralelogramma 3 jele. Ha egy négyszög átlói metszik egymást, és a metszéspont felezi őket, akkor a négyszög paralelogramma.

Meghatározás. A trapéz olyan négyszög, amelynek két oldala párhuzamos, a másik két oldala nem párhuzamos. Párhuzamos oldalak ún okokból.

A trapéz ún egyenlő szárú (egyenlő oldalú), ha az oldalai egyenlők. Egy egyenlő szárú trapézban az alapoknál egyenlő szögek egyenlőek.

Olyan trapéznek nevezzük, amelynek egyik szöge egyenes négyszögletes.

Az oldalak felezőpontjait összekötő szakaszt ún trapéz középvonala. A középső vonal párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével.

Meghatározás. A téglalap olyan paralelogramma, amelynek szögei rendben vannak.

Ingatlan. Egy téglalap átlói egyenlőek.

Téglalap jel. Ha egy paralelogramma átlói egyenlőek, akkor ez a paralelogramma téglalap.

Meghatározás. A rombusz olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő.

Ingatlan. A rombusz átlói egymásra merőlegesek, és felezik a szögeit.

Meghatározás. A négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő.

A négyzet a téglalap egy speciális típusa, valamint a rombusz speciális típusa. Ezért minden tulajdonsága megvan.

Tulajdonságok:
1. A négyzet minden szöge derékszögű

2. A négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, a metszéspont felezi és felezi a négyzet sarkait.

Négy sarokkal és négy oldallal. A négyszöget egy zárt szaggatott vonal alkotja, amely négy láncszemből és a sík azon részéből áll, amely a szaggatott vonalon belül van.

A négyszög jelölését a csúcsaiban elhelyezkedő betűk alkotják, sorrendben elnevezve azokat. Például azt mondják vagy írják: négyszög ABCD :

Négyszögben ABCD pontokat A, B, CÉs D- Ezt négyszög csúcsai, szegmensek AB, IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., CDÉs D.A. - oldalain.

Az egyik oldalhoz tartozó csúcsokat ún szomszédos, a nem szomszédos csúcsokat hívjuk meg szemben:

Négyszögben ABCD csúcsok AÉs B, BÉs C, CÉs D, DÉs A- szomszédos, és a csúcsok AÉs C, BÉs D- szemben. A szomszédos csúcsokban fekvő szögeket szomszédosnak, az ellentétes csúcsoknál pedig átellenesnek is nevezik.

A négyszög oldalai páronként szomszédos és szemközti oldalakra is feloszthatók: azokat az oldalakat, amelyeknek közös csúcsuk van, ún. szomszédos(vagy szomszédos), oldalak, amelyeknek nincs közös csúcsuk - szemben:

A felek ABÉs IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.És CD, CDÉs D.A., D.A.És AB- szomszédos, és oldalakon ABÉs DC, HIRDETÉSÉs IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.- szemben.

Ha az ellentétes csúcsokat egy szegmens köti össze, akkor egy ilyen szakaszt hívunk meg a négyszög átlója. Ha figyelembe vesszük, hogy egy négyszögnek csak két pár ellentétes csúcsa van, akkor csak két átlója lehet:

Szegmensek A.C.És BD- Diagonal vonalok.

Tekintsük a konvex négyszögek fő típusait:

• Trapéz alakú- olyan négyszög, amelyben az egyik ellentétes oldalpár párhuzamos egymással, és a másik pár nem párhuzamos.
  • Egyenlőszárú trapéz- egy trapéz, amelynek oldalai egyenlőek.
  • Téglalap alakú trapéz - trapéz, amelyben az egyik szög egyenes.
• Paralelogramma- olyan négyszög, amelyben mindkét ellentétes oldalpár párhuzamos egymással.
  • Téglalap- paralelogramma, amelyben minden szög egyenlő.
  • Rombusz- paralelogramma, amelyben minden oldal egyenlő.
  • Négyzet- paralelogramma, amelynek oldalai és szögei egyenlőek. A téglalap és a rombusz is lehet négyzet.

Konvex négyszögek szögeinek tulajdonságai

Minden konvex négyszög a következő két tulajdonsággal rendelkezik a szögeiben:

1. Bármilyen 180°-nál kisebb belső szög.
2. A belső szögek összege 360°.

BAN BEN iskolai tananyag a geometria órákon különféle típusú négyszögekkel kell foglalkozni: rombuszokkal, paralelogrammákkal, téglalapokkal, trapézokkal, négyzetekkel. A legelső formák, amelyeket tanulmányozni kell, a téglalap és a négyzet.

Tehát mi az a téglalap? Meghatározás 2. évfolyamra középiskolaígy fog kinézni: ez egy négyszög, amelynek mind a négy sarka jobbra van. Könnyen elképzelhető, hogy néz ki egy téglalap: ez egy 4 derékszögű figura, amelynek oldalai páronként párhuzamosak egymással.

Kapcsolatban áll

Hogyan lehet megérteni a következő megoldása során geometriai probléma, milyen négyszöggel van dolgunk? Három fő jele van, amellyel félreérthetetlenül megállapítható, hogy téglalapról beszélünk. Nevezzük őket:

• az ábra egy négyszög, amelynek három szöge egyenlő 90°-kal;
• az ábrázolt négyszög egyenlő átlójú paralelogramma;
• paralelogramma, amelynek legalább egy derékszöge van.

Érdekes tudni: mi a konvex, jellemzői és tünetei.

Mivel a téglalap paralelogramma (azaz egy négyszög, amelynek párja párhuzamos ellentétes oldalakkal rendelkezik), így minden tulajdonsága és jellemzője teljesül.

Képletek az oldalhosszak kiszámításához

Egy téglalapban a szemközti oldalak egyenlőek és egymással párhuzamosak. A hosszabb oldalt általában hossznak (a-val jelölve), a rövidebb oldalt szélességnek (b-vel) nevezzük. A képen látható téglalapban a hosszúságok az AB és a CD oldalak, a szélességek pedig az AC és a B. D. Ezek szintén merőlegesek az alapokra (azaz ezek a magasságok).

Az oldalak megtalálásához használhatja az alábbi képleteket. Elfogadták szimbólumok: a - a téglalap hossza, b - a szélessége, d - az átló (egy szegmens, amely két egymással szemben fekvő szög csúcsait köti össze), S - az ábra területe, P - a kerülete, α - az átló és a hossz közötti szög, β - hegyesszög, amelyet mindkét átló alkot. Az oldalhosszak meghatározásának módjai:

• Átlót és ismert oldalt használva: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Az ábra területe és az egyik oldala alapján: a = S / b, b = S / a.
• A kerület és az ismert oldal felhasználásával: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Az átlón és a hosszon át: a = d sinα, b = d cosα.
• Az átlón és a β szögön keresztül: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Kerület és terület

A négyszög kerületét ún az összes oldala hosszának összege. A kerület kiszámításához használható következő képleteket:

• Mindkét oldalon keresztül: P = 2 (a + b).
• A területen és az egyik oldalon keresztül: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

A terület a kerülettel körülvett tér. A terület kiszámításának három fő módja:

• Mindkét oldal hosszán keresztül: S = a*b.
• A kerület és bármely ismert oldal használatával: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Átlósan és β szög: S = 0,5 d² sinβ.

A feladatokban iskolai tanfolyam a matematika gyakran szükséges a jártassághoz egy téglalap átlóinak tulajdonságai. Felsoroljuk a főbbeket:

1. Az átlók egyenlőek egymással, és metszéspontjuknál két egyenlő szegmensre vannak osztva.
2. Az átlót a két oldal összegének négyzetének gyökeként határozzuk meg (a Pitagorasz-tételből következik).
3. Az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja.
4. A metszéspont egybeesik a körülírt kör középpontjával, és maguk az átlók egybeesnek az átmérőjével.

Az átló hosszának kiszámításához a következő képleteket használjuk:

• Az ábra hosszának és szélességének felhasználásával: d = √(a² + b²).
• A négyszög köré körülírt kör sugarát használva: d = 2 R.

A négyzet definíciója és tulajdonságai

A négyzet az különleges eset rombusz, paralelogramma vagy téglalap. Különbsége ezektől az ábráktól az, hogy minden szöge derékszögű, és mind a négy oldala egyenlő. A négyzet szabályos négyszög.

A négyszöget négyzetnek nevezzük a következő esetekben:

1. Ha olyan téglalapról van szó, amelynek a hossza és b szélessége egyenlő.
2. Ha ez egy rombusz azzal egyenlő hosszúságúakátlókkal és négy derékszöggel.

A négyzet tulajdonságai közé tartozik a téglalaphoz kapcsolódó összes korábban tárgyalt tulajdonság, valamint a következők:

1. Az átlók merőlegesek egymásra (rombusz tulajdonság).
2. A metszéspont egybeesik a beírt kör középpontjával.
3. Mindkét átló a négyszöget négy egyenlő derékszögű és egyenlő szárú háromszögre osztja.

Itt vannak a gyakran használt képletek kerület-, terület- és négyzetelemek számítása:

• d átló = a √2.
• Kerület P = 4 a.
• S terület = a².
• A körülírt kör sugara az átló fele: R = 0,5 a √2.
• A beírt kör sugara az oldal hosszának fele: r = a / 2.

Példák kérdésekre és feladatokra

Nézzünk meg néhány kérdést, amelyek az iskolai matematika kurzus tanulása során felmerülhetnek, és oldjunk meg néhány egyszerű feladatot.

1. probléma. Hogyan fog megváltozni egy téglalap területe, ha az oldalak hosszát megháromszorozzuk?

Megoldás : Jelöljük az eredeti ábra területét S0-val, egy olyan négyszög területét, amelynek oldalai háromszorosak, S1-nek. A korábban tárgyalt képlet segítségével megkapjuk: S0 = ab. Most növeljük a hosszt és a szélességet háromszorosára, és írjuk fel: S1= 3 a 3 b = 9 ab. S0 és S1 összehasonlítása során nyilvánvalóvá válik, hogy a második terület 9-szer nagyobb, mint az első.

1. kérdés: A derékszögű négyszög négyzet?

Megoldás : A definícióból az következik, hogy egy derékszögű alak csak akkor négyzet, ha minden oldalának hossza egyenlő. Más esetekben az ábra egy téglalap.

2. probléma. Egy téglalap átlói 60 fokos szöget zárnak be. A téglalap szélessége 8. Számítsa ki, mekkora az átlója!

Megoldás: Emlékezzünk vissza, hogy az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal. Így van dolgunk egyenlő szárú háromszög 60°-os csúcsszöggel. Mivel a háromszög egyenlő szárú, az alapnál lévő szögek is azonosak lesznek. Egyszerű számításokkal azt találjuk, hogy mindegyik egyenlő 60°-kal. Ebből következik, hogy a háromszög egyenlő oldalú. Az általunk ismert szélesség a háromszög alapja, ezért az átló fele is 8, a teljes átló hossza pedig kétszer akkora és egyenlő 16-tal.

2. kérdés: Egy téglalap minden oldala egyenlő vagy nem?

Megoldás : Elég megjegyezni, hogy a négyzet minden oldalának egyenlőnek kell lennie, ami a téglalap speciális esete. Minden más esetben elégséges állapot- ez legalább 3 derékszög jelenléte. A felek egyenlősége nem kötelező.

3. probléma. A négyzet területe ismert és egyenlő 289. Határozza meg a beírt és körülírt kör sugarait.

Megoldás : A négyzetre vonatkozó képletek segítségével a következő számításokat végezzük:

• Határozzuk meg, hogy a négyzet alapelemei mivel egyenlők: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Számítsuk ki a négyszög köré körülírt kör sugarát: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Határozzuk meg a beírt kör sugarát: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Konvex négyszögnek nevezzük azt az alakzatot, amely a csúcsokban egymáshoz kapcsolódó négy oldalból áll, amelyek az oldalakkal együtt négy szöget alkotnak, miközben maga a négyszög mindig ugyanabban a síkban van ahhoz az egyeneshez képest, amelyen az egyik oldala fekszik. Más szavakkal, az egész ábra bármelyik oldalának ugyanazon az oldalán van.

Kapcsolatban áll

Amint látja, a meghatározást nagyon könnyű megjegyezni.

Alaptulajdonságok és típusok

Szinte minden ismert, négy sarokból és oldalból álló figura konvex négyszögek közé sorolható. A következőket lehet megkülönböztetni:

1. paralelogramma;
2. négyzet;
3. téglalap;
4. trapéz alakú;
5. rombusz.

Mindezeket az ábrákat nemcsak az egyesíti, hogy négyszögletesek, hanem az is, hogy domborúak is. Csak nézd meg a diagramot:

Az ábrán egy domború trapéz látható. Itt látható, hogy a trapéz ugyanazon a síkon vagy a szakasz egyik oldalán van. Ha hasonló műveleteket hajt végre, megtudhatja, hogy a trapéz minden más oldala esetén konvex.

A paralelogramma konvex négyszög?

Fent egy paralelogramma képe látható. Amint az ábrán látható, paralelogramma is konvex. Ha megnézzük az ábrát azokhoz az egyenesekhez képest, amelyeken az AB, BC, CD és AD szakaszok fekszenek, világossá válik, hogy ezektől az egyenesektől mindig ugyanazon a síkon van. A paralelogramma fő jellemzője, hogy oldalai páronként párhuzamosak és egyenlőek, ahogy a szemközti szögek is egyenlőek egymással.

Most képzeljünk el egy négyzetet vagy téglalapot. Alaptulajdonságaik szerint egyben paralelogrammák is, vagyis minden oldaluk párhuzamos párokban helyezkedik el. Csak egy téglalap esetén lehet különböző az oldalak hossza, és a szögek derékszögűek (egyenlőek 90 fokkal), a négyzet olyan téglalap, amelyben minden oldal egyenlő és a szögek is derékszögűek, és paralelogramma, az oldalak hossza és a szögek eltérőek lehetnek.

Ennek eredményeként egy négyszög mind a négy szögének összege egyenlőnek kell lennie 360 ​​fokkal. Ezt a legegyszerűbben úgy határozhatjuk meg, hogy egy téglalapot nézünk: a téglalap mind a négy sarka derékszögű, azaz 90 fokkal egyenlő. Ezeknek a 90 fokos szögeknek az összege 360 ​​fokot ad, vagyis ha 4-szer összeadja a 90 fokot, akkor a kívánt eredményt kapja.

Konvex négyszög átlóinak tulajdonsága

Egy konvex négyszög átlói metszik egymást. Valójában ez a jelenség vizuálisan is megfigyelhető, csak nézze meg az ábrát:

A bal oldali ábra egy nem konvex négyszöget vagy négyszöget mutat. Ahogy szeretné. Mint látható, az átlók nem metszik egymást, legalábbis nem mindegyik. A jobb oldalon egy konvex négyszög látható. Itt már megfigyelhető az átlók metszésképessége. Ugyanez a tulajdonság egy négyszög konvexitási jelének is tekinthető.

A négyszög domborúságának egyéb tulajdonságai és jelei

Nagyon nehéz konkrét tulajdonságokat és jellemzőket megnevezni ezzel a kifejezéssel. Az ilyen típusú négyszögek különböző típusai alapján könnyebb megkülönböztetni. Kezdheti egy paralelogrammával. Azt már tudjuk, hogy ez egy négyszögletű alakzat, amelynek oldalai párhuzamosak és páronként egyenlők. Ugyanakkor ez magában foglalja a paralelogramma átlóinak egymást metsző tulajdonságát is, valamint az ábra konvexitási jelét: a paralelogramma mindig ugyanabban a síkban és ugyanazon az oldalon van bármely az oldalait.

Így, a főbb jellemzők és tulajdonságok ismertek:

1. egy négyszög szögeinek összege 360 ​​fok;
2. Az ábrák átlói egy pontban metszik egymást.

Téglalap. Ez az ábra ugyanazokkal a tulajdonságokkal és jellemzőkkel rendelkezik, mint a paralelogramma, ugyanakkor minden szöge 90 fokkal egyenlő. Innen a név - téglalap.

Négyzet, ugyanaz a paralelogramma, de a szögei egyenesek, mint egy téglalapé. Emiatt a négyzetet ritkán nevezik téglalapnak. De a négyzet fő megkülönböztető jegye a fent felsoroltakon kívül az, hogy mind a négy oldala egyenlő.

A trapéz egy nagyon érdekes figura. Ez is egy négyszög és egyben konvex is. Ebben a cikkben a trapézt már tárgyaltuk egy rajz példáján keresztül. Jól látható, hogy domború is. A fő különbség, és ezért a trapéz jele, hogy oldalai teljesen egyenlőtlenek lehetnek hosszában és szögeiben is. Ebben az esetben az ábra mindig ugyanazon a síkon marad bármely olyan egyeneshez képest, amely bármely két csúcsát összeköti az ábrát alkotó szakaszok mentén.

A rombusz ugyanilyen érdekes figura. Részben egy rombusz négyzetnek tekinthető. A rombusz jele, hogy átlói nemcsak metszik egymást, hanem ketté is osztják a rombusz sarkait, maguk az átlók pedig derékszögben metszik egymást, vagyis merőlegesek. Ha egy rombusz oldalainak hossza egyenlő, akkor az átlókat is kettéosztjuk metszéskor.

Deltoidok vagy konvex rombuszok (rombuszok) eltérő oldalhosszúak lehetnek. De ugyanakkor a rombusz alapvető tulajdonságai és jellemzői, valamint a konvexitás jellemzői és tulajdonságai továbbra is megmaradnak. Vagyis megfigyelhetjük, hogy az átlók felezik a szögeket és derékszögben metszik egymást.

A mai feladat az volt, hogy átgondoljuk és megértsük, mik is azok a konvex négyszögek, milyenek, és főbb jellemzőik és tulajdonságaik. Figyelem! Érdemes még egyszer felidézni, hogy egy konvex négyszög szögeinek összege 360 ​​fok. A figurák kerülete pl. egyenlő az összeggel az ábrát alkotó összes szegmens hossza. A négyszögek kerületének és területének kiszámításának képleteit a következő cikkek tárgyalják.

A konvex négyszögek típusai

Óra témája

• A négyszög definíciója.

Az óra céljai

• Oktatási – ismeretek ismétlése, általánosítása és tesztelése a témában: „Négyszög”; alapkészségek fejlesztése.
• Fejlesztő – a tanulók figyelmének, kitartásának, kitartásának, logikus gondolkodásának, matematikai beszédkészségének fejlesztése.
• Oktatási - a leckén keresztül fejleszteni kell az egymás iránti figyelmes hozzáállást, elsajátítani az elvtársak meghallgatásának képességét, a kölcsönös segítségnyújtást és a függetlenséget.

Az óra céljai

• Fejleszteni kell a négyszög felépítésének készségeit méretarányos vonalzó és rajz háromszög segítségével.
• Tesztelje a tanulók problémamegoldó képességeit.

Tanterv

1. Történelmi hivatkozás. Nem euklideszi geometria.
2. Négyszög.
3. A négyszögek fajtái.

Nem euklideszi geometria

Nem euklideszi geometria, a geometriához hasonló geometria Eukleidész annyiban, hogy meghatározza az alakok mozgását, de abban különbözik az euklideszi geometriától, hogy öt posztulátuma közül egyet (a másodikat vagy ötödiket) a tagadása helyettesíti. Az egyik euklideszi posztulátum (1825) tagadása jelentős gondolattörténeti esemény volt, mert ez volt az első lépés afelé. relativitás-elmélet.

Eukleidész második posztulátuma azt állítja bármely egyenes szakasz korlátlanul meghosszabbítható. Eukleidész láthatóan úgy gondolta, hogy ez a posztulátum azt az állítást is tartalmazza, hogy az egyenesnek végtelen hosszúsága van. azonban az „elliptikus” geometriában minden egyenes véges, és a körhöz hasonlóan zárt.

Az ötödik posztulátum kimondja, hogy ha egy egyenes úgy metszi két adott egyenest, hogy az egyik oldalán lévő két belső szög összege kevesebb, mint két derékszög, akkor ez a két egyenes, ha korlátlanul meghosszabbodik, azon az oldalon metszi egymást, ahol ezeknek a szögeknek az összege kisebb, mint két egyenes összege. De a „hiperbolikus” geometriában lehet egy CB egyenes (lásd az ábrát), amely a C pontban merőleges egy adott r egyenesre, és egy másik s egyenest metsz hegyesszög a B pontban, de ennek ellenére az r és s végtelen egyenesek soha nem metszik egymást.

Ezekből az átdolgozott posztulátumokból az következett, hogy egy háromszög szögeinek összege, amely euklideszi geometriában 180°, elliptikus geometriában nagyobb, mint 180°, hiperbolikus geometriában pedig 180°-nál kisebb.

Négyszög

Tantárgyak > Matematika > Matematika 8. osztály