Téma: A matematika tantárgy általános áttekintése. Felkészülés a vizsgákra

Lecke: Függvénygrafikon olvasása. Problémamegoldás B2

Életünk során a grafikonokat meglehetősen gyakran találjuk, vegyünk például egy időjárás-előrejelzést, amely egyes mutatók, például a hőmérséklet vagy a szélerősség időbeli változásainak grafikonjaként jelenik meg. Nem gondoljuk meg kétszer ezt a táblázatot, bár lehet, hogy életünkben először olvasunk táblázatot. Adhat egy példát az árfolyamok időbeli változásainak grafikonjára és sok más példára is.

Tehát, az első diagram, amelyet megnézünk.

Rizs. 1. Az 1. grafikon illusztrációja

Mint látható, a grafikonnak 2 tengelye van. A jobbra (vízszintes) mutató tengelyt tengelynek nevezzük . A felfelé (függőlegesen) mutató tengelyt tengelynek nevezzük .

Először is nézzük a tengelyt. Ezen a grafikonon egy bizonyos autómotor percenkénti fordulatszámát ábrázoltuk ezen a tengelyen. Lehet egyenlő, stb. Ezen a tengelyen is vannak felosztások, ezek egy része számokkal van jelölve, van, amelyik köztes és nincs feltüntetve. Könnyen kitalálható, hogy az első osztás nulláról , a harmadik az stb.

Most nézzük a tengelyt. Ezen a grafikonon e tengely mentén vannak ábrázolva számértékekértékek Newton per méter (), a nyomaték értékei, amelyek egyenlőek, stb. Ebben az esetben az osztási ár egyenlő .

Most térjünk rá magára a függvényre (a grafikonon látható vonalra). Amint láthatja, ez a sor azt tükrözi, hogy hány Newton méterenként, azaz mekkora nyomaték lesz egy adott motorfordulatszámnál percenként. Ha 1000 ford./perc értéket vesszük. és ettől a ponttól a grafikonon balra megyünk, látni fogjuk, hogy az egyenes átmegy a 20. ponton, azaz a nyomaték értéke 1000 ford./percnél egyenlő lesz (2.2. ábra).

Ha 2000 ford./perc értéket vesszük, akkor a vonal már a ponton áthalad (2.2. ábra).

Rizs. 2. A nyomaték meghatározása a percenkénti fordulatok számával

Most képzeljük el, hogy a feladatunk az, hogy ebből a grafikonból megtaláljuk a legnagyobb értéket. A legtöbbet keressük csúcspont(), ennek megfelelően ezen a grafikonon a nyomaték legalacsonyabb értékét 0-nak kell tekinteni. Ahhoz, hogy a függvény legmagasabb értékét a grafikonon megtaláljuk, a legtöbbet kell figyelembe venni nagyon fontos, amelyet a függvény a függőleges tengely mentén elér. Megnézzük, hogy melyik érték a legmagasabb, és a függőleges tengely mentén nézzük meg, hogy mi lesz az elért legmagasabb szám. Ha a legkisebb értékről beszélünk, akkor éppen ellenkezőleg, a legalacsonyabb pontot vesszük, és annak értékét nézzük a függőleges tengely mentén.

Rizs. 3. Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke a grafikon szerint

A legnagyobb érték ebben az esetben , a legkisebb érték pedig 0. Fontos, hogy ne keverjük össze és a maximális értéket helyesen jelöljük, van, aki a 4000 ford./perc maximális értéket jelzi, ez nem a maximális érték, hanem a pont amelynél a maximális értéket veszik (pontmaximum), a legnagyobb érték pontosan .

Figyelni kell a függőleges tengelyre, annak mértékegységeire is, vagyis ha például a Newton per méter () helyett több száz Newton per méter () érték lenne feltüntetve, akkor a maximális értéket meg kell szorozni százzal. stb.

Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke nagyon szorosan összefügg a függvény deriváltjával.

Ha egy függvény a vizsgált szakaszon növekszik, akkor a függvény deriváltja ezen a szakaszon véges számú ponton pozitív vagy nullával egyenlő, legtöbbször egyszerűen pozitív. Hasonlóképpen, ha egy függvény a vizsgált szakaszon csökken, akkor a függvény deriváltja ezen a szakaszon véges számú ponton negatív vagy nullával egyenlő. Mindkét esetben fordítva igaz.

A következő példa nehézségeket okoz a vízszintes tengely kényszere miatt. Meg kell találni a legnagyobb és a legkisebb értéket a megadott szegmensen.

A grafikon a hőmérséklet időbeli változását mutatja. A vízszintes tengelyen az időt és a napokat, a függőleges tengelyen pedig a hőmérsékletet látjuk. A legmagasabb léghőmérsékletet január 22-én kell meghatározni, vagyis nem a teljes grafikont kell figyelembe venni, hanem a január 22-re vonatkozó részt, azaz január 22-én 00:00-tól január 23-án 00:00-ig.

Rizs. 4. Hőmérsékletváltozási grafikon

A grafikon korlátozásával nyilvánvalóvá válik számunkra, hogy a maximális hőmérséklet a pontnak felel meg.

A három nap alatti hőmérséklet-változások grafikonja látható. Az ökör tengelyén - a napszak és a hónap napja, az oy tengelyen - a levegő hőmérséklete Celsius-fokban.

Nem a teljes menetrendet kell figyelembe vennünk, hanem a július 13-ára vonatkozó részt, azaz július 13-án 00:00-tól július 14-én 00:00-ig.

Rizs. 5. Illusztráció további példaként

Ha nem adja meg a fent leírt korlátozásokat, előfordulhat, hogy hibás választ kap, de adott időközönként nyilvánvaló a maximális érték: , és július 13-án 12:00-kor éri el.

3. példa: határozza meg, melyik napon esett először öt milliméter eső:

A grafikon a napi csapadékmennyiséget mutatja Kazanyban 1909. február 3-tól február 15-ig. A hónap napjai vízszintesen, a csapadékmennyiség milliméterben pedig függőlegesen jelennek meg.

Rizs. 6. Napi csapadék

Kezdjük sorban. 3-án azt látjuk, hogy 0-nál valamivel több esett, de 1 mm-nél kevesebbet. csapadék, 4 mm csapadék hullott 4-én stb. Az 5-ös szám először a 11. napon jelenik meg. A kényelem kedvéért gyakorlatilag húzhat egy egyenest az öttel szemben; először február 11-én lépi át a diagramot, ez a helyes válasz.

4. példa: határozza meg, hogy melyik napon volt a legalacsonyabb egy uncia arany ára

A grafikon az arany árfolyamát mutatja a tőzsdei kereskedés zárásakor 1996. március 5. és március 28. között minden napra vonatkozóan. A hónap napjai vízszintesen, függőlegesen jelennek meg,

ennek megfelelően egy uncia arany ára amerikai dollárban.

A pontok közötti vonalakat csak az áttekinthetőség kedvéért húzzuk, az információt kizárólag maguk a pontok hordozzák.

Rizs. 7. Az arany tőzsdei árfolyamának változásainak diagramja

További példa: határozza meg, hogy a szegmens melyik pontján kapja a legnagyobb értéket a függvény:

Egy adott függvény deriváltja a grafikonon van megadva.

Rizs. 8. Illusztráció további példaként

A derivált az intervallumon van definiálva

Amint láthatja, a függvény deriváltja egy adott szakaszon negatív, és a bal oldali határpontban egyenlő nullával. Mint tudjuk, ha egy függvény deriváltja negatív, akkor a vizsgált intervallumon lévő függvény csökken, ezért a függvényünk a teljes vizsgált intervallumon csökken, ebben az esetben a bal szélső határon veszi fel a legnagyobb értéket. Válasz: időszak.

Tehát megvizsgáltuk a függvény gráfjának fogalmát, megvizsgáltuk, hogy melyek a grafikon tengelyei, hogyan találjuk meg egy függvény értékét a grafikonból, hogyan találjuk meg a legnagyobb és legkisebb értéket.

1. Mordkovich A.G. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. - M.: Mnemosyne.
2. Muravin G.K., Muravin O.V. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. - M.: Túzok.
3. Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások.Algebra és a matematikai elemzés kezdetei. - M.: Felvilágosodás.

1. Egységes államvizsga ().
2. Pedagógiai Ötletek Fesztiválja ().
3. A tanulás egyszerű.RF ().

1. A diagram (9. ábra) mutatja Jekatyerinburg (Szverdlovszk) havi átlagos levegőhőmérsékletét 1973 minden hónapjában. A vízszintes tengely a hónapokat, a függőleges tengely pedig a hőmérsékletet jelöli Celsius-fokban. Határozza meg a diagramból a legalacsonyabb havi átlaghőmérsékletet az 1973. májustól decemberig tartó időszakban. Válaszát Celsius-fokban adja meg.

Rizs. 9. Hőmérséklet diagram

1. Ugyanezen grafikonon (9. ábra) határozza meg az 1973-as legmagasabb és legalacsonyabb havi átlaghőmérséklet közötti különbséget. Válaszát Celsius-fokban adja meg.
2. A grafikon (10. ábra) egy belső égésű motor fűtési folyamatát mutatja 15 fokos környezeti hőmérséklet mellett. Az abszcissza tengely a motor indítása óta eltelt időt mutatja percben, az y tengely pedig a motor hőmérsékletét Celsius fokban. A terhelés akkor csatlakoztatható a motorhoz, ha a motor hőmérséklete eléri a 45 fokot. Hány percet kell minimálisan várni, mielőtt a terhelést a motorra csatlakoztatják?

Rizs. 10. A motor bemelegítési ütemterve

12. dia

Az y=x egyenes szimmetriája

Ezen függvények grafikonjai > 1-nél nőnek, 0-nál csökkennek

13. dia

Az egyik ábra az y=2-x függvény grafikonját mutatja. Kérjük, jelezze ezt a rajzot. Menetrend exponenciális függvény Az exponenciális függvény grafikonja átmegy a (0, 1) ponton, mivel a fokszám alapja kisebb, mint 1, ezért ennek a függvénynek csökkenőnek kell lennie.

14. dia

Az egyik ábra az y=log5 (x-4) függvény grafikonját mutatja. Adja meg ennek az ütemtervnek a számát. Menetrend logaritmikus függvény y=log5x átmegy az (1;0) ponton, majd ifh -4 =1, akkor ny=0, x=1+4, x=5. (5;0) – a gráf metszéspontja az OX tengellyel Ha x -4 = 5, akkor y = 1, x = 5 + 4, x = 9, A logaritmikus függvény grafikonja 9 5 1

15. dia

Az y=f(x) függvény a (-6;7) intervallumon van definiálva. Az ábra a függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Az y = 5-2x egyenessel párhuzamos (vagy azzal egybeeső) összes érintőt a függvény grafikonjára rajzoljuk. Jelölje be a függvény grafikonján azon pontok számát, amelyekhez ezek az érintők megrajzolódnak. K = tga = f'(xo) K = -2 feltétellel, ezért f'(xo) = -2 Egy y = -2 egyenest húzunk, amely két pontban metszi a grafikont, ami a függvény érintőit jelenti. két ponton húzódnak. Egy függvény grafikonjának érintőinek számának meghatározása a derivált grafikonjából

16. dia

Az y=f(x) függvény a [-7;3] intervallumon van definiálva. Az ábra deriváltjának grafikonját mutatja. Keresse meg az y=f(x) függvény grafikonján azon pontok számát, amelyeknél a grafikon érintői párhuzamosak az x tengellyel, vagy egybeesnek vele. Lejtési tényező az abszcisszával párhuzamos vagy azzal egybeeső egyenesek nullával egyenlőek. Ezért K=tg a = f `(xo)=0 Az OX tengely négy pontban metszi ezt a grafikont. Egy függvény érintőinek számának meghatározása a derivált grafikonjából

17. dia

Az y=f(x) függvény a (-6;6) intervallumon van definiálva. Az ábra deriváltjának grafikonját mutatja. Határozzuk meg az y=f(x) függvény grafikonján azon pontok számát, amelyeknél a grafikon érintői 135 -os szöget zárnak be az x tengely pozitív irányával. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Ezért f`(xo)=-1 Rajzoljunk egy egyenest y=-1, amely három pontban metszi a grafikont , ami a három pontban végrehajtott függvény érintőit jelenti. Egy függvény érintőinek számának meghatározása a derivált grafikonjából

18. dia

Az y=f(x) függvény a [-2;6] intervallumon van definiálva. Az ábra a függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Adja meg annak a pontnak az abszcisszáját, ahol az y=f(x) függvény grafikonjának érintőjének a legkisebb szögegyütthatója k=tg a=f'(xo) A függvény deriváltja a legkisebb értéket y=-3 pontban x=2. Ezért a gráf érintőjének az x=2 pontban van a legkisebb meredeksége. Az érintő meredekségének megtalálása a függvény deriváltjának grafikonjából -3 2

19. dia

Az y=f(x) függvény a [-7;3] intervallumon van definiálva. Az ábra a függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Jelölje meg azt az abszcisszát, amelynél az y=f(x) függvény grafikonjának érintője a legnagyobb meredekségű. k=tg a=f’(xo) A függvény deriváltja az x=-5 pontban veszi fel a legnagyobb y=3 értékét. Ezért a gráf érintőjének a legnagyobb meredeksége az x = -5 pontban. Az érintő meredekségének megkeresése a 3 -5 függvény deriváltjának grafikonjából

20. dia

Az ábrán az y=f(x) függvény grafikonja és egy érintője látható az xo abszcissza pontban. Keresse meg az f `(x) derivált értékét az xo f ’(xo) =tg a pontban Mivel az ábrán a egy tompaszög, akkor tan a

21. dia

Egy függvény minimumának (maximumának) megkeresése deriváltjának gráfjából

Az x=4 pontban a derivált előjelet változtat mínuszról pluszra. Ez azt jelenti, hogy x = 4 az y = f (x) függvény minimális pontja. 4 Az x = 1 pontokban a derivált előjelet vált pluszról. minusMeanx=1 az y=f(x) függvény maximális pontja.

22. dia

Önálló munkavégzés

11. ábra) Keresse meg a függvény definíciós tartományát! 2) Oldja meg az f(x) ≥ 0 egyenlőtlenséget 3) Határozza meg a függvény csökkenési intervallumait! 2. ábra – az y=f(x) derivált függvény grafikonja 4) Határozzuk meg a függvény minimumpontjait! 5) Adja meg annak a pontnak az abszcisszáját, ahol az y=f(x) függvény grafikonjának érintője a legnagyobb szögegyütthatóval rendelkezik! 11. ábra) Keresse meg a függvény értéktartományát. 2) Oldja meg az f(x)≤ 0 egyenlőtlenséget 3) Határozza meg a függvény növekedési intervallumait! 2. ábra – az y=f(x) derivált függvény grafikonja 4) Határozzuk meg a függvény maximális pontjait! 5) Adja meg annak a pontnak az abszcisszáját, ahol az y=f(x) függvény grafikonjának érintője a legkisebb meredekségű! 1 Opció 2 Opció

TÉMA: „EGY DERIVÁLT FUNKCIÓ GRAFIKÁNAK OLVASÁSA”

Az óra célja: készség kialakítása a függvény grafikonjából a derivált tulajdonságainak, a derivált gráfjából a függvény tulajdonságainak meghatározásában, a függvény grafikonjának és deriváltja gráfjának összehasonlításában.

Anyagok és felszerelések: számítógépes bemutató.

Tanterv

1. Idő szervezése.
2. Szóbeli számolás „Fogj el egy hibát”
3. Elméleti anyag ismétlése a „Saját támogatás” témában
4. Ügyességi képzés
5. "Kompetencia" játék
6. Összegzés.

Az órák alatt.

1. Idő szervezése. A „Függvénytanulmányozás deriváltokkal” témakör tanulmányozása során a függvény kritikus pontjainak, a deriváltnak a megkeresésére, a függvény tulajdonságainak meghatározására, grafikonjának felépítésére készségeket fejlesztettek ki. Ma ezt a témát egy másik oldalról nézzük meg: hogyan határozzuk meg magának a függvénynek a tulajdonságait egy függvény deriváltjának grafikonján keresztül. Feladatunk: megtanulni eligazodni a függvénygrafikonokhoz és származékaikhoz kapcsolódó egységes államvizsga-feladatok között.
2. Verbális számolás

(2x 2) / =2x; (3x-x 3) / =3-3x; x / =1 x

1. Elméleti anyag ismétlése a témában. (rajzolj egy kis embert a füzetedbe, hogy ábrázolja a hangulatot a lecke elején)

Ismételjük meg a függvény néhány tulajdonságát: növekedés és csökkenés, a függvény szélsőértéke.

A funkció növekedésének (csökkenésének) elegendő jele. Ez így szól:

1. Ha egy függvény deriváltja az X intervallum minden pontjában pozitív, akkor a függvény növekszik az X intervallumon keresztül.
2. Ha egy függvény deriváltja az X intervallum minden pontjában negatív, akkor a függvény az X intervallumon csökken.

Elegendő feltételek az extrémumhoz:

Legyen az y=f(x) függvény folytonos az X intervallumon, és legyen x 0 kritikus pontja az intervallumon belül. Ekkor ha az x 0 ponton áthaladva a derivált:

a) „+”-ról „-”-ra változtatja az előjelet, ekkor x 0 a függvény maximális pontja,

b) a „-” jelet „+”-ra változtatja, majd x 0– a függvény minimális pontja,

c) nem vált előjelet, akkor a ponton x 0 nincs szélsőség.

Egy függvény deriváltja maga is függvény. Ez azt jelenti, hogy saját menetrendje van.

x(van egy szegmensünk [ A; b]) az x tengely felett helyezkedik el, akkor a függvény ezen az intervallumon keresztül növekszik.

Ha a derivált grafikonja az intervallumon x az x tengely alatt helyezkedik el, akkor a függvény ezen az intervallumon csökken. Ezenkívül a derivált gráf opciók eltérőek lehetnek.

Tehát egy függvény deriváltjának grafikonja birtokában következtetéseket vonhatunk le magának a függvénynek a tulajdonságaira.

1. Képességfejlesztés. Nézzük a problémát:
2. "Kompetencia" játék
3. Összegzés. (rajzolj egy kis embert a füzetbe, jelezd a hangulatot az óra végén) Az „összefoglaló” szerepe (elmondja, milyen gondolat (konklúzió, eredmény...) volt a leckében véleménye szerint a legfontosabb egy)

Letöltés:

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

A DERÍVÁLT FUNKCIÓ GRAFIKÁNAK OLVASÁSA, és hogy úton-e az egységes államvizsga felé

Óraterv Szervezési pillanat. Szóbeli számítás „Fogd el a hibát” Elméleti anyag ismétlése a témában, jegyzetek „Az Ön támogatása” Képességfejlesztés Játék „Kompetencia” Összegzés.

Szóbeli számolás „Találd meg a hibát” (2x 2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5

Elméleti anyag ismétlése a témában f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 Egy függvény növekedésének (csökkenésének) elégséges jele: Ha egy függvény deriváltja az X intervallum minden pontjában pozitív, akkor a függvény az intervallumon növekszik. X. Ha a függvény deriváltja az X intervallum minden pontjában negatív, akkor a függvény az X intervallumon csökken. Ha az X intervallumon lévő derivált grafikonja az x tengely felett helyezkedik el, akkor a függvény növekszik ezt az intervallumot. Ha az X intervallumon a derivált grafikonja az x tengely alatt helyezkedik el, akkor a függvény ezen az intervallumon csökken.

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 év x + 1 „Saját támogatás” Növekedés Csökkenő Növekedés

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 E ha az x 0 ponton áthaladva a derivált: a) előjelét „+”-ról „-”-ra változtatja, akkor x 0 a függvény pontmaximuma, b) az előjelet „-”-ről „+”-ra változtatja, majd x 0 a függvény minimumpontja, c) nem változtat előjelet, akkor nincs szélsőérték az x 0 pontban . Elméleti anyag megismétlése a „Saját támogatás” témában Extrémum létezésének szükséges feltétele: Ha az y=f (x) függvénynek az x=x0 pontban van szélsője, akkor ezen a ponton a derivált vagy egyenlő 0 vagy nem létezik. max min

Képességfejlesztés (feladatok megoldása a nyílt Egységes Államvizsga bankból) növekvő intervallumok: (-5;-1), (2;8),(11;12) Válasz: 6 1 f(x) f / (x) + + +

Képességfejlesztés csökkenési intervallumok: (-1;0), (9;12) Válasz: 3 2 f(x) f / (x) – – Képességfejlesztés (feladatok megoldása a nyílt Egységes Államvizsga bankból)

Képességfejlesztés Válasz: -3 3 f(x) f / (x) Képességfejlesztés (feladatok megoldása a nyílt Egységes Államvizsga bankból)

Képességfejlesztés Válasz: - 3 4 f(x) f / (x) Képességfejlesztés (feladatok megoldása a nyílt Egységes Államvizsga bankból)

Képességfejlesztés 5 f(x) f / (x) Képességfejlesztés (feladatok megoldása a nyílt Egységes Államvizsga bankból)

„Kompetencia” játék Résztvevők: két csapat - egymással versengő társaságok A csapatok 3 feladatot találnak ki egymásnak az óra témájában, feladatokat cserélnek, azokat teljesítik és a táblán megmutatják a megoldást. Ha az ellenfél kudarcot vall, akkor a kérdést feltevő csapatnak magának kell válaszolnia. Minden cég egy konkurens cég munkáját értékeli 5 pontos rendszerben (minden feladat és minden válasz) Tudástámogatók: Petrova Gelena és Semenova Kunnai

Összegzés: Férfi rajzolása Összegzés: mi volt a fő dolog az órán? mi volt érdekes? mit tanultál? Értékelési szempontok: 28-30 pont – „5” pontszám 20-27 pont – „4” pont 10-19 pont – „3” pont 10 pont alatt – ajánlás az egységes államvizsgára való felkészülés során

Általános lecke a témában:

"A derivált és a grafikonja a függvény tulajdonságainak olvasásához"

Az óra típusa: általános IKT-t használó óra prezentáció formájában.

Az óra céljai:

Nevelési:

Elősegíteni a hallgatók megértését a származékok gyakorlati feladatokban való használatáról;

Tanítsa meg a tanulókat a függvények és származékok tulajdonságainak egyértelmű használatára.

Nevelési:

Feladatkérdés elemzésére és következtetések levonására való képesség fejlesztése;

A meglévő ismeretek gyakorlati feladatokban való alkalmazásának képessége fejlesztése.

Nevelési:

A téma iránti érdeklődés felkeltése;

Ezen elméleti és gyakorlati készségek szükségessége a továbbtanuláshoz.

Az óra céljai:

Speciális készségek fejlesztése a derivált függvény grafikonjával való munkavégzés során, hogy azok az egységes államvizsga letételekor használhatók legyenek;

Készülj fel a tesztre.

Tanterv.

1. Referencia ismeretek (BK) frissítése.

2. A témával kapcsolatos ismeretek, készségek, képességek fejlesztése.

3. Tesztelés (B8 az egységes államvizsgából).

4. Kölcsönös ellenőrzés, pontozás a „szomszédnak”.

5. Az óra tanulságainak összegzése.

Felszerelés: számítógép osztály, tábla, marker, tesztek (2 lehetőség).

Az órák alatt.

Org pillanat.

Tanár . Hello, kérem, üljön le.

A „Függvénytanulmányozás deriváltokkal” témakör tanulmányozása során a függvény kritikus pontjainak, a deriváltnak a megkeresésére, a függvény tulajdonságainak meghatározására, grafikonjának felépítésére készségeket fejlesztettek ki. Ma ezt a témát egy másik oldalról nézzük meg: hogyan határozzuk meg magának a függvénynek a tulajdonságait egy függvény deriváltjának grafikonján keresztül. Feladatunk: megtanulni eligazodni a függvénygráfokkal és származékaikkal kapcsolatos feladatok sokféleségében.

A matematika egységes államvizsgára való felkészülés során a KIM-ek problémákat kapnak a derivált gráf használatával kapcsolatban a függvények tanulmányozására. Ezért ebben a leckében rendszerezni kell a témával kapcsolatos ismereteinket, és meg kell tanulnunk gyorsan választ találni a B8-as feladatok kérdéseire.

1. dia.

Tantárgy: „A derivált és a gráf használata a függvények tulajdonságainak olvasásához”

Az óra céljai:

Ismeretfejlesztés a derivált alkalmazásáról, geometriai jelentéséről és a derivált grafikonjáról a függvények tulajdonságainak meghatározására.

Az egységes államvizsga-tesztek végrehajtásának hatékonyságának fejlesztése.

Olyan személyiségtulajdonságok fejlesztése, mint a figyelmesség, a szöveggel való munka képessége, a származékos gráfokkal való munkavégzés képessége

2.Alapismeretek felfrissítése (BK). 4-10. dia.

A felülvizsgálati kérdések most megjelennek a képernyőn. Feladata: minden pontra adjon világos és tömör választ. Válaszának helyessége a képernyőn ellenőrizhető.

( Először egy kérdés jelenik meg a képernyőn, majd miután a tanulók válaszoltak, megjelenik a helyes válasz ellenőrzés céljából.)

Kérdések listája az AOD számára.

A származék definíciója.

Geometriai jelentés derivált.

A derivált értékei, az érintő meredeksége, az érintő közötti szög és az OX tengely pozitív iránya közötti kapcsolat.

A derivált használata egy függvény monotonitási intervallumainak megkeresésére.

Derivált alkalmazása kritikus pontok, szélsőpontok meghatározására

6 .Szükséges és elegendő feltételek extrémum

7 . A derivált használata a függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához

(A tanulók minden tételre válaszolnak, válaszaikat jegyzetekkel, táblákkal rajzolják. Hibás és hiányos válaszok esetén az osztálytársak javítják, kiegészítik azokat. A tanulók válaszadása után a helyes válasz megjelenik a képernyőn. Így a tanulók azonnal meg tudják határozni válaszuk helyességét.)

3. A témával kapcsolatos ismeretek, készségek, képességek fejlesztése. Dia 11-15.

A hallgatók számára feladatokat kínálnak a korábbi évek Egységes Államvizsga matematika KIM-eiből, az internetes oldalakról a derivált és grafikonjának használatáról a függvények tulajdonságainak tanulmányozására. A feladatok egymás után jelennek meg. A tanulók táblára vagy szóbeli érveléssel fogalmazzák meg a megoldásokat. A helyes megoldás ezután megjelenik a dián, és összevetik a tanulók megoldásával. Ha hiba van a megoldásban, azt az egész osztály elemzi.

16. és 17. dia.

Ezt követően az órán célszerű egy kulcsfeladatot megfontolni: a derivált adott grafikonját felhasználva a tanulóknak (természetesen tanári segítséggel) különféle kérdéseket kell felvetniük magának a függvénynek a tulajdonságaival kapcsolatban. Természetesen ezeket a kérdéseket megbeszéljük, szükség esetén javítjuk, összegezzük, jegyzetfüzetbe rögzítjük, ezután kezdődik a feladatok megoldásának szakasza. Itt arra kell ügyelni, hogy a tanulók ne csak adják meg a helyes választ, hanem a megfelelő definíciók, tulajdonságok, szabályok segítségével érvelni (bizonyítani) tudjanak.

Tesztelés (B8 az egységes államvizsgából). Dia No. 18-29. Dia No. 30 – a teszt kulcsai.

Tanár : Összefoglaltuk tehát a témában szerzett ismereteit: megismételtük a derivált alapvető tulajdonságait, megoldottuk a derivált gráfjával kapcsolatos problémákat, elemeztük a derivált és a derivált gráf felhasználásának összetett és problematikus vonatkozásait a származék tulajdonságainak tanulmányozására. funkciókat.

Most 2 lehetőség közül fogunk tesztelni. A feladatok mindkét verzióban egyszerre jelennek meg a képernyőn. Tanulmányozod a kérdést, megtalálod a választ, és felírod a válaszlapodra. A teszt kitöltése után cserélje ki az űrlapokat, és ellenőrizze a szomszéd munkáját a kész válaszok segítségével. Adj értékelést(10 pontig – „2”, 11-től 15-ig – „3”, 16-tól 19-ig – „4”, 19 pont felett – „5”).

Összegezve a tanulságot

Megvizsgáltuk egy függvény monotonitása és deriváltjának előjele közötti összefüggést, valamint a szélsőség létezésének elégséges feltételeit. Különféle feladatokat vizsgáltunk a derivált függvény gráfjának olvasásához, amelyek egy szingli szövegében találhatók államvizsga. Az általunk mérlegelt összes feladat jó, mert nem sok időt vesz igénybe az elvégzése.

Az egységes államvizsga során ez nagyon fontos: gyorsan és helyesen írja le a választ.

Nyújtsa be válaszűrlapjait. A lecke osztályzatát már ismeri, és bekerül a naplóba.

Azt hiszem, az osztály felkészült a vizsgára.

Házi feladat kreatív lesz . 33. dia .

A matematikai elemzés elemei az egységes államvizsgán Malinovskaya Galina Mikhailovna [e-mail védett] Referenciaanyag Alapfüggvények deriváltjainak táblázata.  A differenciálás szabályai (összeg, szorzat származéka, két függvény hányadosa).  Komplex függvény deriváltja.  A származék geometriai jelentése.  Fizikai jelentés derivált.  Referenciaanyag Grafikusan meghatározott függvény szélsőpontjai (maximum vagy minimum).  Adott intervallumon folytonos függvény legnagyobb (legkisebb) értékének megkeresése.  A funkció antiderivatívája. Newton-Leibniz képlet. Egy ívelt trapéz területének meghatározása.  Fizikai alkalmazások  1.1 Anyagi pont törvény szerint egyenes vonalúan mozog 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23, ahol x a referenciapont távolsága méterben, t az idő másodpercben, a mozgás kezdetétől mérve. Határozza meg a sebességét (méter per másodpercben) t= 3s időpontban.  1.2 Egy anyagi pont a törvény szerint 1 3-at egyenesen mozog a mozgalom. Melyik időpontban (másodpercben) volt a sebessége 2 m/s? Megoldás: Keressük x(t) deriváltját (az út idő függvénye).  Az 1.1 feladatban cserélje be t értékét, és számítsa ki a sebességet (Válasz: 59).  Az 1.2 feladatban a talált deriváltot egyenlővé tesszük adott számés oldja meg az egyenletet a t változóra vonatkozóan. (Válasz: 7).  Geometriai alkalmazások 2.1 A 𝑦 = 7𝑥 − 5 egyenes párhuzamos a 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 függvény 2. grafikonjának érintőjével. Keresse meg az érintőpont abszcisszáját! 2.2 A 𝑦 = 3𝑥 + 1 egyenes érinti a 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 függvény 2. grafikonját. Találni. 2.3 A 𝑦 = −5𝑥 + 8 egyenes érinti a 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 függvény 2. gráfját. Határozzuk meg a b-t, ha az érintési pont abszcisszája nagyobb, mint 0. 2.4 A 𝑦 = 3𝑥 + 4 egyenes érinti a 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐 függvény 2. grafikonját. Keresse meg c. Megoldás: A 2.1 feladatban megkeressük a függvény deriváltját, és egyenlővé tesszük az egyenes meredekségével (Válasz: 0,5).  A 2.2-2.4 feladatokban két egyenletrendszert állítunk össze. Az egyikben függvényeket, a másikban azok származékait teszünk egyenlővé. Két ismeretlennel (x változó és paraméter) rendelkező rendszerben paramétert keresünk. (Válaszok: 2,2) a=0,125; 2,3) b=-33; 2.4) c=7).   2.5 Az ábra az y=f(x) függvény grafikonját és a hozzá tartozó érintőt a 𝑥0 abszcissza pontban mutatja. Keresse meg az f(x) függvény deriváltjának értékét a 𝑥0 pontban.  2.6 Az ábra az y=f(x) függvény grafikonját és a hozzá tartozó érintőt mutatja a 𝑥0 abszcissza pontban. Keresse meg az f(x) függvény deriváltjának értékét a 𝑥0 pontban.  2.7 Az ábra az y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Az origón áthaladó egyenes a 10-es abszcissza pontban érinti a függvény grafikonját. Keresse meg a függvény deriváltjának értékét az x=10 pontban. 𝑥0 = 0 Megoldás:     Egy függvény deriváltjának értéke egy pontban az érintő dőlésszögének érintője a függvény e pontban megrajzolt grafikonjához. "Végezzük ki a rajzot" derékszögű háromszög és keressük meg a megfelelő szög érintőjét, amelyet pozitívnak veszünk, ha az érintő hegyesszöget zár be az Ox tengely pozitív irányával (az érintő „növekszik”), és negatívnak, ha a szög tompaszögű (az érintő csökken). A 2.7 feladatban egy érintőt kell rajzolni a megadott ponton és az origón keresztül. Válaszok: 2,5) 0,25; 2,6) -0,25; 2,7) -0,6. Függvény grafikonjának vagy függvény deriváltjának grafikonjának olvasása  3.1 Az ábra a (6;8) intervallumon definiált y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Határozza meg azon egész pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja pozitív!  3.2 Az ábra a (-5;5) intervallumon definiált y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg azon egész pontok számát, amelyeknél az f(x) függvény deriváltja negatív! Megoldás: A derivált előjele összefügg a függvény viselkedésével.  Ha a derivált pozitív, akkor kiválasztjuk a függvény grafikonjának azt a részét, ahol a függvény növekszik. Ha a derivált negatív, akkor ahol a függvény csökken. Kiválasztjuk az ökör tengelyén ennek a résznek megfelelő intervallumot.  A feladat kérdésének megfelelően vagy újraszámoljuk az adott intervallumban lévő egész számok számát, vagy megkeressük az összegüket.  Válaszok: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 Az ábra a (-2;12) intervallumon definiált y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg az f(x) függvény szélsőpontjainak összegét! Először is nézzük meg, mi van az ábrán: egy függvény grafikonja vagy egy derivált grafikonja.  Ha ez a derivált grafikonja, akkor minket csak a derivált előjele és az Ox tengellyel való metszéspontok abszcisszája érdekel.  Az érthetőség kedvéért ismerősebb képet rajzolhatunk a derivált előjeleivel a kapott intervallumokon és a függvény viselkedésén.  Válaszolj a feladatban szereplő kérdésre a kép szerint! (Válasz: 3.3) 44).   3.4 Az ábrán az f(x) függvény deriváltja, a (-7;14] intervallumon definiált ′ y=𝑓 (𝑥) grafikonja látható.. Határozza meg az f(x) függvény maximális pontjainak számát ) a [-6;9] szegmenshez tartozó  3.5 Az ábrán az y=𝑓 ′ (𝑥) - az f(x) függvény deriváltja, a (-11;11) intervallumon definiált grafikonja látható. a [-10;10] szakaszhoz tartozó f(x) függvény extrémumpontjainak száma Megoldás: Keressük a derivált gráf Ox tengellyel való metszéspontjait, kiemelve a tengely azon részét, amelyet a  Minden kapott intervallumon meghatározzuk a derivált előjelét (ha a derivált gráf a tengely alatt van, akkor „-”, ha fent, akkor „+” )  A maximális pontok azok lesznek, ahol a A jel „+”-ról „-”-ra változott, a minimum – „-”-ról „+”-ra. A szélsőpontok ezek és mások lesznek. Válaszok: 3.4) 1; 3.5) 5.   3.6 Az ábra az y=𝑓 ′ (𝑥) grafikonját mutatja - az f(x) függvény deriváltja, a (-8;3) intervallumon definiálva. A [-3;2] szakasz melyik pontján veszi fel a legnagyobb értéket az f(x) függvény.  3.7 Az ábrán az ′ y=𝑓 (𝑥) - az f(x) függvény deriváltja, a (-8;4) intervallumon definiált grafikonja látható. A [-7;-3] szakasz melyik pontján veszi fel a legkisebb értéket az f(x) függvény. Megoldás:    Ha a derivált előjelet változtat a vizsgált szakaszon, akkor a megoldás a tételen alapul: ha egy szakaszon folytonos függvénynek egyetlen szélsőpontja van, és ez egy maximális (minimális) pont, akkor a függvény legnagyobb (legkisebb) értéke ezen a szegmensen ezen a ponton érhető el. Ha egy intervallumon folytonos függvény monoton, akkor eléri a minimumát és legmagasabb értékeket egy adott szakaszon a végein. Válaszok: 3,6) -3; 3.7) -7.  3.8 Az ábra a (-5;5) intervallumon definiált y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Határozza meg azon pontok számát, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos vagy egybeesik az y=6 egyenessel.  3.9 Az ábra az y=f(x) függvény és az abszcissza tengely nyolc pontjának grafikonját mutatja: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . Ezek közül hány pontban pozitív az f(x) deriváltja?  4.2 Az ábrán az y=𝑓 ′ (𝑥) grafikonja látható – az f(x) függvény deriváltja, a (-5;7) intervallumon definiálva. Határozzuk meg az f(x) függvény csökkenési intervallumait! Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész pontok összegét!  4.5 Az ábrán az y=𝑓 ′ (𝑥) grafikonja látható – az f(x) függvény deriváltja, a (-4;8) intervallumon definiálva. Határozzuk meg a [-2;6] szakaszhoz tartozó f(x) függvény szélsőpontját!  4.6 Az ábrán az y=𝑓 ′ (𝑥) grafikonja látható – az f(x) függvény deriváltja, a (-10;2) intervallumon definiálva. Határozza meg azon pontok számát, amelyekben az f(x) függvény grafikonjának érintője párhuzamos vagy egybeesik az y=-2x-11 egyenessel. Megoldás: 4.6 Mivel az ábra a derivált grafikonját mutatja, és az érintője párhuzamos ezzel az egyenessel, a függvény deriváltja ebben a pontban egyenlő -2-vel. A derivált gráfon olyan pontokat keresünk, amelyeknek ordinátája -2, és megszámoljuk a számukat. 5-öt kapunk.  Válaszok: 3,8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6) 5.   4.8 Az ábra az y=𝑓 ′ (𝑥) grafikonját mutatja - az f(x) függvény deriváltja. Határozzuk meg annak a pontnak az abszcisszáját, amelyben az y=f(x) gráf érintője párhuzamos vagy egybeesik az abszcissza tengellyel. Megoldás: Ha egy egyenes párhuzamos az Ox tengellyel, akkor a meredeksége nulla.  Az érintő meredeksége nulla, ami azt jelenti, hogy a derivált nulla.  Keressük a derivált gráf Ox tengellyel való metszéspontjának abszcisszáját.  -3-at kapunk.   4.9 Az ábra az f(x) függvény y=𝑓 ′ (x) deriváltjának grafikonját és az abszcissza tengely nyolc pontját mutatja: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . Ezek közül hány pontban nő az f(x) függvény deriváltja? A határozott integrál geometriai jelentése  5.1 Az ábra valamilyen y=f(x) függvény grafikonját mutatja (két sugár közös kezdőponttal). Az ábra segítségével számítsuk ki F(8)-F(2), ahol F(x) az f(x) függvény egyik antideriváltja. Megoldás:     Egy ívelt trapéz területét egy határozott integrálon keresztül számítjuk ki. A határozott integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével számítjuk ki az antiderivált növekményeként. Az 5.1 feladatban kiszámítjuk a trapéz területét a jól ismert geometriai képlet segítségével (ez lesz az antiderivált növekménye). Az 5. feladatokban. 2. és 5.3. az antiderivált már adott. Ki kell számítani annak értékeit a szegmens végén, és ki kell számítani a különbséget.  5.2 Az ábra valamilyen y=f(x) függvény grafikonját mutatja. A 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − függvény az f(x) függvény 8 antideriváltjának egyike. Keresse meg az árnyékolt ábra területét. Megoldás:     Egy ívelt trapéz területét egy határozott integrálon keresztül számítjuk ki. A határozott integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével számítjuk ki az antiderivált növekményeként. Az 5.1 feladatban kiszámítjuk a trapéz területét a jól ismert geometriai képlet segítségével (ez lesz az antiderivált növekménye). Az 5.2. feladatban az antiderivált már adott. Ki kell számítani annak értékeit a szegmens végén, és ki kell számítani a különbséget. Sok sikert a matematika egységes államvizsgához 