Az algebra és minden matematika egyik fő jellemzője a fokozat. Természetesen a 21. században minden számítást el lehet végezni egy online számológépen, de az agyfejlődés szempontjából jobb, ha megtanulod, hogyan csináld ezt magad.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a meghatározással kapcsolatos legfontosabb kérdéseket. Nevezetesen, értsük meg, mi ez általában, és mik a fő funkciói, milyen tulajdonságok vannak a matematikában.

Nézzünk példákat arra, hogyan néz ki a számítás és mik az alapképletek. Nézzük meg a mennyiségek fő típusait, és miben különböznek a többi függvénytől.

Megértjük, hogyan lehet különféle problémákat megoldani ezzel a mennyiséggel. Példákkal mutatjuk be, hogyan lehet nulla hatványra emelni, irracionális, negatív stb.

Online hatványozás kalkulátor

Mi egy szám hatványa

Mit jelent a „számot hatványra emelni” kifejezés?

Egy szám n hatványa egymás után n-szeres a nagyságrendű tényezők szorzata.

Matematikailag így néz ki:

a n = a * a * a * …a n .

Például:

• 2 3 = 2 harmadfokon. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 lépéshez. kettő = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 lépéshez. négy = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 5 lépésben. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
• 10 4 = 10 4 lépésben. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Az alábbiakban egy táblázat látható négyzetekkel és kockákkal 1-től 10-ig.

Foktáblázat 1-től 10-ig

Az alábbiakban az építkezés eredményeit közöljük természetes számok pozitív erőkre – „1-től 100-ig”.

Ch-lo	2. st.	3. szakasz
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

A fokozatok tulajdonságai

Mi jellemző egy ilyen matematikai függvényre? Nézzük az alapvető tulajdonságokat.

A tudósok a következőket állapították meg minden fokozatra jellemző jelek:

• a n*a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Vizsgáljuk meg példákkal:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Másrészt 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Hasonlóan: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Egyébként 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Mi van, ha más? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Amint látja, a szabályok működnek.

De mi a helyzet összeadással és kivonással? Ez egyszerű. Először a hatványozás, majd az összeadás és a kivonás történik.

Nézzünk példákat:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Figyelem: a szabály nem érvényes, ha először kivonja: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

De ebben az esetben először ki kell számítania az összeadást, mivel zárójelben vannak műveletek: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Hogyan kell előállítani számításokat bővebben nehéz esetek ? A sorrend ugyanaz:

• ha vannak zárójelek, akkor velük kell kezdeni;
• majd hatványozás;
• majd végezze el a szorzás és osztás műveleteit;
• összeadás, kivonás után.

Vannak speciális tulajdonságok, amelyek nem jellemzőek minden fokozatra:

1. Az a szám m fokos n-edik gyöke a következőképpen lesz írva: a m / n.
2. Tört hatványra emelésekor: mind a számlálóra, mind a nevezőre ez az eljárás vonatkozik.
3. Egy mű felépítésénél különböző számok egy hatványra, a kifejezés megfelel ezeknek a számoknak az adott hatványnak a szorzatának. Vagyis: (a * b) n = a n * b n.
4. Amikor egy számot negatív hatványra emel, el kell osztania az 1-et egy ugyanabban a században lévő számmal, de „+” jellel.
5. Ha egy tört nevezője negatív hatvány, akkor ez a kifejezés egyenlő lesz a számláló és a nevező pozitív hatvány szorzatával.
6. Bármely szám a 0 = 1 hatványhoz és a hatványhoz. 1 = önmagadnak.

Ezek a szabályok bizonyos esetekben fontosak, az alábbiakban részletesebben foglalkozunk velük.

Fok negatív kitevővel

Mi a teendő mínusz fokkal, vagyis ha a mutató negatív?

A 4. és 5. tulajdonság alapján(lásd a fenti pontot), kiderül:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.

És fordítva:

1/A (- n) = A n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.

Mi van, ha töredék?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Fokozat természetes indikátorral

Fokként értendő, amelynek kitevői egyenlők egész számokkal.

Dolgok, amikre emlékezni kell:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...stb.

A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...stb.

Ráadásul, ha (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...akkor az eredmény „+” jelű lesz. Ha egy negatív számot páratlan hatványra emelünk, akkor fordítva.

Az általános tulajdonságok és az összes fent leírt sajátosság is jellemző rájuk.

Tört fok

Ez a típus felírható sémaként: A m / n. Olvassuk így: az A szám n-edik gyöke az m hatványhoz.

A törtmutatóval azt csinálhatsz, amit akarsz: csökkentheted, részekre bonthatod, másik hatványra emelheted stb.

Fok irracionális kitevővel

Legyen α irracionális szám, A ˃ 0.

Egy ilyen mutató segítségével megérteni a diploma lényegét, Nézzük meg a különböző lehetséges eseteket:

• A = 1. Az eredmény egyenlő lesz 1-gyel. Mivel létezik egy axióma - 1 minden hatványban egyenlő eggyel;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionális számok;

• 0˂А˂1.

Ebben az esetben fordítva: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 ugyanolyan feltételek mellett, mint a második bekezdésben.

Például a kitevő a π szám. Ez racionális.

r 1 – ebben az esetben 3;

r 2 – egyenlő lesz 4-gyel.

Ekkor A = 1 esetén 1 π = 1.

A = 2, akkor 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, akkor (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16˂ (½) π˂ 1/8.

Az ilyen fokozatokat a fent leírt összes matematikai művelet és specifikus tulajdonság jellemzi.

Következtetés

Foglaljuk össze – mire kellenek ezek a mennyiségek, milyen előnyei vannak az ilyen függvényeknek? Természetesen mindenekelőtt leegyszerűsítik a matematikusok és programozók életét a példák megoldása során, mivel lehetővé teszik a számítások minimalizálását, az algoritmusok lerövidítését, az adatok rendszerezését és még sok mást.

Hol lehet még hasznos ez a tudás? Bármilyen működő szakterületen: orvostudomány, gyógyszerészet, fogászat, építőipar, technológia, mérnöki, tervezési stb.

Tudományos és matematikai cikkek

Azonos bázisú hatványok tulajdonságai

Itt három van fokok tulajdonságai azonos alapokkal és természetes mutatókkal. Ez

• Munka összeg
• Magán két azonos bázisú hatvány egyenlő azzal a kifejezéssel, ahol az alap és a kitevő azonos különbség az eredeti tényezők mutatói.
• Szám hatványra emelése egyenlő egy olyan kifejezéssel, amelyben az alap azonos szám, a kitevő pedig az munka két fok.

Légy óvatos! vonatkozó szabályok összeadás és kivonás fokon ugyanazokkal az alapokkal nem létezik.

Írjuk fel ezeket a tulajdonság-szabályokat képletek formájában:

• a m ? a n = a m+n
• a m ? a n = a m–n
• (a m) n = a mn

Most pedig nézzük meg őket konkrét példákés próbáljuk bebizonyítani.

5 2 ? 5 3 = 5 5 - itt alkalmaztuk a szabályt; Most képzeljük el, hogyan oldanánk meg ezt a példát, ha nem ismernénk a szabályokat:

5 2 ? 5 3 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5 5 - az öt négyzet ötször öt, a kocka pedig három ötös szorzata. Az eredmény öt ötös szorzata, de ez más, mint az öt és az ötödik hatvány: 5 5 .

3 9? 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Írjuk fel az osztást törtként:

Rövidíthető:

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

Így bebizonyítottuk, hogy két azonos bázisú hatvány felosztásánál ki kell vonni a hatványukat.

Osztáskor azonban az osztó nem lehet egyenlő nullával (mivel nem lehet nullával osztani). Ezen túlmenően, mivel a fokokat csak természetes kitevőkkel vesszük figyelembe, a kitevők kivonása eredményeként nem kaphatunk 1-nél kisebb számot. Ezért az a m? a n = a m–n korlátozások vannak érvényben: a ? 0 és m > n.

Térjünk át a harmadik tulajdonságra:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

Írjuk kibővített formában:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

Erre a következtetésre juthat logikus érveléssel. Meg kell szorozni a kettő négyzetét négyszeresére. De minden mezőben két kettes van, ami azt jelenti, hogy összesen nyolc kettős lesz.

scienceland.info

Összeadás és kivonás szabályai.

1. A kifejezések helyének megváltoztatása nem változtatja meg az összeget (összeadás kommutatív tulajdonsága)

13+25=38, így írható: 25+13=38

2. Az összeadás eredménye nem változik, ha a szomszédos tagokat az összegükkel helyettesítjük (az összeadás asszociatív tulajdonsága).

10+13+3+5=31 a következőképpen írható fel: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 stb.

3. Az egységek összeadódnak egy, a tízesek tízesek stb.

34+11=45 (3 tíz plusz 1 további tíz; 4 egység plusz 1 egység).

4. Az egységekből kivonjuk az egységeket, a tízesekből a tízeseket stb.

53-12=41 (3 egység mínusz 2 egység; 5 tíz mínusz 1 tíz)

Megjegyzés: 10 egyesből egy tíz lesz. Ezt a kivonásnál emlékezni kell, mert ha a részfej egységeinek száma nagyobb, mint a minuend egységeinek száma, akkor „kölcsönkérhetünk” egy tízest a minuendből.

41-12 = 29 (Ahhoz, hogy 2-ből 1-et levonjunk, először tízesből kell „kölcsönkérnünk” egyet, 11-2 = 9-et kapunk; ne feledjük, hogy a csökkentettnek 1-gyel kevesebb tíz, ezért marad 3 tízes az 1 tízet levonjuk. 29. válasz).

5. Ha két tag összegéből kivonod az egyiket, akkor a második tagot kapod.

Ez azt jelenti, hogy az összeadás ellenőrizhető kivonással.

Az ellenőrzéshez vonja ki az összegből az egyik tagot: 49-7=42 vagy 49-42=7

Ha a kivonás eredményeként nem kapta meg valamelyik feltételt, akkor az összeadásban hiba történt.

6. Ha a különbséghez hozzáadja a részfejet, akkor megkapja a minuendet.

Ez azt jelenti, hogy a kivonás összeadással ellenőrizhető.

Az ellenőrzéshez adja hozzá a részfejet a különbséghez: 19+50=69.

Ha a fent leírt eljárás eredményeként nem kapta meg a kivonást, akkor hiba történt a kivonásban.

Racionális számok összeadása és kivonása

Ez a lecke a racionális számok összeadását és kivonását tárgyalja. A téma összetettnek minősül. Itt fel kell használni a korábban megszerzett tudás teljes arzenálját.

Az egész számok összeadásának és kivonásának szabályai a racionális számokra is vonatkoznak. Emlékezzünk vissza, hogy a racionális számok olyan számok, amelyek törtként ábrázolhatók, ahol a – ez a tört számlálója, b a tört nevezője. Ráadásul b nem lehet nulla.

Ebben a leckében egyre gyakrabban hívjuk meg a törteket és a vegyes számokat egyetlen gyakori kifejezéssel - racionális számok.

Óra navigáció:

1. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Figyelembe vesszük, hogy a kifejezésben megadott plusz egy műveletjel, és nem törtre vonatkozik. Ennek a törtnek saját pluszjele van, amely nem látható, mivel nincs leírva. De az érthetőség kedvéért leírjuk:

Ez a racionális számok összeadása -val különböző jelek. Különböző előjelű racionális számok hozzáadásához ki kell vonni a kisebbet a nagyobb modulból, és a kapott választ elő kell írni azzal az előjellel, amelynek modulja nagyobb. És annak megértéséhez, hogy melyik modulus nagyobb és melyik kisebb, össze kell tudnia hasonlítani ezen törtek modulusait, mielőtt kiszámítja őket:

A racionális szám modulusa nagyobb, mint a racionális szám modulusa. Ezért kivontuk a -ból. Választ kaptunk. Majd ezt a törtet 2-vel csökkentve megkaptuk a végső választ.

Ha szükséges, néhány primitív művelet, mint például a számok zárójelbe helyezése és modulok hozzáadása, kihagyható. Ezt a példát röviden leírhatjuk:

2. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Figyelembe vesszük, hogy a kifejezésben megadott mínusz a művelet jele, és nem törtre vonatkozik.

A tört ebben az esetben egy pozitív racionális szám, pluszjellel, amely láthatatlan. De az érthetőség kedvéért leírjuk:

Helyettesítsük a kivonást összeadásra. Emlékeztessünk, hogy ehhez hozzá kell adni az ellentétes számot a részrész minuendéhez:

Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Negatív racionális számok hozzáadásához hozzá kell adni a moduljaikat, és a kapott válasz elé mínuszt kell tenni:

3. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Ebben a kifejezésben a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek. A feladatunk megkönnyítése érdekében csökkentsük ezeket a törteket azonos (közös) nevezőre. Ezzel nem foglalkozunk részletesen. Ha nehézségei vannak, feltétlenül térjen vissza a törtekkel való kezelés leckéhez, és ismételje meg.

Miután a törteket közös nevezőre redukáltuk, a kifejezés a következő formában jelenik meg:

Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Kivonjuk a kisebb modult a nagyobb modulból, és a kapott válasz elé tesszük azt a jelet, amelynek a modulja nagyobb:

4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét

Három kifejezést kaptunk. Először keressük meg a kifejezés értékét, majd adjuk hozzá a kapott választ

Első akció:

Második akció:

Így a kifejezés értéke egyenlő.

Ennek a példának a megoldása röviden leírható

5. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Az egyes számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Ezért vegyes szám Ideiglenesen megfordítjuk

Számítsuk ki az egész részeket:

A fő kifejezésben ahelyett Írjuk fel a kapott egységet:

Összecsukjuk a kapott kifejezést. Ehhez hagyjuk ki a zárójeleket, és írjuk össze az egységet és a törtet

Ennek a példának a megoldása röviden leírható:

6. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

A vegyes számot alakítsuk át helytelen törtté. A többit írjuk át úgy, ahogy van:

Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt:

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adjuk össze ezeknek a számoknak a moduljait, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé:

Így a kifejezés értéke .

Ennek a példának a megoldása röviden leírható:

7. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

A vegyes számot írjuk kibővített formában. A többit írjuk át úgy, ahogy van:

Minden racionális számot zárójelbe teszünk a jeleivel együtt

Helyettesítsük a kivonást összeadásra, ahol lehetséges:

Számítsuk ki az egész részeket:

A fő kifejezésben a kapott szám beírása helyett?7

A kifejezés egy vegyes szám írásának kiterjesztett formája. Azonnal felírhatod a választ, ha a számokat?7 és a törtet együtt írod le (e tört mínuszát elrejti)

Tehát a kifejezés értéke

Ennek a példának a megoldása sokkal rövidebben is leírható. Ha néhány részletet kihagyunk, a következőképpen írható:

8. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a kifejezés kétféleképpen számítható ki. Nézzük meg mindegyiket.

Első út. A kifejezés egész és tört részei külön kerülnek kiértékelésre.

Először is írjunk vegyes számokat kiterjesztett formában:

Tegyük zárójelben az egyes számokat a jeleivel együtt:

Helyettesítsük a kivonást összeadásra, ahol lehetséges:

Több kifejezés összegét kaptuk. Az összeadás kombinatív törvénye szerint, ha egy kifejezés több tagot tartalmaz, akkor az összeg nem függ a műveletek sorrendjétől. Ez lehetővé teszi, hogy külön csoportosítsuk az egész és a tört részeket:

Számítsuk ki az egész részeket:

A fő kifejezésben a kapott szám beírása helyett?3

Számítsuk ki a tört részeket:

A fő kifejezésben a kapott vegyes szám írása helyett

Az eredményül kapott kifejezés kiértékeléséhez ideiglenesen ki kell bővítenie a vegyes számot, majd minden szám köré zárójelet kell tenni, és a kivonást összeadásra kell cserélni. Ezt nagyon óvatosan kell megtenni, hogy ne keverjük össze a kifejezések jeleit.

A kifejezés átalakítása után egy új, könnyen kiszámítható kifejezést kaptunk. Hasonló kifejezés volt a 7. példában is. Emlékezzünk vissza, hogy az egész részeket külön-külön hozzáadtuk, és a tört részt úgy hagytuk meg, ahogy van:

Tehát a kifejezés értéke

Ennek a példának a megoldása röviden leírható

A rövid megoldás kihagyja a számok zárójelbe helyezése, a kivonás összeadásra cserélése és a modulok hozzáadása lépéseit. Ha iskolában vagy máshol tanul oktatási intézmény, akkor ki kell hagynia ezeket a primitív lépéseket, hogy időt és helyet takarítson meg. A fenti rövid megoldás még rövidebbre is írható. Így fog kinézni:

Ezért, amikor az iskolában vagy egy másik oktatási intézményben tartózkodik, készüljön fel arra, hogy bizonyos műveleteket a fejében kell végrehajtania.

Második út. A vegyes számkifejezéseket a rendszer nem megfelelő törtekké alakítja, és a közönséges törtekhez hasonlóan számítja ki.

Minden racionális számot tegyünk zárójelben a jeleivel együtt

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

Most alakítsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké:

Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adjuk össze a moduljaikat, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé:

Ugyanazt a választ kaptuk, mint legutóbb.

A második módszer részletes megoldása a következő:

9. példa. Keressen kifejezési kifejezéseket

Első út. Adjuk hozzá külön az egész és a tört részt.

Ezúttal megpróbálunk kihagyni néhány olyan primitív műveletet, mint például egy kifejezés kibővített formában történő írása, a számok zárójelbe foglalása, a kivonás összeadásra cserélése és modulok hozzáadása:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a tört részek közös nevezőre csökkentek.

Második út. Alakítsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké, és számítsuk ki őket, mint a közönséges törteket.

10. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

Az eredményül kapott kifejezés nem tartalmaz negatív számokat, amelyek a hibák fő okai. És mivel nincsenek negatív számok, eltávolíthatjuk a pluszt a részfej előtt, és eltávolíthatjuk a zárójeleket is. Ekkor megkapjuk a legegyszerűbb, könnyen kiszámítható kifejezést:

Ebben a példában az egész és a tört részt külön-külön számítottuk ki.

11. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Vonjuk ki a kisebbet a nagyobb modulból, és tegyük a kapott szám elé azt az előjelet, amelynek a modulja nagyobb:

12. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

A kifejezés több paraméterből áll. A műveletek sorrendjének megfelelően először a zárójelben lévő műveleteket kell végrehajtania.

Először kiszámítjuk a kifejezést, majd összeadjuk a kapott válaszokat.

Első akció:

Második akció:

Harmadik akció:

Válasz: kifejezés értéke egyenlő

13. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

Különböző előjelű racionális számok összeadásával érhető el. Vonjuk ki a kisebbet a nagyobb modulból, és tegyük a válasz elé azt a jelet, amelynek a modulja nagyobb. De vegyes számokkal van dolgunk. Ahhoz, hogy megértsük, melyik modulus a nagyobb és melyik a kisebb, össze kell hasonlítani ezeknek a vegyes számoknak a modulusait. A vegyes számok modulusainak összehasonlításához pedig át kell alakítani őket helytelen törtekre, és össze kell hasonlítani őket, mint a közönséges törteket.

A következő ábra a vegyes számok modulusainak összehasonlításának minden szakaszát mutatja

Miután megtudtuk, melyik modul a nagyobb és melyik a kisebb, folytathatjuk a példánk számítását:

Így a kifejezés jelentése egyenlő

Nézzük meg a racionális számokhoz is tartozó tizedes törtek összeadását és kivonását, amelyek lehetnek pozitívak és negatívak is.

14. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?3.2 + 4.3

Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Figyelembe vesszük, hogy a kifejezésben megadott plusz egy műveletjel, és nem vonatkozik a tizedes törtre 4.3. Ennek a tizedes törtnek saját pluszjele van, amely nem látható, mivel nincs leírva. De az érthetőség kedvéért leírjuk:

Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Különböző előjelű racionális számok hozzáadásához ki kell vonni a kisebbet a nagyobb modulból, és a kapott választ elő kell írni azzal az előjellel, amelynek modulja nagyobb. És annak megértéséhez, hogy melyik modul nagyobb és melyik kisebb, össze kell tudnia hasonlítani ezeknek a tizedes törteknek a moduljait, mielőtt kiszámítja őket:

A 4,3 szám modulusa nagyobb, mint a ?3,2 szám modulusa, ezért 4,3-ból kivontuk a 3,2-t. Megkaptuk a választ 1.1. A válasz pozitív, mivel a válasznak tartalmaznia kell a nagyobb modul jelét, azaz a |+4,3| modult.

Így a?3,2 + (+4,3) kifejezés értéke 1,1

15. példa. Keresse meg a 3,5 + (?8,3) kifejezés értékét

Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Az előző példához hasonlóan vonja ki a kisebbet a nagyobb modulból, és tegye a válasz elé azt a jelet, amelynek modulja nagyobb

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

Így a 3,5 + (?8,3) kifejezés értéke?4,8

Ezt a példát röviden leírhatjuk:

16. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?7,2 + (?3,11)

Ez a negatív racionális számok összeadása. Negatív racionális számok hozzáadásához hozzá kell adni a moduljaikat, és a kapott válasz elé mínuszt kell tenni. A modulokkal kihagyhatja a bejegyzést, hogy ne zavarja a kifejezést:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

Így a?7.2 + (?3.11) kifejezés értéke?10.31

Ezt a példát röviden leírhatjuk:

17. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?0,48 + (?2,7)

Ez a negatív racionális számok összeadása. Adjuk össze a moduljaikat, és tegyünk egy mínusz jelet a kapott válasz elé. A modulokkal kihagyhatja a bejegyzést, hogy ne zavarja a kifejezést:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

18. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?4,9 ? 5.9

Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Figyelembe vesszük, hogy a kifejezésben megadott mínusz a művelet előjele, és nem vonatkozik az 5.9 tizedes törtre. Ennek a tizedes törtnek saját pluszjele van, amely nem látható, mivel nincs leírva. De az érthetőség kedvéért leírjuk:

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adja össze a moduljaikat, és tegyen egy mínuszt a kapott válasz elé. A modulokkal kihagyhatja a bejegyzést, hogy ne zavarja a kifejezést:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Így a kifejezés értéke ?4,9 ? 5,9 egyenlő?10,8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

19. példa. Keresse meg a 7 kifejezés értékét? 9.3

Tegyük az egyes számokat zárójelbe a jeleivel együtt

Helyettesítsük a kivonást összeadásra

Különböző előjelű racionális számok összeadását kaptuk. Vonjuk ki a kisebbet a nagyobb modulból, és tegyük a válasz elé azt a jelet, amelynek a modulja nagyobb. A modulokkal kihagyhatja a bejegyzést, hogy ne zavarja a kifejezést:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

Így a 7 kifejezés értéke? 9,3 egyenlő?2,3

A példa részletes megoldása a következőképpen írható:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

Egy rövid megoldás így nézne ki:

20. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?0,25 ? (?1,2)

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

Különböző előjelű racionális számok összeadását kaptuk. Vonjuk ki a kisebb modult a nagyobb modulból, és tegyük a válasz elé azt a jelet, amelynek a modulja nagyobb:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

A példa részletes megoldása a következőképpen írható:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Egy rövid megoldás így nézne ki:

21. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?3,5 + (4,1 ? 7,1)

Először is végezzük el a zárójelben szereplő műveleteket, majd a kapott választ adjuk hozzá a számmal?3.5. A modulokkal való bejegyzést kihagyjuk, hogy ne zsúfoljuk össze a kifejezéseket.

Első akció:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

Második akció:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

Válasz: a?3.5 + (4.1 ? 7.1) kifejezés értéke?6.5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

22. példa. Keresse meg a kifejezés értékét (3,5 ? 2,9)? (3,7 ? 9,1)

Végezzük el a zárójelben lévő műveleteket, majd az első zárójelek végrehajtása eredményeként kapott számból vonjuk ki a második zárójelek végrehajtása eredményeként kapott számot. A modulokkal való bejegyzést kihagyjuk, hogy ne zsúfoljuk össze a kifejezéseket.

Első akció:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

Második akció:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

Harmadik felvonás

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Válasz: a kifejezés értéke (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) egyenlő 6-tal.

Ennek a példának egy rövid megoldása a következőképpen írható:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

23. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6.15

Minden racionális számot tegyünk zárójelben a jeleivel együtt

Cserélje ki a kivonást összeadásra, ha lehetséges

A kifejezés több kifejezésből áll. Az összeadás kombinatív törvénye szerint, ha egy kifejezés több tagból áll, akkor az összeg nem függ a műveletek sorrendjétől. Ez azt jelenti, hogy a feltételek bármilyen sorrendben hozzáadhatók.

Ne találjuk fel újra a kereket, hanem adjuk össze az összes kifejezést balról jobbra a megjelenési sorrendben:

Első akció:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

Második akció:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

Harmadik akció:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Válasz: a kifejezés értéke?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6,15 egyenlő 1-gyel.

Ennek a példának egy rövid megoldása a következőképpen írható:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

A rövid megoldások kevesebb problémát és zűrzavart okoznak, ezért célszerű megszokni őket.

24. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Alakítsuk át a tizedes törtet?1,8 vegyes számmá. A többit átírjuk úgy ahogy van. Ha nehézségei vannak a tizedes tört vegyes számmá alakításával, feltétlenül ismételje meg a leckét tizedesjegyek.

25. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Helyettesítsük a kivonást összeadásra. Ugyanakkor alakítsuk át a tizedes törtet (?4,4) nem megfelelő törtté

Az eredményül kapott kifejezésben nincsenek negatív számok. És mivel nincsenek negatív számok, a második szám elől eltávolíthatjuk a pluszt, és elhagyhatjuk a zárójeleket. Ekkor egy egyszerű kifejezést kapunk az összeadáshoz, ami könnyen megoldható

26. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Váltsuk át a vegyes számot nem megfelelő törtté, a tizedes törtet?0,85-öt pedig közönséges törtté. A következő kifejezést kapjuk:

Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adjuk össze a moduljaikat, és tegyünk egy mínusz jelet a kapott válasz elé. A modulokkal kihagyhatja a bejegyzést, hogy ne zavarja a kifejezést:

27. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Alakítsuk át mindkét törtet helytelen törtekké. A tizedes 2,05 nem megfelelő törtté alakításához először vegyes számmá, majd helytelen törtté alakíthatja át:

Miután mindkét törtet nem megfelelő törtté alakítjuk, a következő kifejezést kapjuk:

Különböző előjelű racionális számok összeadását kaptuk. Vonjuk ki a kisebb modult a nagyobb modulból, és tegyük a kapott válasz elé azt az előjelet, amelynek a modulja nagyobb:

28. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Helyettesítsük a kivonást összeadásra. Ugyanakkor alakítsuk át a tizedes törtet közönséges törtté

29. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Alakítsuk át a tizedes törteket?0,25 és?1,25-re közönséges törtek, a többit hagyjuk úgy ahogy van. A következő kifejezést kapjuk:

A kivonást először összeadásra cserélheti, ahol lehetséges, és egymás után hozzáadhat racionális számokat. Van egy második lehetőség: először összeadjuk a racionális számokat és a racionális számokat, majd a kapott számból kivonjuk a racionális számot. Ezt a lehetőséget fogjuk használni.

Első akció:

Második akció:

Válasz: kifejezés értéke egyenlő?2.

30. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét

Alakítsuk át a tizedes törteket közönséges törtekké. A többit hagyjuk úgy ahogy van

Több kifejezés összegét kaptuk. Ha az összeg több tagból áll, akkor a kifejezés tetszőleges sorrendben kiértékelhető. Ez az összeadás asszociatív törvényéből következik.

Ezért meg tudjuk szervezni a számunkra legkényelmesebb lehetőséget. Először is hozzáadhatja az első és az utolsó tagot, nevezetesen a racionális számokat és a . Ezeket a számokat ugyanazok a nevezők, ami azt jelenti, hogy ez megszabadít minket attól, hogy el kell vinnünk őket.

Első akció:

A kapott szám hozzáadható a második taghoz, mégpedig egy racionális számhoz. A racionális számok törtrészeiben azonos nevezők vannak, ami ismét előny számunkra

Második akció:

Nos, adjuk hozzá a kapott?7 számot az utolsó taggal, nevezetesen a racionális számmal. Kényelmes, hogy ennek a kifejezésnek a kiszámításakor a hetesek eltűnnek, azaz összegük nulla lesz, mivel az ellentétes számok összege nulla

Harmadik akció:

Válasz: a kifejezés értéke az

Tetszett a lecke?
Csatlakozz hozzánk új csoport VKontakte, és kaphat értesítéseket az új leckékről

Egész számok összeadása és kivonása

Ebben a leckében megtanuljuk egész számok összeadása és kivonása, valamint ezek összeadási és kivonási szabályai.

Emlékezzünk vissza, hogy az egész számok mind pozitív és negatív számok, valamint a 0 is. Például a következő számok egész számok:

A pozitív számokat könnyű összeadni és kivonni, szorozni és osztani. Sajnos ez nem mondható el a negatív számokról, amelyek sok kezdőt megzavarnak az egyes számok előtti mínuszaival. A gyakorlat azt mutatja, hogy a negatív számok miatt elkövetett hibák frusztrálják leginkább a tanulókat.

Példák egész számok összeadására és kivonására

Az első dolog, amit meg kell tanulnia, az egész számok összeadása és kivonása egy koordinátasor segítségével. Egyáltalán nem szükséges koordinátavonalat rajzolni. Elég, ha gondolatban elképzeli, és megnézi, hol helyezkednek el a negatív számok és hol a pozitívak.

Tekintsük a legegyszerűbb kifejezést: 1 + 3. Ennek a kifejezésnek az értéke 4:

Ez a példa egy koordinátavonal segítségével érthető meg. Ehhez az 1-es szám helyétől három lépést kell jobbra mozgatnia. Ennek eredményeként azon a ponton találjuk magunkat, ahol a 4-es szám található. Az ábrán láthatja, hogyan történik ez:

A pluszjel az 1 + 3 kifejezésben azt mondja, hogy jobbra kell haladnunk a számok növekedésének irányába.

2. példa Keressük meg az 1 kifejezés értékét? 3.

Ennek a kifejezésnek az értéke?2

Ez a példa ismét egy koordinátavonal segítségével érthető. Ehhez az 1-es szám helyétől balra kell lépni három lépést. Ennek eredményeként azon a ponton találjuk magunkat, ahol a negatív szám?2 található. A képen láthatod, hogyan történik ez:

Mínusz jel az 1. kifejezésben? A 3 azt mondja, hogy balra kell haladnunk a csökkenő számok irányába.

Általában emlékeznie kell arra, hogy ha hozzáadódik, akkor jobbra kell mozognia a növekedés irányába. Ha kivonás történik, akkor balra kell mozognia a csökkenés irányába.

3. példa Keresse meg a kifejezés értékét?2 + 4

Ennek a kifejezésnek az értéke 2

Ez a példa ismét egy koordinátavonal segítségével érthető. Ehhez a negatív szám?2 helyétől négy lépést kell jobbra lépni. Ennek eredményeként azon a ponton találjuk magunkat, ahol a pozitív 2-es szám található.

Látható, hogy attól a ponttól, ahol a negatív?2 szám található, négy lépéssel jobbra haladtunk, és a pozitív 2-es szám helyére kerültünk.

A ?2 + 4 kifejezésben szereplő pluszjel azt mondja, hogy jobbra kell haladnunk a számok növekedésének irányába.

4. példa Keresse meg a kifejezés értékét?1 ? 3

Ennek a kifejezésnek az értéke?4

Ez a példa ismét megoldható egy koordinátaegyenes segítségével. Ehhez attól a ponttól, ahol a negatív szám?1 található, három lépést kell balra lépni. Ennek eredményeként azon a ponton találjuk magunkat, ahol a negatív szám található?4

Látható, hogy attól a ponttól, ahol a negatív szám?1 található, három lépéssel balra kerültünk, és a negatív szám?4 helyére kerültünk.

A mínusz jel a kifejezésben?1 ? A 3 azt mondja, hogy balra kell haladnunk a csökkenő számok irányába.

5. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?2 + 2

Ennek a kifejezésnek az értéke 0

Ezt a példát koordinátaegyenes segítségével lehet megoldani. Ehhez attól a ponttól, ahol a negatív szám?2 található, jobbra kell lépni két lépésre. Ennek eredményeként azon a ponton találjuk magunkat, ahol a 0 szám található

Látható, hogy attól a ponttól, ahol a negatív szám?2 található, két lépéssel jobbra mozdultunk el, és a 0 szám helyére kerültünk.

A ?2 + 2 kifejezésben a pluszjel azt mondja, hogy jobbra kell haladnunk a számok növekedésének irányába.

Az egész számok összeadásának és kivonásának szabályai

Ennek vagy annak a kifejezésnek a kiszámításához nem szükséges minden alkalommal elképzelni egy koordinátavonalat, még kevésbé megrajzolni. Kényelmesebb a kész szabályok használata.

A szabályok alkalmazásakor ügyelni kell a művelet előjelére és az összeadandó vagy kivonandó számok előjeleire. Ez határozza meg, hogy melyik szabályt kell alkalmazni.

1. példa Keresse meg a kifejezés értékét?2 + 5

Itt egy pozitív szám hozzáadódik egy negatív számhoz. Más szóval, különböző előjelű számokat adnak hozzá. ?2 negatív szám, 5 pedig pozitív szám. Ilyen esetekre a következő szabály vonatkozik:

Lássuk tehát, melyik modul a nagyobb:

Az 5-ös szám modulusa nagyobb, mint a?2 szám modulusa. A szabály megköveteli, hogy a nagyobb modulból kivonjuk a kisebbet. Ezért 5-ből ki kell vonnunk a 2-t, és a kapott válasz elé tegyük azt az előjelet, amelynek modulusa nagyobb.

Az 5-ös szám nagyobb modulusú, így ennek a számnak a jele lesz a válaszban. Vagyis a válasz pozitív lesz:

Általában rövidebben írják? 2 + 5 = 3

2. példa Keresse meg a 3 + (?2) kifejezés értékét

Itt, mint az előző példában, különböző előjelű számokat adunk hozzá. A 3 pozitív szám, a ?2 pedig negatív. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a?2 szám zárójelben van, hogy a kifejezés világosabb és szebb legyen. Ez a kifejezés sokkal könnyebben érthető, mint a 3+?2 kifejezés.

Tehát alkalmazzuk a különböző előjelű számok összeadásának szabályát. Az előző példához hasonlóan kivonjuk a kisebb modult a nagyobb modulból, és a válasz elé tesszük azt az előjelet, amelynek a modulja nagyobb:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

A 3-as szám modulusa nagyobb, mint a?2-é, ezért 3-ból kivontuk a 2-t, és a kapott válasz elé a nagyobb modulusjelet tettük. A 3-as szám modulusa nagyobb, ezért ennek a számnak az előjele szerepel a válaszban. Vagyis a válasz pozitív.

Általában rövidebben írják 3 + (?2) = 1

3. példa Keresse meg a 3. kifejezés értékét? 7

Ebben a kifejezésben a nagyobb számot kivonjuk egy kisebb számból. Ilyen esetre a következő szabály vonatkozik:

Ha nagyobb számot szeretne kivonni egy kisebb számból, meg kell tennie több vonjuk ki a kisebbet, és tegyünk mínuszt a kapott válasz elé.

Van egy kis fogás ennek a kifejezésnek. Emlékezzünk arra, hogy az egyenlőségjel (=) akkor kerül a mennyiségek és kifejezések közé, ha azok egyenlőek egymással.

A 3 kifejezés értéke? 7 honnan tudtuk meg, hogy egyenlő?4. Ez azt jelenti, hogy az ebben a kifejezésben végrehajtott transzformációknak egyenlőnek kell lenniük?4

De látjuk, hogy a második szakaszban van egy 7-es kifejezés? 3, ami nem egyenlő?4.

Ennek a helyzetnek a korrigálására a 7 ? A 3-at zárójelbe kell tenni, és e zárójel elé egy mínusz jelet kell tenni:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

Ebben az esetben az egyenlőség minden szakaszban megfigyelhető:

A kifejezés kiértékelése után a zárójelek eltávolíthatók, amit mi is tettünk.

Tehát, hogy pontosabbak legyünk, a megoldásnak így kell kinéznie:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

Ez a szabály változók segítségével írható fel. Így fog kinézni:

a? b = ? (b? a)

A nagyszámú zárójelek és műveleti jelek megnehezíthetik egy látszólag egyszerű probléma megoldását, ezért célszerűbb megtanulni az ilyen példák rövid írását, például 3 ? 7 = ? 4.

Valójában az egész számok összeadása és kivonása nem más, mint az összeadás. Mit is jelent ez? Ez azt jelenti, hogy ha számokat kell kivonnia, akkor ez a művelet helyettesíthető összeadással.

Tehát ismerkedjünk meg az új szabállyal:

Az egyik szám kivonása a másikból azt jelenti, hogy egy olyan számot adunk a minuendhez, amely ellentétes a kivonandó számmal.

Vegyük például a legegyszerűbb kifejezést 5? 3. A matematika tanulásának kezdeti szakaszában egyszerűen egyenlőségjelet teszünk, és felírjuk a választ:

De most haladunk a tanulmányunkban, így alkalmazkodnunk kell az új szabályokhoz. Az új szabály szerint az egyik szám kivonása a másikból azt jelenti, hogy a levonandó számmal ellentétes számot adunk a minuendhez.

Próbáljuk megérteni ezt a szabályt az 5?3 kifejezés példáján keresztül. Ebben a kifejezésben a minuend értéke 5, a részfeje pedig 3. A szabály azt mondja, hogy ahhoz, hogy 5-ből kivonjunk 3-at, hozzá kell adni 5-höz egy számot, amely a 3 ellentéte. A 3 ellentéte a szám?3 . Írjunk egy új kifejezést:

És már tudjuk, hogyan találjunk jelentést az ilyen kifejezéseknek. Ez a különböző előjelű számok összeadása, amelyet fentebb tárgyaltunk. Különböző előjelű számok hozzáadásához ki kell vonnia a kisebbet a nagyobb modulból, és a kapott válasz előtt tegye azt a jelet, amelynek modulja nagyobb:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

Az 5-ös szám modulusa nagyobb, mint a?3 szám modulusa. Ezért 5-ből kivontunk 3-at, és 2-t kaptunk. Az 5-ös szám modulusa nagyobb, ezért ennek a számnak az előjelét tesszük a válaszba. Vagyis a válasz pozitív.

Eleinte nem mindenki tudja gyorsan összeadásra cserélni a kivonást. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a pozitív számokat pluszjel nélkül írják fel.

Például a 3? A kivonást jelző 1 mínusz jel műveleti jel, és nem utal erre. Az egység ebben az esetben egy pozitív szám, és van saját pluszjele, de nem látjuk, mivel a pluszt hagyományosan nem írják a pozitív számok elé.

És így az egyértelműség kedvéért ezt a kifejezést a következőképpen írható:

A kényelem kedvéért a saját jelekkel ellátott számok zárójelben vannak. Ebben az esetben sokkal egyszerűbb a kivonást összeadásra cserélni. A kivont szám ebben az esetben a szám (+1), az ellenkező szám pedig (?1). Cseréljük ki a kivonási műveletet összeadásra és a kivonási (+1) helyett írjuk az ellenkező számot (?1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

Első pillantásra úgy tűnhet, mi értelme van ezeknek az extra mozdulatoknak, ha a régi jó módszerrel egyenlőségjelet teszünk, és azonnal leírjuk a 2-es választ. Valójában ez a szabály többször is segítségünkre lesz.

Oldjuk meg az előző 3. példát? 7, a kivonási szabályt használva. Először hozzuk a kifejezést normál formájúra, minden számhoz saját előjeleket rendelve. A háromnak pluszjele van, mert pozitív szám. A kivonást jelző mínusz jel nem vonatkozik hétre. A hétnek pluszjele van, mert az is pozitív szám:

Helyettesítsük a kivonást összeadásra:

A további számítás nem nehéz:

7. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?4 ? 5

Ismét van egy kivonási műveletünk. Ezt a műveletet kiegészítéssel kell helyettesíteni. A minuendhez (?4) hozzáadjuk a részfejjel ellentétes számot (+5). A részrész ellentétes száma (+5) a szám (?5).

Odáig jutottunk, hogy negatív számokat kell összeadnunk. Ilyen esetekre a következő szabály vonatkozik:

Negatív számok hozzáadásához hozzá kell adni a moduljaikat, és a kapott válasz elé mínuszt kell tenni.

Adjuk össze tehát a számmodulokat, ahogy a szabály megköveteli, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

A modulokat tartalmazó bejegyzést zárójelbe kell tenni, és a zárójelek elé mínusz jelet kell tenni. Így biztosítunk egy mínuszt, amelynek a válasz előtt kell megjelennie:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

Ennek a példának a megoldása röviden leírható:

8. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?3 ? 5 ? 7? 9

Hozzuk világos formába a kifejezést. Itt a 3-as szám kivételével minden szám pozitív, tehát plusz előjeleik lesznek:

Cseréljük ki a kivonási műveleteket összeadási műveletekkel. Minden mínusz (a mínusz kivételével, amely a három előtt van) pluszra változik, és minden pozitív szám az ellenkezőjére változik:

Most alkalmazzuk a negatív számok összeadásának szabályát. Negatív számok hozzáadásához hozzá kell adni a moduljaikat, és a kapott válasz elé mínuszt kell tenni:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

Ennek a példának a megoldása röviden leírható:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

9. példa. Keresse meg a kifejezés értékét?10 + 6? 15 + 11? 7

Tegyük egyértelmű formába a kifejezést:

Itt két művelet van: összeadás és kivonás. Az összeadást úgy hagyjuk, ahogy van, a kivonást pedig összeadásra cseréljük:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

A műveletek sorrendjét követve az egyes műveleteket sorra hajtjuk végre, a korábban megtanult szabályok alapján. A modulokat tartalmazó bejegyzések kihagyhatók:

Első akció:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

Második akció:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

Harmadik akció:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

Negyedik akció:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

Így a kifejezés értéke?10 + 6? 15 + 11? 7 egyenlő?15

jegyzet. Egyáltalán nem szükséges a kifejezést érthető formába hozni számok zárójelbe téve. Amikor megtörténik a negatív számokhoz való hozzászokás, ez a lépés kihagyható, mert időigényes és zavaró lehet.

Tehát egész számok összeadásához és kivonásához emlékeznie kell a következő szabályokra:

A különböző előjelű számok hozzáadásához ki kell vonni a kisebb modult a nagyobb modulból, és a kapott válasz elé tegyük azt a jelet, amelynek a modulja nagyobb.

Ha nagyobb számot szeretne kivonni egy kisebb számból, ki kell vonnia a kisebbet a nagyobb számból, és a kapott válasz elé mínuszjelet kell tennie.

Egy szám kivonása a másikból azt jelenti, hogy a csökkentetthez hozzáadjuk a kivonandó szám ellentétes számát.

Negatív számok hozzáadásához hozzá kell adni a moduljaikat, és a kapott válasz elé mínuszjelet kell tenni.

• Jégkorong szabályok nélkül VKontakte A játék 2012 szeptemberében jelent meg, és már közel 700 000 felhasználót gyűjtött. Két játékmód és sok lehetőség van a csapatépítésre. A Hockey Without Rules VKontakte mérkőzéseinek menete az Electronic Arts NHL-sorozatának korai játékaira emlékeztet. 3 játékos / […]
• Pókerszabályok Omaha Hold'em Omaha Hi-Lo és ötlapos Omaha Omaha Hold'Em a Texas Hold'em enyhe módosítása. Ha még nem ismeri ezt a legnépszerűbb pókert, itt tanulmányozza a Texas Hold'em szabályait. Ezek ismerete szükséges az Omaha szabályainak megértéséhez.
• Genetikai problémák megoldása Mendel 1. és 2. törvényének segítségével 8. előadás Julia Kjahrenova 1. - előadás Az előadást 3 éve jelentette meg Alina Artemjeva Hasonló előadások Előadás a témában: "Genetikai problémák megoldása Mendel 1. és 2. törvényének segítségével 8. előadás Julia Kjahrenova 1 " […]
• 5-7 algebrai szabály Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a numerikus sorozatot, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, adott sorozatnál ugyanahhoz a d számhoz hozzáadva. A d számot különbségnek nevezzük aritmetikai progresszió. A számtani progresszióban, azaz a […]
• Meghatározzuk a „B” kategóriájú kisteherautók és egyéb atipikus személygépkocsik szállítási adókulcsát A címből megfogjuk a szükséges információkat Azonnal közöljük, hogy a 4. „Gépjármű kategória (A, B, C, D, pótkocsi) sorban feltüntetett adatok ” az útlevélből jármű(PTS), nem kell figyelembe venni. Végül is a „B” kategória nem azt jelenti, […]
• A biztosítótársaságok minősítése OSAGO Az OSAGO a kötelező biztosításra vonatkozik, nemcsak Oroszországban, hanem más szomszédos országokban is működik. Ezeket a kötvényeket sok biztosítótársaság bocsátja ki, amelyek megkapták a megfelelő engedélyt az ilyen tevékenységek végzésére. Azonban, […]
• Szállás hotel Ufa Mini-hotel Ufában 5 Öt szoba Egy hangulatos, kényelmes szállodába invitáljuk a főváros vendégeit Ufa központjában, a Komsomolskaya utca 159/1. szám alatt. A szálloda közvetlen közelében található az Iskra IMAX mozi komplexum, cirkusz, étterem-klub A kávézó, Beer Berry étterem, bevásárlóközpont […]
• Használati feltételek Egyszerű jelen Tense angolul A Present Simple Tense egy nyelvtani idő, amely az egyik legkönnyebben érthetőnek tekinthető, mivel az egyszerű jelen idő minden nyelven létezik. BAN BEN szláv nyelvek Igen Uram. Ha ezt a cikket olvassa, az azt jelenti, hogy csak [...]

Hogyan szorozzuk meg az erőket? Mely erők szaporíthatók és melyek nem? Hogyan szorozhatunk meg egy számot hatvánnyal?

Az algebrában két esetben találhatunk hatványok szorzatát:

1) ha a fokozatok alapjai azonosak;

2) ha a fokok azonos mutatókkal rendelkeznek.

Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, az alapot ugyanaznak kell hagyni, és a kitevőket össze kell adni:

Ha a fokokat ugyanazokkal a mutatókkal szorozzuk, akkor a teljes mutató kivehető a zárójelekből:

Nézzük meg, hogyan szorozzuk meg a hatványokat konkrét példákon keresztül.

A mértékegységet nem a kitevőben írják, de a hatványok szorzásakor figyelembe veszik:

Szorzáskor tetszőleges számú hatvány lehet. Emlékeztetni kell arra, hogy a szorzójelet nem kell a betű elé írni:

A kifejezésekben először a hatványozás történik.

Ha meg kell szoroznia egy számot hatványokkal, először hajtsa végre a hatványozást, és csak azután a szorzást:

www.algebraclass.ru

Hatványok összeadása, kivonása, szorzása és osztása

Hatványok összeadása és kivonása

Nyilvánvaló, hogy a hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan összeadhatók , jeleikkel egymás után hozzáadva.

Tehát a 3 és b 2 összege a 3 + b 2.
A 3 - b n és h 5 -d 4 összege a 3 - b n + h 5 - d 4.

Esély azonos változók egyenlő hatványaiösszeadható vagy kivonható.

Tehát 2a 2 és 3a 2 összege egyenlő 5a 2-vel.

Az is nyilvánvaló, hogy ha két a négyzetet vagy három a négyzetet vagy öt a négyzetet veszünk.

De fokok különféle változókÉs különféle fokozatok azonos változók, úgy kell összeállítani, hogy hozzá kell adni őket a jeleikkel.

Tehát egy 2 és egy 3 összege egy 2 + egy 3 összege.

Nyilvánvaló, hogy a négyzete és a kockája nem egyenlő a négyzetének kétszeresével, hanem a kockájának kétszeresével.

A 3 b n és 3a 5 b 6 összege a 3 b n + 3a 5 b 6.

Kivonás A jogosítványokat ugyanúgy hajtjuk végre, mint az összeadást, azzal a különbséggel, hogy a részrészek előjeleit ennek megfelelően módosítani kell.

Vagy:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 óra 2 b 6 — 4 óra 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Hatványok megsokszorozása

A hatványokkal rendelkező számok más mennyiségekhez hasonlóan szorozhatók egymás után, szorzójellel vagy anélkül.

Így a 3-at b 2-vel megszorozva a 3 b 2 vagy aaabb lesz.

Vagy:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Az utolsó példában szereplő eredmény azonos változók hozzáadásával rendezhető.
A kifejezés a következő formában lesz: a 5 b 5 y 3.

Több szám (változó) hatványokkal való összehasonlításával láthatjuk, hogy ha bármelyik kettőt megszorozzuk, akkor az eredmény egy szám (változó), amelynek hatványa egyenlő összeg kifejezések fokozatai.

Tehát a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Itt 5 a szorzási eredmény hatványa, amely egyenlő 2 + 3-mal, a tagok hatványainak összegével.

Tehát a n .a m = a m+n .

Egy n esetén a-t annyiszor veszik tényezőnek, mint n hatványát;

És egy m-t annyiszor veszünk tényezőnek, ahányszor m fok egyenlő;

Ezért, Az azonos bázisú hatványok a hatványok kitevőinek összeadásával szorozhatók.

Tehát a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . És x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vagy:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Szorozza meg (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Válasz: x 4 - y 4.
Szorozd meg (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ez a szabály azokra a számokra is igaz, amelyek kitevői negatív.

1. Tehát a -2 .a -3 = a -5 . Ezt így írhatjuk fel: (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ha a + b-t megszorozzuk a - b-vel, az eredmény a 2 - b 2 lesz:

Két szám összegének vagy különbségének szorzata egyenlő az összeggel vagy négyzeteik különbsége.

Ha megszorozza két szám összegét és különbségét, amelyre emelt négyzet, az eredmény egyenlő lesz ezeknek a számoknak az összegével vagy különbségével negyedik fokon.

Tehát (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

A fokozatok felosztása

A hatványokkal rendelkező számok más számokhoz hasonlóan oszthatók, az osztalékból levonva, vagy tört alakba helyezve.

Így a 3 b 2 osztva b 2-vel egyenlő egy 3-mal.

Ha 5-öt osztunk 3-mal, úgy néz ki, hogy $\frac $. De ez egyenlő 2-vel. Egy számsorozatban
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bármely szám osztható egy másikkal, és a kitevő egyenlő lesz különbség osztható számok mutatói.

Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk..

Tehát y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Azaz $\frac = y$.

És a n+1:a = a n+1-1 = a n . Azaz $\frac = a^n$.

Vagy:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

A szabály a -val rendelkező számokra is igaz negatív fokok értékei.
A -5 -3-mal való osztásának eredménye -2.
Továbbá $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:ó -1 = h 2+1 = h 3 vagy $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Nagyon jól kell elsajátítani a szorzást és a hatványosztást, mivel az ilyen műveleteket nagyon széles körben használják az algebrában.

Példák a hatványos számokat tartalmazó törtek példáinak megoldására

1. Csökkentse a kitevőket $\frac $ értékkel. Válasz: $\frac $.

2. Csökkentse a kitevőket $\frac$ értékkel. Válasz: $\frac$ vagy 2x.

3. Csökkentse az a 2 /a 3 és a -3 /a -4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
a 2 .a -4 egy -2 az első számláló.
a 3 .a -3 egy 0 = 1, a második számláló.
a 3 .a -4 egy -1 , a közös számláló.
Egyszerűsítés után: a -2 /a -1 és 1/a -1 .

4. Csökkentse a 2a 4 /5a 3 és 2 /a 4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
Válasz: 2a 3 /5a 7 és 5a 5 /5a 7 vagy 2a 3 /5a 2 és 5/5a 2.

5. Szorozzuk meg (a 3 + b)/b 4-et (a - b)/3-mal.

6. Szorozza meg (a 5 + 1)/x 2-t (b 2 - 1)/(x + a) értékkel.

7. Szorozzuk meg b 4 /a -2-t h -3 /x-el és a n /y -3-mal.

8. Ossz el egy 4 /y 3-at egy 3 /y 2-vel. Válasz: a/y.

A fokozat tulajdonságai

Emlékeztetjük, hogy ebben a leckében megértjük fokok tulajdonságai természetes mutatókkal és nullával. Fokokkal racionális mutatókés tulajdonságaikról a 8. osztályos órákon lesz szó.

A természetes mutatójú végzettségnek több is van fontos tulajdonságait, amelyek lehetővé teszik a számítások egyszerűsítését a hatáskörökkel rendelkező példákban.

1. számú ingatlan
Az erők szorzata

Ha a hatványokat azonos alapokkal szorozzuk, az alap változatlan marad, és a hatványok kitevői összeadódnak.

a m · a n = a m + n, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

A hatványok ezen tulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára is érvényes.

Egyszerűsítse a kifejezést.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Mutassa be diplomaként.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Mutassa be diplomaként.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Felhívjuk figyelmét, hogy a meghatározott tulajdonság csak a hatalmak megsokszorozásáról beszéltünk azonos alapokon. Ezek kiegészítésére nem vonatkozik.

Az összeget (3 3 + 3 2) nem helyettesítheti 3 5-tel. Ez érthető, ha
számold ki (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 és 3 5 = 243

2. számú ingatlan
Részleges diplomák

Ha azonos bázisú hatványokat osztunk fel, az alap változatlan marad, és az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

Írja fel a hányadost hatványként!
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Kiszámítja.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Példa. Oldja meg az egyenletet. A hányados hatványok tulajdonságát használjuk.
3 8: t = 3 4

Válasz: t = 3 4 = 81

Az 1. és 2. tulajdonság használatával egyszerűen leegyszerűsítheti a kifejezéseket és számításokat végezhet.

Példa. Egyszerűsítse a kifejezést.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Példa. Keresse meg egy kifejezés értékét a kitevők tulajdonságainak segítségével.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 2. tulajdonságban csak a hatáskörök azonos alapokon történő felosztásáról beszéltünk.

A különbséget (4 3 −4 2) nem helyettesítheti 4 1-gyel. Ez érthető, ha kiszámolja (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, és 4 1 = 4

3. számú ingatlan
Fokozat hatalommá emelése

Ha egy fokot hatványra emelünk, a fok alapja változatlan marad, és a kitevőket megszorozzuk.

(a n) m = a n · m, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

Felhívjuk figyelmét, hogy a 4. számú tulajdonság, mint a fokok többi tulajdonsága, szintén fordított sorrendben kerül alkalmazásra.

(a n · b n)= (a · b) n

Vagyis a hatványok azonos kitevőkkel való szorzásához meg lehet szorozni az alapokat, de a kitevőt változatlanul hagyni.

Példa. Kiszámítja.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Példa. Kiszámítja.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Többben összetett példák Előfordulhatnak olyan esetek, amikor szorzást és osztást kell végrehajtani különböző alapú, ill különböző mutatók. Ebben az esetben azt tanácsoljuk, hogy tegye a következőket.

Például 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Példa a tizedesjegy hatványra emelésére.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Tulajdonságok 5
Hányados hatványa (tört)

Ha hányadost szeretne hatványra emelni, az osztalékot és az osztót külön erre a hatványra emelheti, és az első eredményt eloszthatja a másodikkal.

(a: b) n = a n: b n, ahol „a”, „b” bármely racionális szám, b ≠ 0, n – bármely természetes szám.

Példa. Mutassa be a kifejezést a hatványok hányadosaként.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Emlékeztetünk arra, hogy a hányadost törtként is lehet ábrázolni. Ezért a következő oldalon részletesebben foglalkozunk a tört hatványra emelésének témájával.

Hatalmak és gyökerek

Hatványokkal és gyökerekkel végzett műveletek. Fokozat negatívval ,

nulla és tört indikátor. Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük.

Műveletek fokozatokkal.

1. Ha a hatványokat ugyanazzal az alappal szorozzuk, a kitevőjüket hozzáadjuk:

a m · a n = a m + n.

2. Azonos bázisú fokok osztásakor kitevőik levonásra kerülnek .

3. Két vagy több tényező szorzatának mértéke megegyezik e tényezők fokszámainak szorzatával.

4. Az arány (tört) mértéke megegyezik az osztó (számláló) és az osztó (nevező) fokszámának arányával:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőjüket megszorozzuk:

Az összes fenti képletet mindkét irányban balról jobbra olvassa be és hajtja végre, és fordítva.

PÉLDA (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Műveletek gyökerekkel. Az összes alábbi képletben a szimbólum azt jelenti számtani gyök(a radikális kifejezés pozitív).

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. A hozzáállás gyökere egyenlő az aránnyal osztalék és osztó gyökerei:

3. Ha gyökérre emelünk egy hatványt, elég, ha erre a hatalomra emelünk gyökszám:

4. Ha m-szeresére növeljük a gyök fokát, és ezzel egyidejűleg a gyökszámot az m-edik hatványra emeljük, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha m-szer csökkenti a gyök fokát, és egyidejűleg kivonja a gyökszám m-edik gyökét, akkor a gyök értéke nem változik:

A fokozat fogalmának bővítése. Eddig csak természetes kitevőkkel vettük figyelembe a fokokat; de a hatalommal és a gyökérrel végzett műveletek oda is vezethetnek negatív, nullaÉs töredékes mutatók. Mindezek a kitevők további definíciót igényelnek.

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos negatív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a negatív kitevő abszolút értékével:

Most a képlet a m : a n = a m - n nem csak arra használható m, több mint n, hanem azzal is m, kevesebb, mint n .

PÉLDA a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ha a képletet akarjuk a m : a n = a m — n igazságos volt, amikor m = n, szükségünk van a nulla fok definíciójára.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullától eltérő szám hatványa nulla kitevővel 1.

PÉLDÁK. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Ahhoz, hogy egy a valós számot az m / n hatványra emeljünk, ki kell vonni az a szám m-edik hatványának n-edik gyökét:

Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük. Több ilyen kifejezés létezik.

Ahol a ≠ 0 , nem létezik.

Sőt, ha azt feltételezzük x egy bizonyos szám, akkor az osztási művelet definíciójának megfelelően a következőt kapjuk: a = 0· x, azaz a= 0, ami ellentmond a feltételnek: a ≠ 0

— bármilyen szám.

Valójában, ha feltételezzük, hogy ez a kifejezés egyenlő valamilyen számmal x, akkor az osztási művelet definíciója szerint: 0 = 0 · x. De ez az egyenlőség akkor következik be tetszőleges számú x, amit bizonyítani kellett.

0 0 — bármilyen szám.

Megoldás. Nézzünk három fő esetet:

1) x = 0 – ez az érték nem felel meg ennek az egyenletnek

2) mikor x> 0 kapjuk: x/x= 1, azaz 1 = 1, ami azt jelenti

Mit x- bármilyen szám; de ezt figyelembe véve

a mi esetünkben x> 0, a válasz az x > 0 ;

A hatványok különböző alapokon történő szorzásának szabályai

FOKOZAT RACIONÁLIS MUTATÓVAL,

TELJESÍTMÉNY FUNKCIÓ IV

69. § A hatáskörök szaporodása és megosztása azonos alapokon

1. tétel. A hatványok azonos bázisokkal való szorzásához elegendő a kitevőket összeadni és az alapot ugyanazt hagyni, azaz

Bizonyíték. A fokozat meghatározása szerint

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Megnéztük két hatvány szorzatát. Valójában a bizonyított tulajdonság tetszőleges számú, azonos alapokon álló hatványra igaz.

2. tétel. Ha az osztó indexe nagyobb, mint az osztó indexe, az azonos alapú hatványok felosztásához elegendő az osztó indexét kivonni az osztó indexéből, és az alapot változatlannak hagyni, azaz nál nél t > p

(a =/= 0)

Bizonyíték. Emlékezzünk vissza, hogy az egyik szám egy másikkal való osztásának hányadosa az a szám, amelyet az osztóval megszorozva osztalékot adunk. Ezért bizonyítsa be a képletet ahol a =/= 0, ez ugyanaz, mint a képlet bizonyítása

Ha t > p , majd a szám t - p természetes lesz; ezért az 1. tétel szerint

A 2. Tétel bebizonyosodott.

Meg kell jegyezni, hogy a képlet

csak azzal a feltételezéssel bizonyítottuk t > p . Ezért a bebizonyítottakból még nem lehet levonni például a következő következtetéseket:

Ráadásul még nem vettük figyelembe a negatív kitevős fokozatokat, és még nem tudjuk, hogy milyen jelentést adhat a 3. kifejezés - 2 .

3. tétel. Egy fok hatványra emeléséhez elég a kitevőket megszorozni, és a fok alapját változatlannak kell hagyni, vagyis

Bizonyíték. A fokozat meghatározását és a szakasz 1. tételét felhasználva a következőket kapjuk:

Q.E.D.

Például (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Szóbeli) Határozza meg x az egyenletekből:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Szett sz.) Egyszerűsítés:

520. (Szett sz.) Egyszerűsítés:

521. Mutassa be ezeket a kifejezéseket fokozatok formájában, azonos alapokkal:

1) 32. és 64.; 3) 8 5 és 16 3; 5) 4 100 és 32 50;

2) -1000 és 100; 4) -27 és -243; 6) 81 75 8 200 és 3 600 4 150.

Emlékeztetjük, hogy ebben a leckében megértjük fokok tulajdonságai természetes mutatókkal és nullával. A racionális kitevőkkel rendelkező hatványokról és tulajdonságaikról a 8. osztályos órákon lesz szó.

A természetes kitevővel rendelkező hatványnak számos fontos tulajdonsága van, amelyek lehetővé teszik a számítások egyszerűsítését a hatványokkal rendelkező példákban.

1. számú ingatlan
Az erők szorzata

Emlékezik!

Ha a hatványokat azonos alapokkal szorozzuk, az alap változatlan marad, és a hatványok kitevői összeadódnak.

a m · a n = a m + n, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

A hatványok ezen tulajdonsága három vagy több hatvány szorzatára is érvényes.

• Egyszerűsítse a kifejezést.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Mutassa be diplomaként.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Mutassa be diplomaként.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Fontos!

Felhívjuk figyelmét, hogy a jelzett ingatlanban csak a képességek szorzásáról beszéltünk ugyanazon az alapon . Ezek kiegészítésére nem vonatkozik.

Az összeget (3 3 + 3 2) nem helyettesítheti 3 5-tel. Ez érthető, ha
számold ki (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 és 3 5 = 243

2. számú ingatlan
Részleges diplomák

Emlékezik!

Ha azonos bázisú hatványokat osztunk fel, az alap változatlan marad, és az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Példa. Oldja meg az egyenletet. A hányados hatványok tulajdonságát használjuk.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 - 4

Válasz: t = 3 4 = 81

Az 1. és 2. tulajdonság használatával egyszerűen leegyszerűsítheti a kifejezéseket és számításokat végezhet.

• Példa. Egyszerűsítse a kifejezést.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
• Példa. Keresse meg egy kifejezés értékét a kitevők tulajdonságainak segítségével.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Fontos!

  Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 2. tulajdonságban csak a hatáskörök azonos alapokon történő felosztásáról beszéltünk.

  A különbséget (4 3 −4 2) nem helyettesítheti 4 1-gyel. Ez érthető, ha számolunk (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 és 4 1 = 4

  Légy óvatos!

  3. számú ingatlan
  Fokozat hatalommá emelése

  Emlékezik!

  Ha egy fokot hatványra emelünk, a fok alapja változatlan marad, és a kitevőket megszorozzuk.

  (a n) m = a n · m, ahol „a” tetszőleges szám, „m” és „n” pedig bármilyen természetes szám.

  
  

  Tulajdonságok 4
  A termék teljesítménye

  Emlékezik!

  Ha egy szorzatot hatványra emelünk, minden tényező hatványra emelkedik. A kapott eredményeket ezután megszorozzuk.

  (a b) n = a n b n, ahol „a”, „b” bármely racionális szám; "n" bármely természetes szám.

  • 1. példa
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • 2. példa
    (-x 2 y) 6 = ((-1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Fontos!

  Felhívjuk figyelmét, hogy a 4. számú tulajdonság, mint a fokok többi tulajdonsága, szintén fordított sorrendben kerül alkalmazásra.

  (a n · b n)= (a · b) n

  Vagyis a hatványok azonos kitevőkkel való szorzásához meg lehet szorozni az alapokat, de a kitevőt változatlanul hagyni.

  • Példa. Kiszámítja.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Példa. Kiszámítja.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Bonyolultabb példákban előfordulhatnak olyan esetek, amikor a szorzást és az osztást különböző bázisú és különböző kitevőkkel rendelkező hatványokon kell végrehajtani. Ebben az esetben azt tanácsoljuk, hogy tegye a következőket.

  Például, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Példa a tizedesjegy hatványra emelésére.

  4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

  Tulajdonságok 5
  Hányados hatványa (tört)

  Emlékezik!

  Ha hányadost szeretne hatványra emelni, az osztalékot és az osztót külön erre a hatványra emelheti, és az első eredményt eloszthatja a másodikkal.

  (a: b) n = a n: b n, ahol „a”, „b” bármely racionális szám, b ≠ 0, n bármely természetes szám.

  • Példa. Mutassa be a kifejezést a hatványok hányadosaként.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Emlékeztetünk arra, hogy a hányadost törtként is lehet ábrázolni. Ezért a következő oldalon részletesebben foglalkozunk a tört hatványra emelésének témájával.

Az előző cikkben elmagyaráztuk, mik azok a monomiumok. Ebben az anyagban megvizsgáljuk, hogyan lehet megoldani azokat a példákat és problémákat, amelyekben ezeket használják. Itt olyan műveleteket fogunk megvizsgálni, mint a kivonás, az összeadás, a szorzás, a monomiálisok osztása és természetes kitevőjű hatványra emelése. Megmutatjuk, hogyan definiálják az ilyen műveleteket, felvázoljuk a végrehajtásuk alapvető szabályait, és mi legyen az eredmény. Az összes elméleti koncepciót, mint általában, a problémák példáival illusztráljuk a megoldások leírásával.

A legkényelmesebb a monomok szabványos jelölésével dolgozni, ezért a cikkben használt összes kifejezést szabványos formában mutatjuk be. Ha eredetileg ettől eltérően voltak megadva, akkor javasolt először általánosan elfogadott formába hozni őket.

A monomiumok összeadásának és kivonásának szabályai

A monomokkal végrehajtható legegyszerűbb műveletek a kivonás és az összeadás. BAN BEN általános eset ezeknek a műveleteknek az eredménye egy polinom lesz (egyes speciális esetekben monomiális is lehetséges).

Amikor monomokat adunk össze vagy kivonunk, először a megfelelő összeget és különbséget írjuk fel az általánosan elfogadott formában, majd egyszerűsítjük a kapott kifejezést. Ha vannak hasonló kifejezések, azokat idézni kell, és a zárójeleket meg kell nyitni. Magyarázzuk meg egy példával.

1. példa

Feltétel: végezzük el a − 3 x és 2, 72 x 3 y 5 z monomok összeadását.

Megoldás

Írjuk fel az eredeti kifejezések összegét! Adjunk hozzá zárójeleket, és tegyünk közéjük egy plusz jelet. A következőket kapjuk:

(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

Amikor elvégezzük a zárójel-kiterjesztést, - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z értéket kapunk. Ez egy szabványos formában írt polinom, amely ezeknek a monomoknak az összeadásának eredménye lesz.

Válasz:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.

Ha három, négy vagy több kifejezésünk van, akkor ezt a műveletet pontosan ugyanúgy hajtjuk végre.

2. példa

Feltétel: csúsztassa be megfelelő sorrendben meghatározott műveletek polinomokkal

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Megoldás

Kezdjük a zárójelek kinyitásával.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Látjuk, hogy az eredményül kapott kifejezés leegyszerűsíthető hasonló kifejezések hozzáadásával:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Van egy polinomunk, amely ennek a műveletnek az eredménye.

Válasz: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Elvileg két monomit összeadhatunk és kivonhatunk bizonyos megszorításokkal, így egy monomihoz jutunk. Ehhez meg kell felelnie néhány feltételnek az összeadásokkal és a kivont monomokkal kapcsolatban. Egy külön cikkben elmondjuk, hogyan kell ezt megtenni.

A monomiumok szorzásának szabályai

A szorzási művelet nem korlátozza a tényezőket. A szorozandó monomok nem felelhetnek meg egyiknek sem további feltételek, így az eredmény egy monom.

A monomok szorzásának végrehajtásához kövesse az alábbi lépéseket:

1. Írja le helyesen a darabot.
2. Bontsa ki a zárójeleket az eredményül kapott kifejezésben.
3. Ha lehetséges, csoportosítsa az azonos változókat és a numerikus tényezőket külön-külön.
4. Végezze el a szükséges műveleteket számokkal, és alkalmazza a hatványok szorzási tulajdonságát azonos alapokon a fennmaradó tényezőkre.

Lássuk, hogyan valósul meg ez a gyakorlatban.

3. példa

Feltétel: szorozzuk meg a 2 x 4 y z és - 7 16 t 2 x 2 z 11 monomokat.

Megoldás

Kezdjük a mű összeállításával.

Kinyitjuk benne a zárójeleket, és a következőket kapjuk:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2-7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Csak annyit kell tennünk, hogy az első zárójelben lévő számokat megszorozzuk, a másodikra ​​pedig a hatványok tulajdonságát alkalmazzuk. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

2-7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Válasz: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Ha a feltételünk három vagy több polinomot tartalmaz, akkor pontosan ugyanazzal az algoritmussal szorozzuk meg őket. A monomok szorzásának kérdését egy külön anyagban fogjuk részletesebben megvizsgálni.

A monom hatványra emelésének szabályai

Tudjuk, hogy egy természetes kitevővel rendelkező hatvány bizonyos számú azonos tényező szorzata. Számukat a mutatóban lévő szám jelzi. E definíció szerint egy monom hatványra emelése egyenértékű az azonos monomok meghatározott számának szorzásával. Lássuk, hogyan készült.

4. példa

Feltétel: emeljük a − 2 · a · b 4 monomiálist 3 hatványra.

Megoldás

A hatványozást helyettesíthetjük 3 monom − 2 · a · b 4 szorzásával. Írjuk le és kapjuk meg a kívánt választ:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Válasz:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

De mi van akkor, ha a diplomának nagy mutatója van? Írd le nagyszámú a szorzók kényelmetlenek. Ekkor egy ilyen probléma megoldásához alkalmaznunk kell egy fok tulajdonságait, nevezetesen a szorzatfok tulajdonságát és a fokozat tulajdonságát a fokban.

Oldjuk meg a fent bemutatott problémát a jelzett módszerrel.

5. példa

Feltétel: emeljük a − 2 · a · b 4-et a harmadik hatványra.

Megoldás

A teljesítmény-fok tulajdonság ismeretében a következő formájú kifejezésre léphetünk:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

Ezt követően emeljük a - 2 hatványra, és alkalmazzuk az erők tulajdonságát a hatványokra:

(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Válasz:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Külön cikket is szenteltünk a monomiális hatalommá emelésének.

A monomok felosztásának szabályai

Az utolsó művelet monomokkal, amelyet elemezünk ezt az anyagot, – monomiális osztás monomimmal. Ennek eredményeként racionális (algebrai) törtet kell kapnunk (bizonyos esetekben monomiális is lehet). Azonnal tisztázzuk, hogy a nulla monomimmal való osztás nincs definiálva, mivel a 0-val való osztás nincs definiálva.

Az osztás végrehajtásához a jelzett monomokat tört alakban fel kell írnunk, és lehetőség szerint csökkenteni kell.

6. példa

Feltétel: osszuk el a − 9 · x 4 · y 3 · z 7 monomit - 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 -vel.

Megoldás

Kezdjük azzal, hogy a monomokat tört alakban írjuk.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Ez a rész csökkenthető. A művelet végrehajtása után a következőket kapjuk:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Válasz:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Külön cikkben adjuk meg azokat a feltételeket, amelyek mellett a monomiumok felosztása eredményeként monomokat kapunk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt