Rendszermegoldás lineáris egyenletek Gauss módszer. Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk a rendszerre n lineáris egyenletek -val n ismeretlen változók
amelynek főmátrixának determinánsa különbözik a nullától.
A Gauss-módszer lényege ismeretlen változók szekvenciális kiiktatásából áll: először kiküszöböljük x 1 a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve, tovább van kizárva x 2 minden egyenletből, kezdve a harmadikkal, és így tovább, amíg csak az ismeretlen változó marad az utolsó egyenletben x n. Ezt a rendszeregyenletek átalakításának folyamatát az ismeretlen változók szekvenciális kiküszöbölésére hívják közvetlen Gauss-módszer. A Gauss-módszer előrehaladásának befejezése után az utolsó egyenletből azt találjuk x n, ezt az értéket felhasználva az utolsó előtti egyenletből számítjuk ki xn-1, és így tovább, az első talált egyenletből x 1. Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéből az első egyenletbe lépünk, az ún. a Gauss-módszer inverze.
Röviden írjuk le az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.
Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Távolítsa el az ismeretlen változót x 1 a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve. Ehhez a rendszer második egyenletéhez hozzáadjuk az elsőt, szorozva -val, a harmadik egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, szorozva -val, és így tovább, nth az egyenlethez hozzáadjuk az elsőt, megszorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel 
hol és 
.
Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha kifejeznénk x 1 a rendszer első egyenletében szereplő egyéb ismeretlen változókon keresztül, és az így kapott kifejezést behelyettesítettük az összes többi egyenletbe. Tehát a változó x 1 minden egyenletből kizárva, a másodiktól kezdve.
Ezután hasonló módon járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk 
Ehhez a rendszer harmadik egyenletéhez hozzáadjuk a másodikat, szorozva -vel, a negyedik egyenlethez hozzáadjuk a másodikat, szorozva -val, és így tovább, nth az egyenlethez hozzáadjuk a másodikat, megszorozva -val. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel 
hol és 
. Tehát a változó x 2 a harmadiktól kezdve minden egyenletből kizárva.
Ezután folytatjuk az ismeretlen kiküszöbölését x 3, ebben az esetben is hasonlóan járunk el az ábrán jelölt rendszerrésszel 
Tehát folytatjuk a Gauss-módszer közvetlen haladását, amíg a rendszer fel nem veszi a formát 
Ettől a pillanattól kezdve a Gauss-módszer fordítottját kezdjük: számolunk x n az utolsó as egyenletből a kapott érték felhasználásával x n találunk xn-1 az utolsó előtti egyenletből és így tovább, azt találjuk x 1 az első egyenletből.
Példa.
Lineáris egyenletrendszer megoldása 
Gauss módszer.
Ebben a cikkben a módszert megoldási módszernek tekintjük, amely analitikus, azaz lehetővé teszi megoldási algoritmus írását Általános nézet, majd helyettesítsd be az ott található konkrét példákból származó értékeket. A mátrixmódszerrel vagy a Cramer-képletekkel ellentétben lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során olyanokkal is dolgozhatunk, amelyeknek végtelen számú megoldása van. Vagy egyáltalán nincs meg nekik.
Mit jelent Gauss-módszerrel megoldani?
Először is fel kell írnunk az egyenletrendszerünket a Így néz ki. Vegyük a rendszert:
Az együtthatók táblázat formájában, a szabad kifejezések pedig külön oszlopban a jobb oldalon. A szabad kifejezéseket tartalmazó oszlop a kényelem kedvéért el van különítve, az ezt az oszlopot tartalmazó mátrixot kiterjesztettnek nevezzük.
Ezután az együtthatókkal rendelkező fő mátrixot egy felső háromszög alakúra kell redukálni. Ez a fő pontja a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának. Egyszerűen fogalmazva, bizonyos manipulációk után a mátrixnak úgy kell kinéznie, hogy a bal alsó része csak nullákat tartalmazzon:
Ezután, ha az új mátrixot egyenletrendszerként újra felírja, észreveszi, hogy az utolsó sor már tartalmazza az egyik gyök értékét, amelyet aztán behelyettesít a fenti egyenletbe, egy másik gyökér található, és így tovább.
Ez a Gauss-módszer szerinti megoldás leírása a legáltalánosabb kifejezésekkel. Mi történik, ha hirtelen a rendszernek nincs megoldása? Vagy végtelenül sok van belőlük? Ezen és sok más kérdés megválaszolásához külön figyelembe kell venni a Gauss-módszer megoldásában használt összes elemet.
Mátrixok, tulajdonságaik
A mátrixban nincs rejtett jelentés. Ez egyszerűen egy kényelmes módja az adatok rögzítésének a vele végzett későbbi műveletekhez. Még az iskolásoknak sem kell félniük tőlük.
A mátrix mindig téglalap alakú, mert kényelmesebb. Még a Gauss-módszerben is, ahol minden egy mátrix megalkotásán múlik háromszög alakú, a bejegyzés egy téglalapot tartalmaz, csak nullákkal azon a helyen, ahol nincsenek számok. Lehet, hogy a nullákat nem írják le, de beleértettek.
A mátrixnak van mérete. A „szélessége” a sorok száma (m), a „hossza” az oszlopok száma (n). Ezután az A mátrix mérete (a jelölésükre általában nagybetűket használnak) leveleket) jelölése A m×n. Ha m=n, akkor ez a mátrix négyzet, és m=n a sorrendje. Ennek megfelelően az A mátrix bármely eleme jelölhető sor- és oszlopszámaival: a xy ; x - sorszám, változások, y - oszlopszám, változások.
B nem a döntés lényege. Elvileg minden művelet közvetlenül végrehajtható magával az egyenletekkel, de a jelölés sokkal körülményesebb lesz, és sokkal könnyebb lesz összezavarodni benne.
Döntő
A mátrixnak is van determinánsa. Ez egy nagyon fontos jellemző. Nem kell most kideríteni a jelentését, egyszerűen megmutathatja, hogyan számítják ki, majd megmondja, hogy a mátrix mely tulajdonságait határozza meg. A determináns megtalálásának legegyszerűbb módja az átlók segítségével. A mátrixba képzeletbeli átlókat rajzolnak; az mindegyiken elhelyezkedő elemeket megszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk: jobbra lejtős átlók - pluszjellel, balra lejtéssel - mínusz előjellel.
Rendkívül fontos megjegyezni, hogy a determináns csak négyzetmátrixra számítható. Téglalap alakú mátrix esetén a következőket teheti: válassza ki a legkisebbet a sorok és az oszlopok számából (legyen k), majd véletlenszerűen jelöljön ki a mátrixban k oszlopot és k sort. A kijelölt oszlopok és sorok metszéspontjában lévő elemek új négyzetmátrixot alkotnak. Ha egy ilyen mátrix determinánsa nem nulla szám, akkor az eredeti téglalap alakú mátrix alap-molljának nevezzük.
Mielőtt elkezdené egy egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldását, nem árt kiszámolni a determinánst. Ha kiderül, hogy nulla, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a mátrixnak vagy végtelen sok megoldása van, vagy nincs is. Ilyen szomorú esetben tovább kell menni, és megtudni a mátrix rangját.
Rendszerbesorolás
Van olyan, hogy egy mátrix rangja. Ez a nem nulla determináns maximális sorrendje (ha emlékszünk az alap-mollra, akkor azt mondhatjuk, hogy egy mátrix rangja az alap-moll sorrendje).
A ranggal kapcsolatos helyzet alapján az SLAE a következőkre osztható:
- Közös. U A közös rendszerekben a fő mátrix rangja (amely csak együtthatókból áll) egybeesik a kiterjesztett mátrix rangjával (szabad tagok oszlopával). Az ilyen rendszereknek van megoldása, de nem feltétlenül egy, ezért a csuklórendszereket a következőkre osztják:
- - bizonyos- egyetlen megoldással. Bizonyos rendszerekben a mátrix rangja és az ismeretlenek száma (vagy az oszlopok száma, ami ugyanaz) egyenlő;
- - határozatlan - végtelen számú megoldással. Az ilyen rendszerekben a mátrixok rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma.
- Összeegyeztethetetlen. U Az ilyen rendszerekben a fő és a kiterjesztett mátrixok rangsorai nem esnek egybe. Az inkompatibilis rendszereknek nincs megoldása.
A Gauss-módszer azért jó, mert a megoldás során vagy egyértelmû bizonyítást kapunk a rendszer inkonzisztenciájáról (anélkül, hogy nagy mátrixok determinánsait számolnánk), vagy egy végtelen számú megoldású rendszerre általános formájú megoldást kaphatunk.
Elemi átalakulások
Mielőtt közvetlenül a rendszer megoldásához kezdene, kevésbé nehézkessé és kényelmesebbé teheti a számításokat. Ezt elemi átalakításokkal érik el – úgy, hogy azok végrehajtása semmilyen módon nem változtatja meg a végső választ. Megjegyzendő, hogy a megadott elemi transzformációk egy része csak olyan mátrixokra érvényes, amelyek forrása az SLAE volt. Íme az átalakítások listája:
- A vonalak átrendezése. Nyilvánvaló, hogy ha megváltoztatja az egyenletek sorrendjét a rendszerrekordban, az semmilyen módon nem befolyásolja a megoldást. Következésképpen ennek a rendszernek a mátrixában a sorok is felcserélhetők, természetesen nem feledkezve meg a szabad kifejezések oszlopáról.
- Egy karakterlánc összes elemének megszorzása egy bizonyos együtthatóval. Nagyon hasznos! Használható rövidítésre nagy számok a mátrixban, vagy távolítsa el a nullákat. Sok döntés, mint általában, nem változik, de a további műveletek kényelmesebbé válnak. A lényeg az, hogy az együttható nem egyenlő nullával.
- Sorok eltávolítása arányos tényezőkkel. Ez részben az előző bekezdésből következik. Ha egy mátrixban két vagy több sor arányos együtthatóval rendelkezik, akkor az egyik sort az arányossági együtthatóval szorozva/osztva két (vagy ismételten több) teljesen azonos sort kapunk, és a feleslegeseket eltávolíthatjuk, így marad. csak egy.
- Nulla vonal eltávolítása. Ha a transzformáció során valahol olyan sort kapunk, amelyben minden elem, beleértve a szabad tagot is, nulla, akkor az ilyen sort nullának nevezhetjük és kidobhatjuk a mátrixból.
- Egy sor elemeihez hozzáadjuk a másik sor elemeit (a megfelelő oszlopokban), megszorozva egy bizonyos együtthatóval. A legnyilvánvalóbb és legfontosabb átalakulás. Érdemes részletesebben foglalkozni vele.
Tényezővel szorzott karakterlánc hozzáadása
A könnyebb érthetőség érdekében érdemes ezt a folyamatot lépésről lépésre lebontani. Két sort vettünk a mátrixból:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Tegyük fel, hogy hozzá kell adni az elsőt a másodikhoz, meg kell szorozni a "-2" együtthatóval.
a" 21 = a 21 + -2 × a 11
a" 22 = a 22 + -2 × a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Ezután a mátrix második sora egy újra cserélődik, és az első változatlan marad.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Megjegyzendő, hogy a szorzási együtthatót úgy is meg lehet választani, hogy két sor összeadása következtében az új sor egyik eleme nullával egyenlő. Ezért lehetséges egy egyenlet egy olyan rendszerben, ahol eggyel kevesebb ismeretlen lesz. És ha két ilyen egyenletet kapunk, akkor a műveletet meg lehet ismételni, és egy olyan egyenletet kapunk, amely kettővel kevesebb ismeretlent tartalmaz. És ha minden alkalommal nullára fordítja az összes, az eredeti alatti sor egy együtthatóját, akkor a lépcsőkhöz hasonlóan lemehet a mátrix legaljára, és kaphat egy egyenletet egy ismeretlennel. Ezt a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának nevezzük.
Általában
Legyen rendszer. M egyenlete és n ismeretlen gyöke van. A következőképpen írhatod:
A fő mátrixot a rendszer együtthatóiból állítják össze. A kibővített mátrixhoz hozzáadunk egy szabad kifejezéseket tartalmazó oszlopot, és az egyszerűség kedvéért egy sor választja el őket.
- a mátrix első sorát megszorozzuk a k = (-a 21 /a 11) együtthatóval;
- a mátrix első módosított sora és második sora hozzáadásra kerül;
- a második sor helyett az előző bekezdésből származó összeadás eredménye kerül be a mátrixba;
- most az első együttható az új második sorban a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Most ugyanazt az átalakítási sorozatot hajtják végre, csak az első és a harmadik sor érintett. Ennek megfelelően az algoritmus minden lépésében az a 21 elemet 31-re cseréljük. Ezután minden megismétlődik egy 41, ... egy m1-re. Az eredmény egy mátrix, ahol a sorok első eleme nulla. Most el kell felejtenie az első sort, és ugyanazt az algoritmust kell végrehajtania, a második sortól kezdve:
- együttható k = (-a 32 /a 22);
- a második módosított sor hozzáadódik az „aktuális” sorhoz;
- az összeadás eredménye behelyettesítésre kerül a harmadik, negyedik és így tovább sorban, miközben az első és a második változatlan marad;
- a mátrix soraiban az első két elem már egyenlő nullával.
Az algoritmust addig kell ismételni, amíg a k = (-a m,m-1 /a mm) együttható meg nem jelenik. Ez azt jelenti, hogy be utoljára az algoritmust csak az alsó egyenletre végeztük el. Most a mátrix úgy néz ki, mint egy háromszög, vagy lépcsős alakú. Az alsó sorban ott van az a mn × x n = b m egyenlőség. Ismert az együttható és a szabad tag, ezeken keresztül fejeződik ki a gyök: x n = b m /a mn. Az eredményül kapott gyöket behelyettesítjük a felső sorba, hogy megtaláljuk x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. És így tovább analógia útján: minden következő sorban van egy új gyökér, és miután elérte a rendszer „tetejét”, sok megoldást találhat. Ez lesz az egyetlen.
Amikor nincsenek megoldások
Ha az egyik mátrixsorban a szabad tag kivételével minden elem nulla, akkor az ennek a sornak megfelelő egyenlet 0 = b. Nincs megoldása. És mivel egy ilyen egyenlet benne van a rendszerben, akkor az egész rendszer megoldásainak halmaza üres, azaz degenerált.
Amikor végtelen számú megoldás létezik
Előfordulhat, hogy az adott háromszögmátrixban nincsenek olyan sorok, amelyekben az egyenlet egy együttható eleme és egy szabad tagja lenne. Csak olyan sorok vannak, amelyek átírva két vagy több változót tartalmazó egyenletnek tűnnek. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válasz általános megoldás formájában adható meg. Hogyan kell csinálni?
A mátrix összes változója alap és szabad változókra van felosztva. Az alapvetőek azok, amelyek a lépésmátrixban a sorok „szélén” állnak. A többi ingyenes. Az általános megoldásban az alapváltozókat szabadon keresztül írjuk.
A kényelem kedvéért a mátrixot először visszaírják egy egyenletrendszerbe. Aztán az utolsóban, ahol pontosan csak egy alapváltozó maradt, az egyik oldalon marad, és minden más átkerül a másikra. Ez minden egyenletre egy alapváltozóval történik. Ezután a többi egyenletben, ahol lehetséges, az alapváltozó helyett a rá kapott kifejezést helyettesítjük. Ha az eredmény ismét csak egy alapváltozót tartalmazó kifejezés, akkor onnantól ismét kifejeződik, és így tovább, amíg minden alapváltozót szabad változókkal rendelkező kifejezésként fel nem írunk. Az az ami közös döntés SLAU.
Megtalálhatja a rendszer alapmegoldását is - adjon meg tetszőleges értéket a szabad változóknak, majd erre a konkrét esetre számítsa ki az alapváltozók értékeit. Végtelen számú konkrét megoldás adható.
Megoldás konkrét példákkal
Itt van egy egyenletrendszer.
A kényelem érdekében jobb, ha azonnal létrehozza a mátrixát
Ismeretes, hogy Gauss-módszerrel megoldva az első sornak megfelelő egyenlet változatlan marad a transzformációk végén. Ezért jövedelmezőbb lesz, ha a mátrix bal felső eleme a legkisebb - akkor a műveletek után a fennmaradó sorok első elemei nullára fordulnak. Ez azt jelenti, hogy az összeállított mátrixban előnyös lesz az első sor helyett a második sort tenni.
második sor: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24
harmadik sor: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57
Most, hogy ne keveredjen össze, fel kell írnia egy mátrixot a transzformációk közbenső eredményeivel.
Nyilvánvaló, hogy egy ilyen mátrix bizonyos műveletek segítségével kényelmesebbé tehető az észleléshez. Például eltávolíthatja az összes „mínuszt” a második sorból, ha minden elemet „-1”-gyel megszoroz.
Azt is érdemes megjegyezni, hogy a harmadik sorban minden elem három többszöröse. Ezután lerövidítheti a sort ezzel a számmal, minden elemet megszorozva "-1/3"-mal (mínusz - ugyanakkor, hogy eltávolítsa negatív értékeket).
Sokkal szebben néz ki. Most egyedül kell hagynunk az első sort, és dolgozni a másodikkal és a harmadikkal. A feladat az, hogy a második sort hozzá kell adni a harmadikhoz, megszorozva olyan együtthatóval, hogy az a 32 elem nullával egyenlő legyen.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ha egyes transzformációk során a válasz nem egész szám, akkor ajánlott a számítások pontosságának megőrzése a kilépéshez „ahogy van”, formában közönséges tört, és csak ezután, a válaszok beérkezése után döntse el, hogy kerekíti-e, és átváltja-e egy másik rögzítési formára)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7
A mátrix újra új értékekkel íródik.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Mint látható, a kapott mátrixnak már van lépcsős formája. Ezért a rendszer további, Gauss-módszerrel történő átalakítása nem szükséges. Amit itt megtehet, az az, hogy eltávolítja a "-1/7" általános együtthatót a harmadik sorból.
Most minden gyönyörű. Nincs más hátra, mint a mátrix újraírása egyenletrendszer formájában, és a gyökök kiszámítása
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Azt az algoritmust, amellyel a gyököket most megtaláljuk, a Gauss-módszerben fordított mozgásnak nevezzük. A (3) egyenlet tartalmazza a z értéket:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
És az első egyenlet lehetővé teszi, hogy megtaláljuk x-et:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3
Jogunk van egy ilyen rendszert együttesnek, sőt határozottnak nevezni, vagyis egyedi megoldással. A választ a következő formában írjuk:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Példa egy bizonytalan rendszerre
Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának változatát elemeztük, most azt az esetet kell figyelembe venni, ha a rendszer bizonytalan, vagyis végtelen sok megoldás található rá.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Már a rendszer megjelenése is riasztó, mert az ismeretlenek száma n = 5, a rendszermátrix rangja pedig már pontosan kisebb ennél, mert a sorok száma m = 4, azaz legmagasabb rendű a négyzetdetermináns 4. Ez azt jelenti, hogy végtelen sok megoldás létezik, és ennek általános alakját kell keresnünk. A lineáris egyenletek Gauss-módszere lehetővé teszi ezt.
Először, mint általában, egy kiterjesztett mátrixot állítanak össze.
Második sor: együttható k = (-a 21 /a 11) = -3. A harmadik sorban az első elem az átalakítások előtt van, tehát nem kell hozzányúlni semmihez, hanem úgy kell hagyni, ahogy van. Negyedik sor: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Ha az első sor elemeit egymás után megszorozzuk az egyes együtthatóikkal, és hozzáadjuk a szükséges sorokhoz, a következő alakú mátrixot kapjuk:
Mint látható, a második, harmadik és negyedik sor egymással arányos elemekből áll. A második és a negyedik általában azonos, így az egyiket azonnal eltávolíthatjuk, a maradékot pedig megszorozzuk a „-1” együtthatóval, és megkapjuk a 3-as sort. És ismét két azonos sorból hagyjunk egyet.
Az eredmény egy ilyen mátrix. Bár a rendszert még nem írták le, itt meg kell határozni az alapvető változókat - az a 11 = 1 és a 22 = 1 együtthatónál állókat, illetve a szabadokat - a többit.
A második egyenletben csak egy alapváltozó van - x 2. Ez azt jelenti, hogy onnantól az x 3 , x 4 , x 5 változókon keresztül írva kifejezhető, amelyek szabadok.
A kapott kifejezést behelyettesítjük az első egyenletbe.
Az eredmény egy egyenlet, amelyben az egyetlen alapváltozó x 1. Tegyük meg vele ugyanazt, mint az x 2-vel.
Minden alapváltozó, amelyből kettő van, három szabad változóval van kifejezve, most már általános formában is felírhatjuk a választ.
Megadhatja a rendszer egy adott megoldását is. Ilyen esetekben általában nullákat választanak a szabad változók értékeként. Akkor ez lesz a válasz:
16, 23, 0, 0, 0.
Példa a nem együttműködő rendszerre
Az inkompatibilis egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása a leggyorsabb. Azonnal véget ér, amint az egyik szakaszban olyan egyenletet kapunk, amelynek nincs megoldása. Vagyis a gyökerek kiszámításának szakasza, amely meglehetősen hosszú és fárasztó, megszűnik. A következő rendszert veszik figyelembe:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Szokás szerint a mátrix összeállítása:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
És lépésenkénti formára redukálódik:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Az első transzformáció után a harmadik sor a forma egyenletét tartalmazza
megoldás nélkül. Ezért a rendszer következetlen, és a válasz az lesz üres készlet.
A módszer előnyei és hátrányai
Ha kiválasztja, hogy melyik módszert oldja meg az SLAE-k papíron egy tollal, akkor az ebben a cikkben tárgyalt módszer tűnik a legvonzóbbnak. Sokkal nehezebb összezavarodni az elemi transzformációkban, mintha kézzel kellene keresni egy determinánst vagy valami trükkös inverz mátrixot. Ha azonban programokat használ az ilyen típusú adatokkal való munkavégzéshez, például táblázatokat, akkor kiderül, hogy az ilyen programok már tartalmaznak algoritmusokat a mátrixok fő paramétereinek - determináns, minor, inverz és így tovább - kiszámításához. Ha pedig biztos abban, hogy a gép ezeket az értékeket maga számítja ki, és nem hibázik, akkor célszerűbb a mátrix módszert vagy a Cramer-képleteket használni, mert ezek alkalmazása a determinánsok és inverz mátrixok kiszámításával kezdődik és végződik. .
Alkalmazás
Mivel a Gauss-féle megoldás egy algoritmus, a mátrix pedig valójában egy kétdimenziós tömb, programozásban használható. De mivel a cikk „a bábuknak” szóló útmutatónak tekinti magát, el kell mondanunk, hogy a módszert legegyszerűbben táblázatokba, például Excelbe lehet helyezni. Az Excel ismét kétdimenziós tömbnek tekinti a táblázatba mátrix formájában beírt SLAE-ket. A velük végzett műveletekhez pedig sok szép parancs létezik: összeadás (csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá!), szorzás számmal, mátrixok szorzása (bizonyos megkötésekkel is), az inverz és transzponált mátrixok megtalálása és ami a legfontosabb , a determináns kiszámítása. Ha ezt az időigényes feladatot egyetlen paranccsal helyettesítjük, sokkal gyorsabban meg lehet határozni a mátrix rangját, és így megállapítható a kompatibilitása vagy inkompatibilitása.
A Gauss-módszert a híres német matematikus, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) javasolta, és ez az egyik leguniverzálisabb módszer az SLAE-ek megoldására. Ennek a módszernek az a lényege, hogy az ismeretlenek egymást követő kiküszöbölésével egy adott rendszer az adott rendszerrel ekvivalens fokozatos (különösen háromszög alakú) rendszerré alakul. A feladat gyakorlati megoldásában a rendszer kibővített mátrixát a soraiban elemi transzformációk segítségével lépcsőzetes formára redukáljuk. Ezután az összes ismeretlent egymás után megtaláljuk, alulról felfelé kezdve.
A Gauss-módszer elve
A Gauss-módszer előre (a kiterjesztett mátrix lépésenkénti formára redukálása, azaz nullák beszerzése a főátló alatt) és visszafelé (nullák beszerzése a kiterjesztett mátrix főátlója felett) halad. Az előrelépést Gauss-módszernek, a visszafelé mozgást Gauss-Jordan módszernek nevezzük, amely csak a változók kiküszöbölésének sorrendjében tér el az elsőtől.
A Gauss-módszer ideális háromnál több lineáris egyenletet tartalmazó rendszerek, illetve nem másodfokú egyenletrendszerek megoldására (ami a Cramer-módszerről és a mátrixmódszerről nem mondható el). Vagyis a Gauss-módszer a leguniverzálisabb módszer bármely lineáris egyenletrendszer megoldására; akkor működik, ha a rendszernek végtelen sok megoldása van, vagy inkonzisztens.
Példák egyenletrendszerek megoldására
Példa
Gyakorlat. Oldja meg az SLAE-t Gauss-módszerrel.
Megoldás.Írjuk ki a rendszer kiterjesztett mátrixát, és sorain elemi transzformációkat alkalmazva hozzuk ezt a mátrixot lépcsőzetes formába (előrelépés), majd hajtsuk végre a Gauss-módszer fordított mozgását (a főátló fölé tegyük a nullákat). Először változtassuk meg az első és a második sort úgy, hogy az elem 1 legyen (ezt a számítások egyszerűsítése érdekében tesszük):
A harmadik sor összes elemét elosztjuk kettővel (vagy, ami ugyanaz, szorozzuk meg):
A harmadik sorból kivonjuk a másodikat, megszorozva 3-mal:
A harmadik sort megszorozva a következővel:
Végezzük el most a Gauss-módszer fordítottját (Gassou-Jordan módszer), vagyis a főátló fölé nullákat készítünk. Kezdjük a harmadik oszlop elemeivel. Az elemet nullára kell állítani, ehhez vonjuk ki a harmadikat a második sorból.
Carl Friedrich Gauss, a legnagyobb matematikus sokáig habozott, és a filozófia és a matematika között választott. Talán éppen ez a gondolkodásmód tette lehetővé számára, hogy ilyen észrevehető „örökséget” szerezzen a világtudományban. Különösen a „Gauss-módszer” létrehozásával ...
Majdnem 4 éve érintettek az ezen az oldalon található cikkek iskolai oktatás, főként a filozófia oldaláról, a (félre)értés alapelvei kerültek be a gyerekek tudatába. Jön a konkrétumok, példák és módszerek ideje... Úgy gondolom, hogy pontosan ez a megközelítés a megszokott, zavaros ill. fontos az élet területei jobb eredményeket adnak.
Mi emberek úgy vagyunk megtervezve, hogy bármennyit is beszélünk absztrakt gondolkodás, De megértés Mindig példákon keresztül történik. Ha nincs példa, akkor nem lehet felfogni az alapelveket... Ahogy a hegy tetejére sem lehet feljutni, csak úgy, hogy a lábától a teljes lejtőt bejárjuk.
Ugyanez az iskolával: egyelőre élő történetek Nem elég, hogy ösztönösen továbbra is olyan helynek tekintjük, ahol a gyerekeket megtanítják megérteni.
Például a Gauss-módszer tanítása...
Gauss-módszer az 5. osztályos iskolában
Hadd tegyek egy fenntartást azonnal: a Gauss-módszer sokkal többet tartalmaz széles körű alkalmazás, például a megoldás során lineáris egyenletrendszerek. Amiről beszélni fogunk, az 5. osztályban történik. Ez elindult, miután megértette melyiket, sokkal könnyebb megérteni a „haladóbb lehetőségeket”. Ebben a cikkben arról beszélünk Gauss módszere (módszere) egy sorozat összegének meghatározására
Íme egy példa, amit az iskolából hoztam kisebbik fia, egy moszkvai gimnázium 5. osztályába jár.
A Gauss-módszer iskolai bemutatója
Matek tanár segítségével interaktív tábla (modern módszerek tréning) bemutatta a gyerekeknek a kis Gauss „módszer megalkotásának” történetét.
Az iskolai tanár megkorbácsolta a kis Karlt ( elavult módszer, manapság nem használják az iskolákban) azért, mert
az 1-től 100-ig terjedő számok egymás utáni összeadása helyett keresse meg az összegüket megjegyezte hogy egy aritmetikai sorozat éleitől egyenlő távolságra lévő számpárok összeadódnak ugyanannak a számnak. például 100 és 1, 99 és 2. Miután megszámolta az ilyen párok számát, a kis Gauss szinte azonnal megoldotta a tanár által javasolt problémát. Amiért az elképedt nyilvánosság előtt kivégezték. Hogy mások elkedvetlenítsék a gondolkodást.
Mit csinált a kis Gauss? fejlett számérzék? Megjegyezte valamilyen funkciótállandó lépésű számsorok (számtani progresszió). ÉS pontosan ezt később nagy tudóssá tette, akik tudják, hogyan kell észrevenni, amelynek érzés, megértés ösztöne.
Ezért értékes, fejlesztő a matematika látás képességeáltalános különösen - absztrakt gondolkodás. Ezért a legtöbb szülő és munkaadó ösztönösen fontos tudományágnak tekinti a matematikát ...
„Akkor meg kell tanulnod a matematikát, mert az rendet tesz a fejedben.
M. V. Lomonoszov".
Azok követői azonban, akik botokkal megkorbácsolták a jövő zsenit, a Módszert az ellenkezőjére fordították. Ahogy a felettesem mondta 35 évvel ezelőtt: „A kérdés megtanult.” Vagy ahogy a legkisebb fiam mondta tegnap Gauss módszeréről: „Talán nem érdemes ebből nagy tudományt csinálni, mi?”
A "tudósok" kreativitásának következményei az áram szintjén láthatóak iskolai matematika, a „Tudományok Királynője” tanításának szintje és a többség általi megértése.
Folytassuk azonban...
A Gauss-módszer magyarázatának módszerei az 5. osztályos iskolában
Egy moszkvai gimnázium matematika tanára, aki Vilenkin szerint magyarázta a Gauss-módszert, megnehezítette a feladatot.
Mi van akkor, ha egy aritmetikai sorozat különbsége (lépése) nem egy, hanem egy másik szám? Például 20.
A probléma, amit az ötödik osztályosoknak adott:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Mielőtt megismerkednénk a gimnáziumi módszerrel, vessünk egy pillantást az internetre: hogyan csinálják ezt az iskolai tanárok és a matektanárok?
Gauss-módszer: 1. sz. magyarázat
Egy jól ismert oktató a YOUTUBE csatornáján a következő érvelést adja:
"Írjuk fel a számokat 1-től 100-ig a következőképpen:
először egy számsor 1-től 50-ig, és szigorúan alatta egy másik számsor 50-től 100-ig, de fordított sorrendben."
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Kérjük, vegye figyelembe: az egyes számpárok összege a felső és az alsó sorból azonos és 101! Számoljuk meg a párok számát, ez 50, és szorozzuk meg egy pár összegét a párok számával! Voila: A kész a válasz!"
„Ha nem értenéd, ne idegeskedj!” – ismételte meg háromszor a tanár a magyarázat során. – Ezt a módszert 9. osztályban fogod alkalmazni!
Gauss-módszer: 2. sz. magyarázat
Egy másik, kevésbé híres oktató (a megtekintések száma alapján) többet használ tudományos megközelítés, amely 5 pontból álló megoldási algoritmust kínál, amelyeket egymás után kell kitölteni.
Az avatatlanok számára az 5 a hagyományosan varázslatos Fibonacci-számok egyike. Az 5 lépéses módszer mindig tudományosabb, mint például a 6 lépéses módszer. ...És ez aligha véletlen, nagy valószínűséggel a Szerző a Fibonacci elmélet rejtett támogatója
Dana számtani progresszió: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritmus egy sorozat számösszegének megtalálására Gauss módszerrel:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Ugyanakkor emlékezni kell plusz egy szabály : a kapott hányadoshoz kell adnunk egyet: különben a párok valós számánál eggyel kisebb eredményt kapunk: 42 + 1 = 43.
Ez a 4-től 256-ig tartó számtani progresszió szükséges összege 6-os különbséggel!
Gauss-módszer: magyarázat 5. osztályban egy moszkvai gimnáziumban
A sorozat összegének megtalálásának problémája a következőképpen oldható meg:
20+40+60+ ... +460+480+500
egy moszkvai gimnázium 5. osztályában, Vilenkin tankönyve (fiam szerint).
Az előadás bemutatása után a matematikatanár mutatott néhány példát Gauss-módszerrel, és azt a feladatot adta az osztálynak, hogy keresse meg a számok összegét egy sorozatban 20-as lépésekben.
Ehhez a következőkre volt szükség:
Mint látható, ez kompaktabb és hatékony technika: a 3-as szám is a Fibonacci-sorozat tagja
Megjegyzéseim a Gauss-módszer iskolai változatához
A nagy matematikus határozottan a filozófiát választotta volna, ha előre látta volna, mivé változtatják „módszerét” követői német tanár, aki botokkal megkorbácsolta Karlt. Látta volna a „tanárok” szimbolikáját, dialektikus spirálját és halhatatlan butaságát, próbálja mérni az élő matematikai gondolkodás harmóniáját a félreértés algebrájával ....
Apropó: tudtad. hogy oktatási rendszerünk a 18. és 19. századi német iskolában gyökerezik?
De Gauss a matematikát választotta.
Mi a módszerének lényege?
BAN BEN egyszerűsítés. BAN BEN megfigyelése és megragadása egyszerű számminták. BAN BEN száraz iskolai aritmetikává alakítva érdekes és izgalmas tevékenység , aktiválja az agyban a folytatási vágyat, ahelyett, hogy blokkolná a költséges mentális tevékenységet.
Lehetséges-e az adott „Gauss-módszer módosításainak” valamelyikével kiszámítani egy aritmetikai sorozat számainak összegét azonnal? Az „algoritmusok” szerint a kis Karl garantáltan elkerüli a fenekelést, idegenkedést alakít ki a matematika iránt, és már az elején elnyomja kreatív impulzusait.
Miért tanácsolta az oktató olyan kitartóan az ötödikeseknek, hogy „ne féljenek a módszer félreértésétől”, meggyőzve őket arról, hogy már 9. osztályban megoldják az „ilyen” problémákat? Pszichológiailag írástudatlan cselekvés. Jó lépés volt megjegyezni: "Találkozunk már 5. osztályban lehet oldja meg azokat a problémákat, amelyeket csak 4 év alatt fog megoldani! Milyen nagyszerű ember vagy!”
A Gauss-módszer használatához a 3. osztály szintje elegendő, amikor a normál gyerekek már tudják, hogyan kell összeadni, szorozni és osztani 2-3 jegyű számokat. A problémák abból adódnak, hogy az „érintetlen” felnőtt tanárok képtelenek normális emberi nyelven elmagyarázni a legegyszerűbb dolgokat, nem is beszélve a matematikáról... Képtelenek felkelteni az emberek érdeklődését a matematika iránt, és teljesen elkedvetlenítik még azokat is, akik „ képes."
Vagy ahogy a fiam kommentálta: „nagy tudományt csinálok belőle”.
Gauss-módszer, magyarázataim
A feleségemmel ezt a „módszert” elmagyaráztuk gyermekünknek, úgy tűnik, még iskola előtt...
Bonyolultság helyett egyszerűség vagy kérdések és válaszok játéka
"Nézd, itt vannak a számok 1-től 100-ig. Mit látsz?"
Nem az a lényeg, hogy a gyerek pontosan mit lát. A trükk az, hogy rávegyük, hogy megnézze.
– Hogyan tudod összerakni őket? A fiú rájött, hogy az ilyen kérdéseket nem „csak úgy” teszik fel, és a kérdést „valahogy másként, másként, mint általában” kell nézni.
Nem baj, ha a gyerek azonnal látja a megoldást, nem valószínű. Fontos, hogy ő megszűnt félni ránézni, vagy ahogy mondom: „áthelyezte a feladatot”. Ez a megértéshez vezető út kezdete
"Mi a könnyebb: például 5 és 6 vagy 5 és 95 hozzáadása?" Vezető kérdés... De minden képzés abból adódik, hogy „elvezetjük” az embert a „válaszhoz” – bármilyen, számára elfogadható módon.
Ebben a szakaszban már felmerülhetnek találgatások arról, hogyan lehet „megtakarítást” tenni a számításokon.
Csak utaltunk rá: nem a „frontális, lineáris” számolási módszer az egyetlen lehetséges. Ha egy gyerek ezt megérti, akkor később még sok ilyen módszert fog kitalálni, mert érdekes!!!És mindenképpen elkerüli a matematika „félreértéseit”, és nem fogja undorodni tőle. Megszerezte a győzelmet!
Ha gyermek fedezte fel hogy olyan számpárok összeadása, amelyek százat adnak össze, egy szelet torta "számtani progresszió 1 különbséggel"- elég sivár és érdektelen dolog egy gyerek számára - hirtelen életet talált számára . A rend a káoszból alakult ki, és ez mindig lelkesedést vált ki: így készülünk!
Megválaszolandó kérdés: miért kell a gyereket a kapott belátás után ismét a száraz algoritmusok keretei közé terelni, amelyek ebben az esetben funkcionálisan is haszontalanok?!
Miért kell a hülye átírásokat erőltetni? sorszámok egy füzetben: hogy még a rátermettnek se legyen egyetlen esélye a megértésre? Statisztikailag persze, de a tömegoktatás a „statisztika” felé irányul...
Hová lett a nulla?
És mégis, a 100-at adó számok összeadása sokkal elfogadhatóbb az elme számára, mint azok, amelyek 101-et adnak...
A „Gauss iskolai módszer” pontosan ezt követeli meg: esztelenül hajtogatni a haladás középpontjától egyenlő távolságra lévő számpárok, Mindennek ellenére.
Mi van, ha megnézed?
Ennek ellenére a nulla az emberiség legnagyobb találmánya, amely több mint 2000 éves. A matematikatanárok pedig továbbra is figyelmen kívül hagyják őt.
Sokkal könnyebb egy 1-gyel kezdődő számsort 0-val kezdődő sorozattá alakítani. Az összeg nem fog változni, ugye? Abba kell hagynia a „tankönyvekben való gondolkodást”, és el kell kezdenie keresni...És nézze meg, hogy a 101-es összegű párok teljesen helyettesíthetők a 100-as összegű párokkal!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Hogyan lehet eltörölni a "plusz 1 szabályt"?
Hogy őszinte legyek, először attól a YouTube-oktatótól hallottam egy ilyen szabályról...
Mit tegyek, ha meg kell határoznom egy sorozat tagjainak számát?
Nézem a sorrendet:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
és ha teljesen elfáradt, akkor lépjen egy egyszerűbb sorra:
1, 2, 3, 4, 5
és úgy gondolom: ha 5-ből kivonsz egyet, akkor 4-et kapsz, de teljesen világos Látom 5 szám! Ezért hozzá kell adni egyet! A számérzék ben fejlődött ki Általános Iskola, azt sugallja: még ha van is egy egész Google a sorozat tagjaiból (10-től a századik hatványig), a minta ugyanaz marad.
Mi a fenének a szabályok?...
Hogy pár-három éven belül kitöltse a homloka és a tarkója közötti teret, és abbahagyja a gondolkodást? Hogyan keress kenyeret és vajat? Hiszen egyenletes sorokban haladunk a digitális gazdaság korszakába!
Bővebben Gauss iskolai módszeréről: „miért csináljunk ebből tudományt?...”
Nem véletlenül tettem fel egy képernyőképet a fiam notebookjából...
– Mi történt az osztályban?
"Nos, azonnal számoltam, felemeltem a kezem, de nem kérdezte. Ezért, amíg a többiek számoltak, én oroszul kezdtem el házi feladatot csinálni, hogy ne veszítsem az időt. Aztán amikor a többiek befejezték az írást (? ??), felhívott a táblához. Kimondtam a választ."
– Így van, mutasd meg, hogyan oldottad meg – mondta a tanár. megmutattam. Azt mondta: "Rossz, úgy kell számolnod, ahogy mutattam!"
"Jó, hogy nem adott rossz osztályzatot. És arra késztetett, hogy a maguk módján írjam le a füzetükbe a "megoldás menetét". Minek ebből nagy tudományt csinálni?..."
A matektanár fő bűne
Aligha utána azt az incidenst Carl Gauss nagy tiszteletet tapasztalt iskolai matematika tanára iránt. De ha tudta hogyan annak a tanárnak a követői eltorzítja a módszer lényegét...ordítana felháborodva és keresztül világszervezet szellemi tulajdon A WIPO elérte, hogy betiltsák jó hírnevét az iskolai tankönyvekben!
Mit az iskolaszemlélet fő hibája? Vagy ahogy én fogalmaztam, az iskolai matematikatanárok bűne a gyerekek ellen?
A félreértés algoritmusa
Mit csinálnak az iskolai módszertanosok, akiknek túlnyomó többsége nem tud gondolkodni?
Módszereket és algoritmusokat hoznak létre (lásd). Ez védekező reakció, amely megvédi a tanárokat a kritikától („Minden a szerint történik...”) és a gyerekeket a megértéstől. És így - a tanárok kritizálásának vágyától!(A bürokratikus „bölcsesség” második származéka, a probléma tudományos megközelítése). Aki nem érti a jelentést, az inkább a saját félreértését fogja okolni, mint az iskolarendszer ostobaságát.
Ez történik: a szülők a gyerekeiket hibáztatják, a tanárok pedig... ugyanezt teszik azokkal a gyerekekkel, akik „nem értenek a matematikához!”
Okos vagy?
Mit csinált a kis Karl?
Teljesen szokatlan megközelítés egy képletfeladathoz. Ez az Ő megközelítésének lényege. Ez A legfontosabb, amit az iskolában tanítani kell, hogy ne a tankönyvekkel, hanem a fejeddel gondolkodj. Természetesen van egy hangszeres komponens is, ami használható... keresésére egyszerűbb és hatékony módszerek fiókok.
Gauss-módszer Vilenkin szerint
Az iskolában azt tanítják, hogy Gauss módszere az, hogy
Mit, ha a sorozat elemeinek száma páratlan, mint a fiamhoz rendelt problémában?...
A "fogás" ebben az esetben az találnia kell egy „extra” számot a sorozatbanés add hozzá a párok összegéhez. Példánkban ez a szám 260.
Hogyan lehet észlelni? Minden számpár másolása füzetbe!(Ezért tette rá a tanár a gyerekeket arra az ostoba munkára, hogy "kreativitást" próbálnak tanítani Gauss-módszerrel... És ez az oka annak, hogy egy ilyen "módszer" gyakorlatilag nem alkalmazható nagy adatsoroknál, ÉS ezért van az nem a Gauss-módszer.)
Egy kis kreativitás az iskolai rutinban...
A fiú másként viselkedett.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nem nehéz, igaz?
De a gyakorlatban ez még könnyebbé válik, ami lehetővé teszi, hogy 2-3 percet szánjon az orosz távérzékelésre, míg a többi „számol”. Ezenkívül megtartja a módszer lépéseinek számát: 5, ami nem teszi lehetővé, hogy a megközelítést tudománytalanság miatt kritizálják.
Nyilvánvalóan ez a megközelítés egyszerűbb, gyorsabb és univerzálisabb, a Módszer stílusában. De... a tanár nemhogy nem dicsért, de rá is kényszerített, hogy írjam át „a megfelelő módon” (lásd a képernyőképet). Vagyis kétségbeesett kísérletet tett arra, hogy elfojtsa a kreatív késztetést és a matematika megértésének képességét a gyökereknél! Nyilván azért, hogy később felvegyék oktatónak... Rossz emberre támadt...
Mindent, amit olyan hosszan és unalmasan leírtam, egy normális gyereknek maximum fél óra alatt el lehet magyarázni. Példákkal együtt.
És úgy, hogy soha nem felejti el.
És lesz is lépés a megértés felé...nem csak matematikusok.
Valld be: életedben hányszor tettél hozzá Gauss-módszerrel? És én sose tettem!
De a megértés ösztöne, ami az iskolai matematikai módszerek tanulása során alakul ki (vagy kialszik)... Ó!.. Ez valóban pótolhatatlan dolog!
Különösen az egyetemes digitalizáció korában, amelybe csendesen beléptünk a párt és a kormány szigorú vezetése alatt.
Néhány szó a tanárok védelmében...
Igazságtalan és helytelen az ilyen tanítási stílusért minden felelősséget kizárólag az iskolai tanárokra hárítani. A rendszer érvényben van.
Néhány a tanárok megértik, hogy mi történik, de mit tegyenek? Oktatási törvény, szövetségi állami oktatási szabványok, módszerek, technológiai térképek leckék... Mindent „a szerint és az alapján” kell csinálni, és mindent dokumentálni kell. Lépjen félre – sorban állt, hogy kirúgják. Ne legyünk álszentek: a moszkvai tanárok fizetése nagyon jó... Ha kirúgnak, hová menjen?
Ezért ez az oldal nem az oktatásról. Ő kb egyéni oktatás, csak lehetséges módja kilépni a tömegből Z generáció ...
A Gauss-módszer meghatározása és leírása
A Gauss-transzformációs módszer (más néven ismeretlen változók egyenletből vagy mátrixból való szekvenciális eliminálása) lineáris egyenletrendszerek megoldására szolgáló módszer a rendszer megoldásának klasszikus módszere. algebrai egyenletek(SLAU). Ezt a klasszikus módszert olyan problémák megoldására is használják, mint az inverz mátrixok előállítása és a mátrix rangjának meghatározása.
A Gauss-módszerrel végzett transzformáció abból áll, hogy apró (elemi) szekvenciális változtatásokat hajtanak végre egy lineáris algebrai egyenletrendszerben, ami a változók eltávolításához vezet felülről lefelé, egy új háromszög alakú egyenletrendszer kialakításával, amely ekvivalens az eredetivel. egy.
1. definíció
A megoldásnak ezt a részét hívják előrehaladott Gauss-megoldásnak, mivel az egész folyamat fentről lefelé halad.
Miután az eredeti egyenletrendszert háromszög alakúra redukáltuk, a rendszer összes változója alulról felfelé található (azaz az első talált változók pontosan a rendszer vagy mátrix utolsó sorain találhatók). A megoldás ezen részét a Gauss-megoldás inverzeként is ismerik. Algoritmusa a következő: először az egyenletrendszer vagy mátrix aljához legközelebb eső változókat számítják ki, majd a kapott értékeket magasabbra helyettesítik, és így egy másik változót találnak, és így tovább.
A Gauss-módszer algoritmusának leírása
Egy egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő általános megoldásának műveletsora abból áll, hogy az SLAE alapján felváltva alkalmazzuk az előre és hátra ütéseket a mátrixra. Legyen a kezdeti egyenletrendszer a következő:
$\begin(esetek) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(esetek)$
Az SLAE Gauss-módszerrel történő megoldásához fel kell írni az eredeti egyenletrendszert mátrix formájában:
$A = \begin(pmátrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmátrix)$, $b =\begin(pmátrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
Az $A$ mátrixot főmátrixnak nevezzük, és a sorrendben felírt változók együtthatóit reprezentálja, a $b$ mátrixot pedig a szabad tagok oszlopának nevezzük. Az $A$ mátrixot, amelyet egy sávon keresztül írunk egy szabad kifejezések oszlopával, kiterjesztett mátrixnak nevezzük:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$
Most elemi transzformációkat használva az egyenletrendszeren (vagy a mátrixon, mivel ez kényelmesebb), a következő alakra kell hozni:
$\begin(esetek) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(esetek)$ (1)
Az (1) transzformált egyenletrendszer együtthatóiból kapott mátrixot lépésmátrixnak nevezzük, a lépésmátrixok általában így néznek ki:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$
Ezeket a mátrixokat a következő tulajdonságok jellemzik:
- Minden nulla sora nem nulla sorok után következik
- Ha egy $k$ számú mátrix egy sora nem nulla, akkor ugyanennek a mátrixnak az előző sorában kevesebb nulla van, mint ebben a $k$ sorszámú sorában.
A lépésmátrix megszerzése után be kell cserélni a kapott változókat a fennmaradó egyenletekre (a végétől kezdve), és meg kell szerezni a változók fennmaradó értékeit.
Alapszabályok és megengedett transzformációk a Gauss-módszer használatakor
Amikor ezzel a módszerrel egyszerűsít egy mátrixot vagy egyenletrendszert, csak elemi transzformációkat kell használnia.
Az ilyen transzformációkat olyan műveleteknek tekintjük, amelyek egy mátrixra vagy egyenletrendszerre alkalmazhatók anélkül, hogy megváltoztatnák a jelentését:
- több sor átrendezése,
- a mátrix egyik sorából egy másik sor hozzáadása vagy kivonása,
- egy karakterlánc szorzása vagy osztása egy nullával nem egyenlő konstanssal,
- a rendszer kiszámítása és egyszerűsítése során kapott, csak nullákból álló sort törölni kell,
- El kell távolítania a szükségtelen arányos vonalakat is, és a rendszer számára az egyetlen olyan együtthatót kell kiválasztania, amely alkalmasabb és kényelmesebb a további számításokhoz.
Minden elemi transzformáció reverzibilis.
A lineáris egyenletek egyszerű Gauss-transzformációk módszerével történő megoldása során felmerülő három fő eset elemzése
Három eset fordul elő, amikor a Gauss-módszert használják rendszerek megoldására:
- Ha egy rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása
- Az egyenletrendszernek van megoldása és egyedi, és a mátrixban a nullától eltérő sorok és oszlopok száma megegyezik egymással.
- A rendszernek van egy bizonyos számú vagy halmaza lehetséges megoldási lehetőség, és a benne lévő sorok száma kevesebb, mint az oszlopok száma.
Egy inkonzisztens rendszerű megoldás eredménye
Ennél az opciónál, amikor egy mátrixegyenletet Gauss-módszerrel oldunk meg, jellemző, hogy valamilyen egyenest kapunk az egyenlőség teljesítésének lehetetlenségével. Ezért, ha legalább egy hibás egyenlőség előfordul, a kapott és az eredeti rendszereknek nincs megoldása, függetlenül a bennük lévő többi egyenlettől. Példa inkonzisztens mátrixra:
$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$
Az utolsó sorban egy lehetetlen egyenlőség keletkezett: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Egyenletrendszer, amelynek csak egy megoldása van
Ezeknek a rendszereknek a lépésmátrixsá redukálása és a nullákkal rendelkező sorok eltávolítása után ugyanannyi sor és oszlop van a fő mátrixban. Itt legegyszerűbb példa ilyen rendszer:
$\begin(esetek) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(esetek)$
Írjuk fel mátrix formájában:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$
Ahhoz, hogy a második sor első celláját nullára hozzuk, a felső sort megszorozzuk $-2$-tal és kivonjuk a mátrix alsó sorából, a felső sort pedig eredeti formájában hagyjuk, ennek eredményeként a következőt kapjuk :
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$
Ez a példa felírható rendszerként:
$\begin(esetek) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(esetek)$
Az alsó egyenlet a következő értéket adja a $x$-hoz: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Helyettesítsük be ezt az értéket a felső egyenletbe: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, így kapjuk: $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.
Egy rendszer sok lehetséges megoldással
Ezt a rendszert a benne lévő oszlopok számánál kisebb számú jelentős sor jellemzi (a fő mátrix sorait vesszük figyelembe).
Egy ilyen rendszerben a változókat két típusra osztják: alap és ingyenes. Egy ilyen rendszer átalakítása során a benne található fő változókat a bal oldalon az „=” jelig kell hagyni, a többi változót pedig át kell vinni a jobb oldal egyenlőség.
Egy ilyen rendszernek csak egy bizonyos általános megoldása van.
Elemezzük a következő egyenletrendszert:
$\begin(esetek) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(esetek)$
Írjuk fel mátrix formájában:
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$
A mi feladatunk, hogy általános megoldást találjunk a rendszerre. Ennél a mátrixnál a bázisváltozók $y_1$ és $y_3$ lesznek ($y_1$ esetén - mivel ez az első, $y_3$ esetén pedig - a nullák után található).
Alapváltozónak pontosan azokat választjuk, amelyek a sorban az elsők, és nem egyenlők nullával.
A többi változót szabadnak nevezzük, az alapváltozókat rajtuk kell kifejeznünk.
Az úgynevezett fordított lökettel alulról felfelé elemezzük a rendszert, ehhez először a rendszer alsó sorából adjuk meg a $y_3$ kifejezést:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Most behelyettesítjük a kifejezett $y_3$-t a $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ rendszer felső egyenletébe: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $
A $y_1$ $y_2$ és $y_4$ szabad változókkal fejezzük ki:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6 $
A megoldás kész.
1. példa
Oldja meg a slough-t Gauss-módszerrel. Példák. Példa egy 3:3 mátrix által adott lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldására
$\begin(esetek) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(esetek)$
Írjuk fel a rendszerünket egy kiterjesztett mátrix formájában:
$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
Most a kényelem és a praktikum kedvéért át kell alakítani a mátrixot úgy, hogy az 1$ a legkülső oszlop felső sarkában legyen.
Ehhez az 1. sorhoz hozzá kell adni a középső sort, megszorozva $-1$-tal, és magát a középső sort úgy kell írni, ahogy van, kiderül:
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
$\begin(tömb)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(tömb) $
Szorozzuk meg a felső és az utolsó sort $-1$-al, és cseréljük fel az utolsó és középső sort is:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$
És ossza el az utolsó sort 3 dollárral:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$
A következő, az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kapjuk:
$\begin(esetek) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(esetek)$
A felső egyenletből kifejezzük $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1 $.
2. példa
Példa egy 4:4-es mátrix segítségével definiált rendszer Gauss-módszerrel történő megoldására
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.
Az elején felcseréljük az utána következő felső sorokat, hogy 1$-t kapjunk a bal felső sarokban:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.
Most szorozza meg a felső sort $-2 $-al, és adja hozzá a 2. és 3. A 4.-hez hozzáadjuk az 1. sort, megszorozva $-3$-tal:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$
Most a 3. sorhoz hozzáadjuk a 2. sort szorozva $4$-tal, a 4. sorhoz pedig a 2. sort szorozva $-1$-tal.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$
A 2-es sort megszorozzuk $-1$-tal, a 4-es sort pedig elosztjuk $3$-ral, és lecseréljük a 3-ast.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 és 10 \\ \end(array)$
Most hozzáadjuk az utolsó sorhoz az utolsó előtti egységet, megszorozva $-5$-tal.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$
Megoldjuk a kapott egyenletrendszert:
$\begin(esetek) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(esetek)$
