Az e szám alapján: ln x = log e x.

A természetes logaritmust széles körben használják a matematikában, mert származéka a legegyszerűbb: (ln x)′ = 1/x.

Alapján definíciók, a természetes logaritmus alapja a szám e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Az y = függvény grafikonja ln x.

A természetes logaritmus grafikonja (függvények y = ln x) az exponenciális gráfból származik tükörkép az y = x egyeneshez képest.

A természetes logaritmus az x változó pozitív értékeire van definiálva. Meghatározási területén monoton módon növekszik.

x-nél → 0 a természetes logaritmus határa mínusz végtelen (-∞).

Mint x → + ∞, a természetes logaritmus határa plusz a végtelen (+ ∞). Nagy x esetén a logaritmus meglehetősen lassan növekszik. Bármi teljesítmény funkció x a pozitív kitevővel a gyorsabban növekszik, mint a logaritmus.

A természetes logaritmus tulajdonságai

Meghatározási tartomány, értékkészlet, szélsőség, növekedés, csökkenés

A természetes logaritmus monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. A természetes logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

ln x érték

ln 1 = 0

Természetes logaritmusok alapképletei

Az inverz függvény definíciójából következő képletek:

A logaritmus fő tulajdonsága és következményei

Alaphelyettesítő képlet

Bármely logaritmus kifejezhető természetes logaritmusban az alaphelyettesítési képlet segítségével:

Ezeknek a képleteknek a bizonyítása a „Logaritmus” részben található.

Inverz függvény

A természetes logaritmus inverze a kitevő.

Ha akkor

Ha akkor.

Származék ln x

A természetes logaritmus származéka:
.
Az x modulus természetes logaritmusának deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása >>>

Integrál

Az integrál kiszámítása részenkénti integrációval történik:
.
Így,

Komplex számokat használó kifejezések

Tekintsük a z komplex változó függvényét:
.
Fejezzük ki a komplex változót z modulon keresztül rés érvelés φ :
.
A logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagy
.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. Ha felteszed
, ahol n egy egész szám,
ugyanaz a szám lesz a különböző n-ekhez.

Ezért a természetes logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.

Teljesítménysorozat bővítése

Amikor a bővítés megtörténik:

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log a xés naplózza a y. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

1. log a x+ napló a y=napló a (x · y);
2. log a x− log a y=napló a (x : y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

6 4 napló + 6 9 napló.

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Sokan erre a tényre épülnek tesztpapírok. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartják a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x> 0. És még valami: tanulj meg minden képletet nem csak balról jobbra alkalmazni, hanem fordítva is, pl. A logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba. Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

[Felirat a képhez]

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nekünk van:

[Felirat a képhez]

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük meg a fő törtet. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, a törtet csökkenthetjük - a 2/4 a nevezőben marad. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átmenet egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen megadva a logaritmus log a x. Aztán bármilyen számra c oly módon, hogy c> 0 és c≠ 1, az egyenlőség igaz:

[Felirat a képhez]

Különösen, ha feltesszük c = x, kapunk:

[Felirat a képhez]

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

[Felirat a képhez]

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

[Felirat a képhez]

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

[Felirat a képhez]

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben a szám n az érvelés fokának jelzőjévé válik. Szám n teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmus érték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: az alapvető logaritmikus azonosság.

Valójában mi lesz, ha a szám b emeljük olyan hatványra, hogy a szám b ehhez a hatványhoz adja a számot a? Így van: ugyanazt a számot kapja a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Az új bázisra való átállás képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

[Felirat a képhez]

Jegyezzük meg, hogy log 25 64 = log 5 8 – egyszerűen a logaritmus alapjából és argumentumából vette a négyzetet. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

[Felirat a képhez]

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulóknak is problémát okoznak.

1. log a a= 1 egy logaritmikus egység. Emlékezz egyszer s mindenkorra: logaritmus bármilyen bázisra a ettől az alaptól egyenlő eggyel.
2. log a 1 = 0 logaritmikus nulla. Bázis a bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mert a A 0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.

Tudniillik a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a b *a c = a b+c). Ez matematikai törvény Arkhimédész származtatta, majd később, a 8. században Virasen matematikus készített egy táblázatot az egész kitevőkből. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol egyszerű összeadással kell leegyszerűsíteni a nehézkes szorzást. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és érthető nyelven.

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log a b=c, azaz bármely logaritmus nem negatív szám(vagyis bármilyen pozitív) „b” az „a” alapja alapján a „c” hatványa, amelyre az „a” alapot fel kell emelni, hogy végül megkapjuk a „b” értéket. Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, mondjuk van egy log 2 kifejezés 8. Hogyan találjuk meg a választ? Nagyon egyszerű, olyan hatványt kell találnod, hogy 2-től a szükséges teljesítményig 8-at kapj. Néhány fejben végzett számítás után megkapjuk a 3-as számot! És ez igaz, mert a 2 a 3 hatványára 8-nak adja a választ.

A logaritmusok fajtái

Sok diák és diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. A logaritmikus kifejezéseknek három különböző típusa van:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e = 2,7).
2. Tizedes a, ahol az alap 10.
3. Bármely b szám logaritmusa a>1 bázishoz.

Mindegyiket szabványos módon oldják meg, beleértve az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő redukciót egyetlen logaritmusra logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékeinek megszerzéséhez emlékeznie kell tulajdonságaikra és a műveletek sorrendjére a megoldásuk során.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több olyan szabály-megkötés létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vita tárgya, és ez az igazság. Például a számokat nem lehet nullával osztani, és a gyökér kinyerése sem lehetséges páros fokozat negatív számokból. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatod, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• Az „a” alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, és nem egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az „1” és a „0” bármilyen mértékben mindig megegyezik az értékükkel;
• ha a > 0, akkor a b >0, akkor kiderül, hogy „c”-nek is nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan lehet logaritmusokat megoldani?

Például az a feladat, hogy megtaláljuk a választ a 10 x = 100 egyenletre. Ez nagyon egyszerű, ki kell választani egy hatványt a tízes szám emelésével, amelyre 100-at kapunk. Ez természetesen 10 2 = 100.

Most képzeljük el ezt a kifejezést logaritmikus formában. Log 10 100 = 2-t kapunk. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál, hogy megtalálja azt a hatványt, amelyre a logaritmus alapját kell megadni egy adott szám megszerzéséhez.

Az ismeretlen fok értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni egy foktáblázattal. Ez így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai elmével és ismeri a szorzótáblát. Nagyobb értékekhez azonban szüksége lesz egy tápasztalra. Még azok is használhatják, akik semmit sem tudnak az összetettről matematikai témák. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor annak a c hatványnak az értéke, amelyre az a számot emeljük. A metszéspontban a cellák azokat a számértékeket tartalmazzák, amelyek a választ jelentik (a c =b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazabb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenlőségként. Például a 3 4 =81 felírható 81 4-es 3-as bázis logaritmusaként (log 3 81 = 4). Negatív hatványokra ugyanazok a szabályok: 2 -5 = 1/32 logaritmusként írjuk, log 2 (1/32) = -5-öt kapunk. A matematika egyik legérdekesebb része a „logaritmusok” témája. Az alábbiakban példákat és megoldásokat tekintünk meg az egyenletekre, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.

Adott a következő formájú kifejezés: log 2 (x-1) > 3 - ez van logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen "x" érték a logaritmus előjele alatt van. És a kifejezésben is két mennyiséget hasonlítanak össze: a kívánt szám logaritmusa a kettőhöz nagyobb, mint a három.

A logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek közötti legfontosabb különbség az, hogy a logaritmusú egyenletek (például a logaritmus 2 x = √9) egy vagy több konkrét választ tartalmaznak. számértékek, míg az egyenlőtlenségek megoldása során a régiót definiáljuk elfogadható értékeket, és ennek a függvénynek a töréspontjait. Következésképpen a válasz nem egy egyszerű halmaz egyéni számok mivel a válaszban egy egyenlet, a pedig egy folytonos számsorozat vagy számhalmaz.

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek megtalálásával kapcsolatos primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy tulajdonságai nem ismertek. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt tisztán kell érteni és a gyakorlatban alkalmazni kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. Az egyenletekre a későbbiekben példákat tekintünk meg; először nézzük meg részletesebben az egyes tulajdonságokat.

1. A fő azonosság így néz ki: a logaB =B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa ábrázolható a következő képlet: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Ebben az esetben előfeltételértéke: d, s1 és s2 > 0; a≠1. Ezt a logaritmikus képletet példákkal és megoldással bizonyíthatja. Legyen log a s 1 = f 1 és log a s 2 = f 2, akkor a f1 = s 1, a f2 = s 2. Azt kapjuk, hogy s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (tulajdonságai fok ), majd definíció szerint: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, amit bizonyítani kellett.
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. A képlet formájú tétel a következő alakot ölti: log a q b n = n/q log a b.

Ezt a képletet „a logaritmus fokának tulajdonságának” nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika természetes posztulátumokon alapul. Nézzük a bizonyítékot.

Legyen log a b = t, kiderül, hogy a t =b. Ha mindkét részt m hatványra emeljük: a tn = b n ;

de mivel a tn = (a q) nt/q = b n, ezért log a q b n = (n*t)/t, majd log a q b n = n/q log a b. A tétel bizonyítást nyert.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusokkal kapcsolatos leggyakoribb problémák az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatók, és a matematika vizsgák kötelező részét is képezik. Az egyetemre való felvételhez vagy a továbbjutáshoz felvételi vizsgák matematikában tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos nincs egyetlen terv vagy séma a logaritmus ismeretlen értékének megoldására és meghatározására, de bizonyos szabályokat minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre alkalmazni lehet. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés leegyszerűsíthető-e vagy ahhoz vezethet-e Általános megjelenés. Egyszerűsítse a hosszúakat logaritmikus kifejezések lehetséges, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Ismerkedjünk meg velük gyorsan.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál meg kell határoznunk, hogy milyen típusú logaritmusunk van: egy példakifejezés tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Itt vannak példák az ln100, ln1026. Megoldásuk abban rejlik, hogy meg kell határozniuk azt a teljesítményt, amelyre a 10-es alap 100, illetve 1026 lesz. Megoldásokért természetes logaritmusok logaritmikus azonosságokat vagy azok tulajdonságait kell alkalmazni. Nézzük meg a megoldást példákkal logaritmikus problémák különböző típusok.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát nézzünk példákat a logaritmusokkal kapcsolatos alaptételek használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol bővíteni kell nagyon fontos b számokat egyszerűbb tényezőkké. Például log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A válasz 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - mint látható, a logaritmus hatványának negyedik tulajdonságát felhasználva sikerült megoldanunk egy bonyolultnak tűnő és megoldhatatlan kifejezést. Csak az alapot kell figyelembe vennie, majd ki kell vennie a kitevő értékeket a logaritmus előjeléből.

Feladatok az egységes államvizsgáról

A logaritmusokat gyakran megtalálják belépő vizsgák, különösen sok logaritmikus probléma az egységes államvizsgán ( Államvizsga minden iskolaelhagyó számára). Általában ezek a feladatok nem csak az A részben vannak jelen (a legegyszerűbb teszt rész vizsga), hanem a C részben (a legösszetettebb és legterjedelmesebb feladatok) is. A vizsga megköveteli a „Természetes logaritmusok” témakör pontos és tökéletes ismeretét.

A példákat és a problémák megoldásait a hivatalostól vettük Egységes államvizsga lehetőségek. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log 2 (2x-1) = 4. Megoldás:
írjuk át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log 2 (2x-1) = 2 2, a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1 = 2 4, tehát 2x = 17; x = 8,5.

• A legjobb az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• Minden logaritmus előjel alatti kifejezés pozitívnak van jelölve, ezért ha egy olyan kifejezés kitevőjét, amely a logaritmus előjele alatt van és annak bázisaként kivesszük szorzóként, a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.

Ma arról fogunk beszélni logaritmikus képletekés tájékoztató jellegűt adunk megoldási példák.

Maguk a logaritmusok alapvető tulajdonságainak megfelelő megoldási mintákat implikálnak. Mielőtt logaritmusképleteket alkalmazna a megoldáshoz, emlékeztessük az összes tulajdonságra:

Most ezen képletek (tulajdonságok) alapján megmutatjuk példák a logaritmusok megoldására.

Példák logaritmusok képletek alapján történő megoldására.

Logaritmus az a bázishoz tartozó pozitív b szám (log a b-vel jelölve) olyan kitevő, amelyre a-t fel kell emelni, hogy b-t kapjunk, b > 0, a > 0 és 1.

A definíció szerint log a b = x, ami ekvivalens a x = b-vel, ezért log a a x = x.

Logaritmusok, példák:

log 2 8 = 3, mert 2 3 = 8

log 7 49 = 2, mert 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, mert 5-1 = 1/5

Tizedes logaritmus- ez egy közönséges logaritmus, melynek alapja 10. Jelölése lg.

log 10 100 = 2, mert 10 2 = 100

Természetes logaritmus- közönséges logaritmus is, logaritmus, de e bázissal (e = 2,71828... - irracionális szám). Jelölve: ln.

A logaritmusok képleteit vagy tulajdonságait célszerű megjegyezni, mert a logaritmusok, logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál később szükségünk lesz rá. Nézzük meg újra az egyes képleteket példákkal.

• Alapvető logaritmikus azonosság
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• A szorzat logaritmusa egyenlő az összeggel logaritmusok
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• A hányados logaritmusa megegyezik a logaritmusok különbségével
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• A logaritmikus szám hatványának és a logaritmus alapjának tulajdonságai

  A logaritmikus szám kitevője log a b m = mlog a b

  A logaritmus alapjának kitevője log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ha m = n, akkor log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Átmenet egy új alapra
  log a b = log c b/log c a,

  ha c = b, akkor log b b = 1-et kapunk

  akkor log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Amint látja, a logaritmus képletei nem olyan bonyolultak, mint amilyennek tűnnek. Most, miután megnéztük a logaritmusok megoldására vonatkozó példákat, áttérhetünk a logaritmikus egyenletekre. A logaritmikus egyenletek megoldására vonatkozó példákat részletesebben megvizsgáljuk a cikkben: "". Ne hagyja ki!

Ha továbbra is kérdései vannak a megoldással kapcsolatban, írja meg őket a cikkhez fűzött megjegyzésekben.

Megjegyzés: úgy döntöttünk, hogy egy másik osztályban tanulunk, és lehetőségként külföldön tanulunk.