Megjelenik a felosztás. Ebben a cikkben fogunk beszélni osztály közönséges törtek . Először is adunk egy szabályt a közönséges törtek osztására, és példákat tekintünk a törtek osztására. Ezután egy közönséges tört elosztására összpontosítunk természetes számés a számokat törtekre. Végül nézzük meg, hogyan oszthatunk el egy közös törtet vegyes számmal.

Oldalnavigáció.

Közönséges tört osztása közönséges törttel

Ismeretes, hogy az osztás a szorzás fordított művelete (lásd az osztás és szorzás összefüggését). Vagyis az osztás egy ismeretlen tényező megtalálását jelenti, ha a szorzat és egy másik tényező ismert. Az osztás ugyanazt a jelentését őrzi meg a közönséges törtek osztásakor.

Nézzünk példákat a közönséges törtek felosztására.

Ne feledkezzünk meg a törtek csökkentéséről és az egész rész elválasztásáról a nem megfelelő törttől.

Tört elosztása természetes számmal

Azonnal adjuk Tört természetes számmal való osztásának szabálya: az a/b tört n természetes számmal való osztásához a számlálót változatlannak kell hagyni, és a nevezőt meg kell szorozni n-nel, azaz .

Ez az osztási szabály közvetlenül következik a közönséges törtek osztására vonatkozó szabályból. Valójában egy természetes szám törtként való ábrázolása a következő egyenlőségekhez vezet .

Nézzük meg a tört számmal való elosztásának példáját.

Példa.

Osszuk el a 16/45-öt a 12-es természetes számmal.

Megoldás.

A tört számmal való osztására vonatkozó szabály szerint megvan . Tegyük a rövidítést: . Ez a felosztás teljes.

Válasz:

.

Természetes szám elosztása törttel

A törtek osztásának szabálya hasonló a természetes szám törttel való osztásának szabálya: egy n természetes szám a/b törttel való osztásához meg kell szorozni az n számot az a/b tört reciprokával.

A kimondott szabály szerint, és a természetes szám közönséges törttel való szorzásának szabálya lehetővé teszi, hogy átírjuk az alakba.

Nézzünk egy példát.

Példa.

Osszuk el a 25 természetes számot a 15/28 törttel.

Megoldás.

Térjünk át az osztásról a szorzásra, megvan . A teljes alkatrész kicsinyítése és kiválasztása után azt kapjuk, hogy .

Válasz:

.

Tört elosztása vegyes számmal

Tört elosztása vegyes számmal könnyen redukálható közönséges törtek osztására. Ehhez elég végrehajtani

Törtekkel mindent megtehet, az osztást is. Ez a cikk a közönséges törtek felosztását mutatja be. Meghatározásokat adunk, és példákat tárgyalunk. Foglalkozzunk részletesen a törtek természetes számokkal való osztásával és fordítva. A közönséges tört vegyes számmal való osztását tárgyaljuk.

Osztó törtek

Az osztás a szorzás inverze. Osztáskor az ismeretlen tényezőt itt találjuk híres alkotásés egy másik tényező, ahol az adott jelentését közönséges törtekkel őrzik meg.

Ha el kell osztani egy a b közönséges törtet c d-vel, akkor egy ilyen szám meghatározásához meg kell szorozni a c d osztóval, ez végül a b osztót adja. Kapjunk egy számot, és írjuk fel a b · d c , ahol d c a c d szám inverze. Az egyenlőségek a szorzás tulajdonságaival írhatók fel, nevezetesen: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, ahol az a b · d c kifejezés a b és c d hányadosa.

Innen megkapjuk és megfogalmazzuk a közönséges törtek osztásának szabályát:

1. definíció

Egy a b közönséges tört c d-vel való osztásához meg kell szorozni az osztó hányadát az osztó reciprokával.

Írjuk fel a szabályt kifejezés formájában: a b: c d = a b · d c

Az osztás szabályai a szorzásra vezetnek le. Ahhoz, hogy ragaszkodjon hozzá, jól kell értenie a törtek szorzását.

Térjünk át a közönséges törtek felosztására.

1. példa

Osszuk el 9 7-et 5 3-mal. Írja az eredményt törtként!

Megoldás

Az 5 3 szám a 3 5 reciprok törtje. A közönséges törtek osztására vonatkozó szabályt kell használni. Ezt a kifejezést a következőképpen írjuk: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Válasz: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Ha a számláló nagyobb, mint a nevező, a törtek kicsinyítésekor válassza el a teljes részt.

2. példa

Oszd meg 8 15: 24 65. Írja a választ törtként!

Megoldás

A megoldáshoz osztásról szorzásra kell lépni. Írjuk fel a következő formában: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Csökkenteni kell, és ez a következőképpen történik: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Válassza ki a teljes részt, és kapja meg a 13 9 = 1 4 9 értéket.

Válasz: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Rendkívüli tört elosztása természetes számmal

A tört természetes számmal való osztására azt a szabályt használjuk, hogy a b-t n természetes számmal osztjuk, csak a nevezőt kell megszorozni n-nel. Innen a következő kifejezést kapjuk: a b: n = a b · n.

Az osztási szabály a szorzási szabály következménye. Ezért, ha egy természetes számot törtként ábrázolunk, akkor egy ilyen típusú egyenlőséget adunk: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Tekintsük ezt a tört számmal való osztását.

3. példa

A 16 45 törtet osszuk el 12-vel.

Megoldás

Alkalmazzuk a tört számmal való osztásának szabályát. 16 45: 12 = 16 45 · 12 alakú kifejezést kapunk.

Csökkentsük a törtet. 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 kapjuk.

Válasz: 16 45: 12 = 4 135 .

Természetes szám elosztása törttel

Az osztási szabály hasonló O a természetes szám közönséges törttel való osztásának szabálya: ahhoz, hogy egy n természetes számot oszthassunk egy a b közönséges törttel, meg kell szorozni az n számot az a b tört reciprojával.

A szabály alapján n-t kapunk: a b = n · b a, és a természetes szám közönséges törttel való szorzásának szabályának köszönhetően a kifejezésünket n formában kapjuk: a b = n · b a. Ezt a felosztást egy példával kell megvizsgálni.

4. példa

Ossza el a 25-öt 15-28-cal.

Megoldás

Át kell lépnünk az osztásról a szorzásra. Írjuk fel a 25 kifejezés formájában: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Csökkentsük a törtet, és kapjuk meg az eredményt a 46 2 3 tört alakjában.

Válasz: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Tört elosztása vegyes számmal

Ha egy közönséges törtet vegyes számmal oszt el, könnyen elkezdheti osztani a közönséges törteket. Egy vegyes számot hibás törtté kell konvertálnia.

5. példa

Osszuk el a 35 16 törtet 3 1 8-cal.

Megoldás

Mivel a 3 1 8 vegyes szám, ábrázoljuk helytelen törtként. Ekkor azt kapjuk, hogy 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Most osszuk el a törteket. 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Válasz: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Vegyes szám felosztása ugyanúgy történik, mint a közönséges számok.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Törtek szorzása és osztása.

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Ez a művelet sokkal szebb, mint az összeadás-kivonás! Mert az könnyebb. Emlékeztetőül: a tört törttel való szorzásához meg kell szorozni a számlálókat (ez lesz az eredmény számlálója) és a nevezőket (ez lesz a nevező). Azaz:

Például:

Minden rendkívül egyszerű. És kérlek, ne nézd közös nevező! Itt nincs rá szükség...

Egy tört törttel való osztásához meg kell fordítani második(ez fontos!) tört, és szorozza meg őket, azaz:

Például:

Ha találkozik az egész számokkal és törtekkel való szorzással vagy osztással, az rendben van. Akárcsak az összeadásnál, egész számból törtet készítünk, amelynek nevezője eggyel szerepel – és hajrá! Például:

A középiskolában gyakran kell megküzdenie a háromemeletes (vagy akár négyemeletes!) törtekkel. Például:

Hogyan tehetem ezt a tört tisztességes megjelenést? Igen, nagyon egyszerű! Kétpontos osztás használata:

De ne feledkezzünk meg a felosztás rendjéről sem! A szorzással ellentétben itt ez nagyon fontos! Természetesen nem fogjuk összekeverni a 4:2-t és a 2:4-et sem. De egy három emeletes töredékben könnyű hibázni. Kérjük, vegye figyelembe például:

Az első esetben (kifejezés a bal oldalon):

A másodikban (kifejezés a jobb oldalon):

Érzi a különbséget? 4 és 1/9!

Mi határozza meg a felosztás sorrendjét? Vagy zárójelekkel, vagy (mint itt) a vízszintes vonalak hosszával. Fejleszd a szemed. És ha nincsenek zárójelek vagy kötőjelek, például:

majd oszd és szorozd sorrendben, balról jobbra!

És egy másik nagyon egyszerű és fontos technika. A diplomával végzett akciókban nagyon hasznos lesz az Ön számára! Ossza el az egyiket tetszőleges törttel, például 13/15-tel:

A lövés megfordult! És ez mindig megtörténik. Ha 1-et tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört, csak fejjel lefelé.

Ennyi a törtekkel végzett műveleteknél. A dolog meglehetősen egyszerű, de több mint elég hibát ad. jegyzet gyakorlati tanácsokat, és kevesebb lesz belőlük (hiba)!

Gyakorlati tippek:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség! Nem Általános szavak, nem jókívánságokat! Ez égető szükség! Végezzen minden számítást az egységes államvizsgán teljes értékű feladatként, koncentráltan és világosan. Jobb, ha két plusz sort írsz a piszkozatodba, mint ha fejben számolsz.

2. Példákban -val különböző típusok törtek - lépjen a közönséges törtekre.

3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg meg nem állnak.

4. Többszintes törtkifejezések két ponton keresztüli osztás segítségével közönségesekre redukáljuk (figyeljük az osztás sorrendjét!).

5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.

Itt vannak azok a feladatok, amelyeket feltétlenül el kell végeznie. A válaszok minden feladat után megérkeznek. Használja a témával kapcsolatos anyagokat és gyakorlati tippeket. Becsülje meg, hány példát tudott helyesen megoldani. Első alkalommal! Számológép nélkül! És vonja le a megfelelő következtetéseket...

Ne feledje - a helyes válasz az a második (főleg a harmadik) alkalomtól kapott nem számít! Ilyen a kemény élet.

Így, vizsga módban oldja meg ! Ez egyébként már felkészülés az egységes államvizsgára. Megoldjuk a példát, ellenőrizzük, megoldjuk a következőt. Mindent eldöntöttünk – újra ellenőriztük az elsőtől az utolsóig. De csak Akkor nézd meg a válaszokat.

Kiszámítja:

Döntöttél?

Olyan válaszokat keresünk, amelyek megfelelnek a tiédnek. Szándékosan zűrzavarosan, úgymond távol a kísértéstől írtam le őket... Itt vannak, pontosvesszővel írva a válaszok.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Most vonjuk le a következtetéseket. Ha minden sikerült, örülök neked! A törtekkel végzett alapvető számítások nem a te problémád! Komolyabb dolgokat is csinálhatsz. Ha nem...

Tehát két probléma közül az egyik van. Vagy egyszerre mindkettő.) Tudáshiány és (vagy) figyelmetlenség. De ez megoldható Problémák.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

) és nevezőnként nevezőt (a szorzat nevezőjét kapjuk).

A törtek szorzásának képlete:

Például:

Mielőtt elkezdené a számlálók és nevezők szorzását, ellenőriznie kell, hogy a tört csökkenthető-e. Ha csökkenteni tudja a törtet, akkor könnyebb lesz további számításokat végeznie.

Közönséges tört elosztása törttel.

Természetes számokat tartalmazó törtek osztása.

Nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik. Az összeadáshoz hasonlóan az egész számot olyan törtté alakítjuk, amelynek nevezője egy. Például:

Vegyes törtek szorzása.

A törtek szorzásának szabályai (vegyes):

• a kevert frakciókat nem megfelelő frakciókká alakítja át;
• a törtek számlálóinak és nevezőinek szorzása;
• csökkentse a frakciót;
• Ha nem megfelelő törtet kapunk, akkor a nem megfelelő törtet vegyes törtté alakítjuk.

Jegyzet! Egy vegyes frakció egy másik vegyes törttel való szorzásához először formába kell hoznia őket helytelen törtek, majd szorozzuk meg a közönséges törtek szorzási szabálya szerint.

A második módszer a tört természetes számmal való szorzására.

Kényelmesebb lehet a második módszert használni a közönséges tört számmal való szorzására.

Jegyzet! Egy tört természetes számmal való szorzásához el kell osztani a tört nevezőjét ezzel a számmal, és a számlálót változatlanul kell hagyni.

A fenti példából jól látható, hogy ezt a lehetőséget kényelmesebb használni, ha egy tört nevezőjét maradék nélkül osztjuk egy természetes számmal.

Többemeletes törtek.

A középiskolában gyakran találkoznak háromemeletes (vagy több) törtekkel. Példa:

Ahhoz, hogy egy ilyen tört a szokásos formájába kerüljön, használjon 2 pontra osztást:

Jegyzet! A törtek felosztásánál nagyon fontos az osztás sorrendje. Vigyázz, itt könnyen összezavarodhatsz.

Jegyzet, Például:

Ha egyet tetszőleges törttel osztunk, az eredmény ugyanaz a tört lesz, csak megfordítva:

Gyakorlati tippek a törtek szorzásához és osztásához:

1. A törtkifejezésekkel való munka során a legfontosabb a pontosság és a figyelmesség. Minden számítást gondosan és pontosan, koncentráltan és világosan végezzen. Jobb, ha írsz néhány plusz sort a piszkozatodba, mint eltévedni a gondolati számításokban.

2. A különböző típusú törteket tartalmazó feladatoknál lépjen a közönséges törtek típusára.

3. Az összes törtet addig csökkentjük, amíg már nem lehet redukálni.

4. A többszintű törtkifejezéseket 2 ponton keresztüli osztás segítségével közönségessé alakítjuk.

5. Osszon el egy egységet egy törttel a fejében, egyszerűen fordítsa meg a törtet.

A közönséges törtszámok először az 5. osztályban találkoznak az iskolásokkal, és végigkísérik őket egész életükön át, hiszen a mindennapi életben sokszor nem egészként, hanem külön-külön kell egy tárgyat figyelembe venni vagy használni. Kezdje el tanulmányozni ezt a témát - megosztások. A részvények egyenlő részek, amelybe ez vagy az a tárgy fel van osztva. Hiszen nem mindig lehet például egy termék hosszát vagy árát egész számként kifejezni, figyelembe kell venni valamilyen mérték részeit vagy töredékeit. A „osztani” - részekre osztás igéből alakult, és arab gyökerekkel rendelkezik, maga a „töredék” szó az orosz nyelvben a 8. században keletkezett.

Kapcsolatban áll

A törtkifejezéseket régóta a matematika legnehezebb ágának tartják. A 17. században, amikor megjelentek az első matematikai tankönyvek, „tört számoknak” nevezték őket, amit nagyon nehéz volt megérteni az emberek számára.

Az egyszerű törtmaradványok modern formáját, amelyek részeit vízszintes vonal választja el, először Fibonacci - Pisai Leonardo hirdette. Művei 1202-re datálhatók. De ennek a cikknek az a célja, hogy egyszerűen és világosan elmagyarázza az olvasónak, hogyan szorozzák a vegyes törteket különböző nevezők.

Különböző nevezőkkel rendelkező törtek szorzása

Kezdetben érdemes meghatározni törtek fajtái:

• helyes;
• helytelen;
• vegyes.

Ezután emlékeznie kell arra, hogyan szorozzák a törtszámokat ugyanazok a nevezők. Ennek a folyamatnak a szabályát könnyű önállóan megfogalmazni: a szorzás eredménye egyszerű törtek azonos nevezőkkel egy törtkifejezés, melynek számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig e törtek nevezőinek szorzata. Vagyis az új nevező az eredetileg meglévők valamelyikének négyzete.

Szorzáskor egyszerű törtek különböző nevezőkkel két vagy több tényező esetén a szabály nem változik:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Az egyetlen különbség az alakult szám a törtvonal alatt különböző számok szorzata lesz, és természetesen az egy négyzete numerikus kifejezés lehetetlen megnevezni.

Érdemes megfontolni a különböző nevezőjű törtek szorzását példák segítségével:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

A példák a törtkifejezések csökkentésére szolgáló módszereket alkalmaznak. A számláló számokat csak nevező számokkal csökkentheti, a törtvonal feletti vagy alatti szomszédos tényezők nem csökkenthetők.

Az egyszerűvel együtt törtszámok, létezik a vegyes törtek fogalma. A vegyes szám egy egész számból és egy tört részből áll, vagyis ezeknek a számoknak az összege:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Hogyan működik a szorzás?

Több példa is megfontolandó.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

A példa egy szám szorzását használja közönséges tört rész, a művelet szabálya a következőképpen írható fel:

a* b/c = a*b /c.

Valójában egy ilyen szorzat azonos tört maradékok összege, és a tagok száma ezt a természetes számot jelzi. Különleges eset:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Van egy másik megoldás is egy szám tört maradékkal való szorzására. Csak el kell osztania a nevezőt ezzel a számmal:

d* e/f = e/f: d.

Ez a technika akkor hasznos, ha a nevezőt elosztjuk egy maradék nélküli természetes számmal, vagy ahogy mondják, egész számmal.

Váltsa át a vegyes számokat helytelen törtekre, és kapja meg a szorzatot a korábban leírt módon:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ez a példa egy vegyes tört helytelen törtként való ábrázolásának módját tartalmazza, és általános képletként is ábrázolható:

a bc = a*b+ c / c, ahol az új tört nevezőjét úgy alakítjuk ki, hogy a teljes részt megszorozzuk a nevezővel, és összeadjuk az eredeti tört maradék számlálójával, és a nevező változatlan marad.

Ez a folyamat az ellenkező irányba is működik. A teljes rész és a tört maradék szétválasztásához el kell osztani a nem megfelelő tört számlálóját a nevezőjével egy „sarok” segítségével.

Nem megfelelő törtek szorzásaáltalánosan elfogadott módon állítják elő. Ha egyetlen törtsor alá ír, szükség szerint csökkentenie kell a törteket, hogy ezzel a módszerrel csökkentse a számokat, és megkönnyítse az eredmény kiszámítását.

Az interneten számos segítő található még bonyolult problémák megoldására is. matematikai feladatok különféle programváltozatokban. Elegendő számú ilyen szolgáltatás nyújt segítséget a törtek szorzásának megszámlálásához különböző számok nevezőkben - úgynevezett online számológépek a törtek kiszámításához. Képesek nem csak szaporodni, hanem a többi legegyszerűbbet is előállítani aritmetikai műveletek közönséges törtekkel és vegyes számok. Nem nehéz vele dolgozni, töltse ki a megfelelő mezőket a weboldalon, válassza ki a matematikai művelet jelét, és kattintson a „számítás” gombra. A program automatikusan számol.

A törtekkel végzett aritmetikai műveletek témája a közép- és középiskolások oktatásában végig releváns. Középiskolában már nem a legegyszerűbb fajt tartják, hanem egész számú tört kifejezések, de az átalakítási és számítási szabályok korábban szerzett ismereteit eredeti formájában alkalmazzuk. A jól elsajátított alapismeretek teljes önbizalmat adnak a legbonyolultabb problémák sikeres megoldásában.

Befejezésül érdemes idézni Lev Nyikolajevics Tolsztoj szavait, aki ezt írta: „Az ember egy töredék. Az embernek nem áll hatalmában a számlálóját - érdemeit - növelni, de nevezőjét - önmagáról alkotott véleményét - bárki csökkentheti, és ezzel a csökkenéssel közelebb kerülhet tökéletességéhez.