Trigonometrikus egyenletek. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek Oldja meg a sinx 1 2 trigonometrikus egyenletet

A megoldás főbb módszerei trigonometrikus egyenletek a következők: az egyenletek redukálása a legegyszerűbbre (a trigonometrikus képletek), új változók bevezetése, faktorizálás. Nézzük meg példákkal a felhasználásukat. Ügyeljen a trigonometrikus egyenletek megoldásainak formátumára.

Szükséges feltétel sikeres megoldás trigonometrikus egyenletek a trigonometrikus képletek ismerete (6. munka 13. témaköre).

Példák.

1. Egyenletek a legegyszerűbbre redukálva.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

2) Keresse meg az egyenlet gyökereit!

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, a szegmenshez tartozó.

Megoldás:

Válasz:

2. Másodfokúvá redukáló egyenletek.

1) Oldja meg a 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 egyenletet.

Megoldás: Használata bűn képlet 2 x = 1 – cos 2 x, kapjuk

Válasz:

2) Oldja meg cos egyenlet 2x = 1 + 4 cosx.

Megoldás: A cos 2x = 2 cos 2 x – 1 képlet segítségével azt kapjuk, hogy

Válasz:

3) Döntse el tgx egyenlet– 2ctgx + 1 = 0

Megoldás:

Válasz:

3. Homogén egyenletek

1) Oldja meg a 2sinx – 3cosx = 0 egyenletet

Megoldás: Legyen cosx = 0, majd 2sinx = 0 és sinx = 0 – ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1. Ez azt jelenti, hogy cosx ≠ 0, és az egyenletet oszthatjuk cosx-szel. Kapunk

Válasz:

2) Oldja meg az 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x egyenletet

Megoldás:

Az 1 = sin 2 x + cos 2 x és sin 2x = 2 sinxcosx képleteket használjuk, így kapjuk

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Legyen cosx = 0, akkor sin 2 x = 0 és sinx = 0 – ez ellentmondás azzal a ténnyel, hogy sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ez azt jelenti, hogy cosx ≠ 0, és az egyenletet eloszthatjuk cos 2 x-szel . Kapunk

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Jelöljük tgx = y-t
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

Válasz: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Formaegyenletek a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Oldja meg az egyenletet!

Megoldás:

Válasz:

5. Tényezősítéssel megoldott egyenletek.

1) Oldja meg a sin2x – sinx = 0 egyenletet.

Az egyenlet gyökere f (x) = φ ( x) csak a 0 számként szolgálhat. Ellenőrizzük ezt:

cos 0 = 0 + 1 – az egyenlőség igaz.

A 0 szám az egyetlen gyöke ennek az egyenletnek.

Válasz: 0.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

Amikor kérelmet nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

Mi gyűjtöttük össze Személyes adat lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket általában képletekkel oldják meg. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x a keresendő szög,
a tetszőleges szám.

És itt vannak a képletek, amelyekkel azonnal felírhatod ezeknek a legegyszerűbb egyenleteknek a megoldásait.

Szinuszhoz:

A koszinuszhoz:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Érintőhöz:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

A kotangenshez:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Valójában ez az, ami elméleti rész egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. Ráadásul mindent!) Egyáltalán semmit. Az ebben a témában előforduló hibák száma azonban egyszerűen lemaradt a listáról. Főleg, ha a példa kissé eltér a sablontól. Miért?

Igen, mert sokan leírják ezeket a leveleket, anélkül, hogy megértené a jelentésüket!Óvatosan írja le, nehogy valami történjen...) Ezt rendezni kell. Trigonometria az embereknek, vagy emberek a trigonometria számára!?)

Találjuk ki?

Egy szög egyenlő lesz arccos a, második: -arccos a.

És ez mindig így fog menni. Bármilyen A.

Ha nem hiszi, vigye az egeret a kép fölé, vagy érintse meg a képet a táblagépén.) Megváltoztattam a számot A valami negatívra. Mindenesetre megvan az egyik sarkunk arccos a, második: -arccos a.

Ezért a válasz mindig két gyöksorozatként írható fel:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Kössük össze ezt a két sorozatot egybe:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

És ennyi. Kaptunk egy általános képletet a legegyszerűbb koszinuszos trigonometrikus egyenlet megoldására.

Ha megérted, hogy ez nem valamiféle tudományfeletti bölcsesség, hanem csak két válaszsorozat rövidített változata, A „C” feladatokat is képes lesz kezelni. Egyenlőtlenségekkel, adott intervallumból való gyökválasztással... Ott a plusz/mínuszos válasz nem működik. De ha üzletszerűen kezeli a választ, és két külön válaszra bontja, akkor minden megoldódik.) Valójában ezért vizsgáljuk. Mit, hogyan és hol.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletben

sinx = a

két gyökérsort is kapunk. Mindig. És ezt a két sorozatot fel is lehet venni egy sorban. Csak ez a sor lesz trükkösebb:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

De a lényeg ugyanaz marad. A matematikusok egyszerűen olyan képletet készítettek, amely a gyöksorozatok két bejegyzése helyett egyet ad. Ez minden!

Ellenőrizzük a matematikusokat? És sosem lehet tudni...)

Az előző leckében egy szinuszos trigonometrikus egyenlet megoldását (képletek nélkül) részletesen tárgyaltuk:

A válasz két gyökérsorozatot eredményezett:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ha ugyanazt az egyenletet a képlet segítségével oldjuk meg, a választ kapjuk:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Valójában ez egy befejezetlen válasz.) A tanulónak tudnia kell azt arcsin 0,5 = π /6. A teljes válasz a következő lenne:

x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Ez egy érdekes kérdést vet fel. Válasz ezen keresztül x 1; x 2 (ez a helyes válasz!) és magányos x (és ez a helyes válasz!) - ugyanaz a dolog vagy sem? Most megtudjuk.)

A válaszban helyettesítjük ezzel x 1 értékeket n =0; 1; 2; stb., számolunk, akkor egy sor gyökérsorozatot kapunk:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 stb.

Ugyanazzal a helyettesítéssel válaszul x 2 , kapunk:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 stb.

Most cseréljük be az értékeket n (0; 1; 2; 3; 4...) az egyes általános képletébe x . Vagyis a mínusz egyest a nulla hatványra emeljük, majd az elsőre, a másodikra stb. Nos, természetesen behelyettesítjük a 0-t a második tagba; 1; 2 3; 4 stb. És számolunk. Megkapjuk a sorozatot:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 stb.

Ez minden, amit láthat.) Általános képlet ad nekünk pontosan ugyanazok az eredmények ahogy a két válasz külön-külön is. Mindent egyszerre, sorrendben. A matematikusokat nem tévesztették meg.)

A trigonometrikus egyenletek érintővel és kotangenssel történő megoldására szolgáló képletek is ellenőrizhetők. De nem fogjuk.) Már egyszerűek.

Ezt a teljes helyettesítést és ellenőrzést konkrétan kiírtam. Itt fontos megérteni egy dolgot egyszerű dolog: vannak képletek az elemi trigonometrikus egyenletek megoldására, csak a válaszok rövid összefoglalása. Ehhez a rövidséghez a koszinusz-oldatba plusz/mínusz, a szinusz-oldatba pedig (-1) n-t kellett beszúrnunk.

Ezek a betétek semmilyen módon nem zavarnak olyan feladatokat, ahol csak egy elemi egyenletre kell felírni a választ. De ha meg kell oldania egy egyenlőtlenséget, vagy tennie kell valamit a válasszal: válasszon gyököket egy intervallumon, ellenőrizze az ODZ-t stb., ezek a beillesztések könnyen elbizonytalaníthatják az embert.

Szóval mit tegyek? Igen, vagy írja le a választ két sorozatban, vagy oldja meg az egyenletet/egyenlőtlenséget a trigonometrikus kör segítségével. Aztán ezek a betétek eltűnnek, és az élet könnyebbé válik.)

Összegezhetjük.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldására kész válaszképletek állnak rendelkezésre. Négy darab. Arra jók, hogy azonnal leírjuk egy egyenlet megoldását. Például meg kell oldania a következő egyenleteket:

sinx = 0,3

Könnyen: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Nincs mit: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Könnyen: x = arctán 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Egy maradt: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ha tudástól ragyogva, azonnal írd meg a választ:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

akkor már ragyogsz, ez... az... tócsából.) Helyes válasz: nincsenek megoldások. Nem értem miért? Olvassa el, mi az arc koszinusz. Ezenkívül, ha az eredeti egyenlet jobb oldalán szinusz, koszinusz, érintő, kotangens táblázatos értékei vannak, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 stb. - a válasz az íveken keresztül befejezetlen lesz. Az íveket radiánra kell konvertálni.

És ha egyenlőtlenséggel találkozol, pl

akkor a válasz:

x πn, n ∈ Z

ritka hülyeség van, igen...) Itt kell trigonometrikus kör döntsd el. Mit fogunk tenni a megfelelő témában.

Azoknak, akik hősiesen elolvassák ezeket a sorokat. Egyszerűen nem tudom nem értékelni a titáni erőfeszítéseiteket. Bónusz neked.)

Bónusz:

Amikor egy riasztó harci helyzetben formulákat írunk le, még a tapasztalt nebulók is gyakran összezavarodnak, hogy hol πn, És hol 2π n. Íme egy egyszerű trükk az Ön számára. Ban ben mindenki képletek érdemes πn. Kivéve az egyetlen képletet, amelynek ív koszinusza van. Ott áll 2πn. Kettő peen. Kulcsszó - kettő. Ugyanebben a képletben vannak kettő jele az elején. Plusz és mínusz. Itt-ott - kettő.

Szóval ha írtál kettő jel az ív koszinusz előtt, könnyebb megjegyezni, mi fog történni a végén kettő peen. És ez fordítva is megtörténik. Az illetőnek hiányozni fog a jel ± , a végére ér, helyesen ír kettő Pien, és magához tér. Van valami előtte kettő jel! Az ember visszatér az elejére és kijavítja a hibát! Mint ez.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Egyszer tanúja voltam egy beszélgetésnek két jelentkező között:

– Mikor adjunk hozzá 2πn-t, és mikor adjunk hozzá πn-t? Egyszerűen nem emlékszem!

- És nekem is ugyanez a problémám.

Csak azt akartam mondani nekik: "Nem kell memorizálni, hanem megérteni!"

Ez a cikk elsősorban középiskolásoknak szól, és remélem, segít nekik a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek „megértése” megoldásában:

Számkör

A számegyenes fogalma mellett ott van a fogalom is számkör. Mint tudjuk, téglalap alakú koordinátarendszerben azt a kört, amelynek középpontja a (0;0) pontban van és sugara 1, egységkörnek nevezzük. Képzeljük el a számegyenest vékony szálként, és tekerjük körbe: az origó (0. pont), tegyük a „helyes” pontba. egységkör, a pozitív féltengelyt az óramutató járásával ellentétes irányba, a negatívat pedig az óramutató járásával ellentétes irányba tekerjük (1. ábra). Az ilyen egységkört numerikus körnek nevezzük.

A számkör tulajdonságai

Minden valós szám a számkör egy pontján található.
A számkör minden pontjában végtelenül sok valós szám található. Mivel az egységkör hossza 2π, a kör egy pontjában lévő bármely két szám különbsége egyenlő a ±2π számok egyikével; ±4π ; ±6π ; ...

Következzünk: Az A pont egyik számának ismeretében megtalálhatjuk az A pont összes számát.

Rajzoljuk meg az AC átmérőjét (2. ábra). Mivel x_0 az A pont egyik száma, ezért az x_0±π számok; x_0±3π; x_0±5π; ... és csak ezek lesznek a C pont számai. Válasszunk ezek közül egyet, mondjuk x_0+π, és írjuk fel vele a C pont összes számát: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Vegyük észre, hogy az A és C pontban lévő számok egy képletben összevonhatók: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (ha k = 0; ±2; ±4; ... megkapjuk a az A pont, és ha k = ±1; ±3; ±5; … – a C pont számai).

Következzünk: ismerve az AC átmérő valamelyik A vagy C pontjában lévő számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot.

Két ellentétes szám található a kör azon pontjain, amelyek szimmetrikusak az abszcissza tengelyhez képest.

Rajzoljunk egy AB függőleges húrt (2. ábra). Mivel az A és B pont szimmetrikus az Ox tengelyre, az -x_0 szám a B pontban található, és ezért a B pont összes számát a következő képlet adja meg: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Az A és B pontban lévő számokat egy képlettel írjuk fel: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Következtetés: ismerve az AB függőleges húr egyik A vagy B pontjában lévő számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot. Tekintsük az AD vízszintes húrt, és keressük meg a D pont számait (2. ábra). Mivel BD egy átmérő, és az -x_0 szám a B ponthoz tartozik, akkor -x_0 + π a D pont egyik száma, ezért ennek a pontnak az összes számát az x_D=-x_0+π+ képlet adja meg. 2πk ,k∈Z. Az A és D pontokban lévő számok egy képlettel írhatók fel: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; … esetén az A pont számait kapjuk, k esetén pedig = ±1; ±3; ±5; … – a D pont számait).

Következzünk: ismerve az AD vízszintes húr egyik A vagy D pontjában található számok egyikét, ezeken a pontokon megtalálhatjuk az összes számot.

A számkör tizenhat fő pontja

A gyakorlatban a legtöbb legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldása egy kör tizenhat pontját foglalja magában (3. ábra). Mik ezek a pontok? Piros, kék és zöld pontok osztják a kört 12-re egyenlő részek. Mivel a félkör hossza π, akkor az A1A2 ív hossza π/2, az A1B1 ívé π/6, az A1C1 ívé pedig π/3.

Most egyszerre csak egy számot jelezhetünk:

π/3 a C1 és

A narancssárga négyzet csúcsai az egyes negyedek íveinek felezőpontjai, ezért az A1D1 ív hossza egyenlő π/4-gyel, és ezért π/4 a D1 pont egyik száma. A számkör tulajdonságait felhasználva képletekkel felírhatjuk körünk összes megjelölt pontjára az összes számot. Ezen pontok koordinátáit is jelöljük az ábrán (elsajátításuk leírását mellőzzük).

A fentiek megtanulása után már kellő felkészültséggel rendelkezünk speciális esetek megoldására (a szám kilenc értékére a) legegyszerűbb egyenletek.

Egyenletek megoldása

1)sinx=1⁄(2).

- Mit követelnek tőlünk?

– Keresse meg azokat az x számokat, amelyek szinusza egyenlő 1/2-vel.

Emlékezzünk a szinusz definíciójára: sinx – a számkör azon pontjának ordinátája, amelyen az x szám található. Két olyan pont van a körön, amelyek ordinátája egyenlő 1/2-vel. Ezek a B1B2 vízszintes húr végei. Ez azt jelenti, hogy a „oldja meg a sinx=1⁄2 egyenletet” követelmény egyenértékű a „keresse meg az összes számot a B1 pontban és az összes számot a B2 pontban” követelménnyel.

2)sinx=-√3⁄2 .

Meg kell találnunk az összes számot a C4 és C3 pontokban.

3) sinx=1. A körön csak egy pontunk van 1 ordinátával - A2 pont, ezért csak ennek a pontnak az összes számát kell megtalálnunk.

Válasz: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Csak az A_4 pont ordinátája -1. Ennek a pontnak az összes száma az egyenlet lovai lesz.

Válasz: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

A körön van két 0 ordinátájú pont - A1 és A3 pont. A számokat mindegyik pontnál külön-külön is feltüntetheti, de mivel ezek a pontok átlósan ellentétesek, jobb, ha összevonjuk őket egy képlettel: x=πk,k∈Z.

Válasz: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Emlékezzünk a koszinusz definíciójára: cosx a számkör azon pontjának abszcisszán, amelyen az x szám található. A körön van két pontunk √2⁄2 abszcisszával - a D1D4 vízszintes húr végei. Meg kell találnunk az összes számot ezeken a pontokon. Írjuk fel őket egy képletbe egyesítve.

Válasz: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Meg kell találnunk a számokat a C_2 és C_3 pontokban.

Válasz: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Csak az A2 és A4 pontok abszcissza 0, ami azt jelenti, hogy ezekben a pontokban az összes szám megoldása lesz az egyenletnek.
.

A rendszer egyenletének megoldásai a B_3 és B_4 pontokban lévő számok A cosx egyenlőtlenséghez<0 удовлетворяют только числа b_3
Válasz: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Vegye figyelembe, hogy x bármely megengedett értékénél a második tényező pozitív, ezért az egyenlet ekvivalens a rendszerrel

A rendszeregyenlet megoldásai a D_2 és D_3 pontok száma. A D_2 pont számai nem elégítik ki a sinx≤0,5 egyenlőtlenséget, a D_3 pont számai viszont igen.