A hullám egy rezgés (vagy más jel) térben történő terjedésének folyamata.

Képzeljük el például, hogy a sík minden pontján YOZ néhány fizikai paraméter idővel változik a harmonikus törvény szerint

Ennek az absztrakt paraméternek az oszcillációi terjedjenek a tengely mentén ÖKÖR sebességgel v(13.1. ábra). Aztán a síkban koordinátával x a kezdeti rezgések ismét megismétlődnek, de másodperces késéssel:

Rizs. 13.1.

A (13.1) függvényt síkhullám-egyenletnek nevezzük. Ez fontos funkciója gyakran így írják

Itt: E 0 és w - a hullám oszcillációinak amplitúdója és frekvenciája,

(w t – kx+ - hullám fázis,

a - kezdeti fázis,

Hullámszám,

v- hullámterjedési sebesség.

A tér azon pontjainak halmaza, amelyekben ugyanabban a fázisban rezgések lépnek fel, meghatározza fázisfelület. Példánkban ez egy sík.

(w t – kx+ = F = const - a fázisfelület mozgási egyenlete a hullámterjedés során. Vegyük ennek az egyenletnek a deriváltját az idő függvényében:

w – k= 0.

Itt = v f - a fázisfelület mozgási sebessége - fázissebesség.

= v f = .

Így a fázissebesség megegyezik a hullámterjedés sebességével.

Hullámfrontnak nevezzük azt a fázisfelületet, amely elválasztja a hullámfolyamat által lefedett teret attól a résztől, ahová a hullám még nem ért el. A hullámfront, mint az egyik fázisfelület, szintén fázissebességgel mozog. Ez a sebesség például egy akusztikus hullám levegőben 330 m/s, a fény (elektromágneses) hullámé vákuumban 3×10 8 m/s.

Hullámegyenlet E = E 0 × cos(w t – kx+ j) jelenti a megoldást differenciálhullám egyenlet. Ezt megtalálni differenciálegyenlet, a (13.2) hullámegyenletet kétszer differenciáljuk az idő függvényében, majd kétszer a koordináta szerint:

,

A két kifejezést összehasonlítva azt találjuk

.

De a hullámszám k= , tehát

. (13.3)

Ez a hullámfolyamat differenciálegyenlete - hullámegyenlet.

Még egyszer jegyezzük meg hullámegyenlet(13.2) van megoldás hullámegyenlet (13.3).

A hullámegyenlet természetesen így is felírható:

Most már nyilvánvaló, hogy a hullámegyenletben a második derivált koordinátához viszonyított együtthatója egyenlő a hullám fázissebességének négyzetével.

Ha a mozgás problémáját megoldva egy ilyen típusú differenciálegyenletet kapunk

akkor ez azt jelenti, hogy a vizsgált mozgás az természetes csillapított rezgések…

Ha egy szabályos feladat megoldása közben differenciálegyenlet keletkezik

akkor ez azt jelenti, hogy kivizsgálják hullám folyamat, és ennek a hullámnak a terjedési sebessége.

A legtöbb hullámmal kapcsolatos probléma esetén fontos ismerni a közeg különböző pontjainak rezgési állapotát egy vagy másik időpontban. A közegben lévő pontok állapotát akkor határozzuk meg, ha ismerjük rezgéseik amplitúdóit és fázisait. A keresztirányú hullámokhoz a polarizáció természetét is ismerni kell. Egy síkban lineárisan polarizált hullámhoz elegendő egy olyan kifejezés, amely lehetővé teszi a c(x, t) a közeg bármely pontjának egyensúlyi helyzetéből koordinátával X, bármikor t. Ezt a kifejezést hívják hullámegyenlet.

Rizs. 2.21.

Tekintsük az ún futó hullám, azok. egy meghatározott irányban (például az x tengely mentén) terjedő sík hullámfronttal rendelkező hullám. Hagyja, hogy a síkhullámok forrásával közvetlenül szomszédos közeg részecskéi a harmonikus törvény szerint oszcillálódjanak; %(0, /) = = LsobsoG (2.21. ábra). A 2.21. ábrán A keresztül ^(0, t) a rajzra merőleges síkban fekvő és a kiválasztott koordinátarendszerben koordinátával rendelkező közeg részecskéinek elmozdulását jelzi x= 0 időben t. Az idő origóját úgy választjuk meg, hogy a rezgések kezdeti fázisa, amelyet a koszinuszfüggvényen keresztül definiálunk, nullával egyenlő legyen. Tengely x a gerendával kompatibilis, pl. a rezgés terjedésének irányával. Ebben az esetben a hullámfront merőleges a tengelyre X, hogy az ebben a síkban fekvő részecskék egy fázisban rezegjenek. Maga a hullámfront egy adott közegben a tengely mentén mozog x sebességgel És hullámterjedés adott közegben.

Keressünk egy kifejezést? (x, t) a forrástól távol lévő közeg részecskéinek elmozdulása x távolságra. Ez az a távolság, amelyet a hullámfront megtesz

időben Következésképpen a forrástól távoli síkban elhelyezkedő részecskék oszcillációi. X, a forrással közvetlenül szomszédos részecskék oszcillációitól m-es mértékben késik az időben. Ezek a részecskék (x koordinátájú) szintén létrejönnek harmonikus rezgések. Csillapítás hiányában az amplitúdó A az oszcillációk (síkhullám esetén) nem fognak függni az x koordinátától, azaz.

Ez a szükséges egyenlet futóhullám melankóliája(nem tévesztendő össze az alább tárgyalt hullámegyenlettel!). Az egyenlet, mint már említettük, lehetővé teszi az elmozdulás meghatározását % az adott pillanatban x koordinátájú közeg részecskéi t. Az oszcilláció fázisa attól függ

két változón: a részecske x koordinátáján és az időn t. Egy adott fix időpillanatban a különböző részecskék rezgésének fázisai általában eltérőek lesznek, de azonosítani lehet azokat a részecskéket, amelyek rezgése ugyanabban a fázisban (fázisban) fog bekövetkezni. Feltételezhetjük azt is, hogy ezen részecskék rezgései közötti fáziskülönbség egyenlő 2 pont(Ahol t = 1, 2, 3,...). Legrövidebb távolság két, azonos fázisban oszcilláló, haladó hullámrészecske között ún hullámhossz X.

Keressük a hullámhossz összefüggést x a közegben a rezgések terjedését jellemző egyéb mennyiségekkel. A bevezetett hullámhossz-definíciónak megfelelően írhatunk

vagy rövidítések után Mivel , akkor

Ez a kifejezés lehetővé teszi a hullámhossz eltérő meghatározását: A hullámhossz az a távolság, amelyen a közeg részecskéinek rezgései a rezgések periódusával megegyező idő alatt terjednek.

A hullámegyenlet kettős periodicitást mutat: koordinátában és időben: ^(x, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = ​​Tx + pX, ml), Ahol Pete - bármilyen egész szám. Rögzítheti például a részecskék koordinátáit (fel x = const) és az elmozdulásukat tekintsük az idő függvényének. Vagy fordítva, rögzítsen egy pillanatot az időben (fogadja el t = const) és tekintsük a részecskék elmozdulását a koordináták függvényének (az elmozdulások pillanatnyi állapota egy hullám pillanatnyi fényképe). Tehát, amíg a mólón van, bármikor használhatja a fényképezőgépet t lefényképezni a tenger felszínét, de megteheti, ha egy chipet a tengerbe dob (vagyis rögzíti a koordinátát X), figyelemmel kíséri annak időbeli ingadozásait. Mindkét esetet grafikonok formájában mutatjuk be az ábrán. 2.21, a-c.

A (2.125) hullámegyenlet másképp írható át

A kapcsolatot jelölik Nak nekés úgy hívják hullámszám

Mert , Azt

A hullámszám tehát azt mutatja meg, hogy hány hullámhossz fér bele egy 2l egységnyi hosszúságú szegmensbe. Ha a hullámszámot bevezetjük a hullámegyenletbe, megkapjuk a pozitív irányba haladó hullám egyenletét Ó hullámok a leggyakrabban használt formában

Keressünk egy kifejezést két különböző hullámfelülethez tartozó részecske rezgésének Der fáziskülönbségére xés x 2. A (2.131) hullámegyenlet segítségével felírjuk:

Ha (2.130) szerint jelöljük vagy

Egy tetszőleges irányban terjedő síkban haladó hullámot ír le általános eset egyenlet

Ahol G-sugárvektor az origótól a hullámfelületen fekvő részecskére húzva; Nak nek - egy hullámvektor, amely nagysága megegyezik a hullámszámmal (2,130), és irányában egybeesik a hullámterjedés irányában a hullámfelület normáljával.

Az is lehetséges összetett forma a hullámegyenlet felírása. Így például a tengely mentén terjedő síkhullám esetén x

és általános esetben tetszőleges irányú síkhullám

A hullámegyenlet bármelyik felsorolt ​​formában megkapható egy differenciálegyenlet megoldásaként, ún. hullámegyenlet. Ha ismerjük ennek az egyenletnek a megoldását a (2.128) vagy a (2.135) formában - a haladó hullám egyenlet, akkor magát a hullámegyenletet nem nehéz megtalálni. Differenciáljunk 4(x, t) = %(2.135)-ből kétszer koordinátában és kétszer időben, és megkapjuk

kifejezve?, a kapott deriváltakon keresztül és az eredményeket összehasonlítva kapjuk

A (2.129) összefüggést szem előtt tartva írjuk

Ez a hullámegyenlet az egydimenziós esethez.

BAN BEN Általános nézet Mert?, = c(x, y, z,/) hullámegyenlet in Derékszögű koordinátákúgy néz ki

vagy tömörebb formában:

ahol D a Laplace differenciáloperátor

Fázis sebessége az azonos fázisban oszcilláló hullámpontok terjedési sebessége. Más szóval, ez a „taréj”, „vályú” vagy a hullám bármely más pontjának mozgási sebessége, amelynek fázisa rögzített. Ahogy korábban megjegyeztük, a hullámfront (és így minden hullámfelület) a tengely mentén mozog Ó sebességgel És. Következésképpen a közegben a rezgések terjedési sebessége egybeesik az adott rezgésfázis mozgási sebességével. Ezért a sebesség És,összefüggés határozza meg (2.129), azaz.

általában hívják fázissebesség.

Ugyanezt az eredményt kaphatjuk, ha megtaláljuk a közegben azon pontok sebességét, amelyek kielégítik az állandó fázisú co/ - fee = const feltételt. Innen megtaláljuk a koordináta időfüggőségét (co/ - const) és ennek a fázisnak a mozgási sebességét

ami egybeesik (2.142).

Negatív tengelyirányban terjedő síkban haladó hullám Ó, egyenlettel írjuk le

Valójában ebben az esetben a fázissebesség negatív

Egy adott közegben a fázissebesség függhet a forrás rezgési frekvenciájától. A fázissebesség frekvenciától való függését ún diszperzió,és azokat a környezeteket, amelyekben ez a függőség fellép, ún diszpergáló közeg. Nem szabad azonban azt gondolni, hogy a (2.142) kifejezés a jelzett függőség. A lényeg az, hogy diszperzió hiányában a hullámszám Nak nek közvetlen arányban

-val és ezért . Diszperzió csak akkor következik be, ha ω attól függ Nak nek nemlineáris).

Utazó síkhullámnak nevezzük egyszínű (egy frekvenciával), ha a forrásban a rezgések harmonikusak. A monokromatikus hullámok egy (2.131) alakú egyenletnek felelnek meg.

Monokróm hullám esetén a szögfrekvencia co és amplitúdója A ne függjenek az időtől. Ez azt jelenti, hogy egy monokromatikus hullám térben korlátlan, időben pedig végtelen, azaz. egy idealizált modell. Bármely valódi hullám, függetlenül attól, hogy milyen gondosan tartják fenn a frekvencia és az amplitúdó állandóságát, nem monokromatikus. Egy valós hullám nem tart a végtelenségig, hanem bizonyos időpontokban egy adott helyen kezdődik és ér véget, és ezért egy ilyen hullám amplitúdója az idő és a hely koordinátáinak függvénye. Azonban minél hosszabb az az időintervallum, amely alatt a rezgések amplitúdóját és frekvenciáját állandó értéken tartják, annál közelebb áll ez a hullám a monokromatikushoz. A gyakorlatban gyakran monokromatikus hullámnak nevezik a hullám kellően nagy szegmensét, amelyen belül a frekvencia és az amplitúdó nem változik, ahogy az ábrán egy szinuszhullám szegmense látható, és ezt szinuszhullámnak nevezik.

Kéziratként

Fizika

Előadásjegyzet

(5. rész Hullámok, hullámoptika)

Diákoknak irány 230400

« Információs rendszerekés a technológia"

Elektronikus oktatási forrás

Összeállította: Ph.D., egyetemi docens V.V. Konovalenko

1. számú jegyzőkönyv 2013.09.04

Hullámfolyamatok

Alapfogalmak és definíciók

Nézzünk néhány rugalmas közeget - szilárd, folyékony vagy gáznemű. Ha a részecskéinek rezgései ennek a közegnek bármely helyén gerjesztődnek, akkor a részecskék közötti kölcsönhatás miatt a rezgések a közeg egyik részecskéjéből a másikba átadva bizonyos sebességgel terjednek a közegben. Folyamat a rezgések térbeli terjedését ún hullám .

Ha egy közegben a részecskék a hullám terjedésének irányában oszcillálnak, akkor azt ún hosszirányú Ha a hullám terjedési irányára merőleges síkban részecskerezgés lép fel, akkor a hullám ún. átlós . Átlós mechanikai hullámok csak nem nulla nyíró modulusú közegben keletkezhet. Ezért folyékony és gáznemű közegben is terjedhetnek csak hosszanti hullámok . A longitudinális és a keresztirányú hullámok közötti különbség a legvilágosabban a rezgések rugóban való terjedésének példáján látszik – lásd az ábrát.

A keresztirányú rezgések jellemzéséhez be kell állítani a pozíciót a térben az oszcilláció irányán és a hullámterjedés irányán átmenő sík - polarizációs sík .

A térnek azt a tartományát nevezzük, amelyben a közeg összes részecskéje rezeg hullámmező . A hullámtér és a közeg többi része közötti határt ún hullámfront . Más szavakkal, hullámfront - azoknak a pontoknak a geometriai helye, amelyekre az oszcillációk egy adott időpontban eljutottak. Homogén és izotróp közegben a hullámterjedés iránya az merőleges a hullámfrontra.

Amíg a közegben hullám van, a közeg részecskéi egyensúlyi helyzetük körül oszcillálnak. Legyenek ezek az oszcillációk harmonikusak, és ezeknek a rezgéseknek a periódusa az T. Távolsággal elválasztott részecskék

a hullámterjedés iránya mentén ugyanúgy oszcillálni, azaz. az idő bármely pillanatában az elmozdulásaik azonosak. A távolságot ún hullámhossz . Más szavakkal, hullámhossz az a távolság, amelyet egy hullám egy rezgési periódus alatt megtesz .

Az azonos fázisban oszcilláló pontok geometriai elhelyezkedését ún hullámfelület . Hullámfront - különleges eset hullámfelület. Hullámhossz – minimum két hullámfelület távolsága, amelyben a pontok ugyanúgy rezegnek, vagy mondhatjuk úgy oszcillációik fázisai különböznek egymástól .

Ha a hullámfelületek síkok, akkor a hullámot ún lakás , ha pedig gömbök szerint, akkor gömbölyű. A síkhullámot folytonos homogén és izotróp közegben rezgések gerjesztik végtelen sík. A gömbfelület gerjesztése ábrázolható egy gömbfelület sugárirányú pulzációi, valamint a hatás eredményeként pontforrás, melynek méretei a megfigyelési pont távolságához képest elhanyagolhatók. Mivel minden valódi forrásnak véges méretei vannak, kellően nagy távolságban tőle a hullám közel lesz a gömb alakúhoz. Ugyanakkor a gömbhullám hullámfelületének szakasza méretének csökkenésével tetszőlegesen közel kerül a síkhullám hullámfelületének metszetéhez.

A síkhullám terjedésének egyenlete

Bármilyen irányban

Megkapjuk. Legyen a hullámfelületekkel párhuzamos és a koordináták origóján átmenő síkban a rezgések alakja:

Az origótól távolságra lévő síkban l, az oszcillációk időben késni fognak. Ezért ezen a síkon az oszcillációk egyenlete a következő:

Tól től analitikus geometria ismert, hogy a koordináták origójától egy bizonyos síkhoz mért távolság egyenlő skaláris szorzat a sík egy bizonyos pontjának sugárvektora a síkra merőleges egységvektorra: . Az ábra ezt a helyzetet szemlélteti egy kétdimenziós esetre. Cseréljük ki az értéket l a (22.13) egyenletbe:

(22.14)

A hullámszámmal egyenlő nagyságú és a hullámfelületre merőleges vektort nevezzük hullám vektor . A síkhullám egyenlet most így írható fel:

A (22.15) függvény egy sugárvektorral rendelkező pont egyensúlyi helyzetétől való eltérést adja meg az időpillanatban t. Ahhoz, hogy a koordinátáktól és az időtől való függést egyértelműen ábrázolhassuk, ezt figyelembe kell venni

. (22.16)

Most a síkhullám-egyenlet a következő alakot ölti:

Gyakran hasznosnak találták ábrázolják a hullámegyenletet exponenciális formában . Ehhez az Euler-képletet használjuk:

ahol , a (22.15) egyenletet a következő formában írjuk fel:

. (22.19)

Hullámegyenlet

Bármely hullám egyenlete egy másodrendű differenciálegyenlet megoldása, amelyet ún hullám . Az egyenlet alakjának megállapításához megtaláljuk a második deriváltot a (22.17) síkhullám-egyenlet minden argumentumára vonatkozóan:

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Adjuk hozzá az első három egyenletet a koordinátákra vonatkozó deriváltokkal:

. (22.24)

Fejezzük ki a (22.23) egyenletből: és vegye figyelembe, hogy:

(22.25)

A második derivált összegét a (22.25) bal oldalán a Laplace-operátor műveletének eredményeként mutatjuk be, és a végső formában adjuk meg. hullámegyenlet mint:

(22.26)

Figyelemre méltó, hogy a hullámegyenletben Négyzetgyök az időderivált együtthatójának reciproka adja a hullámterjedési sebességet.

Megmutatható, hogy a (22.26) hullámegyenletet bármelyik függvény teljesíti, amelynek alakja:

És mindegyik az hullámegyenletet és egy bizonyos hullámot ír le.

Rugalmas hullám energia

Tekintsünk egy olyan közegben, amelyben egy rugalmas hullám (22.10) terjed, elég kicsi elemi térfogatot ahhoz, hogy a benne lévő részecskék alakváltozása és sebessége állandónak és egyenlőnek tekinthető:

A közegben történő hullámterjedés miatt a térfogat rugalmas alakváltozási energiával rendelkezik

(22.38)

A (22.35) pontnak megfelelően a Young-modulus így ábrázolható. Ezért:

. (22.39)

A vizsgált térfogatnak kinetikus energiája is van:

. (22.40)

Teljes térfogati energia:

És az energiasűrűség:

, A (22.43)

Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket (22.42)-be, és vegyük figyelembe, hogy:

És így, Az energiasűrűség a tér különböző pontjain eltérő, és idővel a szinusz négyzetének törvénye szerint változik.

A szinusz négyzetének átlagértéke 1/2, ami azt jelenti átlagos idővel az energiasűrűség értéke a közeg minden pontjában , amelyben a hullám terjed:

. (22.45)

A (22.45) kifejezés minden hullámtípusra érvényes.

Így, a közeg, amelyben a hullám terjed, további energiaellátással rendelkezik. Ennélfogva, a hullám energiát visz magával .

X.6 Dipólussugárzás

Oszcilláló elektromos dipólus, azaz a dipólus, amelynek elektromos momentuma periodikusan változik, például egy harmonikus törvény szerint, a legegyszerűbb elektromágneses hullámokat kibocsátó rendszer. Az egyik fontos példák Az oszcilláló dipólus egy negatív töltésből álló rendszer, amely a pozitív töltés közelében oszcillál. Pontosan ez az a helyzet, amikor elektromágneses hullám hat egy anyag atomjára, amikor a hullámtér hatására az atommag közelében elektronok rezegnek.

Tegyük fel, hogy a dipólusmomentum egy harmonikus törvény szerint változik:

hol van a negatív töltés sugárvektora, l- az oszcilláció amplitúdója, - a dipólus tengelye mentén irányított egységvektor.

Korlátozzuk magunkat a mérlegelésre elemi dipólus , amelynek méretei kicsik a kibocsátott hullámhosszhoz képestés fontolja meg hullámzóna dipólusok, azaz. térrégió, amelyre egy pont sugárvektorának modulusa . A homogén és izotróp közeg hullámzónájában a hullámfront gömb alakú lesz - 22.4. ábra.

Az elektrodinamikai számítások azt mutatják, hogy a hullámvektor a vizsgált pont dipólustengelyén és sugárvektorán átmenő síkban fekszik. Az amplitúdók és a távolságtól függenek r valamint a dipólus és a dipólus tengelye közötti szög. Vákuumban

Mivel a Poynting-vektor az

, (22.33)

és vitatható, hogy a dipólus azokban az irányokban sugárzik a legerősebben, amelyek megfelelnek a, és sugárzási minta A dipólusnak a 22.5. ábrán látható formája van. Irányított minta hívott grafikus kép a sugárzási intenzitás különböző irányú eloszlása ​​egy olyan görbe formájában, amely úgy van megszerkesztve, hogy a dipólustól egy bizonyos irányban a görbe egy pontjáig húzott nyalábszakasz hossza arányos a sugárzás intenzitásával.

A számítások is ezt mutatják erő R A dipólussugárzás arányos a második idő deriváltjának négyzetével dipólmomentum :

Mert a

, (22.35)

Hogy átlagos teljesítmény

kiderül a dipólusmomentum amplitúdójának négyzetével arányos és a frekvencia negyedik hatványa.

Másrészt figyelembe véve azt , ezt értjük a sugárzási teljesítmény arányos a gyorsulás négyzetével:

Ez az állítás nemcsak a töltésrezgésekre igaz, hanem az önkényes töltésmozgásra is.

Hullám optika

Ebben a részben olyan fényjelenségekkel foglalkozunk, amelyekben a fény hullámtermészete megnyilvánul. Emlékezzünk vissza, hogy a fényre a hullám-részecske kettősség jellemző, és vannak olyan jelenségek, amelyek csak a fény, mint részecskeáramlás elképzelése alapján magyarázhatók. De megvizsgáljuk ezeket a jelenségeket a kvantumoptikában.

Általános információ a fényről

Tehát a fényt elektromágneses hullámnak tekintjük. BAN BEN elektromágneses hullám ingadozik és . Kísérletileg megállapították, hogy a fény élettani, fotokémiai, fotoelektromos és egyéb hatásait a fényhullám vektora határozza meg, ezért nevezik fénynek. Ennek megfelelően feltételezzük, hogy a fényhullámot a következő egyenlet írja le:

hol az amplitúdó,

- hullámszám (hullámvektor),

Távolság a terjedési irány mentén.

Azt a síkot, amelyben oszcillál, ún oszcilláció síkja. A fényhullám sebességgel halad

, (2)

hívott törésmutatója, és az adott közegben lévő fénysebesség és a vákuumban (ürességben) lévő fénysebesség különbségét jellemzi.

A legtöbb esetben az átlátszó anyagok mágneses permeabilitással rendelkeznek, és a törésmutató szinte mindig a közeg dielektromos állandója által meghatározottnak tekinthető:

Jelentése n jellemzésére használják optikai sűrűség Szerda: minél nagyobb n, annál optikailag sűrűbbnek nevezzük a közeget .

A látható fény hullámhossza a tartományba esik és a frekvenciák

Hz

A valódi fényvevők nem képesek nyomon követni az ilyen múló folyamatokat és rögzíteni időátlagos energiaáram . A-priory , fényintenzitás a fényhullám által átvitt energiaáram-sűrűség időátlagos értékének modulusa :

(4)

Mivel elektromágneses hullámban

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

I ~ A 2(8)

Sugarak nevezzük azokat az egyeneseket, amelyek mentén a fényenergia terjed.

Az átlagos energiaáramlás vektora mindig tangenciálisan irányul a nyalábba. Izotróp közegben iránya egybeesik a hullámfelületek normáljával.

Természetes fényben vannak hullámok, amelyek a rezgéssík irányában nagyon eltérőek. Ezért a fényhullámok keresztirányú természete ellenére a hagyományos fényforrások sugárzása nem mutat aszimmetriát a terjedési irány tekintetében. A (természetes) fény ezen tulajdonsága a következőkkel magyarázható: a forrásból eredő fényhullám különböző atomok által kibocsátott hullámokból áll. Minden atom másodperceken belül hullámot bocsát ki. Ezalatt a tér kialakul hullámszéria ("púpok és vályúk" sorozata) körülbelül 3 méter hosszú.

Az egyes vonatok lengéssíkja egészen határozott. Ugyanakkor hatalmas számú atom bocsátja ki a vonatait, és mindegyik vonat rezgéssíkja a többitől függetlenül, véletlenszerűen orientálódik. Ezért a keletkező hullámban a testtől különböző irányú oszcillációkat mutatunk be egyenlő valószínűséggel. Ez azt jelenti, ha valamilyen eszközzel vizsgálod a fény intenzitását különböző vektor orientációkkal, akkor természetes fényben az intenzitás nem függ a tájolástól .

Az intenzitás mérése a hullám periódusához képest hosszú folyamat, és a természetes fény természetére vonatkozó átgondolt elképzelések kényelmesek a meglehetősen hosszú folyamatok leírásánál.

Azonban in Ebben a pillanatban idő a tér egy meghatározott pontjában, az egyes vonatok vektorainak összeadása eredményeként egy bizonyos specifikus alakul ki. Az egyes atomok véletlenszerű „bekapcsolása” és „kikapcsolása” miatt a fényhullám adott pontban egy harmonikushoz közeli rezgést gerjeszt, de a rezgések amplitúdója, frekvenciája és fázisa időfüggő és kaotikusan változik. Az oszcillációs sík tájolása is kaotikusan változik yy. Így a fényvektor oszcillációi a közeg egy adott pontjában a következő egyenlettel írhatók le:

(9)

Sőt, és időben kaotikusan változó funkciók vannak ii. A természetes fénynek ez a gondolata kényelmes, ha a fényhullám periódusához hasonló időszakokat vesszük figyelembe.

Azt a fényt, amelyben a vektoroszcilláció irányai valamilyen módon rendezettek, nevezzük polarizált.

Ha a fényvektor oszcillációi lépnek fel csak egy síkbanáthalad a sugáron, akkor a fényt ún lakás - vagy lineárisan polarizált. Más szóval, síkban polarizált fényben a rezgéssíknak szigorúan rögzített helyzete van. Más típusú rendezés is lehetséges, vagyis a fény polarizációjának típusai.

Huygens elve

A geometriai optikai közelítésben a fénynek nem szabad behatolnia a geometriai árnyéktartományba. Valójában a fény behatol erre a területre, és ez a jelenség annál jelentősebb, minél kisebbek az akadályok. Ha a lyukak vagy rések méretei összemérhetőek a hullámhosszal, akkor geometriai optika nem alkalmazható.

A fény akadály mögötti viselkedését minőségileg a Huygens-elv magyarázza, amely lehetővé teszi a hullámfront egy pillanat alatti megalkotását egy ismert pozícióból egy pillanat alatt.

A Huygens-elv szerint minden olyan pont, ahová a hullámmozgás eljut, másodlagos hullámok pontforrásává válik. A másodlagos hullámok frontjai mentén látható burkológörbe adja meg a hullámfront helyzetét.

A fény interferencia

A közeg egy pontján két hullám (síkpolarizált) gerjeszt két rezgést ugyanaz a frekvencia és az irány:

És . (24.14)

A keletkező rezgés amplitúdóját a következő kifejezés határozza meg:

Inkoherens hullámok esetén véletlenszerűen változik, és minden érték egyformán valószínű. Ezért a (24.15)-ből a következő:

6 Ha a hullámok koherensek és , akkor

De ez attól függ, - a hullámforrásoktól egy adott pontig megtett út hossza és különböző a környezet különböző pontjain. Ennélfogva, koherens hullámok egymásra helyezésekor újraeloszlás következik be fényáram térben, aminek következtében a közeg egyes pontjain a fény intenzitása nő, máshol pedig csökken -. Ezt a jelenséget az ún interferencia.

A mindennapi életben való interferencia hiányát több fényforrás használata esetén ezek magyarázzák következetlenség. Az egyes atomok impulzusokat bocsátanak ki c számára, és a vonat hossza ≈ 3 méter. Az új vonat esetében nemcsak a polarizációs sík tájolása véletlenszerű, hanem a fázis is kiszámíthatatlan.

A valóságban koherens hullámokat úgy kapunk, hogy egy forrás sugárzását két részre osztjuk. Amikor az alkatrészek egymásra vannak helyezve, interferencia figyelhető meg. De ebben az esetben az optikai hosszúságok szétválasztása nem lehet a vonat hosszának nagyságrendje. Ellenkező esetben nem lesz interferencia, mert különböző vonatok egymásra helyezkednek.

Legyen az O pontban az elválasztás, a P pontban pedig a szuperpozíció. Az oszcillációk a P pontban gerjesztődnek.

És (24.17)

A hullámterjedés sebessége a releváns közegekben.

Külön fázisok egy ponton R:

hol a fény hullámhossza vákuumban.

Az érték, i.e. a vizsgált pontok közötti optikai úthossz különbséggel egyenlő ún optikai út különbség.

majd , in (24.16) egyenlő eggyel, és a fényerősség maximális lesz.

(24.20)

Hogy , az oszcillációk egy ponton az antifázisban fordulnak elő, ami azt jelenti, hogy a fény intenzitása minimális.

KOHERENCIA

Koherencia – két vagy több hullámfolyamat összehangolt előfordulása. Soha nem létezik abszolút következetesség, ezért beszélhetünk különböző fokú koherenciáról.

Van időbeli és térbeli koherencia.

Időbeli koherencia

Valóshullám-egyenlet

A hullámok interferenciáját a következő alakú egyenletekkel írtuk le:

(1)

Az ilyen hullámok azonban matematikai absztrakció, mivel az (1) által leírt hullámnak időben és térben végtelennek kell lennie. A mennyiségek csak ebben az esetben lehetnek határozott állandók.

A különböző atomokból származó sorozatok szuperpozíciójából létrejövő valós hullám olyan komponenseket tartalmaz, amelyek frekvenciája véges frekvenciatartományban van (illetve hullámvektorok -ben), és folyamatos kaotikus változásokat tapasztal. Valamikor átfedéssel gerjesztett oszcillációk igazi hullámok, a következő kifejezéssel írhatók le:

És (2)

Ezen túlmenően, a függvények időbeli kaotikus változásai (2) függetlenek.

Az elemzés egyszerűsége érdekében feltételezzük, hogy a hullámamplitúdók állandóak és azonosak (ezt a feltételt kísérletileg meglehetősen egyszerűen megvalósítják):

A frekvencia- és fázisváltozások csak a frekvencia vagy csak a fázis változásaira redukálhatók. Valójában tegyük fel, hogy a (2) függvények inharmonitását fázisugrások okozzák. De a matematikában bizonyíthatóak szerint Fourier-tétel, bármely nem-harmonikus függvény ábrázolható harmonikus komponensek összegeként, amelyek frekvenciáit néhány . Határesetben az összeg egy integrálba kerül: bármely véges és integrálható függvény ábrázolható a Fourier integrállal:

, (3)

Ahol a frekvencia harmonikus összetevőjének amplitúdója, analitikusan a reláció határozza meg:

(4)

Tehát egy olyan függvény, amely a fázisváltozás miatt nem harmonikus, olyan harmonikus komponensek szuperpozíciójaként ábrázolható, amelyek frekvenciája néhány helyen van.

Másrészt egy változó frekvenciájú és fázisú függvény redukálható egy csak fázisváltozós funkcióra:

Ezért a további elemzés megszelídítése érdekében feltételezzük:

azaz megvalósítjuk fázis megközelítés az „Időbeli koherencia” fogalmához.

Egyenlő lejtésű sávok

Legyen egy vékony sík-párhuzamos lemez diffúz megvilágítása egyszínű fény. Helyezzen egy gyűjtőlencsét párhuzamosan a lemezzel, fókuszsíkjában - képernyő. A szórt fény sokféle irányból származó sugarakat tartalmaz. A szögben beeső sugarak 2 visszavert sugarat hoznak létre, amelyek a pontban konvergálnak. Ez a lemez felületére adott szögben, a lemez minden pontján beeső összes sugárra igaz. A lencse biztosítja, hogy az összes ilyen sugár egy pontba konvergáljon, mivel a lencsére bizonyos szögben beeső párhuzamos sugarakat a fókuszsík egy pontjában gyűjti össze, azaz. a képernyőn. Az O pontban a lencse optikai tengelye metszi a képernyőt. Ezen a ponton az optikai tengellyel párhuzamosan futó sugarakat gyűjtik össze.

A szögben beeső sugarak, de nem a rajz síkjában, hanem más síkban, olyan pontokban fognak konvergálni, amelyek a ponttól azonos távolságra vannak, mint a pont. Ezen sugarak interferenciája következtében a ponttól bizonyos távolságban egy bizonyos intenzitású beeső fény kör alakul ki. A különböző szögben beeső sugarak egy kört alkotnak a képernyőn eltérő megvilágítással, ami az optikai útkülönbségüktől függ. Ennek eredményeként váltakozó sötét és világos kör alakú csíkok képződnek a képernyőn. Mindegyik kört bizonyos szögben beeső sugarak alkotják, és ezeket nevezzük egyenlő lejtésű csíkok. Ezek a sávok a végtelenben vannak lokalizálva.

A lencse szerepét a lencse, a képernyő szerepét pedig a retina töltheti be. Ebben az esetben a szemnek a végtelenségig kell alkalmazkodnia. Fehér fényben többszínű csíkok keletkeznek.

Egyenlő vastagságú csíkok

Vegyünk egy ék alakú tányért. Hadd essen rá párhuzamos fénysugár. Tekintsük a lemez felső és alsó felületéről visszaverődő sugarakat. Ha ezeket a sugarakat egy lencse egy ponton összehozza, interferálnak. A lemezfelületek közötti kis szögben a sugarak útjában lévő különbség kiszámítható az űrlap segítségével
le síkpárhuzamos lemezhez. A sugárnak a lemez egy másik pontjára történő beeséséből keletkező sugarakat a lencse a ponton fogja össze. A löketük különbségét a megfelelő helyen lévő lemez vastagsága határozza meg. Bizonyítható, hogy minden P típusú pont ugyanabban a síkban van, amely áthalad az ék csúcsán.

Ha a képernyőt úgy helyezi el, hogy az konjugáljon a felülettel, amelyen a P, P 1 P 2 pontok találhatók, akkor világos és sötét csíkok rendszere jelenik meg rajta, amelyek mindegyike a lemezről való visszaverődés következtében jön létre. bizonyos vastagságú helyeken. Ezért ebben az esetben a csíkokat hívják azonos vastagságú csíkok.

Fehér fényben megfigyelve a csíkok színesek lesznek. Azonos vastagságú szalagok a lemez felületéhez közel helyezkednek el. Normál fényesés esetén - a felszínen.

Valós körülmények között a szappan- és olajfilmek színének megfigyelésekor vegyes csíkok figyelhetők meg.

A fény diffrakciója.

27.1. A fény diffrakciója

Diffrakcióhívottéles optikai inhomogenitású közegben megfigyelt jelenségek halmaza, amelyek a fény terjedésének a geometriai optika törvényeitől való eltérésével járnak. .

A diffrakció megfigyelésére egy átlátszatlan gátat helyeznek el egy bizonyos forrásból származó fényhullám útja mentén, amely lefedi a forrás által kibocsátott hullám hullámfelületének egy részét. Feltörekvő diffrakciós mintázat a sugarak folytatása mentén elhelyezkedő képernyőn figyelhető meg.

A diffrakciónak két típusa van. Ha a forrásból és az akadályból a megfigyelési pont felé érkező sugarak szinte párhuzamosnak tekinthetők, akkor ezt mondjákFraunhofer diffrakció, vagy diffrakció párhuzamos nyalábokban. Ha a Fraunhofer-diffrakciós feltételek nem teljesülnek,beszéljünk a Fresnel diffrakcióról.

Világosan meg kell értenünk, hogy nincs alapvető fizikai különbség az interferencia és a diffrakció között. Mindkét jelenséget az egymást átfedő koherens fényhullámok energiájának újraeloszlása ​​okozza. Általában véges szám figyelembevételekor diszkrét források fény, akkor beszélnek interferencia . Ha a hullámok szuperpozíciója abból a térben folyamatosan elosztott koherens források aztán arról beszélnek diffrakció .

27.2. Huygens–Fresnel elv

A Huygens-elv elvileg lehetővé teszi a fény behatolásának magyarázatát a geometriai árnyék tartományába, de nem mond semmit a hullámok terjedésének intenzitásáról. különféle irányokba. Fresnel kiegészítette a Huygens-elvet azzal, hogy hogyan kell kiszámítani a hullámfelületi elem különböző irányú sugárzásának intenzitását, valamint jelezte, hogy a másodlagos hullámok koherensek, és amikor a fény intenzitását egy bizonyos ponton számítják ki, figyelembe kell venni a másodlagos hullámok interferenciáját. .

Hullámfolyamatok

Alapfogalmak és definíciók

Nézzünk néhány rugalmas közeget - szilárd, folyékony vagy gáznemű. Ha a részecskéinek rezgései ennek a közegnek bármely helyén gerjesztődnek, akkor a részecskék közötti kölcsönhatás miatt a rezgések a közeg egyik részecskéjéből a másikba átadva bizonyos sebességgel terjednek a közegben. Folyamat a rezgések térbeli terjedését ún hullám .

Ha egy közegben a részecskék a hullám terjedésének irányában oszcillálnak, akkor azt ún hosszirányú Ha a hullám terjedési irányára merőleges síkban részecskerezgés lép fel, akkor a hullám ún. átlós . Keresztirányú mechanikai hullámok csak nem nulla nyíró modulusú közegben keletkezhetnek. Ezért folyékony és gáznemű közegben is terjedhetnek csak hosszanti hullámok . A longitudinális és a keresztirányú hullámok közötti különbség a legvilágosabban a rezgések rugóban való terjedésének példáján látszik – lásd az ábrát.

A keresztirányú rezgések jellemzéséhez be kell állítani a pozíciót a térben az oszcilláció irányán és a hullámterjedés irányán átmenő sík - polarizációs sík .

A térnek azt a tartományát nevezzük, amelyben a közeg összes részecskéje rezeg hullámmező . A hullámtér és a közeg többi része közötti határt ún hullámfront . Más szavakkal, hullámfront - azoknak a pontoknak a geometriai helye, amelyekre az oszcillációk egy adott időpontban eljutottak. Homogén és izotróp közegben a hullámterjedés iránya az merőleges a hullámfrontra.

Amíg a közegben hullám van, a közeg részecskéi egyensúlyi helyzetük körül oszcillálnak. Legyenek ezek az oszcillációk harmonikusak, és ezeknek a rezgéseknek a periódusa az T. Távolsággal elválasztott részecskék

a hullámterjedés iránya mentén ugyanúgy oszcillálni, azaz. az idő bármely pillanatában az elmozdulásaik azonosak. A távolságot ún hullámhossz . Más szavakkal, hullámhossz az a távolság, amelyet egy hullám egy rezgési periódus alatt megtesz .

Az azonos fázisban oszcilláló pontok geometriai elhelyezkedését ún hullámfelület . A hullámfront a hullámfelület speciális esete. Hullámhossz – minimum két hullámfelület távolsága, amelyben a pontok ugyanúgy rezegnek, vagy mondhatjuk úgy oszcillációik fázisai különböznek egymástól .

Ha a hullámfelületek síkok, akkor a hullámot ún lakás , ha pedig gömbök szerint, akkor gömbölyű. Egy síkhullám gerjesztődik folytonos homogén és izotróp közegben, amikor egy végtelen sík oszcillál. A gömbfelület gerjesztése ábrázolható egy gömbfelület sugárirányú pulzációi, valamint a hatás eredményeként pontforrás, melynek méretei a megfigyelési pont távolságához képest elhanyagolhatók. Mivel minden valódi forrásnak véges méretei vannak, kellően nagy távolságban tőle a hullám közel lesz a gömb alakúhoz. Ugyanakkor a gömbhullám hullámfelületének szakasza méretének csökkenésével tetszőlegesen közel kerül a síkhullám hullámfelületének metszetéhez.

Sík- és gömbhullámok egyenletei

Hullámegyenlet egy olyan kifejezés, amely egy rezgőpont elmozdulását határozza meg a pont és az idő egyensúlyi helyzetének koordinátáinak függvényében:

Ha a forrás vállalja időszakos oszcilláció, akkor a (22.2) függvénynek lennie kell periodikus függvényés koordináták és idő. Az időbeli periodicitás abból következik, hogy a függvény koordinátákkal írja le egy pont periodikus rezgéseit; periodicitás koordinátákban - attól a ténytől, hogy a hullámterjedés iránya mentén bizonyos távolságra elhelyezkedő pontok oszcillálnak ugyanúgy

Korlátozzuk magunkat a harmonikus hullámok figyelembevételére, amikor a közeg pontjai harmonikus rezgéseket hajtanak végre. Megjegyzendő, hogy bármely nem harmonikus függvény ábrázolható a harmonikus hullámok szuperpozíciójának eredményeként. Ezért csak a harmonikus hullámok figyelembevétele nem vezet a kapott eredmények általánosságának alapvető romlásához.

Vegyünk egy síkhullámot. Válasszunk olyan koordinátarendszert, hogy a tengely Ó egybeesett a hullámterjedés irányával. Ekkor a hullámfelületek merőlegesek lesznek a tengelyre Óés mivel a hullámfelület minden pontja egyformán rezeg, a közeg pontjainak elmozdulása az egyensúlyi helyzetekből csak attól függ majd x és t:

Legyen a síkban elhelyezkedő pontok rezgései a következő formában:

(22.4)

Rezgések egy távolságban elhelyezkedő síkban x az eredettől, az oszcillációtól való időbeli lemaradás abban az időtartamban, amely a hullám megtételéhez szükséges X,és az egyenlet írja le őket

ami az Ox tengely irányában terjedő síkhullám egyenlete.

A (22.5) egyenlet levezetésekor a rezgések amplitúdóját minden ponton azonosnak feltételeztük. Síkhullám esetén ez akkor igaz, ha a hullámenergiát nem nyeli el a közeg.

Tekintsük a fázis értékét a (22.5) egyenletben:

(22.6)

A (22.6) egyenlet megadja az idő közötti összefüggést tés hely - x, amiben meghatározott értéket szakasz jelenleg zajlik. A (22.6) egyenlet alapján meghatározva azt a sebességet, amellyel egy adott fázisérték mozog. Differenciálva (22.6) a következőket kapjuk:

Ahol a következő (22.7)

Hullámegyenlet egy egyenlet, amely egy hullámfolyamatban részt vevő oszcilláló részecske elmozdulásának az egyensúlyi helyzete és idő koordinátáitól való függését fejezi ki:

Ennek a függvénynek periodikusnak kell lennie mind az idő, mind a koordináták tekintetében. Ezen túlmenően, távolságban található pontok l egymástól, ugyanúgy oszcillálnak.

Keressük meg a függvény típusát x síkhullám esetén.

Tekintsünk egy síkharmonikus hullámot, amely a tengely pozitív irányában terjed olyan közegben, amely nem nyel el energiát. Ebben az esetben a hullámfelületek merőlegesek lesznek a tengelyre. Minden mennyiség jellemző oszcilláló mozgás a közeg részecskéi csak az időtől és a koordinátáktól függenek. Az eltolás csak és a következőktől függ: . Adja meg egy koordinátájú pont (a rezgés forrása) rezgését a függvény. Feladat: keresse meg egy tetszőleges értéknek megfelelő sík pontjainak rezgésének típusát. Ahhoz, hogy egy síkról erre a síkra utazhasson, egy hullámnak időre van szüksége. Következésképpen a síkban elhelyezkedő részecskék oszcillációi egy idővel fázisban maradnak a síkban lévő részecskék rezgéseitől. Ekkor a részecskék síkbeli rezgésének egyenlete a következő lesz:

Ennek eredményeként megkaptuk a növekvő irányban terjedő síkhullám egyenletét:

. (3)

Ebben az egyenletben a hullám amplitúdója; – ciklikus frekvencia; – kezdeti fázis, amelyet a referenciapont megválasztása és ; – síkhullám fázis.

Legyen a hullámfázis állandó érték (a fázisértéket rögzítjük a hullámegyenletben):

Csökkentsük ezt a kifejezést, és különböztessük meg. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

vagy .

Így egy hullám terjedési sebessége a síkhullám-egyenletben nem más, mint a hullám egy rögzített fázisának terjedési sebessége. Ezt a sebességet hívják fázissebesség .

Szinuszos hullám esetén az energiaátvitel sebessége megegyezik a fázissebességgel. De a szinuszos hullám nem hordoz semmilyen információt, és minden jel modulált hullám, azaz. nem szinuszos (nem harmonikus). Egyes problémák megoldása során kiderül, hogy a fázissebesség nagyobb, mint a fénysebesség. Itt nincs paradoxon, mert... a fázismozgás sebessége nem az energia átviteli (terjedési) sebessége. Az energia és a tömeg nem mozoghat a fénysebességnél nagyobb sebességgel c .

Általában a síkhullám-egyenlet viszonylag szimmetrikus alakot ad. Ehhez adja meg az értéket , ami az úgynevezett hullámszám . Alakítsuk át a hullámszám kifejezését. Írjuk be az űrlapba (). Helyettesítsük be ezt a kifejezést a síkhullám egyenletbe:

Végre megkapjuk

Ez a növekvő irányban terjedő síkhullám egyenlete. A hullámterjedés ellentétes irányát egy egyenlet jellemzi, amelyben a tag előtti előjel megváltozik.

A síkhullám-egyenletet célszerű a következő formában felírni.

Általában jel Újra kimaradnak, ami azt jelenti, hogy a megfelelő kifejezésnek csak a valós részét veszik figyelembe. Ezenkívül egy komplex szám kerül bevezetésre.

Ezt a számot komplex amplitúdónak nevezzük. Ennek a számnak a modulusa adja meg az amplitúdót, az argumentum pedig kezdeti fázis hullámok.

Így a síkegyenlet csillapítatlan hullám a következő formában ábrázolható.

Minden, amit fent tárgyaltunk, olyan közegre vonatkozott, ahol nem volt hullámcsillapítás. Hullámcsillapítás esetén a Bouguer-törvénynek megfelelően (Pierre Bouguer, francia tudós (1698 - 1758)) a hullám amplitúdója terjedése során csökkenni fog. Ekkor a síkhullám egyenlet alakja a következő lesz.

a– hullámcsillapítási együttható. A 0 – az oszcilláció amplitúdója egy koordinátájú pontban. Ez annak a távolságnak a reciproka, amelynél a hullám amplitúdója csökken e egyszer.

Keressük meg a gömbhullám egyenletét. Az oszcillációk forrását pontszerűnek fogjuk tekinteni. Ez akkor lehetséges, ha a hullámot a forrás méreténél sokkal nagyobb távolságra tekintjük. Egy ilyen forrásból származó hullám izotróp és homogén közegben lesz gömbölyű . A sugarú hullámfelületen fekvő pontok a fázissal oszcillálnak

A rezgések amplitúdója ebben az esetben, még ha a hullámenergiát nem is nyeli el a közeg, nem marad állandó. A forrástól való távolsággal a törvény szerint csökken. Ezért a gömbhullám egyenlet a következőképpen alakul:

vagy

A feltevésekből adódóan az egyenlet csak -ra érvényes, jelentősen meghaladva a hullámforrás méretét. A (6) egyenlet nem alkalmazható kis értékekre, mert az amplitúdó a végtelenbe hajlik, és ez abszurd.

Ha a közegben csillapítás van, a gömbhullám egyenlete a következőképpen lesz felírva.

Csoport sebessége

A szigorúan monokromatikus hullám „púpok” és „völgyek” végtelen sorozata időben és térben.

Ennek a hullámnak a fázissebessége ill (2)

Lehetetlen jelet továbbítani ilyen hullám segítségével, mert a hullám bármely pontján az összes „púp” egyforma. A jelnek másnak kell lennie. Jelnek (jelnek) lenni a hullámon. De akkor a hullám már nem lesz harmonikus, és nem írja le az (1) egyenlettel. Egy jel (impulzus) a Fourier-tétel szerint egy bizonyos intervallumon belüli frekvenciájú harmonikus hullámok szuperpozíciójaként ábrázolható. Dw . Egymástól frekvenciában alig különbözõ hullámok szuperpozíciója,

hívott hullám csomag vagy hullámcsoport .

A hullámcsoport kifejezése a következőképpen írható fel.

(3)

Ikon w hangsúlyozza, hogy ezek a mennyiségek a gyakoriságtól függenek.

Ez a hullámcsomag lehet kissé eltérő frekvenciájú hullámok összege. Ahol a hullámok fázisai egybeesnek, ott az amplitúdó növekedése figyelhető meg, ahol pedig a fázisok ellentétesek, ott az amplitúdó csillapítása figyelhető meg (az interferencia eredménye). Ez a kép az ábrán látható. Ahhoz, hogy a hullámok szuperpozícióját hullámcsoportnak tekintsük, végre kell hajtani következő feltétel Dw<< w 0 .

Nem diszperzív közegben minden hullámcsomagot alkotó síkhullám azonos fázissebességgel terjed v . A diszperzió egy közegben lévő szinuszos hullám fázissebességének a frekvenciától való függése. A diszperzió jelenségével később a „Hullámoptika” részben foglalkozunk. Diszperzió hiányában a hullámcsomag mozgási sebessége egybeesik a fázissebességgel v . Diszperzív közegben minden hullám a saját sebességével oszlik szét. Ezért a hullámcsomag idővel szétterül, és szélessége megnő.

Ha a diszperzió kicsi, akkor a hullámcsomag nem terjed túl gyorsan. Ezért egy bizonyos sebesség a teljes csomag mozgásának tulajdonítható U .

Azt a sebességet, amellyel a hullámcsomag középpontja (a maximális amplitúdójú pont) mozog, csoportsebességnek nevezzük.

Szétszórt környezetben v¹U . Magának a hullámcsomagnak a mozgásával együtt a csomagon belüli „púpok” is elmozdulnak. A "púpok" sebességgel mozognak a térben v , és a csomag egésze gyorsasággal U .

Vizsgáljuk meg részletesebben egy hullámcsomag mozgását két azonos amplitúdójú és eltérő frekvenciájú hullám szuperpozíciójának példájával w (különböző hullámhosszúak l ).

Írjuk fel két hullám egyenletét. Az egyszerűség kedvéért vegyük fel a kezdeti fázisokat j 0 = 0.

Itt

Hadd Dw<< w , ill Dk<< k .

Adjuk össze a rezgéseket, és hajtsuk végre a transzformációkat a koszinuszok összegének trigonometrikus képletével:

Az első koszinuszban figyelmen kívül hagyjuk Dwt És Dkx , amelyek jóval kisebbek más mennyiségeknél. Ezt vegyük figyelembe cos(–a) = cosa . Végül leírjuk.

(4)

A szögletes zárójelben lévő szorzó idővel változik, és sokkal lassabban koordinál, mint a második szorzó. Következésképpen a (4) kifejezés az első tényező által leírt amplitúdójú síkhullám egyenletének tekinthető. Grafikusan a (4) kifejezés által leírt hullám a fenti ábrán látható.

A kapott amplitúdót a hullámok összeadásával kapjuk meg, ezért az amplitúdó maximumait és minimumait figyeljük meg.

A maximális amplitúdót a következő feltétel határozza meg.

(5)

m = 0, 1, 2…

xmax– a maximális amplitúdó koordinátája.

A koszinusz átveszi a maximális modulo értékét p .

Ezen maximumok mindegyike a megfelelő hullámcsoport középpontjának tekinthető.

Az (5) feloldása relatíve xmax megkapjuk.

Mivel a fázissebesség az csoportsebességnek nevezzük. A hullámcsomag maximális amplitúdója ezzel a sebességgel mozog. A határértékben a csoportsebesség kifejezése a következő formában lesz.

(6)

Ez a kifejezés tetszőleges számú hullámból álló csoport középpontjára érvényes.

Meg kell jegyezni, hogy ha a tágulás minden tagját pontosan figyelembe vesszük (tetszőleges számú hullám esetén), akkor az amplitúdó kifejezését úgy kapjuk meg, hogy ebből az következik, hogy a hullámcsomag idővel szétterül.
A csoportsebesség kifejezése más formában is megadható.

Variancia hiányában

A maximális intenzitás a hullámcsoport közepén jelentkezik. Ezért az energiaátvitel sebessége megegyezik a csoportsebességgel.

A csoportsebesség fogalma csak akkor alkalmazható, ha a közegben kicsi a hullámelnyelés. Jelentős hullámcsillapítás esetén a csoportsebesség fogalma értelmét veszti. Ez az eset az anomális diszperzió tartományában figyelhető meg. Ezt a „Hullámoptika” részben fogjuk megvizsgálni.