1. Páros és páratlan. Az f(x) függvény akkor is meghívásra kerül, ha értékei szimmetrikusak az OY tengelyre, azaz. f(-x) = f(x). Egy f(x) függvényt páratlannak nevezünk, ha az x változó -x-szel változásakor az értéke az ellenkezőjére változik, azaz. f(-x) = -f(x). Egyébként a függvényt általános függvénynek nevezzük.

2.Monotónia. Egy függvényről azt mondjuk, hogy növekszik (csökkenő) az X intervallumon, ha ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke felel meg a függvény nagyobb (kisebb) értékének, pl. x1-nél< (>) x2, f(x1)< (>) f(x2).

3. Gyakoriság. Ha az f(x) függvény értéke egy bizonyos T periódus után ismétlődik, akkor a függvényt periodikusnak nevezzük T ≠ 0 periódussal, azaz. f(x + T) = f(x). Egyébként nem időszakos.

4. Korlátozott. Az f (x) függvényt az X intervallumon korlátosnak nevezzük, ha van olyan pozitív szám, amely M > 0, így bármely x esetén, intervallumhoz tartozó X, | f(x) |< M. В противном случае функция называется неограниченной.

1) Funkciótartomány és funkciótartomány.

Egy függvény tartománya az összes érvényes érvényes argumentumérték halmaza x(változó x), amelyhez a függvény y = f(x) eltökélt. Egy függvény tartománya az összes valós érték halmaza y, amelyet a függvény elfogad.

Az elemi matematikában a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzák.

2) Funkció nullák.

A nulla függvény annak az argumentumnak az értéke, amelynél a függvény értéke nullával egyenlő.

3) Egy függvény állandó előjelének intervallumai.

A függvény állandó előjelének intervallumai olyan argumentumértékek halmazai, amelyeken a függvényértékek csak pozitívak vagy csak negatívak.

4) A függvény monotonitása.

Növekvő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Páros (páratlan) függvény.

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség f(-x) = f(x). Menetrend páros funkció szimmetrikus az ordináta tengelyére.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség igaz f(-x) = - f(x). Menetrend páratlan függvény szimmetrikus az eredetre.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha van olyan pozitív M szám, amelyre |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha ilyen szám nem létezik, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f(x) függvény periodikus, ha van egy nullától eltérő T szám, amelyre a függvény definíciós tartományából származó bármely x-re teljesül a következő: f(x+T) = f(x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvények időszakosak. (Trigonometrikus képletek).

19. Alapvető elemi függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik. Függvények alkalmazása a közgazdaságtanban.

Alapvető elemi funkciók. Tulajdonságaik és grafikonjaik

1. Lineáris függvény.

Lineáris függvény alakú függvénynek nevezzük, ahol x változó, a és b valós számok.

Szám A hívott lejtő egyenes vonal, ez egyenlő ezen egyenes dőlésszögének az abszcissza tengely pozitív irányához viszonyított dőlésszögének érintőjével. A lineáris függvény grafikonja egy egyenes. Két pont határozza meg.

Lineáris függvény tulajdonságai

1. Definíciós tartomány - az összes valós szám halmaza: D(y)=R

2. Az értékkészlet az összes valós szám halmaza: E(y)=R

3. A függvény nulla értéket vesz fel, ha vagy.

4. A függvény növekszik (csökken) a teljes definíciós tartományban.

5. Egy lineáris függvény folytonos a teljes definíciós tartományban, differenciálható és .

2. Másodfokú függvény.

Egy olyan alakú függvényt, ahol x változó, a, b, c együtthatók valós számok, ún. négyzetes

Egyes tudósok véleménye szerint a gráfok fő célja a heurisztikus tevékenységben betöltött jelentőségük - illusztrációk az elmélet bemutatásához, és mindenekelőtt példák és ellenpéldák feltüntetése a függvények különféle tulajdonságai közötti összefüggések bizonyítására vagy cáfolatára, pl. szabvány követelményeinek megfelelően kialakított „kétnyelvű” gondolkodás, matematikai kétnyelvűség alkalmazása.

Széles körű alkalmazás megtalált logaritmikus függvény a csillagászatban : Például a csillagok fényességének nagysága ennek megfelelően változik, ha összehasonlítjuk a szem által észlelt fényességi jellemzőket műszerek segítségével, a következő grafikont készíthetjük: Itt a függőleges tengelyen ábrázoljuk a csillagok fényessége Hipparkhosz egységekben (a csillagok szubjektív jellemzők (szemmel) szerinti megoszlása ​​6 csoportba), valamint a vízszintes - műszeres leolvasások. A grafikonon látható, hogy az objektív és szubjektív jellemzők nem arányosak, és a készülék nem ugyanannyira, hanem 2,5-szeres fényerőnövekedést regisztrál. Ezt a függést logaritmikus függvénnyel fejezzük ki.

Fontolja meg, hogyan épülnek fel.

Válasszunk egy téglalap alakú koordináta rendszert a síkon, és ábrázoljuk az argumentum értékeit az abszcissza tengelyen x, és az ordinátán - a függvény értékei y = f(x) .

Függvénygrafikon y = f(x) az összes olyan pont halmaza, amelyek abszcisszán a függvény definíciós tartományába tartoznak, és az ordináták megegyeznek a függvény megfelelő értékeivel.

Más szóval, az y = f (x) függvény grafikonja a sík összes pontjának halmaza, koordináták X, nál nél amelyek kielégítik a kapcsolatot y = f(x) .

ábrán. A 45. és 46. ábra a függvények grafikonját mutatja y = 2x + 1És y = x 2 - 2x .

Szigorúan véve különbséget kell tenni egy függvény grafikonja között (pontos matematikai meghatározás amelyet fentebb megadtunk) és egy megrajzolt görbét, amely mindig csak többé-kevésbé pontos vázlatot ad a gráfról (és akkor is általában nem a teljes gráfot, hanem annak csak egy részét, amely a gráf véges részében található repülőgép). A következőkben azonban általában „grafikont” fogunk mondani, nem pedig „grafikonvázlatot”.

Grafikon segítségével megkeresheti egy függvény értékét egy pontban. Mégpedig ha a lényeg x = a a függvény definíciójának tartományába tartozik y = f(x), majd a szám megkereséséhez f(a)(azaz a pont függvényértékei x = a) ezt meg kell tennie. Az abszcissza ponton keresztül szükséges x = a rajzoljunk az ordinatatengellyel párhuzamos egyenest; ez az egyenes metszi a függvény grafikonját y = f(x) egy ponton; ennek a pontnak az ordinátája a gráf definíciója értelmében egyenlő lesz f(a)(47. ábra).

Például a funkcióhoz f(x) = x 2 - 2x a grafikon segítségével (46. ábra) f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 stb.

A függvénygráf egyértelműen szemlélteti egy függvény viselkedését és tulajdonságait. Például az ábra figyelembevételével. 46 egyértelmű, hogy a függvény y = x 2 - 2x akkor vesz fel pozitív értékeket x< 0 és at x > 2, negatív - 0-nál< x < 2; legkisebb érték funkció y = x 2 - 2xórakor fogadja x = 1 .

Függvény ábrázolása f(x) meg kell találni a sík összes pontját, koordinátáit x , nál nél amelyek kielégítik az egyenletet y = f(x). A legtöbb esetben ez lehetetlen megtenni, mivel végtelen számú ilyen pont van. Ezért a függvény grafikonja megközelítőleg - kisebb-nagyobb pontossággal - van ábrázolva. A legegyszerűbb a grafikon több pont felhasználásával történő ábrázolásának módszere. Abból áll, hogy az érv x adni végső számértékeket - mondjuk, x 1, x 2, x 3,..., x k, és készítsen egy táblázatot, amely tartalmazza a kiválasztott függvényértékeket.

A táblázat így néz ki:

Egy ilyen táblázat összeállítása után több pontot is felvázolhatunk a függvény grafikonján y = f(x). Ezután ezeket a pontokat egy sima vonallal összekötve hozzávetőleges képet kapunk a függvény grafikonjáról y = f(x).

Meg kell azonban jegyezni, hogy a többpontos ábrázolási módszer nagyon megbízhatatlan. Valójában a gráf viselkedése a tervezett pontok között és viselkedése a felvett szélső pontok közötti szakaszon kívül ismeretlen marad.

1. példa. Függvény ábrázolása y = f(x) valaki összeállított egy táblázatot argumentum- és függvényértékekről:

A megfelelő öt pontot az ábra mutatja. 48.

E pontok elhelyezkedése alapján arra a következtetésre jutott, hogy a függvény grafikonja egy egyenes (a 48. ábrán pontozott vonallal látható). Megbízhatónak tekinthető ez a következtetés? Hacsak nincsenek további megfontolások e következtetés alátámasztására, aligha tekinthető megbízhatónak. megbízható.

Állításunk alátámasztásához vegyük figyelembe a függvényt

.

A számítások azt mutatják, hogy ennek a függvénynek az értékeit a -2, -1, 0, 1, 2 pontokban pontosan leírja a fenti táblázat. Ennek a függvénynek a grafikonja azonban egyáltalán nem egyenes (a 49. ábrán látható). Egy másik példa a függvény lehet y = x + l + sinπx; jelentését a fenti táblázat is leírja.

Ezek a példák azt mutatják, hogy „tiszta” formájában a gráf több pontból történő ábrázolásának módszere megbízhatatlan. Ezért egy adott függvény grafikonjának ábrázolásához Általában a következőképpen járnak el. Először ennek a függvénynek a tulajdonságait tanulmányozzuk, melynek segítségével elkészíthetjük a gráf vázlatát. Ezután a függvény értékeinek több ponton történő kiszámításával (amelyek kiválasztása a függvény megállapított tulajdonságaitól függ), megtalálják a grafikon megfelelő pontjait. Végül pedig a függvény tulajdonságait felhasználva görbét rajzolunk a megszerkesztett pontokon.

A gráfvázlat megtalálásához használt függvények néhány (a legegyszerűbb és leggyakrabban használt) tulajdonságát a későbbiekben megvizsgáljuk, most azonban néhány általánosan használt módszert tekintünk át a gráfok felépítésére.

Az y = | függvény grafikonja f(x) |.

Gyakran szükséges egy függvény ábrázolása y = |f(x)|, hol f(x) - adott funkciót. Hadd emlékeztessük, hogyan történik ez. A-priory abszolút érték számokat lehet írni

Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja y= | f(x) | a grafikonból, függvényből nyerhető y = f(x) a következőképpen: a függvény grafikonjának minden pontja y = f(x), amelynek ordinátái nem negatívak, változatlanul hagyandók; továbbá a függvény grafikonjának pontjai helyett y = f(x) negatív koordinátákkal meg kell alkotnia a megfelelő pontokat a függvény grafikonján y = -f(x)(azaz a függvény grafikonjának része
y = f(x), amely a tengely alatt fekszik X, szimmetrikusan kell tükröződnie a tengely körül x).

2. példaÁbrázolja a függvényt y = |x|.

Vegyük a függvény grafikonját y = x(50. ábra, a) és ennek a grafikonnak egy része at x< 0 (a tengely alatt fekszik x) szimmetrikusan tükröződik a tengelyhez képest x. Ennek eredményeként a függvény grafikonját kapjuk y = |x|(50. ábra, b).

3. példa. Ábrázolja a függvényt y = |x 2 - 2x|.

Először ábrázoljuk a függvényt y = x 2 - 2x. Ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola, melynek ágai felfelé irányulnak, a parabola csúcsának koordinátái (1; -1), grafikonja 0 és 2 pontokban metszi az x tengelyt. A (0; 2) a függvény veszi negatív értékeket, ezért a grafikonnak ezt a részét szimmetrikusan fogjuk megjeleníteni az abszcissza tengelyhez képest. Az 51. ábra a függvény grafikonját mutatja y = |x 2 -2x|, a függvény grafikonja alapján y = x 2 - 2x

Az y = f(x) + g(x) függvény grafikonja

Tekintsük egy függvény gráfjának felépítésének problémáját y = f(x) + g(x). ha függvénygrafikonok adottak y = f(x)És y = g(x) .

Figyeljük meg, hogy az y függvény definíciós tartománya = |f(x) + g(x)| x mindazon értékeinek halmaza, amelyekre y = f(x) és y = g(x) függvény is definiálva van, azaz ez a definíciós tartomány a definíciós tartományok, az f(x) függvények metszéspontja. és g(x).

Hagyja a pontokat (x 0, y 1) És (x 0, y 2) ill. a függvénygráfokhoz tartoznak y = f(x)És y = g(x), azaz y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Ekkor az (x0;. y1 + y2) pont a függvény grafikonjához tartozik y = f(x) + g(x)(mert f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. és a függvény grafikonjának bármely pontja y = f(x) + g(x)így lehet megszerezni. Ezért a függvény grafikonja y = f(x) + g(x) függvénygráfokból kaphatjuk meg y = f(x). És y = g(x) minden pont cseréje ( x n, y 1) funkciógrafika y = f(x) pont (x n, y 1 + y 2), Ahol y 2 = g(x n), azaz az egyes pontok eltolásával ( x n, y 1) függvénygrafikon y = f(x) a tengely mentén nál nél az összeggel y 1 = g(x n). Ebben az esetben csak az ilyen pontokat veszik figyelembe x n, amelyre mindkét függvény definiálva van y = f(x)És y = g(x) .

Ez a függvény ábrázolási módszer y = f(x) + g(x) függvények grafikonjainak összeadásának nevezzük y = f(x)És y = g(x)

4. példa. Az ábrán a függvény grafikonját grafikonok összeadásának módszerével készítettük el
y = x + sinx .

Függvény ábrázolásakor y = x + sinx azt gondoltuk f(x) = x, A g(x) = sinx. A függvénygrafikon ábrázolásához a pontokat -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5, , 1,5, 2 abszciszákkal választjuk ki. Értékek f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Számoljunk a kiválasztott pontokon, és helyezzük el az eredményeket a táblázatban!

A kapott eredmények alapján pontokat szerkesztünk, amelyeket egy sima görbe köt össze, amely a függvény grafikonjának vázlata lesz. y = x + sinx .

Függvénygráfok nem csak kézzel, pontok segítségével, hanem különféle programok (excel, maple) segítségével, valamint Pascal-ban programozhatók. A Pascal nyelv elsajátításával egyidejűleg fejlesztheti számítástechnikai ismereteit, de gyorsan képes lesz különböző függvénygrafikonok összeállítására is. A Pascal függvénypéldái segítenek megérteni a nyelv szintaxisát, és saját kezűleg elkészíteni az első gráfokat.

A függvények alapvető tulajdonságai.

1) Funkciótartomány és funkciótartomány .

Egy függvény tartománya az összes érvényes érvényes argumentumérték halmaza x(változó x), amelyhez a függvény y = f(x) eltökélt.
Egy függvény tartománya az összes valós érték halmaza y, amelyet a függvény elfogad.

Az elemi matematikában a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzák.

2) Funkció nullák .

A nulla függvény annak az argumentumnak az értéke, amelynél a függvény értéke nullával egyenlő.

3) Egy függvény állandó előjelének intervallumai .

A függvény állandó előjelének intervallumai olyan argumentumértékek halmazai, amelyeken a függvényértékek csak pozitívak vagy csak negatívak.

4) A függvény monotonitása .

Növekvő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból származó argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Páros (páratlan) függvény .

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség f(-x) = f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátára.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség igaz f(-x) = - f(x). Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók .

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha van olyan pozitív M szám, amelyre |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha ilyen szám nem létezik, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása .

Egy f(x) függvény periodikus, ha van egy nullától eltérő T szám, amelyre a függvény definíciós tartományából származó bármely x-re teljesül a következő: f(x+T) = f(x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvény periodikus

$f(x)=|x|$ függvény

$|x|$ - modul. Ennek meghatározása a következő: Ha a valós szám nem negatív, akkor a modulus értéke megegyezik magával a számmal. Ha negatív, akkor a modulus értéke egybeesik az adott szám abszolút értékével.

Matematikailag ez a következőképpen írható fel:

1. példa

$f(x)=[x]$ függvény

A $f\left(x\right)=[x]$ függvény egy szám egész részének függvénye. Megtalálható a szám (ha nem egész szám) „lefelé” kerekítésével.

Példa: $=2.$

2. példa

Fedezzük fel és építsük fel a grafikonját.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Nyilvánvaló, hogy ez a függvény csak egész értékeket fogad el, azaz $\E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Ezért ez a függvény általános formájú lesz.
4. A $(0,0)$ az egyetlen metszéspont a koordinátatengelyekkel.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. A függvénynek vannak megszakítási pontjai (függvényugrások) minden $x\in Z$-ban.

2. ábra.

$f\left(x\right)=\(x\)$ függvény

A $f\left(x\right)=\(x\)$ függvény egy szám tört részének függvénye. Ezt a szám egész számának „eldobásával” találja meg.

3. példa

Fedezzük fel és ábrázoljuk a függvényt

$f(x)=jel(x)$ függvény

A $f\left(x\right)=sign(x)$ függvény egy előjelfüggvény. Ez a függvény megmutatja, hogy egy valós számnak melyik előjele van. Ha a szám negatív, akkor a függvény értéke $-1$. Ha a szám pozitív, akkor a függvény egyenlő eggyel. Ha a szám nulla, akkor a függvény értéke is nulla értéket vesz fel.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Előfordulhat, hogy megkérik Önt, hogy adja meg Személyes adat bármikor kapcsolatba lép velünk.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor kérelmet nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.