A probléma a következőképpen fogalmazódik meg: hagyjuk a kívánt mennyiséget z más mennyiségeken keresztül határozzák meg a, b, c, ... közvetlen mérésekből nyert
z = f (a, b, c,...) (1.11)
Meg kell találni a függvény átlagértékét és méréseinek hibáját, i.e. megtalálni a konfidencia intervallumot
a megbízhatósággal és a relatív hibával.
Ami azt illeti, úgy találjuk meg, hogy a (11) helyett a jobb oldalra cseréljük a, b, c,...átlagértékeik
3. Becsülje meg a közvetett mérések eredményének konfidenciaintervallumának félszélességét!
,
ahol a származékokat... számítják
4. Határozza meg az eredmény relatív hibáját!
5. Ha z függősége az a, b, c,... megvan a formája 
, Ahol k, l, m‒ bármilyen valós számot, akkor először meg kell találnia relatív hiba
és akkor abszolút .
6. Írja be az űrlapba a végeredményt!
z = ± Dz , ε = …% a-nál = … .
Jegyzet:
A közvetlen mérések eredményeinek feldolgozásakor a következő szabályt kell követnie: számértékek az összes számított mennyiségből egy számjeggyel többet kell tartalmaznia, mint az eredeti (kísérletileg meghatározott) mennyiség.
A közvetett méréseknél a számításokat a szerint végezzük közelítő számítások szabályai:
1. szabály A hozzávetőleges számok összeadásakor és kivonásakor a következőket kell tennie:
a) válassza ki azt a kifejezést, amelyben a kétes számjegynek a legmagasabb a számjegye;
b) kerekítse az összes többi tagot a következő számjegyre (egy tartalék számjegy megmarad);
c) összeadás (kivonás) végrehajtása;
d) ennek eredményeként az utolsó számjegyet kerekítéssel el kell hagyni (az eredmény kétes számjegyének számjegye egybeesik a kifejezések kétes számjegyei közül a legmagasabb számjegyével).
Példa: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.
Ezekben a számokban az utolsó jelentős számjegyek kétségesek (a hibásakat már elvetettük). Írjuk őket 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064 formában.
Látható, hogy az első tagban a kétes 2-es szám a legmagasabb számjegyű (tízes). Az összes többi számot a következő számjegyre kerekítve és összeadva megkapjuk
543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5.
2. szabály A közelítő számok szorzásakor (osztásakor) a következőket kell tennie:
a) válassza ki a legkevesebb szignifikáns számjegyet tartalmazó számo(ka)t ( JELENTŐS – a köztük lévő nullától és nullától eltérő számok);
b) kerekítse a fennmaradó számokat úgy, hogy eggyel több jelentős számjegy legyen (egy tartalék számjegy megmarad), mint az a lépésben kiosztottak;
c) szorozzuk (osztjuk) a kapott számokat;
d) ennek eredményeként annyi jelentős számjegyet hagyjon meg, amennyi a legkevesebb jelentős számmal rendelkező szám(ok)ban volt.
Példa: .
3. szabály. Hatványra emelve egy gyökér kinyerésekor az eredmény annyi jelentős számjegyet tart meg, amennyi az eredeti számban van.
Példa: 
.
4. szabály. Egy szám logaritmusának megtalálásakor a logaritmus mantisszának annyi jelentős számjegyből kell állnia, mint az eredeti számban:
Példa: 
.
A végső felvételen abszolút hibákat szabad csak hagyni egy jelentős szám. (Ha ez a számjegy 1-nek bizonyul, akkor a rendszer egy másik számjegyet tárol utána).
Az átlagértéket a rendszer az abszolút hibával megegyező számjegyre kerekíti.
Például: V= (375,21 0,03) cm3 = (3,7521 0,0003) cm3.
én= (5,530 0,013) A, A = 
J.
Munkarend
A henger átmérőjének meghatározása.
1. Mérje meg tolómérővel a henger átmérőjét 7-szer (különböző helyeken és irányokban). Rögzítse az eredményeket egy táblázatban.
| Nem. | d i, mm | d i- | (d i- ) 2 | h i, mmÉs Kapcsolódó információ: |
A mért és táblázatos mennyiségek hibái határozzák meg a közvetetten meghatározott mennyiség DH cf hibáit, ill legnagyobb hozzájárulása a DX avg-ben a legkevésbé pontos értékeket adják, amelyekben a legnagyobb a relatív hiba d. Ezért a közvetett mérések pontosságának növelése érdekében a közvetlen mérések azonos pontosságát kell elérni
(d A, d B, d C, ...).
A közvetett mérések hibáinak megtalálásának szabályai:
1. Keresse meg a természetes logaritmusát adott funkciót
ln(X = f(A,B,C,…));
2. Keresse meg teljes differenciálmű(minden változóra) a találtból természetes logaritmus adott funkció;
3. Cserélje ki a d differenciál előjelét a D abszolút hiba előjelére;
4. Cserélje ki az összes „mínuszt”, amely abszolút hibával néz szembe DA, DB, DC, ... a "profiknak".
Az eredmény a legnagyobb relatív hiba képlete d x közvetetten mért X érték:
d x = = j (A avg, B avg, C avg, ..., DA avg, DB avg, DC avg, ...).(18)
A talált relatív hiba szerint d x határozza meg a közvetett mérés abszolút hibáját:
DX av = d x. X átl . (19)
A közvetett mérések eredményét szabványos formában írjuk fel, és a numerikus tengelyen ábrázoljuk:
X = (X átlag ± DХ átlag), Mértékegység. (20)
Példa:
Keresse meg egy fizikai mennyiség relatív és átlagos hibáinak értékét! L, amelyet közvetetten a következő képlet határoz meg:
, (21)
Ahol π, g, t, k, α, β– azok a mennyiségek, amelyek értékeit mértük vagy referencia táblázatokból vettük, és a mérési eredményeket és táblázatos adatokat tartalmazó táblázatba beírtuk (az 1. táblázathoz hasonlóan).
1. Számítsa ki az átlagértéket L átl, a táblázat átlagértékeit behelyettesítve a (21)-be – π avg, g avg, t avg, k avg, α avg, β avg.
2. Határozza meg a legnagyobb relatív hibát! δ L:
a) Logaritmus képlet (21):
b). Az eredményül kapott (22) kifejezést megkülönböztetjük:
c) Cserélje ki a d differenciál előjelét Δ-re, az abszolút hibák előtti „mínuszokat” pedig „pluszokra”, és kapja meg a legnagyobb relatív hiba kifejezését. δ L:
d). A mérési eredmények táblázatából a bemeneti mennyiségek átlagértékeit és hibáikat behelyettesítve a kapott kifejezésbe, számítsa ki δ L.
3. Ezután számítsa ki az abszolút hibát ΔL átl:
Az eredményt szabványos formában rögzítjük, és grafikusan ábrázoljuk a tengelyen L:
, egységek változás
A MÉRÉSI HIBA ELEMI BECSLÉSE
A mérés egy fizikai mennyiség értékének kísérleti megállapítása speciális technikai eszközök - mértékek, mérőműszerek - segítségével.
A mérték olyan mérési eszköz, amely egy adott méretű fizikai mennyiséget - mértékegységet, annak többszörösét vagy törtértékét - reprodukálja. Például 1 kg, 5 kg, 10 kg súlyú.
A mérőeszköz olyan mérőműszer, amelyet arra terveztek, hogy a mérési információ jelét a megfigyelő által közvetlenül észlelhető formában generálja. A mérőeszköz lehetővé teszi a mért érték közvetlen vagy közvetett összehasonlítását a mérésekkel. A méréseket szintén direkt és indirekt mérésekre osztják.
A közvetlen méréseknél a mennyiség kívánt értékét közvetlenül az alap (kísérleti) adatokból találjuk meg.
A közvetett méréseknél egy mennyiség kívánt értékét a mennyiség és a közvetlen mérésnek alávetett mennyiségek ismert kapcsolata alapján találjuk meg. A mérési elv olyan fizikai jelenségek összessége, amelyeken a mérések alapulnak.
A mérési módszer az elvek és a mérőeszközök használatára szolgáló technikák összessége. Jelentése fizikai mennyiség, amely ideális esetben minőségi és mennyiségi értelemben tükrözné, hogy egy adott objektum megfelelő tulajdonsága egy fizikai mennyiség valódi értéke. A mérés eredményeként kapott fizikai mennyiség értéke a mérés eredménye.
A mérési eredmény eltérése a mért érték valódi értékétől a mérési hiba.
Az abszolút mérési hiba a mérési hiba a mért érték egységeiben kifejezve, és egyenlő az eredmény és a mért érték valódi értéke közötti különbséggel. Az abszolút hiba és a mért mennyiség valódi értékének aránya a relatív mérési hiba.
A mérési hibához hozzájárulnak a mérőműszerek hibái (műszer- vagy műszerhiba), a mérési módszer tökéletlensége, a műszer skálán történő leolvasás hibája, a mérési eszközökre és tárgyakra gyakorolt külső hatások, valamint a fény- és hangjelekre adott emberi reakció késése. .
Megnyilvánulásuk jellege alapján a hibákat szisztematikusra és véletlenszerűre osztják. A véletlenszerű esemény egy olyan esemény, amely adott tényezőhalmaz esetén előfordulhat, vagy nem.
A véletlenszerű hiba a mérési hiba olyan összetevője, amely véletlenszerűen változik ugyanazon mennyiség ismételt mérésével. Jellegzetes vonás A véletlenszerű hibák a hiba nagyságának és előjelének változásai állandó mérési körülmények között.
A szisztematikus hiba a mérési hiba olyan összetevője, amely állandó marad, vagy ugyanazon mennyiség ismételt mérésével természetesen változik. A szisztematikus hibák elvileg kiküszöbölhetők korrekciókkal, pontosabb eszközök és módszerek alkalmazásával (bár a gyakorlatban nem mindig egyszerű a szisztematikus hibák észlelése). Lehetetlen kizárni a véletlenszerű hibákat az egyes méréseknél, a véletlen jelenségek matematikai elmélete (valószínűség-elmélet) csak ésszerű becslést tesz lehetővé azok nagyságáról.
A közvetlen mérések hibái
Tegyük fel, hogy a szisztematikus hibák ki vannak zárva, és a mérési eredmények hibái csak véletlenszerűek. Jelöljük betűkkel egy fizikai mennyiség mérési eredményét, amelynek valódi értéke egyenlő 
. Az egyes mérések eredményeinek abszolút hibáit jelzik:
Az (1) egyenlőség bal és jobb oldalát összegezve a következőket kapjuk:
(2)
A véletlenszerű hibák elmélete a tapasztalat által megerősített feltevéseken alapul:
a hibák folyamatos értéksort vehetnek fel;
nál nél nagyszámú azonos nagyságrendű véletlenszerű hibákat mér, de eltérő jel ugyanolyan gyakran fordulnak elő;
a hiba valószínűsége a nagyságának növekedésével csökken. Az is szükséges, hogy a hibák a mért értékhez képest kicsik és függetlenek legyenek.
Az (1) feltevés szerint az n mérések számával kapjuk
,
A dimenziók száma azonban mindig véges és ismeretlen marad. De gyakorlati okokból elég, ha kísérleti úton megtaláljuk egy fizikai mennyiség értékét, amely olyan közel áll az igazihoz, hogy 
igaz helyett használható. A kérdés az, hogyan értékeljük ennek a közelítésnek a mértékét?
A valószínűségszámítás szerint egy méréssorozat számtani átlaga megbízhatóbb, mint az egyedi mérések eredményei, mert a valós értéktől való véletlenszerű eltérések különböző irányúak egyformán valószínűek. Az a i érték 2a i szélességű intervallumban való megjelenésének valószínűsége a 2a i intervallumba eső ai értékek előfordulásának relatív gyakorisága az a i összes megjelenő értékéhez viszonyítva. a kísérletek (mérések) végtelenbe hajló számával. Nyilvánvalóan egy megbízható esemény valószínűsége egyenlő eggyel, a lehetetlen esemény valószínűsége nullával, azaz. 0 100%.
Annak a valószínűsége, hogy a kívánt érték ( igaz értelme az (a - a, a + a) intervallumban található) konfidenciavalószínűséget (megbízhatóságot) , a megfelelő intervallumot (a - a, a + a) pedig konfidencia intervallumnak nevezzük; Minél kisebb a a hiba, annál kisebb a valószínűsége annak, hogy a mért értéket az e hiba által meghatározott intervallum tartalmazza. Az ellenkező állítás is igaz: minél kevésbé megbízható az eredmény, annál szűkebb a kívánt érték konfidenciaintervalluma.
Nagy n esetén (gyakorlatilag n 100 esetén) egy adott megbízhatósági intervallum félszélessége egyenlő
,
(3)
ahol K() = 1, = 0,68; K() = 2, = 0,95; K() = 3, = 0,997.
Kis számú mérésnél, ami a hallgatói laboratóriumi gyakorlatban leggyakrabban előfordul, a (3)-ban szereplő K() együttható nemcsak -tól függ, hanem az n mérések számától is. Ezért ha csak véletlenszerű hiba van, akkor mindig a konfidencia intervallum félszélességét fogjuk megtalálni a képlet segítségével
(4)
A (4)-ben a t n együtthatót Student-együtthatónak nevezzük. A tanulói gyakorlati munkában elfogadott = 0,95 esetén a t n értékei a következők:
Az értéket egy méréssorozat számtani középértékének négyzetes középhibájának nevezzük.
Egy műszer vagy mérték hibáját általában az útlevélben vagy a műszerskálán található szimbólummal jelzik. A műszerhiba általában annak az intervallumnak a fele szélessége, amelyen belül a mért érték 0,997 mérési valószínűséggel tartható, ha a mérési hiba csak a műszer hibájából adódik. A mérési eredmény általános (teljes) hibájaként = 0,95 valószínűséggel fogadjuk el
Az abszolút hiba lehetővé teszi annak meghatározását, hogy a kapott eredmény melyik jelében van a pontatlanság. A relatív hiba arról ad információt, hogy a mért érték mekkora hányada (százaléka) a hiba (a konfidencia intervallum fele).
Az a 0 érték közvetlen méréssorozatának végeredményét a formába írjuk
.
Például
(6)
Így minden kísérletileg talált fizikai mennyiséget ábrázolni kell:
Egyetlen mérés sem mentes a hibáktól, pontosabban annak a valószínűsége, hogy a hiba nélküli mérés a nullához közelít. A hibák típusa és okai nagyon változatosak, és sok tényező befolyásolja (1.2. ábra).
A befolyásoló tényezők általános jellemzőit többféle szempontból is rendszerezhetjük, például a felsorolt tényezők befolyása szerint (1.2. ábra).
A mérési eredmények alapján a hibák három típusra oszthatók: szisztematikus, véletlenszerű és hibás.
Szisztematikus hibák viszont előfordulásuk és megnyilvánulásuk jellege miatt csoportokra oszlanak. Kiküszöbölhetők különböző utak például módosítások bevezetésével.
rizs. 1.2
Véletlenszerű hibák változó tényezők összetett halmaza okozza, amelyek általában ismeretlenek és nehezen elemezhetők. A mérési eredményre gyakorolt hatásuk csökkenthető például további mérésekkel statisztikai feldolgozás valószínűségszámítási módszerrel kapott eredményeket.
NAK NEK hiányzik Ide tartoznak azok a durva hibák, amelyek a kísérleti körülmények hirtelen változásából adódnak. Ezek a hibák szintén véletlenszerűek, és azonosításuk után ki kell őket küszöbölni.
A mérések pontosságát mérési hibákkal értékelik, amelyek előfordulásuk jellege szerint műszeres és módszertani, számítási módszer szerint pedig abszolút, relatív és redukált.
Hangszeres a hibát a pontossági osztály jellemzi mérőeszköz, amely az útlevelében van megadva normalizált fő és kiegészítő hibák formájában.
Módszeres a hiba a mérési módszerek és műszerek tökéletlenségéből adódik.
Abszolút a hiba a mért G u és egy mennyiség valódi G értéke közötti különbség, amelyet a képlet határoz meg:
Δ=ΔG=G u -G
Vegye figyelembe, hogy a mennyiségnek a mért mennyiség dimenziója van.
Relatív a hibát az egyenlőségből találjuk meg
δ=±ΔG/G u ·100%
Adott a hiba kiszámítása a képlet segítségével történik (a mérőeszköz pontossági osztálya)
δ=±ΔG/G norma ·100%
ahol G normák a mért mennyiség normalizáló értéke. Egyenlőnek számít:
a) a műszerskála végső értéke, ha a nulla pont a skála szélén vagy kívül van;
b) a skála végső értékeinek összege az előjelek figyelmen kívül hagyása nélkül, ha a nulla jel a skálán belül található;
c) a skála hossza, ha a skála egyenetlen.
Az eszköz pontossági osztálya a tesztelés során kerül megállapításra, és egy szabványos hiba, amelyet a képletekkel számítanak ki
γ=±ΔG/G normák ·100%, haΔG m =állandó
ahol ΔG m az eszköz lehetséges legnagyobb abszolút hibája;
G k – a készülék mérési határának végső értéke; c és d együtthatók, amelyek figyelembe veszik a készülék mérőmechanizmusának tervezési paramétereit és tulajdonságait.
Például egy állandó relatív hibával rendelkező voltmérő esetében az egyenlőség fennáll
δ m =±c
A relatív és a redukált hibákat a következő függőségek kapcsolják össze:
a) a csökkentett hiba bármely értékére
δ=±γ·G normák/G u
b) a legnagyobb csökkentett hibára
δ=±γ m ·G normák/G u
Ezekből az összefüggésekből az következik, hogy például voltmérővel végzett mérések során egy áramkörben azonos feszültségértéken, minél kisebb a mért feszültség, annál nagyobb a relatív hiba. És ha ezt a voltmérőt rosszul választják meg, akkor a relatív hiba arányos lehet az értékkel G n , ami elfogadhatatlan. Vegye figyelembe, hogy a megoldandó problémák terminológiájának megfelelően, például G = U feszültség mérésekor, C = I áram mérésekor a hibaszámítási képletekben a betűjelöléseket a megfelelő szimbólumokra kell cserélni.
Példa 1.1. Voltmérő γ m = 1,0% értékkel U n = G normák, G k = 450 V, mérjük meg az U u feszültséget 10 V-tal. Becsüljük meg a mérési hibákat.
Megoldás.
Válasz. A mérési hiba 45%. Ilyen hibával a mért feszültség nem tekinthető megbízhatónak.
Nál nél fogyatékosok készülék (voltmérő) kiválasztásakor a módszertani hiba a képlettel számított módosítással vehető figyelembe
Példa 1.2. Számítsa ki a V7-26 voltmérő abszolút hibáját az egyenáramú áramkör feszültségének mérésekor. A voltmérő pontossági osztályát a maximális csökkentett hiba γ m =±2,5% határozza meg. A munkában használt voltmérő skálahatár U norma = 30 V.
Megoldás. Az abszolút hiba kiszámítása az ismert képletekkel történik:
(mivel a csökkentett hibát definíció szerint a képlet fejezi ki 
, akkor innen megtalálod az abszolút hibát: 
Válasz.ΔU = ±0,75 V.
A mérési folyamat fontos lépései az eredmények feldolgozása és a kerekítési szabályok. A közelítő számítások elmélete lehetővé teszi, hogy az adatok pontosságának ismeretében még a műveletek végrehajtása előtt értékeljük az eredmények pontossági fokát: a megfelelő pontosságú adatok kiválasztását, amelyek elegendőek az eredmény szükséges pontosságának biztosításához, de nem túl nagy ahhoz, hogy megmentse a számológépet a haszontalan számításoktól; racionalizálja magát a számítási folyamatot, megszabadítva azoktól a számításoktól, amelyek nem befolyásolják a pontos számokat és eredményeket.
Az eredmények feldolgozásakor kerekítési szabályokat alkalmazunk.
- 1. szabály Ha az eldobott első számjegy nagyobb, mint öt, akkor az utolsó megtartott számjegyet eggyel növeljük.
- 2. szabály Ha az eldobott számjegyek közül az első kevesebb, mint öt, akkor nem történik növekedés.
- 3. szabály. Ha az elvetendő számjegy öt és nincs mögötte jelentős számjegy, akkor a kerekítés a legközelebbire történik páros szám, azaz az utolsó tárolt számjegy változatlan marad, ha páros, és növekszik, ha nem páros.
Ha az ötös szám mögött jelentős számok vannak, akkor a kerekítés a 2. szabály szerint történik.
Ha egyetlen szám kerekítésére alkalmazzuk a 3. szabályt, nem növeljük a kerekítés pontosságát. De sok kerekítés esetén a többlet számok körülbelül olyan gyakran fordulnak elő, mint az elégtelen számok. A kölcsönös hibakompenzáció biztosítja az eredmény legnagyobb pontosságát.
Olyan számot hívunk meg, amely nyilvánvalóan meghaladja az abszolút hibát (vagy a legrosszabb esetben egyenlő vele). maximális abszolút hiba.
A maximális hiba nagysága nem teljesen biztos. Minden közelítő szám esetében ismerni kell a maximális hibáját (abszolút vagy relatív).
Ha nincs közvetlenül feltüntetve, akkor a maximális abszolút hiba az utolsó beírt számjegy egységének fele. Tehát, ha egy hozzávetőleges 4,78-as számot adunk meg a maximális hiba megadása nélkül, akkor feltételezzük, hogy a maximális abszolút hiba 0,005. Ennek a megállapodásnak az eredményeként mindig megteheti az 1-3 szabály szerint kerekített szám maximális hibájának feltüntetését, azaz ha a hozzávetőleges számot α betű jelöli, akkor
ahol Δn a maximális abszolút hiba; és δ n a maximális relatív hiba.
Ezenkívül az eredmények feldolgozása során használjuk a hibakeresés szabályai összeg, különbség, szorzat és hányados.
- 1. szabály Az összeg maximális abszolút hibája megegyezik az egyes tagok maximális abszolút hibáinak összegével, de a tagok jelentős hibáinál általában kölcsönös hibakompenzáció történik, ezért az összeg valódi hibája csak kivételes esetekben eset egybeesik a maximális hibával, vagy közel van ahhoz.
- 2. szabály A különbség maximális abszolút hibája megegyezik a csökkentendő vagy kivonandó maximális abszolút hibáinak összegével.
A maximális relatív hiba könnyen meghatározható a maximális abszolút hiba kiszámításával.
- 3. szabály. Az összeg maximális relatív hibája (de nem a különbség) a kifejezések legkisebb és legnagyobb relatív hibája között van.
Ha minden tagnak ugyanaz a maximális relatív hibája, akkor az összegnek ugyanaz a maximális relatív hibája. Más szóval, ebben az esetben az összeg pontossága (százalékban kifejezve) nem rosszabb, mint a kifejezések pontossága.
Az összeggel ellentétben a közelítő számok különbsége kevésbé pontos lehet, mint a minuend és a részfej. A pontosság vesztesége különösen nagy, ha a minuend és a subtrahend alig különbözik egymástól.
- 4. szabály. A szorzat maximális relatív hibája megközelítőleg egyenlő a tényezők maximális relatív hibáinak összegével: δ=δ 1 +δ 2, pontosabban δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 ahol δ a szorzat relatív hibája, δ 1 δ 2 - relatív hibák tényezőket.
Megjegyzések:
1. Ha hozzávetőlegesen azonos számú jelentős jegyű számokat szorozunk, akkor ugyanannyi jelentős számjegyet kell megőrizni a szorzatban. Az utolsó tárolt számjegy nem lesz teljesen megbízható.
2. Ha egyes tényezők több jelentős számjegyűek, mint mások, akkor a szorzás előtt az elsőket kerekíteni kell, annyi számjegyet tartva bennük, amennyi a legkevésbé pontos tényező, vagy még egyet (tartalékként), a további számjegyek mentése felesleges.
3. Ha szükséges, hogy két szám szorzata legyen előre adott szám teljesen megbízható, akkor minden tényezőben a pontos számjegyek (méréssel vagy számítással nyert) száma eggyel több legyen. Ha a tényezők száma kettőnél több és tíznél kevesebb, akkor minden tényezőben a teljes garanciához tartozó pontos számjegyek számának két egységgel többnek kell lennie, mint a szükséges pontos számjegyek száma. A gyakorlatban elég csak egy plusz számjegyet venni.
- 5. szabály. A hányados maximális relatív hibája megközelítőleg megegyezik az osztó és az osztó maximális relatív hibáinak összegével. A maximális relatív hiba pontos értéke mindig meghaladja a közelítőt. A többlet százaléka megközelítőleg megegyezik az osztó maximális relatív hibájával.
1.3. példa. Határozzuk meg a 2,81: 0,571 hányados maximális abszolút hibáját.
Megoldás. Az osztalék maximális relatív hibája 0,005:2,81=0,2%; osztó – 0,005:0,571=0,1%; privát – 0,2% + 0,1% = 0,3%. A hányados maximális abszolút hibája körülbelül 2,81: 0,571·0,0030=0,015
Ez azt jelenti, hogy a hányadosban a 2,81:0,571=4,92 már a harmadik meghatározó alak megbízhatatlan.
Válasz. 0,015.
1.4. példa. Számítsa ki az áramkör szerint csatlakoztatott voltmérő leolvasásainak relatív hibáját (1.3. ábra), amelyet akkor kapunk, ha feltételezzük, hogy a voltmérő végtelenül nagy ellenállással rendelkezik, és nem vezet torzulást a mért áramkörbe! Osztályozza a probléma mérési hibáját!
rizs. 1.3
Megoldás. Jelöljük ÉS ∞-vel egy valós voltmérő, a végtelenül nagy ellenállású voltmérő leolvasását ÉS ∞-vel. Szükséges relatív hiba 
vegye észre, az
akkor kapunk
Mivel R ÉS >>R és R > r, az utolsó egyenlőség nevezőjében szereplő tört sokkal kisebb, mint egy. Ezért használhatja a hozzávetőleges képletet 
, érvényes λ≤1-re bármely α esetén. Feltételezve, hogy ebben a képletben α = -1 és λ= rR (r+R) -1 R és -1, akkor δ ≈ rR/(r+R) R And.
Minél nagyobb a voltmérő ellenállása az áramkör külső ellenállásához képest, annál kisebb a hiba. De feltétel R< Válasz. Szisztematikus módszertani hiba. 1.5. példa.
Az egyenáramú áramkör (1.4. ábra) a következő eszközöket tartalmazza: A – M 330 típusú ampermérő, K pontossági osztály A = 1,5 mérési határértékkel I k = 20 A; A 1 - ampermérő típusú M 366, pontossági osztály K A1 = 1,0 mérési határértékkel I k1 = 7,5 A. Határozza meg a lehetséges legnagyobb relatív hibát az I 2 áram mérésében és a tényleges értékének lehetséges határait, ha a műszerek azt mutatták, hogy I. = 8,0A. és I 1 = 6,0 A. Osztályozza a mérést. rizs. 1.4 Megoldás. Az I 2 áramerősséget a készülék leolvasásaiból határozzuk meg (a hibáik figyelembe vétele nélkül): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 A. Keressük meg az A és A 1 ampermérő abszolút hibamodulját Az A-nál megvan az egyenlőség Nézzük meg az abszolút hibamodulok összegét: Következésképpen ugyanazon érték lehető legnagyobb értéke, ennek az értéknek a törtrészében kifejezve, egyenlő 1-gyel. 10 3 – egy készülékhez; 2·10 3 – másik készülékhez. Az alábbi eszközök közül melyik lesz a legpontosabb? Megoldás. A készülék pontosságát a hiba reciproka jellemzi (minél pontosabb a készülék, annál kisebb a hiba), pl. az első eszköznél ez 1/(1 . 10 3) = 1000, a másodiknál – 1/(2 . 10 3) = 500. Vegye figyelembe, hogy 1000 > 500. Ezért az első eszköz kétszer olyan pontos, mint a a második. Hasonló következtetésre juthatunk a hibák konzisztenciájának ellenőrzésével: 2. 10 3/1. 10 3 = 2. Válasz. Az első eszköz kétszer olyan pontos, mint a második. Példa 1.6.
Keresse meg a készülék közelítő méréseinek összegét! Keresse meg a helyes karakterek számát: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526. Megoldás. Az összes mérési eredményt összeadva 0,6187-et kapunk. Az összeg maximális hibája 0,00005·9=0,00045. Ez azt jelenti, hogy az összeg utolsó negyedik számjegyében akár 5 egységnyi hiba is előfordulhat. Ezért az összeget a harmadik számjegyre kerekítjük, azaz. ezredrész, 0,619-et kapunk - olyan eredményt, amelyben minden előjel helyes. Válasz. 0,619. A helyes számjegyek száma három tizedesjegy. FIZIKAI MENNYISÉGEK MÉRÉSE. BEVEZETÉS A K-402.1 komplex a „Fizika” tudományág „Szilárd test dinamikája” szakaszához előírt oktatási szabvány és munkaprogram által előírt laboratóriumi munkák szükséges listáját tartalmazza. Tartalmazza a laboratóriumi berendezések leírását, a mérési eljárást és egy algoritmust bizonyos fizikai mennyiségek kiszámításához. Ha egy diák egy tanórán kezd megismerkedni egy adott munkával az osztályteremben, akkor az egy laboratóriumi munka elvégzésére szánt két óra nem lesz elegendő számára, és lemarad a félévi munkatervtől. Ennek kiküszöbölésére a második generációs oktatási szabvány előírja, hogy a tudományág tanulására szánt órák 50%-át önálló munkára kell fordítani, ami a tanulási folyamat szükséges eleme. Az önálló munkavégzés célja ismeretek és készségek megszilárdítása, elmélyítése, előadásokra, gyakorlati és laboratóriumi órákra való felkészítés, valamint a hallgatók önállóságának fejlesztése az új ismeretek és készségek elsajátításában. A különböző szakok tantervei előírják a „Fizika” tudományág önálló tanulmányozását a félév során 60-120 órában. Ebből a laboratóriumi órák 20–40 órát, illetve munkánként 2–4 órát tesznek ki. Ez idő alatt a tanulónak: el kell olvasnia a tankönyvek vonatkozó bekezdéseit; alapvető képleteket és törvényeket tanulni; ismerkedjen meg a telepítési és mérési eljárással. A szerelési munkák elvégzéséhez a hallgatónak ismernie kell a berendezés eszközét, meg kell tudnia határozni a mérőműszer osztásértékét, ismernie kell a mérési sorrendet, képesnek kell lennie a mérési eredmények feldolgozására, a hiba kiértékelésére. Az összes számítás és a jelentés elkészítése után a hallgatónak következtetést kell levonnia, konkrétan megjelölve azokat a fizikai törvényeket, amelyeket a munka során teszteltek. Kétféle mérés létezik: közvetlen és közvetett. A közvetlen mérések azok, amelyek során egy mértéket és egy tárgyat összehasonlítanak. Például mérje meg egy henger magasságát és átmérőjét tolómérővel. A közvetett méréseknél a fizikai mennyiség meghatározása egy képlet alapján történik, amely megállapítja kapcsolatát a közvetlen mérésekkel talált mennyiségekkel. A mérést nem lehet teljesen pontosan elvégezni. Az eredmény mindig tartalmaz valamilyen hibát. A mérési hibákat rendszerint szisztematikusra és véletlenszerűre osztják. Szisztematikus hibák olyan tényezők okozzák, amelyek ugyanazon mérések többszöri megismétlésekor ugyanúgy hatnak. A szisztematikus hibákhoz való hozzájárulás innen származik hangszeres vagy műszer hiba, amelyet a készülék érzékenysége határoz meg. Ilyen adat hiányában a műszerhibának a műszer legkisebb léptékű felosztásának árát vagy annak felét kell tekinteni. Véletlenszerű hibák sok, figyelembe nem vehető tényező egyidejű hatása okozza. A legtöbb mérést véletlenszerű hibák kísérik, amelyekre jellemző, hogy minden ismételt mérésnél más, előre nem látható értéket vesz fel. Abszolút hiba szisztematikus és véletlenszerű hibákat tartalmaz: A mért érték valódi értéke a következő tartományban lesz: amelyet konfidencia intervallumnak nevezünk. Meghatározására véletlenszerű hiba először számítsa ki a mérés során kapott összes érték átlagát: hol az eredmény én-edik dimenzió, – méretek száma. Ezután megkeresik az egyes mérések hibáit A mérési eredmények feldolgozásakor a Student eloszlást használjuk. Figyelembe véve a Student együtthatót, véletlen hiba 1.1. táblázat Tanulói együttható táblázat A Student-együttható a számtani átlagnak a valódi értéktől való eltérését mutatja, az átlagos négyzetes hiba töredékében kifejezve. A tanulói együttható a mérések számától függ nés a megbízhatóságról, és a táblázatban látható. 1.1. Az abszolút hiba kiszámítása a képlet segítségével történik A legtöbb esetben nem az abszolút, hanem a relatív hiba játszik jelentősebb szerepet Vagy Minden számítási eredmény bekerül a táblázatba. 1.2. 1.2. táblázat A mérési hiba számításának eredménye Közvetett mérések hibáinak számítása Utasítás Először is végezzen több mérést azonos értékű műszerrel, hogy megkaphassa a tényleges értéket. Minél több mérést végez, annál pontosabb lesz az eredmény. Például mérjünk egy elektronikus mérlegen. Tegyük fel, hogy 0,106, 0,111, 0,098 kg eredményt kapott. Most számítsa ki a mennyiség valós értékét (valós, mivel a valódi érték nem található). Ehhez a kapott eredményeket össze kell adni, és el kell osztani a mérések számával, azaz meg kell találni a számtani átlagot. A példában a tényleges érték (0,106+0,111+0,098)/3=0,105. A második az okok befolyásából ered, és véletlenszerű természetűek. Ide tartozik a helytelen kerekítés a leolvasások és a befolyás kiszámításakor. Ha ezek a hibák lényegesen kisebbek, mint ennek a mérőeszköznek a skálaosztásai, akkor ajánlatos az osztás felét abszolút hibának venni. Kisasszony vagy Durva hiba olyan megfigyelési eredményt képvisel, amely élesen különbözik az összes többitől. Abszolút hiba hozzávetőleges számérték a mérés során kapott eredmény és a mért érték valódi értéke közötti különbség. A valódi vagy tényleges érték a vizsgált fizikai mennyiséget tükrözi. Ez hiba a hiba legegyszerűbb mennyiségi mértéke. A következő képlettel számítható ki: ∆Х = Hisl - Hist. Pozitív és negatív jelentéseket is felvehet. A jobb megértés érdekében nézzük meg. Az iskolának 1205 tanulója van, 1200 abszolútra kerekítve hiba egyenlő: ∆ = 1200 - 1205 = 5. Vannak bizonyos számítások a hibaértékekre vonatkozóan. Először is abszolút hiba két független mennyiség összege egyenlő abszolút hibáik összegével: ∆(X+Y) = ∆X+∆Y. Hasonló megközelítés alkalmazható a két hiba közötti különbségre. Használhatja a következő képletet: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y. Források: A mérések különböző fokú pontossággal végezhetők. Ugyanakkor még a precíziós műszerek sem teljesen pontosak. Az abszolút és relatív hibák kicsik lehetnek, de a valóságban szinte mindig ott vannak. Egy bizonyos mennyiség közelítő és pontos értéke közötti különbséget abszolútnak nevezzük hiba. Ebben az esetben az eltérés lehet nagyobb és kisebb is. Szükséged lesz Utasítás Az abszolút hiba kiszámítása előtt vegyen több posztulátumot kiindulási adatként. Szüntesse meg a súlyos hibákat. Tegyük fel, hogy a szükséges korrekciókat már kiszámoltuk és alkalmaztuk az eredményre. Ilyen módosítás lehet az eredeti mérési pont áthelyezése. Vegyük kiindulópontként a véletlenszerű hibákat. Ez azt jelenti, hogy ezek kevésbé szisztematikusak, azaz abszolút és relatívak, jellemzőek erre az eszközre. A véletlenszerű hibák még a nagyon pontos mérések eredményeit is befolyásolják. Ezért minden eredmény többé-kevésbé közel lesz az abszolúthoz, de mindig lesznek eltérések. Határozza meg ezt az intervallumot. A (Xizm- ΔХ)≤Xizm ≤ (Xizm+ΔХ) képlettel fejezhető ki.
Határozza meg az értékhez legközelebb eső értéket. A méréseknél az aritmetikát veszik fel, amelyet az ábra képletéből kaphatunk. Fogadja el az eredményt valódi értékként. Sok esetben a referencia műszer leolvasását pontosnak fogadják el. A valódi érték ismeretében megtalálhatja az abszolút hibát, amelyet minden további mérésnél figyelembe kell venni. Keresse meg X1 értékét - egy adott mérés adatait. Határozza meg a ΔХ különbséget úgy, hogy a kisebbet kivonja a nagyobbból. A hiba meghatározásakor csak ennek a különbségnek a modulusát veszik figyelembe. jegyzet Általános szabály, hogy a gyakorlatban nem lehet teljesen pontos méréseket végezni. Ezért a maximális hibát tekintjük referenciaértéknek. Az abszolút hibamodul maximális értékét jelenti. Hasznos tanács A gyakorlati méréseknél általában a legkisebb osztásérték felét veszik abszolút hibának. Számokkal való munka során az abszolút hibát a számjegy értékének a felének vesszük, amely a pontos számjegyek melletti számjegyben található. Egy műszer pontossági osztályának meghatározásához fontosabb az abszolút hiba aránya a mérési eredményhez vagy a skála hosszához. A mérési hibák a műszerek, eszközök és technikák tökéletlenségével járnak. A pontosság a kísérletező figyelmétől és állapotától is függ. A hibákat abszolút, relatív és redukált hibákra osztjuk. Utasítás Adja meg egy mennyiség egyszeri mérése az x eredményt. A valódi értéket x0 jelöli. Akkor abszolút hibaΔx=|x-x0|. Abszolút értékeli. Abszolút hiba három összetevőből áll: véletlenszerű hibák, szisztematikus hibák és kihagyások. Általában műszeres mérésnél az osztásérték felét hibának veszik. Egy milliméteres vonalzónál ez 0,5 mm lenne. A mért mennyiség valódi értéke az intervallumban (x-Δx ; x+Δx). Röviden, ezt úgy írjuk le, hogy x0=x±Δx. Fontos, hogy x-et és Δx-et ugyanabban a mértékegységben mérjük, és ugyanabban a formátumban írjunk, például egész részt és három vesszőt. Szóval abszolút hiba megadja annak az intervallumnak a határait, amelyben bizonyos valószínűséggel a valódi érték található. Közvetlen és közvetett mérések. Közvetlen méréseknél a kívánt érték azonnal megmérésre kerül a megfelelő készülékkel. Például testek vonalzóval, feszültség voltmérővel. A közvetett méréseknél az értéket a közte és a mért értékek közötti összefüggés képletével találjuk meg. Ha az eredmény három, közvetlenül mért, Δx1, Δx2, Δx3 hibájú mennyiségtől való függés, akkor hiba közvetett mérés ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Itt ∂F/∂x(i) a függvény parciális deriváltjai a közvetlenül mért mennyiségek mindegyikére. Hasznos tanács A hibák a mérések durva pontatlanságai, amelyek a műszerek hibás működése, a kísérletező figyelmetlensége vagy a kísérleti módszertan megsértése miatt következnek be. Az ilyen hibák valószínűségének csökkentése érdekében legyen óvatos a mérések során, és írja le részletesen a kapott eredményeket. Források: Mennyiségi koncepció " pontosság"nem létezik a tudományban. Ez egy minőségi fogalom. A szakdolgozatok védésekor csak hibáról beszélnek (például mérések). És még ha a szó „ pontosság", akkor szem előtt kell tartani az érték egy nagyon homályos mértékét, a hiba fordítottját. Utasítás Egy kis elemzés a „közelítő érték” fogalmáról. Lehetséges, hogy ez a számítás hozzávetőleges eredménye. Pontosság ( pontosság) itt maga a mű előadója állítja be. Ezt a hibát például „10-ig a mínusz negyedik hatványig” jelzi. Ha a hiba relatív, akkor százalékban vagy részesedésben. Ha a számításokat egy számsor (leggyakrabban Taylor) alapján végezzük - a sorozat fennmaradó részének modulusa alapján. Körülbelül hozzávetőleges értékeket a mennyiségekről gyakran becslésként beszélnek értékeket. A mérési eredmények véletlenszerűek. Ezért ezek ugyanazok a valószínűségi változók, amelyek az értékek szórásának jellemzőivel rendelkeznek, mint például az azonos diszperzió vagy r.s. (átlagos Korunkban az ember rengetegféle mérőműszert talált fel és használ. De bármennyire is tökéletes a gyártási technológia, mindegyikben van kisebb-nagyobb hiba. Ezt a paramétert általában magán a műszeren tüntetik fel, és a meghatározandó érték pontosságának értékeléséhez meg kell értenie, mit jelentenek a jelölésen feltüntetett számok. Emellett a bonyolult matematikai számítások során elkerülhetetlenül felmerülnek relatív és abszolút hibák. Széles körben használják a statisztikákban, az iparban (minőség-ellenőrzés) és számos más területen. Hogyan számítják ki ezt az értéket és hogyan értelmezzük értékét - pontosan erről lesz szó ebben a cikkben. Abszolút hiba Jelöljük x-szel egy mennyiség közelítő értékét, amelyet például egyetlen méréssel kapunk, és x 0-val a pontos értékét. Most számoljuk ki a két szám közötti különbség nagyságát. Az abszolút hiba pontosan az az érték, amelyet ennek az egyszerű műveletnek az eredményeként kaptunk. A képletek nyelvén kifejezve ez a definíció a következő formában írható fel: Δ x = | x - x 0 |. Relatív hiba Az abszolút eltérésnek van egy fontos hátránya - nem teszi lehetővé a hiba fontosságának mértékét. Például 5 kg burgonyát veszünk a piacon, és egy gátlástalan eladó a súlymérésnél 50 grammot hibázott a javára. Vagyis az abszolút hiba 50 gramm volt. Számunkra egy ilyen mulasztás puszta apróság lesz, és nem is fogunk rá figyelni. Képzelje el, mi történik, ha hasonló hiba történik a gyógyszer elkészítése során? Itt minden sokkal komolyabb lesz. Egy tehervagon berakodása esetén pedig valószínűleg ennél az értéknél sokkal nagyobb eltérések lépnek fel. Ezért maga az abszolút hiba nem túl informatív. Emellett nagyon gyakran a relatív eltérést is kiszámítják, amely megegyezik az abszolút hiba és a szám pontos értékének arányával. Ezt a következő képlettel írjuk fel: δ = Δ x / x 0 . Hiba tulajdonságai Tegyük fel, hogy két független mennyiségünk van: x és y. Ki kell számolnunk az összegük közelítő értékének eltérését. Ebben az esetben az abszolút hibát mindegyikük előre kiszámított abszolút eltérésének összegeként számíthatjuk ki. Egyes méréseknél megtörténhet, hogy az x és y értékek meghatározásának hibái kioltják egymást. Illetve előfordulhat, hogy az összeadás hatására az eltérések maximálisan felerősödnek. Ezért a teljes abszolút hiba kiszámításakor a legrosszabb forgatókönyvet kell figyelembe venni. Ugyanez igaz a több mennyiség hibái közötti különbségre is. Ez a tulajdonság csak az abszolút hibára jellemző, és nem alkalmazható relatív eltérésre, mivel ez elkerülhetetlenül hibás eredményhez vezet. Nézzük meg ezt a helyzetet a következő példa segítségével. Tegyük fel, hogy a henger belsejében végzett mérések azt mutatták, hogy a belső sugár (R 1) 97 mm, a külső sugár (R 2) 100 mm. Meg kell határozni a fal vastagságát. Először keressük meg a különbséget: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Ha a probléma nem jelzi az abszolút hibát, akkor azt a mérőeszköz skálaosztásának felének vesszük. Így Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. A teljes abszolút hiba: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Most számítsuk ki az összes érték relatív eltérését: δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005, δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052, δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1). Amint látható, mindkét sugár mérésének hibája nem haladja meg az 5,2%-ot, a különbségük számításánál - a hengerfal vastagságánál - pedig akár 33,(3)% volt! A következő tulajdonság kimondja: több szám szorzatának relatív szórása megközelítőleg egyenlő az összeggel relatív eltérések egyéni tényezők: δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y). Ezenkívül ez a szabály a kiértékelt értékek számától függetlenül érvényes. A relatív hiba harmadik és egyben utolsó tulajdonsága a relatív becslés kth számok fok megközelítőleg | k | az eredeti szám relatív hibájának szorzata.
ampermérőhöz 
. (1.1)
, (1.2)
, 
, …, 
.
. (1.3)
.
n
0,6
0,7
0,9
0,95
0,99
1,36
2,0
6,3
12,7
636,6
1,06
1,3
2,9
4,3
31,6
0,98
1,3
2,4
3,2
12,9
0,94
1,2
2,1
2,8
8,7
…
…
…
…
…
…
0,85
1,0
1,7
2,0
3,5
0,84
1,0
1,7
2,0
3,4
.
. (1.4)Nem.
mm mm mm mm 2 mm 2 mm mm mm mm mm %
