Az R n n-dimenziós tér minden pontjához (x 1 ,x 2 ,…x n) egy n-dimenziós vektort rendelünk x=(x 1 ,x 2 ,…x n) úgy, hogy a kezdet az origóban, a vége pedig az (x 1 ,x 2 ,…x n) pontban van. Sok vektor x=(x 1,x 2,...x n) R n-ben, melynek összetevői m lineáris egyenlőtlenséget elégítenek ki:
A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1 n x n ≤ b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2 n x n ≤ b 2
. . . . . . . . . . . . (2)
a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +...+a m n x n ≤ b m
rendszer megoldáshalmazának nevezzük lineáris egyenlőtlenségek.
A definícióban minden egyenlőtlenséget ≤ előjellel írunk. Megszorozva ezzel
(-1) bármelyik egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére változtathatja. A ³ és ≤ előjelű lineáris egyenlőtlenségek rendszerére megoldások halmaza van definiálva.
Modellezési problémák
Modellezéselmélet tárgya
A modellezés az egyik objektum (az eredeti) helyettesítése egy másikkal (a modell), valamint a modell tulajdonságainak rögzítése és tanulmányozása. A csere a cél érdekében történik egyszerűsítés, a költségek csökkentése, az eredeti tulajdonságainak tanulmányozásának felgyorsítása.
BAN BEN általános eset az eredeti tárgy lehet természetes vagy mesterséges, valós vagy képzeletbeli rendszer. Számos paraméterrel rendelkezik, és bizonyos tulajdonságok jellemzik. Egy rendszer tulajdonságainak kvantitatív mérését számos jellemző adja, a rendszer külső hatások hatására mutatja ki tulajdonságait.
Számos paraméter és értékeik tükrözik a belső tulajdonságait tartalom - szerkezetés működési elveket. Jellemzői alapvetően ő külső jelek amelyek fontosak a másokkal való interakció során.
A modellezés akkor célszerű, ha a modellből hiányoznak az eredeti azon tulajdonságai, amelyek hátráltatják a tanulmányozást.
A modellezési elmélet rendelkezések, definíciók, módszerek és modellalkotási eszközök egymással összefüggő halmaza. Maguk a modellek a modellezéselmélet tárgyát képezik.
A modellezési elmélet a fő összetevő általános elmélet rendszerek - rendszertan, ahol a megvalósítható modellek a fő elvként posztuláltak: egy rendszert modellek véges halmazával lehet ábrázolni, amelyek mindegyike a lényegének egy bizonyos oldalát tükrözi.
A modellezés szerepe és helye a rendszerkutatásban.
Bármely rendszer () ismerete lényegében a modelljének megalkotásán múlik. Minden eszköz vagy szerkezet gyártása előtt kidolgozásra kerül annak modell-projektje. Minden műalkotás modell, amely megragadja a valóságot.
A matematika fejlődése a különféle objektumok és folyamatok matematikai modelljeinek elterjedéséhez vezetett. Meg kell jegyezni, hogy a különböző fizikai természetű rendszerek működésének dinamikája azonos típusú függőséggel rendelkezik, ami lehetővé teszi azok PC-n történő szimulálását.
Modell osztályozás
Fizikai modellek. Az osztályozás a modell eredetitől való elvonatkoztatási fokán alapul. Korábban minden modell 2 csoportra osztható - fizikai és absztrakt (matematikai).
F.M. általában az eredetivel egyenértékű vagy ahhoz hasonló, de esetleg más fizikai természetű rendszerre utal. Az F.M. típusai:
Természetes;
kvázi-természetes;
Nagyarányú;
Analóg;
Természetes modellek- ezek valódi vizsgált rendszerek (modellek, prototípusok). Teljes mértékben megfelelnek (megfelelnek) az eredeti rendszernek, de drágák.
Kvázi természetes modellek- természetes és matematikai modellek halmaza. Ezt a típust akkor használjuk, ha a rendszer egy részének modellje leírásának bonyolultsága miatt nem lehet matematikai (emberi operátor modell), vagy ha a rendszer egy részét más részekkel kölcsönhatásban kell tanulmányozni, de ezek még nem léteznek, vagy a befogadás nagyon drága (számítási sokszögek, ACS).
A méretarányos modell az eredetivel azonos fizikai természetű rendszer, de méretarányában különbözik attól. Módszertani alapok A méretarányos modellezés a hasonlóság elmélete. Repülőgépek tervezése során a méretarányos modellek segítségével elemezni lehet az elrendezési megoldások lehetőségeit.
Analóg modellek Olyan rendszereket nevezünk, amelyek fizikai természete eltér az eredetitől, de az eredetihez hasonló működésű folyamatok. Analóg modell létrehozásához szükség van a vizsgált rendszer matematikai leírására. Analóg modellként mechanikus, hidraulikus, pneumatikus és elektromos rendszereket használnak. Az analóg modellezést a VT berendezések logikai elemek és szintjén történő tanulmányozásakor alkalmazzák elektromos áramkörök, valamint rendszerszinten, amikor a rendszer működését például differenciál- vagy algebrai egyenletek írják le.
Matematikai modellek. A matematikai modellek egy rendszer formalizált ábrázolása absztrakt nyelv segítségével, olyan matematikai összefüggések felhasználásával, amelyek a rendszer működési folyamatát tükrözik. A matematikai modell összeállításához bármilyen matematikai eszközt használhat - algebrai, differenciálszámítást, integrálszámítást, halmazelméletet, algoritmuselméletet stb. Lényegében az összes matematikát az objektumok és folyamatok modelljének összeállítására és tanulmányozására hozták létre.
A rendszerek absztrakt leírásának eszközei közé tartoznak a nyelvek is kémiai képletek, diagramok, rajzok, térképek, diagramok stb. A modell típusának megválasztását a vizsgált rendszer jellemzői és a modellezés céljai határozzák meg, mert A modell tanulmányozása lehetővé teszi, hogy egy bizonyos kérdéscsoportra választ kapjunk. A különböző információk megszerzéséhez különböző információkhoz más típusú modellre lehet szükség. A matematikai modellek determinisztikus és valószínűségi, analitikus, numerikus és szimulációs modellekre oszthatók.
Analitikai modell Ez egy olyan rendszer formalizált leírása, amely lehetővé teszi az egyenlet explicit megoldását egy jól ismert matematikai apparátus segítségével.
Numerikus modell típusfüggőség jellemzi, amely csak részleges megoldásokat tesz lehetővé bizonyos kezdeti feltételekre és a modellek mennyiségi paramétereire.
Szimulációs modell- ez a rendszer és a külső hatások leírásainak halmaza, a rendszer működésére vonatkozó algoritmusok vagy a rendszer állapotának külső és belső zavarok hatására történő megváltoztatására vonatkozó szabályok. Ezek az algoritmusok és szabályok nem teszik lehetővé a meglévő matematikai módszerek alkalmazását az analitikai és numerikus megoldás, de lehetővé teszik a rendszer működési folyamatának szimulálását és az érdeklődésre számot tartó jellemzők kiszámítását. Szimulációs modellek az objektumok és folyamatok sokkal szélesebb osztályára készíthetők, mint az analitikai és numerikus modellek. Mivel a számítógépeket szimulációs modellek megvalósítására használják, az univerzális és speciális algoritmikus nyelvek azok formalizált leírásának eszközei. A legalkalmasabbak a repülőgépek rendszerszintű tanulmányozására.
Tekintsünk néhány olyan problémát, amelyekben meg kell találni a lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megoldási tartományát.
1. példa:
X 1 + 3x 2 ≤ 6
x 1 - x 2 ≤ 2
A szükséges megoldáskészlet az árnyékolt területnek felel meg. A megoldáshalmaz csúcsai három pont (0,2), (0,-2) és (3,1). Ezek a megoldások halmazát korlátozó egyenesek metszéspontjai.
Ebben a példában a megoldáshalmaz egy poliéder konvex halmaz.
2. példa: Rajzolja fel a megoldások halmazát az alábbi lineáris egyenlőtlenség-rendszerre R²-ben.
X 1 + 2x 2 ≤ 4
3x 1 + 2x 2 ≤ 6
A kívánt halmaz csúcsai két pont koordinátákkal: (0,2) és (1/2, 9/4). A (0,3) koordinátájú pont nem csúcs, mivel nem teljesíti az első egyenlőtlenséget. Ez a megoldáskészlet korlátlan.
Megoldás 3. példa: Rajzolja fel a megoldások halmazát az alábbi lineáris egyenlőtlenség-rendszerre R²-ben.
X 1 - x 2 ³ 1
x 1 + x 2 ≤ 1
Az első és a második egyenlőtlenség megoldása az árnyékolt alsó szektor pontjai. A harmadik egyenlőtlenség megoldása az árnyékolt felső félsík pontjai. Mivel ennek a két területnek nincs közös pontja, így a teljes egyenlőtlenségrendszernek nincs megoldása, azaz a megoldás Æ.
A lineáris programozás fő problémája.
BAN BEN Általános nézet A lineáris programozási probléma (LPP) a következőképpen fogalmazódik meg.
Keresse meg a vektort x=(x 1,x 2, ... x n) R n-ben, ami maximalizálja (vagy minimalizálja) a célfüggvényt
F(x)=с 1 x 1 +с 2 x 2 +... +с n x n (3)
és kielégíti m+n lineáris egyenlőtlenséget:
A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n ≤ b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n ≤ b 2
. . . . . . . . . . . . (4)
a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n ≤ b m
x 1 ³0, x 2 ³0, ... x n ³0
A programozási terminológiában az F(x) lineáris függvényt a probléma célfüggvényének nevezzük. A lineáris egyenlőtlenségek rendszerének (4) megoldásainak halmazát a megengedett megoldások halmazának nevezzük, és bármely vektort x ebből a halmazból nevezzük megvalósítható megoldásnak. Az optimális megoldás a vektor x*, amelynél a célfüggvény felveszi a maximális (vagy minimális) értékét a megengedett megoldáshalmazon.
Grafikus módszer lineáris programozási feladatok megoldására. Mutassuk meg, hogyan oldható meg ez a probléma grafikus (geometriai) módszerrel. Ehhez korlátozzuk magunkat a két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenségek rendszerének vizsgálatára.
Legyen adott az F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 célfüggvény. Keressük a (4) (csak x 1 és x 2 változókat tartalmazó) egyenlőtlenség-rendszer megengedhető megoldásainak tartományából az (x 1, x 2) ponthalmaz közül azokat, amelyek megadják lineáris függvény F a legkisebb (legnagyobb) érték. A sík minden i –edik pontjára az F függvény egy fix értéket vesz fel F=F i . Az összes olyan pont halmaza, ahol az F függvény ugyanazt az F i értéket veszi fel, egy egyenes, amelyben 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 =F i = const, merőleges valamelyik F gradiensnek nevezett vektorra (grad F ). Ez a vektor az origóból jön ki, és grad F = (c 1,c 2) koordinátái vannak. A grad F vektor tulajdonsága szerint, ha a megadott egyenest önmagával párhuzamosan mozgatjuk a grad F vektor pozitív irányában, akkor az F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c célfüggvény értéke Ezen az egyenesen a 0 nő, az ellenkező irányban pedig csökken.
Hagyja, hogy az F=const egyenes a grad F vektor pozitív irányába mozogjon először, amikor ez az egyenes csúcsában találkozik a megengedett megoldások sokszögével. Ekkor ebben az F 1 helyzetben az F=const egyenest támaszvonalnak nevezzük, és ezen a vonalon veszi fel az F függvényt legkisebb érték. Az azonos irányú (pozitív) további mozgással az F=const egyenes átmegy a megvalósítható megoldások sokszögének egy másik csúcsán, és a megoldási területet elhagyva F 2 referenciaegyenessé is válik. Rajta az F függvény veszi fel legmagasabb érték a megvalósítható megoldások sokszögén elfogadott értékek között. Így az F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +c 0 célfüggvény minimalizálása és maximalizálása a megvalósítható megoldások sokszögén ennek a sokszögnek az F=c 1 x 1 + referenciaegyenesekkel való metszéspontjainál érhető el. c 2 x 2 +c 0 = const, normális a grad F=(с 1, с 2) vektorra. A referenciaegyenesnek ez a metszéspontja a megvalósítható megoldások halmazával lehet egy pontban (a sokszög csúcsa), vagy egy végtelen ponthalmazban (ha ez a sokszög oldalainak halmaza).
Az első, második, harmadik feladat feladatát a tanuló vezetékneve, keresztneve és családneve, a negyedik feladathoz pedig vezeték- és családneve alapján kell kiválasztani.
1. számú feladat
Asztal 1
| Első levél | Vezetéknév | Név | Vezetéknév | ||||||||||||
| egy 11 | egy 12 | a 21 | a 2 2 | egy 31 | egy 32 | egy 41 | a 4 2 | b 1 | b 2 | b 3 | C0 | C1 | C2 | ||
| A | |||||||||||||||
| B | |||||||||||||||
| BAN BEN | |||||||||||||||
| G | |||||||||||||||
| D | |||||||||||||||
| E | |||||||||||||||
| ÉS | |||||||||||||||
| Z | |||||||||||||||
| ÉS | |||||||||||||||
| NAK NEK | |||||||||||||||
| L | |||||||||||||||
| M | |||||||||||||||
| N | |||||||||||||||
| RÓL RŐL | |||||||||||||||
| P | |||||||||||||||
| R | |||||||||||||||
| VAL VEL | |||||||||||||||
| T | |||||||||||||||
| U | |||||||||||||||
| F | |||||||||||||||
| x | |||||||||||||||
| C | |||||||||||||||
| H | |||||||||||||||
| SE | |||||||||||||||
| YuYa | |||||||||||||||
4. példa: Minimalizálja az F=14x1 +4x2 lineáris alakot a megszorítások mellett:
7x 1 + 2x 2 ³ 14
4 x 1 – 7 x 2 ≤ 14
Az egyenlőtlenségjeleket pontos egyenlőségjelekre cserélve egyenleteket kapunk a megvalósítható megoldások tartományának határaira. A kapott egyenesek egyenleteinek felhasználásával megszerkesztjük a kívánt területet:
7x1 +2x2 =14
4 x 1 – 7 x 2 = 14
Az egyenlőtlenségek rendszerének megengedhető megoldásainak tartománya az ABCDE sokszög.
5. ábra.
A szélsőpontok meghatározásához egy F=14x 1 +4x 2 =0 egyenest és egy gradF = (14, 4) vektort készítünk. Az F=0 egyenest önmagával párhuzamosan mozgatjuk a grad F vektor irányába. Ez az egyenes először az E(2,0) és A(10/9, 28/9) pontokban találkozik az ABCDE sokszöggel, ahol a célfüggvény ugyanazt a minimális értéket veszi fel F(E) = F(A) =14·2+4∙0=28-min, (mivel a grad F vektor merőleges az AE egyenesre). Így a célfüggvény az AE szakasz bármely pontján felveszi minimális értékét.
A tervből 
a fő lineáris programozási probléma az következik, hogy pozitív összetevőinek száma nem haladja meg a -t.
Egy támogatási tervet nem degeneráltnak nevezünk, ha pontosan pozitív komponenseket tartalmaz; különben a terv elfajult.
Bármilyen rendszerváltozó lineáris egyenletek változókkal (alanya) alapnak nevezzük, ha az együtthatók mátrixának determinánsa eltér nullától. Ekkor a fennmaradó változókat nem elsődlegesnek nevezzük.
Az m változós lineáris egyenletrendszer alapmegoldása minden olyan megoldás, amelyben minden nem alapváltozó nulla értékű.
1. tétel. A lineáris programozási probléma kényszerrendszerének minden lehetséges megoldásának halmaza konvex.
2. tétel. Ha egy lineáris programozási feladatnak van optimális megoldása, akkor az egybeesik a megvalósítható megoldások halmazának sarokpontjával.
Következmény. Ha az optimális megoldás nem egyedi, akkor sok ilyen megoldás lesz (például a megfelelő sarokpontokat összekötő szakasz összes pontja).
3. tétel. Egy lineáris programozási feladat minden megengedett alapmegoldása megfelel a megengedett értékek tartományának egy sarokpontjának, és fordítva.
A szimplex módszer fogalma.
A fő lineáris programozási feladat geometriai módszerrel történő megoldása 2 és 3 változó esetén nagy áttekinthetőséget ér el. Ugyanerre az esetre több változók, a geometriai módszer lehetetlenné válik. Az úgynevezett szimplex módszer a lineáris programozási alapprobléma megoldásának egyik elemző módszere. Ebben az esetben a szimplex módszer megvalósítása során alkalmazott megszorításokat általában egy lineáris egyenletrendszer határozza meg
A 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n = b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n = b 2
. . . . . . . . . . . . (5)
a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +...+a mn x n = b m
amelyek nemnegatív megoldásai között olyanokat keresünk, amelyek maximalizálják a lineáris (objektív) függvényt
F=с 1 x 1 +с 2 x 2 +...+с n x n +с 0
A szimplex módszer a következő tételeken alapul:
1. tétel. Ha a ZLP-nek van optimális megoldása, akkor a célfüggvény a megvalósítható megoldások konvex sokszögének egyik sarokpontjában extrém értéket vesz fel.
2. tétel. A ZLP minden támaszmegoldása megfelel a megvalósítható megoldások sokszögének egy sarokpontjának, és fordítva.
Ezen tételek alapján a szimplex módszer alkalmazásakor az összes csúcs célzott keresését végezzük úgy, hogy minden következő csúcsban a célfüggvény értéke ne legyen kisebb (nem több), mint az előző csúcsban. Ugyanakkor azért végső szám lépésekben elérjük a kívánt optimális megoldást, vagy megállapítjuk, hogy a ZLP megoldhatatlan.
A megadott algoritmus megvalósításához az (5) max rendszerben kiválasztunk egy lineárisan független változók halmazát (azokat, amelyeknél az ezen változók előtti együtthatókból álló determináns eltér 0-tól). A határozottság kedvéért legyen ezek az x 1, x 2,... x r változók (r ≤ m). Fejezzük ki ezeket a változókat a fennmaradó változókkal
X 1 = a" 1, r +1 x r+1 + ... + a" 1 n x n + b 1 "
x 2 = a" 2, r +1 x r+1 + ... + a" 2 n x n + b 2 "(6)
. . . . . . . . . . . . . . . .
x r = a" r, r +1 x r+1 + ... + a" r n x n + b r "
Sőt, feltételezzük, hogy mind a b 1 "³0, b 2 "³0, b r "³0. Ha a kezdeti korlátozó feltételeket egyenlőtlenségek határozzák meg, akkor új nemnegatív változók bevezetésével átalakíthatók az (5) alakra, az úgynevezett egyensúlyi (szintező) tehát például aza 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤ b egyenlőtlenségben elegendő az egyenlőtlenség bal oldalához hozzáadni valamilyen x n + értéket. 1 ³ 0 egyenlő az egyenlőtlenség jobb és bal oldala közötti különbséggel, és az a 1 x 1 + a 2 x 2 +…+a n x n + x n +1 = b egyenlőséget kapjuk. módon, azaz egyenlőtlenségekkel és egyenletekkel, akkor a jelzett módon ezek is csak egyenletekre redukálhatók.
A kapott rendszerben (6) az x 1, x 2 ... x z (ismeretlen) változókat alapnak, a teljes halmazt (x 1, x 2 ... x z) pedig bázisnak nevezzük, a többi változót pedig ingyenesnek nevezik. A korlátozások rendszerét (6) egységalapúra redukált rendszernek nevezzük. Az F célfüggvénybe behelyettesítve az alapváltozók helyett azok kifejezéseit a (6) rendszerből származó szabadon keresztül, megkapjuk
F = C 0 + C g+1 x g+1 + … + C n x n
Most, feltételezve, hogy az összes szabad változó nulla, megtaláljuk az alapváltozók értékeit:
x 1 =b 1 ", x 2 = b 2" , ... x r =b r "
Az így kapott (6) rendszer megengedett megoldása
(b 1 ", b 2 ", ... b r ", 0, ... 0) alapnak nevezzük. Ennél az alapmegoldásnál a célfüggvény értéke F B = C 0 lesz.
A feladat megoldása szimplex módszerrel több lépésre oszlik, ami abból áll, hogy egy adott B bázisról egy másik B" bázisra lépünk át úgy, hogy az új bázison F B értéke nő, vagy legalább , nem csökken, akkor teljesül F B "≥ F B. Sőt, ha mind a b 1 ">0, b 2 ">0,…., b r ">0, akkor ezt a megoldást hivatkozásnak nevezzük, és megfelel valamilyen sarokpont az eredeti korlátrendszer által meghatározott megvalósítható megoldások területe. Ekkor az egyik alap (referencia) megoldásból a másikba való átmenet megfelel a megvalósítható megoldások sokszögének egyik csúcsából egy másik csúcsba való átmenetnek.
2. FELADAT
Három árucsoport értékesítéséhez egy kereskedelmi vállalkozás háromféle szerves anyaggal és pénzforrással rendelkezik , , egységnyi mennyiségben. Ugyanakkor 1 árucsoport értékesítéséhez 1 ezer rubelért. Az áruforgalom fogyasztása darabszámban, a második típusú erőforrás az egységekben, a harmadik típusú erőforrás az egységekben veszett el. 2 és 3 árucsoport értékesítésére 1 ezer rubelért. áruforgalom az első típusú erőforrás szerint , egységben, a második típusú erőforrás mennyiségben , egységben, a harmadik típusú erőforrás mennyiségben , egységben kerül elköltésre. Nyereség három árucsoportból 1 ezer rubelért. forgalom rendre , , (ezer rubel).
Határozza meg a kereskedelmi forgalom tervezett volumenét és szerkezetét úgy, hogy a kereskedelmi vállalkozás profitja maximalizálódjon.
| Első levél | Vezetéknév | Név | Vezetéknév | ||||||||||||
| A | |||||||||||||||
| B | |||||||||||||||
| BAN BEN | 1 0 | ||||||||||||||
| G | |||||||||||||||
| D | |||||||||||||||
| E | |||||||||||||||
| ÉS | |||||||||||||||
| Z | |||||||||||||||
| ÉS | |||||||||||||||
| NAK NEK | |||||||||||||||
| L | |||||||||||||||
| M | |||||||||||||||
| N | |||||||||||||||
| RÓL RŐL | |||||||||||||||
| P | |||||||||||||||
| R | |||||||||||||||
| VAL VEL | |||||||||||||||
| T | |||||||||||||||
| U | |||||||||||||||
| F | |||||||||||||||
| x | |||||||||||||||
| C | |||||||||||||||
| H | |||||||||||||||
| SH E | |||||||||||||||
| Yu Ya |
5. példa: Maximalizálja az F=-x 4 +x 5 célfüggvényt a korlátozások mellett:
Ez az egyenletrendszer konzisztens, mivel a rendszermátrix rangjai
és kiterjesztett mátrix 
egybeesik és egyenlő 3-mal. Az x 1, x 2, x 3 alapváltozókat (egységoszlopokban álló) x 4 és x 5 szabad változókon keresztül kifejezve eljutunk a rendszerhez
(7)
Az alapváltozókat a (7) rendszeren kívül szabad változókon és a célfüggvényben is kifejezhetjük (példánkban az F = -x 4 + x 5 már az x 4 és x 5 szabad változókon keresztül is kifejeződik). Most, ha x 4 = 0, x 5 =0, akkor megtaláljuk az alapváltozókat: x 1 =1, x 2 =2, x 3 =3. Így az egyenletrendszer első megvalósítható bázismegoldása (1, 2, 3, 0, 0) . Ha találtunk egy elfogadható megoldást, az F célfüggvény értéke 0, azaz F 1 =0.
Most próbáljuk meg növelni az F 1 értékét. Az x 4 növekedése csökkenti az F 1-et, mivel x 4 előtt az F = -x 4 + x 5 kifejezésben negatív együttható van, x 5 növekedése pedig F 1 növekedését eredményezi. Ezért növeljük x 5-öt, hogy x 1, x 2, x 3 ne legyen negatív, így x 4 = 0 marad. A második (7) egyenletből látjuk, hogy x 5 növelhető 2-re (úgy, hogy x 2 0 marad, x 4 = 0). Ekkor a változók értéke (5, 0, 1, 0, 2), az F 2 értéke pedig = 2. Mint látható, F értéke a második lépésben nőtt.
Mivel x 2 és x 4 0-nak bizonyult, akkor a továbbiakban x 2-t és x 4-et szabad ismeretlennek vesszük, ekkor x 5 = 2x 2 + 2x 4
és a (7) rendszerből áttérünk a megfelelő rendszerre (8)
(8)
Ráadásul F ebben az esetben egyenlő lesz
F = 2x2 +x4
F növeléséhez növeljük x 4-et (mivel x 2-t negatív együttható előzi meg) A (8) rendszer második egyenletéből világos, hogy feltéve, hogy x 3 nem negatív, akkor x 4 értéke x 4 = 1/5-re hozzuk, akkor van (28/5 , 0, 0, 1/5, 12/5), F 3 =11/5.
Mivel a kapott megoldás x 2 = x 3 = 0, x 2 és x 3 szabad változót vesszük, és x 1, x 4, x 5 x 2 és x 3 között fejezzük ki.
X 1 = 28/5 - 7/5 x 2 - 3/5 x 3
x 4 = 1/5 + 1/5 x 2 – 1/5 x 3
x 5 = 12/5 – 3/5 x 2 – 2/5 x 3
ahol F = 11/5 – 4/5 x 2 – 1/5 x 3
Mivel az F kifejezésben szereplő x 2 és x 3 együtthatók negatívak, már nem lehet növelni F értékét. Ezért, ha x 2 = x 3 = 0-t teszünk, akkor a megoldás során a legnagyobb F = 11/5 értéket kapjuk (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)
Válasz: F max = 11/5 at x* = (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)
Simplex táblázatok.
Mivel a ZLP ilyen okfejtéssel történő megoldása, ahogy az előző példában is megtörtént, egyértelműen kényelmetlen a megoldás kompakt rögzítéséhez, és az úgynevezett szimplex táblák segítségével lehet számítógépen programozni a megoldási algoritmust. Ennek érdekében a korlátozások rendszerét egységalapúra redukáljuk
x 1 + a 1, r +1 x r+1 + ... + a 1 n x n = b 1
x i + a i,r+1 x r+1 + .... + a i n x n = b i (9)
x r + a r,r+1 x r+1 + ... + a r n x n = b r
és az F célfüggvény a következő alakra:
F = C g+1 x r +1 + ... + C j x j +…+ C n x n + C 0 (10)
A (10) egyenlőséget az F függvény redukált (szabad változókra) kifejezésének nevezzük, és a C j együtthatók – a megfelelő x j szabad változók becslései (indexei).
A fenti korlátozási rendszer (9) együtthatói, valamint a különféle segédváltozók egy szimplex táblázatba kerülnek (1. táblázat).
Asztal 1
| Alapváltozók | Ingyenes tagok | x 1 | ... | x i | ... | x r | x g+1 | ... | x j | ... | x n | |
| x 1 | b 1 | ... | ... | a 1,r+1 | ... | a 1j | ... | egy 1n | ||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ||
| x i | b i | ... | ... | és i,r+1 | ... | a ij | ... | a be | ||||
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | |
| x r | b r | ... | ... | és r,r+1 | ... | egy rj | ... | arn | ||||
| F= | C 0 | ... | ... | - C g+1 | ... | -C j | ... | -Cn |
Az első r oszlop x i ismeretlenekkel egységoszlopok x 1 ,…,x r alapváltozókkal. Következő n-r az oszlopok szabad változókkal rendelkező oszlopok x r +1 ,…,x n . Szabad változókat feltételezve x r +1 = …=
X n = 0, akkor megtaláljuk az x 1 = b 1,…, x r = b r alapváltozókat. Ebben az esetben a célfüggvény értéke F = C 0.
A talált X 1 = vektorterv és az F = C 0 célfüggvény értéke a megvalósítható megoldások sokszögének valamelyik csúcsának felel meg. Ennek a szimplex táblázatnak az újraszámításával történik az átmenet egy másik csúcsra, és ennek következtében egy másik vektortervre és a célfüggvény másik értékére.
LINEÁRIS EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK I
23. § Lineáris egyenlőtlenségek rendszerei
Lineáris egyenlőtlenségek rendszere két vagy több lineáris egyenlőtlenség bármely halmaza, amely ugyanazt az ismeretlen mennyiséget tartalmazza.
Ilyen rendszerek például a következő rendszerek:
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni az ismeretlen mennyiség összes olyan értékét, amelyre a rendszer minden egyenlőtlensége teljesül.
Oldjuk meg a fenti rendszereket.
Tegyünk egymás alá két számsort (31. ábra); felül jelöljük azokat az értékeket x , amelyre az első egyenlőtlenség teljesül ( x > 1), és alul ezek az értékek x , amelyre a második egyenlőtlenség teljesül ( x > 4).
A számegyenesen kapott eredményeket összehasonlítva azt látjuk, hogy mindkét egyenlőtlenség egyszerre teljesül, ha x > 4. Válasz, x > 4.
Az első egyenlőtlenség -3-at ad x < -б, или x > 2, és a második - x > -8, ill x < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения x , amelyre a rendszer első egyenlőtlensége teljesül, és a második számsorban, amely az első alatt található, mindazok az értékek x , amelyre a rendszer második egyenlőtlensége teljesül (32. ábra).
A két eredmény összehasonlítása azt mutatja, hogy mindkét egyenlőtlenség egyidejűleg minden értékre érvényes x , 2-8. Az ilyen értékek halmaza x kettős egyenlőtlenségként írva 2< x < 8.
3. példa Oldja meg az egyenlőtlenségrendszert!
A rendszer első egyenlőtlensége 5-öt ad x < 10, или x < 2, второе x > 4. Így bármely szám, amely egyidejűleg kielégíti mindkét egyenlőtlenséget, nem lehet több 2-nél és 4-nél (33. ábra).
De ilyen számok nem léteznek. Ezért ez az egyenlőtlenségrendszer egyetlen értékre sem érvényes x . Az ilyen egyenlőtlenségi rendszereket inkonzisztensnek nevezzük.
Feladatok
Oldja meg ezeket az egyenlőtlenségrendszereket (179-184):
Egyenlőtlenségek megoldása (185., 186.):
185. (2x + 3) (2 - 2x ) > 0. 186. (2 - π ) (2x - 15) (x + 4) > 0.
megtalálja érvényes értékek az egyenlőségi adatokban szereplő levelek (187., 188. sz.):
Egyenlőtlenségek megoldása (189., 190.):
189. 1 < 2x - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Ó < 5.
191. Milyen hőmérsékletű legyen 10 liter víz ahhoz, hogy 6 liter 15°-os vízzel összekeverve legalább 30°-os és 40°-nál nem magasabb hőmérsékletű vizet kapjunk?
192. A háromszög egyik oldala 4 cm, a másik kettő összege 10 cm. Határozzuk meg ezeket az oldalakat, ha egész számokban vannak kifejezve!
193. Ismeretes, hogy a két lineáris egyenlőtlenség rendszere nem teljesül az ismeretlen mennyiség egyetlen értékére sem. Mondhatjuk-e, hogy ennek a rendszernek az egyedi egyenlőtlenségei nem teljesülnek az ismeretlen mennyiség egyetlen értékére sem?
Grafikus módszer.. 3
Simplex módszer... 6
Mesterséges alapmódszer... 8
A kettősség elve.. 10
Felhasznált irodalom jegyzéke... 12
Bevezetés
A lineáris egyenlőtlenségrendszerek bizonyos tulajdonságait már a 19. század első felében vizsgálták az analitikai mechanika egyes problémái kapcsán. A lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek szisztematikus vizsgálata a 19. század legvégén kezdődött, de a lineáris egyenlőtlenségek elméletéről csak a 20. század húszas éveinek végén nyílt lehetőség beszélni, amikor már elegendő számú eredmény született velük kapcsolatban. már felhalmozódott.
Mára a lineáris egyenlőtlenség véges rendszereinek elmélete a lineáris algebra egyik ágának tekinthető, amely abból nőtt ki az együtthatók mezőjének rendezésének további követelményével.
Különösen a lineáris egyenlőtlenségek fontos a közgazdászok számára, mert a lineáris egyenlőtlenségek segítségével lehet modellezni a termelési folyamatokat és megtalálni a legjövedelmezőbb termelési, szállítási, erőforrás-elosztási, stb.
Ez a cikk felvázolja a lineáris egyenlőtlenségek megoldásának alapvető módszereit konkrét problémákra.
Grafikus módszer
A grafikus módszer abból áll, hogy megszerkesztjük a PLP elfogadható megoldásait, és ebben a halmazban megtaláljuk a max/min célfüggvénynek megfelelő pontot.
Következtében fogyatékosok vizuális grafikus ábrázoláshoz ezt a módszert csak két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenség-rendszerekre és erre a formára redukálható rendszerekre alkalmazzuk.
Annak érdekében, hogy egyértelműen bemutassa grafikus módszer, oldjuk meg a következő problémát:
- Az első szakaszban meg kell alkotni a megvalósítható megoldások régióját. Ebben a példában a legkényelmesebb, ha X2-t választunk abszcisszának, X1-et pedig ordinátának, és az egyenlőtlenségeket a következő formában írjuk fel:
mind a grafikonok, mind a megvalósítható megoldások területe az első negyedévben van. A határpontok megtalálásához az (1)=(2), (1)=(3) és (2)=(3) egyenleteket oldjuk meg.
Amint az az ábrán látható, az ABCDE poliéder a megvalósítható megoldások tartományát alkotja.
Ha a megvalósítható megoldások tartománya nem zárt, akkor max(f)=+ ∞ vagy min(f)= -∞.
- Most továbbléphetünk az f függvény maximumának közvetlen megkeresésére.
Ha a poliéder csúcsainak koordinátáit felváltva behelyettesítjük az f függvénybe, és összehasonlítjuk az értékeket, azt kapjuk, hogy
f(C)=f(4;1)=19 – a függvény maximuma.
Ez a megközelítés nagyon előnyös kis számú csúcs esetén. De ez az eljárás sokáig tarthat, ha elég sok csúcs van.
Ebben az esetben célszerűbb egy f=a alakú szintvonalat figyelembe venni. Az a szám monoton növekedésével -∞-ről +∞-ra az f=a egyenesek a normálvektor mentén eltolódnak. Ha a szintvonal ilyen mozgásával van egy bizonyos X pont - a megvalósítható megoldások tartományának (ABCDE poliéder) és a szintvonal első közös pontja, akkor f(X) az f minimuma a halmazon. ABCDE. Ha X a szintvonal és az ABCDE halmaz utolsó metszéspontja, akkor f(X) a maximum a megvalósítható megoldások halmazán. Ha a →-∞ alakban az f=a egyenes metszi a megvalósítható megoldások halmazát, akkor min(f)= -∞. Ha ez a→+∞ alakban történik, akkor
Példánkban az f=a egyenes a C(4;1) pontban metszi az ABCDE területet. Mivel ez az utolsó metszéspont, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.
Simplex módszer
A valódi lineáris programozási problémák nagyon sokat tartalmaznak nagy szám korlátozásokat és ismeretleneket, és számítógépen hajtják végre. A szimplex módszer az ilyen problémák megoldására használt legáltalánosabb algoritmus. A módszer lényege, hogy bizonyos számú speciális szimplex transzformáció után a ZLP-t redukáljuk speciális típus, megengedett. A szimplex módszer működésének bemutatásához oldjuk meg a következő problémát a kísérő megjegyzésekkel:
- A probléma szimplex módszerrel történő megoldásának megkezdéséhez a problémát egy speciális űrlapra kell vinnie, és ki kell töltenie a szimplex táblázatot.
A (4) rendszer természetes korlátozás, és nem fér bele a táblázatba. Az (1), (2), (3) egyenletek alkotják a megvalósítható megoldások tartományát. Az (5) kifejezés a célfüggvény. A korlátozások rendszerében a szabad kifejezések és a megengedett megoldások köre nem lehet negatív.
Ebben a példában X3, X4, X5 az alapvető ismeretlenek. Ezeket szabad ismeretlenekkel kell kifejezni, és a célfüggvényben kell helyettesíteni.
Most elkezdheti kitölteni a szimplex táblázatot:
| B. | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | C |
| X3 | 0 | -1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| X4 | 0 | 1 | -1 | 0 | 1 | 1 |
| X5 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 2 |
| f | 0 | -6 | 7 | 0 | 0 | 3 |
A táblázat első oszlopa az alapvető ismeretleneket, az utolsó - a szabad ismeretlenek értékeit, a többi - az ismeretlenek együtthatóit jelöli.
- Az f függvény maximumának megtalálásához Gauss-transzformációk segítségével meg kell győződnie arról, hogy az utolsó sorban lévő ismeretlenek összes együtthatója nem negatív (a minimum meghatározásához győződjön meg arról, hogy az összes együttható kisebb vagy egyenlő nullára).
| B | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | C |
| X3 | -1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| X4 | 1 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| X5 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 |
| f | -6 | 7 | 0 | 0 | 0 | 3 |
Ehhez válassza ki a negatív együtthatójú oszlopot az utolsó sorban (3. oszlop), és állítsa össze a szabad tag/együttható viszonyt (1/1; 2/1) ennek az oszlopnak a pozitív elemeihez. Ezekből az arányokból válassza ki a legkisebbet, és jelölje be a megfelelő sort.
Kiválasztottuk az elemet a (3;3) cellában. Most Gauss-módszerrel nullázzuk a többi együtthatót ebben az oszlopban, ez a bázis változásához vezet, és egy lépéssel közelebb kerültünk az optimális megoldáshoz.
| B | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | C |
| X3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| X1 | 1 | -1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| X5 | 0 | 2 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| f | 0 | 1 | 0 | 6 | 0 | 9 |
Amint az a táblázatból látható, most az utolsó sorban lévő összes együttható nullánál nagyobb vagy egyenlő. Ez azt jelenti, hogy megtaláltuk az optimális értéket. A szabad ismeretlenek nullával egyenlőek, az alapismeretlenek értéke és az f függvény maximuma a szabad ismeretlenek értékeinek felel meg.
1. definíció . Pontok halmaza a térben R n , amelynek koordinátái kielégítik az egyenletet A 1 x 1 + a 2 x 2 +…+ a n x n = b, hívott ( n - 1 )-dimenziós hipersík be n-dimenziós tér.
1. tétel. Egy hipersík az összes teret két féltérre osztja. A féltér konvex halmaz.
Véges számú féltér metszéspontja egy konvex halmaz.
2. tétel . Lineáris egyenlőtlenség megoldása -val n ismeretlen
A 1 x 1 + a 2 x 2 +…+ a n x n b
egyike azon féltereknek, amelyekre a teljes teret egy hipersík osztja fel
A 1 x 1 + A 2 x 2 +…+a n x n= b.
Tekintsünk egy rendszert m lineáris egyenlőtlenségeket n ismeretlen.
A rendszerben minden egyenlőtlenség megoldása egy bizonyos féltér. A rendszer megoldása az összes féltér metszéspontja lesz. Ez a készlet zárt és konvex lesz.
Lineáris egyenlőtlenségek rendszereinek megoldása
két változóval
Legyen egy rendszer m két változós lineáris egyenlőtlenségek.
Minden egyenlőtlenség megoldása az egyik félsík lesz, amelyre a teljes síkot a megfelelő egyenes osztja fel. A rendszer megoldása ezeknek a félsíkoknak a metszéspontja lesz. Ez a probléma grafikusan megoldható síkon x 1 0 x 2 .
37. Konvex poliéder ábrázolása
1. definíció. Zárva konvex korlátozottan beállítva R véges számmal rendelkező n sarokpontok, konvexnek nevezzük n-dimenziós poliéder.
2. definíció . Zárt konvex határtalan beillesztés R n véges sok sarokponttal rendelkező konvex poliéder régiónak nevezzük.
3. definíció . Egy csomó AR n-t korlátosnak nevezzük, ha van n- ezt a készletet tartalmazó dimenziós golyó.
4. definíció. A pontok konvex lineáris kombinációja az a kifejezés, ahol t i , .
Tétel (tétel egy konvex poliéder ábrázolásáról). A konvex poliéder bármely pontja a sarokpontjainak konvex lineáris kombinációjaként ábrázolható.
38. Egyenlet- és egyenlőtlenségrendszer megengedett megoldásainak tartománya.
Legyen egy rendszer m lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek -val n ismeretlen.
1. definíció . Pont R n-t a rendszer lehetséges megoldásának nevezzük, ha koordinátái kielégítik a rendszer egyenleteit és egyenlőtlenségeit. Az összes lehetséges megoldás halmazát a rendszer lehetséges megoldási területének (PSA) nevezzük.
2. definíció. Egy lehetséges megoldást, amelynek koordinátái nem negatívak, a rendszer megvalósítható megoldásának nevezzük. Az összes megvalósítható megoldás halmazát a rendszer megvalósítható megoldási tartományának (ADA) nevezzük.
1. tétel . Az ODR egy zárt, konvex, korlátos (vagy korlátlan) részhalmaz R n.
2. tétel. A rendszer egy elfogadható megoldása akkor és csak akkor referenciamegoldás, ha ez a pont az ODS sarokpontja.
3. tétel (az ODR ábrázolásáról szóló tétel). Ha az ODD egy korlátos halmaz, akkor bármely megvalósítható megoldás ábrázolható az ODD sarokpontjainak konvex lineáris kombinációjaként (konvex lineáris kombináció formájában támogató megoldások rendszerek).
4. tétel (a tétel a rendszer támaszmegoldásának létezéséről). Ha a rendszerben van legalább egy megengedhető megoldás (ADS), akkor a megengedett megoldások között van legalább egy referenciaoldat.
lásd még Lineáris programozási probléma megoldása grafikusan, Lineáris programozási feladatok kanonikus formája
Egy ilyen probléma kényszerrendszere két változó egyenlőtlenségéből áll:
a célfüggvénynek pedig az a formája F = C 1 x + C 2 y amit maximalizálni kell.
Válaszoljunk a kérdésre: milyen számpárok ( x; y) az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásai, azaz az egyenlőtlenségek mindegyikét egyszerre elégítik ki? Más szóval, mit jelent grafikusan megoldani egy rendszert?
Először is meg kell értened, mi a megoldása egy lineáris egyenlőtlenségnek két ismeretlennel.
Egy lineáris egyenlőtlenség megoldása két ismeretlennel azt jelenti, hogy meghatározzuk az összes ismeretlen értékpárt, amelyre az egyenlőtlenség érvényes.
Például az egyenlőtlenség 3 x
– 5y≥ 42 kielégítő pár ( x , y): (100, 2); (3, –10), stb. A feladat az összes ilyen pár megtalálása.
Tekintsünk két egyenlőtlenséget: fejsze
+ által≤ c, fejsze + által≥ c. Egyenes fejsze + által = c a síkot két félsíkra osztja úgy, hogy az egyik pontjának koordinátái kielégítsék az egyenlőtlenséget fejsze + által >c, és a másik egyenlőtlenség fejsze + +által <c.
Valóban, vegyünk egy pontot koordinátával x = x 0 ; majd egy pont, amely egy egyenesen fekszik és van egy abszcissza x 0, ordinátája van
A bizonyosság kedvéért hagyjuk a< 0, b>0,
c>0. Minden pont abszcisszával x 0 fent fekszik P(például pont M), van y M>y 0 , és a pont alatti összes pont P, abszcissza x 0 , van y N<y 0 . Mert a x A 0 egy tetszőleges pont, akkor az egyenes egyik oldalán mindig lesznek olyan pontok, amelyekhez fejsze+ által > c, félsíkot alkotva, a másik oldalon pedig - pontok, amelyekre fejsze + által< c.
1. kép
Az egyenlőtlenség előjele a félsíkban a számoktól függ a, b , c.
Ez a következő módszerhez vezet grafikus megoldás lineáris egyenlőtlenségek rendszerei két változóban. A rendszer megoldásához szüksége lesz:
- Minden egyenlőtlenséghez írja fel az egyenlőtlenségnek megfelelő egyenletet.
- Készítsen egyenes vonalakat, amelyek egyenletekkel meghatározott függvények grafikonjai.
- Minden egyeneshez határozza meg a félsíkot, amelyet az egyenlőtlenség ad meg. Ehhez vegyünk egy tetszőleges pontot, amely nem fekszik egy egyenesen, és helyettesítse be a koordinátáit az egyenlőtlenségbe. ha az egyenlőtlenség igaz, akkor a választott pontot tartalmazó félsík az eredeti egyenlőtlenség megoldása. Ha az egyenlőtlenség hamis, akkor az egyenes másik oldalán lévő félsík ennek az egyenlőtlenségnek a megoldási halmaza.
- Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásához meg kell találni az összes félsík metszésterületét, amelyek a rendszer minden egyenlőtlenségére megoldást jelentenek.
Ez a terület üresnek bizonyulhat, akkor az egyenlőtlenségek rendszerének nincs megoldása és inkonzisztens. Ellenkező esetben a rendszer konzisztensnek mondható.
Véges számú megoldás lehet és végtelen halmaz. A terület lehet zárt sokszög vagy határtalan.
Nézzünk három releváns példát.
Példa 1. Oldja meg a rendszert grafikusan:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.
- tekintsük az egyenlőtlenségeknek megfelelő x+y–1=0 és –2x–2y+5=0 egyenleteket;
- Szerkesszünk egyenes vonalakat ezekkel az egyenletekkel.
2. ábra
Határozzuk meg az egyenlőtlenségek által meghatározott félsíkokat. Vegyünk egy tetszőleges pontot, legyen (0; 0). Mérlegeljük x+ y- 1 0, cserélje ki a (0; 0) pontot: 0 + 0 – 1 ≤ 0. Ez azt jelenti, hogy abban a félsíkban, ahol a (0; 0) pont található, x + y –
1 ≤ 0, azaz az egyenes alatt fekvő félsík az első egyenlőtlenség megoldása. Ezt a pontot (0; 0) behelyettesítve a másodikba, a következőt kapjuk: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, azaz. abban a félsíkban, ahol a (0; 0) pont található, –2 x – 2y+ 5≥ 0, és megkérdeztük, hogy hol –2 x
– 2y+ 5 ≤ 0, tehát a másik félsíkban - az egyenes felettiben.
Keressük ennek a két félsíknak a metszéspontját. Az egyenesek párhuzamosak, így a síkok sehol sem metszik egymást, ami azt jelenti, hogy ezen egyenlőtlenségek rendszerének nincs megoldása és inkonzisztens.
2. példa Keressen grafikus megoldásokat az egyenlőtlenségek rendszerére: 
3. ábra
1. Írjuk fel az egyenlőtlenségeknek megfelelő egyenleteket, és készítsünk egyeneseket!
x + 2y– 2 = 0
| x | 2 | 0 |
| y | 0 | 1 |
y – x – 1 = 0
| x | 0 | 2 |
| y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. A (0; 0) pont kiválasztása után meghatározzuk az egyenlőtlenségek előjeleit a félsíkban:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, azaz. x + 2y– 2 ≤ 0 az egyenes alatti félsíkban;
0 – 0 – 1 ≤ 0, azaz y –x– 1 ≤ 0 az egyenes alatti félsíkban;
0 + 2 =2 ≥ 0, azaz. y+ 2 ≥ 0 az egyenes feletti félsíkban.
3. Ennek a három félsíknak a metszéspontja egy olyan terület lesz, amely háromszög. Nem nehéz megtalálni a régió csúcsait a megfelelő egyenesek metszéspontjaként
És így, A(–3; –2), BAN BEN(0; 1), VAL VEL(6; –2).
Nézzünk egy másik példát, amelyben a rendszer eredményül kapott megoldási tartománya nincs korlátozva.
