Hullámegyenlet, differenciálegyenlet parciális deriváltokkal, amely leírja a zavarok terjedésének folyamatát egy bizonyos közegben. Tikhonov A.N. és Samarsky A.A., Equations of Mathematical Physics, 3. kiadás, M., 1977. - p. 155...

A hiperbolikus osztályozás differenciál egyenletek részleges származékokban

A hőegyenlet egy parabola típusú parciális differenciálegyenlet, amely leírja a hő terjedésének folyamatát folytonos közegben (gáz...

A sorbanállási rendszerek elméletében használt matematikai módszerek

A rendszerállapotok valószínűségeit a Kolmogorov-differenciálegyenlet-rendszerből találhatjuk meg, amelyeket a következő szabály szerint állítunk össze: Mindegyik bal oldalán az i-edik állapot valószínűségének deriváltja...

Nem stacionárius Riccati egyenlet

1. Az általános Riccati-egyenlet a következő: , (1.1) ahol P, Q, R x folytonos függvényei, ha x változik az intervallumban Az (1.1) egyenlet speciális esetként tartalmazza azokat az egyenleteket, amelyeket már figyelembe vettünk: amikor megkapjuk lineáris egyenlet, -Bernoulli egyenlettel...

Alapok tudományos kutatásés a szállítási kísérletek tervezése

Adjuk meg az Y = f(X) funkcionális függést (regressziós egyenlet) a legkisebb négyzetek módszerével (LSM). Közelítő függvényként használjon lineáris (Y = a0 + a1X) és másodfokú függőségeket (Y = a0 + a1X + a2X2). A legkisebb négyzetek módszerével az a0...

Helyezzük a poláris koordináta-rendszer pólusát a derékszögű koordináta-rendszer origójába, a poláris tengely kompatibilis a pozitív x tengellyel (3. ábra). Rizs. 3 Vegyük az egyenes egyenletét normál formában: (3.1) - a merőleges hossza...

Poláris koordináta-rendszer egy síkon

Állítsunk fel egyenletet polárkoordinátákkal a póluson átmenő körre, amelynek középpontja a poláris tengelyen van és sugara R. derékszögű háromszög OAA azt kapjuk, hogy OA= OA (4. ábra)...

A mintavételi elmélet fogalmai. Elosztási sorozat. Korrelációs és regressziós elemzés

Tanulmány: a) a páros lineáris regresszió fogalma; b) normálegyenletrendszer felállítása; c) a legkisebb négyzetek módszerével végzett becslések tulajdonságai; d) egy technika lineáris regressziós egyenlet megtalálására. Tegyük fel...

Differenciálegyenletek megoldásainak felépítése hatványsorok formájában

A megszerkesztett elmélet alkalmazásának példájaként vegyük a Bessel-egyenletet: (6.1) Ahol. A z =0 szinguláris pont szabályos. A gép utolsó részében nincs más funkció. A (6.1) egyenletben tehát a definiáló egyenlet alakja, azaz...

Mátrixegyenletek megoldása

Az XA=B mátrixegyenlet kétféleképpen is megoldható: 1. Az inverz mátrixot az ismert módszerek bármelyikével számítjuk ki. Ekkor a mátrixegyenlet megoldása így néz ki: 2...

Mátrixegyenletek megoldása

A fent leírt módszerek nem alkalmasak AX=XB, AX+XB=C alakú egyenletek megoldására. Nem alkalmasak olyan egyenletek megoldására sem, amelyekben egy ismeretlen X mátrix legalább egyik tényezője szinguláris mátrix...

Mátrixegyenletek megoldása

Az AX = HA alakú egyenleteket ugyanúgy oldjuk meg, mint az előző esetben, vagyis elemenként. A megoldás itt a permutációs mátrix megtalálásában rejlik. Nézzünk meg közelebbről egy példát. Példa. Találd meg az összes mátrixot...

Gyémánt alakú kontúrú sorhálózat stacioner működése

Állapotból a következő állapotok valamelyikébe kerülhet: - az első csomópont sorába érkezett alkalmazás intenzitással; - az abban feldolgozott kérelem beérkezése miatt az első csomópontból a harmadik csomópont sorába, intenzitással...

Trigonometrikus függvények

Egy szám arctangense olyan szám, amelynek szinusza egyenlő a-val: ha és. Az egyenlet összes gyökere megtalálható a következő képlettel:...

Numerikus módszerek matematikai feladatok megoldása

Ebben a leckében folytatjuk az arctangens tanulmányozását és a tg x = a alakú egyenletek megoldását bármely a-ra. Az óra elején táblázatos értékű egyenletet oldunk meg és a megoldást grafikonon, majd körön illusztráljuk. Ezután megoldjuk a tgx = aв egyenletet Általános nézetés kimenet általános képlet válasz. Illusztráljuk a számításokat grafikonon és körön, és vegyük figyelembe a válasz különböző formáit! Az óra végén több feladatot oldunk meg grafikonon és körön illusztrált megoldásokkal.

Téma: Trigonometrikus egyenletek

Lecke: Arktangens és a tgx=a egyenlet megoldása (folytatás)

1. Óra témája, bevezetés

Ebben a leckében megvizsgáljuk az egyenlet megoldását bármely valósra

2. A tgx=√3 egyenlet megoldása

1. feladat Oldja meg az egyenletet!

Keressük meg a megoldást függvénygrafikonok segítségével (1. ábra).

Tekintsük az intervallumot, ezen az intervallumon a függvény monoton, ami azt jelenti, hogy csak a függvény egy értékére érhető el.

Válasz:

Oldjuk meg ugyanezt az egyenletet a segítségével számkör(2. ábra).

Válasz:

3. A tgx=a egyenlet megoldása általános formában

Oldjuk meg az egyenletet általános formában (3. ábra).

Az intervallumon az egyenletnek egyedi megoldása van

A legkisebb pozitív időszak

Szemléltessük a számkört (4. ábra).

4. Problémamegoldás

2. feladat Oldja meg az egyenletet!

Változtassuk meg a változót

3. probléma. Oldja meg a rendszert:

Megoldás (5. ábra):

Egy ponton tehát az érték a megoldás, a rendszernek csak a lényege

Válasz:

4. feladat Oldja meg az egyenletet!

Oldjuk meg a változóváltás módszerével:

5. feladat. Határozza meg az egyenlet megoldásainak számát az intervallumon!

Oldjuk meg a feladatot grafikon segítségével (6. ábra).

Az egyenletnek három megoldása van egy adott intervallumon.

Illusztráljuk egy számkörön (7. ábra), bár ez nem olyan egyértelmű, mint a grafikonon.

Válasz: Három megoldás.

5. Következtetés, következtetés

Bármely valós egyenletet az arctangens fogalmával oldottuk meg. A következő leckében bemutatjuk az arctangens fogalmát.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tutorial for oktatási intézmények(profilszint) szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra és matematikai elemzés a 10. évfolyamhoz ( oktatóanyag iskolák és osztályok tanulói számára a matematika elmélyült tanulmányozásával).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Mélyreható tanulmány algebra és matematikai elemzés.-M.: Nevelés, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M. I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Feladatgyűjtemény az algebráról és az elemzési elvekről: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

További webes források

1. Matematika.

2. Internetes portál Problémák. ru.

3. Oktatási portál felkészülni a vizsgákra.

A program során a hallgatók ötletet kaptak a trigonometrikus egyenletek megoldásában, megismerkedtek az ív koszinusz és az ívszinusz fogalmával, megoldási példákkal cos egyenletek t = a és sin t = a. Ebben a videós oktatóanyagban a tg x = a és ctg x = a egyenletek megoldását nézzük meg.

A téma tanulmányozásának megkezdéséhez vegyük figyelembe a tg x = 3 és tg x = - 3 egyenleteket. Ha a tg x = 3 egyenletet gráf segítségével oldjuk meg, látni fogjuk, hogy az y = tg x és függvények grafikonjainak metszéspontja y = 3 rendelkezik végtelen halmaz megoldások, ahol x = x 1 + πk. Az x 1 érték az y = tan x és y = 3 függvények grafikonjai metszéspontjának x koordinátája. A szerző bevezeti az arctangens fogalmát: arctan 3 olyan szám, amelynek tan értéke 3, és ez a szám a -π/2 és π/2 közötti intervallumhoz tartozik. Az arctangens fogalmát használva a tan x = 3 egyenlet megoldása így írható fel: x = arctan 3 + πk.

Analógia útján megoldható a tg x = - 3 egyenlet. Az y = tg x és y = - 3 függvények megszerkesztett gráfjaiból jól látható, hogy a gráfok metszéspontjai, így az egyenletek megoldásai is legyen x = x 2 + πk. Az arctangens segítségével a megoldás felírható x = arctan (- 3) + πk. A következő ábrán azt látjuk, hogy arctg (- 3) = - arctg 3.

Az arctangens általános definíciója a következő: az a arctangens a -π/2 és π/2 közötti intervallumból származó szám, amelynek érintője egyenlő a-val. Ekkor a tan x = a egyenlet megoldása x = arctan a + πk.

A szerző példát ad 1. Keressen megoldást az arctan kifejezésre Vezessük be a jelölést: egy szám arctangense egyenlő x-szel, akkor tg x egyenlő lesz az adott számmal, ahol x a -π szegmenshez tartozik. /2-től π/2-ig. Az előző témakörök példáihoz hasonlóan itt is értéktáblázatot fogunk használni. E táblázat szerint az érintő adott szám az x = π/3 értéknek felel meg. Írjuk fel az egyenlet megoldását: egy adott szám arctangense egyenlő π/3-mal, π/3 is a -π/2 és π/2 közötti intervallumhoz tartozik.

2. példa - Arktangens kiszámítása negatív szám. Az arctg (- a) = - arctg a egyenlőség segítségével beírjuk x értékét. A 2. példához hasonlóan felírjuk x értékét, amely a -π/2 és π/2 közötti szegmenshez tartozik. Az értéktáblázatból azt találjuk, hogy x = π/3, tehát -- tg x = - π/3. Az egyenletre a válasz - π/3.

Tekintsük a 3. példát. Oldjuk meg a tg x = 1 egyenletet. Írjuk fel, hogy x = arctan 1 + πk. A táblázatban a tg 1 érték az x = π/4 értéknek felel meg, ezért arctg 1 = π/4. Helyettesítsük be ezt az értéket az eredeti x képletbe, és írjuk fel a választ x = π/4 + πk.

4. példa: Tan x = - 4,1 kiszámítása. Ebben az esetben x = arctan (- 4,1) + πk. Mert megtalálja arctg érték ebben az esetben nincs lehetőség, a válasz így néz ki: x = arctan (- 4,1) + πk.

Az 5. példában a tg x > 1 egyenlőtlenség megoldását vettük figyelembe, ennek megoldásához grafikonokat készítünk az y = tan x és y = 1 függvényekből. Amint az az ábrán is látható, ezek a gráfok az x = pontokban metszik egymást π/4 + πk. Mert ebben az esetben tg x > 1, a grafikonon kiemeljük az y = 1 gráf felett elhelyezkedő tangentoid régiót, ahol x a π/4-től π/2-ig terjedő intervallumhoz tartozik. A választ úgy írjuk, hogy π/4 + πk< x < π/2 + πk.

A továbbiakban megfontoljuk ctg egyenlet x = a. Az ábrán az y = cot x, y = a, y = - a függvények grafikonjai láthatók, amelyeknek sok metszéspontja van. A megoldások a következőképpen írhatók fel: x = x 1 + πk, ahol x 1 = arcctg a és x = x 2 + πk, ahol x 2 = arcctg (- a). Megjegyezzük, hogy x 2 = π - x 1 . Ez magában foglalja az arcctg (- a) = π - arcctg a egyenlőséget. A következő az ívkotangens definíciója: az a ív kotangens egy 0-tól π-ig terjedő szám, amelynek kotangense egyenlő a-val. A сtg x = a egyenlet megoldását a következőképpen írjuk fel: x = arcctg a + πk.

A videóóra végén egy másik fontos következtetés is levonható - a ctg x = a kifejezés felírható tg x = 1/a-ként, feltéve, hogy a nem egyenlő nullával.

SZÖVEGDEKÓDOLÁS:

Tekintsük a tg x = 3 és tg x = - 3 egyenletek megoldását. Az első egyenletet grafikusan megoldva azt látjuk, hogy az y = tg x és y = 3 függvények grafikonjainak végtelen sok metszéspontja van, amelyek abszcisszáit felírjuk. formájában

x = x 1 + πk, ahol x 1 az y = 3 egyenes metszéspontjának abszcissza a tangentoid fő ágával (1. ábra), amelyre a jelölést kitalálták.

arctan 3 (három ív érintője).

Hogyan lehet megérteni az arctg 3-at?

Ez egy olyan szám, amelynek érintője 3, és ez a szám a (- ;) intervallumhoz tartozik. Ekkor a tg x = 3 egyenlet minden gyöke felírható az x = arctan 3+πk képlettel.

Hasonlóképpen a tg x = - 3 egyenlet megoldása felírható x = x 2 + πk alakban, ahol x 2 az y = - 3 egyenes metszéspontjának abszcisszája a főággal. tangentoid (1. ábra), amelyre az arctg(- 3) jelölés (arc tangens mínusz három). Ekkor az egyenlet összes gyöke felírható a következő képlettel: x = arctan(-3)+ πk. Az ábrán látható, hogy arctg(- 3)= - arctg 3.

Fogalmazzuk meg az arctangens definícióját. Az a arctangens egy olyan szám a (-;) intervallumból, amelynek érintője egyenlő a-val.

Gyakran használják az egyenlőséget: arctg(-a) = -arctg a, amely bármely a-ra érvényes.

Az arctangens definíciójának ismeretében általános következtetést vonhatunk le az egyenlet megoldásáról

tg x= a: a tg x = a egyenletnek van megoldása x = arctan a + πk.

Nézzünk példákat.

PÉLDA 1. Számítsa ki az arctánt.

Megoldás. Legyen arctg = x, majd tgх = és xϵ (- ;). Értéktáblázat megjelenítése Ezért x =, mivel tg = és ϵ (- ;).

Szóval, arctan =.

2. PÉLDA Számítsuk ki az arctánt (-).

Megoldás. Az arctg(- a) = - arctg a egyenlőség felhasználásával a következőket írjuk:

arctg(-) = - arctg . Legyen - arctg = x, majd - tgх = és xϵ (- ;). Ezért x =, mivel tg = és ϵ (- ;). Értéktáblázat megjelenítése

Ez azt jelenti, hogy - arctg=- tgх= - .

3. PÉLDA Oldja meg a tgх = 1 egyenletet.

1. Írja fel a megoldási képletet: x = arctan 1 + πk.

2. Keresse meg az arctangens értékét!

mivel tg = . Értéktáblázat megjelenítése

Tehát arctan1= .

3. A talált értéket írja be a megoldási képletbe:

4. PÉLDA Oldja meg a tgх = - 4,1 egyenletet (az x érintő egyenlő mínusz négy pont egy).

Megoldás. Írjuk fel a megoldási képletet: x = arctan (- 4,1) + πk.

Az arctangens értékét nem tudjuk kiszámolni, ezért az egyenlet megoldását a kapott formában hagyjuk.

5. PÉLDA Oldja meg a tgх 1 egyenlőtlenséget.

Megoldás. Grafikusan megoldjuk.

1. Építsünk érintőt

y = tgx és egyenes y = 1 (2. ábra). Olyan pontokban metszik egymást, mint az x = + πk.

2. Válasszuk ki az x tengelynek azt az intervallumát, amelyben a tangentoid fő ága az y = 1 egyenes felett helyezkedik el, mivel tgх 1 feltétellel. Ez az intervallum (;).

3. A függvény periodicitását használjuk.

2. tulajdonság. y=tg x - periodikus függvényπ főperiódussal.

Figyelembe véve az y = tgх függvény periodicitását, megírjuk a választ:

(;). A válasz kettős egyenlőtlenségként írható fel:

Térjünk át a ctg x = a egyenletre. Mutassuk meg grafikusan a pozitív és negatív a egyenlet megoldását (3. ábra).

Az y = ctg x és y = a függvények grafikonjai és még

y=ctg x és y=-a

végtelenül sok közös pontja van, amelyek abszcisszán így néznek ki:

x = x 1 +, ahol x 1 az y = a egyenes és a tangentoid főágával való metszéspontjának abszcissza és

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, ahol x 2 az egyenes metszéspontjának abszcissza

y = - a a tangentoid fő ágával és x 2 = arcсtg (- a).

Vegye figyelembe, hogy x 2 = π - x 1. Tehát írjunk le egy fontos egyenlőséget:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Fogalmazzuk meg a definíciót: az a arc kotangens egy olyan szám a (0;π) intervallumból, amelynek kotangense egyenlő a-val.

A ctg x = a egyenlet megoldását a következő formában írjuk fel: x = arcctg a + .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a ctg x = a egyenlet átalakítható alakra

tg x = , kivéve ha a = 0.

>> Arctangens és arccotangens. A tgx = a, ctgx = a egyenletek megoldása

19. § Arctangens és arccotangens. A tgx = a, ctgx = a egyenletek megoldása

A 16. § 2. példájában nem tudtunk három egyenletet megoldani:

Ezek közül kettőt már megoldottunk - az elsőt a 17. §-ban, a másodikat a 18. §-ban, ehhez be kellett vezetnünk a fogalmakat. ív koszinuszés arcszinusz. Tekintsük a harmadik x = 2 egyenletet.
Az y=tg x és y=2 függvények grafikonjainak végtelen sok közös pontja van, ezeknek a pontoknak abszcisszái a következő alakúak - az y = 2 egyenes metszéspontjának a tangentoid fő ágával. (90. ábra). Az x1 számhoz a matematikusok az acrtg 2 elnevezést találták ki (értsd: „két ív érintője”). Ekkor az x=2 egyenlet összes gyöke leírható az x=arctg 2 + pk képlettel.
Mi az agctg 2? Ez a szám tangens amely egyenlő 2-vel és amely az intervallumhoz tartozik
Tekintsük most a tg x = -2 egyenletet.
Függvénygrafikonok végtelen sok közös pontjuk van, ezeknek a pontoknak abszcisszáinak van alakja az y = -2 egyenes és a tangentoid főágával való metszéspontjának abszcissza. Az x 2 számhoz a matematikusok az arctg(-2) jelölést találták ki. Ekkor az x = -2 egyenlet minden gyöke leírható a képlettel

Mi az acrtg(-2)? Ez egy olyan szám, amelynek érintője -2, és amely az intervallumhoz tartozik. Figyelem (lásd 90. ábra): x 2 = -x 2. Ez azt jelenti, hogy arctg(-2) = - arctg 2.
Fogalmazzuk meg általános formában az arctangens definícióját.

1. definíció. arсtg a (arc tangens a) egy szám az intervallumból, amelynek érintője egyenlő a-val. Így,

Most abban a helyzetben vagyunk, hogy általános következtetést vonjunk le a megoldásról egyenletek x=a: az x = a egyenletnek vannak megoldásai

Fentebb megjegyeztük, hogy arctg(-2) = -arctg 2. Általánosságban elmondható, hogy a képlet bármely értékére érvényes

1. példa Kiszámítja:

2. példa Egyenletek megoldása:

A) Készítsünk megoldási képletet:

Az arctangens értékét ebben az esetben nem tudjuk kiszámítani, ezért az egyenlet megoldását a kapott formában hagyjuk.
Válasz:
3. példa Egyenlőtlenségek megoldása:
A formai egyenlőtlenségek grafikusan megoldhatók az alábbi tervek betartásával
1) szerkeszteni egy y = tan x érintőt és egy y = a egyenest;
2) válassza ki a tangeizoid fő ága számára az x tengely azon intervallumát, amelyen az adott egyenlőtlenség teljesül;
3) az y = tan x függvény periodicitását figyelembe véve írja le a választ általános formában!
Alkalmazzuk ezt a tervet az adott egyenlőtlenségek megoldására.

: a) Szerkesszük meg az y = tgх és y = 1 függvények gráfjait. Az érintő fő ágán ezek a pontban metszik egymást

Válasszuk ki annak az x tengelynek az intervallumát, amelyen a tangentoid fő ága az y = 1 egyenes alatt található - ez az intervallum
Figyelembe véve az y = tgх függvény periodicitását, arra a következtetésre jutunk, hogy az adott egyenlőtlenség az alak bármely intervallumán teljesül:

Az összes ilyen intervallum uniója az közös döntés adott egyenlőtlenség.
A választ másképp is felírhatjuk:

b) Készítsük el az y = tan x és y = -2 függvények grafikonjait. A tangentoid fő ágán (92. ábra) az x = arctg(-2) pontban metszik egymást.

Válasszuk ki az x tengely intervallumát, amelyen a tangentoid fő ága található

Tekintsük a tan x=a egyenletet, ahol a>0. Az y=ctg x és y =a függvények grafikonjainak végtelen sok közös pontja van, ezen pontok abszcisszái a következő alakúak: x = x 1 + pk, ahol x 1 =arccstg a a metszéspont abszcisszája az y=a egyenesnek a tangentoid főágával (93. ábra). Ez azt jelenti, hogy arcstg a egy olyan szám, amelynek kotangense egyenlő a-val, és amely a (0, n) intervallumhoz tartozik; ezen az intervallumon épül fel az y = сtg x függvény gráfjának fő ága.

ábrán. A 93. ábra a c1tg = -a egyenlet megoldásának grafikus ábrázolását is mutatja. Az y = сtg x és y = -а függvények grafikonjainak végtelen sok közös pontja van, ezeknek a pontoknak az abszcisszái x = x 2 + pk alakúak, ahol x 2 = агсстg (- а) a függvény abszcisszán. az y = -а egyenes metszéspontja a főegyenes tangentoid ágával. Ez azt jelenti, hogy arcstg(-a) egy olyan szám, amelynek kotangense egyenlő -a, és amely az (O, n) intervallumhoz tartozik; ezen az intervallumon épül fel az Y = сtg x függvény gráfjának fő ága.

2. definíció. arccstg a (arc cotangens a) egy olyan szám a (0, n) intervallumból, amelynek kotangense egyenlő a-val.
Így,

Most általános következtetést vonhatunk le a ctg x = a egyenlet megoldásáról: a ctg x = a egyenletnek vannak megoldásai:

Figyelem (lásd 93. ábra): x 2 = n-x 1. Ez azt jelenti

4. példa Kiszámítja:

A) Mondjuk

A сtg x=а egyenlet szinte mindig formára alakítható, kivétel a сtg x =0 egyenlet. De ebben az esetben kihasználva azt a tényt, hogy mehetsz
cos x=0 egyenlet. Így az x = a alakú egyenlet nem független jelentőségű.

A.G. Mordkovich Algebra 10. osztály

Naptári tematikus tervezés matematikában, videó matematikából online, Matematika az iskolában letöltés

Az óra tartalma leckejegyzetek keretóra prezentációgyorsítási módszerek támogatása interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélési kérdések szónoki kérdéseket diákoktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsi kiságyak tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckék